第十一章动量矩定理习题解答

习 题

11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。

t a x v x ωωsin -== t b y v y ωω2c o s 2==

x mv y mv L y x O +-=

)cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω?+?=

)cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω?+?=

)c o s 2c o s 2c o s s i n 2(s i n t t t t t m a b ωωωωωω?+?=

)2c o s (s i n c o s 22t t t m a b ωωωω+=

t mab ωω3cos 2=

11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。

图11-25

(1)

θθ222s i n 2)s i n (2ml l m J z =?= θω22s i n 2l m L z = (2)

θθ2202sin 32d )sin (2ml x x l m J l z ==?杆 θ22s i n 3

8ml J z = θω22sin 3

8l m L z =

11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。

图11-26

(a) ω23

1ml L O =

(b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29

1ml L O -= (c) 2222452312121ml l m l m J O =??+??= ω224

5ml L O = (d) 2222321mR mR mR J O =+= ω22

3mR L O =

11-4 如图11-27所示，均质三角形薄板的质量为m ，高为h ，试求对底边的转动惯量J x 。 图11-27

面密度为 bh

m A 2=ρ 在y 处 b h

y b y = y y h m y b h y bh m y b bh m A m y A d 2d 2d 2d d 2=??=??==ρ 微小区域对于z 轴的转动惯量

y y h y h m m y h J z d )(2d )(d 222-=

-= ?

?+-=+-=-=h h z mh y y hy y h h m y y h y h m J 002322222)413221(2d )2(2d )(2 26

1mh =

11-5 三根相同的均质杆，用光滑铰链联接，如图11-28所示。试求其对与ABC 所在平面垂直的质心轴的转动惯量。

图11-28

3)31(12

122???????+=h m ml J z l h 23= 2222213)121121(3)2331(121m l m l l m m l J z =?+=???

?????+=

11-6 如图11-29所示，物体以角速度w 绕O 轴转动，试求物体对于O 轴的动量矩。(1) 半径为R ，质量为m 的均质圆盘，在中央挖去一边长为R 的正方形，如图11-32a 所示。(2) 边长为4a ，质量为m 的正方形钢板，在中央挖去一半径为a 的圆，如图11-32b 所示。

图11-29 (1)

2126121R m mR J C -= π

π221m m R R m == 222π

61π3π6121mR R m mR J C -=?-= π

)1(ππm m m m -=-=' 2222π

67π9π)1(ππ61π3mR R m mR R m J J C O -=-+-='+= ωω2π

6π97mR J L O O -=-= (2)

21221)4(61a m a m J C -= m m a a m 16

π16π221==

22296

π325616π2138ma ma ma J C -=?-= m m m m 16

π1616π-=-=' 222296

π48896π3256816π1696π3256)22(mR a m ma a m J J C O -?+-=?-+-=?'+= 296

π511024mR -= ωω296

1024π51mR J L O O -=-=

11-7 如图11-30所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A ，质心为C ，AC ＝e ；轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为J A ；C 、A 、B 三点在同一直线上。试求下列两种情况下轮子的动量和对地面上B 点的动量矩：(1)当轮子只滚不滑时，已知v A ；(2)当轮子又滚又滑时，已知v A 、w 。

图11-30

ωω)()()(2me J e R mv J e R mv L A c C C B +-+-=-+-= (1)

R

v A =ω ω)(e R v C += R

v e R m me J R v me J R v e R m L A A A A A B ])([)()(2222++--=--+-= (2)

ωe v v A C +=

ωωC A B J e R e v m L -++-=))((

ωω)()()(2me J e R me v e R m A A --+-+-=

])()([ωm e R J v e R m A A +++-=

11-8 曲柄以匀角速度w 绕O 轴转动，通过连杆AB 带动滑块A 与B 分别在铅垂和水平滑道中运动，如图11-31所示。已知OC ＝AC ＝BC ＝l ，曲柄质量为m ，连杆质量为2m ，试求系统在图示位置时对O 轴的动量矩。

图11-31

ωω=AB (顺时针)

AB O C O L L L +=

ω23

1ml L OC = ωωωω222234322)()2)(2(1212ml ml ml l m l mv L AB C AB =-=-+

=

ω23

5ml L OC =

11-9 如图11-32所示的小球A ，质量为m ，连接在长为l 的无重杆AB 上，放在盛有液体的容器中。杆以初角速度w 0绕O 1O 2轴转动，小球受到与速度反向的液体阻力F ＝km w ，k 为比例常数。问经过多少时间角速度w 成为初角速度的一半？

图11-32

ω2ml L z = ωkml M z -=

z z M t

L =d d 得 ωωl

k t -=d d ??-=t t l

k 0d d 0ω

ωω

ω t l

k -=0ln ωω ωω0ln k l t = 2ln k l t =

11-10 水平圆盘可绕z 轴转动。在圆盘上有一质量为m 的质点M 作圆周运动，已知其速度大小v 0=常量，圆的半径为r ，圆心到z 轴的距离为l ，M 点在圆盘上的位置由f 角确定，如图11-33所示。如圆盘的转动惯量为J ，并且当点M 离z 轴最远（在点M 0）时，圆盘的角速度为零。轴的摩擦和空气阻力略去不计，试求圆盘的角速度与f 角的关系。

图11-33

0=∑z M 常量=z L

)(00r l mv L z += ?ω?ωcos )cos 2(0022l mv r mv lr r l m J L z z +++++= )(cos )cos 2(00022r l mv l mv r mv lr r l m J z +=+++++?ω?ω )

cos 2()cos 1(220??ωlr r l m J v ml z +++-=

11-11 两个质量分别为m 1、m 2的重物M 1、M 2分别系在绳子的两端，如图11-34所示。两绳分别绕在半径为r 1、r 2并固结在一起的两鼓轮上，设两鼓轮对O 轴的转动惯量为J O ，试求鼓轮的角加速度。

图11-34

222111r v m r v m J L O z ++=ω ω11r v = ω22r v =

ω)(222211r m r m J L O z ++=

2211gr m gr m M z -=∑

z z M t

L ∑=d d 2211222211)(gr m gr m r m r m J O -=++α

22

22112211r m r m J gr m gr m O ++-=

α 11-12 如图11-35所示，为求半径R ＝0.5m 的飞轮A 对于通过其重心轴的转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳的末端系一质量为m 1＝8kg 的重锤，重锤自高度h ＝2m 处落下，测得落下时间t 1＝16s 。为消去轴承摩擦的影响，再用质量为m 2＝4kg 的重锤作第二次试验，此重锤自同一高度落下的时间t 2＝25s 。假定摩擦力矩为一常数，且与重锤的重量无关，试求飞轮的转动惯量和轴承的摩擦力矩。

图11-35

v R

mR J mvR R v J mvR J L z )()()(2

+-=+-=+-=ω mgR M M z -=∑f

z z M t

L ∑=d d f 2

)(M mgR a R

mR J -=+ R M mgR a mR J )()(f 2-=+ R M mgR t

h mR J )(2)(f 22-=+ h

Rt M mgR mR J 2)(2f 2-=+ 第一次试验

2

2165.0)5.08(5.082

f 2

???-??=?+M g J )4(322f M g J -=+ (1) 第二次试验

2

2255.0)5.04(5.042

f 2

???-??=?+M g J )2(125.781f M g J -=+ (2) (1)-(2)

f 125.4625.281M

g +-=

m N 0238.6f ?=M

由(1)得

2f m kg 6.10592)4(32?=--=M g J

11-13 通风机风扇的叶轮的转动惯量为J ，以初角速度w 0绕其中心轴转动，见图11-36。设空气阻力矩与角速度成正比，方向相反，即M ＝－k w ，k 为比例系数，试求在阻力作用下，经过多少时间角速度减少一半？在此时间间隔内叶轮转了多少转？

