《小波分析及其应用》（孙延奎，2005）第5章 可分离二维小波变换算法实现的问题与讨论
孙延奎
摘要：总结分析可分离二维小波变换算法实现的细节，澄清一些概念与问题，纠正例5-2中“转置”的错误，回答读者的问题。
教材中三个方向小波的定义：
12
3(,)()()
(,)()()(,)()()x y x y x y x y x y x y ψφψψψφψψψ?=?=??=?
,11,22,33
,,,,,,,,,,,,(,)j j j j k m j k m k m j k m k m j k m k m
k m
k m
g x y d d d ψψψ=++∑∑∑ （5.5）
经简单计算可得，
1
,1,,,11,,,,22
,,,,33
,,,,,,,j k m j k m j k m j k m j k m j k m
j k m j k m
c f
d f d f d f ?ψψ
ψ++?=??=??=??=
??
我们称序列
{},1
,2,3,,,j
j j j c d
d d 为1j c +的（一级）二维小波变换。下面讨论二维小波变换
的快速算法。
设一维多分辨分析
{}j
V 的两尺度方程和小波方程为：
(
)()
(
)()
22k k
k k
t h t k t g t k φφψφ=-=-
其中，
{}
k
h 为实滤波器，()11k
k
k g h -=-。则类似一维正交多分辨分析的推导，由
1,11,22,33
1,1,,,,,,,,,,,,,,,(,)j j j j j k m j k m k m j k m k m j k m k m j k m k m
k m
k m
k m
f x y c d d d φψψψ+++=+++∑∑∑∑
()(
)()(
)()*,,,,,****1**1**1*1*1,**,,,,2(2)(2),2(22)(22)2,(22)(22)l n j k m j k m j k m R
R
j j j R
R
j j j R R
l n j j j l n R
R
l n
l n l c f f x y x y dxdy f x y x k y m dxdy
f x y h x k l h y m n dxdy
h h f x y x k l y m n dxdy
h h φφφφφφφφ+++++===--??
=---- ???
=----=??
???
?
∑?
?
21**1**1
2,22,22,,,,l k j j j k l m n n m l n
k l m n l n n
l n
l n
c h h c h h c -+++++---==∑∑
∑()()()()(
)()*
,111,,,,,****1**
1**
1*1*1,*,,,,2(2)(2),2(22)(22)2,(22)(22)j k m j k m
j k m R
R
j j j R
R
j j j l n R R
l n j j j l n
R
R
l n
l d f f x y x y dxdy
f x y x k y m dxdy
f x y h x k l
g y m n dxdy
h g f x y x k l y m n dxdy
h ψψφψφφφφ+++++===--?=----??
=----=??
???
?
∑??
*1**1**1
2,222,22,,,,j j j n k l m n l k n m l n
k l m n l n l n
l n
l n
g c h g c h g c +++++----==∑∑∑
得二维Mallat 算法如下（假设h 是实滤波器）：
11
,22,22,,,,1
11
,22,22,,,,211
,22,22,,,,311
,22,22,,,j j j k m l k n m l n k l m n l n
l n l n
j j j k m l k n m l n k l m n l n
l n l n j j j k m l k n m l n k l m n l n l n l n j j j k m l k n m l n
k l m n l n l l n c h h c h h c d h g c h g c d g h c g h c d g g c g g c ++----++----++----++----========∑∑∑∑∑∑∑n ??????
?
???
???
∑ （5.6）
重构算法：
1,1,2,3
,22,22,22,22,,,,,j j j j j k m k l m n l n k l m n l n k l m n l n k l m n l n l n
l n
l n
l n
c h h c h g
d g h d g g d +--------=+++∑∑∑∑（5.7）
评注：
1） 在关履泰 编著“小波方法与应用”中，空间分解表示与我教材中是一致的，但二维可
分离小波1ψ与2ψ的意思正好与我的相反。其j
α与j β对应我教材中的,2
j d 和,1
j d
。经
理论分析及试验验证，Matlab 中的用法与关履泰书中的一致。
2） 在Mallat 编著“信号处理的小波导引”中，空间分解表示及二维可分离小波1ψ，2ψ，
2ψ，,1j d ，,2j d 等都与教材中的一致。只是最后对变换的结果的表示略有不同：
教材中采用的方法是：
,1,2
,3j
j j j c d d d ??
???? 而Mallat 著作中，最后的表示为
,2,1
,3j
j j j c d d
d ??
????
如对下面一幅图像，
图1
教材中的表示如下右图所示，其中左上角表示低频系数，左下表示垂直边缘； 右上角表示水平边缘；右下角表示对角边缘。
图2
而在Mallat 的著作“信号处理的小波导引”中（图7－26）中，各个分辨率下的图像中水平边缘与竖直边缘的位置正好相反。其中，左上角表示低频系数，左下表示水平细节系数（水平边缘）；右上角表示垂直细节系数；右下角表示对角细节系数。
可分离双正交基：
可将一维双正交小波基推广到2
2
()L R 的可分离正交小波基。令,φψ和,φψ是生成2
()L R 的
双正交小波基的两对对偶的尺度函数与小波。则
12
3(,)()()(,)()()(,)()()x y x y x y x y x y x y ψφψψψφψψψ?=?=??=?
所定义的1ψ，2ψ，3ψ的对偶小波是：
12
3(,)()()(,)()()(,)()()x y x y x y x y x y x y ψφψψψφψψψ?=?=??=?
可以证明：
{}
3
123
,,,,,,j n
j n j n j n Z
ψ
ψψ∈和{
}
3
123
,,,,,,j n j n j n
j n Z
ψψψ∈是22()L R 的双正交Riesz 基。
二维可分离小波的频率特性分析：
二维可分离小波1ψ，2ψ，3ψ在不同的尺度和方向上提取图像细节。即用1ψ和2ψ计算出的小波系数分别在水平和垂直边缘上取得大的值。分别提取图像的水平与垂直特征。小波3ψ在角点上产生大的系数，提取对角边缘。具体的，
1ψ： 垂直高频，提取水平边缘
2ψ： 水平高频，提取垂直边缘
在正频率上，?φ
和?ψ的能量分别集中在[]0,π和[],2ππ上。由可分离小波1
ψ，2
ψ，3
ψ的表达式可推出：
()()()()()()()()()123?????????,,,,,x y x y x y x y
x y x y ψωωφωψωψωωψωφωψωωψωψω=== 因此，在低的水平频率x ω处和高的垂直频率y ω处()1
?,x
y
ψωω大；在高的水平频率x
ω
处
和低的垂直频率y ω处()
2
?,x
y
ψ
ωω大；而在高的水平频率x ω和垂直频率y ω处
()3?,x y ψ
ωω大。可显示出正交小波对应的可分离小波的傅立叶变换图。 在王大凯，彭进业编著的“小波分析及其在信号处理中的应用” 中，塔式分解写法中低频子带与三个高频子带的位置正好反映它们对频域的内在划分，注意，该书中1
ψ，2
ψ，3
ψ的定义与教材相同。
即
??
2?ψ j
c ,2
j d 1?ψ
3?ψ ,1
j d ,3
j d
若用L 表示低通滤波器，用H 表示高通滤波器，则滤波器LL,LH,HL 和HH 构成4个具有
不同频率特性和方向特性的滤波器。 LL 用于检索图像中的低频分量，LH 用于检测水平方向的边缘、细节分量，HL 用于检测垂直方向的边缘、细节分量，HH 用于检测主对角与副对角方向的分量。【这里的LH ，意思是先用L 做行变换，再H 做列变换。与教材中的意思相反。】
可见，采用以下表示
,2,1
,3j
j j j c d d d ??
????
