第十讲 一元一次方程
一、 一元一次方程的解法
相关概念：
等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；
（2）等式两边同时乘以或除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立。
方程：含有未知数的等式。
（两个注意：（1）含有未知数；（2）等式。）
元：未知数的个数（几种未知数就是几元）；
次：未知数最高次项的次数。
解一元一次方程步骤：
（1） 去括号（注意①乘法分配律；②括号前是减号要变号）
（2） 移项（过桥变号）
（3） 合并
（4） 求解
前两步易错。
例1：①2X+12=4X‐12
解：12+12=4X‐2X（移项注意过桥变号；未知数放左边不够减就放右边） 24=2X（合并）
X=12（求解；最后一步建议把X写左边）
②10（X+2）=4（2X+7）
解：10X+20=8X+28（去括号，注意乘法分配律）
10X‐8X=28‐20（移项，注意变号）
2X=8
X=4
超常学案1：①8X‐2（7+X）=4
解： 8X‐14‐2X=4（注意去括号要同时完成两个任务①乘法分配律；②括号前是减号要变号
8X‐2X=4+14
6X=18
X=3
补充题：6（3‐X）‐5（X‐1）=1【X=2】
3X+2‐2（2X‐1）=0【X=4】
二、列方程解应用题
步骤：设、列、解、（检验）、答。
我们学习方程工具以后，复杂的应用题不需要绕来绕去分析。直接根据题意列方程求解即可。
设未知数有直接设未知数和间接设未知数。
（一）直接设未知数
例2：（年龄问题）今年，爷爷的年龄是小李的5倍，小李发现，12年后，爷爷的年龄将是他的3倍，试求出今年小李的年龄。
解：设小李今年X岁，爷爷今年5X
今年的年龄 12年后的年龄
小李 X X+12
爷爷 5X 5X+12
根据“12年后，爷爷的年龄将是他的3倍，”
列得方程：5X+12=3（X+12）
解得X=12
答：小李今年12岁。
注：表格助于分析整理条件，熟悉后可略去。
例4：（盈亏问题）一个工人接到加工一批零件的任务，限期完成。如果每天做10个，还差3个完成任务；如果每天做11个，就可以提前1天完成。他的工作期限是多少天？
解：设工作期限是X天。（根据总量相等列方程）
10X+3=11（X‐1）
解得，X=14
答：工作期限是14天。
【附：本题的算术解法：（11+3）÷（11‐10）=14（天）
而解方程的过程
10X+3=11（X‐1）
10X+3=11X‐11
11+3=11X‐10X
X=（11+3）÷（11‐10）
可见算术方法和方程是对应的。算术方法对应着解方程的过程。有的题目有多种算术方法就可以列得多个不同的方程。如鸡兔同笼，有兴趣的同学可以试试，有助于加深对方程的理解。】
例5：（和差问题）把161分成两个数，使两数之和是两数之差的7倍，求这两个数各是多少？
解：两数差为161÷7=23，设较小数为X，则大数为X+23，根据两数和为161 解方程X+（X+23）=161
解得X=69
则较大数为69+23=92
答：大数为92，小数为69。
例6：（迎春杯真题）王二小放一群鸭子到池塘，邻居李大妈问二小一共有
多少只鸭子。二小答道“头数加只数，只数减头数，只数乘头数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100”。王二小一共有多少只鸭子?
解：设王二小有X只鸭子。
根据“头数加只数，只数减头数，只数乘头数，只数除头数，把四个得数相加恰好是100”。
列方程： X+X + X‐X + X×X + X÷X = 100
化简得， 2X+2X+1=100
此方程为一元二次方程，一般看到都感觉不太会解。可以采用如下三种方法： 方法一：尝试法由于数字不太大，可以尝试得X=9
X+2X+1=100
方法二：2
2
X+2X=99
X（X+2）=99
X与X+2是两个相差二的自然数，乘积为99，只能分解为9×11
X=9,X+2=11
方法三：（完全平方公式）()222
+=++
a b a ab b
2
()222
2
+=++
a b a ab b
()21
X+=2X+2X×1+21=2X+2X+1
原方程华为()21
X+=100
即()21
10
X+=2
X+1=10
X=9
答：王二小有9只鸭子。
【附：完全平方公式的证明：
如图所示：正方形边长为a+b，
面积为()2
+；
a b
又可以如图分割：面积为22
2
++
a a
b b
所以()222
a b a ab b
+=++
2
口诀：首平方，尾平方；二倍乘积在中央。】
补充两道小升初真题：
补充1：大小两池都未注满水。若从小池抽水将大池注满，则小池还剩5吨水；若从大池抽水将小池注满，则大池还剩30吨水。已知大池容量是小池的1.5倍，问：两池中共有多少吨水？
解：设两池中共有水X吨。
若从小池抽水将大池注满，则小池还剩5吨水，说明大池容量为X‐5；
若从大池抽水将小池注满，则大池还剩30吨水，说明小池容量为X‐30。
根据“大池容量是小池的1.5倍，”列方程：
X‐5=1.5（X‐30）
解，得X=80
答：两池中共有80吨水.
