斐波那契数列
斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作―比萨的列昂纳多‖。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abacci)一书。他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人。他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学。
斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列通项公式
通项公式
(见图)（又叫―比内公式‖，是用无理数表示有理数的一个范例。）
注：此时a1=1，a2=1，an=a(n-1)+a(n-2)（n>=3,n∈N*）
通项公式的推导
斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
F(0) = 0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥2)，
显然这是一个线性递推数列。
方法一：利用特征方程（线性代数解法）
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2。
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n。
∵F(1)=F(2)=1。
∴C1*X1 + C2*X2。
C1*X1^2 + C2*X2^2。
解得C1=1/√5，C2=-1/√5。
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}（√5表示根号5）。
方法二：待定系数法构造等比数列1（初等待数解法）
设常数r，s。
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
则r+s=1，-rs=1。
n≥3时，有。
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]。
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]。
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]。
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]。
联立以上n-2个式子，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]。
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1。
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1) 。
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)。
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)。
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)。
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）。
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)。
=(s^n - r^n)/(s-r)。
r+s=1，-rs=1的一解为s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2。
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^(n+1) - [(1-√5)/2]^(n+1)}。
方法三：待定系数法构造等比数列2（初等待数解法）
已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式。
解:设an-αa(n-1)=β(a(n-1)-αa(n-2))。
得α+β=1。
αβ=-1。
构造方程x^2-x-1=0,解得α=(1-√5)/2,β=(1+√5)/2或α=(1+√5)/2,β=(1-√5)/2。
所以。
an-(1-√5)/2*a(n-1)=(1+√5)/2*(a(n-1)-(1-√5)/2*a(n-2))=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1 )`````````1。
an-(1+√5)/2*a(n-1)=(1-√5)/2*(a(n-1)-(1+√5)/2*a(n-2))=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1 )`````````2。
由式1,式2,可得。
an=[(1+√5)/2]^(n-2)*(a2-(1-√5)/2*a1)``````````````3。
an=[(1-√5)/2]^(n-2)*(a2-(1+√5)/2*a1)``````````````4。
将式3*(1+√5)/2-式4*(1-√5)/2,化简得an=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}。
与黄金分割的关系
有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n无穷大时(an-1)/an越来越逼近黄金分割数0.618。
1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…。..
越到后面，这些比值越接近黄金比.
证明:
a[n+2]=a[n+1]+a[n]。
两边同时除以a[n+1]得到：
a[n+2]/a[n+1]=1+a[n]/a[n+1]。
若a[n+1]/a[n]的极限存在，设其极限为x，
则lim[n->∞](a[n+2]/a[n+1])=lim[n->∞](a[n+1]/a[n])=x。
所以x=1+1/x。
即x²=x+1。
所以极限是黄金分割比。
奇妙的属性
斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前——比如松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数、黄金矩形、黄金分割、等角螺线等，有时也可能是我们对斐波那契额数过于热衷，把原来只是巧合的东西强行划分为斐波那契数。比如钢琴上白键的8，黑键上的5都是斐波那契数，因该把它看做巧合还是规律呢？
随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887……
从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶，而并不是指数列的数字本身的奇偶，比如第四项3是奇数，但它是偶数项，第五项5是奇数，它是奇数项，如果认为数字3和5都是奇数项，那就误解题意，怎么都说不通）
多了的一在哪？
如果你看到有这样一个题目：
某人把一个8*8的方格切成四块，拼成一个5*13的长方形，故
作惊讶地问你：为什么64=65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、
13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积
确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。
斐波那契数列的第n项同时也代表了集合{1,2,...,n}中所有不包含相邻正整数的子集个数。
斐波那契数列（f(n)，f(0)=0，f(1)=1，f(2)=1，f(3)=2……）的其他性质：
1.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(n)=f(n+2)-1。
2.f(1)+f(3)+f(5)+…+f(2n-1)=f(2n)。
3.f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n) =f(2n+1)-1。
4.[f(0)]^2+[f(1)]^2+…+[f(n)]^2=f(n)·f(n+1)。
5.f(0)-f(1)+f(2)-…+(-1)^n·f(n)=(-1)^n·[f(n+1)-f(n)]+1。
6.f(m+n-1)=f(m-1)·f(n-1)+f(m)·f(n)。
利用这一点，可以用程序编出时间复杂度仅为O（log n）的程序。
怎样实现呢？伪代码描述一下?
7.[f(n)]^2=(-1)^(n-1)+f(n-1)·f(n+1)。
8.f(2n-1)=[f(n)]^2-[f(n-2)]^2。
9.3f(n)=f(n+2)+f(n-2)。
10.f(2n-2m-2)[f(2n)+f(2n+2)]=f(2m+2)+f(4n-2m) [ n〉m≥-1,且n≥1]
斐波那契数列
11.f(2n+1)=[f(n)]^2+[f(n+1)]^2.
在杨辉三角中隐藏着斐波那契数列
将杨辉三角依次下降，成如图所示排列，将同一行的数加起来，即得一数列1、1、2、3、5、8、……
公式表示如下：
f(1)=C(0,0)=1 。
f(2)=C(1,0)=1 。
