100
空间解析几何
基本知识 一、向量
1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量
12212121(,,)M M x x y y z z =---
2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→
，则 （1）向量→
a 的模为2
32221||a a a a ++=
→
（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→
（3）),,(321a a a a λλλλ=→
3、向量的内积→
→?b a
（1）>
→→→→→b a b a b a ,cos |||| （2）332211b a b a b a b a ++=?→
→
其中><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→
→b a ,0
注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。 4、向量的外积→
→
?b a （遵循右手原则，且→
→
→
⊥?a b a 、→
→
→
⊥?b b a ）
3
2
1
321
b b b a a a k j i
b a →
→
→
→
→
=? 5、（1）3
3
2211//b a b a b a b a b a =
=?
=?→
→
→
→
λ （2）00332211=++?=??⊥→
→→
→
b a b a b a b a b a 二、平面
101
1、平面的点法式方程
已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→
，则平面方程为
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
注意：法向量为),,(C B A n =→
垂直于平面
2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→
3、（1）平面过原点)0,0,0(? 0=++Cz By Ax
（2）平面与x 轴平行（与yoz 面垂直）?法向量→
n 垂直于x 轴0=++?D Cz By
（如果0=D ，则平面过x 轴）
平面与y 轴平行（与xoz 面垂直）?法向量→n 垂直于y 轴0=++?D Cz Ax
（如果0=D ，则平面过y 轴）
平面与z 轴平行（与xoy 面垂直）?法向量→n 垂直于z 轴0=++?D By Ax
（如果0=D ，则平面过z 轴）
（3）平面与xoy 面平行?法向量→
n 垂直于xoy 面0=+?D Cz
平面与xoz 面平行?法向量→n 垂直于xoz 面0=+?D By 平面与yoz 面平行?法向量→n 垂直于yoz 面0=+?D Ax 注意：法向量的表示 三、直线
1、直线的对称式方程
过点),,(000z y x P 且方向向量为),,(321v v v v =→直线方程
3
2010v z z v y y v x x -=
-=- 注意：方向向量),,(321v v v v =→
和直线平行 2、直线的一般方程??
?=+++=+++00
2222
1111D z C y B x A D z C y B x A ，注意该直线为平面
102
01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 的交线
3、直线的参数方程??
?
??+=+=+=t
v z z t v y y t v x x 302010
4、（1）方向向量),,0(32v v v =→
，直线垂直于x 轴 （2）方向向量),0,(31v v v =→
，直线垂直于y 轴 （3）方向向量)0,,(21v v v =→
，直线垂直于z 轴 5、（1）方向向量),0,0(3v v =→
，直线垂直于xoy 面 （2）方向向量)0,,0(2v v =→，直线垂直于xoz 面 （3）方向向量)0,0,(1v v =→，直线垂直于yoz 面 应用 一、柱面
1、设柱面的准线方程为???==0
),,(0
),,(21z y x f z y x f ，母线的方向向量),,(321v v v v =→，求柱面方程
方法：在准线上任取一点),,(111z y x M ，则过点),,(111z y x M 的母线为
3
1
2111v z z v y y v x x -=
-=- 又因为),,(111z y x M 在准线上，故
0),,(1111=z y x f （1） 0),,(1112=z y x f （2）
令
t v z z v y y v x x =-=-=-3
1
2111 （3） 由（1）、（2）、（3）消去111,,z y x 求出t ，再把t 代入求出关于z y x ,,的方程0),,(=z y x F ，则该方程为所求柱面方程
例1：柱面的准线为???=++=++2
2212
22222z y x z y x ，而母线的方向为{}1,0,1-=v
，求这柱面方
程。 解：在柱面的准线上任取一点),,(111z y x M ，则过点),,(111z y x M 的母线为
103
1
011
11z z y y x x -=-=-- 即t z z y y t x x -==+=111,,（1）
又因为),,(111z y x M 在准线上，故12
12
12
1=++z y x （2），2222
12
12
1=++z y x （3） 由（1）（2）（3）得012222=-+++xz z y x
2、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径
方法：在圆柱面上任取一点),,(0000z y x M ，过),,(0000z y x M 点做一平面垂直于对称轴，该平面的法向量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和对称轴的交点),,(1111z y x M ，则||10M M 为圆柱的半径 例2：已知圆柱面的轴为2
1
211-+=
--=z y x ，点1M （1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程。
解：设圆柱面上任取一点),,(0000z y x M ，过点),,(0000z y x M 且垂直于轴的平面为
0)(2)(2)(000=-----z z y y x x
轴方程的参数式为t z t y t x 21,21,--=-==代入平面方程得
9
220
00z y x t --=
故该平面和轴的交点为)9
4429,94429,922(0
00000000
z y x z y x z y x ++--++--- 过点1M （1，-2，1）和轴垂直的平面和轴的交点为)3
5
,31,31(-
因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得
0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x
注意：也可找圆柱面的准线圆处理
例3：求以直线x=y=z 为对称轴，半径R=1的圆柱面方程
解：在圆柱面上任取一点),,(0000z y x M ，过点),,(0000z y x M 且垂直于轴的平面为
0)()()(000=-+-+-z z y y x x
轴方程的参数式为t z t y t x ===,,代入平面方程得
3
00z y x t ++=
故该平面和轴的交点为M 1)3
,3,3(0
00000000
z y x z y x z y x ++++++
104
则10M M 的长等于半径R=1 故利用距离公式得
1)3
()3()3(2
00002000020000=++-+++-+++-
z y x z z y x y z y x x
即所求方程为9)2()2()2(200020002000=+--+-+-+--z y x z y x z y x 二、锥面
锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线是母线，定点为顶点，定曲线为准线。 1、设锥面的准线为??
