欧氏几何的创立与其在理论上的影响
摘要：根据历史的脉搏,陈述了欧氏几何的产生历程，探讨了欧氏几何的创立对今后的研究所起的作用,以及在思想理论上所产生的影响,
关键字：欧几里得欧式几何影响
1、整理加工前人的成果
欧几里得(Euclid,约公元前330~275年),古希腊著名数学家,以其所著的《几何原本》闻名于世.欧几里得几何与思想方法影响了世界2000多年,研究他的数学思想方法,对数学教学与科研,对数学史的研究,对科学与文化史的研究都有其重要的意义.
在欧几里得时代以前,数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果,但大多数是零星的,有的对部分内容也作过一些整理加工,但不系统.面对前人留下的材料,以及一些证明方法,欧几里得认真进行了总结、提练、筛选,以及分析、综合、归纳、演绎,集前人工作之大成,同时增加自己的工作,系统整理加工成巨著《几何原本》.我国著名数学家秦元勋曾对《几何原本》有一段精彩的评述:“几何学要义(注即《几何原本》)这部权威著作的精华在什么地方呢?当然,其中的材料非常丰富和美丽,学过几何学的人都是知道的.但是丰富和美丽的材料不一定就会堆成一部好书.而且好的衣料要能做成一件好衣服,还要经过好裁缝师傅的巧手剪裁与精心缝合才行.欧几里得便是几何学史上的-好裁缝.,他的剪裁缝合便构成了几何学的体系问题.”就几何发明史上,欧几里得并不算杰出,但他把前人的许多知识用更简明、逻辑的语言加以阐述,并几乎无遗漏地收集整理,经创造性地加工熔为一炉,以至之后的2000年时间内,原则上没有对其原理增添什么新内容,更不用说去动摇它的权威了.因此我们毫不犹豫地说,欧几里得是古希腊了不起的数学大家。
2、几何原本内容
全书共13卷，除第5、7、8、9、10中讲述比例和算术理论外，其余各卷都是关于几何内容的.
第1卷：平行线、三角形、平行四边形的有关定理；
第2卷：毕达哥拉斯定理及其应用；
第3卷：关于圆的定理；
第4卷：圆的内接与外切多边形定理；
第6卷：相似理论；
第11、12、13卷：立体几何.
《几何原本》是一个数学知识的逻辑体系，结构是由定义、共设、公理、定理组成的演绎推论系统.开始给出了23个定义. 前6个定义是：
（1）点没有大小；
（2）线有长度没有宽度；
（3）线的界是点；
（4）直线上的点是同样放置的；
（5）面只有长度没有宽度；
（6）面的界是线.
其次是5个共设：
（1）从任一点到另一点可以引一直线；
（2）有限直线可以无限延长；
（3）以任意点为圆心，可用任意半径作圆；
（4）所有直角都相等；
（5）若两条直线与另一条直线相交，所成的同旁内角之和小于二直角，则此两直线必在这一侧相交.
然后是5个公理：
（1）等于同量的量相等；
（2）等量加等量其和相等；
（3）等量减等量其差相等；
（4）可重合的图形全等；
（5）全体大于部分.
3、后世对第五公设的证明及研究
欧几里得是公理化思想思想的第一人，建立了平面几何的理论,它的理论的建立在人类认识自然、改造自然的过程中起了非常巨大的作用,对人类的进步起到了不可估量的作用,并产生了十分巨大的影响;严密的理论体系、简洁的论述，至今还为人们所称道,今天中学生仍然要学习欧氏几何,以学习几何知识、训练逻辑思想、形成严密的逻辑思维习惯,其几何理论在人们日常生活中仍然有着广泛的应用。欧氏几何的理论体系十分优美,是公理化体系的典范,欧几里得的理论体系是从十个基本公理出发的,被称为欧几里得公理,九个公理直观而明显,而第五公设却“像”个定理而又“不像”公理:过平面上直线外一点能且只能作一条与已知直线平行的直线。由于欧几里得的第五公设在形式上和具体叙述上与其说是公理，可给人们的感觉更象是一条定理,因此,从欧几里得几何理论问世起,不乏有许多大数学家通过“证明”把第五公设化为欧氏几何一个定理的尝试虽归于失败,但对第五公设的研究为而后非欧几何的诞生铺设了路基,而且许多数学家对第五公设的大量研究,一直困扰人们2千多年的问题促使数学家对公理本质的认识逐渐深化，预见到建立不同结构几何的可能,因此,可以说欧氏几何的创立，对后人更深入的研究有着不可磨灭的作用。没有欧氏几何，就没有其后的非欧几何，希尔伯特公理体系等等。
4、对后世的影响
在证明几何命题时，每一个命题总是从前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如我们所学的“两点确定一条直线”等即是。同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里得采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题。然后又以此为基础，来证明第二个命题，如此下去，证明了大量的命题。其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系统。因而在数学发展史上，欧几里得被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。
但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。同样的，欧氏几何也并不是完美的，他也有许多的缺陷，比如：几何逻辑结构还很不严谨；对一些定义叙述不够清晰、甚至含混不清；公设、公理还很不够，以至于很多定理的证明要靠几何直观等等。由于历史条件的限制，欧几里得在《几何原本》中提出几何学的“根据”
问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。但是，我们不能因此去苛责古人，因为在那个时代他所建立的逻辑结构应该算是相当严密的了。
这部划时代的著作包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。真正重要的是欧几里得在书中创造的一种被称为公理化的方法。因此，它被认为是成功而系统应用公理化方法的第一人，正是从这层意义上说，欧几里得的《几何原本》有着不可估量的历史功绩，为后世的数学发展带来了巨大而深远的影响，在数学的发展史上树立了一座不朽的丰碑。它的公理化思想方法，将继续指引着数学及其他自然科学前进的道路。
参考文献：
