课程编号:MTH17014 北京理工大学2011-2012学年第一学期
2011级本科生解析几何期末试题A 卷
姓名--------------,班级------------,学号--------------,
题目 一 二 三 四 五 六 总分
得分
一,单选题(30分)
1,已知空间三点A,B,C,下面哪个条件能确定A,B,C 四点共面( ) (a),空间任意一点O,三点满足.OA OB OC =+
(b),空间任意一点O,三点满足11
.22
OA OB OC =+
(c),空间任意一点O,三点满足0.OA OB OC ++=
(d),空间任意一点O,三点满足11
0.23
OA OB OC ++=
2, 已知三向量,,,αβγ满足下面哪个条件说明这三向量共面( ) (a), ()0αβγ?=, (b), 0.αββγγα?+?+?=, (c), ()0αβγ??=, (d), ()()αβγβγα??=??.
3,在一仿射坐标系中,平面:2430x y z π+++=,点A(1,-2,-1)和点B(2,-1,3).则下面说法正确的是( )
(a)点A 和点B 在平面π的两侧; (b)点A 和点B 在平面π的同侧; (c)线段AB 平行于平面π; (d)线段AB 垂直于平面π.
4, 在仿射坐标系中,已知直线2103260x z x y ++=??+-=?和直线210
2140x y z x z +--=??+-=?
,则下面说
法正确的是( )
(a)两直线平行; (b)两直线相交; (c)两直线异面; (d)两直线重合.
5, 在仿射坐标系中,已知平面10x y z ++-=和直线20
210
x y z x y z +-=??-+-=?,则下面说
法正确的是( )
(a)直线和平面平行; (b)直线和平面相交; (c)直线在平面上; (d)直线和平面垂直.
6,在平面仿射坐标中,直线11112
2220
0A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=?与y 轴相交,则( )
(a)112
2
0C D C D =,(b)
112
2
0A D A D =,(c)
112
2
0B D B D =,(d)
112
2
0A B A B =
7,在空间直角坐标系下,方程
222
3230x y z xy yz +-++=的图形是( ) (a),椭球面;(b),单叶双曲面;(c),双叶双曲面;(d),锥面。
8,在空间直角坐标系中,曲面的方程是
22442218x xy y x y z ++-++=, 则曲面是( )
(a)椭球面, (b)双曲抛物面, (c)椭球抛物面, (d)双曲柱面.
9,已知平面上两个三角形△ABC 和△DEF,存在几个不同的仿射变换将三角形△ABC 映射为三角形△DEF( )
(a), 1个, (b), 3个, (c), 6个, (d), 无穷多个.
10, 设12,γγ是平面上两个旋转变换,则1
2γγ不可能是( )
(a)平移变换, (b)反射变换, (c)中心对称, (d)恒同变换.
二, 填空题(30分)
1,在一空间直角坐标系中,四面体的顶点A,B,C,D 的坐标依次为(1,0,1), (-1,1,5), (-1,-3,-3), (0,3,4), 则四面体的体积是 .
2,在仿射坐标系中,给定一平面和一直线方程分别是
与32230
:320:210x y z x y z l x y z π-++=?-+-=?+++=?
,则过点(0,1,-1)与平面π平行,且
与直线l 共面的直线方程是
3,在空间直角坐标系中,给定二次曲面
222:(1)(2)(1)10x y z Γ-+-+--=
和平面方程:20y z π+=,则二次曲面Γ上点到π的点的最大距离是 .
4,在空间直角坐标系中,曲线22(3)1
0x y z ?-+=?=?
绕x 轴旋转的旋转面方程是
.
5,在空间直角坐标系中, 已知马鞍面22
2169
x y z -=,则在马鞍面上过点(4,3,0)的直线是 .
6,在空间给定不同面的四点A,B,C,D,则坐标系
[;,,]I A AB AC AD 到坐标系
[;,,]I B BC BD BA 的点坐标变换公式
是 .
7,在平面仿射坐标系中,二次曲线2
2
34462120x xy y x y ++++-=的中心是 .
