2021届新中考数学必考精点考点专题
专题12 韦达定理及其应用
1.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
如果方程的两个实数根是，那么，
。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
2.根与系数的关系的应用，主要有如下方面：
（1）验根；
（2）已知方程的一根，求另一根；
（3）求某些代数式的值；
（4）求作一个新方程。
（2020?泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22【例题1】
的值是．
【对点练习】（2019湖北仙桃）若方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根为α，β，则α2+β2的值为（）
A．12 B．10 C．4 D．﹣4
【例题2】（2020?江西）若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为．
【对点练习】已知方程的一个根是-1/2，求它的另一个根及b的值。
【对点练习】（2019年湖北省荆门市）已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为．
【例题3】（2020?随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．
【对点练习】（2019?湖北黄石）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根为x1.x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．
【例题4】（2020湖北黄石模拟）已知方程的两根，求作以为两根的方程。
【对点练习】（2019山东淄博模拟）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）
A．x2﹣3x+2＝0 B．x2+3x﹣2＝0 C．x2+3x+2＝0 D．x2﹣3x﹣2＝0
一、选择题
1. （2019?江苏泰州）方程2x2+6x﹣1＝0的两根为x1、x2则x1+x2等于（）
A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3
2. （2019?广东）已知x1.x2是一元二次方程了x2﹣2x=0的两个实数根，下列结论错误的是（）
A．x1≠x2 B．x12﹣2x1=0 C．x1+x2=2 D．x1·x2=2
3.（2019?广西贵港）若α，β是关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两实根，且+＝﹣，
则m等于（）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
二、填空题
4．（2020?内江）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为．
5.（2019年江西省）设x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则x1+x2+x1x2＝．
6.（2019年四川攀枝花）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x12+x22＝．
7.（2019年四川成都）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为．
8.（2019四川泸州）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣4＝0的两实根，则（x1+4）（x2+4）的值是．
三、解答题
9．（2020?鄂州）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且x1x2﹣4，求实数k的值．
10．（2020?南充）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得等式k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
11. (2019黑龙江绥化)已知关于x的方程kx2－3x+1＝0有实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若该方程有两个实数根,分别为x1和x2,当x1+x2+x1x2＝4时,求k的值.
12.（2019孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
13.已知：x1、x2是两个不相等的实数，且满足，那么求的值。
14. 已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k 的值。