f(3)=C(2,0)+C(1,1)=1+1=2 。
f(4)=C(3,0)+C(2,1)=1+2=3 。
f(5)=C(4,0)+C(3,1)+C(2,2)=1+3+1=5 。
f(6)=C(5,0)+C(4,1)+C(3,2)=1+4+3=8 。
F(7)=C(6,0)+C(5,1)+C(4,2)+C(3,3)=1+5+6+1=13 。
……
F(n)=C(n-1,0)+C(n-2,1)+…+C(n-1-m,m) (m<=n-1-m)
斐波那契数列的整除性与素数生成性
每3个数有且只有一个被2整除，
每4个数有且只有一个被3整除,
每5个数有且只有一个被5整除，
每6个数有且只有一个被8整除,
每7个数有且只有一个被13整除，
每8个数有且只有一个被21整除,
每9个数有且只有一个被34整除，
.......
我们看到第5、7、11、13、17、23位分别是素数：5，13，89，233，1597，28657（第19位不是）
斐波那契数列的素数无限多吗？
斐波那契数列的个位数：一个60步的循环
11235,83145,94370,77415,61785.38190,
99875,27965,16730,33695,49325,72910…
斐波那契数与植物花瓣
3………………………百合和蝴蝶花
5………………………蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花
8………………………翠雀花
13………………………金盏
和玫瑰
21………………………紫宛
一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：―请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺，宽5英尺的长方
形地毯。‖这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师竟让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！
这真是不可思议的事！亲爱的读者，你猜得到那神奇的一平方英尺究竟跑到哪儿去呢？
实际上后来缝成的地毯有条细缝，面积刚好就是一平方英尺。
自然界中的巧合
斐波那契数列在自然科学的其他分支，也有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段―休息‖时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝―休息‖，老枝依旧萌发；此后，老枝与―休息‖过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年―休息‖。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的―鲁德维格定律‖。
另外，观察延龄草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金凤花、耧斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以发现它们花瓣数目具有斐波那契数：3、5、8、13、21、……
斐波那契螺旋：具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的―优化方式‖，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为―黄金角度‖，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。
数字谜题
三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系：
现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？
分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。
我们看到，―每段的长度不小于1‖这个条件起了控制全局的作用，正是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列发生了一个联系。
在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就有3条线段可以构成三角形了。
影视作品中的斐波那契数列
斐波那契数列在欧美可谓是尽人皆知，于是在电影这种通俗艺术中也时常出现，比如在风靡一时的《达芬奇密码》里它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘会计时随口问的问题。可见此数列就像黄金分割一样流行。可是虽说叫得上名，多数人也就背过前几个数，并没有深入理解研究。在电视剧中也出现斐波那契数列，比如：日剧《考试之神》第五回，义嗣做全国模拟考试题中的最后一道数学题~
编辑本段社会文明中的斐波那契数列
艾略特波浪理论
1946年，艾略特完成了关于波浪理论的集大成之作，《自然法则——宇宙的秘密》。艾略特坚信，他的波浪理论是制约人类一切活动的普遍自然法则的一部分。波浪理论的优点是，对即将出现的顶部或底部能提前发出警示信号，而传统的技术分析方法只有事后才能验证。艾略特波浪理论对市场运作具备了全方位的透视能力，从而有助于解释特定的形态为什么要出现，在何处出现，以及它们为什么具备如此这般的预测意义等等问题。另外，它也有助于我们判明当前的市场在其总体周期结构中所处的地位。波浪理论的数学基础，就是在13世纪发现的费氏数列。
波浪理论数学结构8浪循环图
·8浪循环图说明
·波浪理论的推动浪，浪数为5（1、2、3、4、5），调整浪的浪数为3（a\b\c），合起来为8。
·8浪循环中，前5段波浪构成一段明显的上升浪，其中包括3个向上的冲击波及两个下降的调整波。在3个冲击波之后，是由3个波浪组成的一段下跌的趋势，是对前一段5浪升势的总调整。这是艾略特对波浪理论的基本描述。而在这8个波浪中，上升的浪与下跌的浪各占4个，可以理解为艾略特对于股价走势对称性的隐喻。
·在波浪理论中，最困难的地方是：波浪等级的划分。如果要在特定的周期中正确地指认某一段波浪的特定属性，不仅需要形态上的支持，而且需要对波浪运行的时间作出正确的判断。
·换句话说，波浪理论易学难精，易在形态上的归纳、总结，难在价位及时间周期的判定。
波浪理论的数字基础：斐波那契数列
波浪理论数学结构——
斐波那契数列与黄金分割率
·这个数列就是斐波那契数列。它满足如下特性：每两个相连数字相加等于其后第一个数字；前一个数字大约是后一个数字的0.618倍；前一个数字约是其后第二个数字的0.382倍；后一个数字约是前一个数字的1.618倍；后一个数字约是前面第二个数字的2.618倍；
·由此计算出常见的黄金分割率为(0.5和1.5外)：
0.191、0.236、0.382、0.618、0.809、
1.236、1.382、1.618、1.764、1.809
·黄金分割比率对于股票市场运行的时间周期和价格幅度模型具有重要启示及应用价值。
黄金分割比率在时间周期模型上的应用
·未来市场转折点=已知时间周期×分割比率
·已知时间周期有两种：
（1）循环周期：最近两个顶之间的运行时间或两个底之间的运行时间
（2）趋势周期：最近一段升势的运行时间或一段跌势的运行时间
·一般来讲，用循环周期可以计算出下一个反向趋势的终点，即用底部循环计算下一个升势的顶，或用顶部循环计算下一个跌势的底。而用趋势周期可以计算下一个同方向趋势的终点或是下一个反方向趋势的终点。
时间循环周期模型预测图
时间趋势周期模型预测图
时间周期与波浪数浪的数学关系
·一个完整的趋势(推动浪3波或调整浪3波)，运行时间最短为第一波(1浪或A 浪)的1.618倍，最长为第一波的5.236倍。如果第一波太过短促，则以第一个循环计算(A浪与B浪或1浪与2浪)。
·1.382及1.764的周期一旦成立，则出现的行情大多属次级趋势，但行情发展迅
速。
·同级次两波反向趋势组成的循环，运行时间至少为第一波运行时间的1.236倍。
·一个很长的跌势(或升势)结束后，其右底(或右顶)通常在前趋势的1.236或1.309倍时间出现。
黄金分割比率在价格幅度模型上的应用
·如果推动浪中的一个子浪成为延伸浪的话，则其他两个推动浪不管其运行的幅度还是运行的时间，都将会趋向于一致。也就是说，当推动浪中的浪3在走势中成为延伸浪时，则浪1与浪5的升幅和运行时间将会大致趋同。假如并非完全相等，则极有可能以0.618的关系相互维系。
·浪5最终目标，可以根据浪1浪底至浪2浪顶距离来进行预估，他们之间的关系，通常亦包含有神奇数字组合比率的关系。
·对于ABC调整浪来说，浪C的最终目标值可能根据浪A的幅度来预估。浪C 的长度会经常是浪A的1.618倍。当然我们也可以用下列公式预测浪C的下跌目标：浪A浪底减浪A乘0.618。
·在对称三角形内，每个浪的升跌幅度与其他浪的比率，通常以0.618的神奇比例互相维系。
黄金分割比率在价格幅度模型上的应用
·0.382：浪4常见的回吐比率、部份浪2的回吐比率、浪B的回吐比率。
·0.618：大部份浪2的调整幅度、浪5的预期目标、浪B的调整比率、三角形内浪浪之间比率。
·0.5：常见是浪B的调整幅度。
·0.236：浪3或浪4的回吐比率，但不多见。
·1.236与1.382：
·1.618：浪3与浪1、浪C与浪A的比率关系。
推动浪形态
·推动浪有五浪构成。第一浪通常只是由一小部分交易者参与的微弱的波动。一旦浪1结束，交易者们将在浪2卖出。浪2的卖出是十分凶恶的，最后浪2在不创新低的情况下，市场开始转向启动下一浪波动。浪3波动的初始阶段是缓慢的，并且它将到达前一次波动的顶部（浪1的顶部）。