?==0),,(0
),,(2
1z y x f z y x f ，顶点为),,(0000z y x M ，求锥面方程
方法：在准线上任取一点),,(1111z y x M ，则过点),,(1111z y x M 的母线为
10
010010z z z z y y y y x x x x --=
--=-- （1） 又因为),,(111z y x M 在准线上，故
0),,(1111=z y x f （2） 0),,(1112=z y x f （2）
由（1）、（2）、（3）消去111,,z y x 求出关于z y x ,,的方程0),,(=z y x F ，则该方程为所求锥面方程
例1锥面的顶点在原点，且准线为?????==+c
z b y a x 122
22，求这锥面方程。 解：在准线上任取一点),,(1111z y x M ，则过点),,(1111z y x M 的母线为
1
11z z
y y x x == 又因为),,(111z y x M 在准线上，故122
1221=+b y
a x 且c z =1
上面三个方程消去111,,z y x 得022
2222=-+c
z b y a x
2、圆锥面
已知圆锥面的顶点),,(0000z y x M ，对称轴（或轴）的方向向量为),,(321v v v v =→
，求圆
105
锥面方程
方法：在母线上任取一点),,(z y x M ，则过该点的母线的方向向量为
),,(000z z y y x x n ---=→
利用→v 和→
n 的夹角不变建立关于z y x ,,的方程，该方程为所求
例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。（2222)(z y x z y x ++=++） 解：在坐标轴上取三点)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(，则过三点的平面为
1=++z y x
故对称轴的方向向量为)1,1,1(，一条母线的方向向量为)0,0,1(， 则母线和对称轴的夹角为αcos 13010111??=?+?+?，即3
3
cos =
α 在母线上任取一点),,(z y x M ，则过该点的母线的方向向量为),,(z y x n =→
αcos 3222?++=
++z y x z y x
所以2222)(z y x z y x ++=++
例3圆锥面的顶点为)3,2,1(，轴垂直于平面0122=+-+z y x ，母线和轴成0
30，求圆锥面方程
解：在母线上任取一点),,(z y x M ，轴的方向向量为)1,2,2(-，母线的方向向量为
)3,2,1(---=→
z y x n
则022230cos 9)3()2()1()3()2(2)1(2?-+-+-=
---+-z y x z y x
即 2222)3(27)2(27)1(27)322(4-+-+-=--+z y x z y x 三、旋转曲面
设旋转曲面的母线方程为???==0),,(0
),,(2
1z y x f z y x f ，旋转轴为Z z z Y y y X x x 000-=-=-，求旋转曲面方程
方法：在母线上任取一点),,(1111z y x M ，所以过),,(1111z y x M 的纬圆方程
???-+-+-=-+-+-=-+-+-2
01201201202020111)
()()()()()(0
)()()(z z y y x x z z y y x x z z Z y y Y x x X 又因为),,(1111z y x M 在母线上，有
??
?==0),,(0
),,(1
1121111z y x f z y x f
106
由上述四个方程消去111,,z y x 的方程0),,(=z y x F 为旋转曲面
例4求直线
1
12-=
=z y x 绕直线l ：z y x ==旋转一周所得的旋转曲面的方程。 解：在母线上任取一点),,(1111z y x M ，则过),,(1111z y x M 的纬圆方程
???++=++=-+-+-21
21212
221110
)()()(z y x z y x z z y y x x 又因为),,(1111z y x M 在母线上，有
112111-==z y x 由上述方程消去111,,z y x 的方程得9)1(59992222+-++=++z y x z y x 四、几种特殊的曲面方程 1、母线平行于坐标轴的柱面方程 设柱面的准线是xoy 平面上的曲线?
?
?==00
),(z y x f ，则柱面方程为0),(=y x f
设柱面的准线是xoz 平面上的曲线?
??==00
),(y z x g ，则柱面方程为0),(=z x g
设柱面的准线是yoz 平面上的曲线??
?==0
),(x z y h ，则柱面方程为0),(=z y h
注意：（1）母线平行于坐标轴的柱面方程中只含两个字母
（2）准线为坐标平面内的椭圆、双曲线、抛物线等柱面称为椭圆柱面、双曲线柱面、
抛物线柱面
例求柱面方程
（1）准线是???==0
22x z y ，母线平行于x 轴
解：柱面方程为z y 22
=
（2）准线是??
???==-+
319
422
2y z y x ，母线平行于y 轴 解：柱面方程为2
2
4z x =
（3）准线是??
???==-+
219
942
22x z y x ，母线平行于z 轴 解：2=x
2、母线在坐标面上，旋转轴是坐标轴的旋转曲面
107
设母线是?
??==00),(z y x f ，旋转轴是x 轴的旋转曲面为0),(2
2=+±z y x f ；旋转轴是y 轴
的旋转曲面为0),(22=+±y z x f （同理可写出其它形式的旋转曲面方程）
注意：此类旋转方程中一定含有两个字母的平方和的形式，且它们的系数相等。
例方程02222=-+x z y 是什么曲面，它是由xoy 面上的什么曲线绕什么轴旋转而成的 解：xoy 面上的02
2
=-x y 绕x 轴旋转而成的 3、平行于坐标面的平面和曲面0),,(=z y x f 的交线方程
平行于xoy 面的平面h z =和曲面0),,(=z y x f 的交线为?
?
?==h z h y x f 0
),,(
平行于xoz 面的平面h y =和曲面0),,(=z y x f 的交线为?
??==h y z h x f 0
),,(
平行于yoz 面的平面h x =和曲面0),,(=z y x f 的交线为???==h
x z y h f 0
),,(
例求曲面和三个坐标面的交线 （1）64162
2
2
=++z y x
解：???==+06422z y x 、???==+0641622y z x 、???==+0
641622x z y
（2）64164222=--z y x 解：注意在yoz 面上无交线 （3）z y x 1092
2
=+ 解：在xoy 面上交于一点)0,0(
五、求投影
1、求点在平面上的投影、求点到平面的距离、求关于平面的对称点 方法：（1）过点作直线垂直于平面，该直线的方向向量为平面的法向量
（2）求直线和平面的交点，该交点为点在平面上的投影 例5（1）求点)1,1,3(-A 在平面0203=-++z y x 上的投影
（2）求点)5,2,1(-A 到平面010=-+-z y x 的距离，并求该点关于平面的对称点坐标
（1）求过直线?
