基于小波变换的图像融合技术
简介
图像融合是多传感器信息融合领域的一个重要分支，它是指将来自同一目标的不同传感器的信息通过一定的算法融合到一幅图上，从而获得比在单幅图上更完整、更精确的信息。图像融合在军事(如军事侦察、识别伪装)和非军事(如医疗诊断、遥感、计算机技术等)领域得到广泛的应用[1]。
这里使用基于小波变换的塔式结构的优点是小波变换具有紧凑性、正交性、很好的方向性，这使得小波变换可以很好地提取不同尺度上的显著特征，相对于高斯一拉普拉斯金字塔技术而言，不仅可以产生更好的融合结果，而且进行反向变换时稳定性更好;另外小波变换的塔式结构还使得不管原图像的长度是否2的幕次方，最终变换后的图像与原图像尺寸相同，这使得开发实用的并行算法系统成为可能。
1.图像的小波变换
1.1 图像多尺度分解
由于图像对象尺寸大小的不一，以及人类视觉系统对物体尺度的自适应性，在图像数据中引入一个尺度维，把图像在不同尺度下进行分解。直观地来讲，客观的物体根据其与观察者的距离远近不同而呈现出不同的表现形式，比如，人在不同的距离观察同一目标对象时，在距离较远时，看到的是对象的整体轮廓，在近距离观察时，看到的是关于对象的更多的细节，便是对图像进行了多尺度分解。
1.2图像二维离散小波变换
图像的二维离散小波分解和重构过程如下图所示，分解过程可描述为：首先对图像的每一行进行 1D-DWT，获得原始图像在水平方向上的低频分量 L 和高频分量 H，然后对变换所得数据的每一列进行 1D-DWT，获得原始图像在水平和垂
直方向上的低频分量 LL、水平方向上的低频和垂直方向上的高频 LH、水平方向上的高频和垂直方向上的低频 HL 以及水平和垂直方向上的的高频分量 HH。重构过程可描述为：首先对变换结果的每一列进行以为离散小波逆变换，再对变换所得数据的每一行进行一维离散小波逆变换，即可获得重构图像。由上述过程可以看出，图像的小波分解是一个将信号按照低频和有向高频进行分离的过程，分解过程中还可以根据需要对得到的 LL 分量进行进一步的小波分解，直至达到要求。
图1.1 图像二维离散小波变换分解与重构示意图
1.3matlab仿真结果
一维数据一次分解：
function [L H]=haar_dwt(f) %显然，我没有做边界处理，图片最好是2^n*2^n型的 n=length(f);
n=n/2;
L=zeros(1,n); %低频分量
H=zeros(1,n); %高频分量
for i=1:n
L(i)=(f(2*i-1)+f(2*i))/sqrt(2);
H(i)=(f(2*i-1)-f(2*i))/sqrt(2);
end
end
对图像的一次离散小波变换
function [LL LH HL HH]=haar_dwt2D(img)
[m n]=size(img);
for i=1:m %每一行进行分解
[L H]=haar_dwt(img(i,:));
img(i,:)=[L H];
end
for j=1:n %每一列进行分解
[L H]=haar_dwt(img(:,j));
img(:,j)=[L H];
end
%本来分解不应该加mat2gray的，不过为了有好的显示效果就加上了
LL=mat2gray(img(1:m/2,1:n/2)); %行列都是低频
LH=mat2gray(img(1:m/2,n/2+1:n)); %行低频列高频
HL=mat2gray(img(m/2+1:m,1:n/2)); %行高频列低频
HH=mat2gray(img(m/2+1:m,n/2+1:n)); %行列都是高频
end
主程序：
img=double(imread('./data/lena512.bmp'));
[m n]=size(img);
[LL LH HL HH]=haar_dwt2D(img); %当然dwt2(img,'haar')是一样的，我只是想明白细节
img=[LL LH;HL HH]; %一层分解
imgn=zeros(m,n);
for i=0:m/2:m/2
for j=0:n/2:n/2
[LL LH HL HH]=haar_dwt2D(img(i+1:i+m/2,j+1:j+n/2)); %对一层分解后的四个图像分别再分解
imgn(i+1:i+m/2,j+1:j+n/2)=[LL LH;HL HH];
end
end
imshow(imgn);
imshow(imgn);
对lena.bmp（512*512）仿真结果图如下：
图1.2图像小波变换一层分解结果图
图1.2图像小波变换二层分解结果图
2.图像的融合原理
2.1 融合规则
规则一：系数绝对值较大法
该融合规则适合高频成分比较丰富，亮度、对比度比较高的源图像，否则在融合图像中只保留一幅源图像的特征，其他的特征被覆盖。小波变换的实际作用是对信号解相关，并将信号的全部信息集中到一部分具有大幅值的小波系数中。这些大的小波系数含有的能量远比小系数含有的能量大，从而在信号的重构中，大的系数比小的系数更重要。
规则二：加权平均法
权重系数可调，适用范围广，可消除部分噪声，源图像信息损失较少，但会造成图像对比度的下降，需要增强图像灰度。
规则三：局部方差准则
设A(x,y)和B(x,y)分别为高频子图像数据值，F(x,y)为相应高频子图像融合值，将A(x,y)和B(x,y)分成若干个M×N子块图像。对每个子块图像进行数值分布统计，计算其方差。确定A和B图像每个子块图像加权系数K1和K2。如果A图像子块方差大于B图像子块方差,则K1≥K2，否则K1 2.2 融合应用 若对二维图像进行N层的小波分解,最终将有(3N+1)个高低频带，其中包含3N个高频带和一个低频带。图像融合的基本步骤如下。 1）对每一源图像分别进行小波分解，建立图像的小波金字塔分解。 2）对各分解层分别进行融合处理，采用不同的融合算子对各分解层的不同频率分量进行融合处理，最终得到融合后的小波金字塔。低频：加权平均，高频：绝对值取大。 3）对融合后所得的小波金字塔进行小波逆变换，所得到的重构图像即为融合后的图像。 图2.1基于小波变换的图像融合原理图 2.3Matlab 仿真结果 源代码: clc; clear all; close all; % 清理工作空间 clear [imA,map1] = imread('./data/A.tif'); M1 = double(imA) / 256; [imB,map2] = imread('./data/B.tif'); M2 = double(imB) / 256; zt= 4; wtype = 'haar'; % M1 - input image A % M2 - input image B % wtype使用的小波类型 % Y - fused image %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% 小波变换图像融合%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% 小波变换的绝对值大的小波系数，对应着显著的亮度变化，也就是图像中的显著特征。