能够与它们对频域的划分一致。
其它著作中有关问题的描述：
1. 在杨福生著的“小波变换的工程分析与应用”中（P117），三个小波1ψ，2ψ，3ψ与本教材的是一致的。它指出：三个小波1ψ，2ψ，3ψ中都至少包含一个带通的()x ψ或()y ψ，因此，它们都是带通的，也就是说，这三部分反映的都是高通细节。
指出，对(),f x y ，先沿x 方向分别用()x φ和()x ψ作分析，把(),f x y 分成平滑逼近和细节这两部分，然后对这两部分再分别用()y φ和()y ψ作类似分析。得到一个平滑逼近与三个细节函数。
注意：该著作中（5.13a ）, （5.13b ）的写法不够严谨。 其中，()
()
()
123,,,j j j j A f D D D 的含义同本教材中的,1
,2
,3,,,j
j j j c d d
d 。
图5.4中的b,c,d 是否与()
()
()
123,,j j j D D D 相对应，没有指出。是对应的。 图5.6中()
()
12,j j D D 的位置搞错了。
2) 李弼程等编著的“小波分析及其应用”，在P40页指出：一幅图像可分解为一个低频子图
j c 和水平、垂直与对角线3个方向的高频子图,1,2,3,,j j j d d d 。但没有对“水平、垂直与对
角线”做进一步的解释。
以下通过例子分析可分离二维小波变换的计算过程，主要用于理解概念。
第一种方法，很直观，将可分离二维小波变换看成是：先对各行进行小波变换，然后对各列进行小波变换。反之也可以。
例5.1 一个2x2图象的二维Haar 小波变换。这里采用非标准的Haar 小波滤波器。
1621010???行小波变换
97100?????列小波变换00,10,20,39.5 3.50.5 3.5c d d d ??
??=????-????
如果按照Mallat 书中的写法，也可以交换0,1
d
与0,2
d
的位置，将变换结果写成
0,10,1
0,39.50.53.5 3.5c d d
d -????=???????? 先列变换，再行变换，结果相同：
1621010???列小波变换
1363??-行小波变换00,10,2
0,39.5 3.50.5 3.5c d d
d ????=????-????
例5.2 一个4x4图像的二维Haar 小波变换。 先行变换，后列变换：
二次小波变换
?????
?
????--------175.05.125.01015.15.025.1375
.65.15.05.43
??
???
?
?
???????3695
217683544321
??
????
-------5.125.475.05.05.15.65.25.05.55.45.05
.05
.35
.1
左上角二维
小波变换一次小波变换
4.31250.56250.5 1.50.5625 1.3125 1.250.51.51010.25
1.50.751--??
??---????--??
---??
这种结果对应下述表示（不够严谨）：
0,11,10,2
0,3
1,21,3c d d d
d d d ?????????
?
如果按照Mallat 书中的写法，也可以交换0,1
d ，0,2
d
及1,1d ，1,2
d
的位置，将变换结果写成
4.31250.5625 1.5
10.5625 1.31250.25 1.50.5 1.5011.250.50.751---????
---?
???--??--??
同理可以验证，先列后行结果相同。
二次小波变换
??
????
????--------175.05.125.01015.15.025.1375.65.15.05.43
??
?
???????3695
217683544321
??
???
??
???????-------5.125.47
5.05.05.15.65.25.05.55.45.05
.05
.35
.1
左上角二维
小波变换一次小波变换
4.31250.56250.5 1.50.5625 1.3125 1.250.51.51010.25 1.50.751--??
??---????--??---??
第二种方法: 利用（5－6）进行验证：
1
,22,,,11,22,,,21
,22,,,3
1
,22,,j j k m l k n m l n l n
j j k m l k n m l n l n
j j k m l k n m l n
l n
j j k m l k n m l n l n c h h c d h g c d g h c d g g c +--+--+--+--?=??=???=??
?=??
∑∑∑∑ （5－6） 改写（5-6）中第一个公式：
()()
()
()
1122,22,,122,11
22,2,11,,2,j j l k n m l n n m l k l n l n n l j m n k l l n
n l j j m n m n k n k n n n
j j j k m
k m
k m
h h c h h c h h c h h c h c h c D h c c ++----+--++--++??=??
????=??
??
????=*=????=*=*=∑∑∑∑∑∑∑
工程解释：对任一固定的列数n ，先用h 与1
j c
+的每个列向量做卷积，进行向下二抽样得到
1j c +；然后，用h 与1j c +的每个行向量做卷积，进行向下二抽样得到j c 。
类似的，
1） 对任一固定的列数n ，先用h 与1
j c
+的每个列向量做卷积，进行向下二抽样得到
1j c +；然后，用g 与1j c +的每个行向量做卷积，进行向下二抽样得到,1j d 。
2） 对任一固定的列数n ，先用g 与1
j c
+的每个列向量做卷积，进行向下二抽样得到
1j c +；然后，用h 与1j c +的每个行向量做卷积，进行向下二抽样得到,2j d 。
3） 对任一固定的列数n ，先用g 与1
j c
+的每个列向量做卷积，进行向下二抽样得到
1j c +；然后，用g 与1j c +的每个行向量做卷积，进行向下二抽样得到,3j d 。
现在以例5.2为例进行说明：
1111,,,,2222h g ????==-????????
21234453867125
96
3c ???
???=
??????
则对应于1
c 的计算过程为：
2
1234453867125963c ?????
?
=??
??
??
0.51
1.52
2.5
3.5366255.58 3.5 2.52.5
4.53 1.5??
??????
??????
2.5
3.53
65.58 3.5 2.5??????
1.253
3.25
4.532.75 6.75
5.753 1.25??
与每列卷积
每列向下二抽样
与每行卷积
每行向下二抽样
13
4.56.753c ??=????
h h
对应于1,1
d 的计算过程为：
2
1234453867125963c ?????
?
=??
??
??
0.51
1.52
2.5
3.5366255.58 3.5 2.52.5
4.53 1.5??
??????
??????
2.5
3.53
65.58 3.5 2.5??????
1.250.50.25 1.53
2.75 1.25 2.250.5 1.25---
--与每列卷积
每列向下二抽样
每行向下二抽样
1,1
0.5 1.51.250.5d --?=?-??
h
对应于1,2
d
的计算过程为：
2
1
234453867125
963c ?????
=???
??
0.51 1.521.5 1.50211130.51 2.50.52.5
4.53 1.5----??
??---????
--??
---??????
1.5 1.50
20.51 2.50.5---????---??
0.75 1.50.751
10.250.25 1.75 1.50.25-----
??----?
每列向下二抽样
每行向下二抽样
1,2
1.510.25 1.5d --??=??--??
g
与直接先行后列或先列后行的结果都相同，结果均为
1
1,11,2
1,3c d d
d ??
????
流程图可写成：
图3
1
j c +1
j d + 列卷积
1
j c + 行卷积
一维列变换
一维行变换
行抽样:保留偶数行
列抽样: 保留偶数列
另一种解释方法：
()()()
()
()
1122,22,,122,1122,,211,2,, j j l k n m l n l k n m l n
l n l n j k l m n l n
l n j j k l k l l m l m l l
j j j k m
k m
k m
h h c h h c h h c h h c h c h c D h c c ++----+--++--++??=??
????=??
??