??=+--=+-0620223z y x y x 且与点)1,2,1(M 的距离为1的平面方程
108
2、求点在直线上的投影、求点到直线的距离、求关于直线的对称点 方法：（1）过点作平面垂直于直线，该平面的法向量为直线的方向向量
（2）求直线和平面的交点，该交点为点在直线上的投影 例6（1）求点)0,1,1(-A 到直线
1
1
0122-=-=-z y x 的距离，该点在直线上的投影 （2）求点)0,1,1(-M 到直线?
??=-=--00
332y x z y 的距离
3、直线在平面上的投影
方法：（1）过直线作平面和已知平面垂直，该平面的法向量为直线的方向向量和已知平面法向量的外积
（2）联立两个平面方程所得直线为该直线在平面上的投影 例7（1）求直线??
?=---=+-0
9230
42z y x z y x 在平面014=-+-z y x 上的投影直线的方程
（2）直线在yoz 面上的投影为?
??==-05
74x z y ，在x oz 面上的投影为???==++00354y z x ，求
直线在xoy 面上的投影
4、曲线?
??==0),,(0
),,(z y x g z y x f 在坐标面上的投影柱面及投影
方法：（1）消去z 得0),(1=y x h ，则?
??==00
),(1z y x h 为曲线在xoy 面上的投影
（2）消去x 得0),(2=z y h ，则??
?==0
),(2x z y h 为曲线在yoz 面上的投影
（3）消去y 得0),(3=z x h ，则?
??==00
),(3y z x h 为曲线在xoz 面上的投影
例（1）求球面92
22=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xoy 面上的投影柱面及投影 （2）把曲线?????=-+=++z
x z y z
x z y 12834422
222的方程用母线平行于x 轴和z 轴的两个投影柱面方程表示
解：消去x 得母线平行于x 轴的投影柱面方程z z y 42
2=+；消去z 得母线平行于z 轴的
投影柱面方程042
=+x y ，因此曲线可表示为?????=+=+0
4422
2x y z
z y
五、求平面方程
109
1、过直线???=+++=+++00
2222
1111D z C y B x A D z C y B x A 的平面方程可设为
0)()(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ
如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理 例（1）在过直线??
?=++=+++0
20
4z y x z y x 的平面中找出一个平面，使原点到它的距离最长。
（2）平面过OZ 轴，且与平面0=-z y 的夹角为0
60，求该平面方程
（两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角） （3）求过点)1,0,1(-M 和直线
1
1
0122-=-=-z y x 的平面方程 （4）过直线??
?=+-=-+083042z y z x 作平面，使它平行于直线???=--=--0
604z y y x
(5)过平面02=+y x 和6324=++z y x 的交线作切于球面4222=++z y x 的平面 （6）求由平面0173,0122=++=+-y x z x 所构成的两面角的平分面方程 2、利用点法式求平面方程
注意：（1）任何垂直于平面的向量→
n 均可作为平面的法向量
（2）和平面0=+++D Cz By Ax 平行的平面可设为01=+++D Cz By Ax
（3）如存在两个向量),,(321a a a a =→
、),,(321b b b b =→
和平面平行（或在平面内），则平
面的法向量为3
2
1
321
b b b a a a k j i
b a n →
→
→
→
→
→
=?= 例（1）已知两直线为111111--=-=-z y x ，2
2
1113-=--=-z y x ，求过两直线的平面方程
（2）求过)1,3,8(-A 和)2,7,4(B 两点，且垂直于平面02153=--+z y x 的平面
110
（3）一平面垂直于向量)2,1,2(且与坐标面围成的四面体体积为9，求平面方程 （4）已知球面0642222=-+-++z y x z y x 与一通过球心且与直线???=-=0
z y x 垂直的
平面相交，求它们的交线在xoy 面上的投影 3、轨迹法求方程
方法：（1）设平面上任一一点),,(z y x M （2）列出含有z y x ,,的方程化简的平面方程 例求由平面013=++-z y x 和023=--+z y x 所构成的二面角的平分面的方程 六、求直线方程
1、把直线的一般方程化为点向式方程
方法：已知直线方程为???=+++=+++00
2222
1111D z C y B x A D z C y B x A ，则该直线的方向向量为
),,(3212
2
2
111
v v v C B A C B A k
j i
v ==→
→
→
→
在直线上任取一点),,(000z y x ，则直线方程为
3
2010v z z v y y v x x -=
-=- 例化直线的一般方程?
?
?=--+=-++01320
52z y x z y x 为标准方程
2、根据直线的方向向量求直线方程
例（1）过点)2,1,0(M ，且平行于两相交平面013=++-z y x 和023=--+z y x 的直线方程
（2求过点)0,4,2(M ，且与直线?
??=--=-+0230
12z y z x 平行的直线方程
（3）求过点)2,0,1(-M ，且与平面0643=+-+z y x 平行，又与直线1
4213z
y x =+=-垂直的直线方程
注意：一直线和两直线垂直；一直线和两平面平行；一直线和一平面平行，和另一直线垂
111
直均可确定直线的方向向量
3、利用直线和直线的位置关系求直线方程 注意：（1）两直线平行，则3
3
2211n m n m n m =
=，其中),,(321m m m 和),,(321n n n 为直线的方向向量 （2）两直线
302010m z z m y y m x x -=-=-和3
1
2111n z z n y y n x x -=
-=-相交，则 03
2
1
32
101010
1=---=
?n n n m m m z z y y x x 且
3
3
2211n m n m n m ≠
≠ （3）两直线
302010m z z m y y m x x -=-=-和3
1
2111n z z n y y n x x -=
-=-异面，其中公垂线的方向向量为),,(3213
2
1
321
v v v n
n n m m m k
j i
v ==→
→
→
→，
则两异面直线的距离为|||
|→?=v d ；公垂线方程为??????????