推动浪浪5未能创新高(低),市场将会出现大逆转
推动浪的变异形态——倾斜三角形
·倾斜三角形为推动浪中的一种特殊型态（比较少见），主要出现在第5浪的位置。艾略特指出，在股市中，一旦出现一段走势呈现快速上升或赶底的状况，其后经常会出现倾斜三角形型态
调整浪形态
·调整是十分难以掌握的，许多艾略特交易者在推动模式阶段上赚钱而在调整阶段再输钱。一个推动阶段包括五浪。调整阶段由三浪组成，但有一个三角形的例外。一个推动经常伴随着一个调整的模式。
·调整模式可以被分成两类：
·简单的调整：之字型调整（N字型调整）
·复杂的调整：平坦型、不规则型、三角形型
调整浪的简单与复杂调整的交替准则调整浪的变异形态：强势三角形
调整浪的变异形态：前置三角形
各段波浪的特性
·在8浪循环中，每段波浪都有不同的特点，熟知这些特点，对波浪属性的判断极有帮助，
·第1浪：大部分第1浪属于营造底部形态的一部份，相当于形态分析中头肩底的底部或双底的右底，对这种类型的第1浪的调整（第2浪）幅度通常较大，理论上可以回到第1浪的起点。
小部份第1浪在大型调整形态之后出现，形态上呈V形反转，这类第1浪升幅较为可观。在K线图上，经常出现带长下影线的大阳线。
从波浪的划分来说，在5-3-5的调整浪当中，第1浪也可以向下运行，通常第1浪在分时图上应该显示明确的5浪形态。
·第2浪：在强势调整的第2浪中，其回调幅度可能达到第1浪幅度的0.382或0.618，在更多的情况下，第2浪的回调幅度会达到100%，形态上经常表现为头肩底的右底，使人误以为跌势尚未结束。
在第2浪回调结束时，指标系统经常出现超卖、背离等现象。
第2浪成交量逐渐缩小，波幅较细，这是卖力衰竭的表现。
出现传统系统的转向信号，如头肩底、双底等。
·第3浪：如果运行时间较短，则升速通常较快。在一般情况下为第1浪升幅的1.618倍。如果第3浪升幅与第1浪等长，则第5浪通常出现扩延的情况。
在第3浪当中，唯一的操作原则是顺势而为。因为第3浪的升幅及时间经常会超出分析者的预测。
通常第3浪运行幅度及时间最长。属于最具爆发性的一浪。大部分第3浪成为扩延浪。第3浪成交量最大。
出现传统图表的突破信号，如跳空缺口等。
·第4浪：如果第4浪以平坦型或N字型出现，a小浪与c小浪的长度将会相同。第4浪与第2浪经常是交替形态的关系，即单复式交替或平坦型、曲折型或三角形的交替。
第4浪的低点经常是其后更大级数调整浪中A浪的低点。
经常以较为复杂的形态出现，尤其以三角形较为多见。通常在第3浪中所衍生出来的较低一级的第4浪底部范围内结束。
第4浪的底不会低于第1浪的顶。
·第5浪：除非发生扩延的情况，第5浪的成交量及升幅均小于第3浪。
第5浪的上升经常是在指标出现顶背离或钝化的过程中完成。
在第5浪出现衰竭性上升的情况下，经常出现上升楔形形态。这时，成交量与升
幅也会出现背离的情况。
如果第1、3浪等长，则第5浪经常出现扩延。如果第3浪出现扩延浪，则第5浪幅度与第1浪大致等长。
市场处于狂热状态。
·第6浪A浪：A浪可以为3波或者5波的形态。在A浪以3波调整时，在A浪结束时，市场经常会认为整个调整已经结束。在多数情况下，A浪可以分割为5小浪。
市场人士多认为市场并未逆转，只视为一个较短暂的调整。
图表上，阴线出现的频率增大。
·第7浪B浪：在A浪以3波形态出现的时候，B浪的走势通常很强，甚至可以超越A浪的起点，形态上出现平坦型或三角形的概率很大。而A浪以5波运行的时候，B浪通常回调至A浪幅度的0.5至0.618。
升势较为情绪化，维持时间较短。
成交量较小。
·第8浪C浪：除三角形之外，在多数情况下，C浪的幅度至少与A浪等长。
杀伤力最强。
与第3浪特性相似，以5浪下跌。
股价全线下挫。
人类文明的斐波那契演进
古老的<马尔萨斯理论>已经显灵马尔萨斯认为：每当社会财富快速积累，人口快速增长，就会出现：战争、瘟疫、饥荒、自然灾害来削减人口。2000年科技泡沫达到繁荣的极限，到处都是财富神话！然后盛极而衰，全球经济急转直下转入衰退、长期萧条。于是：911、阿富汗战争、伊拉克战争、SARS、印度洋海啸、飓风袭击美利坚、禽流感、寒流袭击欧罗巴。这一切集中在一起接二连三地发生！2000年是自上世纪30年代全球经济大萧条后，一个长达约70年的经济增长周期的结束点，后面将是一个长期萧条周期。上世纪30年代全球经济大萧条导致了二次世界大战，被艾略特称之为：底部战争。现在又是一个与上世纪30年代全球经济大萧条同级别的经济萧条周期，2000年来的经济萧条将持续至2021年才会结束（预测附在下面）。后面是否又会发生被艾略特称之为的：底部战争？至少有不良苗头：哈马斯执政、伊朗核问题纠缠，世界将走向何方？
是否还记得那个著名的：
1999年7月之上（误差了2年）
恐怖大王从天而降（911）
使安哥鲁摩阿大王为之复活（美国发动反恐战争）
这期间由马尔斯借幸福之名统治四方（唯一待验证）
社会群体心理、群体行为、群体价值观，乃至国际政治、经济、军事，一切皆是自相似系统分形几何运行阶段的反映和结果。
1、自2000年来的全球经济萧条将持续至2021年，说明未来将是长期萧条。
2、之前会有若干次小级别、温和的经济扩张和收缩，2010、2011、2018年是拐
点。
3、2021年是一个黑暗的年份，人们悲观、恐惧、绝望的情绪会达到一个极点。到时绝大多数经济学家会一致悲观！接着柳岸花明经济开始复苏，经济学家们又挨了一记大耳光。
首先，列出一组计算公式：
（公元1937年–公元1932年）X 3.618 + 公元1982年= 公元2000年
（公元1966年–公元1942年）/1.382 + 公元1982年= 公元1999年
（公元1837年–公元1789年）X 1.382 + 公元1932年= 公元1998年
（公元1325年–公元950年）X 0.618 –（公元1650年–公元1490年）+ （公元1789年–公元1650年）+ 公元1789年= 公元2000年
其中：
公元950年商业革命的起点
公元1325年商业革命的结束点
公元1490年资本主义革命的起点
公元1650年资本主义革命的结束点
公元1789年工业革命的起点
公元1837年公元1789年后第一轮经济扩张的结束点
公元1932年自公元1929年资本主义世界股灾的结束点
公元1937 年公元1929年股灾后第一轮经济扩张的结束点
公元1942年公元1929年股灾后第二轮经济扩张的起点
公元1966年公元1929年股灾后第二轮经济扩张的结束点
公元1982年70年代全球经济滞胀的结束点
0.618、1.382、3.618 是斐波那契比率，来源于斐波那契数列
前2个计算公式的含义：
自上世纪30年代资本主义世界经济大萧条以来，新的一个自公元1932年开始的上升5浪的经济扩张周期已经结束，结束点为公元2000年。那么接着是一个调整期（经济萧条期），如果是对公元1932年至公元2000年，长度68年的经济扩张周期的调整，那么它的长度应该比之前小一浪级的第4浪（公元1966年至公元公元1982年，长16年）要长，那么斐波那契数列中最接近的数字是21年。另外，贝纳理论对时间周期的推导，公元2000年为一个重要的高点，公元2003年为一个重要的低点，下一个重要的低点是公元2021年，相互吻合。并且，公元2000年的全球经济繁荣的拐点、公元2003年的低点已经被全球经济运行的事实所确认。其中，第2个计算公式误差了1年。
第3个计算公式的含义：
公元1932年至公元2000年，长度68年的经济扩张的上升5浪，又是更大浪级一个上升5浪（公元1789年至公元2000年，长度211年）的第5子浪，公元2000年同时又是长211年上升5浪的结束点。该计算公式的结果误差了2年。那么，接下来的调整（经济萧条期）可就不是21年这么短，而是211年的38.2%、50%、61.8%
（斐波那契回荡），也就是长度几十年至百年级的。
第4个计算公式的含义：
公元1789年至公元2000年，长211年上升5浪的经济扩张周期，又是更大浪级公元950年至公元2000年千年浪（浪3）的第5子浪，说明公元2000年同时又是长度1050年的一个千年浪（浪3）的结束点。那么说明接下来的调整（浪4，经济萧条期）将是对千年浪（浪3）的几百年级的。这种几百年级规模的调整不得不要从人类文明级别来考虑！之前：古罗马帝国于公元476年灭亡，之前是一个一千年的罗马帝国人类奴隶社会的文明（浪1），公元476 年后接着是一个长达474年动荡的、封建的黑暗中世纪（浪2）。并且，公元2000年的拐点（浪3的结束点）已经被全球经济运行的事实所证实，按照马尔萨斯的人口理论：每当社会财富快速积累，人口快速增长，就会出现：战争、瘟疫、饥荒、自然灾害来削减人口。公元2000年后马尔萨斯理论在不断被验证，而唯一还没有被证实的饥荒，气候如此大面积剧烈异常波动，难免会造成连续几年的粮食减产，马尔萨斯所提到的饥荒也是不难预期地。以后发生的事情还会继续不断地验证马尔萨斯理论，不信让你们的孩子的孩子......的孩子，来继续鉴证。（自然灾害频发粮食减产，低素质人口猛超生，已经为将来闹饥荒打下了伏笔。2007-2-15补）公元2000年一个时间窗口打开，之后将会战争、瘟疫、饥荒、自然灾害频发，这个逆流（浪4）的长度将是几百年长度的，未来的几百年全球人口将会被消减38.2%或50%或61.8%（斐波那契回荡），个人认为38.2%的可能性偏大，也就是说将有大量人口死于非命。即便是没被消减的，也是活的生不如死。事实已经证明公元2000年是一个千年级的时空
共振点。扩张/收缩、前进/倒退的交替式发展是自然生长、事物发展的自然法则，是不以人的意志为转移地。况且，人类社会本身就是自然的组成部分。
另外，非常精确的是：
浪3长度是浪2长度的2.236倍（又一个斐波那契比率）
