【2013年中考攻略】专题4：韦达定理应用探讨
韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为―韦达定理‖）。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为―代数学之父‖。
韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则
1212b c x +x =x x =
a
a
-
?，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。其逆命题：如果12x x ，满足1212b
c x +x =x x =
a a
-?，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的
两个根也成立。
韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式
2
=b 4ac 0?-≥。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。锦元数学工作室将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达
定理求得两根和与两根积。
典型例题：
例1：（2012湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是【 】
A ．－2
B ．2
C ．3
D ．1 【答案】C 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝3。故选C 。
例2：（2001湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，
则x1·x2的值是【】
A.4.
B.3.
C.－4.
D.－3. 【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得
12c3
x x===3
a1
?。故选B。
例3：（2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【】A．x2+2x﹣4=0B．x2﹣4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x﹣5=0
【答案】D。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，要使方程的两实数根和为﹣4，
必须方程根的判别式△=b2﹣4ac≥0，且x1+x2=﹣b
a
=﹣4。据此逐一作出判断：
A．x2+2x﹣4=0：△=b2﹣4ac=20＞0，x1+x2=﹣b
a
=﹣2，所以本选项不合题意；
B．x2﹣4x+4=0：△=b2﹣4ac=0，x1+x2=﹣b
a
=4，所以本选项不合题意；
C．x2+4x+10=0：△=b2﹣4ac=﹣28＜0，方程无实数根，所以本选项不合题意；
D．x2+4x﹣5=0：b2﹣4ac=36＞0，，x1+x2=﹣b
a
=﹣4，所以本选项符号题意。
故选D。
例4：（2012广西来宾3分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【】
A．－2 B．0 C．1 D．2
【答案】A。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】设方程的另一个实数根为x，则根据一元二次方程根与系数的关系，得x＋1=－1，解得x=－2。
故选A。
练习题：
1.（2007重庆市3分）已知一元二次方程2
2x3x10
--=的两根为x1、x2，则x1+x2=
▲ 。
2. （2005浙江湖州3分）已知一元二次方程2x12x70
+-=的两个根为x1、x2，则x1+x2
的值是【 】
A ．－12
B ．12
C ．－7
D ．7
3. （2011广西来宾3分）已知一元二次方程x 2+mx ﹣2=0的两个实数根分别为x 1、x 2，则x 1·x 2= ▲ ．
4.（2011湖北咸宁3分）若关于x 的方程022=+-m x x 的一个根为1-，则另一个根为【 】
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
5.（2011云南昆明3分）若x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣7x+4=0的两根，则x 1+x 2与x 1?x 2的值分别是【 】
A 、﹣72
错误！未找到引用源。，﹣2 B 、﹣
72
，2 C 、
72
，2 D 、
72
，﹣2
二、求对称代数式的值：应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根
的对称式的值。所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变（()()f x y =f y x ，，），则称这个代数式为完全对称式，如221
1x +y +
x y
，等。扩展后，可以
视x y -中x 与y -对称。
典型例题：
例1：（2012四川攀枝花3分）已知一元二次方程：x 2﹣3x ﹣1=0的两个根分别是x 1、x 2，则x 12x 2+x 1x 22的值为【 】 A ． ﹣3 B ． 3 C ． ﹣6 D ． 6
【答案】A 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。 【分析】由一元二次方程：x 2﹣3x ﹣1=0的两个根分别是x 1、x 2，
根据一元二次方程根与系数的关系得，x 1+x 2=3，x 1x 2=―1， ∴x 12x 2＋x 1x 22=x 1x 2（x 1＋x 2）=（－1）·3=－3。故选A 。
例2：（2012山东莱芜3分）已知m 、n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，则代数式m 2＋n 2＋3mn 的值为【 】
A ．9
B ．±3
C ．3
D ．5 【答案】C 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。
【分析】∵m 、n 是方程x 2
＋22x ＋1＝0的两根，∴m ＋n=22-，mn=1。 ∴()(
)
2
2
22m +n +3mn =m+n +mn =
22
+1=8+1=9=3-。故选C 。
例3：（2012江苏南通3分）设m 、n 是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则m 2＋4m ＋n ＝ ▲ ． 【答案】4。
【考点】求代数式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系。 【分析】∵m 、n 是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根， ∴m 2＋3 m －7＝0，即m 2
＋3 m ＝7；m ＋n ＝－3。 ∴m 2＋4m ＋n ＝（m 2＋3 m ）＋（m ＋n ）＝7－3＝4。
例4：（2012湖北鄂州3分）设x 1、x 2是一元二次方程x 2＋5x －3=0的两个实根，且
2
1222x (x 6x 3)a 4+-+=，则a= ▲ .
【答案】10。
【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系。
【分析】∵x 1、x 2是一元二次方程x 2＋5x －3=0的两个实根，∴x 22＋5x 2－3=0，x 1x 2=－3。
又∵2
1222x (x 6x 3)a 4
+-+=，即
2
12222
x
(x 5
x 3x )
a 4
+-+
+
=，即122x (0x )a 4++=。
∴122x x a 4+=，即()23a 4-+=，解得a=10。
练习题：
1. （2012湖南张家界3分）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则11+
m
n
= ▲
．
2. （2012四川泸州3分）设x 1，x 2是一元二次方程x 2 – 3x – 1 =0的两个实数根，则
2
2
1212x x 4x x ++的值为 ▲
3. （2012山东日照4分）已知x 1、x 2是方程2x 2+14x －16=0的两实数根，那么211
2
x x x x +
的
值为 ▲ .
4. （2012黑龙江绥化3分）设a ，b 是方程x 2＋x －2013=0的两个不相等的实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为
▲
5. （2012黑龙江大庆4分）若方程2x x 10--=的两实根为a 、b ，求
11a b
+的值．
6. （2011湖北荆州、荆门3分）关于x 的方程2ax (3a 1)x 2(a 1)0-+++=有两个不相等的实根1x 、2x ，
且有1122x x x x 1a -+=-，则a 的值是【 】
A. B.1- C.或1- D.2
7.（2011贵州黔东南4分）若a 、b 是一元二次方程2x 2011x 10-+=的两根，则11a b
+的
值为【 】
A 、2010
B 、2011
C 、
2010
1 D 、
2011
1
8. （2011江苏苏州3分）已知a 、b 是一元二次方程2x 2x 10--=的两个实数根，则代数
式
()()a b a b 2ab -+-+的值等于 ▲ ．
9. （2011山东德州4分）若x 1，x 2是方程x 2+ x ﹣1=0的两个根，则x 12+ x 22
= ▲ ． 10. （2011广西玉林、防城港6分）已知：1x 、2x 是一元二次方程2x 4x 10-+=的两个实数根．求：
2
121
2
11(x x )(
)x x +÷+
的值．
三、构造一元二次方程：如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦
达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。扩展后字母可为代数式。
典型例题：
例1：（2012湖北随州4分）设242
a 2a 10
b 2b 10+-=--=，，且1－ab 2≠0，则
5
22ab +b 3a+1a ??
- ? ???
= ▲ .