?=---=---0
3
2
1
321111321
32
1000
v v v n n n z z y y x x v v v m m m z z y y x x
例（1）求通过点)1,1,1(M 且与两直线321z y x ==和4
31221-=-=-z y x 都相交的直线方程
解：设所求直线的方向向量为),,(c b a ，已知两直线的方向向量为)3,2,1(、)4,1,2(，且分别过点)0,0,0(、)3,2,1(
则0321
1
11=c b a ，即02=+-c b a ；0412
2
10=--c
b
a
，即02=-+c b a 故b c a 2,0==，故)2,1,0(),,(=c b a 所求直线为
2
1
1101-=-=-z y x
112
（2）已知两异面直线0111+=-=z y x 和0
11111-=-=-z y x ，求它们的距离与公垂线方程
（3）求与直线
1
37182-=-=+z y x 平行且与下列两直线相交的直线 ?
?
?+=-=3465x z x z 和???+=-=534
2y z x z （4）求过点)3,2,1(-P 与z 轴相交，且与已知直线
2
2
334--=-=z y x 垂直的直线方程 习题
1、已知柱面的准线为???=+-+=-+++-0
225
)2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴（2）
母线平行于直线c z y x ==,，求柱面方程
2、已知柱面的准线为???=+=z
x z y x 22
2母线垂直于准线所在的方程，求柱面方程
3、求过三条平行线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 的圆柱面方程
4、求顶点为原点，准线为01,0122
=+-=+-z y z x 的锥面方程 5、顶点为)2,1,3(--，准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ，求锥面方程
6、顶点为)4,2,1(，轴垂直于平面022=++z y x ，且过点)1,2,3(，求该圆锥面的方程
7、求下列旋转曲面方程
（1）直线
211111-=-+=-z y x 绕直线21
11-=-=z y x 旋转 （2）直线1112--==z y x 绕直线21
11-=-=z y x 旋转
（3）直线3
311z
y x =-=-绕直线z 旋转 （4）曲线?????=+=1
2
22y x x
z 绕直线z 旋转 8例求曲面和三个坐标面的交线
（1）641642
2
2
=-+z y x （2）z y x 1092
2
=- （3）01642
2
2
=-+z y x
113
9（1）求点)1,0,2(-P 关于直线?
??=+-+=+--03220
124z y x z y x 的对称点
（2）求点)1,3,2(-A 到直线???=++-=++-0
172230
322z y x z y x 的距离，
10求直线
1
1
111--==-z y x 在平面012=-+-z y x 上的投影直线的方程 11求曲线在三个坐标面的投影柱面和投影
?
?
?=+=-+10
22x z z y x ??
?=+-=-+--+0
10
332322z y z x yz z x ?
?
?=--=++710235
62z y x z y x ?????=+=y
z y
x z 22
222 12（1）过直线??
?=+-=--+0
20
62z y x z y x 作平面，使它垂直于平面02=++z y x
（2）求过点)2,1,3(-M 和直线
1
2304z
y x =+=-的平面方程 （3）求过两平面0223=-+-z y x 、
034=--+z y x 交线且与平面012=-++z y x 垂直的平面
（4）求过点)1,0,2(-M 和直线
3
2
121-=-=+z y x 的平面方程 （5）过直线
11
5312-+=-+=-z y x 且与直线???=--+=-+-0
52032z y x z y x 垂直 （6）过直线
223221-=-+=-z y x 且与平面0523=--+z y x 垂直的平面 (7)在过直线1
3
101-+=-=-z y x 的所有平面中找出一个平面，使它与原点的距离最远 13（1）求平行于平面0432=+++z y x 且与球面92
2
2
=++z y x 相切的平面方程
（2）求过两直线???=++=-+-03013z x z y x 、?
??=-++=+--02520
5852z y x z y x 的平面方程
（3）求和平面242=+-z y x 平行，且距离为3的平面
114
（4）求和两直线11311z y x =-+=-，7
2
3125-=+=-z y x 平行且与两直线等距离的平面方程
（5）求过点)2,1,0(M ，且垂直于平面012=-++z y x 与03=+-z x 的平面方程 14（1）求由平面0322=+-+z y x 和0143=--y x 所构成的二面角的平分面的方程 （2）动点与点)0,0,1(的距离等于这点到平面4=x 的距离的一半，求动点轨迹。
15化直线的一般方程?
?
?=--=-+-020
432z y x z y x 为标准方程
16（1）过点)3,5,1(-M 且与z y x ,,三轴成000120,45,60的直线
（2）过点)2,0,1(-M 且与两直线
11111-+==-z y x 和0
1
111+=--=z y x 垂直的直线 （3）过点)5,3,2(--M 且与平面02536=+--z y x 垂直的直线
17（1）在平面01=+++z y x 内求垂直相交于直线??
?=+=+-0
20
1z x z y 的直线方程
（2）求过点)2,0,1(-P 而与平面0123=-+-z y x 平行且与直线1
2341z
y x =--=-相交的直线方程
（3）求通过点)1,0,4(-M 且与两直线???=--=++221z y x z y x 和???=-+=--4
423
z y x z y x 都相交的直线
方程
（4）求过点)0,1,2(P 而与直线
2
25
235-+==-z y x 垂直相交的直线方程 （5）求两异面直线01123-==-z y x 和1
0211z
y x =-=+的公垂线方程 （6）求直线1101z y x ==-与02
12+=-=z y x 之间的距离 （7）求与直线1
3
7182-=-=+z y x 平行且与下列两直线相交的直线 ?????=+=-=t z t y t x 5332和??
?