所以，选择绝对值大 %% 的小波系数作为我们需要的小波系数。【注意，前面取的是绝对值大小，而不是实际数值大小】 %% %% 低频部分系数采用二者求平均的方法%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% [c0,s0] = wavedec2(M1, zt, wtype);%多尺度二维小波分解 [c1,s1] = wavedec2(M2, zt, wtype);%多尺度二维小波分解 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% 后面就可以进行取大进行处理。然后进行重构，得到一个图像 %% 的小波系数，然后重构出总的图像效果。 %% 取绝对值大的小波系数，作为融合后的小波系数%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% KK = size(c1); Coef_Fusion = zeros(1,KK(2)); Temp = zeros(1,2); Coef_Fusion(1:s1(1,1)) = (c0(1:s1(1,1))+c1(1:s1(1,1)))/2; %低频系数的处理 %这儿，连高频系数一起处理了，但是后面处理高频系数的时候，会将结果覆盖，所以没有关系 %处理高频系数 MM1 = c0(s1(1,1)+1:KK(2)); MM2 = c1(s1(1,1)+1:KK(2)); mm = (abs(MM1)) > (abs(MM2)); Y = (mm.*MM1) + ((~mm).*MM2); Coef_Fusion(s1(1,1)+1:KK(2)) = Y; %处理高频系数end %重构 Y = waverec2(Coef_Fusion,s0,wtype); %显示图像 subplot(1,3,1);imshow(M1); colormap(gray); title('input2'); axis square subplot(1,3,2);imshow(M2); colormap(gray); title('input2'); axis square subplot(1,3,3);imshow(Y,[]); colormap(gray); title('融合图像'); axis square; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 图2.2基于小波变换的图像融合结果图 参考文献 [1] https://www.doczj.com/doc/a62115159.html,/silence-hust/p/4193480.html [2] https://www.doczj.com/doc/a62115159.html,/daisy9212/article/details/49184271 [3] https://www.doczj.com/doc/a62115159.html,/xiaojidan2011/article/details/8099433 10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号，长期以来，因非平稳信号处理的理论不健全，只好将其作为平稳信号来处理，其处理结果当然不满意。近年来，随着科学技术的发展和进步，国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上，其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中，戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来，这些方法既可以处理平稳信号过程，也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语，并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形，其振幅正负相间变化，平均值为零，是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解（变换）或重构（反变换）时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率，同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的，小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的，只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数，而小波分析中的基函数是小波，是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质，较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾，对于信号的低频成分采用宽时窗，对高频成分采用窄时窗。因而，小波分析特别适合处理非平稳时变信号，在语音分析和图象处理中有广泛的应用，在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达 基于小波变换的人脸识别 近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。 具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。 4.1 小波变换的研究背景 法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下： ()()dt e t f F t j ωω-? ∞ -∞ += (4-1) 傅立叶变换的逆变换为： ()()ωωπ ωd e F t f t j ? +∞ ∞ -= 21 (4-2) 从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率 的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。 尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。 因此需要一种如下的数学工具：可以将信号的时域和频域结合起来构成信号的时频谱，描述和分析其时频联合特征，这就是所谓的时频局部化分析方法，即时频分析法。