例2：（2012四川内江12分）如果方程20x px q ++=的两个根是12,x x ，那么
1212,.,x x p x x q +=-=请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x 的方程20,(0),x m x n n ++=≠求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数； （2）已知a 、b 满足2
2
1550,1550a
a b
b ---==-,求
a b b
a
+
的值；
（3）已知a 、b 、c 满足0,16a b c abc ++==求正数c 的最小值。
【答案】解：（1）设关于x 的方程2
0,(0)x m x n n ++=≠的两根为12,x x ，则有：
1212,.x x m x x n +=-=，且由已知所求方程的两根为
12
11
,x x
∴
121
2
12
11x x m x x x x n +-+
=
=
，
12
12
1
1
11x x x x n
?
=
=
。
∴所求方程为2
10m x x n
n
--
+
=，即2
10(0)nx m x n ++=≠。
（2）∵a 、b 满足2
2
1550,1550a a b b --=--=，
∴a 、b 是方程21550x x --=的两根。∴15,5a b ab +==- 。
∴()
()
2
2
2
2
2
215
22475a b ab
a b a b a b b
a
ab
ab
ab
+-+++==
=
-=
-=--。
（3）∵0,16a b c abc ++==且0c > ∴16,a b c ab c
+=-=
。
∴a 、b 是一元二次方程()()21600x c x c c
--+
=>的两个根，
代简，得 ()2
2
1600cx c x c ++=> 。
又∵此方程必有实数根，∴此方程的0?≥，即()2
24160c c -??≥，
()3
3
4
0c c -≥。
又∵0c > ∴3340c -≥。 ∴4c ≥。 ∴正数c 的最小值为4。．
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，代数式化简。 【分析】（1）设方程20,(0)x m x n n ++=≠的两根为12,x x ，得出
1
2
11m x x n
-+=，
12
1
1
1x x n
?
=
，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答
案。
（2）根据a 、b 满足2
2
1550,1550a a b b --=--=，得出a 、b 是一元二次方程
2
1550x x --=的两个根，由15,5a b ab +==-，即可求出
a
b b
a
+
的值。
（3）根据0,16a b c abc ++==，得出16
,a b c ab c
+=-=
，a 、b 是一元二次方程
22
160cx c x ++=的两个根，再根据0?≥，即可求出c 的最小值。
例3：（2012四川宜宾8分）某市政府为落实―保障性住房政策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元资金用于保障性住房建设．
（1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率（只需列出方程）；
（2）设（1）中方程的两根分别为x 1，x 2，且mx 12﹣4m 2x 1x 2+mx 22的值为12，求m 的值． 【答案】解：（1）设到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x ，
根据题意得：3+3（x+1）+3（x+1）2=10.5。
（2）由（1）得，x 2+3x ﹣0.5=0，
由一元二次方程根与系数的关系得，x 1+x 2=﹣3，x 1x 2=﹣0.5。 又∵mx 12﹣4m 2
x 1x 2+mx 22
=12即m[（x 1+x 2）2
﹣2x 1x 2]﹣4m 2
x 1x 2=12， 即m[9+1]﹣4m 2
（﹣0.5）=12，即m 2
+5m ﹣6=0，解得，m=﹣6或m=1。
【考点】一元二次方程的应用，一元二次方程根与系数的关系。
【分析】（1）方程的应用解题关键是找出等量关系，列出方程求解。本题等量关系为：
2011年、2011年和2013某市用于保障房建设资金总量=10.5亿元，
把相关数值代入求得合适的解即可。
（2）由（1）得到的一元二次方程，根据根与系数的关系求得关于m 的一元二次
方程，解之即得m 的值。
例4：（2012贵州黔西南14分）问题：已知方程2x +x 1=0-，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。
解：设所求方程的根为y ，则y=2x ，所以y x=
2
把y
x=2
代入已知方程，得2
y y +1=022??
- ???
化简，得：2y +2y 4=0- 故所求方程为2y +2y 4=0-
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为―换根法‖。请阅读材料提供的―换根法‖求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）
（1）已知方程2x +x 2=0-，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
（2）已知关于x 的一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的倒数。 【答案】解：（1）y 2
－y －2=0。
（2）设所求方程的根为y ，则1y x
=
（x≠0），于是1x y
=
（y≠0）。
把1
x y =代入方程2ax +bx+c=0，得2
11
a +
b +c=0y y ???? ???
，
去分母，得a+by+cy 2=0。
若c=0，有2
ax+bx=0，可得有一个解为x=0，与已知不符，不符合题意。
∴c≠0。
∴所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）。
【考点】一元二次方程的应用。
【分析】（1）设所求方程的根为y，则y=－x所以x=－y。
把x=－y代入已知方程，得y2－y－2=0。
（2）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即得出所求的方程。
练习题：
1.（2004辽宁沈阳2分）请你写出一个二次项系数为1，两实数根之和为3的一元二次方程：▲ .
2. （2005山东临沂3分）请写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且其两根互为倒数▲ .
3.（2002浙江杭州10分）已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p、q，且
满足关系式
()
22
p q p15
p q pq6
?++=
?
?
+=
??
，试求这个一元二次方程．
4.（2007江苏淮安3分）写出一个两实数根符号相反的一元二次方程：▲ .
四、求方程中待定系数的值：已知方程两根满足某种关系，则可以利用韦达定理确定方程中待定字母系数的值。
典型例题：
例1：（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那么a的值为【】A．3 B．﹣3 C．13 D．﹣13
【答案】B。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根，∴x1+x2=﹣4，x1x2=a。
∴x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=x1x2﹣2（x1+x2）﹣5=a﹣2×（﹣4）﹣5=0，即a+3=0，
解得，a=﹣3。故选B。
例2：（2012湖南株洲3分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣bx+c=0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，则b 与c 的值分别为【 】
A ．b=﹣1，c=2
B ．b=1，c=﹣2
C ．b=1，c=2
D ．b=﹣1，c=﹣2 【答案】D 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣bx+c=0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，
∴x 1+x 2=b=1+（﹣2）=﹣1，x 1?x 2=c=1×（﹣2）=﹣2。 ∴b=﹣1，c=﹣2。故选D 。
例3：（2012内蒙古呼和浩特3分）已知：x 1，x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是【 】
A ．a=﹣3，b=1
B ．a=3，b=1
C ．3a=2
-
，b=﹣1
D ．3a=2
-
，
b=1
【答案】D 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系。
【分析】∵x 1，x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，∴x 1+x 2=﹣2a ，x 1x 2=b ，
∵x 1+x 2=3，x 1x 2=1，∴﹣2a=3，b=1，解得3a=2
-
，b=1。故选D 。
例4：（2012内蒙古包头3分）关于x 的一元二次方程()2x m x+5m 5=0--的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2=7，则m 的值是【 】
A.2
B. 6
C. 2或6 D . 7 【答案】B 。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，解不等式和一元二次方程。 【分析】∵方程()2x m x+5m 5=0--有两个正实数根，
∴()1212x +x =m 0m 5x x =5m 50
>>>????
