欧式几何VS非欧几何
1什么是欧式几何？
2.欧式几何的来源？欧几里得
3欧式几何公理有哪些？
4欧式几何的缺陷——出现非欧几何
5什么是非欧几何？
包括？罗巴切夫斯基（俄）———罗式几何黎曼（德）————黎曼几何
6三种几何的关系
导出命题
第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题：
通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。）
从另一方面讲，欧式几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。
非欧氏几何
非欧氏几何产生于非欧式空间，而非欧式空间可以理解成扭曲了的欧式空间，可能它的坐标轴不再是直线，或者坐标轴之间并不
正交（即不成90度）
例子：欧式空间中的球面，对于在球面上爬行的蚂蚁来说就是非欧式空间的平面，它们在爬行的过程中不会感觉到球面的弯曲。当然在这样的一个球面上，欧式几何也不再成立，譬如：三角形的内角和不再是180度，而球面上两点之间的最短距离也不再是两点之间的连线（因为这时两点之间的的线段根本经
过球面）欧氏几何是平面，非欧几何是在一个不规则曲面上的
非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。
欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？
到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开
一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
罗式几何
罗式几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。
我们知道，罗式几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗式几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗式几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明：
欧式几何
同一直线的垂线和斜线相交。
垂直于同一直线的两条直线或向平行。
存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。
罗式几何
同一直线的垂线和斜线不一定相交。
垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。
不存在相似的多边形。
过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。
从上面所列举得罗式几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗式几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗式几何是正确的。
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。
人们既然承认欧几里是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
黎曼几何
欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。
黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限演唱，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。
此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。
三种几何的关系
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。
在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。
欧几里得与欧几里得几何 亚历山大里亚的欧几里得（约公元前330年—前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年－前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。 欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何学的开创者。欧几里得生于雅典，当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。他在有攀滋入学园之后，便全身心地沉潜在数学王国里。他潜心求索，以继器粕拉图的学术为奋斗目标，除此之外，他哪儿也不去，什么也不干。熬翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿，可以说，连柏拉图的亲传攀擎也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想、数学理论。经过对柏拉图思想的深入探究，他得出结论：图形是神绘制的，所有一切籀象的逻辑规律都体现在图形之中。因此，对智慧的训练，就应该从戡图形为主要研究对象的几何学开始。他确实领悟到了柏拉图思想的要旨，并开始沿着柏拉图当年走过的道路，把几何学的研究作为自醺羽主要任务，并最终取得了世人敬仰的成就。 最早的几何学兴起于公元前7年的古埃及，后经古希腊等人传到古希腊的都城，又借毕达哥拉斯学派纂糯典。在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然黔这些知识当中，存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性。大多数是片断、零碎的知识，公理与公理之问、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。因此，随着社会经济的繁荣和发展，特别是随着农林畜牧业的发展、土地开发和利用的增多，把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经是刻不容缓，成为科学进步的大势所趋。