??=-=+=t z t y t x 74105
空间解析几何简介 课程号：06110210 课程名称：空间解析几何英文名称：Analytic Geometry 周学时：2-1 学分：2.5 预修要求： 内容简介： 解析几何学是几何学的一个分支，是一门阐述用代数方法（坐标法和向量运算）研究空间几何问题的课程。本课程介绍空间向量代数、平面与直线、二次曲面、正交变换与仿射变换等，使学生掌握必要的几何直观方面分析和洞察问题的能力。 选用教材或参考书： 教材: 吕林根许子道等编《解析几何》(高教版) 参考书: 苏步青等编《空间解析几何》（上海科技出版社） 丘维声编《解析几何》(北大版) 孟道骥著《高等数学与解析几何》(上下)(科学版)
《解析几何》教学大纲 一、课程的教学目的和基本要求 解析几何学是几何学的一个分支，在高等数学的发展史上占有重要地位，是沟通几何形式与数量关系的一座桥梁，在代数，分析等各个数学分支和力学，物理等许多科学技术领域及某些社会科学领域中有着广泛的应用。《解析几何》课程是大学数学系的主要基础课程之一, 这门课程的学习质量对其它专业课程的学习和今后的工作有重要的影响，并且它本身的内容对于解决一些实际问题也是有用的。 《解析几何》是一门阐述用代数方法（坐标法和向量运算）研究几何问题的课程，因此要能较好的解决有关的问题，一方面要注意培养从几何直观方面分析和洞察问题的能力，另一方面要注意掌握必要的代数方法和计算技巧，能准确地进行计算。此外，本课程以空间解析几何为主，并阐述了两种不同性质的几何----欧氏几何和仿射几何，这是与中学解析几何的主要区别。 二、相关教学环节安排 1.每周布置作业, 周作业量2~3小时。 2.每章结束，安排一次习题课，1~2学时。 三、课程主要内容及学时分配（打▲号为重点讲授部分，打*为选用部分） 每周3学时（共16周），或每周6学时（共8周），共48学时。 主要内容： （一）矢量与坐标（共计12学时） 1. 向量及其线性运算 2. 仿射坐标系与直角坐标系 3. 向量的内积 4. 向量的外积 5. 向量的混合积 6. 习题课 (二)平面与直线（12学时） 1. 曲面的方程和空间曲线的方程 2. 平面的方程 3. 平面与点的相关位置 4. 两平面的相关位置 5. 空间直线的方程 6. 直线与平面的相关位置 7. 空间两直线的相关位置 8. 直线与点的相关位置 9. 平面束 10. 习题课 (三)曲面与曲线（12学时） 1．图形与方程（图形与方程，柱面，锥面） 2．坐标变换（坐标变换，欧拉角*）
西南大学 数学与统计学院 2012级 一、填空题（共7题，2分/空，共20分） 1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是___1 6___. 2.已知向量(1,1,1)a → =,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→ →→??c b a )(=__(-2,-1,0)____. 3.点)1,0,1(到直线???=-=03z x y x 的距离是 4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是 5.曲线C:220 1 x y z z x ?+-=?=+?对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____, 对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________. 6.曲线C:220 x y z ?=?=?绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线 C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________. 7.椭球面125 492 22=++z y x 的体积是_____40π____________. 二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分） 1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里 ,,a b c 是3个非零实数. 解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-， 13(0,,)M M b c =-
第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴 上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及；及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.
3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 __ _____________，曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中2 x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、
第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求 （1）AB 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB 的模；（3）AB 的方向余弦；（4）AB 方向上的单位向量. 解：（1）()3,8,2AB =-，AB 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的 分向量2k ；（2）AB = ；（3）AB ； （4）AB 382) i j k -++. 2、设向量a 和b 夹角为60o ，且||5a =，||8b =，求||a b +，||a b -. 解：()2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b += +=++= ( ) 2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b -= -=+-=7. 3、已知向量{2,2,1}a =，{8,4,1}b =-，求 （1）平行于向量a 的单位向量； （2）向量b 的方向余弦. 解（1）2223a = +=平行于向量a 的单位向量221 {,,}333±； （2）2849b =+=，向量b 的方向余弦为：841,,999 -. 4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求 （1）垂直于a 和b 的单位向量； （2）向量a 在b 上的投影；
课程编号：MTH17014 理工大学2011-2012学年第一学期 2011级本科生解析几何期末试题A 卷 --------------，班级------------，学号--------------， 一，单选题(30分) 1,已知空间三点A,B,C,下面哪个条件能确定A,B,C 四点共面( ) (a),空间任意一点O,三点满足.OA OB OC =+ (b),空间任意一点O,三点满足11 .22 OA OB OC =+ (c),空间任意一点O,三点满足0.OA OB OC ++= (d),空间任意一点O,三点满足11 0.23 OA OB OC ++= 2, 已知三向量,,,αβγ满足下面哪个条件说明这三向量共面( ) (a), ()0αβγ?=, (b), 0.αββγγα?+?+?=, (c), ()0αβγ??=, (d), ()()αβγβγα??=??. 3,在一仿射坐标系中,平面:2430x y z π+++=,点A(1,-2,-1)和点B(2,-1,3).则下面 说确的是( ) (a)点A 和点B 在平面π的两侧; (b)点A 和点B 在平面π的同侧;
4, 在仿射坐标系中,已知直线2103260x z x y ++=??+-=?和直线210 2140x y z x z +--=??+-=? ,则下面 说确的是( ) (a)两直线平行; (b)两直线相交; (c)两直线异面; (d)两直线重合. 5, 在仿射坐标系中,已知平面10x y z ++-=和直线20 210 x y z x y z +-=??-+-=?,则下面说 确的是( ) (a)直线和平面平行; (b)直线和平面相交; (c)直线在平面上; (d)直线和平面垂直. 6,在平面仿射坐标中,直线11112 2220 0A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=?与y 轴相交,则( ) (a)112 2 0C D C D =,(b) 112 2 0A D A D =,(c) 112 2 0B D B D =,(d) 112 2 0A B A B = 7，在空间直角坐标系下，方程 222 3230x y z xy yz +-++=的图形是（ ） (a),椭球面；(b),单叶双曲面；(c),双叶双曲面；(d),锥面。 8,在空间直角坐标系中,曲面的方程是 22442218x xy y x y z ++-++=, 则曲面是( ) (a)椭球面, (b)双曲抛物面, (c)椭球抛物面, (d)双曲柱面. 9,已知平面上两个三角形△ABC 和△DEF,存在几个不同的仿射变换将三角形△ABC 映射为三角形△DEF( ) (a), 1个, (b), 3个, (c), 6个, (d), 无穷多个.
第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21= M M ，方向余弦为2 2 cos = α，22cos = β，0cos =γ，方向角为4πα=，4π β=， 2 πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点 为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量. 解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为 9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为 k k a z 7-=. 6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.