?-??。
又∵2x 1+x 2=7，∴x 1=7－m 。
将x 1=7－m 代入方程()2x m x+5m 5=0--，得()()(
)
2
7m m 7m +5m 5=0----。
解得m=2或m=6。
∵m 5>，∴m=6。故选B 。
例5：（2012山东威海3分）若关于x 的方程()22x +a 1x+a =0-的两根互为倒数，则a= ▲ . 【答案】－1。
【考点】一元二次方程根与系数的关系，倒数。
【分析】∵关于x 的方程()22x +a 1x+a =0-的两根互为倒数，∴设两根为x 和
1x
。
则根据一元二次方程根与系数的关系，得21x+=1a x
1x =a x ?-???????
。
由2
1x =a x
?
得a=1±。
但当a=1时，1x+=1a x
-无意义。
∴a=－1。
例6：（2012湖北孝感12分）已知关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0．
(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
(2)若x 1、x 2是原方程的两根，且|x 1－x 2|＝22，求m 的值和此时方程的两根． 【答案】解：（1）证明：由关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0得
△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4， ∵无论m 取何值，（m+1）2
＋4恒大于0， ∴原方程总有两个不相等的实数根。
（2）∵x 1，x 2是原方程的两根，∴x 1+x 2=－（m+3），x 1?x 2=m+1。
∵|x 1－x 2|＝22， ∴（x 1－x 2）2=8，即（x 1＋x 2）2－4x 1x 2=8。 ∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即m 2＋2m －3=0。 解得：m 1=－3，m 2=1。
当m=－3时，原方程化为：x 2－2=0，解得：x 1=2 ，x 2=－2。 当m=1时，原方程化为：x 2＋4x ＋2=0，解得：x 1=－2+2 ，x 2=－
2－2。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。
【分析】（1）根据关于x 的一元二次方程x 2＋(m ＋3)x ＋m ＋1＝0的根的判别式△=b 2－4ac
的符号来判定该方程的根的情况。
（2）根据根与系数的关系求得x 1＋x 2和x 1?x 2，由已知条件|x 1－x 2|＝22平方后可
以得到关于x 1＋x 2和x 1?x 2的等式，从而列出关于m 的方程，通过解该方程即可求得m 的值，最后将m 值代入原方程并解方程。
例7：（2012湖南怀化10分）已知12x ,x 是一元二次方程2(a 6)x 2ax a 0-++=的两个实数根.
（1）是否存在实数a ，使1122x x x 4x -+=+成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；
（2）求使12(x 1)(x 1)++为负整数的实数a 的整数值. 【答案】解：（1）成立。
∵12x ,x 是一元二次方程2(a 6)x 2ax a 0-++=的两个实数根， ∴由根与系数的关系可知，1212a 2a x x x x a 6
a 6
=
+=-
--，；
∵一元二次方程2(a 6)x 2ax a 0-++=有两个实数根， ∴△=4a 2－4（a －6）?a≥0，且a-6≠0，解得，a≥0，且a≠6。 由1122x x x 4x -+=+得1212x x 4x x =++，即a 2a 4a 6
a 6
=-
--。
解得，a=24＞0，且a －6≠0。
∴存在实数a ，使1122x x x 4x -+=+成立，a 的值是24。 （2）∵121212a 2a 6(x 1)(x 1)=x x x x 1=
1=a 6
a 6
a 6
+++++-
+-
---，
∴当12(x 1)(x 1)++为负整数时，a －6＞0，且a －6是6的约数。 ∴a －6=6，a －6=3，a －6=2，a －6=1。∴a=12，9，8，7。 ∴使12(x 1)(x 1)++为负整数的实数a 的整数值有12，9，8，7。
【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，解分式方程。 【分析】根据根与系数的关系求得1212a 2a x x x x a 6
a 6
=+=-
--，；根据一元二次方程的根
的判别式求得a 的取值范围。
（1）将已知等式变形为x 1x 2=4+（x 2+x 1），即
a 2a 4a 6
a 6
=-
--，通过解该关于a 的
方程即可求得a 的值；
（2）根据限制性条件―（x 1+1）（x 2+1）为负整数‖求得a 的取值范围，然后在取值
范围内取a 的整数值。
例8：（2011四川南充8分）关于的一元二次方程x 2
+2x+k+1=0的实数解是x 1和x 2． （1）求k 的取值范围；
（2）如果x 1+x 2﹣x 1x 2＜﹣1且k 为整数，求k 的值．
【答案】解：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，解得k≤0。
∴k 的取值范围是k≤0。
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1+x 2=﹣2，x 1x 2=k+1， ∴x 1+x 2﹣x 1x 2=﹣2﹣（k+1）。 由﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k ＞﹣2。 又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0。 ∵k 为整数，∴k 的值为﹣1和0。
【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元一次不等式组。
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b 2﹣4ac≥0，从而求出实数k 的取值范围。
（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x 1+x 2=﹣2，x 1x 2=k+1．再代入所给不
等式即可求得k 的取值范围，然后根据k 为整数，求出k 的值。 例9：
练习题：
1. （2011湖南株洲3分）孔明同学在解一元二次方程2x 3x c 0-+=时，正确解得1x 1=，
2x 2=，则c 的值为 ▲ ．
2. （2011湖北孝感10分）已知关于x 的方程2
2
2(k 10x )x k --+=有两个实数根x 1，x 2，
（1）求k 的取值范围；
（2）若1212x x x x 1=?+-，求k 的值。
3. （2012湖北鄂州8分）关于x 的一元二次方程2
2
x (m 3)x m
0---=。
（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设这个方程的两个实数根为x 1，x 2，且｜x 1｜=｜x 2｜－2，求m 的值及方程的根。 4. （2012四川南充8分）关于x 的一元二次方程x 2＋3x ＋m －1=0的两个实数根分别为x 1,x 2。
（1）求m 的取值范围；
（2）若2（x 1+x 2）+ x 1x 2+10=0．求m 的值。
5. （2011四川达州3分）已知关于x 的方程x 2﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3，则m= ▲ ，n= ▲ 。
6. （2011四川泸州2分）已知关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k 2﹣2=0的两实根的平方和等于11，则k 的值为 ▲ 。
7. （2011四川乐山10分）题甲：已知关于x 的方程222(a 1)a 4x x 7a 0+-+--=的两根为x 1、x 2，且满足121233x x x x 20--?-=.求2
4a 2(1)a 4
a
++
?