补充2：一群学生进行篮球测验，每人投10次，按每人进球数统计的部分情况如下表：
进球数 0 1 2 …… 8 9 10
人数 7 5 4 …… 3 4 1
还知道至少投进3个球的人平均投进6个球，投进球不到8个球的人平均投进3个球，问：共有多少人参加测验？
分析与答：
【平均数问题：总数=平均数×数量
本题乍一看毫无头绪，就是因为中间的信息不全，但从条件入手，就可以巧妙的回避省略号处不全的信息。列方程解应用题一定要找到等量关系，同一个量，用两种不同的表达方式把它表示出来，就得到方程。本题中：
投中的总球数，既等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数，也等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数。
设共有X人参加测验。
至少投进3个球的人数为（X‐7‐5‐4）人，已知至少投进3个球的人平均投进6个球，则至少投进3个球的人共投进6×（X‐7‐5‐4）个球，则投中的总球数（等于进球数不到3个的人的进球数加上至少投进3个球的人的进球数）为0×7+1×5+2×4+6×（X‐7‐5‐4）=6X‐83；
投进不到不到8个球的人数为（X‐3‐4‐1）人，已知投进球不到8个球的人平均投进3个球，则投进球不到8个球的人共投进3×（X‐3‐4‐1）个球，则投球的总数（等于进球数不到8个的人的进球数加上至少投进8个球的人的进球数）为3×（X‐3‐4‐1）+8×3+9×4+10×1=3X+46；
列方程6X‐83=3X+46】
解：设共有X人参加测验。
0×7+1×5+2×4+6×（X‐7‐5‐4）=3×（X‐3‐4‐1）+8×3+9×4+10×1
解，得X=43
答：共有43人参加测验。
（二）间接设未知数
超常123学案3：水果店运来的西瓜个数是哈密瓜个数的4倍，如果每天卖130个西瓜和36个哈密瓜，那么哈密瓜买完后还剩下70个西瓜。问：水果店运来的西瓜和哈密瓜共多少个？
解：设卖了X天。（由于两种水果卖的个数和天数紧密相关，故选择设天数
为未知数）
卖 剩 共 西瓜 130X 70 130X+70
哈密瓜 36X 0 36X
根据“水果店运来的西瓜个数是哈密瓜个数的4倍，”列方程：
130X+70=4×36X
解得X=5
西瓜：130×5+70=720（个）
哈密瓜：36×5=180（个）
共720+180=900（个）
答：水果店运来的西瓜和哈密瓜共900个。
例7：一次数学竞赛，某校六年级学生参加的人数是未参加的3倍，如果六年级人数学生减少16人，未参加的学生增加8人，那么参加的是未参加的2倍。六年级总人数是多少？
解：根据“六年级学生参加的人数是未参加的3倍”，选择设未参加的人数为X，参加的为3X。
变化前 变化后
参加 3X 4X‐16‐( X+8)=3X‐24
未参加 X X+8
一共 4X 4X‐16
根据“参加的是未参加的2倍”得方程：
3X‐24=2（X+8）
解得，X=40
总人数4X=160（人）
答：六年级总人数160人。
超常123班学案4：今年兄弟俩的年龄和是55岁，曾经有一年，哥哥的年龄刚好是弟弟今年的年龄，而那时哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的2倍。兄弟俩今年分别多少岁？
解：根据“那时哥哥的年龄恰好是弟弟年龄的2倍”设那时弟弟年龄为X，则那时哥哥年龄为2X。隐含信息：年龄差为X
哥哥 弟弟 曾经有一年 2X X
今年 2X+X=3X（年龄差不变为X） 2X（曾经有一年，哥哥的年龄刚
好是弟弟今年的年龄）
今年兄弟俩的年龄和是55岁，列方程
3X+2X=55
解得X=11
哥哥今年：3X=33；弟弟今年：2X=22
答：哥哥今年33岁；弟弟今年22岁。
例8：甲乙丙三人，当甲的年龄是乙的2倍时，丙是22岁；当乙的年龄是丙的2倍时，甲是31岁；当甲60岁时，丙是多少岁？
解：由“当甲的年龄是乙的2倍时，……”可知年龄：甲＞乙；
由“当乙的年龄是丙的2倍时，……”可知年龄：乙＞丙；
综上，甲＞乙＞丙
根据“当甲的年龄是乙的2倍时，丙是22岁”设这时乙X岁，则甲2X。 隐含条件甲乙年龄差：甲‐乙=X；
甲丙年龄差：甲‐丙=2X‐22.
甲 乙 丙
年份1 2X X 22
年份2 31 31‐X
（甲乙年龄差：甲‐乙=X）
31‐（2X‐22）=53‐2X （甲丙年龄差：甲‐丙=2X‐22）
年份3 60 ？
根据“当乙的年龄是丙的2倍时，甲是31岁”，列方程：
31‐X=2（53‐2X）
解，得 X=25
至此，表格信息已全，无论原题问什么都可求：
甲 乙 丙 年份1 2X=50 X=25 22 年份2 31 31‐X=6 53‐2X=3 年份3 60 ？=32 或由甲‐丙=2X‐22=28直接列式：60‐28=32
答：当甲60岁时，丙是32岁。
学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质 ⑤增减括号的性质 ⑥变式提取公因数 形如： 3．估算 求某式的整数部分：扩缩法 4．比较大小 ①通分 a. 通分母 b. 通分子 ②跟“中介”比 ③利用倒数性质 若，则c>b>a.。形如：，则。 5．定义新运算
6．特殊数列求和 运用相关公式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 二、数论 1．奇偶性问题 奇奇=偶奇×奇=奇 奇偶=奇奇×偶=偶 偶偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如：=100a+10b+c 3．数的整除特征： 整除数特征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 4．整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5．带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 × p2 ×...×pk 7. 约数个数与约数和定理