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欧几里得几何学的公理体系. 欧几里得几何（Euclid geometry）起源于古 埃及，当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要 进行丈量. 因此他们用geometry一词，其原意就是 “丈量土地”. 自此就开始了对图形的研究. Euclid 《原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理 出来，而成为一个逻辑体系. 由于这个《原本》中包 含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接 研究图形的部分最多，因此，中文译本将书名译成为 《几何原本》. （“几何”来自“geo”的音译） 几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在 这一阶段，几何学就意味着数学的全部，古代数学家 把萌芽中的代数学也包括在几何学中. “数”与“形”的结合，是17世纪开始的，由于 代数学、分析学的发展，并形成了几何学、代数学、 分析学等独立的数学分支，数学家R.Descartes首先 建立了解析几何学，他利用坐标系，将图形问题转化 为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何 问题. 于是，相对于解析几何学来说，不用坐标而直接 研究图形的几何学，称之为纯粹几何学. 纯粹几何学 的进一步发展，就是射影几何学. 十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否 定了欧几里得几何中的平行线公理. 在n维向量空间建立后，几何体系就综合成了 n维欧几里得几何、n维射影几何、n维非欧几何. 把几何学用“群”的观点统一起来加以论述，也就是 “埃尔兰根纲领（Erlangen program, 1872）”，德国 数学家F.Klein的一篇不朽论文）：每种几何学视为 由一个点集组成的“空间”S，以及“由S到S的变 换群G”所确定的，研究S的子集（图形）性质中对 于G来说不变的性质，这就是几何学. 在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天，几何学 的发展日新月异，微分几何学及其发展Riemann几何 学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世 瞩目.
物理学的公理体系 基于目前整个物理学逻辑体系的不完备性，给出了物理学公理假设及其七个推论，并由此构成了物理学的公理体系。物理学公理体系的建立意味着物理学逻辑体系框架的建设完成。 【关键词】 物理学公理 ---度规，物理学公理的第一推论--- 物理单位（量纲）的时空数值，物理学公理的第二推论--- 度规物理量，物理学公理的第三推论--- 完备物理常数定理，物理学公理的第四推论--- 物理单位（量纲）的时空组态，物理学公理的第五推论--- 时空组态和时空数值的互易性，物理学公理的第六推论--- 物理量的的时空结构，物理学公理的第七推论--- 物理单位（量纲）时空组态计算法则。 【正文】 迄今为止物理学尚没有公理，自然就没有形成其公理体系，只存在着基本物理单位和导出物理单位基础概念和大量散落分布于诸物理学分支学科中的定义，原理，定律，定理等。尽管存在着一些横跨诸分支学科的普适性很大的基本物理学原理，也被人们普遍认为是普适性的真理，但在逻辑上它们还不是公理，而属于基于基本物理单位和导出物理单位基础物理概念的推论。 物理学发展在目前遇到了很大的困难并处于长期徘徊不前困境，一方面在向全球理论物理学家们暗示需要对他们正在使用的方法论作进一步的考究，另一个情况则显得更加紧迫和严重，那就是物理学基本逻辑体系的完善性建设问题。 由于物理学的最基础概念（基本物理单位和导出物理单位的定义）现在被发现并不是对它们指称的物理实在所固有存在形式（时空结构）的全面反映，因而导致了以它们为基础概念而创立的各种常规物理概
念均无法切入到其指称的各类存在所固有的存在形式之上（时空结构），因而造成了以上述基础物理概念和常规物理概念为基础而建立起来的所有物理学理论从根本上不具有对其欲认识的客观现象及其变化规律给出本质性物理学描述能力，而只能停留在它们的表象层面上给出已有的和将要给出的较好的物理学描述。 但宇宙及其所属各类存在原本是一体的，具有固有的，不可分割和逻辑一致的内在联系。对它们的表象性认识是无法穷尽的，而且表象性的认识往往会产生假象，这些认识假象混杂在正确的表象认识之中鱼目混珠，真假难辨，很容易让人们对宇宙的认识产生模糊甚至混乱。这种模糊和混乱认识局面的理论根本原因就在于非本质性的物理概念以及以其为基础而建立起来的物理学理论无法统一地对宇宙诸表象性认识的众多和繁杂结果进行本质性的筛选，精化，提炼并最终得到实证。 这样，实现对物理学最基础概念的深化认识，将它们在客观中的固有存在形式准确地以物理学概念反映出来，便成为21世纪物理学家们和人类对宇宙实施正确认识的当务之急和头等大事。这在理论上等效于开创性地建设一个可以准确地，完整地并具有实证性地反映宇宙基本存在形式的物理学逻辑公理体系。 目前物理学的逻辑体系不完备，缺少公理体系。物理学的最基础概念（基本物理单位和导出物理单位的符号系统）尚没有实现对其所属物理实在的逻辑形式的全称指称表述。物理学理论的这个逻辑缺陷从根本上制约
数学的公理化 十九世纪末到二十世纪初，数学已发展成为一门庞大的学科，经典的数学部门已经建立起完整的体系：数论、代数学、几何学、数学分析。数学家开始探访一些基础的问题，例如什么是数？什么是曲线？什么是积分？什么是函数？……另外，怎样处理这些概念和体系也是问题。 经典的方法一共有两类。一类是老的公理化的方法，不过非欧几何学的发展，各种几何学的发展暴露出它的许多毛病；另一类是构造方法或生成方法，这个办法往往有局限性，许多问题的解决不能靠构造。尤其是涉及无穷的许多问题往往靠逻辑、靠反证法、甚至靠直观。但是，哪些靠得住，哪些靠不住，不加分析也是无法断定的。 对于基础概念的分析研究产生了一系列新领域—抽象代数学、拓扑学、泛函分析、测度论、积分论。而在方法上的完善，则是新公理化方法的建立，这是希尔伯特在1899年首先在《几何学基础》中做出的。 十九世纪八十年代，非欧几何学得到了普遍承认之后，开始了对于几何学基础的探讨。当时已经非常清楚，欧几里得体系的毛病很多：首先，欧几里得几何学原始定义中的点、线、面等不是定义；其次，欧几里得几何学运用许多直观的概念，如“介于……之间”等没有严格的定义；另外，对于公
