所谓点乘（也常称作内积），数学定义如下： 点乘只是表达这个结果的一种方式，符号不重要，叫法也不重要，我可以叫点乘，内积，也可以叫"相乘"，定义"#"字符代替“·” 符号都可以，只是人们约束习惯这么这么写，那我们就也都这么写。而且，也不要纠结为什么是这么定义，没有为什么，人们就是这么“龟腚”这个公式的，我们要研究的是这个规定到底能干嘛？有啥具体意义？ a.点乘的具体几何意义： 根据公式，我们可以得出a·b=|a| |b|cosθ我试着证明为什么会是这样（为了能让大家看的方便，我将向量标为蓝色，具体长度标为红色）： 定义向量c=a - b这样就形成了一个封闭的三角形，c向量为他的第三边 由于余弦定理我们可以知道c2 =a2 +b2 - 2ab cos(θ) (这里的a,b,c全部都是每一边的具体长度)根据定义我们可以推导出c·c=c2(有兴趣的朋友可以去试着推导一下) 所以：c·c=a·a+b·b- 2ab cos(θ) 因为向量的点乘满足分配率：a·(b+c)=a·b+a·c c=a - b c·c=(a -b)·(a - b) c·c=(a·a-2a·b+b·b) (a·a - 2a·b + b·b)=a2+b2- 2ab cos(q) 约掉a·a=a2,b·b=b2; -2a·b= -2ab cos(θ) a·b=ab cos(θ) 因为a=|a| 所以a·b=|a| |b|cosθ 跟据这个公式，我们能拿到两个向量之间的夹角，这对于判断两个向量是否同一方向，是否正交(也就是垂直)，很有用处。具体判断如下： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 所以，点乘的几何意义和用处就是计算两个向量之间的夹角，以及在某一方向上的投影。至于为什么要判断两个向量是否方向一致，这在3D中很有用处。比如：3D技术中的光栅化（光栅化的任务是为了绘制每个三角形单元，如何计算构成三角形单元的每个像素的颜色值）过程中，我们可以根据两个面的法向量的点乘判断两个面是否处于同一面，如果不是，那么只要光栅化其中需要显示出来的一面，而另一面我们就不用光栅化它（因为我们根本看不到被遮住的面），这样就节省了很多很多计算，能加快效率。
1 前言 该课题要求用边缘检测来实现对文字的识别。文字图像信息是人类获取外界信息的主要来源，在近代科学研究、军事技术、工农业生产、医学、气象及天文学等领域中，人们越来越多的利用图像信息来识别和判断事物，解决实际问题。通过学习MATLAB软件的应用，了解边缘检测处理对文字图像的理论基础和过程，用MATLAB 软件对文字图像进行边缘检测。在模式识别系统中，图像边缘提取占据着重要的地位，它位于系统的最底层，为其他模块所依赖。图像边缘提取作为计算机视觉领域最经典的的研究课题长期受到人们的重视。 2 正文 图像的边缘检测有着很长的研究历史，学术思想非常活跃，新理论、新方法不断涌现，一直是国内外图像处理领域研究的热点，目前为止已经提出了许多方法和理论，这一方面是由于边缘检测本身的重要性，另一方面也反映了边缘检测课题的深度和难度。图像的边缘是图像的基本特征，所谓边缘是指其周围像素灰度的阶跃变化活屋顶变化的那些像素的集合。边缘广泛存在于物体与背景之间、物体与物体之间、基元与基元之间。从本质上说，边缘是图像局部特性不连续性的反映，它标志着一个区域的终结和另一个区域的开始，由于噪声和模糊的存在，检测到的边界可能会变宽或在某些点处发生间断，因此边缘提取的首要任务是要检测出图像局部特性的不连续性，然后剔出某些边界点或补充间断点，并将这些边缘像素连成完备的边界[1] 。至今提出的关于边缘检测的方法和理论尚存在不足之处，在某些具体情况下仍然无法很好的检测出目标物体的边缘，难以找到一种普遍适应性的边缘检测方法。因此，根据具体的应用要求设计新的边缘检测方法，或对现有的方法进行改进以得到满意的边缘检测结果，这些依然是研究的主流方向。 现有的边缘检测方法大致有以下几类[2]： 1.微分法 传统的图像边缘检测方法大多归结为图像高频分量的增强过程，微分运算自然就成了边缘检测与提取的主要手段。基于边缘点往往对应于一阶微分幅值大的点，研究者最早提出了一些基于梯度的边缘检测算子[3]，例如Roberts算子、Prewitt算子、Sobel 算子、Kirsch算子等。基于梯度的边缘检测算子是现在应用比较广泛的方法，它们运算量小，操作简单。但是由于基于梯度的边缘检测算子通常在图像边缘附近的区域内产生较宽的响应，所以采用上述算子检测的边缘一般需要作细化处理，这就影响了边缘定位的精度。一阶微分的局部最大值对应着二阶微分的过零点，这意味着在图像边缘点处有一阶微分的峰值同样会有二阶微分的零交叉点，因此人们也提出了二阶微分算子进行边缘检测，例如拉普拉斯算子。与基于梯度的边缘检测算子相比，拉普拉斯算子对噪声更加敏感，增强了噪声对图像的影响。实际应用中使用基于梯度和二阶微
概念 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘，也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 要求一维向量a和向量b的行列数相同。 点乘几何意义 点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a 向量方向上的投影，有公式： 推导过程如下，首先看一下向量组成：