浪3长度= 公元2000年–公元950年= 1050年
浪2长度= 公元950年–公元476年= 474年
1050年/2.236 = 470年，与浪2的474年仅很接近，仅误差4年。
非常巧合的是公元2000年已经被证实是全球经济运行的重要拐点，同时与上述4个计算公式的计算结果、贝纳理论的周期推导结果、还有400多年前的大预言时间出奇的一致！不知道大预言的作者是怎么计算的？
1999年7月之上
恐怖大王从天而降
使安哥鲁摩阿大王为之复活
这期间由马尔斯借幸福之名统治四方
至此我们应该明白，我们伟大的人生处于历史长河的何种阶段？下面的几百年级的调整（浪4），世界将是动荡不安的、到处都充满仇恨、敌对、剥削、压迫。有可能会是象伟大革命导师列宁所论述的：资本主义是腐朽的，资本主义是垂死的，无产阶级最终是资本主义的掘墓人。人类社会经过几百年的动荡和无产阶级革命（浪4），下
一个千年浪（浪5）可能是人类文明的全球普遍社会主义阶段，下一个千年浪（浪5）也可能是一个延长浪，其中的第5子浪会上升到共产主义阶段，英特纳雄耐尔就一定会实现！！
而西方文明精确理论计算的未来：
根据波浪构造指导方针
1、浪
2、4趋于等长，或呈斐波那契关系。
2、一个波浪结构中的5个子浪的第1子浪延长，这个波浪结构之后的调整浪幅度将小于等于第2子浪的底。那么，浪4的调整比较可能的是与浪2趋于等长。浪4长度= 公元950年–公元476年= 474年也就是说，上面提到的公元2000年后的战争、瘟疫、饥荒、自然灾害频发来消减人口的逆流（浪4），其长度将持续474年。之后的浪5（社会主义至共产主义文明）：浪1、3趋于等长，那么浪5将是延长浪，长度是浪1、3的1.618（斐波那契比率）倍。浪5长度= （公元2000年–公元950年）X 1.618 = 1699年也就是说，西方文明自公元950年来的浪3（发展的驱动浪，它伴随商业贸易的兴起至资本主义的科技泡沫）已于公元2000年结束，之后的浪4（战乱、瘟疫、饥荒、自然灾害频发的调整浪）将是长度474年的调整，然后的浪5（发展的驱动浪，社会主义至共产主义文明）长度将是1699年，最后西方文明将于公元2000年+ 474年+ 1699年= 公元4173年结束。
我们人类在地球上的文明史本身可能就是地球生命发展阶段的一个子浪而已。
通过对跨度几千年的中国历史朝代表分析，惊异地发现中华文明竟然也是以艾略特波浪的斐波那契方式演进！
先看中国封建社会:
浪Ⅰ公元前221年-- 公元220年长度441年统一、发展的秦、汉
浪Ⅱ公元220年-- 公元581年长度361年动荡、战乱、分裂的三国、两晋、南北朝
浪Ⅲ公元581年–公元907年长度326年统一、发展的隋、唐
浪Ⅳ公元907年–公元1279年长度372年动荡、战乱、分裂/并存的五代十国、宋、辽、西夏、金
浪Ⅴ公元1279年–公元1911年长度632年统一、发展的元、明、清
并且：
1、中国封建社会的三大盛世―文景之治‖、―贞观之治‖、―康乾盛世‖就出现在Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ三个上升的驱动浪中。
2、浪Ⅴ是延长浪经历3个朝代，浪Ⅰ、Ⅲ未延长经历2个朝代。
3、每个驱动浪开头总有一个短命的朝代：秦、隋、元
4、元/隋= 89年/37年= 2.41 隋/秦= 37年/15年= 2.47 趋于一致
其间的斐波那契关系：
1、浪Ⅰ长度是浪Ⅲ长度的1.382倍（斐波那契比率），浪Ⅲ长度326年X 1.382 = 451年，与浪Ⅰ长度441年接近。
2、浪Ⅴ长度是浪Ⅰ长度的1.382倍（斐波那契比率），浪Ⅰ长度441年X 1.382 =
609年，与浪Ⅴ长度632年接近。也就是说，（公元220年–公元前221年）X 1.382 + 公元1279年= 公元1888年公式含义：中国封建社会结束点公元1911年之前很多年，就可以通过波浪间的斐波那契关系计算出中国封建社会将于公元1888年结束。只误差了23年，对于长达2132年的中国封建社会而言，误差仅为1.08%
3、浪Ⅱ长度是浪Ⅰ长度的0.809倍（斐波那契比率），浪Ⅰ长度441年X 0.809 =357年，与浪Ⅱ长度361年接近。
4、浪Ⅳ长度372年与浪Ⅱ长度361年趋于等长。
5、浪Ⅴ是延长浪，长度是浪Ⅰ至浪Ⅲ的1.618倍（斐波那契比率）。（441年– 361年+ 326年）X 1.618 = 657年，与浪Ⅴ长度632年接近。也就是说，（公元220年–公元前221年–公元581年+ 公元220年+ 公元907年–公元581年）X 1.618 + 公元1279年= 公元1936年
公式含义：
中国封建社会结束点公元1911年之前很多年，就可以通过波浪间的斐波那契关系计算出中国封建社会将于公元1936年结束。只误差了25年，对于长达2132年的中国封建社会而言，误差仅为1.17%然而公元前221年至公元1911年长达2132年的中国封建社会仅是更大浪级中华文明的第3子浪。
更大浪级的波浪间存在令人瞠目结舌的精确、完美的斐波那契关系：
浪1 约公元前21世纪-- 公元前722年，长度约1300年，夏、商、周至春秋/战国前的中国奴隶社会文明。
浪2 公元前722年-- 公元前221年，长度501年，动荡、战乱、分裂的春秋/战国。
浪3 公元前221年-- 公元1911年，长度2132年，中国封建
生活中我们常常相信亲眼所见，但又常常为自己的眼睛所骗，魔术就是一个很好的例子。数学中也有这种欺骗我们眼睛的奇妙的数学魔术，我们还是来看一个简单的问题吧，将图3中面积为13×13=169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形，然后重新拼接成图４，计算可知长方形的面积为8×21＝168，比正方形少了一个单位的面积，真不可思议！ 这两个问题是这样的令人惊奇和难以理解，我们在白纸上将正方形量好画出，剪成四块，重新安排后拼成长方形，除非图形做得很大并且作图和剪裁都十分精确，我们一般是不会发现拼接成的长方形在对角线附近发生了微小的重叠，正是沿对角线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失。要证实这一点我们只要计算一下长方形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率，比较一下就会清楚了。 问题2中涉及到四个数据5、8、13和21，有一定数学基础的同学会认出这是著名的斐波那契数列中的四项，斐波那契数列的特征是它的每一项都是前两项之和：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……。我们还可以使用这个数列中的其他相邻四项来试验这个过程，无论选取哪四项，都可以发现正方形和长方形的面积是不会相等的，有时正方形的面积比长方形多一个单位面积，有时则正好相反。多做几次上述实验，我们就会得出斐波那契数列的一个重要性质：这个数列任意一项的平方等于它前后相邻两项之积加1或减1。用公式表示就是：。其中表示正方形的面积，表示长方形的面积。知道了这个事实，我们就可以自己构造类似于问题2的几何趣题。 爬梯子问题（斐波那契数列应用） 1.小明要上楼梯，他每次能向上走一级、两级或三级，如果楼梯有10级，他有几种不同的走法？ 这里我们不妨也来研究一下其中的规律：如果楼梯就一级，他有1种走法；如果楼梯有两级，他有2种走法；如果楼梯有三级，他有4种走法；如果有五级楼梯，他有7种走法． 既：楼梯的级数：１２３４５６７８．．． 上楼梯的走法：１２４７１３２４４４８１．．． 这其中的规律就是，这里从第4个数开始，每一个数都等于它前面的3个数之和。
“斐波那契数列” 教学目标 1、使学生初步认识“斐波那契数列”及其部分特性。 2、在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力，形成一定的数感，培养良好的思维品质。 3、在知识结构不断拓展、能力不断提升的过程中，感悟数学文化的广袤和久远，培养良好的数学阅读习惯，形成积极的数学情感。 教学重点使学生初步认识“斐波那契数列”及其部分特性。 教学难点了解斐波那契数列并在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力，形成一定的数感。 教学准备多媒体教学课件等。 教学过程 一、导入： 1、课前游戏：找规律填数，并说一说规律。（女生组 VS 男生组） 女生组：5，10，15，（），（），30 男生组：2，5，8，（），14，17，（） 引出像这类找规律题，都需要观察前后数的关系。 2、同学们，今天我们要来学习一个课外知识，老师把题目写出来。（师板书：斐波那契数列） 二、探究新知： 1、斐波那契是一个人的名字，我们一起来认识一下他。自由地读一读。很久很久以前，这个意大利人发现了一对神奇的小兔子，和兔子相处一年之后，便成为一位举世闻名的数学家。这一年到底发生了什么呢？他用一道数学题巧妙地告诉了我们，请看大屏幕：齐读 2、请学生读题，分析、理解题意。 师：你觉得题目中哪句话的意思很重要，需要提醒大家注意呢？重点理解：①一对大兔生过一对小兔后，下个月会接着生，无死亡；②小兔一个月后长成大兔，以后一直是大兔。3、模拟兔子生长过程：那我们就从前几个月开始研究，四人小组合作，方法不限，你可以画画图啊，画画线啊，写写字啊……等等，自己选择一种方式进行研究这个问题，好，开始。 4、汇报：出示几个学生的图，边出示边说。 ①1月—4月，由教师带领学生体会兔子变化过程。（引导说明） 如：一月，只有1对小兔，大兔为0对，合计1对； 二月，1对小兔长成1对大兔，小兔变为0对，大兔1对，合计1对； 三月：小兔有1对；大兔有1对；合计1+1=2（对）。 四月：小兔有1对；大兔有1+1=2对；合计1+2=3（对）。 ②学生尝试说5月—7月兔子的变化过程，并记录板书。 五月：小兔有2对；大兔有1+2=3对；合计2+3=5（对）。