-的值。
8. （2006北京市7分）已知：关于x 的方程2mx 14x 70--=有两个实数根x 1和x 2，关于y 的方程()22y 2n 1y n 2n 0--+-=有两个实数根y 1和y 2，且－2≤y 1＜y 2≤4．当
2
1212
12
2622y y 140x x x x -
+-+=+?（）
时，求m 的取值范围。
9. （2006四川凉山6分）已知：x 2
+a 2
x+b=0的两个实数根为x 1、x 2；y 1、y 2是方程y 2
+5ay+7=0的两个实数根，且x 1－y 1=x 2－y 2=2．求a 、b 的值。
五、在平面几何中的应用：在平面几何中，①两圆外切，两圆圆心距离等于两圆半
径之和；②勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方的应用，可以与一元二次方程根与系数的关系相结合命题。
典型例题：
例2：（2003江苏镇江6分）已知，如图，Rt △ABC 中，∠ACB=900
，AB=5，两直角边AC 、BC 的长是关于x 的方程()2
x m 5x 6m 0-++=的两个实数根。
（1）求m 的值及AC 、BC 的长（BC>AC ）
（2）在线段BC 的延长线上是否存在点D ，使得以D 、A 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求出CD 的长；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）设方程()2
x m 5x 6m 0-++=的两个根分别是x 1、x 2。
∴x 1+x 2=m+5，x 1?x 2=6m 。
∴2222
121212x x x x 2x x m 526m +=+-=+-?（）（） 。
∵Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=5， ∴22212x x AB +=。
∴
22
m 526m 5+-?=（），∴m 2-－m=0。∴m=0或m=2。 当m=0时，原方程的解分别为x 1=0，x 2=5，但三角形的边长不能为0，
所以m=0舍去；
当m=2时，原方程为x 2
－7x+12=0，其解为x 1=3，x 2=4，所以两直角边
AC=3，BC=4。
∴m=2，AC=3，BC=4。 （2）存在。
已知AC=3，BC=4，AB=5，欲使以△AD 1C
为顶点的三角形与△ABC 相似，
则
11AB AC BC AD CD AC
==。
∴
1
34CD 3
=
，则CD 1=
94
。
欲使以△AD 2C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则2
2
AB BC AC AD CD AC
=
=
。
∴BC=CD 2=4。
综上所述，在线段BC 的延长线上是存在点D ，使得以D 、A 、C 为顶点
的三角形与△ABC 相似，CD 的长为
94
或4。
【考点】相似三角形的判定，根与系数的的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理。 【分析】（1）先利用根与系数的关系与勾股定理求出m 的值，再代入m 的值求出AC 、BC 的长。
（2）根据相似三角形的性质来解答此题，利用相似比即可求出CD 的长。
练习题：
1. （2012山东潍坊3分）已知两圆半径r 1、r 2分别是方程x 2—7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是【 】． A ．相交 B ．内切 C ．外切 D ．外离
2. （2006四川广安8分）已知：△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x
2
－（2k+3）x+k 2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC 的长为5．试问：k 取何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？
3. （2002江苏无锡9分）已知：如图，⊙O 的半径为r ，CE 切⊙O 于C ，且与弦AB 的延长线交于点E ，CD ⊥AB 于D ．如果CE=2BE ，且AC 、BC 的长是关于x 的方程
()2
2
x 3r 2x r 40--+-=的两个实数根．
求：（1）AC、BC的长；（2）CD的长．
4. （2002湖南益阳10分）巳知：如图，在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O 为圆心，OB为半径的半圆交AB于点E，与AC切于点D．当22
AD AE5
+=时，AD、AE （AD＞AE）是关于x的方程x2－（m－1）x＋m－2=0（m≠0）的两个根．
（1）求实数m的值；
（2）证明：CD的长度是无理方程2x1x1
--=的一个根；
（3）以B点为坐标原点，分别以AB、BC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，求过A、B、D三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式．
5.（2010湖南株洲3分）两圆的圆心距d=5，它们的半径分别是一元二次方程x2-5x+4=0的两个根，这两圆的位置关系是▲
七、在二次函数中的应用：一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)可以看作二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当y＝0时的情形，因此若干二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与ｘ轴交点的综合问题都可以用韦达定理解题。
典型例题：
例1：（2012天津市3分）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3；②
1
m
4
>-；
③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是【】
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
例2：（2012甘肃兰州10分）若x 1、x 2是关于一元二次方程ax 2＋bx ＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x 1、x 2和系数a 、b 、c 有如下关系：x 1＋x 2＝b a
-
，x 1?x 2＝
c a
．把它称为一元
二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象与x 轴的两个交点为A(x 1，0)，B(x 2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为：AB ＝|x 1－x 2|＝()
2
2
2
12122
b 4
c b 4ac x +x 4x x ==
a a a -??
--- ???
2
b 4a
c =
a
-。
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象与x 轴的两个交点A(x 1，0)，B(x 2，0)，抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．
(1)当△ABC 为直角三角形时，求b 2－4ac 的值； (2)当△ABC 为等边三角形时，求b 2
－4ac 的值．
【答案】解：（1）当△ABC 为直角三角形时，
过C 作CE ⊥AB 于E ，则AB ＝2CE 。
∵抛物线与x 轴有两个交点，△＝b 2－4ac ＞0， 则|b 2－4ac|＝b 2
－4ac 。 ∵a ＞0，∴AB 2
2
b 4a
c b 4ac =
=
a
a
--。
又∵CE 2
2
4ac b b 4ac =
=
4a
4a
--，∴
2
2
b 4a
c b 4ac =2a
4a
--?
。
∴2
2b 4ac
b 4a
c =
2
--，即()
2
2
2b
4ac b 4ac=
4
--。
∵b 2－4ac ＞0，∴b 2－4ac ＝4。
（2）当△ABC 为等边三角形时，由(1)可知CE ＝
32
AB ，
∴
2
2
b 4a
c 3b 4ac =
4a
2
a
--?