定义向量： 根据三角形余弦定理有： 根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有： 即： 向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ： 根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为： a·b>0 方向基本相同，夹角在0°到90°之间 a·b=0 正交，相互垂直 a·b<0 方向基本相反，夹角在90°到180°之间 叉乘公式
两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量a和向量b： a和b的叉乘公式为： 其中： 根据i、j、k间关系，有： 叉乘几何意义 在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。 在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：
实验八医学图像分割（一） ----基于梯度算子的边缘检测 实验目的： 1.掌握各种梯度算子的形成及特点； 2.掌握医学图像分割的基本原理; 3.熟练使用梯度算子对医学图像进行边缘检测； 4.熟练使用Matlab语言编写基于梯度算子的医学图像边缘检测算 法； 5.熟悉边界跟踪的原理及方法。 实验内容： 一、Matlab图像处理工具箱提供的图像分割函数 1.边缘检测函数额度edge： 语法：[g,t]=edge(f, ‘method’, parameter) 说明：g是一个逻辑数组，其值为：在f中检测到边缘的位置为1，其他位置为零；t是edge是用的阈值；method为边缘检测算子，可选为：‘sobel’, ‘prewit’, ‘roberts’, ‘log’(LoG), ‘zerocross’, ‘canny’等；parameter包含两部分：T为指定的阈值，第二部分为dir （检测边缘的首选方向：‘horizontal’, ‘vertical’, ‘both’），或sigma（当为LOG算子和canny算子进使用，指定标准方差），或H （当为zerocross时，为指定的滤波函数）。 详细说明请参见MATLAB帮助。
二、使用edge函数对图像XHand.JPG进行边缘检测。 XHan d.jpg 1、要求使用‘sobel’, ‘prewit’, ‘roberts’, ‘log’, ‘canny’等算子，edge函数的其它参数均取默认值对图像进行处理，并将原图像和所有处理后得到的图像在同一个窗口中显示。 2、使用指定的阈值进行边缘检测。‘sobel’, ‘prewit’, ‘roberts’算子的阈值均取0.05，方向为默认值；‘log’(LoG), ‘canny’算子的取值如下 [g,t]=edge(f,'LOG',0.003,2.25); [g,t]=edge(f,'canny',[0.04,0.1],1.5) ‘canny’算子的阈值的取值为一个范围。 你也可以调整各个算子的阈值和标准差的值，看看处理的结果。
利用matlab编写的4种梯度算子程序，有图有真相。源代码如下： clear all; close all; P=input('input picture data:'); subplot(231);imshow(P); title('原图像'); d=size(P); if(d(3)>1) P=rgb2gray(P); end subplot(232);imshow(P); title('灰度图像'); P=double(P); % Roberts Operator tou=input('input threshold tou='); bh=input('input a constant intensity nearer to white bh='); bl=input('input a constant intensity nearer to black bl='); P1=P; for i=1:d(1)-1 for j=1:d(2)-1 RobNum=abs(P(i+1,j+1)-P(i,j))+abs(P(i,j+1)-P(i+1,j)); if RobNum>=tou P1(i,j)=bh; else P1(i,j)=bl; end end end P1=uint8(P1); subplot(233);imshow(P1); title('Roberts Operator'); %Prewitt Operator P2=P; for i=2:d(1)-1 for j=2:d(2)-1 PreNum=1/6*(abs(P(i-1,j-1)+P(i-1,j)+P(i-1,j+1)-P(i+1,j-1)-P(i+1,j)-P(i+1,j+1))+abs(P(i-1,j-1)+P(i ,j-1)+P(i+1,j-1)-P(i-1,j+1)-P(i,j+1)-P(i+1,j+1))); if PreNum>=tou P2(i,j)=bh; else P2(i,j)=bl; end