欧几里得通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势。他下定决心，要在有生之年完成这一工作。为了完成这一重任，欧几里得不辞辛苦，长途跋涉，从爱琴海边的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及新埠—亚历山大城，为的就是在这座新兴的，但文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷。在此地的无数个日日夜夜里，他一边收集以往的数学专著和手稿，向有关学者请教，一边试着著书立说，阐明自己对几何学的理解，哪怕是尚肤浅的理解。经过欧几里得忘我的劳动，终于在公元前300年结出丰硕的果实，这就是几经易稿而最终定形的《几何原本》一书。这是一部传世之作，几何学正是有了它，不仅第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域——欧几里得几何学，简称欧氏几何。 不朽的平面几何学著作 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。传到今天的欧几里得著作并不多，然而我们却可以从这部书详细的写作笔调中，看出他真实的思想底蕴。 全书共分13卷。书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。在每一卷内容当中，欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式，即先提出公理、公设和定义，然后再由简到繁地证明它们。这使得全书的论述更加紧凑和明快。而在整部书的内容安排上，也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。它由浅到深，从简至繁，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭 法等内容。其中有关穷竭法的讨论，成为近代微积分思想的来源。仅仅从这些卷帙的内容安排上，我们就不难发现，这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及，一直到公元前4世纪——欧几里得生活时期——前后总共400多年的数学发展历史。这其中，颇有代表性的便是在第1卷到第4卷中，欧几里得对直边形和圆的论述。正是在这几卷中，他总结和发挥了前人的思维成果，巧妙地论证了毕达哥拉斯定理，也称“勾股定理”。即在一直角三角形中，斜边上的正方形的面积等于两条直角边上的两个正方形的面积之和。他的这一证明，从此确定了勾股定理的正确性并延续了2000多年。《几何原本》是一部在科学史上千古流芳的巨著。它不仅保存了许多古希腊
几何学基础简介 Lex Li 几何原本简介 古希腊大数学家欧几里德是与他的巨著——《几何原本》一起名垂千古的。这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里德最有价值的一部著作。欧几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。 作为基础的五条公理和公设 五条公理 1.等于同量的量彼此相等； 2.等量加等量，其和相等； 3.等量减等量，其差相等； 4.彼此能重合的物体是全等的； 5.整体大于部分。 五条公设 1.过两点能作且只能作一直线； 2.线段(有限直线)可以无限地延长； 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆； 4.凡是直角都相等； 5.同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于180°，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。 《几何原本》的主要内容 欧几里得的《几何原本》共有十三卷。 目录 第一卷几何基础 第二卷几何与代数 第三卷圆与角 第四卷圆与正多边形 第五卷比例
第六卷相似 第七卷数论（一） 第八卷数论（二） 第九卷数论（三） 第十卷无理量 第十一卷立体几何 第十二卷立体的测量 第十三卷建正多面体 各卷简介 第一卷：几何基础。重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理的正逆定理； 第二卷：几何与代数。讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。 第三卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理。 第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质； 第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是"最重要的数学杰作之一" 第六卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。 第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论；第十卷是篇幅最大的一卷，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形。 第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容. 从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书。 《几何原本》的意义和影响 在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归结到一点，就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原本》中，就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学，这项工作，前人未曾作到。《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。 论证方法上的影响 关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。