??=*=??=*=*=∑∑∑∑∑∑∑
工程解释：对任一固定的行数l ，先用h 与1
j c
+的每个行向量做卷积，进行向下二抽样得到
1j c +；然后，用h 与1j c +的每个列向量做卷积，进行向下二抽样得到j c 。
类似的，
1） 对任一固定的行数l ，先用h 与1
j c
+的每个行向量做卷积，进行向下二抽样得到1
j c
+；
然后，用g 与1
j c
+的每个列向量做卷积，进行向下二抽样得到,2
j d
。
2） 对任一固定的行数l ，先用g 与1
j c
+的每个行向量做卷积，进行向下二抽样得到1
j c
+；
然后，用h 与1
j c
+的每个列向量做卷积，进行向下二抽样得到,1
j d
。
3） 对任一固定的行数l ，先用g 与1
j c
+的每个行向量做卷积，进行向下二抽样得到1
j c
+；
然后，用g 与1
j c +的每个列向量做卷积，进行向下二抽样得到,3
j d
。
例子：
21234 4538 6712 5963
c
??
??
?
=
?
??
??
0.5 1.5 2.5 3.52
4.54
5.54
6.54 1.51
2.577.5 4.5 1.5
??
??
?
??
??
1.5 3.5
4.5
5.5
6.5 1.5
7 4.5
??
??
??
??
??
??
0.75 1.75
3 4.5
5.5 3.5
6.753
3.5 2.25
??
??
??
??
??
??
??
??
与每行卷积
每列向下二抽样
与每列卷积每列向下二抽样
1
3 4.5
6.753
c
??
=
??
??
h
h
21234 4538 6712 5963
c
??
??
??
=
??
??
??
0.50.50.50.52
20.51 2.54
30.530.51
2.52 1.5 1.5 1.5
----
??
?
---
??
??
---
??
--
??
0.50.5
0.5 2.5
0.50.5
2 1.5
--
??
??
--
??
??
--
??
-??
0.250.25
0.5 1.5
0.5 1.5
1.250.5
10.75
--
??
??
--
??
??
--
??
-??
??
-??
与每行卷积
每列向下二抽样与每列卷积
每行向下二抽样
1,1
0.5 1.5
1.250.5
d
--?
=
?
-??
g
h
（保留偶数列）
（保留偶数行）
2
1234
4538
6712
5963
c
??
??
??
=
??
??
??
0.5 1.5 2.5 3.52
4.54
5.54
6.54 1.51
2.577.5 4.5 1.5
??
??
?
??
??
1.5 3.5
4.5
5.5
6.5 1.5
7 4.5
??
??
??
??
??
??
0.75 1.75
1.51
12
0.25 1.5
3.5 2.25
--
??
??
--
?
?-
?
--
??
??
??
与每行卷积
每列向下二抽样
每列向下二抽样
1,2
1.51
0.25 1.5
d
--
??
=
??
--
??
h
（保留偶数列）
（保留偶数行）
对应的流程图为：
图4
以上实验表明，Matlab 中关于dwt2()函数的说明中，()()(),,h v d
CD CD CD 分别指
,2,1,3,,j j j d d d 。当然，如果想从形式上交换,2,1,j j d d 的顺序，则这对应小波的以下定义：
12
3(,)()()(,)()()(,)()()x y x y x y x y x y x y ψψφψφψψψψ?=?=??=?
即将我们定义中1
ψ代替2
ψ；反之亦然。这等价于一开始提到的关履泰书中的定义。这在一开始就曾指出过。
以下通过Matlab 试验来说明这一点： X = [1,2,3,4;4,5,3,8;6,7,1,2;5,9,6,3]; Lo_D = [1/2,1/2]; Hi_D = [-1/2,1/2];
[cA,cH,cV,cD] = dwt2(X,Lo_D,Hi_D); X cA cH cV cD % X = %
% 1 2 3 4 % 4 5 3 8 % 6 7 1 2 % 5 9 6 3
行卷积
列抽样:保留
偶数列
一维行变换 列卷积
行抽样:
保留偶数行
一维列变换
,1
j d ,2j d
% % % cA = %
% 3.0000 4.5000 % 6.7500 3.0000 % % % cH = %
% -1.5000 -1.0000 % -0.2500 -1.5000 % % % cV = %
% -0.5000 -1.5000 % -1.2500 0.5000 % % % cD = %
% 0 1.0000 % 0.7500 -1.0000
评注：现讨论“行变换”的确切理解问题。我查了一下，小波书中很少谈到“行变换”的具
体定义。在王大凯，彭进业编著的“小波分析及其在信号处理中的应用” 中，提到“对{}
1
,j l n
c +进行行变换（n 固定）。”我认为，当n 固定时，实质上是对{}
1,j l n c +的第n 列变换，所以，称之为“列变换”更为合适。也就是说，当行下标l 固定时，对{}
1
,j l n c +进行的变换才是行变换，
这在上面也都是这么理解的。按照这种传统的理解方法，Mallat 著作（中译本）第236页的流程图7-27a 也是不正确的。
注意：根据以上的分析与讨论，可对例5-4做修正（略）。关键是不要转置。 原则上，根据教材中的符号意义，应为
,2,1
,3j j j j LL
HL c d LH HH d
d ??
??=???
?????
最后，对P123上半页的表述进行修正（为修改最少，参考图4中的表述方法）： 将P123中第4行中的“k ”改为l ；将第7行与第8行中的,1
j d
和,2
j d
互换。
连续小波变换的概念swt,cwt,dwt 1。连续小波的概念。就是把一个可以称作小波的函数（从负无穷到正无穷积分为零）在某个尺度下与待处理信号卷积。改变小波函数的尺度，也就改变了滤波器的带通范围，相应每一尺度下的小波系数也就反映了对应通带的信息。本质上，连续小波也就是一组可控制通带范围的多尺度滤波器。 2。连续小波是尺度可连续取值的小波，里面的a一般取整数，而不像二进小波a取2的整数幂。从连续小波到二进小波再到正交离散小波，其实就是a、b都连续，a不连续、b连续，a、b都不连续的过程。操作他们的快速算法也就是卷积(快速傅里叶)，多孔(a trous)，MALLAT。在MATLAB里，也就是CWT，SWT，DWT。SWT称平稳小波变换、二进小波变换、或者非抽取小波变换。3。从冗余性上：CWT>SWT>DWT，前面两个都冗余，后面的离散小波变换不冗余。 4。从应用上：CWT适合相似性检测、奇异性分析；SWT适合消噪，模极大值分析；DWT适合压缩。 5。操作。就是在某个尺度上得到小波的离散值和原信号卷积，再改变尺度重新得到小波的离散值和原信号卷积。每一个尺度得到一个行向量存储这个尺度下的小波系数，多个尺度就是一个矩阵，这个矩阵就是我们要显示的时间-尺度图。 6。显示。“不要认为工程很简单”。我的一个老师说过的话。小波系数的显示还是有技巧的。很多人画出的图形“一片乌黑”就是个例子。第一步，一般将所有尺度下的小波系数取模；第二步，将每个尺度下的小波系数范围作映射，映射到你指定MAP的范围，比如如果是GRAY，你就映射到0-255；第三步，用IMAGE命令画图；第四步，设置时间和尺度坐标。MATLAB是个很专业的软件，它把这些做的很好，但也就使我们懒惰和糊涂，我是个好奇心重的人就研究了下。里面有个巧妙的函数把我说的(1,2)两个步骤封装在了一起，就是WCODEMAT，有兴趣的同学可以看看。 希望大家深入研究小波。 这里，还有要说的是，小波目前理论的热点： 1。不可分的小波或者具有可分性质的方向性小波； 2。XLET: CONTOURLET, WEDGELET, SHEARLET, BANDELET, RIDGELET, CURVELET; PLATELET. 3。多分辨率分析+多尺度几何分析的结合，才真正是我们所需要的。比如小波域的WEDGELET等等。 最后，几点建议： 1。理论研究和实际应用不同，工程上很多问题小波并不是最好的，在做项目的时候大家要实际情况，实际对待。