《空间解析几何2》教学大纲 课程编号：12307229 学时：22 学分：1.5 课程类别：限制性选修课 面向对象：小学教育专业本科学生 课程英语译名：In terspace An alytic Geometry （2） 一、课程的任务和目的 任务：本课程要求学生熟练掌握解析几何的基本知识和基本理论，正确地理解和使用向 量代数知识，并解决一些实际问题。深刻理解坐标观念和曲线（面）与方程相对应的观念，熟练掌握讨论空间直线、平面、曲线、曲面的基本方法，训练学生的空间想象能力和运算能力。 目的：通过本课程的学习，使学生掌握《空间解析几何》的基本知识、基本思想及基本方法，培养学生的抽象思维能力及空间想象力，培养学生用代数方法处理几何问题的能力，提高学生从几何直观分析问题和和解决问题的能力。为学习《高等代数》及《数学分析》及后继课程打下坚实基础，为日后胜任小学教学工作而作好准备。 二、课程教学内容与要求 （一）平面与空间直线（14学时） 1.教学内容与要求：本章要求学生熟练掌握平面与空间直线的各种形式的方程，能判别空间有关点、直线与平面的位置关系，能熟练计算它们之间的距离与交角。 2?教学重点：根据条件求解平面和空间直线的方程，及点、直线、平面之间的位置关系 3?教学难点：求解平面和空间直线的方程。 4.教学内容： （1）平面的方程（2课时）：掌握空间平面的几种求法（点位式、三点式、点法式、一般式）。 （2）平面与点及两个平面的相关位置（2课时）：掌握平面与点的位置关系及判定方法；掌握空间两个平面的位置关系及判定方法。 （3）空间直线的方程（2课时）：掌握空间直线的几种求法（点向式、两点式、参数式、一般式、射影式）。 （5）直线与平面的相关位置（2课时）：掌握空间直线与平面的位置关系及判定方法。 （6）空间两直线的相关位置（2课时）：掌握空间两直线的位置关系及判定方法。 （7）空间直线与点的相关位置（2课时）：掌握直线与点的位置关系及判定方法。 （8）平面束（2课时）：掌握平面束的定义（有轴平面束和平行平面束），并能根据题意求平面束的方程。 （二）特殊曲面（8学时）
专题之7、解析几何 一、选择题。 1．(2009年复旦大学)设△ABC三条边之比AB∶BC∶CA=3∶2∶4,已知顶点A的坐标是(0,0),B的坐标是(a,b),则C的坐标一定是 2．(2009年复旦大学)平面上三条直线x?2y+2=0,x?2=0,x+ky=0,如果这三条直线将平面划分成六个部分,则k可能的取值情况是 A.只有唯一值 B.可取二个不同 值 C.可取三个不同 值 D.可取无穷多个 值 3．(2010年复旦大学)已知常数k1,k2满足0 A.y=x?1 B.y=?x+3 C.2y=3x?4 D.3y=?x+5 7．(2011年复旦大学)设有直线族和椭圆族分别为x=t,y=mt+b(m,b为实数,t为参数)和(a是非零实数),若对于所有的m,直线都与椭圆相交,则a,b应满足 A.a2(1?b2)≥1 B.a2(1?b2)>1 C.a2(1?b2)<1 D.a2(1?b2)≤1 8．(2011年复旦大学)极坐标表示的下列曲线中不是圆的是 A.ρ2+2ρ(cos θ+sin θ)=5 B.ρ2?6ρcos θ?4ρsin θ=0 C.ρ2?ρcos θ=1 D.ρ2cos 2θ+2ρ(cos θ+sin θ)=1 9. 10.(2012年复旦大学) B.抛物线或双曲 C.双曲线或椭圆 D.抛物线或椭圆 A.圆或直线 线 11．(2011年同济大学等九校联考)已知抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,△ABC的三个顶点都在抛物线上,且△ABC的重心为抛物线的焦点,若BC边所在直线的方程为4x+y?20=0,则抛物线方程为 A.y2=16x B.y2=8x C.y2=?16x D.y2=?8x A.2 B.2 C.4 D.4 13．(2011年清华大学等七校联考)AB为过抛物线y2=4x焦点F的弦,O为坐标原点,且∠OFA=135°,C为抛物线准线与x轴的交点,则∠ACB的正切值为 14．(2012年清华大学等七校联考)椭圆长轴长为4,左顶点在圆(x?4)2+(y?1)2=4上,左准线为y 轴,则此椭圆离心率的取值范围是 1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ → -AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线 1422 =+z y 绕z 轴 153 自测题七解答 一、填空题(本题共2小题，每空3分，满分33分) 1．点)4,1,2(--位于第( Ⅵ )卦限；关于y 轴的对称点是( (2,1,4) )；到z O x 平面的距离是( 1 )． 2．下列方程：(1)0222=--z y x ；(2)044222=+-+xy z y x ；(3) z y x 364922-=+； (4) 1=x ；(5)364922=+z x ；(6)1222=+-z y x 中， 方程( (4) )和( (5) )表示柱面；方程( (1) )和( (6) )表示旋转曲面；方程( (6) )表示旋转双曲面；方程( (3) )表示椭圆抛物面；方程( (1) )表示锥面；方程( (2) )表示两个平面． 二、单项选择题(本题共4小题，每小题3分，满分12分) 1．下列点在球面02222=-++z z y x 内部的是〖 C 〗． (A ) )2,0,0(； (B ) )2,0,0(-； (C ) ()5.0,5.0,5.0； (D ) ()5.0,5.0,5.0-． 2．方程组22 1,492.x y y ?+=???=? 在空间解析几何中表示〖 B 〗． (A ) 椭圆柱面； (B ) 两平行直线； (C ) 椭圆； (D ) 平面． 3．圆? ??=--+=++-+-09336)1()7()4(222z y x z y x 的中心M 的坐标为〖 A 〗． (A ) )0,6,1(； (B ) )1,7,4(-； (C ) )0,1,6(； (D ) )1,6,0(． 提示：只有点)0,6,1(到球心)1,7 ,4(-(球心)1,7,4(-到平面的距离)． 4．下列平面通过z 轴的是〖 D 〗． (A ) 013=-y ；(B ) 0632=--y x ；(C ) 1=+z y ；(D ) 03=-y x ． 三、(本题满分15分) 求过点)2,0,1(1M 、)3,1,0(2M 且平行于z 轴的平面方程． 解 因为平面平行于z 轴，所以设平面的方程为0Ax By D ++=(缺z 项)． 又点)2,0,1(1M 、)3,1,0(2M 在平面上，所以00A D B D +=??+=?，得A D B D =-??=-?． 则平面方程为0Dx Dy D --+= (0D ≠)，即 10x y +-=． 四、(本题满分15分)求母线平行于x 轴，且通过曲线???=+-=++0 162222222z y x z y x 的柱面方程． WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1．已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0． 计算 a b b c c a ． 解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向，且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 ， b c 0 ， c a 0 所以 a b b c c a 0 2．已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|． 解： |a b| a b cos 3 （1） |a b| a bsin 4 （ 2） （1）2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4．已知向量 x 与 a （,1,5, 2） 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标． 解：设 x 的坐标为 x,y,z ，又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线，则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 （2） 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得 WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5 6．