斐波那契数列与黄金分割 应用研究 作者姓名 院系6系 学号
摘要 “斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）。他被人称作“比萨的列昂纳多”。斐波那契数列是一个古老而有趣的问题，由于其所具有的各种特殊属性，它与最优美的黄金分割有这密不可分的关系。在数学领域以及自然界中随处可见，而且正逐渐被应用在人们的日常生活与娱乐中。 关键词：斐波那契，黄金分割，应用 1 引言 斐波那契数列又称“斐波那契神奇数列”，是由13世纪的意大利数学家斐波那契提出的，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。假设一对成年兔子放于围栏中，每月可生下一对一雌一雄的小兔，而小兔出生一个月后便可以生育小兔，且每月都生下一对一雌一雄的小兔．问把这样一对初生的小兔置于围栏中，一年后围栏中共有多少对兔子(假定兔子没有死亡)?据此，可得月份与兔子对数之间的对应关系如下： 月份0 1 2 3 4 5 6 7 ? 大兔对数0 1 1 2 3 5 8 13 ? 小兔对数 1 0 1 1 2 3 5 8 ? 兔子总对数 1 1 2 3 5 8 13 21 ? 如果用F n 表示第n个月兔子的总对数，那么F n能构成一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89?．这个数列显然有如下的递推关系： F n =F n-1 +F n-2 （n>1,n为正整数），F0 =0，F1 =1 (1) 满足(1)式的数列就叫做斐波那契数列，这是一个带有初值的用递推关系表示的数列。这个数列一问世就吸引了无数数学家的兴趣，以下是费氏数列的定义及通项公式。 费氏数列是是由一连串的数字所组成的（1、1、2、3、5、8、13、…），而且这串数字之间具有一定的规则，就是每一个数字必须是前两个数字的和( an =
《斐波那契数列》教学设计 教学内容：第65页阅读资料“斐波那契数列”。 教学目标：1、使学生认识“斐波那契数列”及其部分特性。 2、在经历感知、分析、归纳和应用的过程中培养学生的思维能力。 3、培养积极的数学阅读习惯，形成积极的数学情感。 教学过程： 一、故事引入，提出问题 很久很久以前，有个意大利人发现了一对神奇的小兔子，和兔子相处一年之后，他便成为一个举世闻名的数学家。这一年到底发生了什么呢？他用一道数学题清楚的告诉了我们，请看大屏幕： 假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？ 1、请学生读题，分析、理解题意。 你觉得题目中哪句话的意思很重要，需要提醒大家注意呢？ 重点理解：①一对大兔生过一对小兔后，下个月会接着生，无死亡； ②小兔一个月后长成大兔，以后一直是大兔。 2、模拟兔子生长过程 ⑴请同学们讨论，你想了解哪些问题？如何解决？（这一年当中，兔子的数量到底是怎样增长的？）我们来模拟一下，好不好？ ⑵师生共同参与模拟过程，记录数据。 1月—4月，由教师带领学生体会兔子变化过程。 ⑶引导发现规律，小组合作完成剩下月份的推导 ⑷汇报交流，解决问题。 二、合作探究，解决问题 1、刚才大家表现得很踊跃。下面我们就来研究这个著名的数学问题， 它就是这个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…… 2、观察前后数的关系，从这个数列中你发现了什么规律? ①学生举手汇报，说出规律：前两个数之和等于第三个数。 ②若一个数列，首两项等于 1，而从第三项起，每一项是前两项之和，则称该数列 为斐波那契数列。 三、应用新知，练习巩固 根据你发现的规律填空
浅谈斐波那契数列的真善美 小七怪小组 摘要自斐波那契数列产生至今，人们对其研究的热情经久不衰。本文探究斐波那契数列的真、善、美，简单介绍斐波那契数列到底真在何处、善在何处、美在何处，并且得出斐波那契数列真、善、美三者之间的联系。 关键词斐波那契数列真善美 一、斐波那契数列的由来 13 世纪意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》的修订版中增加了一道著名的兔子繁殖问题。问题是这样的:如果每对兔子(一雄一雌) 每月能生殖一对小兔子( 也是一雄一雌,下同)每对兔子第一个月没有生殖能力,但从第二个月以后便能每月生一对小兔子假定这些兔子都没有死亡现象,那么从第一对刚出生的兔子开始,12个月以后会有多少对兔子呢？ 这个问题的解释如下：第一个月只有一对兔子；第二个月仍然只有一对兔子；第三个月这对兔子生了一对小兔子,共有1+l =2 对兔子；第四个月最初的一对兔子又生一对兔子，共有2+l =3对兔子；则由第一个月到第十二个月兔子的对数分别是: l , l , 2 , 3 , 5 , 8 ，13 , 21 , 34 , 55 ,89，144 , …… , 后人为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波那契,将这个兔子数列称为斐波那契数列，学术界又称为黄金分割数列。 二、斐波那契数列与真 何为真？“真有两个含义, 一是指客观世界存在的客观物质, 二是指客观世界的本质规律。”[1]在自然界中，许多事物本身蕴含的规律都跟斐波那契数列有关。例如树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，之后才萌发新枝。因此，一株树苗在一 段时间间隔后，例如一年，会长出一条新枝； 第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后， 老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生 的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个 年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这就是 图1 树木生长与斐波那契数列
斐波那契数列的通项公式推导 山西省原平市原平一中任所怀 做了这些年的数学题，我时常有这样的感受。一个新的数学题初次接触时，会觉得这个题的解题技巧很妙，甚至有点非夷所思，但如果把同类型问题多做几个，你就会发现原来所谓的技巧，其实是一种再正常不过的想法，是一种由已知到未知的必然之路。这样我们就由解题的技巧而转化到了通解通法，进一步就会形成解题的思想，所以我对于数学爱好者建议，做题时要把同类型题多种总结和分析，这样你的数学才会有长足的进步。 下面我们就由递推推导通项的问题，进行对比分析。 例1在数列中，，求数列的通项。（普通高中课程标准实验教科书人教A版必修5第69页6题） 分析：此题可分两步来进行，首先由构造一个等比数列，其中 ，并写出的通项；然后利用，两边同除以得 ，由累加法，就可求出数列的通项。 解：（ 设，则（）所以数列为等比数列，且首项为 ，公比为3。所以。 于是有，两边都除以得 设，则有 由累加法可得
因为所以（） 于是有。 总结：上面的求解过程实质，求是一个把已知条件逐步化简的过程，由相邻三项的递推关系化为相邻两项的递推关系，进一步求出通项公式。 下面我们来研究一下著名的斐波那契数列的通项。 已知数列，其中，，求数列的通项。 解：首先我们要构造一个等比数列，于是设 则有。（1） 则由已知得（2） 对照（1）（2）两式得解得或。 我们取前一解，就会有。 设，则有 所以数列为等比数列，首项为，公比为
所以。即（3） 再次构造等比数列，设 则有 对照（3）式，可得所以 x=. 于是有 设，则有数列为等比数列，首项为，公比为，于是= 所以有。
一、选择题 1．一个.java文件中可以有（）个public类。 A．一个B．两个C．多个D．零个 2．一个算法应该是（） A．程序B．问题求解步骤的描述 C．要满足五个基本特性D．A和C 3．用计算机无法解决“打印所有素数”的问题，其原因是解决该问题的算法违背了算法特征中的（）A．唯一性B．有穷性C．有0个或多个输入D．有输出 4．某校有6位学生参加学生会主席竞选，得票数依次为130，20，98，15，67，3。若采用冒泡排序算法对其进行排序，则完成第二遍时的结果是（） A．3，15，130，20，98，67B．3，15，20，130，98，67 C．3，15，20，67，130，98 D．3，15，20，67，98，130 5．下列关于算法的描述，正确的是（） A．一个算法的执行步骤可以是无限的B．一个完整的算法必须有输出 C．算法只能用流程图表示D．一个完整的算法至少有一个输入 6．Java Application源程序的主类是指包含有（）方法的类。 A、main方法 B、toString方法 C、init方法 D、actionPerfromed方法 7．找出满足各位数字之和等于5的所有三位数可采用的算法思路是（） A．分治法B．减治法C．蛮力法D．变治法 8．在编写Java Application程序时，若需要使用到标准输入输出语句，必须在程序的开头写上( )语句。 A、import java.awt.* ; B、import java.applet.Applet ; C、import java.io.* ; D、import java.awt.Graphics ; 9．计算某球队平均年龄的部分算法流程图如图所示，其中：c用来记录已输入球员的人数，sum用来计算有效数据之和，d用来存储从键盘输入的球员年龄值，输入0时表示输入结束。