浅谈解析几何的学习方法 ????高中数学中的解析几何内容学生之所以会觉得难是因为对几个常用公式、定理的含义并没有真正弄清楚，实际上如果能花时间把每个公式的推导过程研究一遍消化掉，那么学好它将不是什么疑难问题了。 ????我们知道，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”——我国着名数学家华罗庚。 ????作为学习解析几何的开始，我们引入了我国着名的数学家华罗庚的一句话，他告诉了我们“数”和“形”各自的特点和不足，从而强调了数形结合的重要性，尤其是在解析几何的学习过程中，我们始终都要注意运用数形结合的思想和方法。 ????当然，学习这一部分内容，只是了解这种思想也是不够的为此，就为大家介绍一下学习解析几何的方法和需要注意的几点。 一、夯实基础 1、正确理解定义 ??? 有些同学可能现在就会去翻书，去查定义，会说，回答这些问题还不容易嘛，我背一下不就可以了吗。可是，我要告诉大家——定义不是用来背的。????可能大家还没有理解这句话的意思，定义不是要你去死记硬背，而是要你去自己理解，去自己总结。
????教材上引入椭圆定义的时候花费了很大的篇幅，可它的本质是什么？与双曲线的定义又有怎样的相同点、不同点？椭圆、双曲线和抛物线这三个重要的圆锥曲线的统一定义我们又该如何去理解？这些，只有靠你自己总结出来，才能真正成为你自己的东西，在做题的时候，你才能应用自如。看一遍书上的定义，合上课本，想一想，如果让你来描述，你会怎么说。当你能够给别人将这些定义解释清楚的时候，你就已经很好的理解了这些定义，做题时，你就不会因为忽略了定义中隐含的条件而一筹莫展了。 2、比一比，学会总结 ????这一章我们介绍了三种圆锥曲线，它们有很多的相似之处，当然也有很多的不同，它们之间也有着千丝万缕的联系。学习完之后，自己比较一下，它们的定义、性质都有什么异同，哪些量是它们共有的，哪些量是某个圆锥曲线所特有的。当你比较完之后，再回过头来看这一章，你会发现，原来这一章的内容竟然如此的简单和清晰。 ????记住，一定要自己去总结哦！！别人给你的东西永远都是别人的，不是你自己的，只有自己总结过，才能清晰的把握问题的重点。 二、“数”与“形”要紧密联系 ????我们掌握了圆锥曲线的基础之后，就好比为我们的大厦打下了一个坚实的基础，现在，我们就可以正式建造我们的摩天大楼了！ 1、让“数”直观
初中几何常见模型解析 ?模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。（2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 ?模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有
（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） ?模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明 ； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）；② ；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。
（2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。 ?当的一边交AO的延长线于点D时（如上图右）： 原结论变成：①；②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。
MFC空间几何变换之图像平移、镜像、旋转、缩放详解 一. 图像平移 前一篇文章讲述了图像点运算(基于像素的图像变换)，这篇文章讲述的是图像几何变换：在不改变图像容的情况下对图像像素进行空间几何变换的处理方式。 点运算对单幅图像做处理，不改变像素的空间位置；代数运算对多幅图像做处理，也不改变像素的空间位置；几何运算对单幅图像做处理，改变像素的空间位置，几何运算包括两个独立的算法：空间变换算法和灰度级插值算法。 空间变换操作包括简单空间变换、多项式卷绕和几何校正、控制栅格插值和图像卷绕，这里主要讲述简单的空间变换，如图像平移、镜像、缩放和旋转。主要是通过线性代数中的齐次坐标变换。 图像平移坐标变换如下： 运行效果如下图所示，其中BMP图片(0,0)像素点为左下角。
其代码核心算法： 1.在对话框中输入平移坐标(x,y) m_xPY=x，m_yPY=y 2.定义Place=dlg.m_yPY*m_nWidth*3 表示当前m_yPY行需要填充为黑色 3.新建一个像素矩阵ImageSize=new unsigned char[m_nImage] 4.循环整个像素矩阵处理 for(int i=0 ; i
大学解析几何
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 空间解析几何 基本知识 一、向量 1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量 12212121(,,)M M x x y y z z =---u u u u u u r 2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→，则 （1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→ （2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→ （3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→→?b a （1）><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→→b a ,0 注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平 面的夹角。 4、向量的外积→→?b a （遵循右手原则，且→→→⊥?a b a 、→→→⊥?b b a ） 321321 b b b a a a k j i b a → →→→→=?