已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程． 解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M x,y,z ，则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7． 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标． 解： abc r 且它们两两所成的角相等，设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8．已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3)， (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥 A BCD 的体积． x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3) 56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 （）向量的模——有向线段的长度，2||a → （）单位向量，3100|||| a a a a →→ → → == （）零向量，4000→ → =|| （）相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图： OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → → → 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一 实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 （9）向量的坐标表示 i j x y →→ ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标() 表示。 ()()设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b →→→→→→ =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b → → ∈0 同济大学(高等数学)-第八章-向量代数与解 析几何 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第五篇 向量代数与空间解析几何 第八章 向量代数与空间解析几何 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位. 本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容. 第1节 空间直角坐标系 1.1 空间直角坐标系 用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现. 1.1.1 空间直角坐标系 过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过2 角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点. 图8-1 在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面 y x z O 中 国 科 学 技 术 大 学 2005—2006学年第2学期考试试卷 考试科目: 线性代数 得分: 学生所在系: 姓名: 学号: 一、判断题（30分，每小题6分）。判断下列命题是否正确，并简要说明理由。 1. 三维空间向量c b,a,共面的充要条件是0det =??? ? ? ???????????c c b c a c c b b b a b c a b a a a 。 2. 设A 为n 阶实正交方阵，I 为n 阶单位阵，则I A 2-为可逆方阵。 3. 设n m ?阶非零实矩阵A 和B 满足0='B A ，则A 的行向量线性相关， 并且B 的行向量也线性相关。 4. 设)(R M n 是n 阶实方阵全体按矩阵的加法与数乘运算构成的线性空间，则 满足0tr =A 的n 阶实方阵A 的全体构成)(R M n 的子空间。 5. 设B A ,为方阵，且???? ? ?B A 是实正定对称方阵，则B A ,也是实正定对称方阵。 二、计算题（62分）。 1. （15分）b a ,为何值时，下列线性方程组有解？当有解时，求出该方程组的通解。 ?????? ?=-+++=+++=-+++=++++b x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325 432154321334536223231 2. （15分）设n 阶实方阵?????? ? ??----=211211 2O O A n ，求n A det 和1 4 -A 。 3. （17分）设V 是由所有2阶实方阵构成的实线性空间。在定义内积Y X Y X '=tr ),(后， V 成为一个欧氏空间。现定义V 上的变换X X X '+ : A 。 （1）证明： A 是一个线性变换；（2）求 A 在基??? ??????? ?????? ?????? ?????? ? ?1000,0100,0010,0001下的表示矩阵； （3）求 A 的所有特征值与特征向量；（4）求V 的一组标准正交基，使得 A 在此基下的表示矩阵为对角阵。 4. （15分）通过正交变换化二次型222)()()(),,(x z z y y x z y x f -+-+-=为标准形；并判 断三维欧氏空间中的曲面3)()()(222=-+-+-x z z y y x 是哪一类曲面。 三、证明题（8分）。以下两小题任选一题。 1. 设n m R A ?∈，m n R B ?∈，I 是n 阶单位方阵。证明： （1）)rank(0rank AB n B I A +=??? ? ? ?-。 （2）n B A AB -+≥)rank()rank()rank(。 2. 设实对称方阵A 满足3A A =，证明：A 正交相似于对角形???? ? ? ?-0s r I I 。 一、计算题与证明题 1.已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a . 计算a c c b b a ?+?+?. 解:因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向,且b a +与c 反向 因此0=?b a ,0=?c b ,0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2.已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?. 解:3cos ||=?=?θb a b a (1) 4sin ||=?=?θb a b a (2) ()222)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 4.已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a ρ ρ, 求向量x 的坐标. 解:设x 的坐标为()z y x ,,,又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a (1) 又x 与a 共线,则0=?a x 即 ()()()0 52525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即01042026529222=-++++xy xz yz z y x (2) 又x 与a 共线,x 与a 夹角为0或π ()30325110cos 22222 2222?++=-++?++?