。
∵b 2－4ac ＞0，∴b 2－4ac ＝12。
【考点】抛物线与x 轴的交点，根与系数的关系，等腰三角形的性质，等边三角形的性质。 【分析】（1）当△ABC 为直角三角形时，由于AC ＝BC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，过C 作CE ⊥AB 于E ，则AB ＝2CE ．根据本题定理和结论，得到AB 2
b 4a
c =
a
-，根据顶
点坐标公式，得到CE 2
4ac b =
4a
-，列出方程，解方程即可求出b 2
－4ac 的值。
（2）当△ABC 为等边三角形时，解直角△ACE ，得CE ＝
32
AB ，据此列出方程，
解方程即可求出b 2－4ac 的值。
例3：（2012广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1、x2；求证：x1+x2=﹣p，x1?x2=q．
（2）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．
例4：（2012湖北荆州12分）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x 轴有交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．
【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点。
当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，
令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．
△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。
综上所述，k的取值范围是k≤2。
（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1。
韦达定理在解析几何中的应用 陈历强 一，求弦长 在有关解析几何的高考题型中不乏弦长问题以及直线与圆锥曲线相交的问题。求直线与圆锥曲线相交所截得的弦长，可以联立它们的方程，解方程组求出交点坐标，再利用两点间距离公式即可求出，但计算比较麻烦。能否另擗捷径呢？能！仔细观察弦长公式： ∣AB ∣=∣x 1-x 2∣21k +?=)1](4)[(221221k x x x x +-+ 或∣AB ∣=∣y 1-y 2∣2 11k + ? =) 11](4)[(2 21221k y y y y + -+ ， 立刻发现里面藏着韦达定理（其中x 1、x 2分别表示弦的两个端点的横坐标，y 1、y 2分别表示弦的两个端点的纵坐标）。请看下面的例子： 例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y 2=2px 的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。 解：易知直线的方程为y=2(x-2 p ). 联立方程组y 2=2px 和y=2(x- 2 p ) 消去x 得 y 2-py-p 2=0.∵△=5p 2>0,∴直线与抛物线有两个不同的交点。由韦达定理得y 1+y 2=p,y 1y 2=-p 2.故弦长d= 2 5p 例2,直线y=kx-2交椭圆x 2+4y 2=80交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标为2，则∣PQ ∣等于___________. 分析：联立方程组y=kx-2和x 2+4y 2=80消去y 得(4k 2+1)x 2-16kx-64=0 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2). 由韦达定理得 x 1+x 2= 1 4162 +k k = 4得k= 2 1.x 1x 2= -32∣PQ ∣=6 . 练习1：过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线交抛物线A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,如果x 1+x 2=6, 那么|AB|=( ) (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 (文尾有提示.下同) 二，判定曲线交点的个数
专题八 充满活力的韦达定理 姓名： 班别： 典例导析 类型一：直接运用公式 例1：若一元二次方程02)2(2=++-a x a x 的两个根分别为3，b ，则____=+b a [点拨] 运用公式a b x x = +21，a c x x =21 [解答] [变式] 已知一元二次方程0562=--x x 之两根为b a ,，则 _____11=+b a 类型二：求方程中的字母系数 例2： 关于x 的方程0122=+++k x x 有两实根21,x x ，如果12121-<-+x x x x ，求整数k 的值。 [点拨] 熟记特殊式子2121x x x x ++的变形式 [解答] [变式] 关于x 的一元二次方程0622=--k x x （k 为常数）之两根为21,x x ， 且14221=+x x 。求k 值及方程的两根。 类型三：利用已知根求未知数的值 例3：已知关于x 的方程02=+-n mx x 的两个根是0和－3，则m= ，n= 。 [点拨] 运用公式得方程 [解答]
[变式] 已知方程042=+-m x x 的一个根是2，求方程的另一个根及m 的值。 类型四：利用公式求有关根的代数式的值 例4：已知b a ,是一元二次方程0122=--x x 的两个实数根，求代数式ab b a b a +-+-)2)((的值。 [点拨] 转化成b a +，ab [解答] [变式] 设21,x x 是方程032=-+x x 的两根，求1942231+-x x 的值。 类型五：与判别式的综合运用 例5：已知关于x 的方程22)1(2m x m x --=的两实根为21,x x 。 ①求m 的取值范围。 ②设21x x y +=，当y 取最小值时，求m 值及y 的最小值。 [点拨] 得出y 的表达式，用函数增减性 [解答] [变式]若关于x 的方程012)2(222=++--k x k x 有实根βα,。 ①求实数k 的取值。 ②设k t βα+= ，求t 的最小值。
一元二次方程跟与系数关系（韦达定理）的应用 一 教材分析 本节教学内容为“韦达定理的应用”，此内容是学生学习“一元二次方的根与系数的关系”中解决一些简单问题的重要方法。韦达定理联系了方程根与系数的关系，是学生在解决应用问题中的重要工具，具有广泛的应用价值，根据教材内容，由学生已知的认知结构及原由的知识水平，制定如下教学目标: 二 教学目标 1、巩固上一节学习的韦达定理，并熟练掌握韦达定理的应用。 2、提高学生综合应用能力 三 教学重难点 重点:运用韦达定理解决方程中的问题 难点:如何运用韦达定理 四 教学过程 (一 ) 回顾旧知，探索新知 上节课我们学习了韦达定理，我们回忆一下什么是韦达定理? 如果)0(02 ≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x 那么a c x x a b x x =?- =+2121, {老师:由韦达定理我们可知，韦达定理表示方程的根与系数的关系，如果在方 程中遇到需要求解根的情况，我们是否能用韦达定理来解决呢?今天我们将来探讨这个问题。) (二) 举例分析 例 已知方程0652 =-+kx x 的一根是2，求它的另一根及k 的值。 请同学们分析解题方法: 思路:应用解方程的方法，带入法 解法一:把X=2代入方程求的K=-7 把K=-7代入方程:06752 =--x x 运用求根公式公式解得5 3,221- ==∴x x 提问:同学们还有没有其它方法呢? 启发学生，我们已知方程一根，求另一根，我们否能用韦达定理建立一个关系，求解方程。
解法二:设方程的两根为21,x x ，则21,2x x =是未知数 用韦达定理建立关系式 5 3 ,5622 2-=∴-=x x 7 ,5 3 ,27 ,5 2212-=-==∴-=∴-=+k x x k k x 对比分析，第二种方法更加简单 总结:在解方程的根时，利用韦达定理会使求解过程更为简单，且不用解方程，直接求某 些代数式的值 例2 不解方程，求一元二次方程2x 2＋3x －1＝0两根的 （1）平方和；（2）倒数和 方法小结: (1)运用韦达定理求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用2121,x x x x ?+的代数式表示。 (2)格式、步骤要求规范: ①将方程的两根设为。 ②求出2121,x x x x ?+的值 。 ③将所求代数式用2121,x x x x ?+的代数式表示 。 ④ 将2121,x x x x ?+的值代人并求值。 三 综合运用 巩固新知 1、求一个一元二次方程，使它的两根分别是 解 ： 2、设 2 1,x x 是方程03422 =-+x x 的两根，利用根与系数的关系，求下列各式的值。
初中数学竞赛：韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。 【例题求解】 【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。 思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么 b a a b +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2 思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。 【例3】 已知关于x 的方程：04)2(2 2 =---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。 思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。 【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。
韦达定理的应用 一、典型例题 例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。 解：设另一个根为x1，则相加，得x 例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x1，x2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和. 解：∵又 ∴代入得，∴新方程为 例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根？ 解：∵二次实数方程实根共轭，∴若是，则另一根为 ∴，。 ∴以为根的一元二次方程即为.