理系统的独立性、无矛盾性、完备性没有证明。 在十九世纪八十年代，德国数学家巴士提出一套公理系统，提出次序公理等重要概念，不过他的体系中有的公理不必要，有些必要的公理又没有，因此他公理系统不够完美。而且他也没有系统的公理化思想，他的目的是在其他方面——想通过理想元素的引进，把度量几何包括在射影几何之中。 十九世纪八十年代末期起，皮亚诺和他的学生们也进行了一系列的研究。皮亚诺的公理系统有局限性；他的学生皮埃利的“作为演绎系统的几何学”，由于基本概念太少而把必要的定义和公理弄得极为复杂，以致整个系统的逻辑关系极为混乱。 希尔伯特的《几何学基础》的出版，标志着数学公理化新时期的到来。希尔伯特的公理系统是其后一切公理化的楷模。希尔伯特的公理化思想极深刻地影响其后数学基础的发展，他这部著作重版多次，已经成为一本广为流传的经典文献了。 希尔伯特的公理系统与欧几里得及其后任何公理系统的不同之处，在于他没有原始的定义，定义通过公理反映出来。这种思想他在1891年就有所透露。他说：“我们可以用桌子、椅子、啤酒杯来代替点、线、面”。当然，他的意思不是说几何学研究桌、椅、啤酒怀，而是在几何学中，点、线、
欧式几何VS非欧几何 1什么是欧式几何？ 2.欧式几何的来源？欧几里得 3欧式几何公理有哪些？ 4欧式几何的缺陷——出现非欧几何 5什么是非欧几何？ 包括？罗巴切夫斯基（俄）———罗式几何黎曼（德）————黎曼几何 6三种几何的关系
导出命题 第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。） 从另一方面讲，欧式几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。 非欧氏几何 非欧氏几何产生于非欧式空间，而非欧式空间可以理解成扭曲了的欧式空间，可能它的坐标轴不再是直线，或者坐标轴之间并不 正交（即不成90度） 例子：欧式空间中的球面，对于在球面上爬行的蚂蚁来说就是非欧式空间的平面，它们在爬行的过程中不会感觉到球面的弯曲。当然在这样的一个球面上，欧式几何也不再成立，譬如：三角形的内角和不再是180度，而球面上两点之间的最短距离也不再是两点之间的连线（因为这时两点之间的的线段根本经 过球面）欧氏几何是平面，非欧几何是在一个不规则曲面上的 非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。 欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。 有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。 因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。 由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？ 到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开
欧几里德几何 简称“欧氏几何”。几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。 欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。 欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。高维的情形请参看欧几里德空间。 数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。 公理描述 [编辑本段] 欧几里德几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。 欧几里德几何的五条公理是： 任意两个点可以通过一条直线连接。 任意线段能无限延伸成一条直线。 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。 所有直角都全等。 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。 第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。 平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。） 从另一方面讲，欧几里德几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。 欧几里德还提出了五个“一般概念”，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。
《初等几何研究》作业 一、填空题 1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。 2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。 3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。 4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。 5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。 6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。 7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。 8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。 9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是 1=??ZB AZ YA CY XC BX 。 10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。 11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性. 33．①答案不惟一. 34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称. 36． ①1 =??ZB AZ YA CY XC BX （或－1） 37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.