图11-36

刚体定轴转动微分方程 ωωk M t J

-=∑=d d t J

k d d -=ωω ??-=t t J

k 02d d 00ωωωω t J

k -=21ln

2ln k J t =

11-14 两均质细杆OC 和AB 的质量分别为50kg 和100kg ，在C 点互相垂直焊接起来。若在图11-37所示位置由静止释放，试求释放瞬时铰支座O 的约束力。铰O 处的摩擦忽略不计。

图11-37

g g g g m g m M J e z O 125)10025(15.0)()(21-=+-=?-?-=∑=-F α

1501003

1003501100210012115031222=++=?+??+??=O J g g 6

5150125==α 质心运动定理

αααα125)10025(5.0212211-=+-=?-?-=+=m m a m a m ma y C y C Cy

0=Cx ma

e x Cx F ma ∑= e y Cy F ma ∑=

Ox F =0 21125W W F O y --=-α

0=O x F g m g m F g Oy 216

5125--=?-

N 4496

27565125150==?-=g g g F Oy

11-15 质量为100kg 、半径为1m 的均质圆轮，以转速n =120r/min 绕O 轴转动，如图11-38所示。设有一常力F 作用于闸杆，轮经10s 后停止转动。已知摩擦因数μ＝0.1，试求力F 的大小。

图11-38

杆

05.35.10

N =-=∑'F F M O N 7

3F F = 圆轮 R F J O d =α

R J F O α=d N d F F μ= Rt

J R J F F O O μωμαμ===d N t

mRn n Rt mR Rt J F F O μμμω140π30π721373732N =??=== N 28.269101.01401201100π=?????=

11-16 如图11-39所示的带传动系统，已知主动轮半径为R 1、质量为m 1，从动轮半径为R 2、质量为m 2，两轮以带相连接，分别绕O 1 和O 2轴转动，在主动轮上作用有力偶矩为M 的主动力偶，从动轮上的阻力偶矩为M '。带轮可视为均质圆盘，带质量不计，带与带轮间无滑动。试求主动轮的角加速度。

图11-39 主动轮 M R F F J O --=-11T 2

T 1)()(1α 从动轮 M R F F J O '+-=-22T 1T 2)()(2α

即 11T 2T 1211)(2

1R F F M R m --=α (1) M R F F R m '--=21T 2T 2222)(2

1α (2) 因 1

221R R =αα 式(1)×R 2+(2) ×R 1

1221222122112

121R M MR R R m R R m '-=+αα 1212212122112

121R M MR R R m R R m '-=+αα 12122121)(2

1R M MR R R m m '-=+α 22121121)()(2R R m m R M MR +'-=α

11-17如图11-40所示，电绞车提升一质量为m 的物体，在其主动轴上作用有一矩为M 的主动力偶。已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其它附属零件的转动惯量分别为J 1 和J 2 ；传动比 z 2:z 1＝i ；吊索缠绕在鼓轮上，鼓轮半径为R 。设轴承的摩擦和吊索的质量均略去不计，试求重物的加速度。

图11-40

主动轴

M R F J -=-1t 11)(α

1t 21R F M i J -=α

1t 1R F M a R

i J -= (1) 从动轴连重物

v R

mR J mvR R v J mvR J L O )(2

22222+=+=+=ω mgR R F M O -=∑2t 2

22

d d O M t L O ∑=

m g R R F a R

mR J -=+2t 2

2 (2) 式(1)×R 2+(2) ×R 1

1212

221mgRR MR a R R

mR J a R R i J -=++ 上式除以R 1

mgR Mi a R

mR J i J -=++2

221 2

212)(J i J mR R mgR Mi a ++-=

11-18 半径为R 、质量为m 的均质圆盘，沿倾角为θ的斜面作纯滚，如图11-41所示。

不计滚动阻碍，试求：(1)圆轮质心的加速度；(2)圆轮在斜面上不打滑的最小静摩擦因数。

图11-41

(1) 圆盘的平面运动微分方程

)(e C C e

y Cy e

x Cx M J F m a F m a F ∑=∑=∑=α

F mg ma C -=θsin (1)

θcos 0N mg F -= (2)

Fr J C =α (3)

αr a C = (4)

由式(3)、(4)得 C ma F 21=

代入式(1) θsin 3

2g a C = 由式(2) θcos N mg F =

(2) θμμθcos sin 3

1s N s mg F mg F =≤= θμtan 31s ≥ θμtan 3

1min s =

11-19 均质圆柱体A 的质量为m ，在外圆上绕以细绳，绳的一端B 固定不动，如图11-42所示。圆柱体因解开绳子而下降，其初速度为零。试求当圆柱体的轴心降落了高度h 时轴心的速度和绳子的张力。

图11-42

T F mg ma A -= (1)

R F J C T )(-=-α R F R

a mR A T 2

21= T 21F ma A = (2) 由式(1)、(2)得

g a A 32=

mg F 3

1T = gh h g h a v A A 3323222=??==

11-20 如图11-43所示，有一轮子，轴的直径为50mm ，无初速地沿倾角?=20θ的轨

道滚下，设只滚不滑，5秒内轮心滚过距离s =3m 。试求轮子对轮心的回转半径。

图11-43

与习题11-18类似，此处 2ρm J C =

F mg ma C -=θsin (1)

θcos 0N mg F -= (2)

Fr J C =α (3)

αr a C = (4)

由式(3)、(4)得 22

r a m F C ρ= 代入式(1) 22/1sin r

g a C ρθ+= 而 221t a s C = 24.05

32222=?==t s a C 即 24.0/120sin 22=+?r

g ρ )124

.020sin (22-?=g r ρ mm 02.909658.1225124

.020sin 8.925124.020sin ==-??=-?=g r ρ

11-21 重物A 质量为m 1，系在绳子上，绳子跨过不计质量的固定滑轮D ，并绕在鼓轮B 上，如图11-44所示。由于重物下降，带动轮C 沿水平轨道滚动而不滑动。设鼓轮半径为r ，轮C 的半径为R ，两者固连在一起，总质量为m 2，对于其水平轴O 的回转半径为ρ。试求重物A 的加速度。

图11-44

重物A

T 11F g m a m A -=

A a m g m F 11T -= (1)

鼓轮B 和轮C

FR r F J O O --=-T )(α

FR r F r

R a m A +=+T 22ρ (2) F F a m O -=T 2

F F R r

R a m A -=+T 2 (3)

由式(2)、(3)消去F 得

R F r F R r

R a m r R a m A A T T 222

2+=+++ρ )(T 2

22r R F r R R a m A +=++ρ 将式(1)代入上式

))((11222r R a m g m r

R R a m A A +-=++ρ )()(112

22r R g m r R a m r

R R a m A A +=++++ρ )

()()(222212

1R m r R m r R g m a A ++++=ρ

11-22 半径为r 的均质圆柱体质量为m ，放在粗糙的水平面上，如图11-45所示。设其中心C 的初速度为v 0，方向水平向右，同时圆柱如图所示方向转动，其初角速度为w 0，且有r w 0

图11-45

由 mg F F ma C μμ-=-=-=N

得 g a C μ-=

由 Fr J C -=-)(α mgr mr μα=22

1

得 r

g μα2=

gt v t a v v C C μ-=+=00 t r

g t μωαωω200+=+= 纯滚时 ωr v C = 即 gt r gt v μωμ200+=-

gt r v μω300=-

g

r v t μω300-= 32000ωμr v gt v v C +=

-=

11-23 如图11-46所示，长为l ，质量为m 的均质杆AB 一端系在细索BE 上，另一端放在光滑平面上，当细索铅直而杆静止时，杆对水平面的倾角f ＝45o，现细索突然断掉，试求杆A 端的约束反力。

图11-46

细索突然断掉瞬时 0=ω

质心运动守恒，C 点沿铅垂线向下运动

基点法(以A 为基点，分析C 点)

n τCA

CA A C a a a a ++= 0n =CA a

τCA A C a a a +=

?cos τCA C a a = (1)

平面运动微分方程

C ma G F -=-N (2)

?αcos 2

)(121N 2l F ml -=- (3) 由式(1)代入式(2)得 ?αcos 2

N l

m mg F ?-= 再代入式(3)得 l g l gl )cos 31(cos 6)cos 4

1121(cos 2222????α+=+= 由(3)得 ?