《斐波那契数列》教学设计 杨遇春 教学背景： 《斐波那契数列》是江苏教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修5》第59页的阅读材料，是学生在学习完数列（主要是等差数列和等比数列）后安排的一节课外学习内容。考虑到本节内容学生自学有一定难度，同时本节课对培养学生学习数学的兴趣，提高自己对数列的认识和后续学习都很有帮助，而且本课所强调的自主探索、合作交流的学习能力在我们的学生中还有待进一步提高，因此我决定用一节课引导学生学习本节内容。 多媒体技术是现代课堂教学的重要手段，它为我们提供大量的信息和课程内容，是提高课堂效率、丰富课堂内容的有效途径。在本节课我主要借助PowerPoint演示加网络搜索的方法教学，用PowerPoint来向学生展示本节的主要学习思路和大纲，然后问题引导学生用网络搜索引擎查找问题答案展开学习。 教学目标： 1．使学生了解了斐波那契数列； 2．向学生展示生活中的数学，感受数学美和数学思想； 3．指导学生在现代技术条件下如何从网络上选择知识和学习知识进而解决问题。 教学重点： 认识斐波那契数列 教学过程： 1、斐波那契数列的由来（创设情景，引入主题） 先用PowerPoint让学生看一个有趣的问题：有一个人第一月底时在一间房子里放了一对刚出生的小兔，小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，次后每个月生一对小兔。如果不发生死亡，那么到年底这个人有多少对兔子？ 先由学生自己思考，我不急于公布答案，而是与同学们共同做如下研： 我们用◎表示一对大兔，用○表示一对小兔，逐月统计兔子的对数（用PowerPoint逐月显示，加以讲解，务必要学生理解递推的本质） 第1月底○ 第2月底◎ 第3月底◎○ 第4月底◎○◎ 第5月底◎○◎◎○ 第6月底◎○◎◎○◎
数学与几个生活实例的联系 一摘要 （1）概率论与日常生活 20世纪30年代科尔莫格罗夫提出概率公理化以来，概率论在生活的各个方面得到了广泛应用。 拉普拉斯名言———“生活中最重要的问题，绝大部分其实只是概率问题。” （2）数学与艺术 爱因斯坦说过：“这个世界可以由音乐和音符组成，也可以由数学的公式组成。” 古希腊数学家对音乐的认识开创了数学研究音乐的历史； 著名的黄金分割在音乐与数学上的应用。 （3）中国数学教育的缺陷 中国教育对于数学的不正确引导使得青年甚至儿童对于数学有了畏惧心理与抗拒心理。功利化的考查制度也让真正对于数学感兴趣的人部分或者完全丧失了学习数学的动力与兴趣。 43A13418 张弘毅
二正文 第一章概率论与日常生活 “要成为现代社会中有文化的人，必须对博弈论有大致的了解”——著名经济学家萨缪尔森 中世纪欧洲盛行掷骰子赌博，帕斯卡，费马与旅居巴黎的荷兰数学家惠更斯用组合数学研究了许多于掷骰子有关的概率问题。20世纪30年代科尔莫格罗夫提出概率公理化以来，概率论在生活的各个方面得到了广泛应用。 由于本人水平有限，对于概率论无研究，只能简单举例并粗略计算 （1）纽约乐透一人中两次头奖 就单次来说，中头奖概率是1/22500000，那么按照常识，一人中两次概率为1/506250000000000 但是单纯的平方计算没有考虑到开奖次数的问题。每年开奖104次，15年大约1500次开奖。所谓的赌徒心理会让中过奖的人继续买彩票，每次总注数超过3000注。15年内再次中奖概率则大于五分之一，所以连中头奖才是真正的小概率事件。十几年内如果中两次头奖，从概率角度则不算太稀奇。 （2）概率学分析华南虎造假事件 2007年陕西省林业厅声称发现华南虎并提供照片。照片与年画极其相似，经过鉴定，相似率高达99% 概率学上来说，由于华南虎所处环境，动作神态每时每刻都会发生变化，与年画如此相似的概率无限趋近0 （3）综述 由以上两个例子可以看出，生活中从与普通民众相关的彩票博弈到鉴别照片真伪等问题都有概率学的影子。如今的初中，高中考试等等都会有类似问题提出。本人是江苏毕业生，清楚的记得江苏高考中附加题的最后一题常常是概率问题，在各种附加条件之下求出事件发生概率。其中要多次用到排列组合，对于逻辑思维能力有很高的要求。但是概况论面向普通民众推广时则极为便利。从彩票股票，赌博跑马（当然还有学生蒙答案也会用到概率）到天气预报，灾害预警等等与生活息息相关的方面都用到概率学原理。但是对于真正的概率学研究来说又是没有很大的促进作用，但是能调动群众的积极性这点还是有着重要意义。总结一下，概率学，上手容易，精通难；推广容易研究难。
浅谈斐波那契数列在生活中的应用 发表时间：2019-07-29T11:38:49.093Z 来源：《基层建设》2019年第14期作者：孙烨赵倩[导读] 摘要：数学是一门来自生活又高于生活的科学，数学研究是人类社会进步的动力。 山东协和学院山东济南 250107摘要：数学是一门来自生活又高于生活的科学，数学研究是人类社会进步的动力。数列知识在生活中也有着广泛的应用，例如生物种群数量的变化，银行的利息计算，人口增长，粮食增长、住房建设等，都会用到数学知识。本文介绍斐波那契数列的简单情况，可以帮助学生提高对数列的知识。数列是数学学习中一个非常重要的分支，并且因为数列的研究和计算与社会经济和资源生活紧密相关，加上灵活 多变的计算，有趣的问题等，都使得对于数列的研究受到越来越多人的关注。 关键词：斐波那契数列应用黄金分割 1 引言 数列在我们的生活中具有广泛的应用，例如资源计算等问题，并且在解决诸如投资分配，汇率计算和资源利用分配等问题方面具有无可比拟的优势。本文将简要介绍数列广泛应用，分析斐波那契数在上述几个生活领域中的应用。 斐波那契数列在现实生活中被广泛使用，研究它以使其服务于我们的生活具有很大的意义。 人类很早就看到了大自然的数学特征：蜜蜂的繁殖规律，树枝、钢琴音阶的排列以及花瓣在花托边缘的对称分布、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称性……，所有这一切向我们展示了许多美丽的数学模式。对自然、社会和生活中的许多现象的解释，通常可归因于斐波那契数列上来。 斐波那契数列在数学理论中有许多有趣的特性，似乎在自然界中也存在着这个性质，都被斐波那契数列支持。 2 斐波那契数列的应用 （1）斐波那契数列和花瓣数花瓣数是极有特征的。多数情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，55，…这些数恰好是斐波那契数列的某些项，例如，海棠2瓣花瓣，铁栏、百合花和兰花以及茉莉花都有3瓣花瓣，洋紫荆、黄蝉和蝴蝶兰是5瓣花瓣。万寿菊的花瓣有13瓣；至良属的植物有5瓣花瓣；许多翠雀属植物有8瓣花瓣；雏菊属植物有89、55或者34个瓣花瓣。 （2）斐波那契数列和仙人掌的结构在仙人掌的结构中有这一数列的特征。研究人员分析了仙人掌的形状、叶片的厚度以及控制仙人掌情况的其他因素，并将数据输入计算机，结果发现仙人掌的斐波那契序列结构使仙人掌能够最大限度地减少能量消耗并适应干旱沙漠中的生长环境。 （3）斐波那契数列和向日葵种子排列向日葵种子的排列是典型的数学模型。仔细观察向日葵盘，你会发现两组螺旋，一组顺时针旋转，另一组螺旋逆时针旋转，彼此嵌套。虽然不同向日葵品种的种子选装方向和螺旋线的数量有所不同，但往往不会超出34和55、55和89或者89和144这3组数字，每组数字就是斐波那契序列中的两个相邻数字。前一个数字是顺时针旋转的线数，后一个数字是逆时针旋转的线数。回想起向日葵。种子全都紧密排列在花盘当中，每个种子都保证按照适合的角度生长大小还基本保持一致又疏密得当，与此同时，螺旋的数目也是斐波那契序列中的数字，世界如此繁琐，却又如此的井然有序。 （4）斐波那契数列与台阶问题当只有一个台阶时，只有一种移动方式，F1=1两个台阶，有2种走法，一步上两个台阶或者一阶一阶的上，所以F2=2。三个台阶时，走法有一步一阶，2阶再1阶，1阶再2阶，因此，F3=3。四个台阶时，走法有（1，1，1，1），（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）（0，2，2），共5种方法，所以F4=5依此类推，有数列：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，...斐波那契与自然，生活和科学上有很多联系，但是从这几个例子中，我们可以看到斐波那契数列的应用的广泛性，我们可以看到数学之美无处不在。它是一门科学，同时也是一种艺术，一种语言，它就像一朵盛开的茉莉花，白皙而优雅，简言而之，数学伴随着自然生活共同发展。 （5）斐波那契数列与蜜蜂的家谱蜜蜂的“家谱”：蜜蜂的繁殖规律十分有趣。雄蜂只有一个母亲，没有父亲，因为蜂后所产的卵，未受精的孵化为雄蜂，受精的孵化为雌蜂（即工蜂或蜂后）。人们在追踪雄蜂的家谱时，发现1只雄蜂的第n代子孙的数目刚好就是斐波那契数列的第n项f（n）。 （6）黄金分割与斐波那契的联系斐波那契和黄金比例（也称黄金分割，Φ，取三位小数1.618）密切相关。黄金法则，也称为黄金比率，是指将直线分成两部分，使得一部分与整体的比率等于剩余部分与该部分的比率，即0.618/1=0.382/0.618。0.618是斐波那契数列相邻两项之比的近似值，一般称之为黄金分割数。这是古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯于公元前6世纪由提出，后被著名的希腊美学家柏拉图称为“黄金比例率”。 （7）斐波那契数列和鳞片的关系菠萝果实上的菱形鳞片排成一列，8排向左倾斜，13排向右倾斜；挪威云杉的球果在一个方向上有3排鳞片，在另一个方向上有5排鳞片；常见的落叶松是一种针叶树，松果上有鳞片，两个方向也排成5行8行；美国松树松鳞片在两个方向上排成3行和5行。 （8）影视作品中的斐波那契数列斐波那契数列在欧美可以说是是每个人都知道，在电影这种通俗艺术中也经常的出现，例如在风靡一时的《达芬奇密码》当中它就作为一个重要的符号和情节线索出现，在《魔法玩具城》当中也出现过。由此可见此数列就像黄金分割那样的流行。可是虽说叫得上名，大多数人并没有深入理解研究。在电视剧中也经常看到斐波那契数列的影子，比如：日剧《考试之神》的第五回，义嗣做全国模拟考试题中的最后一道数学题。还在FOX热播美剧《Fringe》中也是多次引用，甚至被当做全剧宣传海报的主要设计元素。 3 结束语 除了上文中涉及的几个方面外，斐波那契数列在生活的其他领域当中例如现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有着广泛的应用。这个奥秘神奇的序列就在我们生活中任何常见的事物中隐藏，植被如一朵向日葵，一棵花菜，宏观如飓风以及星系，微观小至细胞的分裂，斐波那契数列都有存在。而且，通过对上文数列在生活中应用的几个方面的分析，也希望能激发大家对斐波那契数列的兴趣，感受数学的魅力。