8,在平面直角坐标系中,给定曲线2
2
695880x xy y x y y -+--+=,则它的对称轴方程是
9,在平面仿射坐标系中, 二次曲线2
2
5720x xy y x y ++-+=过原点的切线方程是 .
10,在空间直角坐标系中,二次曲面Г关于三个坐标平面都对称,并且已知它上面有两条曲线是
22143y x z ?+
=???=?和22
1282x y z ?+=???=-?
,则Г的方程是 .
三,在空间空间直角坐标系中,已知曲线222100x y z ?+-=?=?
,求经过此曲线的圆柱面方程.
四,在平面仿射坐标系中,二次曲线
Γ过点(3,-3), (3,-7), 且以两直线10x y -=和
60x y ++=为一对共轭直径. 求二次曲线方程.
五,在空间直角坐标系中,求与两个球面
2
2
2
16x y z ++=与2
2
2
(6)4x y z +-+= 都相切的圆锥面方程.
六,在平面π的仿射坐标系中,给出下面六点的坐标(1,0),(0,1),(3,1),A B C ---
'''(1,1),(1,3),(2,4)A B C --和二次曲线2:310x xy y Γ-++=,
仿射变换
:f ππ→满足, '''(),(),().f A A f B B f C C ===
求二次曲线Γ在仿射变换下的像()f Γ的方程.
课程编号:MTH17014 北京理工大学2011-2012学年第一学期
2011级本科生解析几何期末试题B 卷
姓名--------------,班级------------,学号--------------,
题目 一 二 三 四 五 六 总分
得分
一,单选题(30分)
1,已知平面三点A,B,C,下面哪个条件能确定A,B,三点共线( ) (a),平面任意一点O,三点满足OA OB OC =+
(b),平面任意一点O,三点满足13
44
OA OB OC =+
(c),平面任意一点O,三点满足0.OA OB OC ++=
(d),空间任意一点O,三点满足13
0.44
OA OB OC ++=
2, 已知非零向量,αβ,满足0αβ?=,下面等式成立的是( )
(a), 对于任意向量有,(,,)0γαγβ=,(b), 对于任意向量有,()0γαγβ??=, (c), 对于任意向量有,()0γαγβ??=, (d), 存在向量使得,(,,)0γαγβ≠,.
3,在一仿射坐标系中,平面:2430x y z π+++=,点A(1,-2,-1)和点B(2,-1,3).则下面说法正确的是( )
(a)点A 和点B 在平面π的两侧; (b)点A 和点B 在平面π的同侧; (c)线段AB 平行于平面π; (d)线段AB 垂直于平面π.
4, 在仿射坐标系中,已知直线2203260x y z x y -+=??+-=?和直线20
20x y z x z +-=??+=?
,则下面说法正
确的是( )
(a)两直线平行; (b)两直线相交; (c)两直线异面; (d)两直线重合.
5,在空间直角坐标系下,方程
22230x y xy yz xz +++-=的图形是( )
(a),椭球面;(b),单叶双曲面;(c),双叶双曲面;(d),锥面。
6,在平面直角坐标中,方程
2211122212(,)2220F x y a x a xy a y b x b y c =+++++=
如果11
121
111211
2212
22212
22
1
2
0,
0,0a a b a a a a a a b a a b b c
+>><, 方程(,)0F x y =的图形是 ( )
(a),椭圆, (b),双曲线, (c),抛物线, (d)两条相交直线.
7,直角坐标系下,椭球面2222221x y z a b c
++=与球面2222
x y z R ++=相切
(0)a b c >>>,并椭球面在球面内,则它们公共点有( ) (a),两个;(b),四个;(c),八个;(d),无穷多个.
8,下面哪对几何图形在平面仿射变换下不全等( )
(a)平面上任意两个梯形, (b)平面上任意两个平行四边形, (c)平面任意两个椭圆, (d)平面上任意两个双曲线.
9,已知平面上两个三角形△ABC 和△DEF,存在几个不同的仿射变换将三角形△ABC 映射为三角形△DEF( )
(a), 1个, (b), 3个, (c), 6个, (d), 无穷多个.