速算与巧算 1．计算集中营． ⑴26+75+174+25+58 ⑵198-56-44 ⑶137-（46+37） ⑷38+39+41+43+44+46 ⑸31+29+32+33+26+28 【答案】⑴358；⑵98；⑶54；⑷251；⑸179． 2．加减一长串，分组更简便． ⑴20-19+18-17+16-15+14-13+12-11 ⑵1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+13-14+15 ⑶（22+24+26+28+20）-（21+23+25+27+19) ⑷38+37-36-35+34+33-32-31+30+29-28-27+26【答案】⑴5；⑵8；⑶5；⑷38． 3．看谁算得快！
【答案】⑴7749?=；⑵3030900?=；⑶1010432190?-+++=（）． 4． 等差数列来求和． 【答案】⑴7749?=；⑵ 422102130+?÷=（）；⑶54082180+?÷=（）． 5． 在下面的□中填上5个连续的数，使等式成立． 【答案】67891040++++=． ⑴ 1+3+5+7+9+11+13 ⑵ 4+6+8+10+12+14+16+18+20+22 ⑶ 5+10+15+20+25+30+35+40 ⑴ 1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1 ⑵ 1+2+3+4+…+29+30+29+…+4+3+2+1 ⑶ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5
6． 下面的题你会算吗 【答案】135959799++++++ 20003692730------ 1995021005022500=+?÷=?÷=（） 或 50502500=?= 20003692730200033010220001651835 =-+++++=-+?÷=-=（）（） ⑴ 1+3+5++95+97+99 ⑵ 2000-3-6-9- -27-30 豆豆家里来了四位客人，爸爸买了一个大西瓜回来招待客人．但爸 爸要求豆豆只许切4刀，切完必须给爷爷、奶奶、爸爸、妈妈、豆豆和 四位客人每人一块，而且吃完西瓜后必须有10块瓜皮．请你帮豆豆想 一想，该怎样切才合适
测试1·计算篇 1． 计算=?+++++++ 128)288122411681120180148124181( 2． =++?++++-+++?+++)11 19171()131111917151()1311119171()111917151 ( 3． 计算：2004×2003－2003×2002＋2002×2001－2001×2000＋…＋2×1= 4．有一列数：……第2008个数是________ . 5．看规律13 = 12，13 + 23 = 32，13 + 23 + 33 = 62 ……，试求63 + 73 + … + 143
第1讲 小升初专项训练·计算 四五年级经典难题回顾 例1 求下列算式计算结果的各位数字之和：2576666666 200562006??321Λ321Λ个个 例2 求数19 11211111011++++Λ的整数部分是几？ 小升初重点题型精讲 例1 =÷+÷+÷5 95491474371353251 . 例2 =+??÷+--+)1995 6.15.019954.01993(22.550 276951922.510939519 例3 =++÷++)251 18100412200811()25138100432200831 ( . 巩固 计算：=+?+?+ ?+?41602434014321 4016940146 .
例4 计算：=?++?+?+?101 99507535323112 222Λ . 拓展 计算：=??++??+??10 981943273215Λ . 例5 1?2+2?3+3?4+4?5+5?6+6?7+7?8+8?9+9?10= . 巩固：2?3+3?4+4?5+…+100?101= . 拓展 计算：1?2?3+2?3?4+3?4?5+…+9?10?11= . 例6 ［2007 –（8.5?8.5-1.5?1.5）÷10］÷160-0.3= . 巩固 计算：53×57 – 47×43 = . 例7 计算：11×19 + 12×18 + 13×17 + 14×16 = .
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完整小学学而思合集高清无密 (2013-06-02 01:18:14) 转载▼ 分类：小学 标签： 教育 毛继东作文三步法： 二年级奥数和阅读写作： 【2801】2011一升二年级数学竞赛班-8讲 【3211】2011秋季二年级数学竞赛班-12讲 【4716】2012春季二年级数学竞赛班-14讲 【3746】2012寒假二年级数学竞赛班-8讲 【2802】2011暑期二升三数学竞赛班-12讲 【6031】糖果星球探秘：二升三年级“畅享语文”成长计划暑期班12讲【3747】精灵旅行团：2012年寒假二年级说话写话训练营10讲 6531：小柿子星球探秘：二年级“畅享语文”成长计划秋季班（6级）共11讲三年级奥数和阅读写作： 【3212】2011秋季三年级奥数竞赛班-16讲 【3779】2012寒假三年级奥数竞赛班-10讲 【4860】2012春季三年级奥数竞赛班-16讲 【4861】2012春季三年级奥数零基础班-10讲
【6039】三升四奥数暑期班14讲 4863人教春季三年级数学同步8讲 6055人教版三年级上册数学满分班16讲 7429北师版三年级下册数学满分班（教材精讲+奥数知识拓展）14讲4209+2012年寒假五年制小学三年级数学超常班12讲 【6032】杮子星球探秘，三升四年级畅想语文成长计划暑期班12讲【3230】精灵旅行团：2011秋季三年级阅读写作训练营12讲【3783】精灵旅行团：2012寒假三年级阅读写作训练营8讲【4865】精灵旅行团：2012春季三年级阅读写作训练营12讲 四年级奥数及阅读写作： 【2799】2011暑期三升四数学强化班共14讲 [6040]2012四升五年级奥数暑期班18讲 【3297】2011秋季四年级上册人教数学课内同步班8讲 【4772】人教四年级下册数学同步8讲 【3208】2011秋季四年级数学强化班，18讲 【3947】2012寒假奥数强化班10讲 【6057】人教版四年级上册数学满分班14讲 【4770/4771】2011春季四年级数学竞赛班18讲 7088第13届中环杯四年级初赛冲刺VIP班12讲