1964年，Gabor 等人在傅立叶变换的基础上引入了一个时间局部化“窗函数”g(t)，改进了傅立叶变换的不足，形成窗口化傅立叶变换，又称“Gabor 变换”。 定义“窗函数”(t)g 在有限的区间外恒等于零或很快地趋于零，用函数(t )g -τ乘以(t)f ，其效果等同于在t =τ附近打开一个窗口，即： ()()()dt e t g t f G t j f ωττω-+∞ ∞--=?, (4-3) 式（4-3）即为函数f(t)关于g(t)的Gabor 变换。由定义可知，信号(t)f 的Gabor 变换可以反映该信号在t =τ附近的频谱特性。其逆变换公式为： ()()()ττωτωπ ωd G t g e d t f f t j ,21 ? ?+∞ ∞ --- = (4-4) 可见()τω,f G 的确包含了信号(t)f 的全部信息，且Gabor 窗口位置可以随着 τ的变化而平移，符合信号时频局部化分析的要求。 虽然Gabor 变换一定程度上克服了傅立叶变换缺乏时频局部分析能力的不 我希望能简单介绍一下小波变换，它和傅立叶变换的比较，以及它在移动平台做motion detection的应用。如果不做特殊说明，均以离散小波为例子。考虑到我以前看中文资料的痛苦程度，我会尽量用简单，但是直观的方式去介绍。有些必要的公式是不能少的，但我尽量少用公式，多用图。另外，我不是一个好的翻译者，所以对于某些实在翻译不清楚的术语，我就会直接用英语。我并不claim我会把整个小波变换讲清楚，这是不可能的事，我只能尽力去围绕要点展开，比如小波变换相对傅立叶变换的好处，这些好处的原因是什么，小波变换的几个根本性质是什么，背后的推导是什么。我希望达到的目的就是一个小波变换的初学者在看完这个系列之后，就能用matlab或者别的工具对信号做小波变换的基本分析并且知道这个分析大概是怎么回事。 要讲小波变换，我们必须了解傅立叶变换。要了解傅立叶变换，我们先要弄清楚什么是”变换“。很多处理，不管是压缩也好，滤波也好，图形处理也好，本质都是变换。变换的是什么东西呢？是基，也就是basis。如果你暂时有些遗忘了basis的定义，那么简单说，在线性代数里，basis是指空间里一系列线性独立的向量，而这个空间里的任何其他向量，都可以由这些个向量的线性组合来表示。那basis在变换里面啥用呢？比如说吧，傅立叶展开的本质，就是把一个空间中的信号用该空间的某个basis的线性组合表示出来，要这样表示的原因，是因为傅立叶变换的本质，是。小波变换自然也不例外的和basis有关了。再比如你用Photoshop去处理图像，里面的图像拉伸，反转，等等一系列操作，都是和basis的改变有关。 既然这些变换都是在搞基，那我们自然就容易想到，这个basis的选取非常重要，因为basis的特点决定了具体的计算过程。一个空间中可能有很多种形式的basis，什么样的basis比较好，很大程度上取决于这个basis服务于什么应用。比如如果我们希望选取有利于压缩的话，那么就希望这个basis能用其中很少的向量来最大程度地表示信号，这样即使把别的向量给砍了，信号也不会损失很多。而如果是图形处理中常见的线性变换，最省计算量的完美basis就是eigenvector basis了，因为此时变换矩阵T对它们的作用等同于对角矩阵( Tv_n = av_n，a是eigenvalue )。总的来说，抛开具体的应用不谈，所有的basis，我们都希望它们有一个共同的特点，那就是，容易计算，用最简单的方式呈现最多的信号特性。 好，现在我们对变换有了基本的认识，知道他们其实就是在搞基。当然，搞基也是分形式的，不同的变换，搞基的妙处各有不同。接下来先看看，傅立叶变换是在干嘛。 傅立叶级数最早是Joseph Fourier 这个人提出的，他发现，这个basis不仅仅存在与vector space，还存在于funct ion space。这个function space本质上还是一个linear vector space，可以是有限的，可以是无限的，只不过在这个空间里，vector就是function了，而对应的标量就是实数或者复数。在vector space里，你有vector v可以写成vector basis的线性组合，那在function space里，function f(x)也可以写成对应function basis的线性组合，也有norm。你的vector basis可以是正交的，我的function basis也可以是正交的（比如sin(t)和sin(2t)）。唯一不同的是，我的function basis是无穷尽的，因为我的function space的维度是无穷的。好，具体来说，那就是现在我们有一个函数，f(x)。我们希望将它写成一些cos函数和一些sin函数的形式，像这样 again，这是一个无限循环的函数。其中的1，cosx, sinx, cos2x …..这些，就是傅立叶级数。傅立叶级数应用如此广泛的主要原因之一，就是它们这帮子function basis是正交的，这就是有趣的地方了。为什么function basis正交如此重要呢？我们说两个vector正交，那就是他俩的内积为0。那对于function basis呢？function basis怎么求内积呢？ 现在先复习一下vector正交的定义。我们说两个vector v,w如果正交的话，应符合： 第三章 离散小波变换 3.1 尺度与位移的离散化方法 减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数?? ? ??-= a t a t a τψψτ1)(,的 τ,a 限定在一些离散点上取值。 1. 尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化， 即取m m a a 0=（m 为整数，10≠a ，一般取20=a ）。如果采用对数坐标，则尺度a 的离散取值如图3.1 所示。 图3.1 尺度与位移离散方法 2. 位移的离散化：当120==a 时，()τψψτ-=t t a )(,。 （1）通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。 （2）要求采样间隔τ满足Nyquist 采样定理，即采样频率大于该尺度下频率通带的2倍。 3. )(,t a τψ=？ 当m 增加1时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半（见图2.2），可见采样频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。因此，如果尺度0=m 时τ的间隔为s T ，则在尺度为m 2时，间隔可取s m T 2。