?α2N cos 31cos 6+==

mg ml F 当?=45?时，mg F 52N =

11-24 如图11-47所示的均质长方体质量为50kg ，与地面间的动摩擦因数为0.2，在力F 作用下向右滑动。试求：(1)不倾倒时力F 的最大值；(2)此时长方体的加速度。

图11-47

长方体平动 0=α

平面运动微分方程

C ma F F =-d 5

4 (1) 05

3N =-+mg F F (2) )150(3001505

3300540N d d F F F F -?+?-?+?-= (3) )5

3(N d F mg F F -==μμ

临界状态 0=d

由式(3)得 0150300150N d =+--F F F

02N d =+--F F F

0)21(N =-+-F F μ 0)5

3)(21(=--+-F mg F μ 0)21(]5

3

)21(1[=-+-+-mg F μμ

N 18.21636.16.05

)4.01(1)4.01(5)21(1)21(==?-+-=-+-=mg mg mg F μμ 此时 )53(d F mg F -=μ 由式(1)得

50

8.9502.02.21692.02.092.0)53(5454d ??-?=-=--=-=m mg F m F mg F m F F a C μ 2m /s 02.2=C a

11-25 如图11-48所示的均质长方形板放置在光滑水平面上。若点B 的支承面突然移开，试求此瞬时点A 的加速度。

图11-48

点B 的支承面突然移开 0=ω

质心运动守恒，C 点沿铅垂线向下运动

基点法(以A 为基点，分析C 点)

n τCA

CA A C a a a a ++= 0n =CA a

τCA A C a a a +=

?cos τCA C a a =

αAC a CA =τ

故 α?α2

cos l AC a C =

= (1) 平面运动微分方程 A C F mg ma -= (2)

2

))((12122l F b l m A -=-+α (3) 由式(1)代入式(2)得 α2l m mg F A ?-=

再代入式(3)得 2

)2())((12122l l m mg b l m αα?--=-+

2

22

224641)(1212b l gl ml b l m mgl +=++=α 222

432b

l gl l a C +==α 222224343tan b

l glb l b b l gl a a C A +=?+==?

11-26 均质细长杆AB ，质量为m ，长为l ，CD ＝d ，与铅垂墙间的夹角为θ，D 棱是光滑的。在图11-49所示位置将杆突然释放，试求刚释放时，质心C 的加速度和D 处的约束力。

图11-49

e x Cx F ma ∑= θcos D Cx F ma = (1)

e y Cy F ma ∑= mg F ma D Cy -=θsin (2)

)(e C C M J F ∑=α d F ml D =α212

1 (3) 基点法(以D 为基点，分析C 点)

τn τD C D D C D C D C a a a a a a +=++= (0n =DC a )

θθcos sin τCD D Cx a a a -= (4)

θθs i n c o s τCD D Cy a a a --= (5)

由(3)得 d

ml F D 122α= (6) 将式(4)、(5)、(6)代入(1)、(2)

θαθθcos 12)cos sin (2τd

ml a a m CD

D =- mg d ml a a m CD D -=--θαθθsin 12)sin cos (2τ 即

θαθθcos 12)cos sin (2τd

ml a a m CD

D =- mg d

ml a a m CD D -=--θαθθsin 12)sin cos (2τ θαθcot 12cot 2τd

l a a CD D =- (7) θθαθcos tan 12tan 2τg d l a a CD D -=-- (8) (7)+(8)得

θθθα?θcos )cot (tan 12)cot (tan 2τ

g d l a CD

-+=+-

αd a CD =τ

2

22

12sin 12)cot )(tan 12(cos l d dg d l d g +=++=θθθθα 代入(3)得

22212sin l

d m gl F D +=θ 由(1)得 22212cos sin cos l

d gl m F a D Cx +==θθθ 由(2)得 g l

d l d m mg F a D Cy 2222212cos 12sin ++-=-=θθ

11-27 均质圆柱体A 和B 的质量均为m ，半径均为r ，一绳缠在绕固定轴O 转动的圆柱A 上，绳的另一端绕在圆柱B 上，如图11-50所示。摩擦忽略不计。试求：(1)圆柱体B 下落时质心的加速度；(2)若在圆柱体A 上作用一逆时针转向，矩为M 的力偶，试问在什么条件下圆柱体B 的质心加速度将向上。

图11-50

(1)

圆柱体A

r F J A O T )(-=-α r F r

a m r A T 221= T 2

1F ma A = (1) 圆柱体B

r F J B B T )(-=-α r F r

a a mr A B T 221=- T )(2

1F a a m A B =- (2) T F mg ma B -= (3)

式(1)+(2)，得

T 22

1F ma B = 4

T B ma F = 代入式(3)，得

g a B 5

4= (2)

圆柱体A

r F M J A O T -=α r F M r

a mr A T 221-= T 21F r

M ma A -= (1) 圆柱体B

r F J B B T )(-=-α r F r

a a mr B A T 2)(21-=-- T )(2

1F a a m A B -=- (2) mg F ma B -=T (3)

式(1)+(2)，得

T 221F r

M ma B -= B ma r M F 4

12T -= 代入式(3)，得 mg ma r M ma B B --=

4

12 mg r

M ma B -=245 0>B a

得 mgr M 2>

11-28 如图11-51所示，重为350N 的平板放在两个相同的圆柱体上，圆柱体半径为r ，重量为130N ，斜面倾角为20o。今在板上作用一平行于斜面的力F T ，设在平板与圆柱体之间以及圆柱体与斜面之间没有滑动。试求：(1)平板以加速度a ＝1.8m/s 2沿斜面上升时F T 力的大小；(2)去掉F T 力后平板的加速度。

图11-51

(1)

分析一个圆柱体(另一圆柱体相同)

2/a a C = )2/(/r a r a C ==α

θsin 2122g m F F a m C --=

r F F r m )(2

212

2+=α 即

θsin 2

2122g m F F a m --= (1) 2124

F F a m += (2) 由式(1)+(2)得

θsin 243222g m F a m -= θs i n 4

32222g m a m F +=

(3) 板 a m g m F F F 1122T sin =---θ a m g m F F 112T sin 2++=θ

a m g m g m a m 1122s i n s i n 4

3+++=θθ θsin )()4

3(2121g m m a m m +++= ?++??+=20sin )130350(8.18

.913043350 17.16419.82+=

N 36.246=

(2)

分析一个圆柱体(另一圆柱体相同) 2/a a C = )2/(/r a r a C ==α

1222sin F F g m a m C -+=θ r F F r m )(2

212

2+=α 即

1222sin 2

F F g m a m -+=θ (1) 2124

F F a m += (2)

由式(1)+(2)得 θsin 24

3222g m F a m += (3) 板 a m F F g m 1221sin =--θ 2112sin F g m a m -=θ (4) 由式(3)+(4)得

θsin )()4

3(2121g m m a m m +=+ 21214

3sin )(m m g m m a ++=θ 2m /s 585.320sin 5.4474801304335020sin )130350(=?=?+?+=g g a

第10章动量定理习题

第10章 动量定理习题 1.是非题（对画√，错画×） 10-1.质点的动量与冲量是等价的物理量。（ ） 10-2.质点系的动量等于外力的主矢量。（ ） 10-3.质点系动量守恒是指质点系各质点的动量不变。（ ） 10-4.质心运动守恒是指质心位置不变。（ ） 10-5.质点系动量的变化只与外力有关，与内力无关。（ ） 2.填空题（把正确的答案写在横线上） 10-6.各均质物体，其质量均为m ，其几何尺寸及运动速度和角速度，如图所示。则各物体的动量为（a ） ；(b) ；（c ） ；(d) 。 题10-6图 (a) (b) (C) (d) 10-7.一质量为m 的质点作圆周运动，如图所示。当点位于点A 点时，其速度大小为1v ，方向为铅垂向上，当运动到点B 时，其速度大小为2v ，方向为铅垂向下，则质点从点A 点运动到点B 时，作用在该质点上力的冲量大小为 ；冲量的方向为 。 A B 2 题10-7图 题10-9图