第13讲植树问题 内容概述 几何图形的设计与构造，本讲讲解一些有关的植树问题． 典型问题 1．今有10盆花要在平地上摆成5行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案， 画图时用点表示花，用直线表示行． 【分析与解】如下图所示： 2．今有9盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花．请你给出一 种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行． 【分析与解】如下图所示： 3．今有10盆花要在平地上摆成10行，每行都通过3盆花．请你给出一种设计方 案，画图时用点表示花，用直线表示行· 【分析与解】如下图所示： 4．今有20盆花要在平地上摆成18行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计 方案，画图时用点表示花，用直线表示行． 【分析与解】如下图所示： 5．今有20盆花要在平地上摆成20行，每行都通过4盆花．请你给出一种设计方案，画图时用点表示花，用直线表示行． 【分析与解】如下图所示：
第14讲数字谜综合 内容概述 各种具有相当难度、求解需要综合应用多方面知识的竖式、横式、数字及数阵图等类型的数字谜问题． 典型问题 1．ABCD表示一个四位数，EFG表示一个三位数，A，B，C，D，E，F，G代表1至9中的不同的数字．已知ABCD+EFG=1993，问：乘积ABCD×EFG的最大值与最小值相差多少? 【分析与解】因为两个数的和一定时，两个数越紧接，乘积越大；两个数的差越大，乘积越小． A显然只能为1，则BCD+EFG=993， 当ABCD与EFG的积最大时，ABCD、EFG最接近，则BCD尽可能小，EFG尽可能大，有BCD最小为234，对应EFG为759，所以有1234×759是满足条件的最大乘积； 当ABCD与EFG的积最小时，ABCD、EFG差最大，则BCD尽可能大，EFG尽可能小，有EFG最小为234，对应BCD为759，所以有1759×234是满足条件的最小乘积； 它们的差为1234×759—1759×234=(1000+234)×759一(1000+759)×234=1000×（759—234)=525000． 2.有9个分数的和为1，它们的分子都是1．其中的5个是1 3 , 1 7 , 1 9 , 1 11 , 1 33 另外4个数的分母个 位数字都是5．请写出这4个分数． 【分析与解】 l一(1 3 + 1 7 + 1 9 + 1 11 + 1 33 )= 2101 33711 ? ??? = 1010 335711 ? ???? 需要将1010拆成4个数的和，这4个数都不是5的倍数，而且都是3×3×7×1l的约数．因此，它们可能是3，7，9，11，21，33，77，63，99，231，693． 经试验得693+231+77+9=1010． 所以，其余的4个分数是：1 5 , 1 15 , 1 45 , 1 385 . 3. 请在上面算式的每个方格内填入一个数字，使其成为正确的等式． 【分析与解】1988=2×2×7×7l=4×497， 1 12 + 1 4 ＝ 1 3 ，在等式两边同时乘上 1 497 ，就得 1 5964+ 1 1988 ＝ 1 1491 ．显然满足题意． 又 1 35 + 1 14 = 1 10 ，两边同乘以 1 142 ，就得 1 4970 + 1 1988 ＝ 1 1420 ．显然也满足．1 3053+ 1 1988 ＝ 1 1204 ， 1 8094 + 1 1988 ＝ 1 1596 均满足. 4．小明按照下列算式：乙组的数口甲组的数○1= 对甲、乙两组数逐个进行计算，其中方框是乘号或除号，圆圈是加号或减号他将计算结果填入表14—1的表中．有人发现表中14个数中有两个数是错的请你改正．问改正后的两个数的和是多少?
二年级超常班第一讲 要想数得快，规律用起来【例1】数一数，下图中共有多少条线段？ 【分析】数一数一共有6个端点，那么基本线段就有（条），这个图中一共就有 条线段． 【例2】数一数，图①中共有多少个锐角？图②中共有多少个 三角形？
【分析】 【例3】数一数，下图中共有多少个长方形？ 【分析】 上面第一层以AB为宽的有6个长方形，下面第二层以BC为宽的也就有6个长方形．另外把第一层和第二层合在一起以AC为宽的长方形还有6个，一层有6个，共3层，这样一共就有 个长方形．
【例4】数一数，下图中共有多少个三角形？ 【分析】 方法一：可以分类来数．具体分析如下： (1)左边：左边三角形ABD中有 个三角形； (2)右边：右边三角形ADC中有 个三角形； (3)左边+右边：左右合起来三角形ABC中有3个三角形；
一共有：个三角形． 方法二：可根据三角形包含基本图形的个数来分类数．具体分析如下： 只含1个基本图形的三角形有6个； 只含2个基本图形的三角形有5个； 只含3个基本图形的三角形有2个； 只含4个基本图形的三角形有1个； 只含5个基本图形的三角形有0个；
个； 一共有：个三角形． 【例5】数一数，下图中共有多少个三角形？ 【分析】根据三角形包含基本图形的个数分类数．先按顺时针的方向给基本图形标上序号，如图：
个，分别是：①、②、③、④、⑤、⑥； 只含2个基本图形的三角形有3个，分别是：②③、④⑤、⑥①；只含3个基本图形的三角形有6个，分别是：①②③、②③④、③④⑤、④⑤⑥、⑤⑥①、⑥①②；只含4个或5个基本图形的三角形有0个；只含6个基本图形的三角形有1个，是：①②③④⑤⑥.图中共有三角形： (个)． 【超常挑战】1.数一数，下图中
学而思小学奥数知识点梳 理 The final edition was revised on December 14th, 2020.