第一章图像边缘的定义 引言 在实际的图像处理问题中，图像的边缘作为图像的一种基本特征，被经常用于到较高层次的特征描述，图像识别。图像分割，图像增强以及图像压缩等的图像处理和分析中，从而可以对图像进行进一步的分析和理解。 由于信号的奇异点或突变点往往表现为相邻像素点处的灰度值发生了剧烈的变化，我们可以通过相邻像素灰度分布的梯度来反映这种变化。根据这一特点，人们提出了多种边缘检测算子：Roberts算子Prewitt算子Laplace算子等。 经典的边缘检测方法是构造出像素灰度级阶跃变化敏感的微分算子。这些算子毫无例外地对噪声较为敏感。由于原始图像往往含有噪声、而边缘和噪声在空间域表现为灰度有大的起落，在频域则反映为同是主频分量，这就给真正的边缘检测到来困难。于是发展了多尺度分析的边缘检测方法。小波分析与多尺度分析有着密切的联系，而且在小波变换这一统一理论框架下，可以更深刻地研究多尺度分析的边缘检测方法，Mallat S提出了一小波变换多尺度分析为基础的局部极大模方法进行边缘检测。 小波变换有良好的时频局部转化及多尺度分析能力，因此比其他的边缘检测方法更实用和准确。小波边缘检测算子的基本思想是取小波函数作为平滑函数的一阶导数或二阶导数。利用信号的小波变换的模值在信号突变点处取局部极大值或过零点的性质来提取信号的边缘点。常用的小波算子有Marr 算子Canny算子和Mallat算子等。
§1.1信号边缘特征 人类的视觉研究表明，信号知觉不是信号各部分简单的相加，而是各部分有机组成的。人类的信号识别（这里讨论二维信号即图像）具有以下几个特点：边缘与纹理背景的对比鲜明时,图像知觉比较稳定；图像在空间上比较接近的部分容易形成一个整体；在一个按一定顺序组成的图像中，如果有新的成份加入，则这些新的成份容易被看作是原来图像的继续；在视觉的初级阶段，视觉系统首先会把图像边缘与纹理背景分离出来，然后才能知觉到图像的细节，辨认出图像的轮廓，也就是说，首先识别的是图像的大轮廓；知觉的过程中并不只是被动地接受外界刺激，同时也主动地认识外界事物，复杂图像的识别需要人的先验知识作指导；图像的空间位置、方向角度影响知觉的效果。从以上这几点，可以总结出待识别的图像边缘点应具有下列特征即要素：具有较强的灰度突变，也就是与背景的对比度鲜明；边缘点之间可以形成有意义的线形关系，即相邻边缘点之间存在一种有序性；具有方向特征；在图像中的空间相对位置；边缘的类型，即边缘是脉冲型、阶跃型、斜坡型、屋脊型中哪一种。 §1.2图像边缘的定义 边缘检测是图像处理中的重要内容。而边缘是图像中最基本的特征，也是指周围像素灰度有变化的那些像素的集合。主要表现为图像局部特征的不连续性，也就是通常说的信号发生奇异变化的地方。奇异信号沿边缘走向的灰度变化剧烈，通常分为阶跃边缘和屋顶边缘两种类型。阶跃边缘在阶跃的两边的灰度值有明显的变化；屋顶边缘则位于灰度增加与减少的交界处。我们可以利用灰度的导数来刻画边缘点的变化，分别求阶跃边缘和屋顶边缘的一阶，二阶导数。如图可见，对于边缘点A，阶跃边缘的一阶导数在A点到最大值，二阶导数在A点过零点；屋顶边缘的一阶导数在A点过零点，二阶导数在A点有最大值。
第9章 小波变换基础 9.1 小波变换的定义 给定一个基本函数)(t ψ，令 )(1)(,a b t a t b a -= ψψ （9.1.1） 式中b a ,均为常数，且0>a 。显然，)(,t b a ψ是基本函数)(t ψ先作移位再作伸缩以后得到的。若b a ,不断地变化，我们可得到一族函数)(,t b a ψ。给定平方可积的信号)(t x ，即 )()(2R L t x ∈，则)(t x 的小波变换（Wavelet Transform ，WT ）定义为 dt a b t t x a b a WT x )()(1),(-= ? *ψ ??==? * )(),()()(,,t t x dt t t x b a b a ψψ （9.1.2） 式中b a ,和t 均是连续变量，因此该式又称为连续小波变换（CWT ）。如无特别说明，式中及以后各式中的积分都是从∞-到∞+。信号)(t x 的小波变换),(b a WT x 是a 和b 的函数， b 是时移，a 是尺度因子。)(t ψ又称为基本小波，或母小波。)(,t b a ψ是母小波经移位和 伸缩所产生的一族函数，我们称之为小波基函数，或简称小波基。这样，（9.1.2）式的WT 又可解释为信号)(t x 和一族小波基的内积。 母小波可以是实函数，也可以是复函数。若)(t x 是实信号，)(t ψ也是实的，则 ),(b a WT x 也是实的，反之，),(b a WT x 为复函数。 在（9.1.1）式中，b 的作用是确定对)(t x 分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子 a 的作用是把基本小波)(t ψ作伸缩。我们在1.1节中已指出，由)(t ψ变成)(a t ψ，当1 >a 时，若a 越大，则)(a t ψ的时域支撑范围（即时域宽度）较之)(t ψ变得越大，反之，当1 小波变换和motion信号处理（一） 这是《小波变换和motion信号处理》系列的第一篇，基础普及。第二篇我准备写深入小波的东西，第三篇讲解应用。 记得我还在大四的时候，在申请出国和保研中犹豫了好一阵，骨子里的保守最后让我选择了先保研。当然后来也退学了，不过这是后话。当时保研就要找老板，实验室，自己运气还不错，进了一个在本校很牛逼的实验室干活路。我们实验室主要是搞图像的，实力在全国也是很强的，进去后和师兄师姐聊，大家都在搞什么小波变换，H264之类的。当时的我心思都不在这方面，尽搞什么操作系统移植，ARM+FPGA 这些东西了。对小波变换的认识也就停留在神秘的“图像视频压缩算法之王”上面。 后来我才发现，在别的很广泛的领域中，小波也逐渐开始流行。比如话说很早以前，我们接触的信号频域处理基本都是傅立叶和拉普拉斯的天下。但这些年，小波在信号分析中的逐渐兴盛和普及。这让人不得不感到好奇，是什么特性让它在图象压缩，信号处理这些关键应用中更得到信赖呢？说实话，我还在国的时候，就开始好奇这个问题了，于是放狗搜，放毒搜，找遍了中文讲小波变换的科普文章，发现没几个讲得清楚的，当时好奇心没那么重，也不是搞这个研究的，懒得找英文大部头论文了，于是作罢。后来来了这边，有些项目要用信号处理，不得已接触到一些小波变换的东西，才开始硬着头皮看。看了一 些材料，听了一些课，才发现，还是那个老生常谈的论调：国外的技术资料和国真TNND不是一个档次的。同样的事情，别人说得很清楚，连我这种并不聪明的人也看得懂; 国的材料则绕来绕去讲得一塌糊涂，除了少数天才没几个人能在短时间掌握的。 牢骚就不继续发挥了。在这个系列文章里，我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。 最后说明，我不是研究信号处理的专业人士，所以文中必有疏漏或者错误，如发现还请不吝赐教。 要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是 小波变换与小波框架 小波分析的理论与方法是从Fourier分析的思想方法演变而来的，就象Fourier分析分为积分Fourier变换和Fourier级数一样，小波分析也分为(积分)小波变换和小波级数两部分，(积分)小波变换的主体是连续小波变换，正尺度小波变换和s-进小波变换；而小波级数的主体部分是关于小波框架的理论．小波分析理论深刻，应用广泛，并且仍在迅速发展之中．本文是作者作为初学者，就小波分析这一理论中比较基本和初步的东西所作的一点归纳和整理，其实，有许多结论已经或明或暗的出现于许多文献中了，只是作者觉得它们叙述得不够适合初学者，尤其是不适合没有工程应用背景的人，这是因为小波分析象Fourier 分析一样，起初都是由应用数学家，物理学家和工程师们发展起来的．本文所得结论比较初步，所用方法基本上属于泛函分析中的一些基本内容，只是稍微需要一点关于拓扑群的知识和Fourier分析的基础知识．本文仅考虑Hilbert 空间L~2(R)及其闭子空间中的小波变换和小波框架等问题．