例4：解方程组 解：设∴. ∴A=5. ∴x-y=5 又xy=-6. ∴解方程组∴可解得 例5：已知Rt ABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值 解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b，则2。又a，b为方程两根。∴ab=4m（m-2）∴S但a，b为实数且 ∴∴ ∴m=5或6 当m=6时，∴m=5 ∴S. 例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根 ①均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数 解：①∵∴m>7
②∵ ∴不存在这样的情况。 ③ ∴m<7 ④ ∴m=7 ⑤ ∴m=15.但使 ∴不存在这种情况 【模拟试题】（答题时间：30分钟） 1. 设n为方程x＋mx＋n=0（n≠0）的一个根，则m＋n等于 2. 已知方程x＋px－q=0的一个根为－2＋，可求得p= ,q= 3. 若方程x＋mx＋4=0的两根之差的平方为48，则m的值为（） A．±8 B.8 C.－8 D.±4 4. 已知两个数的和比a少5，这两个数的积比a多3，则a为何值时，这两个数相等？ 5. 已知方程（a＋3）x＋1=ax有负数根，求a的取值围。
韦达定理与整数根的问题专题 知识结构图 一．韦达定理与代数式求值 如果的两根是，，则，．（隐含的条件：）特别地，当 一元二次方程的二次项系数为1时，设，是方程的两个根，则，．利用平方差公式、完全平方公式等，对代数式进行变形，代入求值． 二．韦达定理与根的分布 在的条件下，我们有如下结论： 当时，方程的两根必一正一负．若，则此方程的正根不小于负根的绝对值；若，则此方程的正根小于负根的绝对值． 当时，方程的两根同正或同负．若，则此方程的两根均为正根；若，则此方程的两根均为负根． 更一般的结论是： 若，是的两根（其中），且为实数，当时，一般地： ①， ②且， ③且， 特殊地：当时，上述就转化为有两异根、两正根、两负根的条件． 其他有用结论： ⑴若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． ⑵若，则方程必有实数根． ⑶若，方程不一定有实数根． ⑷若，则必有一根． ⑸若，则必有一根． 三．整数根问题 对于一元二次方程的实根情况，可以用判别式来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质． 方程有整数根的条件： 如果一元二次方程有整数根，那么必然同时满足以下条件： 1. 为完全平方数； 2. 或，其中为整数． 以上两个条件必须同时满足，缺一不可． 另外，如果只满足判别式为完全平方数，则只能保证方程有有理根(其中、、均为有理数)． 题模一韦达定理与代数式求值 例1.1、设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：
（1）（2）（3） （4）（5）（6） 例1.2、设实数分别满足，并且，求的值例1.3、已知，是一元二次方程的两个根，求的值 题模二韦达定理与根的分布 例2.1、已知一元二次方程． （1）当a为何值时，方程有一正、一负两个根？ （2）此方程会有两个负根吗？为什么？ 例2.2、实数k为何值时，关于x的一元二次方程． （1）有两个正根？ （2）两根异号，且正根的绝对值较大？ （3）一根大于3，一根小于3？ 题模三整数根问题 例3.1、已知：关于的一元二次方程 (为实数) (1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)求证：无论为何值，方程总有一个固定的根； (3)若为整数，且方程的两个根均为正整数，求的值及方程所有的根 例3.2、已知关于的方程的两根都是整数，求的值． 例3.3、求使关于x的方程的根均为整数的所有整数a．
浅谈韦达定理的应用 齐贤学校 匡双霞 【趣题引路】 韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。 韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间 的应用： 1. 已知一元二次方程的一根，求另一根。 2. 已知一元二次方程的两根，求作新的一元二次方程。 3. 不解方程，求关于两根的代数式的值。 4. 一元二次方程的验根。 5. 解一类特殊的二元二次方程组和通过换元等方法求解二次根式方程。 6. 与判别式的综合应用。 【中考真题欣赏】 例1 (2001年河南省)已知关于x 的方程4x 2+4bx+7b=0有两个相等的实数 根,?y 1,y 2是关于y 的方程y 2 +(2-b)y+4=0的两个根,二次方程. 解析 ∵关于x 的方程4x 2+4bx+7b=0有两个相等的实数根, ∴ △ = (4b)2 -4×4×7b=0, 即b 2-7b=0. ∴b 1=0, b 2=7. 当b=0时,,关于y 的方程化为y 2+2y+4=0, 因△=4-16=-12<0,方程无解. 当b=7时,关于y 的方程可化为y 2-5y+4=0,
【中考攻略】专题 韦达定理应用探讨 韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为―韦达定理‖）。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为―代数学之父‖。 韦达定理说的是：设一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠有二实数根12x x ，，则1212b c x +x =x x =a a -?，。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a ，b ，c 的关系。其逆命题：如果12x x ，满足1212b c x +x =x x =a a -?，，那么12x x ，是一元二次方程()2ax +bx+c=0a 0≠的两个根也成立。 韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式2=b 4ac 0?-≥。 韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。我们将其应用归纳为：①不解方程求方程的两根和与两根积； ②求对称代数式的值； ③构造一元二次方程； ④求方程中待定系数的值； ⑤在平面几何中的应用；⑥在二次函数中的应用。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。 一、不解方程求方程的两根和与两根积：已知一元二次方程，可以直接根据韦达定理求得两根和与两根积。 典型例题： 例1：（湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则x 1＋x 2的值是【 】 A ．－2 B ．2 C ．3 D ．1 【答案】C 。 【考点】一元二次方程根与系数的关系。 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得x 1＋x 2＝3。故选C 。 例2：（湖北武汉3分）若x 1、x 2是一元二次方程x 2＋4x ＋3＝0的两个根，则x 1·x 2的值是【 】 A.4. B.3. C.－4. D.－3. 【答案】B 。 【考点】一元二次方程根与系数的关系。 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得12c 3x x ===3a 1 ?。故选B 。 例3：（山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【 】
韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根，则， 。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1．求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b为实数，且，，求的值。 思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。 解（1）当a=b时， ； （2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得 ，ab=1. 说明此题易漏解a=b的情况。根的对称多项式，，等都可以用 方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。 ★★★例2若，且，试求代数式的值。 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定
理，得 ， ∴ 2．构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以和为根的一元二次方程仍为。求所有这样的一元二次方程。 解（1）由韦达定理知 ，。 ， 。 所以，所求方程为。 （2）由已知条件可得 解之可得由②得，分别讨论 （p,q）=(0,0)，(1,0)，(1 -)。 -,1)或(0, 1 -,0)，(0,1)，(2,1)，(2 于是，得以下七个方程，，，，， 1 x2= -，其中0 1 x2= +无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。x2= +，0 x 1 + 2 3．证明等式或不等式 根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。 ★★★例4已知a，b，c为实数，且满足条件：，，求证a=b。
解题方法及提分突破训练：韦达定理及应用专题 韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。 韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？ 一 真题链接 1.（2012?兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c （a≠0）的两个根，则方程的两个 根x1、x2和系数a 、b 、c 有如下关系：x1+x2=-a b x1?x2=a c 把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x1，0），B （x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 连个交点间的距离为： 参考以上定理和结论，解答下列问题： 设二次函数y=ax2+bx+c （a ＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x1，0），B （x2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形． （1）当△ABC 为直角三角形时，求b2-4ac 的值； （2）当△ABC 为等边三角形时，求b2-4ac 的值．