3.简答题 10-8.质点作匀速圆周运动，则质点的动量守恒吗？ 10-9.两物块A 、B ，质量分别为A m 、B m ，初始静止。如A 沿斜面下滑的相对速度为r v ，如图所示。若物块B 的速度为v ，则根据动量守恒，有 v m cos v m B r A =θ 对吗？ 10-10.小球沿水平面运动，碰到铅直墙壁后返回，设碰撞前和后小球的速度大小相等，则作用在小球上力的冲量等于零。此说法对吗？为什么？ 10-11.刚体受有一群力的作用，无论各力的作用点如何，刚体质心的加速度都不变吗？ 4.计算题 10-12.有一木块质量为2.3kg ，放在光滑的水平面上。一质量为0.014kg 的子弹沿水平方向射入后，木块以速度3m/s 前进，试求子弹射入前的速度。 10-13.跳伞者质量为60kg ，从停留在高空中的直升飞机中跳出，落下100m 后，将伞打开。设开伞前的空气阻力忽略不计，伞重不计，开伞后所受的阻力不变，经5s 后跳伞者的速度减为4.3m/s ，试求阻力的大小。 10-14.电动机的质量为M ，放在光滑的基础上，如图所示。电动机的转子长为l ，质量为1m ，转子的另一端固结一质量为2m 的小球，已知电动机的转子以匀角速度ω转动，使求：（1）电动机定子的水平运动方程；（2）若将电动机固定在基础上，作用在螺栓上的水平和竖直约束力的最大值。 题10-14图 题10-15图 10-15.如图所示的曲柄滑块机构，设曲柄OA 以匀加速度ω绕O 轴转动，滑块B 沿水平方向滑动。已知OA=AB=l ，OA 及AB 为均质杆，其质量均为1m ，滑块B 的质量为2m 。 试求：（1）系统质心的运动方程；（2）质心的轨迹；（3）系统的动量。 10-16.如图所示质量为1m 的小车A ，悬挂一质量为2m 的单摆B ，单摆的摆长为l ，按规律kt sin o ??=摆动，其中k 为常数。不计水平面的摩擦和摆杆的质量，试求小车的运动方程。

梁坤京理论力学第十二章动量矩定理课后答案

动量矩定理 1２－１ 质量为m 的点在平面Ｏx ｙ内运动,其运动方程为: t b y t a x ωω2sin cos == 式中a 、b 和ω为常量。求质点对原点Ｏ的动量矩。 解:由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度 t b t y v t a t x v y x ωωωω2cos 2d d sin d d ==-== 质点对点O 的动量矩为 t a t b m t b t a m x mv y mv m M m M L y x O O ωωωωωωcos 2cos 22sin )sin ()()(0??+?-?-=?+?-=+=y x v v ? t mab ωω3 cos 2= 1２-3 如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A ,质心为Ｃ，A Ｃ ＝ e ；轮子半径为Ｒ，对轴心A 的转动惯量为ＪA ;C 、Ａ、B 三点在同一铅直线上。（１)当轮子只滚不滑时，若v Ａ已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。（２)当轮子又滚又滑时，若v A 、ω已知,求轮子的动量和对地面上Ｂ点的动量矩。 解：(1)当轮子只滚不滑时B 点为速度瞬心。 ? 轮子角速度R v A =ω? 质心C 的速度)(e R R v C B v A C += =ω? ?轮子的动量(A C mv R e R mv p += =?方向水平向右） ?对Ｂ点动量矩ω?=B B J L ? 由于? 2 22)( )( e R m me J e R m J J A C B ++-=++= 故[ ] R v e R m me J L A A B 2 2)( ++-=? (２）当轮子又滚又滑时由基点法求得C 点速度。 e v v v v A CA A C ω+=+= 轮子动量( )(e v m mv p A C ω+==?方向向右） 对B 点动量矩 ) ( )()()( )( 2e mR J e R mv me J e R e v m J BC mv L A A A A C C B +++=-+++=+=ωωωω 12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为50 m ｍ，无初速地沿倾角?=20θ的轨道滚下,设只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为s = 3 m 。试求轮子对轮心的惯性半径。 解:取轮子为研究对象,轮子受力如图(ａ）所示，根据刚体平面运动微分方程有 ? F mg ma C -=θsin ? (1) J Ｃα = Ｆr ? ?（2） 因轮子只滚不滑，所以有 a Ｃ ＝αr （3）

第11章 动量定理(田)

第十一章动量定理 11-1如图所示，质点的质量为ｍ，以匀速率ｖ沿圆周逆钟向运动。经过一定的时间后，质点由点Ａ运动到Ｂ点，则作用在该质点上的力在此时间内的冲量大小为多少？（答：S x= -m v；S y= -m v） 11-2如图所示匀质圆盘质量为ｍ，半径为Ｒ，可绕轮缘上垂直于盘面的轴转动，转动角速度为ω。试计算圆盘在图示瞬间的动量，并标出其方向。（答：mRω竖直向上） 11-3如图所示机构中，曲柄Ｏ１Ａ，Ｏ２Ｂ和连杆ＡＢ皆可视为质量为ｍ、长为２ｒ的匀质细杆，图示瞬时，连杆ＡＢ水平，曲柄Ｏ１Ａ，Ｏ２Ｂ铅直。曲柄Ｏ１Ａ角速度为ω，试计算系统的动量，并标出其方向。（答：4mωv） 11-4物体Ａ和Ｂ各重ＧＡ和ＧＢ，ＧＡ＞ＧＢ；滑轮重Ｇ，并可看作半径为ｒ的匀质圆盘。不计绳索的质量，试求物体Ａ的速度是ｖ时整个系统的动量。（答：K x=0；K y= -（G A-G B）v/g）

11-5正方形框架ABCD的质量是m1，边长为ｌ，以角速度ω１绕定轴转动；而匀质圆盘的质量是m2，半径是ｒ，以角速度ω２绕重合于框架的对角线ＢＤ的中心轴转动。试求这物体系的动量。（答：K=（m1+m2）lω/2，方向为垂直框架平面，顺着ω前进方向。） 11-6跳伞者质量为60kg，自停留在高空中的直升飞机中跳出，落下100m后，将降落伞打开。设开伞前的空气阻力略去不计，伞重不计，开伞后所受的阻力不变，经５ｓ后跳伞者的速度减为4.3ｍ／ｓ。求阻力的大小。（答：1068N） 11-7水流以速度V０=2m/s流入固定水遭，速度方向与水平面900角。如图所示；水流进口截面积为0.02m ２，出口速度V 0角．求水作用在水道壁上的水平和铅垂的附加压力。 1=4m/s。它与水平面成30 （答：F x=-138.6N，F y=0）

理论力学(机械工业出版社)第十章动量定理习题解答

习 题 10-1 计算图10-7所示各种情况下系统的动量。 (1) 如图10-7a 所示，质量为m 的匀质圆盘沿水平面滚动，圆心 O 的速度为0 v ；(2) 如图10-7b 所示，非匀质圆盘以角速度ω绕O 轴 转动，圆盘质量为m ，质心为C ，偏心距OC=a ；(3) 如图10-7c 所示，胶带轮传动，大轮以角速度ω转动。设胶带及两胶带轮为匀质的；(4) 如图10-7d 所示，质量为m 的匀质杆，长度为l ，绕铰O 以角速度ω转动。 图10-7 (a) 0v p m =； (b) ω ma p =（方向与C 点速度方向相同）； (c) 0=p ； (d) 2ωml p = （方向与C 点速度方向相同）。 10-2 如图10-8所示，椭圆规尺AB 的质量为2m 1，曲柄OC 的质量为m 1，而滑块A 和B 的质量均为m 2。已知：OC =AC =CB = l ；曲柄和尺的质心分别在其中点上；曲柄绕O 轴转动的角速度ω为常量。当开始时，曲柄水平向右，试求此时质点系的动量。 图10-8 方法一