本文主要考虑的问题是：L~2(R)上的连续小波变换，正尺度小波变换和s-进小波变换，以及L~2(R)中的小波框架，因为平移框架在小波框架中具有重要作用，所以也考虑了L~2(R)的闭子空间中的平移框架．事实上，通常的小波分析所研究的问题，在一维情形，概括地说，是研究实直线R上的仿射群R~*×R及其子群和子集在L~2(R)上的酉表示U所诱导的L~2(R)(有时是其闭子空间)中的函数的积分变换的性质及应用．下面作稍具体的一点解释：首先，变换上的仿射变换，所有这样的变换全体做成—个群，记为和凡xB—1（。m，幻＞儿mE 二，bE用是XxR的子群，（丹xRh 一 U习－，巴－nf小＞1；左＞0，mE 凤n二厂I是R宇XR的一忏集丞它不是群．分别作定义在集合 R’ x B， 基于小波变换的人脸识别 近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。 具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。 4.1 小波变换的研究背景 法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下： ()()dt e t f F t j ωω-? ∞ -∞ += (4-1) 傅立叶变换的逆变换为： ()()ωωπ ωd e F t f t j ? +∞ ∞ -= 21 (4-2) 从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。 尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进 第1章Haar小波分析1.1简介 (近距离---小尺度） （高分辨率） (远距离---大尺度) （低分辨率） 1.2 平均与细节 设1234{,,,}x x x x 是一个信号序列。定义它的平均和细节： 1,0121,012()/2()/2a x x d x x =+? ?=-? 找出了1x 、2x 和1,0a 、1,0d 的关系。 这里，1,0a 是原信号前两个值1x 、2x 的平均。又叫低频成分，反映前两个值1x 、2x 的基本特征或粗糙趋势；1,0d 反映了1x 、2x 的差别，即细节信息，又叫高频成分。 1,1341,134()/2()/2a x x d x x =+? ?=-? 找出了3x 、4x 和1,1a 、1,1d 的关系。 同样，1,1a 是原信号后两个值3x 、4x 的平均，1,1d 反映了3x 、4x 的细节。 我们把1,01,11,01,1{,,,}a a d d 看作是对1234{,,,}x x x x 实施了一次变换的结果。 变换还可以往下进行： 0,01,01,1()/2a a a =+ =1234(()/2()/2)/2x x x x +++ =1234()/4x x x x +++ 0,0a 是对4个信号元素最终的平均，它是原信号最基本的信息；0,01,01,1()/2d a a =-。 经过二次变换，我们得到了原信号的另一种表示： 0,00,01,01,1{,,,}a d d d 该序列叫做原序列的小波变换，0,00,01,01,1,,,a d d d 叫做小波系数。 还可以反过来表示： 111,0211,0x a d x a d =+? ?=-? 这是用｛1a ,1,0d ｝来恢复原信号1x 、2x ； 321,1421,1x a d x a d =+? ?=-? 用｛2a ,1,1d ｝来恢复原信号3x 、4x 。 也就是反变换。 小波变换过程的塔式算法： 例如，1234{,,,}x x x x ＝｛3，1，－2，4｝ 最终的小波变换为0,00,01,01,1{,,,}a d d d =31{,,1,3}22 - 1.3 尺度函数与小波函数 (1)Haar 尺度函数 不压缩：不位移 位移一个单位 位移k 个单位 110,0()() t t φφ=0,1(1)()t t φφ-=0,()()k t k t φφ-=1k 1k +t t t 0000 小波变换学习心得 第一章什么是小波变换 1从傅里叶变换到小波变换 1.1 短时傅里叶变换 为了克服傅里叶变换中时域和频域不能兼容的缺点，短时傅里叶变换把一个时间信号变为时间和频率的二维函数，它能够提供信号在某个时间段和某个频率围的一定信息。这些信息的精度依赖于时间窗的大小。短时傅里叶变换的缺点是对所有的频率成分，所取的时间窗大小相同，然而，对很多信号为了获得更精确的时间或频率信息，需要可变的时间窗。 1.2 小波变换 小波变换提出了变换的时间窗，当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗，图1.3 给出了时间域信号、傅里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换的对比示意图。 由图1.3看出，小波变换用的不是时间-频率域。而是时间-尺度域，尺度越大，采用越大的时间窗，尺度越小，采用越短的时间窗，即尺度与频率成反比。 1.2 连续小波变换 小波是一个衰减的波形，它在有限的区域里存在（不为零），且其均值为零。图1.4是一个Daubechies小波（db10）与正弦波的比较。 正弦波：随时间无限振动的光滑波形，小波变换：尖锐变化而且是无规则的波形。因此小波能更好的刻画信号的局部特性。 在数学上，傅里叶变换的公式为 ()()j t F f t e dt ωω+∞ --∞ =? 连续小波变换（Continue Wavelet Transform ）的数学表达式 ()(),,a b a b CWT f t t dt ψ+∞ -∞ =? ()12 ,a b t b t a a ψψ--?? = ??? 式中，()t ψ为小波；a 为尺度因子；b 为平移参数。图1.6是小波变换的示意图。由图看出，小波变换给出了在各个时刻信号是由哪些尺度的小波构成。 小波中的尺度因子的作用是将小波在保持完全相似条件下“拉伸”或者“压缩”，图1.7给吃了尺度因子的“拉伸”和“压缩”作用。 小波中的平移参数，是简单地将波形沿时间轴平移。 传统的第一代小波变换是在欧式空间内通过基底的平移和伸缩构造小波基的，不适合非欧式空间的应用。因此小波的提升方案应运而生，它是构造第二代小波变换的理想方法。 提升的形式给出了小波完全的空间域的完全解释，它具有许多优良的特性：结构简单，运算量低，原位运算，节省存储空间，逆变化可以直接翻转实现，以及可逆的整数到整数变换，便于实现。在高速处理、移动手持设备、低功耗设备应用中具有很大的吸引力。提升小波在1996年由Sweldens提出后，在信号处理领域得到了广泛的应用。在静态图像处理中，提升小波已被选作JPEG2000的变换核。它还提供了多精度的性能，同基于JPEG2000的标准相比，在很低的比特率时具有较好的压缩DCT的JPEG性能，并提供了在同一个编码结构中有效的失真和无失真的压缩。在视频领域，使用提升小波方法自适应地对任意形状的物体进行编码，显著提高了编码效率，在静态图像编码上明显优于MPEG4；视频物体的主观评价效果更好，具有比MPEG4更好的块效应。通过提升小波的梯形结构，提出的渐进性的小波逆变换合成（PIWC）算法来保证一个局域场景的再现只需要使用部分的压缩数据，这样减少了数据访问量和计算开销，实现了在3D环境下从压缩数据中实时再现3D。提升小波用于一维信号消噪和图像消噪也得到了良好的效果。通过将水印加入到提升结构正在处理的小波系数中，进一步增强了安全性。 提升算法： 二维离散小波变换最有效的实现方法之一是采用Mallat算法，通过在挺香的水平和垂直方向交替使用低通和高通滤波器实现。这种传统的基于卷积的离散小波变换的计算量很大，计算复杂度高，对存储空间要求高，不利于硬件实现。提升小波的出现有效地解决了这一问题。提升算法相对于MATLAB算法而言，是一种更为快速有效的小波变换实现方法，被誉为第二代小波变换。它不依赖于傅里叶变换，继承了第一代小波的多分辨率的特征，小波变换后的系数是整数，计算速度快，计算时无需额外的存储开销，Daubechies已经证明，任何离散小波或具有有限长滤波器的两阶滤波变换都可以被分解成一系列简单的提升步骤，因此能够用Mallat算法实现的小波，都可以用提升算法来实现。 