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 5、（1）332211//b a b a b a b a b a ==? =?→→→→λ （2）00332211=++?=??⊥→→→→b a b a b a b a b a 二、平面 1、平面的点法式方程 已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→ ，则平面方程为 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 注意：法向量为),,(C B A n =→ 垂直于平面 2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→ 3、（1）平面过原点)0,0,0(? 0=++Cz By Ax （2）平面与x 轴平行（与yoz 面垂直）?法向量→n 垂直于x 轴 0=++?D Cz By （如果0=D ，则平面过x 轴） 平面与y 轴平行（与xoz 面垂直）?法向量→ n 垂直于y 轴0=++?D Cz Ax （如果0=D ，则平面过y 轴） 平面与z 轴平行（与xoy 面垂直）?法向量→ n 垂直于z 轴 0=++?D By Ax （如果0=D ，则平面过z 轴） （3）平面与xoy 面平行?法向量→ n 垂直于xoy 面0=+?D Cz
欧式几何VS非欧几何 1什么是欧式几何？ 2.欧式几何的来源？欧几里得 3欧式几何公理有哪些？ 4欧式几何的缺陷——出现非欧几何 5什么是非欧几何？ 包括？罗巴切夫斯基（俄）———罗式几何黎曼（德）————黎曼几何 6三种几何的关系
导出命题 第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。） 从另一方面讲，欧式几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。 非欧氏几何 非欧氏几何产生于非欧式空间，而非欧式空间可以理解成扭曲了的欧式空间，可能它的坐标轴不再是直线，或者坐标轴之间并不 正交（即不成90度） 例子：欧式空间中的球面，对于在球面上爬行的蚂蚁来说就是非欧式空间的平面，它们在爬行的过程中不会感觉到球面的弯曲。当然在这样的一个球面上，欧式几何也不再成立，譬如：三角形的内角和不再是180度，而球面上两点之间的最短距离也不再是两点之间的连线（因为这时两点之间的的线段根本经 过球面）欧氏几何是平面，非欧几何是在一个不规则曲面上的 非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。 欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。 有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。 因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。 由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？ 到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开
《几何学的本质》--- 几何学是人们在长期的生活实践中逐渐发展起来的理论思维成果之一。在它的启蒙阶段，现实中的物体形状和理论上的几何形状，一般是被混为一体或不加区分的，直到柏拉图时代，人们才开始注意到几何形状对于理论和现实的不同。人们所画在物体表面上的线都是有一定宽度的，它并非是几何学理论所意味的那种没有宽度的线；画在沙面上的三角形诸角，实际上是一些小块的面积，因此也不是理想的尖角。几何学概念的意义与体现它的现实事物的不相吻合，使柏拉图相信在超越现实事物的表面，一定有着“理念”事物存在，它们以十全十美的完善方式，显示出理想的几何属性。因而可靠的几何学知识，不是由现实事物来直接提供的，它需要人们对“理念”事物的一种“洞见”行为才能获得。 柏拉图的观点，代表了对几何学本质的早期见解，它使人们清楚地认识到，理想化的几何形状并不存在于人们生活的现实空间中。由于人们普遍认为欧几里德几何学中的每一条公理或公设，都不能从更为基本的前提中推导出来，而且每一条公理或公设对于处理现实事物都是有效的，所以，康德紧紧抓住几何学公理的不证自明性，认为几何学知识一定是通过逻辑以外的其它方式才能获得，并且是先天的和综合的。人们对现实事物所具有的几何特征
的认识，实际上是把现实事物置于几何学先天公理的构架上使之呈现的结果。同柏拉图一样，康德也把确定性的几何形状，同现实空间中的事物形状区分开来，但是他没有用理想的事物来解释几何学的本质，而是认为几何学知识是先于人类认识的，它们不能从人们的认识中得到解释和说明。 随着实验科学的发展，以及面对一系列通过实验所取得的丰硕成果，人们对科学理论的鉴别，逐渐倾向于依赖客观实验的检验。人们开始放弃柏拉图和康德的神秘主义几何学观点，并力图使几何学知识在现实空间中，能够得到客观实验的证明。高斯曾经测量过以三座山峰的顶端为顶点的三角形诸角，以试图验证这个三角形的内角和是否等于1800。后来爱因斯坦对此解释说，三角形内角和不等于1800，只有在很大的空间范围上才会明显，所以，对于我们附近的现实空间，欧几里得几何学是近似有用的。但是，高斯未能说明他所测量的三角形，为什么等同于理论意义上的几何三角形，爱因斯坦也没有区分三角形对于理论和现实的不同，他们回避了几何学中绝对理想化的几何形状，不存在于现实空间这一根本性的前提。理想化的直线和平面，在现实中没有与它们相对应的客观对象，研究直线平面几何形关系，应当只能针对理论意义上的直线和平面所构成的几何形及其几何关系。只有将几何学的研究