C AB C OC B B A A m m m m v v v v p ++ +=2 C C B A m m m m v v v v 112222+++= C B A m m v v v 122 5)(+ += 因 )c o s s i n (j i v ??ω+-=l C j v ?ωcos 2l A = i v ?ωs i n 2l B -= 故 )cos sin (2 5)sin 2cos 2(12j i i j p ??ω?ω?ω+-+ -=l m l l m )cos sin (2 452 1j i ??ω+-+= l m m (与v C 方向相同) 方法二 规尺AB 、滑块A 和B 质心C 处，质量为2(m 1+m 2) 因此系统质心在OC 上，离O 轴距离 m l m m m l m m l m 2 45)(22 2 1211+= ++? = ξ 质心速度 ω ξωξl m m m m 2 452 1+= ==v p (方向垂直于OC ) 10-3 跳伞者质量为60kg ，自停留在高空中的直升飞机中跳出，落下100m 后，将降落伞打开。设开伞前的空气阻力略去不计，伞重

理论力学(机械工业出版社)第十一章动量矩定理习题解答

习 题 11-1 质量为m 的质点在平面Oxy 内运动，其运动方程为：t b y t a x ωω2sin ,cos ==。其中a 、b 和w 均为常量。试求质点对坐标原点O 的动量矩。 t a x v x ωωsin -== t b y v y ωω2cos 2== x mv y mv L y x O +-= )cos 2cos 22sin sin (t a t b t b t a m ωωωωωω?+?= )cos 2cos 22sin (sin t t t t mab ωωωωω?+?= )cos 2cos 2cos sin 2(sin t t t t t mab ωωωωωω?+?= )2cos (sin cos 22t t t mab ωωωω+= t mab ωω3cos 2= 11-2 C 、D 两球质量均为m ，用长为2 l 的杆连接，并将其中点固定在轴AB 上，杆CD 与轴AB 的交角为θ，如图11-25所示。如轴AB 以角速度w 转动，试求下列两种情况下，系统对AB 轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m 。 图11-25 (1) θθ222sin 2)sin (2ml l m J z =?= θω22sin 2l m L z = (2) θθ220 2sin 3 2d )sin (2ml x x l m J l z ==?杆 θ22sin 3 8 ml J z = θ ω22sin 3 8 l m L z = 11-3 试求图11-26所示各均质物体对其转轴的动量矩。各物体质量均为m 。 图11-26 (a) ω23 1ml L O = (b) 22291)6(121ml l m ml J O =+= ω29 1ml L O -=

(物理)物理动量定理练习题20篇及解析

（物理）物理动量定理练习题20篇及解析 一、高考物理精讲专题动量定理 1．如图所示,固定在竖直平面内的4光滑圆弧轨道AB与粗糙水平地面BC相切于B点。质量m=0.1kg的滑块甲从最高点A由静止释放后沿轨道AB运动,最终停在水平地面上的C 点。现将质量m=0.3kg的滑块乙静置于B点,仍将滑块甲从A点由静止释放结果甲在B点与乙碰撞后粘合在一起,最终停在D点。已知B、C两点间的距离x=2m,甲、乙与地面间的动摩擦因数分别为=0.4、=0.2,取g=10m/s,两滑块均视为质点。求: (1)圆弧轨道AB的半径R; (2)甲与乙碰撞后运动到D点的时间t 【答案】(1) (2) 【解析】 【详解】 （1）甲从B点运动到C点的过程中做匀速直线运动，有：v B2=2a1x1； 根据牛顿第二定律可得： 对甲从A点运动到B点的过程，根据机械能守恒： 解得v B=4m/s；R=0.8m； （2）对甲乙碰撞过程，由动量守恒定律：； 若甲与乙碰撞后运动到D点，由动量定理： 解得t=0.4s 2．如图甲所示，物块A、B的质量分别是m A＝4.0kg和m B＝3.0kg．用轻弹簧拴接，放在光滑的水平地面上，物块B右侧与竖直墙壁相接触．另有一物块C从t＝0时以一定速度向右运动，在t＝4s时与物块A相碰，并立即与A粘在一起不分开，C的v－t图象如图乙所示．求： （1）C的质量m C； （2）t＝8s时弹簧具有的弹性势能E p1 （3）4—12s内墙壁对物块B的冲量大小I 【答案】(1) 2kg (2) 27J (3) 36N s× 【解析】

（1）由题图乙知，C与A碰前速度为v1＝9m/s，碰后速度大小为v2＝3m/s，C与A碰撞过程动量守恒 m C v1＝(m A＋m C)v2 解得C的质量 m C＝2kg． （2）t＝8s时弹簧具有的弹性势能 E p1＝1 2 (m A＋m C)v22=27J （3）取水平向左为正方向，根据动量定理，4~12s内墙壁对物块B的冲量大小 I=(m A＋m C)v3-(m A＋m C)（-v2）=36N·s 3．一质量为m的小球，以初速度v0沿水平方向射出，恰好垂直地射到一倾角为30°的固 定斜面上，并立即沿反方向弹回．已知反弹速度的大小是入射速度大小的3 4 .求在碰撞过程 中斜面对小球的冲量的大小． 【答案】7 2 mv0 【解析】 【详解】 小球在碰撞斜面前做平抛运动，设刚要碰撞斜面时小球速度为v，由题意知v的方向与竖直线的夹角为30°，且水平分量仍为v0，由此得v＝2v0.碰撞过程中，小球速度由v变为反 向的3 4 v，碰撞时间极短，可不计重力的冲量，由动量定理，设反弹速度的方向为正方 向，则斜面对小球的冲量为I＝m 3 () 4 v－m·(－v) 解得I＝7 2 mv0. 4．在距地面20m高处，某人以20m/s的速度水平抛出一质量为1kg的物体，不计空气阻力（g取10m/s2）。求 （1）物体从抛出到落到地面过程重力的冲量； （2）落地时物体的动量。 【答案】（1）20N?s，方向竖直向下（2）202kg m/s ，与水平方向的夹角为45°

012 第十二章 动量矩定理

第12章 动量矩定理 通过上一章的学习我们知道动量是表征物体机械运动的物理量。但是在某些情况下，一个物体的动量不足以反映它的运动特征。例如，开普勒在研究行星运动时发现，行星在轨道上各点的速度不同，因而动量也不同，但它的动量的大小与它到太阳中心的距离之乘积—称为行星对太阳中心的动量矩，总是保持为常量，可见，在这里，行星对太阳中心的动量矩比行星的动量更能反映行星运动的特征。 在另一些情况下，物体的动量则完全不能表征它的运动。例如，设刚体绕着通过质心C 的z 轴转动。因为不论刚体转动快慢如何，质 心速度C v 总是等于零，所以刚体的动量也总是零。但是，刚体上各质点的动量大小与其到z 轴的距离的乘积之和—即刚体对z 轴的动量矩却不等于零。可见，在这里，不能用动量而必须用动量矩来表征刚体的运动。 §12-1 质点动量矩定理 例2.人造地球卫星本来在位于离地面600km h =的圆形轨道上，如图所示，为使其进入410km r =的另一圆形轨道，须开动火箭，使卫星在A 点的速度于很短时间内增加0.646km/s ，然后令其沿椭圆轨道自由飞行到达远地点B ，再进入新的圆形轨道。问：（1）卫星在椭圆轨道的远地点B 处时的速度是多少？（2）为使卫星沿新的圆形轨道运行，当它到达远地点B 时，应如何调整其速度？大气阻力及其它星球的影响不计。地球半径6370km R =。 图12-5 解：首先求出卫星在第一个圆形轨道上的速度，可由质点动力学方程求出。卫星运行时只受地球引力的作用，即 2 2 () R F mg R x =+ 式中x 是卫星与地面的距离。当卫星沿第一圆形轨道运动时，有

