《根与系数关系（韦达定理）》专题
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忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。
请根据以上的观察发现进一步猜想：
方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根x 1，x 2与a 、b 、c 之间的关系：____________． 我们尝试证明一下
若方程20ax bx c ++=(a ≠0)的两根为1x ，2x 则1x = ，2x = 。 则12x x += 12.x x =
归纳
一元二次方程的根与系数之间存在下列关系
①2
0ax bx c ++= (0a ≠)的两个根为1x , 2x , 则12x x +=______ , 12x x ?=______ .
② 方程20x px q ++=的两根为1x , 2x , 则12x x +=______ , 12x x ?=_______. 注意事项:使用一元二次方程根与系数的关系时要注意两个问题:
①必须为一元二次方程(0a ≠); ②一定在有根的条件下(△≥0).
不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积： （1）2310x x ++=；（2）23210x x --=
（3）2230x -+=； （4）2250x x +=
【类型一】已知方程一根,求另一根及未知系数的值.
例1 已知方程ax 2
-7x -6=0(a ≠0)一根为2,求方程的另一根及a 的值.
1.已知方程2230x x m --=的一个根是1
2
，求它的另一个根和m 的值.
2.若一元二次方程
22(1)230m x m m -++-=的一根为零，求m 的值.
【类型二】已知方程两根的关系,求未知系数的值
例2若方程2380x x m -+=的两根之比为3:2,求m 的值.
1. 已知方程x 2-2(m +1)x +m 2
-2=0,m =___ _时,方程两根互为相反数; m = 时,方程两根互为负倒数.
2. 若方程20x px q ++=的一个根是另一个根的2倍,则p 、q 之间的关系是
【类型三】不解方程 求与根有关的代数式的值 例3 设1x 、2x 是一元二次方程
22510x x -+=的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值： （1）12(3)(3)x x --； （2）2212(1)(1)x x +++；
（3）211211x x
x x +++； （4）12x x -.
【类型四】根据题意，求方程中某些待定字母系数的值 例4 已知关于x 的方程
22(21)10k x k x +-+=有两个不相等的实数根1x 、2x ． ⑴求k 的取值范围；
⑵k 为何值时，1x 与2x 互为倒数.
1.已知方程22(21)20x k x k +++-=的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ） A ．－3或1 B ．－3 C ．1 D ．3
2.当m = 时，方程250x x m ++=的两根之差是7.
例5已知关于x 的方程2320x mx +-=的两根的平方和为13
9
，求m 的值.
例6已知关于x 的一元二次方程2(21)10x k x k +---= （1）试判断此一元二次方程根的存在情况；
（2）若方程有两个实数根21x x 和，且满足1112
1
=+x x ，求k 的值．