提升算法给出了双正交小波简单而有效的构造方法，使用了基本的多项式插补来获取信号的高频分量，之后通过构建尺度函数来获取信号的低频分量，“提升”算法的基本思想是，将现有的小波滤波器分解成基本的构造模块，分步骤完成小波变换。 基于提升算法的小波变换称为第二代小波变换。它使我们能够用一种简单的方法去解释小波的基本理论，而第一代小波变换都可以找到等效的提升方案。提升方案把第一代小波变换过程分为以下三个阶段：分解（split），预测（predict）和更新（update）。 （1）分解。将输入信号s(i)分为2个较小的子集s(i-1)和d(i-1)，d(i-1)也称为小波子集。最简单的分解方法是将输入信号s(i)根据奇偶性分为2 组，这种分裂所产生的小波称为懒小波（lazy wavelet）。分解过程可 小波变换的若干直观解释 唐常杰 川大计算机学院 说明： １假定听者已经听说过或阅读过小波，但觉得缺乏直观感觉，本PPT的直观解释仅仅为了辅助理解，不能取代严格的描述和证明 ２仅仅是讲稿草案，还不成熟，待修改 小波简史（与石油勘探中人工地震技术相关） n由法国石油信号处理的工程师J.Morlet在1974提出 n通过物理直观和信号处理实际需要的建立反演公式，未得认可。 n1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家 https://www.doczj.com/doc/7916318976.html,grange，https://www.doczj.com/doc/7916318976.html,place以及A.M.Legendre的认可 n七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备 n J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年 小波简史 n比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》推动小波普及 n它与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局域变换， n通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（MultiscaleAnalysis）， n解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题 n被誉为“数学显微镜” 小波特点与应用 n压缩比高，速度快 n压缩后能保持信号与图象的特征不变 n传递中可以抗干扰。 n基于小波分析的压缩方法：小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。n小波在信号分析中的应用 n边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测。n工程应用。 n包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、湍流、远程宇宙的研究与生物医学 这是《小波变换和motion信号处理》系列的第二篇，深入小波。第一篇我进行了基础知识的铺垫，第三篇主要讲解应用。 在上一篇中讲到，每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个father wavelet，就是scaling function。而该小波的basis函数其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移形成的。缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。 还讲到，小波系统有很多种，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。小波展开的近似形式是这样： 其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。和傅 立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。 我们还讲了一般小波变换的三个特点，就是小波级数是二维的，能定位时域和频域，计算很快。但我们并没有深入讲解，比如，如何理解这个二维？它是如何同时定位频域和时域的？ 在这一篇文章里，我们就来讨论一下这些特性背后的原理。 首先，我们一直都在讲小波展开的近似形式。那什么是完整形式呢？之前讲到，小波basis的形成，是基于基本的小波函数，也就是母小波来做缩放和平移的。但是，母小波并非唯一的原始基。在构建小波基函数集合的时候，通常还要用到一个函数叫尺度函数，scaling function，人们通常都称其为父小波。它和母小波一样，也是归一化了，而且它还需要满足一个性质，就是它和对自己本身周期平移的函数两两正交： 另外，为了方便处理，父小波和母小波也需要是正交的。可以说，完整的小波展开就是由母小波和父小波共同定义的。 基于小波变换的图像融合技术 简介 图像融合是多传感器信息融合领域的一个重要分支，它是指将来自同一目标的不同传感器的信息通过一定的算法融合到一幅图上，从而获得比在单幅图上更完整、更精确的信息。图像融合在军事(如军事侦察、识别伪装)和非军事(如医疗诊断、遥感、计算机技术等)领域得到广泛的应用[1]。 这里使用基于小波变换的塔式结构的优点是小波变换具有紧凑性、正交性、很好的方向性，这使得小波变换可以很好地提取不同尺度上的显著特征，相对于高斯一拉普拉斯金字塔技术而言，不仅可以产生更好的融合结果，而且进行反向变换时稳定性更好;另外小波变换的塔式结构还使得不管原图像的长度是否2的幕次方，最终变换后的图像与原图像尺寸相同，这使得开发实用的并行算法系统成为可能。 1.图像的小波变换 1.1 图像多尺度分解 由于图像对象尺寸大小的不一，以及人类视觉系统对物体尺度的自适应性，在图像数据中引入一个尺度维，把图像在不同尺度下进行分解。直观地来讲，客观的物体根据其与观察者的距离远近不同而呈现出不同的表现形式，比如，人在不同的距离观察同一目标对象时，在距离较远时，看到的是对象的整体轮廓，在近距离观察时，看到的是关于对象的更多的细节，便是对图像进行了多尺度分解。 1.2图像二维离散小波变换 图像的二维离散小波分解和重构过程如下图所示，分解过程可描述为：首先对图像的每一行进行 1D-DWT，获得原始图像在水平方向上的低频分量 L 和高频分量 H，然后对变换所得数据的每一列进行 1D-DWT，获得原始图像在水平和垂 直方向上的低频分量 LL、水平方向上的低频和垂直方向上的高频 LH、水平方向上的高频和垂直方向上的低频 HL 以及水平和垂直方向上的的高频分量 HH。重构过程可描述为：首先对变换结果的每一列进行以为离散小波逆变换，再对变换所得数据的每一行进行一维离散小波逆变换，即可获得重构图像。由上述过程可以看出，图像的小波分解是一个将信号按照低频和有向高频进行分离的过程，分解过程中还可以根据需要对得到的 LL 分量进行进一步的小波分解，直至达到要求。 图1.1 图像二维离散小波变换分解与重构示意图 1.3matlab仿真结果 一维数据一次分解： function [L H]=haar_dwt(f) %显然，我没有做边界处理，图片最好是2^n*2^n型的 n=length(f); n=n/2; L=zeros(1,n); %低频分量 H=zeros(1,n); %高频分量 for i=1:n L(i)=(f(2*i-1)+f(2*i))/sqrt(2); H(i)=(f(2*i-1)-f(2*i))/sqrt(2); end end 对图像的一次离散小波变换 function [LL LH HL HH]=haar_dwt2D(img) [m n]=size(img); for i=1:m %每一行进行分解 [L H]=haar_dwt(img(i,:)); img(i,:)=[L H]; 由于小波变换的知识涵盖了调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论，所以没有一定的数学基础很难学好小波变换．