此时)(,t a τψ可表示为 );(2212221 ,t T n t T n t n m s m m m s m m ψψψ记作??? ???-=??? ? ???- Z n m ∈, 为简化起见，往往把t 轴用s T 归一化，这样上式就变为 ()n t t m m n m -=-- 22)(2 ,ψψ （3.1） 4. 任意函数)(t f 的离散小波变换为 ??=R n m f dt t t f n m WT )()(),(,ψ （3.2） DWT 与CWT 不同，在尺度—位移相平面上，它对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。将小波变换的连续相平面离散化，显然引出两个问题： （1）离散小波变换>=<)(),(),(,t t f n m W T n m f ψ是否完全表征函数)(t f 的全部信息，或者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数)(t f 。 （2）是否任意函数)(t f 都可以表示为以)(,t n m ψ为基本单元的加权和 ∑∈= Z n m n m n m t C t f ,,,)()(ψ？如果可以，系数n m C ,如何求？ 上述两个问题可以归结为一个。假设条件（1）满足，可合理的选择ψ，并对τ,a 进行适当的离散（即适当的选择s T a ,0），那么一定存在与小波序列n m ,ψ对 应的n m ,~ψ序列，使得问题（1）的重建简单地表示为 ∑∈><= Z n m n m n m f t f ,,,~,)(ψψ （3.3） n m ,~ψ称为n m ,ψ的对偶，它可以由一个基本小波)(~t ψ通过位移和伸缩取得： () n t t m m n m -=--2~2)(~2,ψψ 由上式，若存在)()(2R L t g ∈，则有 ∑>><<=><>= 为了应付老板的的一个任务而收集了几篇相关文章！ 我是搞电力系统故障波形分析的，正上研二，导师定的方向是用小波变换进行信号的消噪及波形奇异点检测．出于研究方向的需要从去年年底开始接触小波．毕竟是工科出身，学起小波来觉得难度很大．不夸张地说常有学不下去的感觉．硬着头皮看了一段时间，终于觉得有点眉目，现将我从信号奇异性方面的理解写出来，请各位同仁批评指正，并希望能对刚接触小波的朋友有点帮助！ １学习小波变换所需的基础知识 由于小波变换的知识涵盖了调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论，所以没有一定的数学基础很难学好小波变换．但是对于我们工科学生来说，重要的是能利用这门知识来分析所遇到的问题．所以个人认为并不需要去详细学习调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论等数学知识．最重要是的理解小波变换的思想！从这个意义上说付立叶变换这一关必需得过！因为小波变换的基础知识在付立叶变换中均有提及，我觉得这也就是很多小波变换的书都将付立叶分析作为其重要内容的原因．所以我认为学习小波应从＜数字信号处理＞中的付立叶分析开始．当然也可从＜信号与系统＞这本书开始．然后再看杨福生老师的小波变换书．个人觉得他的书最能为工科学生所接受．２信号的分解 付立叶级数将周期信号分解为了一个个倍频分量的叠加，基函数是正交的，也就是通常所说的标准正交基．通过分解我们就能将特定的频率成分提取出来而实现特定的各种需要，如滤波，消噪等．付立叶变 换则将倍频谱转换为了连续谱，其意义差不多．小波变换也是一种信号分解思想：只不过它是将信号分解为一个个频带信号的叠加．其中的低频部分作为信号的近似，高频部分作为信号的细节．所谓的细节部分就是一组组小波分量的叠加，也就是常说的小波级数． ３小波变换的时频分析思想 付立叶变换将信号从时域变换到了频域，从整体上看待信号所包含的频率成分．对于某个局部时间点或时间段上信号的频谱分析就无能为力了，对于我们从事信号的奇异性检测的人来说，付立叶变换就失去了意义（包括加窗付立叶变换）．因为我们要找的是信号的奇异点（时域方面）和奇异点处所包含的频带（频域方面）也就是说需要一种时频分析方法．当然能有纯时域的分析方法更好！（据说数学形态学能达到这种效果）．小波变换之所以可以检测信号的奇异点，正在于它的＂小＂．因为用小的波去近似奇异信号要比正弦波要好的多． ４小波变换的实质 小波变换的公式有内积形式和卷积形式，两种形式的实质都是一样的．它要求的就是一个个小波分量的系数也就是＂权＂．其直观意义就是首先用一个时窗最窄，频窗最宽的小波作为尺子去一步步地＂量＂信号，也就是去比较信号与小波的相似程度．信号局部与小波越相似，则小波变换的值越大，否则越小！当一步比较完成后，再将尺子拉长一倍，又去一步步地比较，从而得出一组组数据．如此这般循环，最后得出的就是信号的小波分解（小波级数）．当然这只是一种粗略的解释． 小波变换：S 整数变换作业 1. 题目：用整数小波的S 或2/6变换对256*256 Lena 灰度图像进行非标准方法的3级分解与重构。 2. 总体设计：本题目的意义在于通过实验体会整数小波变换，由于MA TLAB 自身对矩阵操作的方便性，以及其丰富的库函数（如可以用来直接显示图象），我决定用MA TLAB 编程完成本次作业。要说明的是，这里并不是直接利用MA TLAB 中的wavelet 工具箱中的已有小波函数对图象进行整数小波分解，而是用下面的已知分解公式进行小波分解和重构。分解公式：1,,21,21,,21,[] j k j k j k j k j k j k d s s s s d -+--=-=+ 重构公式：,21,1,,211,,2[] j k j k j k j k j k j k s s d s d s --+-=-=+ ，其中[ ]表示取整。 进行非标准小波分解，即交替进行3次行变换和3次列变换，程序对每次变换后的结果都保存为位图文件，运行后可以在程序所在路径下看到保存的6个分解位图文件和6个重构位图文件。最后还会在一个图像中显示每次分解后的图像，以便于对比。 3. 实现方法：编写S 变换的分解和重构子程序，分别对图像数据进行一次行列分解和列行重构，程序返回该次变换后的行列矩阵，在主程序中可以连续三次调用行列变换，即完成对原始图像的3级分解和重构，这里的变换是完全可逆的，也就是能够完全恢复原图像数据。通过对比3次重构后返回的数据与原图像数据后发现它们完全相同。主要用的MA TLAB 工具函数有： imread( )---------读取图像数据，为uint8类型，需变为double 类型才能进行各种运算 imwrite()---------用于保存图像，这里用它来保存每一级变换后的图像 image( )----------显示图像，需要给出色谱表colormap ，这里是灰度图，用colormap ＝gray （256）即可 subplot( )--------用于分开绘图，即在一个窗口下绘制多个图像，在这里用于输出变换后的图像，以便对比。 