一、直线与方程基础： 1、直线的倾斜角α： [0,)απ∈ 2 、直线的斜率k ： 21 21 tan y y k x x α-== -； 注意：倾斜角为90°的直线的斜率不存在。 3、直线方程的五种形式： ①点斜式：00()y y k x x -=-； ②斜截式：y kx b =+； ③一般式：0Ax By C ++=； ④截距式：1x y a b +=； ⑤两点式： 121 121 y y y y x x x x --=-- 注意：各种形式的直线方程所能表示和不能表示的直线。 4、两直线平行与垂直的充要条件： 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=， 1l ∥2l 1221 1221 A B A B C B C B =???≠?； 1212120l l A A B B ⊥?+= . 5、相关公式： ①两点距离公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ，
MN = ②中点坐标公式：11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则线段MN 的中点1122 ( ,)22 x y x y P ++； ③点到直线距离公式： 00(,)P x y ，:0l Ax By C ++=， 则点P 到直线l 的距离d = ； ④两平行直线间的距离公式：11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=， 则平行直线1l 与2l 之间的距离d = ⑤到角公式：（补充）直线1111:0l A x B y C ++=到直线2222:0l A x B y C ++=的角为 θ，(0,)(,)22 ππ θπ∈U ，则2112 tan 1k k k k θ-=+? .（两倾斜角差的正切） 二、直线与圆，圆与圆基础： 1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=； 确定圆的两个要素：圆心(,)C a b ，半径r ； 2、圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=，（22 40D E F +->）； 3、点00(,)P x y 与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 点00(,)P x y 在圆内? 22200()()x a y b r -+-<； 点00(,)P x y 在圆上? 22200()()x a y b r -+-=； 点00(,)P x y 在圆外? 222 00()()x a y b r -+->； 4、直线:0l Ax By C ++=与圆222:()()C x a y b r -+-=的位置关系： 从几何角度看： 令圆心(,)C a b 到直线:0l Ax By C ++=的距离为d ， 相离?d r >；
《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：In terspace An alytic Geometry （2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向 量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1.教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。 （二）特殊曲面（8学时）
欧几里德几何 简称“欧氏几何”。几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。 欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。 欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。高维的情形请参看欧几里德空间。 数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。 公理描述 [编辑本段] 欧几里德几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。 欧几里德几何的五条公理是： 任意两个点可以通过一条直线连接。 任意线段能无限延伸成一条直线。 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。 所有直角都全等。 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。 第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。 平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。） 从另一方面讲，欧几里德几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。 欧几里德还提出了五个“一般概念”，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。