【内容综述】 设一元二次方程 宀肚…。佃弄°）有二实数根可和也，贝U “f 的关系, 为韦达定理。 其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中 数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1. 求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a , b 为实数，且以+力十l = n , “ + 十1 = （］，求石打的值。 思路注意a , b 为方程Q +覽+1 = 0的二实根；（隐含A 土 0）。 解（1）当a=b 时， （2）当说护■^时，由已知及根的定义可知，a ，b 分别是方程*打"1二D 的两根，由韦 达定理得 .b d _ 盘2 +於 _ ?4对'一M)_ [-餌一*1 ..—4 — ---- ---------- -- -------------------- - ----------------- -- / L? h ■ 说明此题易漏解a=b 的情况。根的对称多项式对，工扌 程的系数表达出来。一般地，设 可「丁为方程宀E = D 的二根，'-卅+对，则有递 推关系。 其中n 为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出 a ，b 值进而求出所求多项式值，但计算量 较大。 ★★★例2若榊3=疏+1 ,池27-1 = 口且聊5|,试求代数式也G 思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为 宀，由根的定义知m n 为方程*-z = 0的二不等实根，再由韦达定理, 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数 a ， b ，c 称之 b 电等都可以用方 的值。
中考数学专题八充满活力的韦达定理培优试题无答案姓名：班别： 典例导析 类型一：直接运用公式 例1：若一元二次方程的两个根分别为3，b，则 [点拨] 运用公式， [解答] [变式] 已知一元二次方程之两根为，则 类型二：求方程中的字母系数 例2：关于的方程有两实根，如果，求整数k的值。 [点拨] 熟记特殊式子的变形式 [解答] [变式] 关于的一元二次方程（k为常数）之两根为， 且。求k值及方程的两根。
类型三：利用已知根求未知数的值 例3：已知关于的方程的两个根是0和－3，则m= ，n= 。[点拨] 运用公式得方程 [解答] [变式] 已知方程的一个根是2，求方程的另一个根及m的值。 类型四：利用公式求有关根的代数式的值 例4：已知是一元二次方程的两个实数根，求代数式的值。 [点拨] 转化成， [解答] [变式] 设是方程的两根，求的值。 类型五：与判别式的综合运用 例5：已知关于的方程的两实根为。
①求m 的取值范围。 ②设，当y 取最小值时，求m 值及y 的最小值。 [点拨] 得出y 的表达式，用函数增减性 [解答] [变式]若关于的方程012)2(222=++--k x k x 有实根。 ①求实数k 的取值。 ②设，求t 的最小值。 培优训练 1、已知是一元二次方程的两个实数根，则代数式 2、已知关于的方程的两实根是，且，求k 值。 3、已知一元二次方程013)13(2=-++-x x 的两根为，求。
4、已知是方程的两个实数根，求的值。 5、关于的方程的一个根是另一个根的2倍，则m 值为 。 6、已知一元二次方程。 ①若方程有两个实数根，求m 的范围。 ②若方程的两个实数根为，且，求m 的值。 7、关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且。求的值。 竞赛训练 1、关于的一元二次方程的两实根。 ①求P 的取值范围。 ②若9)]1(2)][1(2[2211=-+-+x x x x ，求P 的值。
【学习课题】 九上 补充内容 综合应用根的判别式和韦达定理 【学习目标】 1、掌握一元二次方程根与系数的符号关系 2、利用韦达定理并结合判别式，求参数的值 【学习重点】一元二次方程根与系数的符号关系 【学习难点】利用韦达定理并结合判别式，求参数的值 【学习过程】 学习准备：（1）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 的判别式△=__________ △＞0?__________△=0 ?_____________△＜0 ?__________ （2）一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两根分别为x 1和x 2 x 1+x 2=____________, x 1x 2=_____________ 解读教材：由根的判别式及韦达定理可得如下结论： （1）若a 、c 异号 ? ax 2+bx+c=0 (a ≠0)必有两个不相等的实数根； （2）有一个根为1 ? a+b+c=0 ； （3） 有一个根为—1 ? a —b+c=0； （4）有一个根为0 ? c=0 （5）有两个正根 ??????+≥0210210＞＞△x x x x （6）有两个负根 ? ?? ???+≥0210210＞＜△x x x x (7) 有一正根一负根 ????0021＜△＞x x （8）两根同号 ????≥002 1＞△x x （9）两根互为相反数????=?=+0 0021b x x △＞ （10）两根互为倒数????=≥102 1x x △ （11）一根为正，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＞△＞ （12）一根为负，一根为0 ??????=?=+00002 121c x x x x ＜△＞ （13）两根均为0?b=c=0 (14) 一根比a 大，一根比a 小????--0 ))(021＜（△＞a x a x 例1 已知方程（k+1）x 2—4kx+3k —1=0 的两个实数根均为正，求k 的值。 思路点拨：因为原方程两个实数根均为正，有上述结论（5）可得不等式组，解这个不 等式组即可求出k 的值。
韦达定理的应用与提高 自招题集 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
应用题 例题.1、某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元 2.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价 3.某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？ 根的判别式 1、（2017?和平区校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c=0中，若a＞0，b＜0，c＜0，则这个方程根的情况是（） A．有两个正根 B．有两个负根 C．有一正根一负根且正根绝对值大 D．有一正根一负根且负根绝对值大
【分析】根据根的判别式△=b 2﹣4ac 的符号，就可判断出一元二次方程的根的情况；由根与系数的关系可以判定两根的正负情况． 【解答】解：∵a ＞0，b ＜0，c ＜0， ∴△=b 2﹣4ac ＞0，＜0，﹣＞0， ∴一元二次方程ax 2+bx +c=0有两个不相等的实数根，且两根异号，正根的绝对值较大． 故选：C ． 【点评】此题考查了根的判别式；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根． 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点及应用解析 1、定义：若x 1，x 2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)的两个根，则有x 1 + x 2 = - a b ， x 1·x 2 = a c 。对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0，则有x 1 + x 2 =-p ，x 1·x 2 =q 2、应用的前提条件：根的判别式△≥0 ?方程有实数根。 3、若一个方程的两个为x 1，x 2 ，那么这个一元二次方程为a[x 2+(x 1+x 2)x+ x 1·x 2]=0(a ≠0) 4、根与系数的关系求值常用的转化关系： ①x 12+x 22=(x 1+x 2)2 -2x 1x 2=a c a 2b -2 -??? ??=2 22a ac b - ② c b x x x x x x -=+=+21212111 ③(x 1+a)(x 2+a)= x 1x 2 +a(x 1+x 2) +a 2 = a c -b +a 2
韦达定理及其应用 高一数学 B 段 教学目的： 1．掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法 2．培养分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力； 3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神 教学重点：用韦达定理解“含参二次方程的实根分布”问题的基本方法 教学难点：韦达定理的正确使用 一、 知识要点 1、若一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中，两根为1x ，2x 。则a b x x -=+21 a c x x =?21，； 2、以1x ，2x 为两根的方程为()021212=?+++x x x x x x 3、用韦达定理分解因式()()2122x x x x a a c x a b x a c bx ax --=??? ? ?++=++ 二、例题 1、 不解方程说出下列方程的两根和与两根差： （1）01032=--x x （2）01532=++x x （3）0223422 =--x x 2. 若1x 、2x 是方程2x +2x-17=0的两根，试求下列各式的值. （1）2221x x + （2）2 111x x +
学生练习： （1）=--)5)(5(21x x （2）=- 21x x 反思：韦达定理求值，应熟练掌握以下等式变形: ()212 2122212x x x x x x -+=+ 2111x x +=2121x x x x + ()212212214)(x x x x x x -+=- 21221214)(x x x x x x -+=- 3.已知关于x 的方程x 2 + kx －6= 0的一个根是2，求另一个根及k 的值 练习．已知关于x 的方程2 x -(m+1)x+1-m=0的一根为4，求它的另一个根及m 的值.