第31卷第3期2005年5月 光学技术 OP T ICA L T ECHN IQ U E V ol.31No.3 M ay 2005 文章编号:1002-1582(2005)03-0415-05 图像边缘检测方法研究综述 段瑞玲,李庆祥,李玉和 (清华大学精密仪器及机械学系,北京 100084) 摘 要:图像的边缘是图像最基本也是最重要的特征之一。边缘检测一直是计算机视觉和图像处理领域的经典研究课题之一。图像分析和理解的第一步常常是边缘检测。边缘检测的目的是去发现图像中关于形状和反射或透射比的信息,是图像处理、图像分析、模式识别、计算机视觉以及人类视觉的基本步骤之一。其结果的正确性和可靠性将直接影响到机器视觉系统对客观世界的理解。对一些传统的边缘检测方法和近年来广泛收到关注的边缘检测算法进行了简单介绍。综述中只涉及到检测方面,而没有讨论滤波、边缘定位、算法的复杂程度和边缘检测器性能的评价。 关键词:图像处理;边缘检测;梯度算法;差分边缘检测 中图分类号:T P751 文献标识码:A Summary of image edge detection DU AN Rui_ling,LI Qin g_xiang,LI Yu_he (Department of P recisio n I nstrument and M echanology,Tsing hua University,Beijing 100084,China) Abstract:Edg e is one of the most fundamental and sig nificant features.Edge detection is alw ay s one of the most classical studying projects o f computer vision and image processing field.T he fist step of image analy sis and understanding is edg e de tec-tion.T he g oal of edge detection is to recover information about shapes and reflectance o r transmittance in an image.I t is one of the fundamental steps in image processing,mage analy sis,image patter recognition,and computer vision,as well as in human vision.T he correctness and reliability of its results affect directly the comprehension machine system made fo r objective w orld. T he summary for basic edge de tection metho ds was made.It involv ed the detection methods only but no t filtering,edge loca-tion,analy sis of algorithm complexity and functional evaluation about a detecto r. Key words:image processing;imag e detection;gradient arithmetic; 1 引 言 早在本世纪初,人类为了用图片及时传输世界各地发生的新闻事件,便开始了对图像处理技术的研究。用计算机进行图像处理,改善图像质量的有效应用开始于1964年美国喷气推进实验室对太空传回的大批月球照片进行处理,并收到了明显的效果。然而,图像处理技术的真正发展还是在上世纪60年代末,其原因一方面是由于受到航天技术发展的刺激,另一方面是作为图像处理工具的数字计算机和各种不同类型的数字化仪器及显示器的突飞猛进发展。迄今为止,数字图像作为一门崭新的学科,日益受到人们的重视,并且在科学研究、工农业生产、军事技术和医疗卫生等领域发挥着越来越重要的作用。 机器视觉主要是利用计算机实现人类的视觉功能,对客观世界的三维场景的感知、识别和理解。边缘是图像的最基本特征,边缘检测通常是机器视觉系统处理图像的第一个阶段,是机器视觉领域内经典的研究课题之一,其结果的正确性和可靠性将直接影响到机器视觉系统对客观世界的理解。 2 图像边缘定义 图像的大部分信息都存在于图像的边缘中,主要表现为图像局部特征的不连续性,即图像中灰度变化比较剧烈的地方。因此,我们把边缘定义为图像中灰度发生急剧变化的区域边界。根据灰度变化的剧烈程度,通常将边缘划分为阶跃状和屋顶状两种类型[1]。阶跃边缘两边的灰度值变化明显,而屋顶边缘位于灰度值增加与减少的交界处。那么,对阶跃边缘和屋顶边缘分别求取一阶、二阶导数就可以表示边缘点的变化。因此,对于一个阶跃边缘点,其灰度变化曲线的一阶导数在该点达到极大值,二阶导数在该点与零交叉;对于一个屋顶边缘点,其灰 415 收稿日期:2004-06-01;收到修改稿日期:2004-10-20 E-mail:duanrl03@mails.ts https://www.doczj.com/doc/ef12805896.html, 作者简介:段瑞玲(1979_),女,山西人,清华大学博士研究生,从事装配系统及微观图像处理研究。