但是对于我们工科学生来说，重要的是能利用这门知识来分析所遇到的问题．所以个人认为并不需要去详细学习调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论等数学知识．最重要是的理解小波变换的思想！从这个意义上说付立叶变换这一关必需得过！因为小波变换的基础知识在付立叶变换中均有提及，我觉得这也就是很多小波变换的书都将付立叶分析作为其重要内容的原因．所以我认为学习小波应从＜数字信号处理＞中的付立叶分析开始．当然也可从＜信号与系统＞这本书开始．然后再看杨福生老师的小波变换书．个人觉得他的书最能为工科学生所接受． ２信号的分解 付立叶级数将周期信号分解为了一个个倍频分量的叠加，基函数是正交的，也就是通常所说的标准正交基．通过分解我们就能将特定的频率成分提取出来而实现特定的各种需要，如滤波，消噪等．付立叶变换则将倍频谱转换为了连续谱，其意义差不多．小波变换也是一种信号分解思想：只不过它是将信号分解为一个个频带信号的叠加．其中的低频部分作为信号的近似，高频部分作为信号的细节．所谓的细节部分就是一组组小波分量的叠加，也就是常说的小波级数． ３小波变换的时频分析思想 付立叶变换将信号从时域变换到了频域，从整体上看待信号所包含的频率成分．对于某个局部时间点或时间段上信号的频谱分析就无能为力了，对于我们从事信号的奇异性检测的人来说，付立叶变换就失去了意义（包括加窗付立叶变换）．因为我们要找的是信号的奇异点（时域方面）和奇异点处所包含的频带（频域方面）也就是说需要一种时频分析方法．当然能有纯时域的分析方法更好！（据说数学形态学能达到这种效果）．小波变换之所以可以检测信号的奇异点，正在于它的＂小＂．因为用小的波去近似奇异信号要比正弦波要好的多． ４小波变换的实质 小波变换的公式有内积形式和卷积形式，两种形式的实质都是一样的．它要求的就是一个个小波分量的系数也就是＂权＂．其直观意义就是首先用一个时窗最窄，频窗最宽的小波作为尺子去一步步地＂量＂信号，也就是去比较信号与小波的相似程度．信号局部与小波越相似，则小波变换的值越大，否则越小！当一步比较完成后，再将尺子拉长一倍，又去一步步地比 为了应付老板的的一个任务而收集了几篇相关文章！ 我是搞电力系统故障波形分析的，正上研二，导师定的方向是用小波变换进行信号的消噪及波形奇异点检测．出于研究方向的需要从去年年底开始接触小波．毕竟是工科出身，学起小波来觉得难度很大．不夸张地说常有学不下去的感觉．硬着头皮看了一段时间，终于觉得有点眉目，现将我从信号奇异性方面的理解写出来，请各位同仁批评指正，并希望能对刚接触小波的朋友有点帮助！ １学习小波变换所需的基础知识 由于小波变换的知识涵盖了调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论，所以没有一定的数学基础很难学好小波变换．但是对于我们工科学生来说，重要的是能利用这门知识来分析所遇到的问题．所以个人认为并不需要去详细学习调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论等数学知识．最重要是的理解小波变换的思想！从这个意义上说付立叶变换这一关必需得过！因为小波变换的基础知识在付立叶变换中均有提及，我觉得这也就是很多小波变换的书都将付立叶分析作为其重要内容的原因．所以我认为学习小波应从＜数字信号处理＞中的付立叶分析开始．当然也可从＜信号与系统＞这本书开始．然后再看杨福生老师的小波变换书．个人觉得他的书最能为工科学生所接受．２信号的分解 付立叶级数将周期信号分解为了一个个倍频分量的叠加，基函数是正交的，也就是通常所说的标准正交基．通过分解我们就能将特定的频率成分提取出来而实现特定的各种需要，如滤波，消噪等．付立叶变 换则将倍频谱转换为了连续谱，其意义差不多．小波变换也是一种信号分解思想：只不过它是将信号分解为一个个频带信号的叠加．其中的低频部分作为信号的近似，高频部分作为信号的细节．所谓的细节部分就是一组组小波分量的叠加，也就是常说的小波级数． ３小波变换的时频分析思想 付立叶变换将信号从时域变换到了频域，从整体上看待信号所包含的频率成分．对于某个局部时间点或时间段上信号的频谱分析就无能为力了，对于我们从事信号的奇异性检测的人来说，付立叶变换就失去了意义（包括加窗付立叶变换）．因为我们要找的是信号的奇异点（时域方面）和奇异点处所包含的频带（频域方面）也就是说需要一种时频分析方法．当然能有纯时域的分析方法更好！（据说数学形态学能达到这种效果）．小波变换之所以可以检测信号的奇异点，正在于它的＂小＂．因为用小的波去近似奇异信号要比正弦波要好的多． ４小波变换的实质 小波变换的公式有内积形式和卷积形式，两种形式的实质都是一样的．它要求的就是一个个小波分量的系数也就是＂权＂．其直观意义就是首先用一个时窗最窄，频窗最宽的小波作为尺子去一步步地＂量＂信号，也就是去比较信号与小波的相似程度．信号局部与小波越相似，则小波变换的值越大，否则越小！当一步比较完成后，再将尺子拉长一倍，又去一步步地比较，从而得出一组组数据．如此这般循环，最后得出的就是信号的小波分解（小波级数）．当然这只是一种粗略的解释． 小波变换 https://www.doczj.com/doc/7916318976.html,/qq_20823641/article/details/51829981 小波，一个神奇的波，可长可短可胖可瘦（伸缩平移），当去学习小波的时候，第一 个首先要做的就是回顾傅立叶变换（又回来了，唉），因为他们都是频率变换的方法，而傅立叶变换是最入门的，也是最先了解的，通过傅立叶变换，了解缺点，改进，慢慢的就成了小波变换。主要的关键的方向是傅立叶变换、短时傅立叶变换，小波变换等，第二代小波的什么的就不说了，太多了没太多意义。当然，其中会看到很多的名词，例如，内积，基，归 一化正交，投影，Hilbert空间，多分辨率，父小波，母小波，这些不同的名词也是学习小 波路上的标志牌，所以在刚学习小波变换的时候，看着三个方向和标志牌，可以顺利的走下去，当然路上的美景要自己去欣赏（这里的美景就是定义和推导了）。因为内容太多，不是很重要的地方我都注释为（查定义）一堆文字的就是理论（可以大体一看不用立刻就懂），同时最下面也给了几个网址辅助学习。 一、基 傅立叶变换和小波变换，都会听到分解和重构，其中这个就是根本，因为他们的变 化都是将信号看成由若干个东西组成的，而且这些东西能够处理还原成比原来更好的信号。那怎么分解呢？那就需要一个分解的量，也就是常说的基，基的了解可以类比向量，向量空 间的一个向量可以分解在x，y方向，同时在各个方向定义单位向量e1、e2，这样任意一个向量都可以表示为a=xe1+ye2，这个是二维空间的基， 而对于傅立叶变换的基是不同频率的正弦曲线，所以傅立叶变换是把信号波分解成 不同频率的正弦波的叠加和，而对于小波变换就是把一个信号分解成一系列的小波，这里时候，也许就会问，小波变换的小波是什么啊，定义中就是告诉我们小波，因为这个小波实在是太多，一个是种类多，还有就是同一种小波还可以尺度变换，但是小波在整个时间范围的 幅度平均值是0，具有有限的持续时间和突变的频率和振幅，可以是不规则，也可以是不对称,很明显正弦波就不是小波，什么的是呢，看下面几个图就是 文献综述 小波变换（Wavelet Transform）的概念是1984年法国地球物理学家J.Morlet在分析处理地球物理勘探资料时提出来的。小波变换的数学基础是19世纪的傅里叶变换，其后理论物理学家A.Grossman采用平移和伸缩不变性建立了小波变换的理论体系。1985年，法国数学家Y.Meyer第一个构造出具有一定衰减性的光滑小波。1988年，比利时数学家I.Daubechies证明了紧支撑正交标准小波基的存在性，使得离散小波分析成为可能。1989年S.Mallat提出了多分辨率分析概念，统一了在此之前的各种构造小波的方法，特别是提出了二进小波变换的快速算法，使得小波变换完全走向了实用性。 小波分析是建立在泛函分析、Fourier分析、样条分析及调和分析基础上的新的分析处理工具。它又被称为多分辨率分析，在时域和频域同时具有良好的局部化特性，常被誉为信号分析的“数据显微镜”。