几何公理法简介 欧几里得是古希腊最伟大的一位几何学家．他是柏拉图派的学生，曾在埃及的亚历山大城教过数学，并且是希腊的亚历山大学派的创始人． 欧几里得在他的千古不朽的名著《几何原本》（以后简称为《原本》）中，不仅非常详尽地搜集了当时人们所知道的一切几何学方面的资料，而且还把这些非常分散的知识用逻辑推理的方法，编排成为一个系统的理论体系．他把几何学依照亚里斯多德所说的严密科学理论的要求建筑在几个最初的假设（定义、公设、公理）上，由这些假设利用逻辑推理导出后面的一切定理．不仅如此，欧几里得还示范式地规定了几何证明的方法，主要是分析法、综合法和归谬法．因此，欧几里得的《原本》不但在完善和充实上大大地超过了在它以前的所有几何学著作，并且在以后的两千余年间依然没有一部几何著作可以和它比美．虽然十九世纪二十年代，俄国伟大的数学家尼·伊·罗巴切夫斯基（1792～1856年）有了新的发现，使几何学发生了革命，但直到现在，中学几何教科书中的叙述方法，仍与《原本》没有多大的实质性的差别． 欧几里得《原本》的基本结构是定义、公设和公理的系统．《原本》共有十三卷，其中1、2、3、4、6、11、12、13卷属于几何本身，其余则讲比例（用几何方式来叙述）和算术（属代数学的内容）．第一卷，包括三角形全等的条件、三角形的边角关系、平行线的理论以及三角形、多边形面积相等的理论．第二卷，叙述了如何把多边形变成等积的正方形．第三卷，叙述了圆的性质．第四卷，讨论了圆的内接和外切多边形．第六卷，论述了相似多边形．在最后三卷中，叙述了立体几何的理论． 《原本》的每卷里，首先给要建立相互关系的一些重要概念下了定义．例如在第一卷里，首先列举了23个定义．为便于以后分析研究，在这里我们摘引最先的八个． 定义： 1.点是没有部分的． 2.线是有长度而没有宽度的． 3.线的界限是点． 4.直线是这样的线，它上面的点是一样放置着的．
几何学公理化 除了极少数的著作之外，没有人知道那些伟大的古希腊先哲们究竟在思考什么。关于这些先驱的生平，人们只能从《欧德斯摩摘要》一书中了解极为粗略的情况。然而正是在这些吉光片羽的文字中，保留了古希腊关于数学的最光辉的思想。 从泰勒斯（Thales）到欧几里得的三百多年历史中，数学稳步而又迅速地发展着。泰勒斯开始了命题的证明，毕达哥拉斯学派进一步将数学从具体中抽象出来，并把算术和几何紧密地联系在一起。公元前387年左右，柏拉图（Plato，公元前426－347）在雅典创建了哲学学园，主张通过几何学习培养逻辑思维能力。他的学生亚里士多德（Aristotel，公元前384－322）则是形式逻辑的奠基者。这个学派的另一个重要人物欧多克索斯（Eudoxus，公元前460－357）创立了比例论。他用公理化的方法建立理论，使得比例的适用范围从毕达哥拉斯学派的可通约量扩大至不可通约量。 到了公元前4世纪时，古希腊无论是在几何学还是逻辑学上都日臻成熟，公理化思想也是由来已久，一个严密而又完整的几何体系已是呼之欲出。这个重任就落在了欧几里得的肩上。 1.欧几里得的贡献 欧几里得（Euclid，约公元前300年左右），古希腊著名的数学家。他的《几何原本》直到现在，依然是几何学入门的最佳读本。两千年来，这部巨著令许多数学家的努力与文字黯然失色。《原本》一书中的数学思想与方法，深刻地影响了整整两千多年的数学与自然科学的发展历程。 欧几里得的最大贡献并不是发现了多少深奥的定理，而是对过去所有数学知识的总结。他的《几何原本》不仅奠定了西方几何学的基础，并且提供了一整套的公理化方法的范例。在他之前，也曾有人设想过如此计划。但正如《欧德斯摩摘要》一书中所说的，“把几何学原理联系到一起，把欧多克索斯的许多定理有次序地安排起来，把铁塔斯的许多定理加以完善化，并对前任未经严谨证明的许多东西给以无可争辩地阐明”的，乃是欧几里得。 《几何原本》共有十三卷（也有十五卷的版本，最后二卷为后人增补）。在第一卷中，欧氏列出了23个“定义”，接着是5条“公设”和5条“公理”（现代数学并不区分公设和公理，都以公理称之），然后循序渐进地用推理、证明、演绎的方法推导出了全书所有的命题。这就是《原本》一书为何直到现代依然被认为是研究几何学的入门书的最主要的原因：得益于其严密的逻辑与演绎。 然而，正是在看似严密的逻辑推理之下的欧氏几何公理体系中，却存在着非常严重的漏洞。虽然在漫长的历史长河中，不断地有人诟病于它，但它的影响却是一直到两千年之后才反映出来，也由此铸成了一场几何学的革命。 2.第五公设的尴尬
数学分支之欧氏几何 欧氏几何的建立 欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。后又被译成多种文字，共有二千多种版本。它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。 一座不朽的丰碑 欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。这部划时代的著作共分13卷，465个命题。其中有八卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。 在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如同学们所学的“两点确定一条直线”等即是。同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里德采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题。然后又以此为基础，来证明第二个命题，如此下去，证明了大量的命题。其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系统。因而在数学发展史上，欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。正是从这层意义上，欧几里德的《几何原本》对数学的发展起到了巨大而深远的影响，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。 欧氏几何的完善 公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域，对数学的发展产生了不可估量的