利用matlab编写的4种梯度算子程序。源代码如下： clear all; close all; P=input('input picture data:'); subplot(231);imshow(P); title('原图像'); d=size(P); if(d(3)>1) P=rgb2gray(P); end subplot(232);imshow(P); title('灰度图像'); P=double(P); % Roberts Operator tou=input('input threshold tou='); bh=input('input a constant intensity nearer to white bh='); bl=input('input a constant intensity nearer to black bl='); P1=P; for i=1:d(1)-1 for j=1:d(2)-1 RobNum=abs(P(i+1,j+1)-P(i,j))+abs(P(i,j+1)-P(i+1,j)); if RobNum>=tou P1(i,j)=bh; else P1(i,j)=bl; end end end P1=uint8(P1); subplot(233);imshow(P1); title('Roberts Operator'); %Prewitt Operator P2=P; for i=2:d(1)-1 for j=2:d(2)-1 PreNum=1/6*(abs(P(i-1,j-1)+P(i-1,j)+P(i-1,j+1)-P(i+1,j-1)-P(i+1,j)-P(i+1,j+1))+abs(P(i-1,j-1)+P(i ,j-1)+P(i+1,j-1)-P(i-1,j+1)-P(i,j+1)-P(i+1,j+1))); if PreNum>=tou P2(i,j)=bh; else P2(i,j)=bl; end
第 42 卷增刊 1 中南大学学报(自然科学版) V ol.42 Suppl. 1 2011 年 9 月 Journal of Central South University (Science and Technology) Sep. 2011 图像边缘检测技术综述 王敏杰 1 ，杨唐文 1, 3 ，韩建达 2 ，秦勇 3 (1. 北京交通大学 信息科学研究所，北京，100044； 2. 中国科学院沈阳自动化研究所 机器人学国家重点实验室，辽宁 沈阳，110016； 3. 北京交通大学 轨道交通控制与安全国家重点实验室，北京，100044) 摘要：边缘检测是图像处理与分析中最基础的内容之一。首先介绍了几种经典的边缘检测方法，并对其性能进行 比较分析；然后，综述了近几年来出现的一些新的边缘检测方法；最后，对边缘检测技术的发展趋势进行了展望。 关键词：数字图像；边缘检测；综述 中图分类号：TP391.4 文献标志码：A 文章编号：1672?7207(2011)S1?0811?06 Review on image edge detection technologies W ANG Min-jie 1 , Y ANG Tang-wen 1,3 , HAN Jian-da 2 ,QIN Y ong 3 (1.Institute of Information Science，Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China? 2.State Key Laboratory of Robotics, Shenyang Institute of Automation, Chinese Academic of Science,Shenyang 110016, China? 3.State Key Laboratory of Rail Traffic Control and Safety, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China) Abstract: Edge detection is one of the most fundamental topics in the research area of image processing and analysis. First, several classical edge detection methods were introduced, and the performance of these methods was compared? then, several edge detection methods developed in the latest years were reviewed? finally, the trend of the research of the image edge detection in the future was discussed. Key words:digital image?edge detection?review 图像是人们从客观世界获取信息的重要来源 [1?2] 。 图像信息最主要来自其边缘和轮廓。所谓边缘是指其 周围像素灰度急剧变化的那些象素的集合，它是图像 最基本的特征。边缘存在于目标、背景和区域之 间 [3?4] ，它是图像分割所依赖的最重要的依据。边缘检 测 [5?8] 是图像处理和计算机视觉中的基本问题， 图像边 缘检测是图像处理中的一个重要内容和步骤，是图像 分割、目标识别等众多图像处理的必要基础 [9?10] 。因 此，研究图像边缘检测算法具有极其重要的意义。 边缘检测是计算机视觉和图像处理领域的一项基 本内容。准确、高效地提取出边缘信息一直是该领域 研究的重点内容 [11] 。最初的经典算法可分为边缘算子 法、曲面拟合法、模板匹配法、门限化法等。近年来， 随着数学理论和人工智能的发展，又出现了一些新的 边缘检测的算法 [12?13] ，如基于数学形态学的边缘检 测 [14] 、小波变换和小波包变换的边缘检测法 [15] 、基于 模糊理论的边缘检测法 [16?17] 、基于神经网络的边缘检 测法 [18] 、基于分形几何的边缘检测算法 [19] 、基于遗传 算法的边缘检测法 [20?21] 、漫射边缘的检测方法 [22] 、多 尺度边缘检测技术 [23] 、亚像素边缘的定位技术 [24] 、 收稿日期：2011?04?15；修回日期：2011?06?15 基金项目：轨道交通控制与安全国家重点实验室开放基金资助项目(RCS2010K02)；机器人学国家重点实验室开放基金资助项目(RLO200801)；北 京交通大学基本科研业务费资助项目(2011JBM019) 通信作者：王敏杰(1988－)， 女， 黑龙江五常人， 硕士研究生， 从事图像处理和计算机视觉研究； 电话： 010-51468132； E-mail: wangminjie1118@https://www.doczj.com/doc/ef12805896.html,