更详细的内容请参考函数文件SDecompose.m 和SRecompose.m ，分别是分解和重构图像的函数，main.m 是演示主程序。 命令行下输入main 运行后，按照提示输入要处理的图像文件名称即可（要求是256×256的灰度图像，否则结果可能会出错。程序所在目录下的lena.bmp 和girl.bmp 就是256×256的灰度图像）可以直接按键盘‘d ’键，程序会默认使用lena.bmp 进行演示。 3级分解完成后，输出后面的3级分解效果图。命令窗中会给出提示，按下任意键将继续进行图像3级重构，完成后会输出后面的3级重构图。 进行分解和重构同时已经将分解和重构得到的图像存盘，在当前工作目录下即可看到保存的12个位图文件，其中分解和重构图像各有6个。若要查看清晰的变换图像，可以 打开它们查看。 4. 经验教训：本次作业用MA TLAB 而不是VC 实现，虽然看上去简单许多，但是对于我 小波变换的原理及m a t l a b仿真程序 基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间，即能量有限的信号空间) ， 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]： 2 () R t dw w C ψψ =<∞? （1） 时，我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波，将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后，就可以得到一个小波序列： ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ （2） 其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为： ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? （3） 其逆变换为： 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? （4） 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的，平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置，而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的，在低频时，小波变换的时间分辨率较低，频率分辨率较高：在高频时，小波变换的时间分辨率较高，而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时，首先选取适当的小波函数对信号进行分解，其次对分解出的参 数进行阈值处理，选取合适的阈值进行分析，最后利用处理后的参数进行逆小波变换，对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]： 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式： (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。 基于Matlab的离散小波变换 lyqmath https://www.doczj.com/doc/a62115159.html,/lyqmath 目录 基于Matlab的离散小波变换 (1) 简介 (1) 实例 (2) 结果 (2) 总结 (2) 简介 在数字图像处理中，需要将连续的小波及其小波变换离散化。一般计算机实现中使用二进制离散处理，将经过这种离散化的小波及其相应的小波变换成为离散小波变换（简称DWT）。实际上，离散小波变换是对连续小波变换的尺度、位移按照2的幂次进行离散化得到的，所以也称之为二进制小波变换。 虽然经典的傅里叶变换可以反映出信号的整体内涵，但表现形式往往不够直观，并且噪声会使得信号频谱复杂化。在信号处理领域一直都是使用一族带通滤波器将信号分解为不同频率分量，即将信号f(x)送到带通滤波器族Hi(x)中。 小波分解的意义就在于能够在不同尺度上对信号进行分解，而且对不同尺度的选择可以根据不同的目标来确定。 对于许多信号，低频成分相当重要，它常常蕴含着信号的特征，而高频成分则给出信号的细节或差别。人的话音如果去掉高频成分，听起来与以前可能不同，但仍能知道所说的内容；如果去掉足够的低频成分，则听到的是一些没有意义的声音。在小波分析中经常用到近似与细节。近似表示信号的高尺度，即低频信息；细节表示信号的高尺度，即高频信息。因此，原始信号通过两个相互滤波器产生两个信号。 通过不断的分解过程，将近似信号连续分解，就可以将信号分解成许多低分辨率成分。理论上分解可以无限制的进行下去，但事实上，分解可以进行到细节（高频）只包含单个样本为止。因此，在实际应用中，一般依据信号的特征或者合适的标准来选择适当的分解层数。 第五章 小波变换基本原理 问题 ①小波变换如何实现时频分析？其频率轴刻度如何标定？ —尺度 ②小波发展史 ③小波变换与短时傅里叶变换比较 a ．适用领域不同 b.STFT 任意窗函数 WT （要容许性条件） ④小波相关概念，数值实现算法 多分辨率分析（哈尔小波为例） Daubechies 正交小波构造 MRA 的滤波器实现 ⑤小波的历史地位仍不如FT ，并不是万能的 5.1 连续小波变换 一．CWT 与时频分析 1.概念：? +∞ ∞ --ψ= dt a b t t S a b a CWT )( *)(1),( 2.小波变换与STFT 用于时频分析的区别 小波 构造？ 1910 Harr 小波 80年代初兴起 Meyer —小波解析形式 80年代末 Mallat 多分辨率分析—WT 无须尺度和小波函数—滤波器组实现 90年代初 Daubechies 正交小波变换 90年代中后期 Sweblews 第二代小波变换 3.WT 与STFT 对比举例（Fig 5–6, Fig 5–7） 二．WT 几个注意的问题 1.WT 与)(t ψ选择有关 — 应用信号分析还是信号复原 2.母小波)(t ψ必须满足容许性条件 ∞<ψ=? ∞ +∞ -ψdw w w C 2 )( ①隐含要求 )(,0)0(t ψ=ψ即具有带通特性 ②利用ψC 可推出反变换表达式 ??+∞∞-+∞ ∞-ψ -ψ= dadb a b t b a CWT a C t S )(),(11 )(2 3.CWT 高度冗余（与CSTFT 相似） 4.