几何公理和公理系统 1．几何公理 公理是作为几何基础而本身不加证明的命题，是建立一种理论体系的少数思想规定． 在几何演绎体系里，每条定理都要根据已知定理加以证明，而这些作为根据的定理又要根据另外的已知定理加以证明，如此步步追寻起来，过程是无止境的，必须适时而止．因此，需要选取一些不加证明的原始命题作为证明一切定理的基础，这就是公理． 数学区别于其他学科的主要特征之一是它的推理论证的演绎性质．为了建立某种理论或得出某个结论，天文学家必须借助观察，化学家必须借助于实验，但数学却不行．三角形内角之和等于180°不是通过测量得出和证明的，它的真实性是经事先假定为真实的命题，按逻辑的原则推证出来的．几何的其他命题也是如此． 公理是怎样选定的呢?有的是从历史上延续下来的，它们是人们经过反复实践从客观世界总结出来的规律，是人们公认的，如“两点确定惟一直线”这条公理；有的就是为了建立某种理论体系的需要，作为出发点而被规定下来的，它们不甚直观显然，甚至暂时不被人们接受，如罗巴切夫斯基几何中的平行公理．公理总是直接或间接地来源于实践，绝非科学家随心所欲的空想．譬如罗氏平行公理的出现，它首先是以欧氏几何的某些事实(概念、理论、方法)作为基础，受试证欧氏第五公设的启示；其次是受科学认识论的支配，克服认为公理是先验的唯心主义思想，承认公理的正确性必须靠实践来验证；再次是生产力和科学技术的不断革命所决定的，这些都为罗氏平行公理的出现做了必要的准备．这就是为什么到19世纪才产生罗氏几何的原因．理论的产生以实践为基础，但随着实践的发展和水平的提高，它也往往走在实践的前头，“虚数”和“非欧几何”等等都是这样．判断一个理论或公理是否正确，不是依据主观上觉得如何而定，而是依据客观上社会实践的结果如何而定．只有实践才是检验真理的惟一标准．2．几何公理系统 用公理化方法建立一门几何学演绎体系时，最根本的是确立该几何学的公理体系． 作为一门集合学基础的原始概念和全部公理称该几何学的公理系统，满足公理系统的几何图形的集合称为几何空间． 例1欧几里得几何学中的几种不同的公理系统． （1）希尔伯特（D.Hilbert，公元1862年～1943年，德国人）给出的公理系统． 希尔伯特公理系统纲要：
《高观点下的几何学》练习题参考答案 一 一、填空题。 1．公理法的三个基本问题是（相容性问题）、（独立性问题）和（完备性问题）。 2．公理法的结构是（原始概念的列举）、（定义的叙述）、（公理的叙述）和（定理的叙述和证明）。 3．仿射变换把矩形变成平行四边形 4．仿射变换把平行线变成平行线 5．仿射变换把正三角形变成三角形 二、简答题。 1．试给一个罗氏几何的数学模型。 答：罗氏几何的（Cayley-F.kLein）模型 在欧氏平面上任取一个圆，把圆内部的点所构成的集合看成是罗氏“平面”。 罗氏平面几何的原始概念解释成： 罗氏点：圆内的点； 罗氏直线：圆内的开弦（两个端点除外，它们可称为无穷远点）。 结合关系：圆内原来的点和线的结合关系； 介于关系：圆内弦上三点的介于关系； 运动关系：欧氏平面上，将圆K变成自身的射影变换。 罗氏平行公理（在罗氏平面上）通过直线外一点至少存在两直线与已知直线不相交。 2．试给一个黎曼几何的数学模型 答：黎曼几何的（F.KLein）模型 黎曼几何的原始概念解释成： 黎氏点：欧氏球面上的点，但把每对对径点看成一点； 黎氏直线：球面上的大圆； 黎氏平面：改造后的球面。 黎氏点与黎氏直线的基本关系： (1)通过任意两个黎氏点存在一条黎氏直线； (2)通过任意两个黎氏点至多存在一条黎氏直线； (3)每条黎氏直线上至少有两个黎氏点；至少存在三个黎氏点不在同一条黎氏直线上。 黎曼几何平行公理：黎氏平面上任意两条直线相交。 3．简述公理法的基本思想。 答：若干个原始概念（包括元素和关系）、定义和公理一起叫做一个公理体系，构成了一种几何的基础。全部元素的集合构成了这种几何的空间。在这个公理体系的基础上，每个概念都必须给出定义，每个命题都必须给出证明，原始概念、定义、公理和定理按照逻辑关系有次序地排列而构成命题系统——逻辑结构，这就是公理法思想。 4．简述公理系统的独立性 答：如果一个公理系统中的某条公理不能由其余公理证明，即不时其余公理的推论，则称这跳公理在公理
《初等几何研究》作业 一．填空题 1．对直线a上任意两点A、B，把B以及a上与B在A同侧的点的集合称作，并记作 . 2．第四组公理由条公理组成，它们的名称分别是 . 3．罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是，不同之处是 . 4．合同变换包括变换、变换和变换。 5．锡瓦定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB上分别有点X、Y、Z，则AX、BY、CZ三线共点（包括平行）的充要条件是 . 6．解作图问题的常用方法有：、、、等. 7．由公理可以证明，线段的合同关系具有性、性、性和性. 8．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是定理的推论. 9．写出一条与欧氏平行公理等价的命题： . 10．几何证明的基本方法，从推理形式上分为法与归纳法；从思维方向上分为法与分析法；从命题结构上分为证法与间接证法，其中间接证法包括法与法. 11．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则 . 12．请写出两条作图公法： . 13．在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中，三角形的定义是：。 14．命题“过圆内一点的直线必与该圆相交于两点”是由公理保证的。 15．写出一条与罗氏平行公理等价的命题：。 16．不过反演中心的圆，其反演图形是（过或不过）反演中心的。 17．梅内劳斯定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB被一直线分别截于X、Y、Z点，则X、Y、Z共线的充要条件是。 18．解作图问题的步骤一般分为：、、、、。