学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想 ⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质 ⑤增减括号的性质 ⑥变式提取公因数 形如： 3．估算 求某式的整数部分：扩缩法 4．比较大小 ①通分 a. 通分母 b. 通分子 ②跟“中介”比 ③利用倒数性质 若，则c>b>a.。形如：，则。 5．定义新运算 6．特殊数列求和
运用相关公式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 二、数论 1．奇偶性问题 奇奇=偶奇×奇=奇 奇偶=奇奇×偶=偶 偶偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如： =100a+10b+c 3．数的整除特征： 整除数特征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数 4和25 末两位数是4（或25）的倍数 8和125 末三位数是8（或125）的倍数 7、11、13 末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数 4．整除性质 ①如果c|a、c|b，那么c|(a b)。 ②如果bc|a，那么b|a，c|a。 ③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 ④如果c|b,b|a,那么c|a. ⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。 5．带余除法 一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r ＜b,使得a=b×q+r 当r=0时，我们称a能被b整除。 当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r, 0≤r＜b a=b×q+r 6. 唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即 n= p1 × p2 ×...×pk 7. 约数个数与约数和定理 设自然数n的质因子分解式如n= p1 × p2 ×...×pk 那么： n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1) n的所有约数和：（1+P1+P1 +…p1 ）（1+P2+P2 +…p2 ）…（1+Pk+Pk +…pk ） 8. 同余定理 ①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m 同余，用式子表示为a≡b(mod m)
二年级超常班第五讲 爱扎堆的七宝 【例1】用①号和⑦号拼出下面的图形，动手试一试，并在下面拼好的图中找到①号，给它涂上颜色．（用阴影表示） 【分析】“想一想”：在脑海中进行空间想象，想象哪块应该放在哪里． “试一试”：如果能想象出来，
可以实际动手操作验证一下．当无法想象出来的时候，可以进行动手操作．我们已经学习了“知道位置两拼”和“知道粘贴面 两拼”，本活动是知道拼好的样子去两拼，和前面的方法一样，可以先将其中的一个摆在桌子上，比如先将⑦号放在桌子上，再将①号和⑦号拼在一起，观察拼成的图形是什么样子，是否和题中所给图形相同，或者拼好的图形经过旋转、翻转以后，是否和题中所给图形相同． “记一记”：把我们尝试出来的
结果记录下来，并总结方法．可以利用“找图形法”帮助分析 图形，在题目所给的图形中，找到①号，标注出来，如果①号在上面一层，那么剩下的不可能是⑦号；如果①号在下面一层，那么剩下的可能是⑦号；如果①号在左面一层，那么剩下的可能是⑦号；如果①号在右面一层，那么剩下的不可能是⑦号；如果①号在前面一层，那么剩下的不可能是⑦号；如果①号在后面一层，那么剩下的可能是⑦号．再在所有可能的情况里确定①号和⑦
号的具体位置，将①号画出来．要求学生至少能找到一种可能，并画出来，程度好的班，可以要求学生找出尽可能多的情况．通过尝试，答案如下： 【例2】用①号和⑥号拼出下面的图形，动手试一试，并在下面拼好的图中找到①号，给它涂上颜色．（用阴影表示）
【分析】用①号和⑥号拼出下面的图形，动手试一试，并在下面拼好的图中找到①号，给它涂上颜色．（用阴影表示） “想一想”：在脑海中进行空间想象，想象哪块应该放在哪里．“试一试”：如果能想象出来，可以实际动手操作验证一下．当无法想象出来的时候，可以进行动手操作．我们已经学习了“知道位置两拼”和“知道粘贴面 两拼”，本例题是知道拼好的样子去两拼，和前面的方法一样，可以先将其中的一个摆在桌子
11111123420261220420 L ＋＋＋＋＋ 第一讲 小升初计算重点考查内容(一) 抵消思想——裂项
36579111357612203042++++++ 1111112123123100+++++++++++L L 2222222222222 33333333333 331121231234122611212312341226L L L +++++++++-+-+-+++++++++
测试题 【例1】(★★) 11111 1357911_____. 612203042 + ++++= 计算 A． 5 36 14 B． 7 5 12 C． 41 21 D． 17 12【例2】(★★★)计算： 2337911 345122030 +++++=( ) A． 32 27 B． 41 12 C． 41 21 D． 23 12【例3】(★★★★) 1111 1_____ 12123123412310 +++++= +++++++++ L L A． 11 13 B． 1 11 C． 7 12 D． 20 11【例4】(★★★★)计算： 22222222 2222 1324351820 213141191 ++++ ++++= ---- L（）A． 7 20 19 B． 151 38 190 C． 1 40 2 D． 7 36 20 本讲学习重点： 1．海哥、海马学奥数时的那点笑话～ 2．整体约分与连锁约分技巧 (2010第8届·走进美妙的数学花园·六年级初赛) 2113 5411 7997 ???? +÷+ ? ? ???? 【附加练习】 212947612 2323 791113791113 ???? +++÷+++ ? ? ???? 第二讲小升初计算重点考查内容（二） 抵消思想——约分