三角形三内角和 ——欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较 1840年，俄国数学家罗巴切夫斯基发表了一种新几何学．尽管高斯、波尔约和罗巴切夫斯基几乎同时各自独立地发现了这种新几何学，但由于罗巴切夫斯基第一个无所畏惧地公开发表了他的结果，所以，今天人们把这种新几何称为“罗氏几何”． 罗巴切夫斯基从1815年开始试图证明平行公理，几年的努力都失败了，失败使他逐渐认识到证明平行公理或第五公设是不可能的．1826年，身为大学教授的年轻的罗巴切夫斯基勇敢地抛弃了第五公设，提出了与欧几里得几何（简称欧氏几何）完全相反的公设：“过一点至少可以引两条直线与已知直线平行．”后来人们把这个公设叫做“罗氏公理”．由罗氏公理很容易推出以下结论：“过已知直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行．” 罗巴切夫斯基保留了除平行公理以外的欧几里得的全部公理．如果不涉及与平行有关的内容，罗巴切夫斯基的新几何与欧几里得几何学没有任何不同．但是只要与平行有关，那么结果就相差甚远．下表对罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）、欧氏几何不同的定理作了说明． 图7－11
欧氏几何说：“三角形的三内角和等于180 o．”现实生活中有没有这种几何模型呢？有！平面上的三角形的内角和就等于180 o，如图7－12左图．罗氏几何说“三角形的三内角和小于180o”．难道现实生活中也会有这样的几何模型吗？有！1868年意大利数学家贝特拉米找到了一种曲面，人们给它起名叫“伪球面”．在“伪球面”上可以证明：“三角形内角和小于180 o”，如图7－12中间的图． 图7－12 现实生活中有没有“三角形的内角和大于180 o”的几何学？有！这是德国著名数学家黎曼于1854年提出来的，如图7－12右图． 黎曼生于德国汉诺威，父亲是牧师，他遵照父亲的愿望进入哥廷根大学学习哲学和神学．可是进哥廷根大学后，他很快被数学所吸引．于是就放弃神学专攻数学，并成为大数学家高斯的学生．1851年他获得数学博士学位，博士论文受到高斯极高的评价．1859年他成为哥廷根大学的教授，1866年因患肺结核死于意大利，年仅40岁． 黎曼提出了一种与前两种几何完全不同的新几何，叫做“黎曼几何”．黎曼几何的模型是球面，在黎曼几何中“三角形内角之和大于180 o.” 后来，人们把罗氏几何和黎曼几何合在一起统称“非欧几何”．非欧几何在现代物理中，特别是相对论提出之后找到了具体用处，使得非欧几何并不像有些人说的是“想象中的几何”，而成了有着重要现实意义的几何学．
Geometry Geometry is all about shapes and their properties. If you like playing with objects, or like drawing, then geometry is for you! Geometry can be divided into: Plane Geometry is about flat shapes like lines, circles and triangles ... shapes that can be drawn on a piece of paper Solid Geometry is about three dimensional objects like cubes, prisms, cylinders and spheres. Hint: Try drawing some of the shapes and angles as you learn ... it helps. Point, Line, Plane and Solid A Point has no dimensions, only position A Line is one-dimensional A Plane is two dimensional (2D) A Solid is three-dimensional (3D)
Why? Why do we do Geometry? To discover patterns, find areas, volumes, lengths and angles, and better understand the world around us. Plane Geometry Plane Geometry is all about shapes on a flat surface (like on an endless piece of paper). 2D Shapes Activity: Sorting Shapes Triangles Right Angled Triangles Interactive Triangles Quadrilaterals (Rhombus, Parallelogram, etc) Rectangle, Rhombus, Square, Parallelogram, Trapezoid and Kite Interactive Quadrilaterals Shapes Freeplay Perimeter