19．数学公理系统的三个基本问题是 性、 性和 性. 20．常用的几何变换有 等. 21．罗氏平行公理是： . 22．几何计算证明法一般有 法、 法、 法、 法、 法、 法等. 23．等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有 的关系 . 24．尺规可作图的充要条件是 . 25.由公理可以证明，线段的合同关系具有 性、 性、 性和 性. 26.如果线段与角对应，那么线段的中点与角的 对应. 27.命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是 定理的推论.28.绝对几何包括有 组公理，它们分别是 . 29.写一条与欧氏平行公理等价的命题： . 30.在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是 . 二．问答题 1．在数学公理系统中，模型指的是什么？ 2．定义线段长度的两个条件是什么？ 3．以下四个命题：“过不共线的三点恒有一圆”、“三角形的内角和不大于两个直角”、“存在两个三角形，它们相似但不合同”、“同一平面上，一条直线的垂线与其斜线必相交”，哪一个命题与欧氏平行公理不等价？ 4．欧氏几何公理系统中，不加定义的原始的关系概念有哪些？请解释它们的含义. 5．公理系统中的“合同”概念涉及到中学平面几何中哪些名词、术语？ 6．由欧几里得《几何原本》中的第五公设引出了什么问题？产生了什么结果？ 7．原始关系概念“结合”的通常说法有哪些？ 8．在欧氏几何公理系统中，线段“合同”的概念与线段“长度”的概念分别是以什么形式引出来的？ 9．在绝对几何公理系统中，命题“三角形内角和等于两个直角”用下列方法证明可否？若有问题，问题出在哪一步？为什么？ 在⊿ABC 中，过A 作AD 交BC 于D ，如图所示。 设⊿ABC 的内角和为x ，用ω表示直角， 则∠1+∠3+∠5=x ，∠2+∠4+∠6=x ； ∵∠3+∠4=2ω，且∠1+∠2+∠5+∠6=x ， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2x ， 即x +2ω= 2x ，因此x =2ω，得证。 10．巴士公理刻划了直线和三角形的那些特性？ 11．第三组公理一共有几条？这组公理的名称与我们以前熟悉的哪些概念有关？ A B C D 1 2 3 4 5 6
公理化方法 公理化方法公理化思想任何真正的科学都始于原理，以它们为基础，并由之而导出一切结果来随着假设演绎模型法的进一步发展，经济学日益走向公理化方法。公理化是一种数学方法。最早出现在二千多年前的欧几里德几何学中，当时认为“公理’(如两点之问可连一直线)是一种不需要证明的自明之理，而其他所谓“定理” (如三对应边相等的陌个三角形垒等)则是需要由公理出发来证明的,18世纪德国哲学家康德认为，欧几里德几何的公理是人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特(David Hilbert)在他的几何基础研究中系统地挺出r数学的公理化方法。 简介 恩格斯曾说过：数学上的所谓公理，是数学需要用作自己出发点的少数思想上的规定。 公理化方法能系统的总结数学知识、清楚地揭示数学的理论基础，有利于比较各个数学分支的本质异同，促进新数学理论的建立和发展。 现代科学发展的基本特点之一，就是科学理论的数学化，而公理化是科学理论成熟和数学化的一个主要特征。 公理化方法不仅在现代数学和数理逻辑中广泛应用，而且已经远远超出数学的范围，渗透到其它自然科学领域甚至某些社会
科学部门，并在其中起着重要作用． 历史发展 产生 公理化方法发展的第一阶段是由亚里士多德的完全三段论到欧几里得《几何原本》的问世．大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里斯多德总结了几何学与逻辑学的丰富资料，系统地研究了三段论，以数学及其它演绎的学科为例，把完全三段论作为公理，由此推导出其它所有三段论法，从而使整个三段论体系成为一个公理系统．因此，亚里斯多德在历史上提出了第一个成文的公理系统． 亚里斯多德的思想方法深深地影响了当时的希腊数学家欧几里得．欧几里得把形式逻辑的公理演绎方法应用于几何学，从而完成了数学史上的重要著作《几何原本》．他从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理．他总结概括出10个基本命题，其中有5个公设和5条公理，然后由此出发，运用演绎方法将当时所知的全部几何学知识推演出来，整理成为演绎体系．《几何原本》一书把亚里斯多德初步总结出来的公理化方法应用于数学，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑． 公理学研究的对象、性质和关系称为“论域”，这些对象、性
公理法 选取少数不加定义的原始概念（基本概念）和无条件承认的规定（公理）作为出发点，再加以严格的逻辑推理，将某一数学分支建成演绎系统的方法，叫数学系统的公理化方法，简称“公理法”． 两千多年来，欧几里得的《几何原本》在传播几何知识方面做出了巨大的贡献，并一直被人们作为标准的教科书使用．《几何原本》的特点是建立了一个比较严密的几何体系，提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构问题．但是，随着时间的推移，人们逐渐发现《几何原本》的体系还存在不少破绽和漏洞，例如使用一些未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义既不能逻辑地确定几何名词和术语，也不能在逻辑推理中起作用；《几何原本》也使用了一些未曾定义的概念，如“连续”的概念就未定义而被使用．正是由于对《几何原本》在逻辑结构方面存在的破绽和漏洞的发现，推动了几何学的不断发展． 1899年，德国数学家希尔伯特在他的《几何基础》一书中，首次用公理化的方法提出了一个比较完善的几何学的公理系统，即希尔伯特公理体系，克服了《几何原本》中的一些缺点． 希尔伯特公理体系的主要思想包含： （1）把几何中的点、直线、平面等概念，作为不加定义的“原始”概念，叫基本对象． （2）给出几何元素的一些基本关系：结合关系、顺序关系、合同关系． （3）规定了五组公理，用它阐述基本对象的性质． 希尔伯特还提出建立一个公理化体系的原则，即在一个公理体系中，取哪些为公理，应包含多少公理，必须考虑以下三点： 第一，相容性，即各公理必须是互相不矛盾的，同存于一个体系中． 第二，独立性，即每条公理都是各自独立的，不能由其他公理推出． 第三，完备性，即体系中所包含的公理应足以推出本学科的任何命题． 欧几里得的几何体系实际上是公理化体系的雏形，常称之为古典公理体系． 公理化方法给几何学的研究带来了一个新的观点．在公理体系中，由于基本对象不加以定义，因此就不必考虑研究对象的直观形象，只要研究抽象的对象之间的关系、性质．凡符合公理体系的元素都可以作为这个几何体系的直观解释，或称几何学的模型．因此，几何学的研究对象更广泛，其含义也更抽象．