二进小波变换（对平移量b 和尺度进行离散化） )2(2)()(1 )(2 ,22,,n t t a b t a t n b a m m n m b a m m -ψ=ψ?-ψ= ??==--ψ dt t t S n CWT d n m m m n m )(*)()2,2(,,?+∞ ∞ ---ψ=?= 5.小波变换具有时移不变性 ) ,()() ,()(00b b a C W T b t S b a C W T t S -?-? 6.用小波重构信号 ∑∑ ∑∑+∞-∞=+∞ -∞ =+∞-∞=+∞ -∞ =ψψ= m n m n n m n m n m n m t d t d t S )(?)(?)(,,,,正交小波 中心问题：如何构建对偶框架{} n m ,?ψ 由于小波变换的知识涵盖了调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论，所以没有一定的数学基础很难学好小波变换．但是对于我们工科学生来说，重要的是能利用这门知识来分析所遇到的问题．所以个人认为并不需要去详细学习调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论等数学知识．最重要是的理解小波变换的思想！从这个意义上说付立叶变换这一关必需得过！因为小波变换的基础知识在付立叶变换中均有提及，我觉得这也就是很多小波变换的书都将付立叶分析作为其重要内容的原因．所以我认为学习小波应从＜数字信号处理＞中的付立叶分析开始．当然也可从＜信号与系统＞这本书开始．然后再看杨福生老师的小波变换书．个人觉得他的书最能为工科学生所接受． ２信号的分解 付立叶级数将周期信号分解为了一个个倍频分量的叠加，基函数是正交的，也就是通常所说的标准正交基．通过分解我们就能将特定的频率成分提取出来而实现特定的各种需要，如滤波，消噪等．付立叶变换则将倍频谱转换为了连续谱，其意义差不多．小波变换也是一种信号分解思想：只不过它是将信号分解为一个个频带信号的叠加．其中的低频部分作为信号的近似，高频部分作为信号的细节．所谓的细节部分就是一组组小波分量的叠加，也就是常说的小波级数． ３小波变换的时频分析思想 付立叶变换将信号从时域变换到了频域，从整体上看待信号所包含的频率成分．对于某个局部时间点或时间段上信号的频谱分析就无能为力了，对于我们从事信号的奇异性检测的人来说，付立叶变换就失去了意义（包括加窗付立叶变换）．因为我们要找的是信号的奇异点（时域方面）和奇异点处所包含的频带（频域方面）也就是说需要一种时频分析方法．当然能有纯时域的分析方法更好！（据说数学形态学能达到这种效果）．小波变换之所以可以检测信号的奇异点，正在于它的＂小＂．因为用小的波去近似奇异信号要比正弦波要好的多． ４小波变换的实质 小波变换的公式有内积形式和卷积形式，两种形式的实质都是一样的．它要求的就是一个个小波分量的系数也就是＂权＂．其直观意义就是首先用一个时窗最窄，频窗最宽的小波作为尺子去一步步地＂量＂信号，也就是去比较信号与小波的相似程度．信号局部与小波越相似，则小波变换的值越大，否则越小！当一步比较完成后，再将尺子拉长一倍，又去一步步地比 Matlab实现小波变换 本文来自: 高校自动化网(https://www.doczj.com/doc/a62115159.html,) 详细出处参考(转载请保留本链接)：https://www.doczj.com/doc/a62115159.html,/html/matlab/7709.html MATLAB 小波变换2010-01-11 20:51 3. 图像小波变换的Matlab 实现函数fft、fft2 和fftn 分析 3.1 一维小波变换的Matlab 实现 (1) dwt 函数Matlab 功能：一维离散小波变换 格式：[cA,cD]=dwt(X,'wname') [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)别可以实现一维、二维和N 维DFT 说明：[cA,cD]=dwt(X,'wname') 使用指定的小波基函数'wname' 对信号X 进行分解，cA、cD 分别为近似分量和细节分量；[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的滤波器组Lo_D、Hi_D 对信号进行分解。 (2) idwt 函数 功能：一维离散小波反变换 格式：X=idwt(cA,cD,'wname') X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt(cA,cD,'wname',L)函数fft、fft2 和fftn 分 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 说明：X=idwt(cA,cD,'wname') 由近似分量cA 和细节分量cD 经小波反变换重构原始信号X 。 'wname' 为所选的小波函数 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) 用指定的重构滤波器Lo_R 和Hi_R 经小波反变换重构原始信号X 。 X=idwt(cA,cD,'wname',L) 和X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 指定返回信号X 中心附近的L 个点。 1. 离散傅立叶变换的Matlab实现 3.2 二维小波变换的Matlab 实现 二维小波变换的函数别可以实现一维、二维和N 维DFT ------------------------------------------------- 函数名函数功能 --------------------------------------------------- dwt2 二维离散小波变换 wavedec2 二维信号的多层小波分解 idwt2 二维离散小波反变换Matlab waverec2 二维信号的多层小波重构 wrcoef2 由多层小波分解重构某一层的分解信号 upcoef2 由多层小波分解重构近似分量或细节分量 1. 离散傅立叶变换的Matlab实现 detcoef2 提取二维信号小波分解的细节分量 一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状 答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。 为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。 短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。 