第九讲 盈亏问题 盈亏问题是应用题模块的一个重点和难点之一，解决它有两大类思路，算数方法和方程方法。相对来说，方程法更直观，学习方程工具后希望用方程把这里的题目再重新做一遍。本讲只讲算数解法。 一、 基本型盈亏问题 基本概念：一定量的物体，按照某种标准进行分组，最后会产生一种结果；按照另一种标准进行分组，又会产生另一种结果。 基本特点：两个未知：总份数，总数。 两个一定：总份数不变，总数不变。 基本思路： 比较法：（1）总份数=总差÷每份差 （2）再代到任一条件求总数。 基本题型： 盈盈型：总份数=（较大余数‐较小余数）÷每份差； 亏亏型：总份数=（较大不足数‐较小不足数）÷每份差； 盈亏型：总份数=（余数+不足数）÷每份差。 如：小朋友分苹果，每人4本多10个；每人6本少8个，问多少人多少苹果？ 两个未知：人为份数，苹果为总数； 两个一定：人数不变，苹果数不变。 （1） 人数=（10+8）÷（6‐4）=9 （2） 苹果数=4×9+10=46（或6×9‐8=46） 我们遇到的题目一定首先分清什么是份数，什么是总数，可以套一下人分苹果模型，人为份数，苹果为总数。 有变化的盈亏问题先把它转化成基本型盈亏。 例1：（2008春蕾杯小学数学邀请赛决赛）A、B买了相同张数的信纸。A在每个信封里装1张信纸，最后用完所有信封还剩40张信纸；B在每个信封里装3张信纸，最后用完所有的信纸还剩40个信封。他们都买了多少张信纸？ 分析与答：信封为份数，信纸为总数。 每个信封里装3张信纸，最后用完所有的信纸还剩40个信封，相当于如果把所有的信封用完还差3×40=120张信纸。 即：每个信封里装1张信纸，还剩40张信纸； 每个信封里装3张信纸，120张信纸。 信封数=（40+120）÷（3‐1）=80 信纸数=80×1+40=120 注：很多同学的错误解法是 信封数=（40+40）÷（3‐1）=40一定注意第二个条件要把份数转化成总数再做题目。 超常123学案一：用绳子测游泳池水深，绳子两折时，多余60厘米；绳子
第5讲比和比例 两个数相除又叫做两个数的比． 一、比和比例的性质 性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d； 性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d； 性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数) 性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积) 正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比； 反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比． 二、比和比例在行程问题中的体现 在行程问题中，因为有速度=路程 时间 ，所以： 当一组物体行走速度相等，那么行走的路程比等于对应时间的反比； 当一组物体行走路程相等，那么行走的速度比等于对应时间的反比； 当一组物体行走时间相等，那么行走的速度比等于对应路程的正比． 1．A和B两个数的比是8：5，每一数都减少34后，A是B的2倍，试求这两个数． 【分析与解】 方法一：设A为8x，则B为5x，于是有(8x-34):(5x-34)=2：1，x=17，所以A为136，B为85． 方法二：因为减少的数相同，所以前后A 、B的差不变，开始时差占3份，后来差占1份且与B一样多，也就是说减少的34，占开始的3-1=2份，所以开始的1份为34÷2=17，所以A为17×8=136，B为17×5=85． 2．近年来火车大提速，1427次火车自北京西站开往安庆西站，行驶至全程的 5 11 再向前 56千米处所用时间比提速前减少了60分钟，而到达安庆西站比提速前早了2小时．问北京西站、安庆西站两地相距多少千米? 【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米？ ( 5 11 x+56)：x=60：120，即( 5 11 x+56)：x=1：2，即x= 10 11 x+112，解得x=1232． 即北京西站、安庆西站两地相距1232千米， 3．两座房屋A和B各被分成两个单元．若干只猫和狗住在其中．已知：A房第一单元内猫的比率(即住在该单元内猫的数目与住在该单元内猫狗总数之比)大于B房第一单元内猫的比率；并且A房第二单元内猫的比率也大于B房第二单元内猫的比率．试问是否整座房屋A 内猫的比率必定大于整座房屋B内猫的比率?
第1讲 计算综合（一） 繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题． 1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示： 甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母． 2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数． 3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观． 4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可． 5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级 [第1讲 循环小数与分数]． 1．计算：7 1 1 4 71826213581333416 ?+ ?-÷ 【分析与解】原式=7 1 23 72317 461224 1488128131233 +?=?=- 2．计算： 【分析与解】 注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5199 ．于是，我们想 到改变运算顺序，如果分子与分母在519 9 后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数 的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被 除数的繁分数的运算顺序． 而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为1995×0.5． 具体过程如下：
原式= 5919 (3 5.22) 19930.4 1.6910( )52719950.5 1995 19(6 5.22) 950 +-?÷+ ?-+ =519 1.32 19930.440.40.59()5 19950.4 19950.5 19 1.32 9 -???÷+ ??- =199320.41()19950.5+÷?=0.410.5÷ =114 3．计算：1111111987 - + - 【分析与解】原式=11198711986 -+ =198613973 -=19873973 4．计算：已知= 18111 1+ 12+1x+ 4= ，则x 等于多少? 【分析与解】方法一：1118x 68114x 112x 7 11 1+ 11148x 6 2+ 214x 1 x+ 4 +=== = +++ + ++ + 交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25． 方法二：有111 3 11188 21x 4 + ==++ + ，所以1822213 3 x 4 +==++ ；所以13x 4 2 +=，那么 x =1.25． 5．求94 4,43,443,...,44...43 个这10个数的和． 【分析与解】方法一：