浅谈从数学文化中理解数学的价值 张瑶03级3班1030500723 数学是什么？数学的特点是什么?数学的价值是什么?我想不是每一个人都能清楚地回答出这三个问题,尽管我们学习的数学专业,但对数学的本质,数学的精髓还知之甚少,需要我们大量阅读关于数学文化,数学史方面的书籍,从而领悟其中的精华。 R.柯朗和H.罗宾斯在《数学是什么》一书告诉我们：数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念，深入细致的思考，以及完美和谐的愿望。它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。也许我们对这段话还不是很理解，以下我想主要从以下几个大方面谈谈数学的特点和价值在这些方面的具体体现。 一、数学文化的概念 由于数学对象并非物质世界中的真实存在，而是人类抽象思维的产物，所以，数学本身就是一种文化，古希腊的亚里士多德指出，数学是研究大小的量和书的，但是它们所研究的量和书，并不是那些我们可以感觉到的，占有空间的广延性的，可分的量和书，而是作为某种特殊性质的抽象的量和数，使我们在思想中将它们分离开来研究的。从而，在亚里士多德看来，数学对象就只是一种抽象的存在，即是人类抽象思维的产物。 1．数学传统的内涵： 数学对象是客体的，但数学活动的主体——数学家从事的数学活动必定是在一定传统指导之下进行的，他们的行为方式形成了数学传统。数学家有着自己特殊的“工作方式”。以下这个笑话被用来表明在解决问题时，数学家采取与一般科学家（如：物理学家）不同的方法： 有人提出这样一个问题：“架设在你面前有煤气灶，水龙头，水壶和火柴，你想烧些水，应当怎样去做？”对此某人回答到：“在壶上放上水，点燃煤气，在把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，然后又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你有应当怎么做？”这时被提问者往往有信心地回答道：“点燃煤气，在把水壶放到煤气灶上。”因为“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒去壶中的水，并声称他已把后一问题划归为原先的问题了。”这笑话说明了数学思维的一个重要特点：“在解决问题时，数学家往往不是对问题实行直接的攻击，而是不断地对此进行变形，直至最终把它转化成了某个已经得到解决的问题。 2．数学在历史发展中存在三个辩证关系： 1）抽象化与具体化 由于数学的发展在很大程度上凭助更高层次的抽象得以实现，所以更新，更高的抽 象程度是数学发展的一个重要特征；但是我们不能认为抽象化是数学发展的唯一形 式。事实上，例如：“计算数学，运筹学，统计数学等与实践密切相关的学科的建 立与发展就是具体化的实际例子。更重要的是，数学向着更高抽象程度的发展又并 非是一个单向的简单过程，而是在抽象与具体的辩证运动中得以实现的 2）一般化与特殊化 对于特殊化发法在数学解题中的作用人们已经作了较为透彻的研究，因为特殊化可 以更好地弄清题意，我们可以通过特例对可能的结论进行猜测，通过有一般向特殊 的化归解决原来的问题。与此相对照，就一般化方法而言，人们只注意了它的构造 性功能，忽视这一方法在解题中的作用。例如：由“轨迹作图法”在几何作图中的 广泛应用可看出：“轨迹作图具有“化难为易”的功能，而由原来所求作的对象到 相应轨迹的过渡事实上就是一个一般化的过程。所以我们不应片面强调一般化或特 殊化，而应明确地肯定一般化与特殊化的辩证运动是数学发展的一个基本规律。 3）多样化与一体化
自然界奇妙的费氏数列（图） 一位魔术师拿着一块边长为8英尺的正方形地毯，对他的地毯匠朋友说：“请您把这块地毯分成四小块，再把它们缝成一块长13英尺、宽5英尺的长方形地毯。”这位匠师对魔术师算术之差深感惊异，因为8英尺的正方形地毯面积是64平方英尺，如何能够拼出65平方英尺的地毯？两者之间面积相差达一平方英尺呢！可是魔术师做到了。他让匠师用图2和图3的办法达到了他的目的！
真是不可思议！那神奇的1平方英尺究竟从哪里跑出来的呢？这就是费氏数列（也称作斐波那契数列）的奥妙所在。 斐波那契数列用文字来说就是，斐波那契数列由0和1开始，之后的斐波那契数（费氏数）就由之前的两数相加。头几个斐波那契数是（OEIS A000045）： 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946，……………… 特别指出：0不是第一项，而是第零项。这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例。）【√5表示根号5】 很有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…… 让我们再回到上文魔术师拼地毯的游戏：为什么64＝65？其实这是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到！
斐波那契数列趣闻 目录 摘要 (1) 第一章斐波那契数列的提出 (2) 第二章斐波那契数列的应用 (2) 2.1 斐波那契数列与花朵的花瓣数 (2) 2.2 斐波那契数列与仙人掌的结构 (2) 2.3 斐波那契数列与向日葵种子排列方式 (3) 2.4 斐波那契数列与台阶问题 (3) 2.5 斐波那契数列与蜜蜂的家谱 (3) 2.6 斐波那契数列的其他应用 (3) 第三章黄金分割 (4) 第四章黄金分割的应用 (4) 4.1 黄金分割的美学应用 (4) 4.2 黄金分割在灾害科学中的应用 (5) 第五章总结 (5) 参考文献 (5) 摘要 自从斐波那契数列被提出以后，众多科学研究者对其产生了极大的兴趣，并由此导出了一些有趣的性质和结论，本文主要介绍与斐波那契数列的一些变式及其与自然、生活科学等方面的一些奇妙的联系，并谈及黄金分割率在生活中的应用。 关键字：斐波那契数列，黄金分割，应用 斐波那契数列是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明，起始的正方形的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、2l……等等的正方形。这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。
第一章斐波那契数列的提出 意大利数学家斐波那契在《算盘全集》中提出了一个有趣的兔子繁殖问题：如果每队兔子（一雄一雌）每月能生殖一对小兔子（也是一雄一雌，下同）每队兔子第一个月没有生殖能力，但从第二个月以后便能每月生一对小兔子。假定这些兔子都不死亡现象，那么从一对刚出生的兔子开始，一年只有会有多少对兔子呢？解释说明为：一个月：只有一对兔子；第二个月：仍然只有一对兔子；第三个月：这对兔子生了一对小兔子，共有1+1=2对兔子。第四个月：最初的一对兔子又生一堆兔子，共成为2+1=3对兔子。后人为了纪念兔子繁殖问题的斐波纳契将这个兔子数列成为斐波那契数列。也就是把1，1，2，3，5，8，13，21，34…这样的数列称为斐波那契数列。 第二章斐波那契数列的应用 人类很早就从自然界中看到了数学特征：蜜蜂的繁殖规律，树的分枝，钢琴音阶的排列以及花瓣对称排列在花托边缘、整个花朵几乎完美无缺地呈现出辐射对称状……，所有这一切向我们展示了许多美丽的数学模式。而对这些自然、社会以及生活中的许多现象的解释，最后往往都能归结到Fibonacci数列上来。 斐波那契数列在数学理论上有许多有趣的性质，不可思议的是在自然界中也存在着这个性质，似乎完全没有秩序的植物的纸条彼此相隔的距离或叶子的生长凡是，都被斐波那契数列支持着。 2.1 斐波那契数列与花朵的花瓣数 花瓣数是极有特征的。多数情况下，花瓣的数目都是3，5，8，13，21，34，55，…这些数恰好是斐波那契数列的某些项，例如，百合花有3瓣花瓣，至良属的植物有5瓣花瓣；许多翠雀属植物有8瓣花瓣；万寿菊的花瓣有13瓣，更有趣的是，有一位学者细心地数过一朵花的花瓣，发现这朵花的花瓣刚好有157瓣。且他又发现其中有13瓣与其他144瓣有显著的不同，是特别长并卷曲向内，这表明这朵花的花瓣树木是由F1=13和F2=144合成的。 2.2 斐波那契数列与仙人掌的结构 在仙人掌的结构中有这一数列的特征。研究人员分析了仙人掌的形状、叶片厚度和一系列控制仙人掌情况的各种因素，并将所得数据输入电脑，结果发现仙人掌的Fibonacci数列结构特征能让仙人掌最大限度地减少能量消耗，适应其在
浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值 99数学本四班 莫少勇 指导教师 孙丽英 摘 要 本文从菲波那契数列出发，通过探究其数学内涵和它在实际生活中的应用，提高学生对数学的欣赏能力，初步建立数学建模的思想，从而提高用数学知识分析实际问题的能力。 关键词 Fibonacci 数列 黄金数 优选法 数学美不仅有形式的和谐美，而且有内容的严谨美；不仅有语言的简明、精巧美，而且有公式、定理的结构整体美；不仅有逻辑、抽象美，而且有创造应用美。古希腊的毕达哥拉斯学派，首先从数的比例中求出美的形式，发现了黄金数。神奇的菲波纳契数列正是黄金数之后的一大发现，它又被誉为“黄金数列”。 一． F ibonacci 数列的由来 Fibonacci 数列的提出，当时是和兔子的繁殖问题有关的，它是一个很重要的数学模型。这个问题是：有小兔一对，若第二个月它们成年，第三个月生下小兔一对，以后每月生产一对小兔，而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月生产另一对小兔，以后亦每月生产小兔一对，假定每产一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡，试问一年后共有小兔几对？ 对于n=1，2，……，令F n 表示第n 个月开始时兔子的总对数，B n 、A n 分别是未成年和成年的兔子（简称小兔和大兔）的对数,则F n = A n +B n 根据题设，有 显然，F 1=1，F 2=1，而且从第三个月开始，每月的兔子总数恰好等于它前面两个月的兔子总数之和，于是按此规律我们得到一个带有初值的递推关系式： ?? ?==∈≥+=1 F 1,F Z)n 3,(n F F F 212-n 1-n n 若我们规定F 0=1，则上式可变为 ?? ?==∈≥+=1F 1,F Z)n 2,(n F F F 102-n 1-n n 这就是Fibonacci 数列的通常定义，也就是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……， 这串数列的特点是：其中任一个数都是前两数之和。 这个兔子问题是意大利数学家梁拿多（Leomardo ）在他所著的《算盘全集》中提出的，而梁拿多又名菲波纳契（Fibonacci ），所以这个数列称作菲波纳契数列，其中每一项称作Fibonacci 数。 它的通项是F n =51[(25 1+)n+1-(251-)n+1 ]，由法国数学家比内（Binet ）求出的。 二．Fibonacci 数列的内涵 （1）Fibonacci 数列的通项的证明我们可以通过求解常系数线性齐次递推关系或者利用生成函数法来实现。 证法一：
对数学实验之几何画板的理解与感想 学之初体验。学习学习数学实验课半个学期了，我对几何画板和Matlab软件的基础知识和技能进行了初步的认识与学习，还接触到了以前学过的Excel，由于这些知识都是初步接触，不经常运用到实践中来，所以对几何画板、Excel、Matlab 的知识还不是很熟悉。课堂上老师对几何画板的知识进行了详细的讲解，通过一些实例来画图并说明了几何画板的高级应用。如几何画板的迭代、函数、图像、动画的功能等。我掌握的不是很好，有时候常常在作图过程中错了、漏了某些步骤。作为一位数学专业师范方向的大学生，即将毕业，我要学习和掌握的知识与技能还很多，数学实验就是其中的一个组成部分。因此，我不仅要学好它，还要把它运用到实践中去，运用到我以后从事教师专业的教学当中去。 几何画板和Matlab的功能，以及给我这个数学师范生带来的感想。几何画板可以任意地拖动图形、观察图形、猜测并验证，它应用于函数、平面几何、解析几何、立体几何、三角函数等方面，为我们提供了一个探索几何图形内在关系的环境。几何画板提供的画点、画线和画圆的工具，使用简单，操作简便，画出的图形美观大方，效果良好，是一个动态讨论问题的工具。它制作出的图形不仅是动态的，而且“数形结合”，由抽象的物体变为形象，由微观变宏观，通过动态演示揭示图形与知识之间的内在联系。Matlb是一个画图和解题的好工具，图的精美与准确让我佩服。如果我以后从事教师行业，若把几何画板和Matlab用到数学教学当中，给学生上课，使学生在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，增强空间感、立体感，开发学生的智力。这样一来，加强图形的形象化，使数和形紧密地结合起来，在教学上一定可以取得较好的成效。 数学实验课内容简单、易理解，但也有挑战性。几何画板把数和形的潜在关系及其变化动态很好地显示出来了，它可以绘制动态的函数图象，显示动点运动的过程，数形关系直观，线条清晰、精确、美观、可隐可显，可反复演示，可使我们较为轻松地掌握知识点。我学会了自己利用几何画板中的“作图”、“变换”、“度量”、“编辑”、“数据”等功能，制作具有动感的几何图形和曲线，然后进行自主探究学习，想象它可以运用到我以后的教学中去。我将所学的数学知识进行整理和归纳，使数和形紧密地结合起来。例如，我们已经学习了：利用几何画板绘制函数曲线、迭代法绘制分形图形的生成和求非线性方程的近似解的方法、绘制空间曲面、计算π和e以及定积分在计算面积等问题中的应用等等；Matlab可以画出精美的图形，也可以求出方程的解，当遇到笔算算不出来的题目或者比较复杂的题型时，我们可以利用matlab来求解。学习数学实验课期间，老师给我们探讨了迭代产生的分枝与混沌观察
2014年温州市小学数学小课题评比 学校：苍南县钱库小学 成员姓名：陈耀坤吴文强金旭杭 小课题题目：生活中的“斐波那契数列”——台阶中的数学 指导教师：陈瑞帐
生活中的“斐波那契数列” ——台阶中的数学 一、问题的提出 周末爸爸妈妈带我去龙港影城看3D电影，影城的大门口有16级水泥台阶，我发现老年人大多是一级一级地往上走的，年轻的小伙子喜欢两级两级地往上走，小朋友则是一会儿走一级，一会儿又蹦两级……很快，一个念头闪入我的脑海：按照他们这样不同的走法，走完这16级台阶，一共会有多少种不同的走法呢？会不会有什么规律呢？于是，在爸爸妈妈的鼓励下，我决定开始台阶走法的研究。 二、研究过程 1.从最简单的做起 该怎样开展研究呢？我找了两个好朋友，做合作伙伴。我们想起了老师曾经提到过的华罗庚说的话:“善于退，足够地退，退到最原始的而不失重要的地方是学好数学的一个诀窍。”也就是说可以“从最简单的做起”于是我们通过画楼梯入手。 1个台阶（1种） 2个台阶（2种） 3个台阶（3种） 4个台阶（5种） …… 后来我觉得用这种表示方法实在太麻烦了，有没有更简捷的表达方法呢？于是在数学老师的启发下就想到了用最简单的数字来表达： 楼梯台阶数及方法楼梯上法表示 一个台阶（1种）（1） 二个台阶（2种）（1，1）（2） 三个台阶（3种）（1，1，1）（1，2）（2，1） 四个台阶（5种）（1，1，1 ，1）（1，1，2）（1，2，1）（2，1，1）（2，2）五个台阶（8种）（1，1，1，1，1）（1，1，1，2）（1，1，2，1）（1，2，1，1） （2，1，1，1）（2，1，2）（2，2，1）（1，2，2） 5个台阶有8种走法，那现在求16个台阶有几种走法，该怎么办呢？我们想用这个方法继
斐波那契数列说课稿 【教材的地位、作用分析】 本节课的内容选自人教社《必修5》第二章“数列”中的章头图和阅读思考材料，是在学习了数列的基本概念的基础上，对数列问题的进一步研究和拓展。设计说明： 大家请看，这是数列单元的章头图，以向日葵的花冠、树木的分杈、花瓣的数量等自然现象遵循斐波那契数列来让学生感受大自然的丰富多彩，体会“大自然是懂数学的”。 阅读材料中则详细介绍了斐波那契数列的由来和定义，进一步阐述了章头图中提出的斐波那契数列在植物界中的应用，鼓励有兴趣的同学搜集资料，深入了解和研究斐波那契数列。 课本中安排的章头图和阅读思考材料贴近学生的生活实际，具有趣味性、科学性、实用性等功能，是教材不可分割的一部分，也是教师对教材进行二次开发的有效素材，因而不能被淡化或忽视，应该充分发挥它的教育功能。
【教学模式、课型分析】 本节课的课型定位为数学项目活动课。 由教师结合课本引入斐波那契数列这一数学知识，指导学生利用课余时间自主探究斐波那契数列在各领域中的应用，最后以小组汇报的形式将研究成果向同学和老师们展示。 真正做到以教师为主导，学生为主体，将课堂和数学学习的主动权交给学生。设计说明：我国新课程改革的目标特别强调有效的数学学习应该重视开展独立而积极的数学活动，让学生通过动手实践、自主探索与合作交流来学习数学，获得广泛的数学活动经验。 数学项目活动学习这一类型的数学课是帮助活动参与者达到上述目的的有效手段。在国外已有广泛的普及，在国内尚处于起步阶段。本人在高一年级选取了斐波那契数列这一古老的数学问题，开展数学项目活动学习，是对新课程改革的一种尝试。 【学情分析】 从学生已有的认知基础来看，学生刚刚接触数列这一新知识，初步掌握了数列的基本概念。 在进一步学习数列知识之前引入斐波那契数列的研究性课题，可以使学生在接下来的数列学习中带着问题去学，更具针对性和发展性。 特别是在学习完数列整个章节后，再用数列知识解释现实生活中的问题，有助于深化学生对数列知识的认识，从而进一步提升数学素养和水平。 从能力基础看，学生具有较强的信息技术能力和广博的见识，完
实验二Linux 进程创建 实验目的 ?加深对进程概念的理解 ?练习使用fork()系统调用创建进程 ?练习Linux操作系统下C程序设计 实验准备知识 1. fork()函数：创建一个新进程. ?调用格式： #include
输出。在退出程序之前，父进程调用wait()等待子进程完成。 要求提供必要的错误检测以保证在命令行传递的参数是非负数. 实验程序： #include