小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨率分析（Multi-resolution）的特点，而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力，使一种窗口大小固定不变，但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。小波变换在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率。在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为分析信号的显微镜。 小波分析最早应用在地震数据压缩中, 以后在图像处理、故障诊断等方面取得了传统方法根本无法达到的效果. 现在小波分析已经渗透到了自然科学、应用 2011-2012 学年第一学期 2011级硕士研究生考试试卷 课程名称：小波变换理论及应用任课教师：考试时间：分钟 考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）； B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）； C（√）课程论文或课程设计（70%）+平时成绩（30%）。 一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。（20分） 二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。（25分） 三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。（25分） 四、平时成绩。（30分） （一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵 将平方可积空间中任意函数f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记CWT ）其表达式为 t a b t t f a b a f W d )(*)(||1),(? ∞+∞--=ψψ （ 1.1） 其中，a ∈R 且a ≠0。式（1.19）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸 缩，b 为时间平移因子。其中)(| |1)(,a b t a t b a -=ψψ为窗口函数也是小波母函数。 从式（1.1）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。 ① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。 ② 计算该时刻的连续小波变换系数C 。如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。小波变换系数依赖于所选择的小波。因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。 图1.5 计算小波变换系数示意图 ③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。 ④ 调整参数a ，尺度伸缩，重复①～③步骤。 ⑤ 重复①～④步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图1.7所示。 C =0.2247 摘要 摘要 小波分析是一门正在迅速发展的新兴学科，目前，它在实际中得到了广泛的应用。研究小波的新理论、新方法以及新应用具有重要的理论意义和实用价值。 本文在简述了小波发展历史和小波的基本理论知识后，对以小波为工具进行数字图像处理进行了有益的探索。最后详细介绍了基于阈值的小波分析的图像去噪算法及其在信号处理中的应用。 关键字：小波分析研究现状应用图像去噪阈值 ABSTRACT ABSTRACT Wavelet analysis is a rapidly developing and novel subject. Nowadays，it has been widely used in practical applications. To study the new theory，methods and applications of wavelet is of great theoretical significance and practical value. After a brief description of the history of wavelet development and the basic theoretical knowledge of wavelet，this paper makes valid probe towards digital image processing using wavelet. Finally，this paper analysis and study of the classical thresholding denoising methods and the new scopes of wavelet applications. key word: Wavelet Analysis , Research Status , Application , Signal Denoising, Thresholding 1.小波变换的概念 小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。 2.小波有哪几种形式?常用的有哪几种?具体用哪种，为什么？ 有几种定义小波(或者小波族)的方法: 缩放滤波器:小波完全通过缩放滤波器g——一个低通有限脉冲响应(FIR)长度为2N和为1的滤波器——来定义。在双正交小波的情况，分解和重建的滤波器分别定义。 高通滤波器的分析作为低通的QMF来计算，而重建滤波器为分解的时间反转。例如Daubechies和Symlet 小波。 缩放函数:小波由时域中的小波函数 (即母小波)和缩放函数 (也称为父小波)来定义。 小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖整个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。 对于有紧支撑的小波，可以视为有限长，并等价于缩放滤波器g。例如Meyer小波。 小波函数:小波只有时域表示，作为小波函数。例如墨西哥帽小波。 3.