《空间解析几何》课程教学大纲 一课程说明 1.课程基本情况 课程名称：空间解析几何 英文名称：Analytic geometry 课程编号：2411207 开课专业：数学与应用数学 开课学期：第1学期 学分/周学时：3/3 课程类型：专业基础课 2．课程性质（本课程在该专业的地位作用） 本课程是数学与应用数学及信息与计算机科学专业的一门专业基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是高等数学的基石，线性代数，数学分析，微分方程，微分几何，高等几何等课程的学习都离不开空间解析几何的基本知识及研究方法。空间解析几何是用代数的方法研究几何图形的一门学科，是从初等数学进入高等数学的转折点，是沟通几何形式与数学关系的一座桥梁。 3．本课程的教学目的和任务 通过本课程的学习，学生在掌握解析几何的基本概念的基础上，树立起空间观念。使学生受到几何直观及逻辑推理等方面的训练，扩大知识领域，培养空间想象能力以及运用向量法与坐标法计算几何问题和证明几何问题的能力，并且能用解析方法研究几何问题和对解析表达式给予几何解释，为进一步学习其它课程打下基础；另一方面加深对中学几何理论与方法的理解，从而获得在比较高的观点下处理几何问题的能力，借助解析几何所具有的较强的直观效果提高学生认识事物的能力。 4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求
本课程的教学，要求学生熟练掌握用代数的方法在空间直角坐标系下，研究平面、空间直线、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面等几何图形的性质，能对坐标化方法运用自如，从而达到数与形的统一。了解二次曲线的一般理论和二次曲面的一般理论。以培养学生掌握解析几何的基础知识为主，着力培养学生运用解析几何的思想和方法解决实际问题的能力，以及娴熟的矢量代数的计算能力和推理、演绎的逻辑思维能力，为后续课程的学习打下良好的基础。 5．教学时数及课时分配 二教材及主要参考书 1.李养成，《空间解析几何》，科学出版社。 2.吴光磊、田畴编，《解析几何简明教程》，高等教育出版社。 3.丘维声，《解析几何》，北京大学出版社。 4.南开大学《空间解析几何引论》编写组编，《空间解析几何引论》，高教出版社。 5.吕林根许子道等编《解析几何》（第三版）,高等教育出版社出版 三教学方法和教学手段说明 1．启发式教学，课堂教学与课后练习相结合。 2．可考虑运用多媒体教学软件辅助教学。
153 自测题七解答 一、填空题(本题共2小题，每空3分，满分33分) 1．点)4,1,2(--位于第( Ⅵ )卦限；关于y 轴的对称点是( (2,1,4) )；到z O x 平面的距离是( 1 )． 2．下列方程：(1)0222=--z y x ；(2)044222=+-+xy z y x ；(3) z y x 364922-=+； (4) 1=x ；(5)364922=+z x ；(6)1222=+-z y x 中， 方程( (4) )和( (5) )表示柱面；方程( (1) )和( (6) )表示旋转曲面；方程( (6) )表示旋转双曲面；方程( (3) )表示椭圆抛物面；方程( (1) )表示锥面；方程( (2) )表示两个平面． 二、单项选择题(本题共4小题，每小题3分，满分12分) 1．下列点在球面02222=-++z z y x 内部的是〖 C 〗． (A ) )2,0,0(； (B ) )2,0,0(-； (C ) ()5.0,5.0,5.0； (D ) ()5.0,5.0,5.0-． 2．方程组22 1,492.x y y ?+=???=? 在空间解析几何中表示〖 B 〗． (A ) 椭圆柱面； (B ) 两平行直线； (C ) 椭圆； (D ) 平面． 3．圆? ??=--+=++-+-09336)1()7()4(222z y x z y x 的中心M 的坐标为〖 A 〗． (A ) )0,6,1(； (B ) )1,7,4(-； (C ) )0,1,6(； (D ) )1,6,0(． 提示：只有点)0,6,1(到球心)1,7 ,4(-(球心)1,7,4(-到平面的距离)． 4．下列平面通过z 轴的是〖 D 〗． (A ) 013=-y ；(B ) 0632=--y x ；(C ) 1=+z y ；(D ) 03=-y x ． 三、(本题满分15分) 求过点)2,0,1(1M 、)3,1,0(2M 且平行于z 轴的平面方程． 解 因为平面平行于z 轴，所以设平面的方程为0Ax By D ++=(缺z 项)． 又点)2,0,1(1M 、)3,1,0(2M 在平面上，所以00A D B D +=??+=?，得A D B D =-??=-?． 则平面方程为0Dx Dy D --+= (0D ≠)，即 10x y +-=． 四、(本题满分15分)求母线平行于x 轴，且通过曲线???=+-=++0 162222222z y x z y x 的柱面方程．