==z y x z y x a x 整理得 10 3222=++z y x (3) 联立()()()321、、 解出向量x 的坐标为??? ??-51,21,101 课程编号：17014 北京理工大学2011-2012学年第一学期 2011级本科生解析几何期末试题A 卷 姓名，班级，学号， 一，单选题(30分) 1,已知空间三点,下面哪个条件能确定四点共面( ) (a),空间任意一点O,三点满足.OA OB OC =+u u u r u u u r u u u r (b),空间任意一点O,三点满足11.22OA OB OC =+u u u r u u u r u u u r (c),空间任意一点O,三点满足0.OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r (d),空间任意一点O,三点满足110.23 OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r 2, 已知三向量,,,αβγ满足下面哪个条件说明这三向量共面( ) (a), ()0αβγ?=, (b), 0.αββγγα?+?+?=, (c), ()0αβγ??=, (d), ()()αβγβγα??=??. 3,在一仿射坐标系中,平面:2430x y z π+++=,点A(121)和点B(21,3).则下面说法正确的是( ) (a)点A 和点B 在平面π的两侧; (b)点A 和点B 在平面π的同侧; (c)线段平行于平面π; (d)线段垂直于平面π. 4, 在仿射坐标系中,已知直线210 3260x z x y ++=??+-=?和直线 210 2140 x y z x z +--=?? +-=?,则下面说法正确的是( ) (a)两直线平行; (b)两直线相交; (c)两直线异面; (d)两直线重合. 5, 在仿射坐标系中,已知平面10x y z ++-=和直线20 210x y z x y z +-=??-+-=? , 则下面说法正确的是( ) (a)直线和平面平行; (b)直线和平面相交; (c)直线在平面上; (d)直线和平面垂直. 6,在平面仿射坐标中,直线11112 2220 0A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=?与y 轴相交,则 ( ) (a) 112 2 0C D C D =,(b) 112 2 0A D A D =,(c) 112 2 0B D B D =,(d) 112 2 0A B A B = 7，在空间直角坐标系下，方程222 3230x y z xy yz +-++=的图形是（ ） (a),椭球面；(b),单叶双曲面；(c),双叶双曲面；(d),锥面。 8,在空间直角坐标系中,曲面的方程是 22442218x xy y x y z ++-++=, 则曲面是( ) (a)椭球面, (b)双曲抛物面, (c)椭球抛物面, (d)双曲柱面. 9,已知平面上两个三角形△和△,存在几个不同的仿射变换将三角形△映射为三角形△( ) (a), 1个, (b), 3个, (c), 6个, (d), 无穷多个. 试题1：如果平面:0Ax By D π++=与曲面261z xy +=的交线是圆，求实数,A B 的比值。 解：不妨设0B ≠以平面π为新的''X Y 平面，以(0,/,0)D B -为原点，以 '223(,,0)/e A B A B =+,'22'''1231(,,0)/,(0,0,1)e B A A B e e e =-+=?=为基本向量 建立一个新的坐标系''''O X Y Z ，则坐标变换公式为 '' 2222 ''2222'/B A x x z A B A B A B y D B x z A B A B z y ?=+?++? ?=-- +?++? ?=?? 在新的坐标系中，平面的方程为：'0z =, 而曲线的方程为： '2'''' 22 22 2 2 2 2 6( )(/)1 B A A B y x z D B x z A B A B A B A B ++ -- + =+++ + 所以交线的方程为： '2' '''22 22 22 22 '6()(/)1 B A A B y x z D B x z A B A B A B A B z ?++--+ =?++++? ?=? 化简得： '2' '22 22 '6()(/)1 0B A y x D B x A B A B z ?+--=?++? ?=? 因为交线是圆，所以 226AB A B -=+ 解得 322A B =-. 试题2：求过点)0,1,0(P 并且和两条直线 ? ? ?=+=+++?? ?=+=++020 13:,0201:21y x z y x l y x y x l 均相交的直线的方程。 解：把直线的方程化为点向式方程为： ,1 11 2 :,1 20 1:21-+==-=+=-z y x l z y x l 设所求的直线为,l 记l 和i l 所确定的平面为,1,2i i π=,那么12l ππ=， 试题3：在二次曲面2222360x y z xy xz z +-++-=上，求过点(1,4,1)-的所有直线的方程. 解：设所求的直线的方程为:141x lt y mt z nt =+??=-+??=+? ,又因为所求的直线在二次曲 面上,所以对任意的,t 有 2222(1 )(4)(1) 3(1)( 4)(1)(1 )6(1) l t m t n t l t m t l t n t n t ++--+++-+++-+=, 化简得; 2222(23)(757)0t l m n ml nl l m n t +-++-++= 由于上式对任意的,t 都成了，所以 222230 (1)7570l m n ml nl l m n ?+-++=? ++=? 由于n m l ,,可相差一个公共的非零常数倍，所以可分两种情况讨论 (1):,0=l 代入方程组(1)得 220 (1)570 m n m n ?-=? +=? 龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/752304563.html, 学好解析几何对大学数学学习的积极影响 作者：郭琳 来源：《教育界·上旬》2013年第06期 【摘要】在大学数学学习中，解析几何的学习无疑是一个重点内容。由于解析几何是几 何学的重要分支，学好解析几何对大学数学的学习具有重要的推动作用。我在大学一年级学习解析几何的过程中，充分认识到了解析几何的重要性，并从解析几何的学习中领悟到了应如何有效地开展大学数学学习。所以，我们应该认识到解析几何的重要作用，要总结解析几何的学习经验，明确学好解析几何对大学数学学习的积极影响，努力提高大学数学学习成绩。 【关键词】解析几何大学数学学习积极影响 一、解析几何的主要内容 解析几何是几何学的一个重要分支，也被称为坐标几何。解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何问题，它的基本方法是坐标法，即通过坐标反几何问题表示成代数形式，然后通过代数方程来表示和研究曲线。在解析几何的学习过程中，主要分为平面解析几何和空间解析几何两部分。平面解析几何主要研究圆锥曲线的相关性质，空间解析几何主要是二次曲面的相关性质。在学习的过程中，我学到了解析几何的基本概念和原理，掌握了基本的解析几何知识。 二、解析几何中的学习心得 通过一年的大学学习，在解析几何的学习中我获得了知识的扩展和能力的提高。在解析几何的学习中主要有以下几项收获： （一）通过解析几何的学习，建立了变量数学的概念 在解析几何的学习过程中，由于解析几何中强调了变量数学的定义，引入了变量数学的概念，由此改变了我对传统数学的认识，使我了解到了在数学学习中变量数学的重要性，从而在头脑中建立了变量数学的概念。通过解析几何的学习，我认识到了在大学数学的学习中，建立变量数学的概念很重要。因为在数学学习中变量是研究最多的，只有明确了变量的研究方法才能搞好数学学习。 （二）通过解析几何的学习，学会了用代数的手段解决几何问题 在解析几何的学习过程中，让我第一次接触了用代数的手段解决几何问题的概念，让我认识到了代数和几何之间的重要关系。从传统意义来讲，代数和几何是数学中的两个分支，各自代表不同的研究领域，而解析几何就像一个桥梁，有效的连接起来代数和几何，使代数和几何空间解析几何(练习题参考答案)
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