第一讲数理逻辑与公理化系统 逻辑是人通过概念、判断、推理、论证来理解和区分客观事物的思维过程，逻辑思维，人们在认识过程中借助于概念、判断、推理等思维形式能动地反映客观现实的理性认识过程，又称理论思维。它是作为对认识着的思维及其结构以及起作用的规律的分析而产生和发展起来的。只有经过逻辑思维，人们才能达到对具体对象本质规定的把握，进而认识客观对象。它是人的认识的高级阶段，即理性认识阶段。 概念是反映事物内的本质属性及其分子的的思维形式，是抽象的、普遍的想法、观念或充当指明实体、事件或关系的范畴或类的实体。其特征是概念的内涵（内容）和外延（包含在概念中的事物）； 判断的特征是对事物有所断定且有真假； 演绎推理的特征是如果前提真，则结论真；（数学的逻辑推理通常是演绎推理） 定义是揭示概念内涵的逻辑方式，是用简洁的语词揭示概念反映的对象特有属性和本质属性。定义的基本方法是“种差”加最邻近的“属”概念。 定义的规则：一是定义概念与被定义概念的外延相同；二是定义不能用否定形式；三是定义不能用比喻；四是不能循环定义。 划分是明确概念全部外延的逻辑方法，是将“属”概念按一定标准分为若干种概念。划分的逻辑规则：一是子项外延之和等于母项的外延；二是一个划分过程只能有一个标准；三是划分出的子项必须全部列出；四是划分必须按属种关系分层逐级进行，不可以越级。 数学中的逻辑除了上述特点之外，更重要的是定量的刻画客观事物，在这一过程中，集合是一个基本的概念，它通过集合中的一些关系将事物量化。 将具有某种确定的特性的事物的全体称为一个集合。 在数学中，在逻辑量化过程中，会用到量词。 量词是命题中表示数量的词，分为全称量词和存在量词。全称量词断定所有的个体都具有相关谓词所表示的性质或关系，相当于自然语言中的“一切”、“所有”、“凡”等；存在量词断定存在（即至少有一个，但不一定是每一个）个体具有相关谓词所表示的性质或关系，相当于自然语言中的“有的”、“有”、“至少有一个”、“找得到一个”等。 符号表示为?（任一）表示全称量词，?（存在）表示存在量词，在数学中主要有以下几种形式： x F ?表示任一x具有性质F； ,x ) ( x?表示存在x具有性质F（满足条件F）； F ,x ( ) y x? ?表示任一x和任一y具有关系G（满足条件G）； G ( , ) ,y x x,具有关系G（满足条件G）； y x? ?表示对任一x，存在y，使得y G , ) ( ,y x x,具有关系G（满足条件G）； y x? G ?表示存在x，对任一y，使得y ( ) , ,y x
公理化方法和中学几何公理体系 12数学陈婷12220620 摘要：数学公理化方法是研究数学的重要思想方法，它对于近代数学和其他自然科学的发展有过巨大作用和深远影响，它很大程度上推动了数学的发展。而数学的教育更多的是方法和思想的教育，公理化方法在教学教育上有着举足轻重的地位。本文将从几何发展简史、公理化方法的意义与作用等方面探究公理化方法对中学几何公理体系的影响。 关键词：公理化方法；几何学；发展史；中学几何；教学启示 正文： 一、几何学发展简史 几何学是一门研究『空间』与『移动』的学问.这里的『空间』指的是正统的『几何空间』, 包括各种具体或抽象的几何图形,甚至是整个宇宙空间的几何构造;而『移动』则是这些几何空间的表现,例如:平移,旋转, 对称,波动等等.因此,几何学可说是真实世界与抽象世界的舞台与演员的演出.而数学家Descartes (笛卡儿, 1596 1650)曾说:『人类心智与生俱来有完美,空间,时间和运动等观念.』不论是实际生活上为了丈量与计算的需要,或是对於宇宙空间的好奇与探索,亦或是对於『美』的追求,自从人类开始生活在地球上,几何概念的演进便未曾停歇.而几何学的发展,也使人类开始真正认识我们所生存的宇宙空间。在史学中，几何学的确立和统一经历了二千多年，数百位数学家做出了不懈的努力。 一）欧氏几何的创始 公认的几何学的确立源自公元300 多年前，希腊数学家欧几里得著作《原本》。欧几里得在《原本》中创造性地用公理法对当时所了解的数学知识作了总结。全书共有13 卷，包括5 条公理，5 条公设，119 个定义和465 条命题。这些公设和公理及基本定义成为《原本》的推理的基础。 欧几里得的《原本》是数学史上的一座里程碑，在数学中确立了推理的范式。他的思想被称作“公理化思想”。 欧几里德几何自诞生两千多年来，因其论证的严密性而被誉为完美无瑕。但到了19世纪，由于非欧几何的创立，大大提高了公理化方法，数学的严格性标准大为提高，从而欧几里德几何的逻辑缺陷逐渐暴漏出来了，具体将有以下几点： 1、在欧式几何中用了重合法来证明全等： 在重合法中，首先使用了运动的概念，这样就定性了欧氏几何属于经验综合知识，他与人的经验有关，不属于纯粹知识。因此没有逻辑根据，他在证明中，移动图形，且默认为图形的性质不变，这在物理经验中是需要非常多的约束条件的，而欧几里德只是默认，并没严格的初始约束条件，因此逻辑上的严格性有问题。 2、几何中的某些定义，不能自在自为自足，有时甚至使用未加定义的概念。而有些被定义的概念往往是多余的，含糊不清。对一些不能定义的初始条件反而定义，甚至是不严格的定义。如：点、线、面等等初始概念就不应该定义，反而不严格的定义。 3、引用从未提起过，且未被发觉的假定。 4、证明不严格，许多定理的证明都依赖于感性直观，通过对图形的直观来证明。缺乏对直观与抽象的区别，过分依赖于感性直观。许多知识都是经验中的知识。 5、在欧氏几何的五条初始公理中，第五公理（平行线公理）引来许多争议。在陈述上、内容上复杂、累赘。缺乏说服力，不自明。