数学分支之欧氏几何 欧氏几何的建立 欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。后又被译成多种文字，共有二千多种版本。它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。 一座不朽的丰碑 欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。这部划时代的著作共分13卷，465个命题。其中有八卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。 在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如同学们所学的“两点确定一条直线”等即是。同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里德采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题。然后又以此为基础，来证明第二个命题，如此下去，证明了大量的命题。其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系统。因而在数学发展史上，欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。正是从这层意义上，欧几里德的《几何原本》对数学的发展起到了巨大而深远的影响，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。 欧氏几何的完善 公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域，对数学的发展产生了不可估量的
“几何”一词，拉丁文是geometric，其源于希腊文ycouerpua（土地测量术）。我国明末科学家徐光启（1562-1637）与意大利传教士利玛窦（R.Matteo，1553- 1610）1607年合译《几何原本》时首次采用。几何学是一门古老而崭新的数学分支，其产生可追溯到距今8000年前的新石器时代。最早始于人类生存及生产的需要，在长期生活、生产实践中，人们逐渐对图形有了一定的认识，形成了一些粗略的几何概念，归纳出一些有关图形的知识和经验，产生了初步的几何。再经历代数学家的提炼和加工，逐渐形成了一门研究现实世界空间形式，即物体形状、大小和位置关系的数学分支，进而发展成为研究一般空间结构的数学分支。 几何学的发展大致经历了4个基本阶段。 1.实验几何的形成与发展 几何学最早的产生可以用“积累几何事实，并企图建立起各个事实间的某种联系”来概括和描述。源于人们观察天体位置、丈量土地、测量容积、制造生产工具等实践活动。据考古资料记载，出土的十万年前的一些器皿上已出现的简略几何图案。相传公元前2000年前大禹治水时，就已经能够使用规和矩等绘图工具进行测量和设计工作。另外，从现存的古埃及、古巴比伦等国的史料可看出，在天文、测量中也大量地反映了几何图形与计算的知识。 然而，这一历史时期，尽管人们在观察实验的基础上积累了丰富的几何经验。 但在现存的史料中，未见这一时期总结出几何知识真实性的推理证明；某些计算公式仅是粗略和近似的；直至公元前7世纪以前，可以说是单纯地由经验积累，通过归纳而产生几何知识的阶段，被称为实验（归纳）几何阶段。 2.理论几何的形成与发展 到了公元前7世纪，随着古埃及、古希腊之间贸易与文化的交流，埃及的几何知识逐渐传入希腊并得到巨大的发展。这一时期，人们对几何知识开始了逻辑推理与论证，古希腊的泰勒斯（Thales，约公元前625一前547）首先证明了“对顶角相等”、“等腰三角形两底角相等”、“半圆上的圆周角是直角”等，因而被人们称为第一位几何学家；毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前580一前501）学派首先证明了“三角形内角和等于二直角”、“勾股定理”、“只有五种正多面体”等。特别是柏拉图（Plato，公元前427-前347）学派把形式逻辑的思想方法引入几何学，确立了缜密的定义和明晰的公理作为几何学基础。后来古希腊大数学家欧几里得（Euclid，约公元前330一前275）在前人研究的基础上，按照严密地逻辑公理系统编写成了不朽的巨著《几何原本》13卷，至此理论几何已基本形成。 尽管《几何原本》存在公理不够完善、论证有时借助于直观等不足，但它集古代数学之大成，论证严密，影响深远，所运用的公理化方法为以后的数学发展指出了方向，以至成为整个人类文明发展史上的里程碑、人类文化遗产中的瑰宝。 3.解析几何的产生与发展 公元前3世纪，《几何原本》的出现，为理论几何奠定了基础。与此同时，人们对圆锥曲线也作了一定的研究，发现了圆锥曲线的许多性质。在后来较长时间里，由于封建社会中神学占有统治地位，科学得不到应有的重视，几何学也一直没有得到突破性的进展。直到16世纪随着欧洲文艺复兴运动的发展，生产实际的需要，自然科学才得到迅速发展。法国数学家笛卡儿（R.Descartes，1596-1650）在研究中发现，欧氏几何过分依赖于图形，而代数又完全受公式、法则所左右，他竭力主张几何、代数结合起来取长补短，认为这是促进数学发展的一个新的途径。笛卡儿把以往对立着的两个研究对象“数”与“形”统一起来了，并在数学中引入了变量的概念，从而完成了数学史上一项划时代的变革——解析几何产生