梯度、散度和旋度是矢量分析里的重要概念。之所以是“分析”，因为三者是三种偏导数计算形式。这里假设读者已经了解了三者的定义。它们的符号分别记作如下： 从符号中可以获得这样的信息： ①求梯度是针对一个标量函数，求梯度的结果是得到一个矢量函数。这里φ称为势函数； ②求散度则是针对一个矢量函数，得到的结果是一个标量函数，跟求梯度是反一下 的； ③求旋度是针对一个矢量函数，得到的还是一个矢量函数。 这三种关系可以从定义式很直观地看出，因此可以求“梯度的散度”、“散度的梯度”、“梯度的旋度”、“旋度的散度”和“旋度的旋度”，只有旋度可以连续作用两次，而一维波动方程具有如下的形式 (1) 其中a为一实数，于是可以设想，对于一个矢量函数来说，要求得它的波动方程，只有求它的“旋度的旋度”才能得到。下面先给出梯度、散度和旋度的计算式： (2) ( 3) (4) 旋度公式略显复杂。这里结合麦克斯韦电磁场理论，来讨论前面几个“X度的X度”。 I.梯度的散度： 根据麦克斯韦方程有：
而 (5) 则电势的梯度的散度为 这是一个三维空间上的标量函数，常记作 (6) 称为泊松方程，而算符▽2称为拉普拉斯算符。事实上因为定义 所以有 当然，这只是一种记忆方式。 当空间内无电荷分布时，即ρ=0，则称为拉普拉斯方程 当我们仅需要考虑一维情况时，比如电荷均匀分布的无限大平行板电容器之间（不包含极板）的电场，我们知道该电场只有一个指向，场强处处相等，于是该电场满足一维拉普拉斯方程，即 这就是说如果那边平行板电容器的负极板接地，则板间一点处的电压与该点距负极板的距离呈线性关系。 II.散度的梯度：
文献综述 课题：基于数学形态学的图像边缘检测方法研究 边缘检测是图像分割的核心内容，而图像分割是由图像处理到图像分析的关键步骤，在图像工程中占据重要的位置，对图象的特征测量有重要的影响。图像分割及基于分割的目标表达、特征提取和参数测量等将原始图像转化为更抽象更紧凑的形式，使得更高层的图像分析和理解成为可能。从而边缘检测在图像工程中占有重要的地位和作用。因此对边缘检测的研究一直是图像技术研究中热点，人们对其的关注和研究也是日益深入。 首先，边缘在边界检测、图像分割、模式识别、机器视觉等中有很重要的作用。边缘是边界检测的重要基础，也是外形检测的基础。同时，边缘也广泛存在于物体与背景之间、物体与物体之间,基元与基元之间，是图像分割所依赖的重要特征。其次，边缘检测对于物体的识别也是很重要的。第一，人眼通过追踪未知物体的轮廓而扫视一个未知的物体。第二，如果我们能成功地得到图像的边缘，那么图像分析就会大大简化，图像识别就会容易得多。第三，很多图像并没有具体的物体，对这些图像的理解取决于它们的纹理性质，而提取这些纹理性质与边缘检测有极其密切的关系。 理想的边缘检测是能够正确解决边缘的有无、真假、和定向定位。长期以来，人们一直关心这一问题的研究，除了常用的局
部算子及以后在此基础上发展起来的种种改进方法外，又提出了许多新的技术，其中，比较经典的边缘检测算子有Roberts cross 算子、Sobel算子、Laplacian算子、Canny算子等，近年来又有学者提出了广义模糊算子，形态学边缘算子等。这些边缘检测的方法各有其特点，但同时也都存在着各自的局限性和不足之处。 本次研究正是在已有的算法基础上初步进行改进特别是形态学边缘算子，以期找到一个更加简单而又实用的算子，相信能对图像处理中的边缘检测方法研究以及应用有一定的参考价值。 一、课题背景和研究意义： 伴随着计算机技术的高速发展，数字图像处理成为了一门新兴学科，并且在生活中的各个领域得以广泛应用。图像边缘检测技术则是数字图像处理和计算机视觉等领域最重要的技术之一。在实际图像处理中，图像边缘作为图像的一种基本特征，经常被用到较高层次的图像处理中去。边缘检测技术是图像测量、图像分割、图像压缩以及模式识别等图像处理技术的基础，是数字图像处理重要的研究课题之一。 边缘检测是图像理解、分析和识别领域中的一个基础又重要的课题, 边缘是图像中重要的特征之一，是计算机视觉、模式识别等研究领域的重要基础。图像的大部分主要信息都存在于图像的边缘中，主要表现为图像局部特征的不连续性，是图像中灰度
几种常用边缘检测算法的比较摘要:边缘是图像最基本的特征，边缘检测是图像分析与识别的重要环节。基于微分算子的边缘检测是目前较为常用的边缘检测方法。通过对Roberts，Sobel，Prewitt，Canny 和Log 及一种改进Sobel等几个微分算子的算法分析以及MATLAB 仿真实验对比，结果表明，Roberts，Sobel 和Prewitt 算子的算法简单，但检测精度不高，Canny 和Log 算子的算法复杂，但检测精度较高，基于Sobel的改进方法具有较好的可调性，可针对不同的图像得到较好的效果，但是边缘较粗糙。在应用中应根据实际情况选择不同的算子。 0 引言 边缘检测是图像分析与识别的第一步，边缘检测在计算机视觉、图像分析等应用中起着重要作用，图像的其他特征都是由边缘和区域这些基本特征推导出来的，边缘检测的效果会直接影响图像的分割和识别性能。边缘检测法的种类很多，如微分算子法、样板匹配法、小波检测法、神经网络法等等，每一类检测法又有不同的具体方法。目前，微分算子法中有Roberts，Sobel，Prewitt，Canny，Laplacian，Log 以及二阶方向导数等算子检测法，本文仅将讨论微分算子法中的几个常用算子法及一个改进Sobel算法。 1 边缘检测 在图像中，边缘是图像局部强度变化最明显的地方，它