22 2 ()()v R m mg R h R h =++ 即 2 2 () gR v R h =+ （b ） 将6370km R =，600km h =，9.8m/s g =代入上式，得卫星在第一个圆形轨道上运动的速度 17.553km/s v = 所以卫星在椭圆轨道上的A 点的速度为 7.5530.6468.199km/s A v =+= 卫星在椭圆轨道上运动时，仍然只受地球引力作用，而该引力始终指向地心O ，对地以O 的矩等于零，所以卫星对地心O 的动量矩应保持为常量。设卫星在远地点B 的速度为B v ，则有 A A B B r v r v = 所以 4 63706008.199 5.715km/s 10A B A B r v v r += ?=?= 设卫星沿新的圆形轨道运行时所需的速度为2v ，则 22 2 2 4 9.86370 6.306km/s 10gR v r ?=== 由此可见，为使卫星沿着第二个圆形轨道运行，当它沿椭圆轨道到达B 点时，应再开动火箭，使其速度增加一个值 20.591km/s B B v v v ?=-= 顺便指出，在（b ）式中令0h →，就得到7.9km/s v =，这就是为使卫星在离地面不远处作圆周运动所需的速度，称为第一宇宙速度。 §12-2 质点系动量矩定理 例1.质量为1m 、半径为R 的均质圆轮绕定轴O 转动，如图所示。轮上缠绕细绳,绳端悬挂质量为2m 的物块,试求物块的加速度。均质圆 轮对于O 轴的转动惯量为211 2 O J m R =。

《理论力学》第十一章动量矩定理习题解

y x 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2 3t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|2 2m x t C =?== )(1624|22m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,=??=

平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c 1 O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443( 2 2 2 g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω211ml J L z O O == 解：)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： ) (11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω

理论力学课后习题答案 第10章 动能定理及其应用 )

C v ? A B C r v 1 v 1 v 1 ω?(a) C C ωC v ωO (a) 第10章 动能定理及其应用 10－1 计算图示各系统的动能： 1．质量为m ，半径为r 的均质圆盘在其自身平面内作平面运动。在图示位置时，若已知圆盘上A 、B 两点的速度方向如图示，B 点的速度为v B ，= 45o（图a ）。 2．图示质量为m 1的均质杆OA ，一端铰接在质量为m 2的均质圆盘中心，另一端放在水平面上，圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为v （图b ）。 3．质量为m 的均质细圆环半径为R ，其上固结一个质量也为m 的质点A 。细圆环在水平面上作 纯滚动，图示瞬时角速度为 （图c ）。 解： 1．2 22222163)2(2121)2(212121B B B C C C mv r v mr v m J mv T =?+=+= ω 2．2 22122222214321)(21212121v m v m r v r m v m v m T +=?++= 3．2 2222222)2(2 12121ωωωωmR R m mR mR T =++= 10－2 图示滑块A 重力为1W ，可在滑道内滑动，与滑块A 用铰链连接的是重力为2W 、长为l 的匀质杆AB 。现已知道滑块沿滑道的速度为1v ，杆AB 的角速度为1ω。当杆与铅垂线的夹角为?时，试求系统的动能。 解：图（a ） B A T T T += )2 121(21222211ωC C J v g W v g W ++= 21 221121212211122]cos 22)2 [(22ω?ωω??+?++++=l g W l l v l v l g W v g W ]cos 3 1 )[(2111221222121?ωωv l W l W v W W g +++= 10－3 重力为P F 、半径为r 的齿轮II 与半径为r R 3=的固定内齿轮I 相啮合。齿轮II 通过匀质的曲柄OC 带动而运动。曲柄的重力为Q F ，角速度为ω，齿轮可视为匀质圆盘。试求行星齿轮机构的动能。 解： C OC T T T += 2222)21(212121C C C C OC O r m v m J ωω++= 22P 2P 22Q )2(41)2(21])2(31[21r r r g F r g F r g F ωωω++= 习题10－2图 习题10－3图 B v A C θ (a) v O ω A 习题10－1图 (b) (c) A

第11章动矩定理

第11章 动量矩定理 上一章我们学习了动量定理，它只是从一个侧面反映物体间机械运动传递时，动量的变化与作用在物体上力之间的关系。但当物体作定轴转动时，若质心在转轴上，则物体动量等于零，可见对于转动刚体而言，动量不再用来描述转动物体的物理量。在这一章里我们学习描述转动物体的物理量——动量矩，以及作用在物体上力之间的关系。 11.1 动量矩定理 11.1.1质点和质点系动量矩 1．质点的动量矩 如图11-1所示，设质点在图示瞬时A 点的动量为m v ,矢径为r ，与力F 对点O 之矩的矢量表示类似，定义质点对固定点O 的动量矩为 v r v M m ×=)(m o （11-1） 图11-1 图11-2 质点对固定点O 的动量矩是矢量，方向满足右手螺旋法则，如图11-1所示，大小为固 定点O 与动量AB 所围成的三角形面积的二倍，即 mvh =OAB =)(m M 0的面积Δ2v 其中，h 为固定点O 到AB 线段的垂直距离，称为动量臂。 单位为kg.m 2/s 。

质点的动量对固定轴z 的矩与力F 对固定轴z 的矩类似，如图11-2所示，质点的动量v m 在oxy 平面上的投影xy )m (v 对固定点O 的矩，定义质点对固定轴z 的矩，同时也等于质点对固定点O 的动量矩在固定轴z 上的投影。质点对z 轴的动量矩是代数量，即 z o xy o m =m M =m M Z )]([])[()(v M v v （11-2） 2．质点系的动量矩 质点系对固定点O 的动量矩等于质点系内各质点对固定点O 的动量矩的矢量和，即 ∑==n i i i o )(m 1v M L o （11-3） 质点系对固定轴z 的矩等于质点系内各质点对同一轴z 动量矩的代数和，即 Z o n i i i z z )(m =L ][L v M =∑=1 （11-4） 刚体作平移时动量矩的计算：将刚体的质量集中在刚体的质心上，按质点的动量矩计 算。 刚体作定轴转动时动量矩的计算： 设定轴转动刚体如图11-3所示，其上任一质点i 的质量为m i ，到转轴的垂直距离为i r ，某瞬时的角速度为ω，刚体对转轴z 的动量矩由式（11-4）得 图11-3 ω J =ω)r m (=) r ωr (m =)r v (m =)(m M =L z n i i i n i i i i n i i i i n i i i z ∑∑∑∑====1 21 1 1v z 即 ωJ =L z z （11-5）