小波变换分类 小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和连续小波转换 (CWT)。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定子集。 DWT用于信号编码而CWT用于信号分析。所以，DWT通常用于工程和计算机科学而CWT经常用于科学研究。 4.小波变换的优点 从图像处理的角度看，小波变换存在以下几个优点： (1)小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述) (2)小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性 (3)小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) (4)小波变换实现上有快速算法(Mallat小波分解算法) 另: 1) 低熵性变化后的熵很低; 2) 多分辨率特性边缘、尖峰、断点等;方法, 所以可以很好地刻画信号的非平稳特性 3) 去相关性域更利于去噪; 4) 选基灵活性: 由于小波变换可以灵活选择基底, 也可以根据信号特性和去噪要求选择多带小波、小波包、平移不变小波等。 小波变换的一个最大的优点是函数系很丰富, 可以有多种选择, 不同的小波系数生成的小波会有不同的效果。噪声常常表现为图像上孤立像素的灰度突变, 具有高频特性和空间不相关性。图像经小波分解后可得到低频部分和高频部分, 低频部分体现了图像的轮廓, 高频部分体现为图像的细节和混入的噪声, 因此, 对图像去噪, 只需要对其高频系数进行量化处理即可。 5.小波变换的科学意义和应用价值 小波分析及其应用 结课作业 小波分析在信号分析及滤波中的应用 指导老师：白键 学生姓名： 班级：071011 学号：07101075 小波分析在信号分析及滤波中的应用 信号滤波是信号处理中的重要的一环，在实际测量中，由于噪声源的存在，传播过程中加载的噪声，还有传感器本身的测量误差，信号中总会存在一些噪声，在处理信号之前，必须将噪声滤掉，否则会影响后续的时频分析，得不到信号中想要的结果。 一、信号时频分析方法比较 1.1Fourier变换与Gabor变换 在信号分析中，最基础的Fourier变换，Fourier变换提供了从另一个角度看信号的一种方法，将函数展成以余弦为基本函数的叠加，Fourier系数表示了信号在频域上的幅值和相角，但Fourier变换只能从整个信号分析其频率，不能很好的反应时间特性，故此提出了窗口Fourier变换，即Gabor变换，窗口Fourier 变换则将非平稳信号假定为分段平稳的，通过采用一个滑动窗截取信号，一次次地对截得的信号进行Fourier变换。但由于Fourier变换时间分辨率与频率分辨率矛盾，得不到时间分辨率与频率分辨率都很高的信号分析结果。 1.2小波变换 小波变换是在Fourier变换基础上提出的。其基础函数是小波函数，其可在通过伸缩和平移实现信号的分析，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的时间一频率窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。但是依旧有一些局限性，小波变换中，可以根据需要构造不同的小波函数，正是由于有不同的小波函数可供选择，使得小波变换对信号分析有足够的适应性，但是小波函数的选择成为一大问题，此外选取的小波函数可能在全局是最佳的，但是对某个局部区域可能是最差的，而一旦小波函数确定，所有的分析特性就会确定，因此缺乏一定的自适应性。 1.3希尔伯特黄变换 对一列时间序列数据先进行经验模态分解然后对各个分量做希尔伯特变换的信号处理方法是由美国国家宇航局的Norden E. Huang 于1998年首次提出的称之为希尔伯特黄变换Hilbert-Huang Transformation HHT 。由于时间序列的信号经过EMD分解成一组本征模函数Intrinsic Mode Function IMF 而不是像傅立叶变换把信号分解成正弦或余弦函数因此该方法既能对线性稳态信号进行分析又能对非线性非稳态信号进行分析。 1.3.1EMD 方法基本原理 经验模态分解(Empirical Mode Decomposition, 简称EMD))方法是由美国NASA 的黄锷博士提出的一种信号分析方法.它依据数据自身的时间尺度特征来进行信 小波分析第二次作业——分解重构算法的实现 郭欣仪 精仪学院2015级仪器科学与技术一班（博）学号：1015202034 1 理论分析 本次分解重构算法的演示将采用MATLAB中的小波工具实现。分解与重构算法是小波分析中最重要的工具之一，几乎大部分的工程应用，如信号去噪、图像处理等，都离不开这一算法。这里，我们使用的是MATLAB中的离散小波变换wavedec函数。下图1介绍了这一函数进行小波分解重构的原理： 图1 离散小波变换wavedec分解过程 图中所示的过程解释如下：原始信号S进行低通、高通滤波和下抽样，得到两部分结果：低频近似系数CA1和高频细节系数CD1，这是小波变换的一级分解过程。在此基础上，对一级分解的近似系数CA1进一步分解成CA2和CD2，以此类推，就得到了小波变换的多级分解。图中所示为三级分解，最终得到了近似系数CA3和三个细节系数CD1、CD2、CD3。信号的重构则是一个逆过程，对获得的近似系数和细节分量进行上抽样、低通和高通滤波处理，得到重构后的函数。 MATLAB中的wavedec函数与dwt函数功能类似，只不过一个是多层分解，一个是单层分解，wavedec函数就是dwt函数的叠加。所以，直接使用wavedec函数，和多次使用dwt函数结果是一样的。各自的函数参量表示如下： [CA,CD]=dwt(S,'wavename')：dwt函数，使用小波'wavename'对信号S进行单层分解，求得的近似系数存放在CA中，细节系数存放在CD中。 [C,L]=wavedec(S,N,' wavename ')：wavedec函数，使用小波' wavename '对信号S进行N层分解，所得的近似系数存放在数组C中，细节系数存放在数组L中。 在我们的程序中，还会用到以下几个函数：小波变换的基本原理
小波变换详解
(完整版)小波原理课件
第三章 离散小波变换
小波变换的本质
整数小波变换作业
小波变换的原理及matlab仿真程序讲解学习
基于Matlab的离散小波变换
小波变换基本原理
小波变换的理解
Matlab实现小波变换
小波分析考试题及答案
小波变换理论及应用
小波分析结课作业——小波理论发展及应用综述
小波变换去噪基础地的知识整理
小波分析大作业
小波分析第二次作业——分解重构算法的实现
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