第1讲计算综合（一）繁分数的运算，涉及分数与小数的定义新运算问题，综合性较强的计算问题． 1．繁分数的运算必须注意多级分数的处理，如下所示： 甚至可以简单地说：“先算短分数线的，后算长分数线的”．找到最长的分数线，将其上视为分子，其下视为分母． 2．一般情况下进行分数的乘、除运算使用真分数或假分数，而不使用带分数．所以需将带分数化为假分数． 3．某些时候将分数线视为除号，可使繁分数的运算更加直观． 4．对于定义新运算，我们只需按题中的定义进行运算即可． 5．本讲要求大家对分数运算有很好的掌握，可参阅《思维导引详解》五年级 [第1讲循环小数与分数]． 1．计算： 711 47 18262 1358 133 3416 ?+ ? -÷ 【分析与解】原式= 7123 72317 4612 24 14 88128 1312 33 + ?=?= - 2．计算： 【分析与解】注意，作为被除数的这个繁分数的分子、分母均含有5 19 9 ．于是，我们想到改变运算顺序，如果分子与分母在5 19 9 后的两个数字的运算结果一致，那么作为被除数的这个繁分数的值为1；如果不一致，也不会增加我们的计算量．所以我们决定改变作为被除数的繁分数的运算顺序．而作为除数的繁分数，我们注意两个加数的分母相似，于是统一通分为
1995×0.5． 具体过程如下： 原式=59 19(3 5.22) 19930.41.6 910()527 19950.5199519(6 5.22)950+-?÷+?-+ =5 191.32 19930.440.40.5 9()5 19950.419950.5191.329 -???÷+??- =199320.41()19950.5+÷?=0.410.5÷ =114 3．计算：1 111111987 -+ - 【分析与解】原式=1 1198711986-+ =198613973-=19873973 4．计算：已知=18 1111+ 12+ 1x+4 =，则x 等于多少 【分析与解】方法一：1118x 68 114x 112x 7111+11148x 62+214x 1x+4 +====++++ +++ 交叉相乘有88x+66=96x+56，x=1．25． 方法二：有1113 1118821x 4 + ==++ + ，所以18222133x 4 + ==++；所以13x 42+=，那么x =1.25． 5．求94 4,43,443,...,44...43123个这10个数的和． 【分析与解】方法一： ={104 4(441)(4441)...(44...41)+-+-++-个
第十讲 一元一次方程 一、 一元一次方程的解法 相关概念： 等式性质：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以（除数不为零）同一个数，等式仍然成立。 方程：含有未知数的等式。 （两个注意：（1）含有未知数；（2）等式。） 元：未知数的个数（几种未知数就是几元）； 次：未知数最高次项的次数。 解一元一次方程步骤： （1） 去括号（注意①乘法分配律；②括号前是减号要变号） （2） 移项（过桥变号） （3） 合并 （4） 求解 前两步易错。 例1：①2X+12=4X‐12 解：12+12=4X‐2X（移项注意过桥变号；未知数放左边不够减就放右边） 24=2X（合并） X=12（求解；最后一步建议把X写左边） ②10（X+2）=4（2X+7） 解：10X+20=8X+28（去括号，注意乘法分配律） 10X‐8X=28‐20（移项，注意变号） 2X=8 X=4 超常学案1：①8X‐2（7+X）=4 解： 8X‐14‐2X=4（注意去括号要同时完成两个任务①乘法分配律；②括号前是减号要变号 8X‐2X=4+14 6X=18 X=3 补充题：6（3‐X）‐5（X‐1）=1【X=2】 3X+2‐2（2X‐1）=0【X=4】 二、列方程解应用题 步骤：设、列、解、（检验）、答。
我们学习方程工具以后，复杂的应用题不需要绕来绕去分析。直接根据题意列方程求解即可。 设未知数有直接设未知数和间接设未知数。 （一）直接设未知数 例2：（年龄问题）今年，爷爷的年龄是小李的5倍，小李发现，12年后，爷爷的年龄将是他的3倍，试求出今年小李的年龄。 解：设小李今年X岁，爷爷今年5X 今年的年龄 12年后的年龄 小李 X X+12 爷爷 5X 5X+12 根据“12年后，爷爷的年龄将是他的3倍，” 列得方程：5X+12=3（X+12） 解得X=12 答：小李今年12岁。 注：表格助于分析整理条件，熟悉后可略去。 例4：（盈亏问题）一个工人接到加工一批零件的任务，限期完成。如果每天做10个，还差3个完成任务；如果每天做11个，就可以提前1天完成。他的工作期限是多少天？ 解：设工作期限是X天。（根据总量相等列方程） 10X+3=11（X‐1） 解得，X=14 答：工作期限是14天。 【附：本题的算术解法：（11+3）÷（11‐10）=14（天） 而解方程的过程 10X+3=11（X‐1） 10X+3=11X‐11 11+3=11X‐10X X=（11+3）÷（11‐10） 可见算术方法和方程是对应的。算术方法对应着解方程的过程。有的题目有多种算术方法就可以列得多个不同的方程。如鸡兔同笼，有兴趣的同学可以试试，有助于加深对方程的理解。】 例5：（和差问题）把161分成两个数，使两数之和是两数之差的7倍，求这两个数各是多少？ 解：两数差为161÷7=23，设较小数为X，则大数为X+23，根据两数和为161 解方程X+（X+23）=161 解得X=69 则较大数为69+23=92 答：大数为92，小数为69。 例6：（迎春杯真题）王二小放一群鸭子到池塘，邻居李大妈问二小一共有
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学而思小学奥数知识点梳理 学而思教材编写组 前言 小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。 概述 一、计算 1．四则混合运算繁分数 ⑴运算顺序 ⑵分数、小数混合运算技巧 一般而言： ①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； ②乘除运算中，统一以分数形式。 ⑶带分数与假分数的互化 ⑷繁分数的化简 2．简便计算 ⑴凑整思想 ⑵基准数思想
⑶裂项与拆分 ⑷提取公因数 ⑸商不变性质 ⑹改变运算顺序 ①运算定律的综合运用 ②连减的性质 ③连除的性质 ④同级运算移项的性质 ⑤增减括号的性质 ⑥变式提取公因数 形如： 3．估算 求某式的整数部分：扩缩法4．比较大小 ①通分 a. 通分母 b. 通分子 ②跟“中介”比 ③利用倒数性质 若，则c>b>a.。形如：，则。5．定义新运算 6．特殊数列求和
运用相关公式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n 二、数论 1．奇偶性问题 奇奇=偶奇×奇=奇 奇偶=奇奇×偶=偶 偶偶=偶偶×偶=偶 2．位值原则 形如： =100a+10b+c 3．数的整除特征： 整除数特征 2 末尾是0、2、4、6、8 3 各数位上数字的和是3的倍数 5 末尾是0或5 9 各数位上数字的和是9的倍数 11 奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数