主要存在于目标与目标、目标与背景、区域与区域( 包括不同色彩) 之间。边缘表明一个特征区域的终结和另一特征区域的开始。边缘所分开区域的内部特征或属性是一致的，而不同的区域内部特征或属性是不同的。边缘检测正是利用物体和背景在某种图像特征上的差异来实现检测，这些差异包括灰度、颜色或纹理特征，边缘检测实际上就是检测图像特征发生变化的位置。边缘的类型很多，常见的有以下三种: 第一种是阶梯形边缘，其灰度从低跳跃到高; 第二种是屋顶形边缘，其灰度从低逐渐到高然后慢慢减小; 第三种是线性边缘，其灰度呈脉冲跳跃变化。如图1 所示。 (a) 阶梯形边缘(b) 屋顶形边缘 (b) 线性边缘 图像中的边缘是由许多边缘元组成，边缘元可以看作是一个短的直线段，每一个边缘元都由一个位置和一个角度确定。边缘元对应着图像上灰度曲面N 阶导数的不连续性。如果灰度曲面在一个点的N 阶导数是一个Delta 函数，那么就定义灰度曲面在这个点是N 阶不连续，则线性边缘是0 阶不
clear all; close all; P=input('input picture data:'); subplot(231);imshow(P); title('原图像'); d=size(P); if(d(3)>1) P=rgb2gray(P); end subplot(232);imshow(P); title('灰度图像'); P=double(P); % Roberts Operator tou=input('input threshold tou='); bh=input('input a constant intensity nearer to white bh='); bl=input('input a constant intensity nearer to black bl='); P1=P; for i=1:d(1)-1 for j=1:d(2)-1 RobNum=abs(P(i+1,j+1)-P(i,j))+abs(P(i,j+1)-P(i+1,j)); if RobNum>=tou P1(i,j)=bh; else P1(i,j)=bl; end end end P1=uint8(P1); subplot(233);imshow(P1); title('Roberts Operator'); %Prewitt Operator P2=P; for i=2:d(1)-1 for j=2:d(2)-1 PreNum=1/6*(abs(P(i-1,j-1)+P(i-1,j)+P(i-1,j+1)-P(i+1,j-1)-P(i+1,j)-P(i+1,j+1))+abs(P(i-1,j-1)+P(i ,j-1)+P(i+1,j-1)-P(i-1,j+1)-P(i,j+1)-P(i+1,j+1))); if PreNum>=tou P2(i,j)=bh; else P2(i,j)=bl; end end
图像边缘检测的综述 1.1 0 前 言 边缘是图象最基本的特征. 边缘检测在计算机视觉、图象分析等应用中起着重要的作用,是图象分析与识别的重要环节,这是因为子图象的边缘包含了用于识别的有用信息. 所以边缘检测是图像分析和模式识别的主要特征提取手段。 所谓边缘是指其周围像素灰度后阶变化或屋顶状变化的那些像素的集合,它存在于目标与背景、目标与目标、区域与区域,基元与基元之间。 因此它是图象分割所依赖的重要的特征,也是纹理特征的重要信息源和形状特征的基础;而图象的纹理形状特征的提取又常常依赖于图象分割。 图象的边缘提取也是图象匹配的基础,因为它是位置的标志,对灰度的变化不敏感,它可作为匹配的特征点。 图象的其他特征都是由边缘和区域这些基本特征推导出来的. 边缘具有方向和幅度两个特征. 沿边缘走向,像素值变化比较平缓;而垂直与边缘走向,则像素值变化比较剧烈. 而这种剧烈可能呈现阶跃状,也可能呈现斜坡状。 边缘上像素值的一阶导数较大;二阶导数在边缘处值为零,呈现零交叉。 经典的、最简单的边缘检测方法是对原始图象按像素的某邻域构造边缘算子. 由于原始图象往往含有噪声,而边缘和噪声在空间域表现为灰度有比较大的起落;在频域则反应为同是高频分量,这就给边缘检测带来困难. Marr 和Hildreth 提出的零交叉边缘检测是一种十分有效的方法,他们认为:其一,图象强度的突变将在一阶导数中产生一个峰或等价于二阶导数中产生一个零交叉(Zero - Crossing) ;其二,图象中的强度变化是以不同的尺度出现的,故应该用若干大小不同的算子才能取得良好的检测效果。 鉴于边缘检测技术的重要性,在此我们有必要对边缘检测技术进行讨论. 1.2经典的边缘检测算子 边缘检测的实质是采用某种算法来提取出图像中对象与背景间的交界线。我们将边缘定义为图像中灰度发生急剧变化的区域边界。图像灰度的变化情况可以用图像灰度分布的梯度来反映，因此我们可以用局部图像微分技术来获得边缘检测算子。经典的边缘检测方法，是对原始图像中像素的某小邻域来构造边缘检测算子。以下是对几种经典的边缘检测算子进行理论分析，并对各自的性能特点作出了比较和评价 不妨记：▽f (x,y)=i x f ??+j y f ?? 为图像的梯度，▽f (x,y)包含灰度变化信息 记： e (x,y)=y x f f 22+为▽f (x,y)的梯度，e(x,y)可以用作边缘检测算子。 为了简化计算，也可以将e(x, y)定义为偏导数 x f 与y f 的绝对值之和: ),(y x e =|),(y x f x |+|),(y x f y | 以这些理论为依据，提出了许多算法，常用的边缘检测方法有:Roberts 边缘检测算子、Sobel 边缘检测算子、Prewitt 边缘检测算子、Canny 边缘检测算子、Laplace 边缘检测算子等等。