动量定理练习题

【典型例题】 1.关于冲量、动量与动量变化的下述说法中正确的是（ ） A ．物体的动量等于物体所受的冲量 B ．物体所受外力的冲量大小等于物体动量的变化大小 C ．物体所受外力的冲量方向与物体动量的变化方向相同 D ．物体的动量变化方向与物体的动量方向相同 2.A 、B 两个物体静止在光滑水平面上，当分别受到大小相等的水平力作用，经相等时间，则正确的是（ ） A ．A 、 B 所受的冲量相同 B ．A 、B 的动量变化相同 C ．A 、B 的末动量相同 D ．A 、B 的末动量大小相同 3.在光滑的水平面上, 两个质量均为m 的完全相同的滑块以大小均为P 的动量相向运动, 发生正碰, 碰后系统的总动能不可能是（ ） A ．0 B ． p 2/m C ． p 2/2m D ．2p 2/m 4.2005年7月26日，美国“发现号”航天飞机从肯尼迪航天中心发射升空，飞行中一只飞鸟撞上了航天飞机的外挂油箱，幸好当时速度不大，航天飞机有惊无险.假设某航天器的总质量为10 t ，以8 km/s 的速度高速运行时迎面撞上一 只速度为10 m/s 、质量为5 kg 的大鸟，碰撞时间为1.0×10-5 s ，则撞击过程中的平均作用力约为（ ） A.4×109 N B .8×109 N C.8×1012 N D.5×106 N 5.在光滑的水平面的同一直线上，自左向右地依次排列质量均为m 的一系列小球，另一质量为m 的小球A 以水平向右的速度v 运动，依次与上述小球相碰，碰后即粘合在一起，碰撞n 次后，剩余的总动能为原来的1/8，则n 为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 6.如图所示，质量为m 的小车静止于光滑水平面上，车上有一光滑的弧形轨道，另一质量为m 的小球以水平初速沿轨道的右端的切线方向进入轨道，则当小球再次从轨道的右端离开轨道后，将作（ ） A ．向左的平抛运动； B ．向右的平抛运动； C ．自由落体运动； D ．无法确定. 7.质量M ＝100 kg 的小船静止在水面上，船首站着质量m 甲＝40 kg 的游泳者甲，船尾站着质量m 乙＝60 kg 的游泳者乙，船首指向左方，若甲、乙两游泳者同时在同一水平线上甲朝左、乙朝右以3 m/s 的速率跃入水中，则（ ） A ．小船向左运动，速率为1 m/s B ．小船向左运动，速率为0.6 m/s C ．小船向右运动，速率大于1 m/s D ．小船仍静止 8.如图所示，两个质量都为M 的木块A 、B 用轻质弹簧相连放在光滑的水平地面上，一颗质量为m 的子弹以速度v 射向A 块并嵌在其中，求弹簧被压缩后的最大弹性势能。 【针对训练】 1.A 、B 两球质量相等，A 球竖直上抛，B 球平抛，两球在运动中空气阻力不计，则下述说法中正确的是（ ） A ．相同时间内，动量的变化大小相等，方向相同 B ．相同时间内，动量的变化大小相等，方向不同 C ．动量的变化率大小相等，方向相同 D ．动量的变化率大小相等，方向不同 2.在水平地面上有一木块，质量为m ，它与地面间的滑动摩擦系数为μ。物体在水平恒力F 的作用下由静止开始运动，经过时间t 后撤去力F 物体又前进了时间2t 才停下来。这个力F 的大小为（ ） A ．μmg B ．2μmg C ．3μmg D ．4μmg 3.甲、乙两球在光滑水平轨道上同向运动，已知它们的动量分别是p 甲=5 kg ·m/s ，p 乙=7 kg ·m/s ，甲追乙并发生碰撞，碰后乙球的动量变为p 乙′=10 kg ·m/s ，则关于甲球动量的大小和方向判断正确的是( ) A ．p 甲′=2kg ·m/s ，方向与原来方向相反 B ．p 甲′=2kg ·m/s ，方向与原来方向相同 C ．p 甲′=4 kg ·m/s ，方向与原来方向相反 D ．p 甲′=4 kg ·m/s ，方向与原来方向相同 4.篮球运动员接传来的篮球时，通常要先伸出两臂迎接，手接触到球后，两臂随球迅速引至胸前．这样做可以( ) A ．减小球对手的冲量 B ．减小球的动量变化率 C ．减小球的动量变化量 D ．减小球的动能变化量

动量定理的应用练习题及答案

三 动量定理的应用 姓名 一、选择题（每小题中至少有一个选项是正确的） 1、在下列各种运动中，任何相等的时间内物体动量的增量总是相同的有（ ） A 、匀加速直线运动 B 、平抛运动 C 、匀减速直线运动 D 、匀速圆周运动 2、质量为5 kg 的物体，原来以v=5 m/s 的速度做匀速直线运动，现受到跟运动方向相同的冲量15 N ·s 的作用，历时4 s ，物体的动量大小变为 ( ) A.80 kg ·m/s B.160 kg ·m/s C.40 kg ·m/s D.10 kg ·m/s 3、用力拉纸带，纸带将会从重物下抽出，解释这些现象的正确说法是：（ ） A 、在缓慢拉动纸带时，纸带给物体的摩擦力大； B 、在迅速拉动纸带时，纸带给物体的摩擦力小； C 、在缓慢拉动纸带时，纸带给重物的冲量大； D 、在迅速拉动纸带时，纸带给重物的冲量小． 4、从同一高度的平台上，抛出三个完全相同的小球，甲球竖直上抛，乙球竖直下抛，丙球平抛．三球落地时的速率相同，若不计空气阻力，则（ ） A 、抛出时三球动量不是都相同，甲、乙动量相同，并均不小于丙的动量 B 、落地时三球的动量相同 C 、从抛出到落地过程，三球受到的冲量都不同 D 、从抛出到落地过程，三球受到的冲量不都相同 5、若质量为m 的小球从h 高度自由落下，与地面碰撞时间为 ，地面对小球的平均作用力大小为F ，则在碰撞过程中（取向上的方向为正）对小球来说（ ） A 、重力的冲量为 B 、地面对小球的冲量为 C 、合力的冲量为 D 、合力的冲量为 6、一物体竖直向上抛出，从开始抛出到落回抛出点所经历的时间是t,上升的最大高度是H ，所受空气阻力大小恒为F,则在时间t 内 A.物体受重力的冲量为零 B.在上升过程中空气阻力对物体的冲量比下降过程中的冲量 小 C.物体动量的增量大于抛出时的动量 D.物体机械能的减小量等于FH 7.恒力F 作用在质量为m 的物体上，如图8—1所示，由于地面对 物体的摩擦力较大，没有被拉动，则经时间t ，下列说法正确的是 A.拉力F 对物体的冲量大小为零 B.拉力F 对物体的冲量大小为Ft C.拉力F 对物体的冲量大小是Ftcos θ D.合力对物体的冲量大小为零 *8、物体在恒定的合力F 作用下作直线运动，在时间Δt 1内速度由0增大到v ，在时间Δt 2内速度由v 增大到2v 。设F 在Δt 1内做的功W 1，冲量是I 1；在Δt 2内做的功W 2，冲量是I 2。那么 （ ） A ．I 1

《理论力学》第十一章动量矩定理习题解

y 第十一章 动量矩定理 习题解 [习题11-1] 刚体作平面运动。已知运动方程为：2 3t x C =，24t y C =，3 2 1t = ?，其中长度以m 计，角度以rad 计，时间以s 计。设刚体质量为kg 10，对于通过质心C 且垂直于图平面的惯性半径m 5.0=ρ，求s t 2=时刚体对坐标原点的动量矩。 解： )(1223|22m x t C =?== )(1624|2 2m y t C =?== t t dt d dt dx v C Cx 6)3(2=== )/(1226|2s m v t Cx =?== t t dt d dt dy v C Cy 8)4(2=== )/(1628|2s m v t Cy =?== 2323)21(t t dt d dt d === ?ω )/(622 3 |22s rad t =?==ω → →→+=k v m M J L C Z Cz O )]([ω → → -+=k y mv x mv m L C Cx C Cy O ][2 ωρ → =→ ?-?+??=k L t O ]1612121665.0[10|2 2 → =→ =k L t O 15|2 )/(2 s m kg ?，→ k 是z 轴正向的单位向量。 [习题11-2] 半径为R ，重为W 的均质圆盘固结在长l ，重为P 的均质水平直杆AB 的B 端，绕铅垂轴Oz 以角速度ω旋转，求系统对转轴的动量矩。 解： g Pl l g P J AB z 3312 2,=??=

平动 )(a O 转动 绕定轴C )( b 转动 绕定轴1 )(O c O 在圆弧上作纯滚动 )(d g l R W l g W g J l z 4)4(R W 412222,+=?+??=圆盘 ωω?+?=圆盘,,z AB z z J J L ω4) 4(3[222g l R W g Pl L z ++= ω)4443(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)4333(2 22g WR g Wl g Pl L z ++= ω)433( 2 2R g W l g W P L z ++= [习题11-3] 已知均质圆盘质量为m ，半径为R ，当它作图示四种运动时，对固定点1O 的动量矩分别为多大？图中l C O =1。 解：)(a 因为圆盘作平动，所以 ωω2 11ml J L z O O == 解：)(b → →→→?+=p r L L C C O 1 其中，质心C 的动量为0 ωω22 1 1mR J L Cz O = = 解：)(c ωω)2 1 (2211ml mR J L z O O +== 解：)(d 因为圆盘作平面运动，所以： )(11→ +=C Z O Cz O v m M J L ω