蜗牛爬井 第六讲 【例题分析】第6天；可以先考虑特殊的最后一天，蚂蚁爬5米刚好爬到井口，不再滑下，那么它在 前几天一共向上移动了205-=15米；它每天爬上5米，又滑下2米，相当于每天只移动了52-=3米，之前爬了153÷=5天，所以第51+=6天爬到井口． 一只蚂蚁从一口20米深的枯井底部往上爬，它每天往上爬5米后，就会滑下2米，像这样爬，这只蚂蚁第几天刚好爬到井口？ 【例题分析】第7天；水缸打水和蜗牛爬井一样，可以先考虑最后一天，这天早上工作人员刚好第一 次将水缸装满，那么在此之前水缸里一共有水295-=24桶．每天打回5桶水，又用掉1桶水，则相当于每天往缸里增加51-=4桶水，需要244÷=6天，则第61+=7天第一次把水缸装满． 有一口空水缸，需要29桶水才能刚好装满．工作人员每天早上会打回5桶水倒入缸中，傍晚又会用掉缸里1桶水，那么工作人员第几天才能第一次让水缸装满水？
【例题分析】 第6天；先考虑最后一天，水缸刚好第一次装满，那么在此之前水缸里一共有水216-=15桶．每天倒入6桶水，又用掉3桶水，则相当于每天往缸里增加63-=3桶水，需要 153÷=5天，则第51+=6天才能第一次将水缸装满． 【例题分析】32米；树懒每天向上爬6米，晚上滑下2米，每天树懒只向上移动了62-=4米．树懒 第8天才到顶端，那么前7天共移动了47?=28米，再加上第8天的4米，树一共高 284+=32米． 树懒爬树，它从树底端开始，每天白天向上爬6米，晚上睡觉时滑下2米，第8天爬了4米后终于爬到了树顶端．请问这棵树高多少米？ 一个空水缸装满水需要21桶，婷婷每天早上向缸里倒入6桶水，晚上又用掉缸里3桶水，婷婷第几天才能第一次将水缸装满？
学校________________ 班级________________ 姓名_________________ 联系电话__________________ 密 封 线 内 不 要 答 题 2017年学而思数学超常班选拔考试 四年级 一、 填空题（每题6分，共96分，将答案填在下面的空格处） 1. 2006＋200.6＋20.06＋ 2.006＋994＋99.4＋9.94＋0.994＝__________． 【答案】原式=（2006+994）+（200.6+99.4）+（20.06+9.94）+（2.006+0.994） =3000+300+30+3 =3333． 2. 定义x ☆37y x y ．（1☆1）+（2☆2）+（3☆3）+…+（10☆10）=__________． 【答案】（1☆1）+（2☆2）+（3☆3）+…+（10☆10） 317132723373310710 10(12310) 550 3. M 是两位数，如果11M A B ，当A B 的和最大时，M __________． 【答案】98 4. 五位打工者一天的辛苦劳动后共获得330元工资，由于工种不同，获得最高工资者比其他四位 分别多得12、14、21和28元，获得最低工资者的工资是__________元． 【答案】获得最高工资者的工资是 33012142128581 元，所以获得最低工资者的工资 是812853 元． 5. 一次足球赛比赛中，所有参赛队的每两个队比赛一场，共比赛了15场，那么有__________ 个队参赛． 【答案】6 6. 春节前夕，一个富翁向一些乞丐施舍一笔钱．一开始他准备给每人100元，结果剩下350元， 他决定每人多给20元．这时从其他地方闻讯赶来了5个乞丐，如果他们每个人拿到的钱和其他乞丐一样多，富翁还需要再增加550元．原有__________名乞丐． 【答案】题目可以转化为：每个乞丐（一开始的个数）给100元，多350元，每个乞丐（一开始 的个数）给120元，多12×50-550=50元. 根据盈亏问题一开始乞丐个数（350-50）÷（120-100）=15（个）． 7. A 、B 两地相距90千米，甲骑自行车每小时行15千米，乙开汽车，每行1千米比 甲少用3分钟，甲、乙两人同时从A 出发去B 地，乙到B 地后立即返回，当乙遇到甲时，他们距离B 地__________千米． 【答案】因为甲骑自行车每小时行15千米， 所以甲骑车行1千米需要4分钟． 因为乙每行1千米比甲少用3分钟，’ 所以乙每分钟行1千米，即每小时行60千米． 因为A 、B 两地相距90千米， 所以从甲、乙同时从A 出发，到乙从B 地返回遇到甲， 两人共行了90×2 =180（千米）， 所花的时间是180 ÷(15 +60)=2.4(小时)． 所以当乙遇到甲时，他们距离B 的距离是90-15×2.4=54(千米)． 8. 如图，用8个相同的小长方形拼成一个大长方形，求阴影部分的面积是__________平方厘米． 【答案】阴影部分面积是900平方厘米． 9. 如图，三角形ABC 面积为90平方厘米，BD =2DC ，AE :EC =2: 3，求阴影部分三角形 CDE 的 面积__________ 平方厘米． B C 【答案】18平方厘米. 10. 如图，请在右图每个方框中填入一个不是8 的数字，使乘法竖式成立．则乘积的结果为 __________． 8 8 8 ×
二年级超常班第二讲 藏在宝石里的数 【例1】找出下面数列的规律，在“()”里填上适当的数． ⑴1，2，4，8，（），（），64，128． ⑵2，6，18，( ) ，( ) ，486，1458． ⑶1，10，100，1000，( ) ，( ) ，1000000，10000000． 【分析】这是一组等比数列，通过这个题的学习老师引导学生 认识什么是等比数列． ⑴
⑵ ⑶ 这三个数列每组数列每相邻两 个数之间相乘的数都是一样的，这样的数列是等比数列． 【例2】找出下面数列的规律，在“( )”里填上适当的数． ⑴1，1，2，8，（），1024． ⑵1，1，3，27，( ) ，59049．【分析】这是一组二级等比数列，通过这个题的学习老师引导学 生认识什么是二级等比数列． ⑴
⑵ 【例3】找出下面数列的规律，在“()”里填上适当的数． ⑴1，2，2，4，8，( )，256． ⑵2，3，6，18，（），1944．【分析】 ⑴从第三个数开始，每一项是前两项的积，故（）里应是；后一个数应该是． ⑵从第三个数开始，每一项是前两项的积，故（）里应是；后一个数应该是 【例4】根据前几幅图的规律， 在下列各图中填出问号处的数．
【分析】 每个图中数的排列是有规律的，具体分析如下： ⑴左数第一个数加第二个数再减去第三个数，就得到第四个数．如13+14-15=12， 17+18-19=16，那么第三个图中“？”处就应该是： 20+21-22=19．
⑵这个图中三个数的规律是：三个角上的数相加等于中间的数．如5+6+7=18，8+9+10=27那么第三个图中“？”处就应该是：11+12+13=36. ⑶每个三角形上面的数与左边的数相加再减去右边的数恰好等于三角形内的数．如 22+23-20=25，37+38-25=50，所以“？”处应填 41+42-23=60． 【例5】根据规律，填出所缺的数．