近十多年来，小波分析的理论和方法在信号处理、语音分析、模式识别、数据压缩、图像处理、数字水印、量子物理等专业和领域得到广泛的应用。 小波变换分析在数据处理方面的应用主要集中在安全变形监测数据和GPS观测数据的处理，应为他们都对精度用较高的要求，而小波变换分析方法的优势能满足这个要求。在安全变形数据处理主要集中在去噪处理、识别变形的突变点，也包括提取变形特征、分离不同变形频率、估计观测精度、小波变换最佳级数的确定等。在GPS数据处理方面包括：利用小波分析法来检测GPS相位观测值整周跳变的理论与方法，GPS粗差检测、GPS信号多路径误差分析、相位周跳检测、基于小波的GPS双差残差分析等。 国内有关学者和研究人员研究工作如下： 李宗春等研究了变形测量异常数据中小波变换最佳级数的确定，综合分析数据去噪效果的4 个分项评价指标，即数据的均方根差变化量、互相关系数、信噪比及平滑度，将各分项评价指标归化到[0, 1]后相加得到总体评价指标，将总体评价指标最大值所对应的级数定义为小波分解与重构的最佳级数。 贺跃光等研究了基于小波分析的隧道施工地表监测数据处理；基于小波分析原理，对某隧道地表监测数据进行快速去噪、提取变形特征、分离不同变形频率、估计其观测精度等处理分析，使监测结果的误差控制在±1 mm以内，并得出隧道施工对地表变形的影响规律，为隧道的安全施工和质量控制提供了依据。 周大华等研究了基于小波分析的隧道监测数据处理。基于小波分析理论，对一组隧道洞内水平收敛监测数据进行了去噪重构。实际分析结果表明，小波分析能够有效地去除监 小波变换理论及应用 ABSTRACT：小波理论是近几年发展起来的新的信号处理技术，因其在时间域和频率域都可以达到高的分辨率，被称为“数学显微镜”，在数值信号处理领域应用广泛，发展非常快。但其涉及较多的数学知识，以及巧妙的数字计算技巧，对于非数学专业的科研人员，要完全掌握其中的精妙之处，有一定的难度。正是考虑到这一点，本文的开始部分不过多说明小波分析的数学理论，只是以尽量简短的篇幅介绍必要的预备知识，接着阐述小波变换理论。在理解了小波变换理论的基础上，再举例说明小波变换在实际中的应用。 第一章小波变换理论 这一章用尽量简短的篇幅和通俗的语言介绍小波变换的基本概念。 1.1.从傅里叶变换到小波变换 一、傅里叶变换 在信号处理中重要方法之一是傅里叶变换（Fourier Transform），它架起了时间域和频率域之间的桥梁。图1.1给出了傅里叶分析的示意图。 图1.1 傅里叶变换示意图 定义x(t)的傅里叶变换X(ω)： ?∞∞-- =dt e t x X t jω ω) ( ) ( (1) X(ω)的傅里叶反变换x(t)： ?∞∞- =ω ω π ωd e X t x t j ) ( 2 1 ) ( (2) 对很多信号来说，傅里叶分析非常有用。因为它能给出信号中包含的各种频率成分。但是，傅里叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时间信息，它不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化。而很多信号都包含有人们感兴趣的非稳态（或）特性，如漂移、趋势项、突然变化以及信号的开始或结束。这些特性是信号的重要部分。因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。 二、短时傅里叶变换 为了克服傅里叶变换的缺点，D.Gabor(1946)提出了短时傅里叶变换(Short Time Fourier Transform), 又称为盖博(Gabor)变换或者加窗傅里叶变换(Windowed Fourier Transform)。图1.2给出了短时傅里叶变换的示意图。 图1.2短时傅里叶变换 盖博变换把一个时间信号变换为时间和频率的二维函数，它能够提供信号在某个时间段和某个频率范围的一定信息。这些信息的精度依赖于时间窗的大小。盖博变换的缺点是对所有的频率成分，所取的时间窗的大小都相同。然而，对很多信号为了获得更精确的时间或频率信息，需要可变的时间窗。 三、小波变换 小波变换提出了变化的时间窗。当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗。图1.3给出了时间域信号、傅 里叶变换、短时傅里叶变换和小波变换对比的示意图。 时间域频率域 短时傅里叶变换小波变换 图1.3 小波变换示意图 1.2.连续小波变换 什么是小波？小波是一个衰减的波形，它在有限的区域里存在（不为零）， 且其均值为零。小波变换采用改变时间-频率窗口形状的方法，很好的解决了时 实验一:连续小波变换 实验目的： 通过编程更好地理解连续小波变换，从而对连续小波变换增加了理性和感性的认识，并能提高编程能力！通过连续小波变换了解信号中的频率分量。 实验原理： 一维连续小波变换公式： ()1*2(,)f t b W a b a f t dt a ψ+∞ - -∞ -??= ??? ? 当小波函数()t ψ为实函数时 (,)f W a b ()12(,)f t b W a b a f t dt a ψ+∞ --∞ -??== ??? ? 在给定尺度下，对待分析信号()f t 和小波函数()t ψ按照s t nT =，s b nT =进行采样，其中s T 为采样间隔，则小波变换可近似如下： ()12 ()(,)s f s s n n k T W a b T a f nT a ψ- ?? -= ??? ∑ =()1 2 n n k T a f n a ψ- -??? ???∑ 对给定的a 值，依次求出不同a 值下的一组小波系数，由于数据采样间隔?t 为0.03 （常量），所以可以把这个系数忽略,并通过公式下面对小波变换矩阵进行归一化处 理。 (,)(,)min *255max min m n wfab m n I -= - 、 实验结果： 程序附录： （1）墨西哥小波函数 function Y=mexh0(x) if abs(x)<=5 Y=((pi^(-1/4))*(2/sqrt(3)))*(1-x*x)*exp(-(x*x)/2); else Y=0; end; （2）实验程序 load('data.mat'); n=length(dat); amax=70; % 尺度a的长度 a=zeros(1,amax); wfab=zeros(amax,n); %小波系数矩阵 mexhab=zeros(1,n); % ，某尺度下小波系数 for s=1:amax %s 表示尺度 for k=1:n mexhab(k)=mexh0(k/s); end for t=1:n % t 表示位移 wfab(s,t)=(sum(mexhab.*dat))/sqrt(s); %将积分用求和代替 mexhab=[mexh0(-1*t/s),mexhab(1:n-1)]; %mexhab 修改第一项并右移 end end wfab_abs=abs(wfab); for index=1:amax max_coef=max(wfab_abs(index,:)); min_coef=min(wfab_abs(index,:)); ext=max_coef-min_coef; wfab_abs(index,:)=255*(wfab_abs(index,:)-min_coef)/ext; end figure(1); plot(dat); title('原始数据图'); xlabel('时间') ylabel('幅度') figure(2); image(wfab_abs); colormap(pink(255)); title('连续小波变换系数图'); xlabel('时间') ylabel('尺度')小波变换-完美通俗解读
小波变换与小波框架
小波变换详解
(完整word版)小波变换课件第1章Haar小波
小波变换学习心得
小波算法
小波变换的直观解释
小波变换 完美通俗解读2
小波变换-课程设计
小波变换的理解
小波变换的本质
小波变换
文献综述 小波变换(Wavelet Transform)的概念是1984年法国地球 ...
小波变换
连续小波变换程序
相关主题
文本预览