第十章 质心运动定理 动量定理 习题解

x y O x y O 第十章 质心运动定理 动量定理 习题解 [习题10-1] 船A 、B 的重量分别为kN 4.2及kN 3.1，两船原处于静止间距m 6。设船B 上有一人，重N 500，用力拉动船A ，使两船靠拢。若不计水的阻力，求当两船靠拢在一起时，船B 移动的距离。 解：以船A 、B 及人组成的物体系统为质点 系。因为质点系在水平方向不受力。即： 0=∑ix F ， 设B 船向左移动了S 米， 则A 船向右移动了6－S 米。 由质点系的动量定理得： t v m m v m B B A A x F 0])([＝－－人+ 0])([＝－人B B A A v m m v m + B B A A v m m v m )(人+= B B A A v m m v m )(人+= t s m m t s m B A )(6人+=- s m m s m B A )()6(人+=- s s )5.03.1()6(4.2+=- s s )5.03.1()6(4.2+=- s s 3)6(4=- )(43.37 24 m s == [习题10-2] 电动机重1P ，放置在光滑的水平面上，另有一匀质杆，长L 2，重2P ，一端与电动机机轴固结，并与机轴的轴线垂直，另一端则刚连一重3P 的物体，设机轴的角速度为ω（ω为常量），开始时杆处于铅垂位置并且系统静止。试求电动机的水平运动。

r C v 3C v → x y 解：以电动机、匀质杆和球构成的质点系为研究对象。其受力与运动分析如图所示。匀质杆作平面运动。 → → → +=1212C C C C v v v ωl v r C =2 12cos C x C v t l v -=ωω → → → +=1313C C C C v v v ωl v r C 23= 13cos 2C x C v t l v -=ωω 因为质点系在水平方向上不受力，所以 0==∑ix x F F 由动量定理得： t F v t l m v t l m v m x C C C =--+-+-0)]cos 2()cos ([111321ωωωω 00)]cos 2()cos ([111321=--+-+-C C C v t l m v t l m v m ωωωω 111132)cos 2()cos (C C C v m v t l m v t l m =-+-ωωωω 11113322cos 2cos C C C v m v m t l m v m t l m =-+-ωωωω 1)(cos 2cos 32132C v m m m t l m t l m ++=+ωωωω t m m m m m l v C ωωcos ) (3 21321+++=

【物理】物理动量定理练习题及答案

【物理】物理动量定理练习题及答案 一、高考物理精讲专题动量定理 1．2022年将在我国举办第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．某滑道示意图如下，长直助滑道AB 与弯曲滑道BC 平滑衔接，滑道BC 高h =10 m ，C 是半径R =20 m 圆弧的最低点，质量m =60 kg 的运动员从A 处由静止开始匀加速下滑，加速度a =4.5 m/s 2，到达B 点时速度v B =30 m/s ．取重力加速度g =10 m/s 2． （1）求长直助滑道AB 的长度L ； （2）求运动员在AB 段所受合外力的冲量的I 大小； （3）若不计BC 段的阻力，画出运动员经过C 点时的受力图，并求其所受支持力F N 的大小． 【答案】（1）100m （2）1800N s ?（3）3 900 N 【解析】 （1）已知AB 段的初末速度，则利用运动学公式可以求解斜面的长度，即 22 02v v aL -= 可解得:22 1002v v L m a -== （2）根据动量定理可知合外力的冲量等于动量的该变量所以 01800B I mv N s =-=? （3）小球在最低点的受力如图所示 由牛顿第二定律可得：2C v N mg m R -= 从B 运动到C 由动能定理可知： 221122 C B mgh mv mv = -

解得;3900N N = 故本题答案是：（1）100L m = （2）1800I N s =? （3）3900N N = 点睛：本题考查了动能定理和圆周运动，会利用动能定理求解最低点的速度，并利用牛顿第二定律求解最低点受到的支持力大小． 2．如图甲所示，平面直角坐标系中，0≤x ≤l 、0≤y ≤2l 的矩形区域中存在交变匀强磁场，规定磁场垂直于纸面向里的方向为正方向，其变化规律如图乙所示，其中B 0和T 0均未知。比荷为c 的带正电的粒子在点（0，l ）以初速度v 0沿+x 方向射入磁场，不计粒子重力。 （1）若在t =0时刻，粒子射入；在t <0 2 T 的某时刻，粒子从点（l ，2l ）射出磁场，求B 0大小。 （2）若B 0= 02c v l ，且粒子从0≤l ≤02 T 的任一时刻入射时，粒子离开磁场时的位置都不在y 轴上，求T 0的取值范围。 （3）若B 0= 02c v l ，00l T v π=，在x >l 的区域施加一个沿-x 方向的匀强电场，在04 T t =时刻 入射的粒子，最终从入射点沿-x 方向离开磁场，求电场强度的大小。 【答案】（1）0 0v B cl =；（2）00 l T v π≤；（3）()2 0421v E n cl π=+()0,1,2n =L . 【解析】 【详解】 设粒子的质量为m ，电荷量为q ，则由题意得 q c m = （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，设运动半径为R ，根据几何关系和牛顿第二定律得： R l =

第10章 动量定理

第10章 动量定理 10-1 设A 、B 两质点的质量分别为m A ，、m B ，它们在某瞬时的速度大小分别为v A 、v B ，则以下问题是否正确？ (A)当v A ＝v B ，且m A ＝m B 时，该两质点的动量必定相等。 (B)当v A ＝v B ，且m A ≠m B 时，该两质点的动量也可能相等。 (C)当v A ≠v B ，且m A ＝m B 时，该两质点的动量有可能相等。 (D)当v A ≠v B ，且m A ≠m B 时，该两质点的动量必不相等。 答：（C ）。 10-2 以下说法正确吗？ （1）如果外力对物体不做功，则该力便不能改变物体的动量。 （2）变力的冲量为零时．则变力F 必为零。 （3）质点系的质心位置保持不变的条件是作用于质点系的所有外力主矢恒为零及质心的初速度为零。 答：（1）× （2）× （3）√。 10-3 试求图中各质点系的动量。各物体均为均质体。 答：(a) ? ?? ??++=3212m m m r K ω（←）， (b) v )(21m m K += （←）， (c) K =0， (d) v )2(1m m K +=（→）， (e) )(21m m r K -=ω（↑）， (f) v m K x 2=（←）， v m K y 1=（↓）， v m m K 2 221+=。

题10-3图 10-4质量分别为m A＝12 kg, m B＝10 kg的物块A和B，用一轻杆倚放在铅直墙面和水平地板上，如图示。在物块A上作用一常力F＝250N，使它从静止开始向右运动，假设经过1s后，物块A移动了1m，速度υA＝4.15m/s。一切摩擦均可忽略，试求作用在墙面和地面的冲量。 答：S x = 200 ?2 N?s（→），S y = 246 ?7 N?s（↓）。 题10-4图题10-5图 10-5垂直与薄板、处于自由流动的水流，被薄板截分为两部分：一部分流量Q1＝7L/s， 另一部分偏离一角α。忽略水重和摩擦，试确定角α和水对薄板的压力，假设水柱速度υ1 ＝υ2＝υ＝28m/s，总流量Q＝21L/s。 答：α= 30?，F N = 249N。 10-6扫雪车（俯视如图示）以4.5m/s的速度行驶在水平路上，每分钟把50吨雪扫至 路旁，若雪受推后相对于铲雪刀AB以2.5m/s的速度离开，试求轮胎与道路间的侧向力F R 和驱动扫雪车工作时的牵引力F T。 答：F R =1975 N，F T = 30377 N。