《数字图像处理作业》 图像的锐化处理 ---拉普拉斯算子、prewitt算子、sobel算子性能研究对比 完成日期：2012年10月6日
一、算法介绍 1.1图像锐化的概念 在图像增强过程中，通常利用各类图像平滑算法消除噪声，图像的常见噪声主要有加性噪声、乘性噪声和量化噪声等。一般来说，图像的能量主要集中在其低频部分，噪声所在的频段主要在高频段，同时图像边缘信息也主要集中在其高频部分。这将导致原始图像在平滑处理之后，图像边缘和图像轮廓模糊的情况出现。 为了减少这类不利效果的影响，就需要利用图像锐化技术，使图像的边缘变得清晰。图像锐化处理的目的是为了使图像的边缘、轮廓线以及图像的细节变得清晰，经过平滑的图像变得模糊的根本原因是因为图像受到了平均或积分运算，因此可以对其进行逆运算(如微分运算)就可以使图像变得清晰。从频率域来考虑，图像模糊的实质是因为其高频分量被衰减，因此可以用高通滤波器来使图像清晰。但要注意能够进行锐化处理的图像必须有较高的性噪比，否则锐化后图像性噪比反而更低，从而使得噪声增加的比信号还要多，因此一般是先去除或减轻噪声后再进行锐化处理。 考察正弦函数，它的微分。微分后频率不变，幅度上升2πa 倍。空间频率愈高，幅度增加就愈大。这表明微分是可以加强高频成分的，从而使图像轮廓变清晰。最常用的微分方法是梯度法和拉普拉斯算子。但本文主要探究几种边缘检测算子，Laplace、Prewitt、Sobel算子以下具体介绍。 图像边缘检测：边缘检测是检测图像局部显著变化的最基本运算，梯度是函数变化的一种度量。图像灰度值的显著变化可用梯度的离散逼近函数来检测，大幅度地减少了数据量，并且剔除了可以认为不相关的信息，保留了图像重要的结构属性。边缘检测可分为两大类基于查找一类和基于零穿越的一类。基于查找的方法通过寻找图像一阶导数中的最大和最小值来检测边界，通常是将边界定位在梯度最大的方向。基于零穿越的方法通过寻找图像二阶导数零穿越来寻找边界，通常是Laplacian过零点或者非线性差分表示的过零点。 1.2拉普拉斯算子 拉式算子是一个刻画图像灰度的二阶商算子，它是点、线、边界提取算子，亦称为边界提取算子。通常图像和对他实施拉式算子后的结果组合后产生一个锐化图像。拉式算子用来改善因扩散效应的模糊特别有效，因为它符合降制模型。扩散效应是成像过程中经常发生的现象。 拉普拉斯算子也是最简单的各向同性微分算子，具有旋转不变性。一个二维图像函数的拉普拉斯变换是各向同性的二阶导数，定义 （1） 为了更适合于数字图像处理，将拉式算子表示为离散形式： （2）
向量- 向量叉乘向量点乘 2010年07月28日星期三14:33 向量（Vector） 在几乎所有的几何问题中，向量（有时也称矢量）是一个基本点。向量的定义包含方向和一个数（长度）。在二维空间中，一个向量可以用一对x和y来表示。例如由点（1,3）到（5,1的向量可以用(4,-2）来表示。这里大家要特别注意，我这样说并不代表向量定义了起点和终点。向量仅仅定义方向和长度。 向量加法 向量也支持各种数学运算。最简单的就是加法。我们可以对两个向量相加，得到的仍然是一个向量。我们有： V1（x1, y1）+V2（x2, y2）=V3(x1+x2, y1+y2) 下图表示了四个向量相加。注意就像普通的加法一样,相加的次序对结果没有影响（满足交换律），减法也是一样的。 点乘（Dot Product） 如果说加法是凭直觉就可以知道的，另外还有一些运算就不是那么明显的，比如点乘和叉乘。点乘比较简单，是相应元素的乘积的和： V1( x1, y1) V2(x2, y2) = x1*x2 + y1*y2 注意结果不是一个向量，而是一个标量（Scalar）。点乘有什么用呢，我们有： A B = |A||B|Cos(θ) θ是向量A和向量B见的夹角。这里|A|我们称为向量A的模(norm)，也就是A的长度，在二维空间中就是|A| = sqrt(x2+y2)。这样我们就和容易计算两条线的夹角：Cos(θ) = A B /(|A||B|) 当然你知道要用一下反余弦函数acos()啦。（回忆一下cos(90)=0 和cos(0) = 1还是有好处的，希望你没有忘记。）这可以告诉我们如果点乘的结果，简称点积，为0的话就表示这两个向量垂直。当两向量平行时，点积有最大值 另外，点乘运算不仅限于2维空间，他可以推广到任意维空间。（译注：不少人对量子力学中的高维空间无法理解，其实如果你不要试图在视觉上想象高维空间，而仅仅把它看成三维空间在数学上的推广，那么就好理解了）