韦达定理在平面在几何中的应用 姓名：莫…… 学号：201040432018 班级：10数学本科（2）班 院系：兴义民族师范学院
1 引言 韦达(Viete，Francois，seigneurdeLa Bigot iere) 是法国十六世纪最有影响的数学家之一.韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃.人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.他最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系, 因此, 人们把这种关系称之为韦达定理(Viete’s Theorem).它的主要内容是：一元二次方程且中，设两个根为和，则：，. 一元二次方程根与系数关系的韦达定理是中学数学的重要内容之一，其知识脉络贯穿于中学数学教学的始终. 对韦达定理(Viete’s Theorem)在中学数学中的应用的研究，国内外很多教育学者和专家都有大量研究成果，范围涉及方程、代数、三角、解析几何，平面几何等多方面.
摘要 韦达定理揭示了一元二次方程根与系数的关系，它在中学数学中占有很重要的位置，根据这个定理欲证U+V=Q或U.V=Q，只需证U和V是方程20 ++=（a≠0）的两个根。在平面几何中，常常会遇到求证两个几何量ax bx c 的和或积等某值的问题，运用韦达定理可以给求解这类问题打开一条思路，解题的关键是建立所考察的两个几何量为根的一元二次方程，而建立这样的方程可借助余弦定理等工具来实现。下面列举说明韦达定理在求解这类问题中的应用。韦达定：韦达定理平面几何一元二次方程。
Abstract Wada theorem reveals a yuan quadratic equation root and coefficient of relationship, it occupies very important position in the middle school mathematics, according to the theorem to U + V=Qor U.V = Q, just U and V is equation (indicates a 0) the two root. In plane geometry, often will encounter two geometric verification and/or the amount of product such as a value problem, using the wada theorem can open an idea for solving this kind of problem, the problem solving is the key to establish examined two geometric quantity for a yuan quadratic equation root, and such an equation can be achieved with the aid of tools such as cosine theorem to. Below list illustrates ouida theorem application in solving such problems. Keywords：wada theorem plane geometry a yuan quadratic equation
韦达定理专项练习 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两 个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 记住下面公式： 专项练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 .
7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 . 二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值: （1）2212x x += ； （2）2 111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = . 三、选择题： 1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－4 2、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++12 21221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －3 3、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2111x x +=（ ） (A )－31 (B) 3 1 (C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ） （A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x （C ） 0322=--x x （D ）0322=++x x 5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ）
二元一次方程判别式与韦达定理专题 知识小结： 1、对于一个一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．我们把把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示． 当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根． 反之亦然． 2、韦达定理：如果方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是X 1 , X 2 , 那么a c x x a b x x =?-=+2121,（能用韦达定理的前提条件为△≥0 ） 巩固练习： 一、填空题 1．已知2-240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是 ． 2．已知x 1，x 2是方程2x 2－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ， （x 1－x 2）2 ＝ 。 3.已知关于x 的方程10x 2－(m+3)x+m －7=0，若有一个根为0，则m= ，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为－3 5 ，则m= ，这时方程的两 个根为 . 4．若关于x 的方程(m 2－2)x 2－(m －2)x ＋1＝0的两个根互为倒数，则m ＝ 。 5.方程2x(mx －4)=x 2－6没有实数根，则最小的整数m= ; 6.已知方程2(x －1)(x －3m)=x(m －4)两根的和与两根的积相等，则m= ; 7.设关于x 的方程x 2－6x+k=0的两根是m 和n ，且3m+2n=20，则k 值为 ; 三、解答题 8.已知方程012=--x x 的两个实数根为21,x x ，求： (1) (2) （3）x 12+ x 1x 2+2 x 1 10.关于x 的方程04 )2(2 =+ ++k x k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围。(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由
韦达定理及其应用 【趣题引路】 韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣，常利用业余时间钻研数学。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”。 历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战。国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得出一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）。消息传开，数学界为之震惊。同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。 韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理。你能利用韦达定理解决下面的问题吗？ 已知：①a2+2a-1=0,②b4-2b2-1=0且1-ab2≠0,求( 221 ab b a ++ )2004的值。 解析由①知1+21 a - 2 1 a =0, 即(1 a )2-2· 1 a -1 =0,③ 由②知(b2)2-2b2-1=0,④ ∴1 a ,b2为一元二次方程x2-2x-1=0的两根. 由韦达定理,得1 a +b2=2, 1 a ·b2=-1. ∴ 221 ab b a ++ =[( 1 a +b2)+ 2 b a ]2004=(2-1)2004=1. 点评 本题的关键是构造一元二次方程x2-2x-1=0,利用韦达定理求解,?难点是将①变形成③,易错点是忽视条件1-ab2≠0,而把a,-b2看作方程x2+2x-1=0的两根来求解.
《根与系数关系（韦达定理）》专题 班级 姓名 忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 请根据以上的观察发现进一步猜想： 方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根x 1，x 2与a 、b 、c 之间的关系：____________． 我们尝试证明一下 若方程20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为1x ，2x 则1x = ，2x = 。 则12x x += 12.x x = 归纳 一元二次方程的根与系数之间存在下列关系 ①2 0ax bx c ++= (0a ≠)的两个根为1x , 2x , 则12x x +=______ , 12x x ?=______ . ② 方程20x px q ++=的两根为1x , 2x , 则12x x +=______ , 12x x ?=_______. 注意事项:使用一元二次方程根与系数的关系时要注意两个问题: ①必须为一元二次方程(0a ≠); ②一定在有根的条件下(△≥0). 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）2310x x ++=；（2）23210x x --= （3）2230x -+=； （4）2250x x += 【类型一】已知方程一根,求另一根及未知系数的值. 例1 已知方程ax 2 -7x -6=0(a ≠0)一根为2,求方程的另一根及a 的值. 1.已知方程2230x x m --=的一个根是1 2 ，求它的另一个根和m 的值. 2.若一元二次方程 22(1)230m x m m -++-=的一根为零，求m 的值.
【类型二】已知方程两根的关系,求未知系数的值 例2若方程2380x x m -+=的两根之比为3:2,求m 的值. 1. 已知方程x 2-2(m +1)x +m 2 -2=0,m =___ _时,方程两根互为相反数; m = 时,方程两根互为负倒数. 2. 若方程20x px q ++=的一个根是另一个根的2倍,则p 、q 之间的关系是 【类型三】不解方程 求与根有关的代数式的值 例3 设1x 、2x 是一元二次方程 22510x x -+=的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1）12(3)(3)x x --； （2）2212(1)(1)x x +++； （3）211211x x x x +++； （4）12x x -. 【类型四】根据题意，求方程中某些待定字母系数的值 例4 已知关于x 的方程 22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根1x 、2x ． ⑴求k 的取值范围； ⑵k 为何值时，1x 与2x 互为倒数. 1.已知方程22(21)20x k x k +++-=的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ） A ．－3或1 B ．－3 C ．1 D ．3 2.当m = 时，方程250x x m ++=的两根之差是7. 例5已知关于x 的方程2320x mx +-=的两根的平方和为13 9 ，求m 的值. 例6已知关于x 的一元二次方程2(21)10x k x k +---= （1）试判断此一元二次方程根的存在情况； （2）若方程有两个实数根21x x 和，且满足1112 1 =+x x ，求k 的值．