数学史试题 高等教育自学考试数学史试题1 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号 1.对古代埃及数学成就的了解主要来源于() A.纸草书 B.羊皮书 C.泥版 D.金字塔内的石刻 2.公元前4世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线？() A.不可公度数 B.化圆为方 C.倍立方体 D.三等分角 3.《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的() A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.楔形体 4.印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是() A.阿耶波多 B.婆罗摩笈多 C.马哈维拉 D.婆什迦罗 5.射影几何产生于文艺复兴时期的() A.音乐演奏 B.服装设计 C.雕刻艺术 D.绘画艺术 6.微分符号“d”、积分符号“”的首先使用者是() A.牛顿 B.莱布尼茨 C.开普勒 D.卡瓦列里 7.求和符号Σ的引进者是() A.牛顿 B.莱布尼茨 C.柯西 D.欧拉 8.作为“非(武汉自考)欧几何”理论建立者之一的年轻数学家波约是() A.俄国人 B.德国人 C.葡萄牙人 D.匈牙利人 9.最早证明了有理数集是可数集的数学家是() A.康托尔 B.欧拉 C.魏尔斯特拉斯 D.柯西 10.在1900年巴黎国际数学家大会上提出了23个著名的数学问题的数学家是() A.希尔伯特 B.庞加莱 C.罗素 D.克莱因 二、填空题(本大题共10小题，每空1分，共20分) 11.古代美索不达米亚的数学常常记载在__________上，在代数与几何这两个传统领域，他们成就比较高的是__________领域。 12.《几何原本》所建立的平面几何体系中共有__________条公设和__________条公理。 13.《海岛算经》的作者是__________，《数书九章》的作者是__________。 14.阿拉伯数学家__________的《还原与对消计算概要》第一次给出了__________方程的一般解法，并用几何方法对这一解法给出了证明。 15.欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是__________，他在其代表作《》中叙述了著名的“兔子问题”。 16.历史上第一篇系统的微积分文献是数学家__________所撰写的__________。 17.除了__________籍数学家欧拉外，在18世纪推进微积分及其应用的欧陆数学家中，首先应该提到________国学派，其代表人物有克莱洛、达郎贝尔、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯等。 18.“非欧几何”理论的建立源于对欧几里得几何体系中__________的证明，最先建立“非欧几何”理论的数学家是__________。 19.现代电子计算机诞生于__________世纪，对现代电子计算机的设计作出最大贡献的两位数学家是冯．诺依曼和__________。 20.起源于“英国海岸线长度”问题的一个数学分支是_________，它诞生于__________世纪。 三、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分） 21.简述阿波罗尼奥斯的生活时代及主要数学成就。 22.简述解析几何的诞生过程及其重大意义。
论数学大厦的基础：欧几里得——希尔伯特公 理化思想方法的发展 班级：13级626数学班姓名：徐影红学号：11607262616 摘要：公理化思想方法是数学研究的一种基本方法，在近代数学的发展及中起过巨大的作用，对各门现代数学理论系统形成有着深刻的影响。数学是一门演绎的科学，其体系是一种演绎的体系。那么，这个演绎体系的基础是什么？整个数学大厦的基础是怎样建立起来的？这个基础就是数学公理系统，整个数学知识的大厦就是按照公理化体系建立起来的。没有公理化，就没有数学体系的严谨性。本文将从公理化思想方法的产生、发展和完善三方面来阐述公理化思想的发展进程。 关键字：公理化思想方法、演绎体系、公理化系统 一、公理化思想方法的含义 公理化是一种数学方法，最早出现在2000多年前的欧几里得几何学中，当时认为“公理”是一种不需要证明的自明之理，18世纪，德国哲学家康德认为，欧几里得几何的公理使人们生来就有的先验知识，19世纪末，德国数学家希尔伯特在他的几何基础上系统地提出数学的形式公理化方法。他认为每一种数学理论都应以“基本概念-公理-定理”的模式来建立：这里的公里时作为理论出发点的科学假设，它们要求具有完备性、独立性和相容性。20世纪以来，整个数学几乎都已按希尔伯特的模式都到公理化处理。 在一个数学理论系统中，公理化方法就是从原始概念和公理出发，按
照一定的规定定义出其他所有的概念，推导出其他一切命题的一种演绎方法。 二、公理化思想方法的发展历程 公理化思想方法的历史发展大致可分成如下三个阶段： （一）公理化方法的产生阶段 1、亚里士多德和逻辑公理化方法 众所周知，在长达一千多年的光辉灿烂的希腊文化中，哲学、逻辑学、几何学得到了很大的发展。大约在公元前3世纪，希腊哲学家和逻辑学家亚里士多德总结了前任所发现和创立的逻辑知识，以完全三段论作为出发点，用演绎的方法推导出其余十九个不同格式的所有三段论，创立了人类历史上第一个公理化方法，即逻辑公理化方法，从而为数学公理化方法创造了条件。 2、欧几里得和《几何原本》 亚里士多德的思想方法深深影响了公元前3世纪的希腊数学家欧几里得。欧几里得以亚里士多德演绎逻辑为工具，总结了人类长期以来所积累的大量几何知识，于公元前300年完成了他的名著《几何原本》。欧几里得从古代的量地术和关于几何形体的原始直观中，用抽象分析方法提炼出一系列基本概念和公理。其中包括14个基本命题，5个公设和9条公理。欧几里得的《几何原本》是有史以来用公理化思想方法建立起来的第一门演绎数学，在数学史上被称为划时代的里程碑。而且成为以后很长时期