图像边缘提取方法综述 摘要 图像最基本的特征是边缘，边缘是图像性区域和另一个属性区域的交接处，是区域属性发生突变的地方，是图像中不确定性最大的地方，也是图像信息最集中的地方，图像的边缘包含着丰富的信息。因此，图像边缘提取一直以来都是图像处理与分析领域的研究热点。本文对传统的具有代表性的各种图像边缘提取方法进行了阐述、对比和分析了各自的优缺点，为了更清楚地看出各种算法的效果，给出了一些常用算法对同一副标准测试图像进行边缘提取的实验结果。同时，本文对现代的一些边缘检测方法如小波分析、形态学等也作了简要的介绍，重点分析了以上各种算法在图像边缘提取中的发展状况和优缺点。最后提出了在实践中要根据待解决的问题的特点和要求决定采取何种方法。 关键词：图像处理；边缘提取；小波变换 1 图像边缘提取概述 人获得的绝大部分信息来源于图像信息，而在图像信息中又以边界信息最为丰富，它传递和表达着物体的空间几何信息，可以判定物体的大小、形状、类型甚至地理位置。 边缘特征是图像最基本的特征。边缘是图像性区域和另一个属性区域的交界处，是区域性属性发生突变的地方，是图像中不确定性最大的地方，也是图像信息最集中的地方，图像的边缘包含着丰富的信息。当把边界从目标图像中提取出来后，目标物体的信息能够更直观地展现在人们面前，对于用计算机处理目标物更为有利。因此，数字图像的边缘检测是图像分析处理领域十分重要的基础，在工程应用中占有十分重要的地位。 图像的边缘有方向和幅值两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。根据灰度变化的特点，常见的边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型，如图1.1所示。对于阶跃型边缘，二阶方向导数在边缘处呈零交叉，而后两种，二阶方向导数在边缘处取极值。 图1.1 边缘灰度变化的几种类型 图像边缘检测的流图大致如图1.2所示： 图1.2 边缘检测的流图 （1）滤波。边缘检测主要基于导数计算，但受噪声影响。滤波器在降低噪声的同时也导致边缘强度的损失。
边缘检测技术综述 摘要 图像是人们从客观世界获取信息的重要来源，而图像边缘是图像最基本的特征之一，往往携带着一幅图像的大部分信息。边缘是图象最基本的特征。边缘检测在计算机视觉、图象分析等应用中起着重要的作用,是图象分析与识别的重要环节,这是因为图象的边缘包含了用于识别的有用信息。所以边缘检测是图像分析和模式识别的主要特征提取手段。我们对一幅图像检测并提取出它的边缘就需要研究和解决如何构造出具有良好性质及好的效果的边缘检测算子的问题。 边缘是指周围像素灰度有阶跃变化或屋顶变化的那些像素的集合,灰度或结构等信息的突变处成为边缘。经典的边界提取技术大都基于微分运算。首先通过平滑来滤除图像中的噪声，然后进行一阶微分或二阶微分运算，求得梯度最大值或二阶导数的过零点，最后选取适当的阈值来提取边界。这些算法尽管实时性较好，但抗干扰性差，不能有效克服噪声影响。 各个边缘检测算子的检测效果各有优缺点，这和它们各自采用的算法原理是一致的。为了正确地得到图像的边缘信息，现代边缘检测技术还从小波、数学形态学、遗传算法、基于视觉机制等多种方法进行了研究，寻求算法较为简单、能较好地解决检测精度与抗噪声性能协调问题的边缘检测算法是当前图像处理与分析领域中的一个研究热点。 文中首先介绍了几种经典的边缘检测方法，并对其性能进行比较分析；然后，综述了近几年来出现的一些新的边缘检测方法；最后，对边缘检测技术的发展趋势进行了展望。 关键词：边缘；边缘检测算子；边缘检测技术；综述
1引言 图像是人们从客观世界获取信息的重要来源 [1]。图像信息最主要来自其边缘和轮廓。所谓边缘是指其周围像素灰度急剧变化的那些象素的集合，它是图像最基本的特征。边缘存在于目标、背景和区域之间，它是图像分割所依赖的最重要的依据。边缘检测 [2]是图像处理和计算机视觉中的基本问题，图像边缘检测是图像处理中的一个重要内容和步骤，是图像分割、目标识别等众多图像处理的必要基础。因此，研究图像边缘检测算法具有极其重要的意义。 图像边缘检测自从五十年代提出和应用以来，迄今已出现了大量方法，要对边缘检测的发展历史做一个清晰的划分是很难的。总体说来，边缘检测可以分为两大类，即传统的边缘检测算法和新兴的边缘检测算法。传统的边缘检测算法主要是建立在梯度运算的基础上；近年来，随着数学理论和人工智能的发展，又出现了一些新的边缘检测的算法，如基于数学形态学的边缘检测[3]、基于视觉机制[4]、小波变换和小波包变换的边缘检测法[5]、基于模糊理论的边缘检法[6]、基于神经网络的边缘检测法[7]、基于遗传算法的边缘检测法[8] 、多尺度边缘检测技术[9]等。 就传统的经典图像边缘提取算法，虽然效果不一定最好，但因其算法简单、成熟，计算量小，在经过一些改进之后，仍然有相当大的应用潜力。而小波变换、数学形态学理论等都属于近些年发展起来的高新信号处理技术，而且已经成功地运用到了数据压缩等方面，如何最有效地应用这些技术进行图像的边缘提取，仍然是目前研究的一个热点。 1 经典的边缘检测算法 1.1 边缘检测的发展与现状 最早的边缘检测算子可以追溯到上世纪六十年代，Roberts提出了基于梯度的边缘检测，这种利用对角方向相邻两像素之差计算梯度进行边缘检测的方法至今仍然适用的一种算法，也是最简单的一种算子，但该算子对噪声比较敏感，时常会出现孤立点；七十年代又出现了Prewitt算子、Sobel算子，这两种算子是目前在实践中计算数字梯度时最常用的方法，它们在计算梯度前，先计算邻域平均或者加权平均，再进行微分，这样便可以抑制噪声，但这几种算子比较容易出现边缘模糊；后来出现的Kirsch算子可以检测到多个方向上的边缘，减少了因取平均而丢失的细节，但却增加了计算量；以上这些传统的边缘检测算子，大部分为局域窗口梯度算子，它们对噪声非常敏感，随着噪声的增加，会检测出大量的伪边缘和噪声点，有时甚至无法检测出边缘；但对于图像来说噪声是无处不在的，所以这些算子对实际图像的处理效果并不令人满意，检测结果也不可靠。后来，先对图像做平滑，再利用平滑过程中的零交叉点来定位边缘位