10, 设12,γγ是平面上两个旋转变换,则1
2γγ不可能是( )
(a)平移变换, (b)反射变换, (c)中心对称, (d)恒同变换.
二, 填空题(30分)
1,在一空间直角坐标系中,四面体的顶点A,B,C,D 的坐标依次为(1,0,1), (-1,1,5), (-1,-3,-3), (0,3,4), 则四面体的体积是 .
2,在空间直角坐标系中,给平面方程:610ax by z π+++=和直线参数方程:
21:4131x t l y t z t =+??
=--??=+?
,若平面π与直线l 的垂直,则a = , b = .
3,在空间直角坐标系中,给定二次曲面
222:(1)(2)(1)10x y z Γ-+-+--=
和平面方程:0y z π+=,则二次曲面Γ上点到π的点的最大距离是 .
4,在空间直角坐标系中,曲线22(1)1
0x y z ?-+=?=?
绕x 轴旋转的旋转面方程是
.
5,在空间直角坐标系中, 已知马鞍面22
2169
x y z -=,则在马鞍面上过点(4,3,0)的直线是 .
6,在空间给定不同面的四点A,B,C,D,则坐标系
[;,,]I A AB AC AD 到坐标系
[;,,]I B BC BD BA 的点坐标变换公式
是 .
7,在平面仿射坐标系中,二次曲线2
2
32462120x xy y x y ++++-=的中心是 .
8,在平面直角坐标系中,给定曲线2
2
695880x xy y x y y -+--+=,则它的对称轴方程是
9,在平面仿射坐标系中, 二次曲线2
2
5720x xy y x y ++-+=过原点的切线方程是 .
10,在空间直角坐标系中,二次曲面Г关于三个坐标平面都对称,并且已知它上面有两条曲线是
22143y x z ?+
=???=?和22
1282x y z ?+=???=-?
,则Г的方程是 .
三,在空间空间直角坐标系中,已知曲线22440
0x y z ?+-=?=?
,求经过此曲线的圆柱面方程.
四,在平面仿射坐标系中,二次曲线
Γ过点(3,-3), (3,-7), 且以两直线10x y -=和
40x y ++=为一对共轭直径. 求二次曲线方程.
五,在空间直角坐标系中,求与两个球面
2
2
2
4x y z ++=与2
2
2
(6)9x y z +-+= 都相切的圆锥面方程.
六,在平面π的仿射坐标系中,给出下面六点的坐标(1,0),(0,1),(3,1),A B C ---
'''(2,1),(1,3),(2,4)A B C --和二次曲线2:2310x xy y Γ+++=,
仿射变换
:f ππ→满足, '''(),(),().f A A f B B f C C ===
求二次曲线Γ在仿射变换下的像()f Γ的方程.
课程编号:MTH17014 北京理工大学2012-2013学年第一学期
2012级本科生解析几何期末试题A 卷
姓名--------------,班级------------,学号--------------,
题目 一 二 三 四 五 六 总分
得分
一,单选题(30分)
1,已知空间五点A,B,C,D,O.满足131110.2
4
8
8
OA OB OC OD ++-=
则下面说法正确的是( )
(a), 空间五点A, B, C, D, O 一定在一个平面上. (b), 空间四点A, B, C, D,一定在一个平面上. (c), 空间五点A, B, C, D, O 一定在一个直线上. (d), 空间四点A, B, C, D 一定在一个直线上.
2, 已知三向量,,,αβγ满足下面哪个条件说明这三向量共面( ) (a), ()0αβγ?=, (b), 0.αββγγα?+?+?=, (c), ()0αβγ??=, (d), ()()αβγβγα??=??.
3,在一仿射坐标系中,平面:2430x y z π+++=,点A(1,0,1)和点B(0,0,-3).则下面说法正确的是( )
(a)点A 和点B 在平面π的两侧; (b)点A 和点B 在平面π的同侧; (c)线段AB 平行于平面π; (d)线段AB 垂直于平面π.
4, 在仿射坐标系中,已知直线1210x y z -==-和直线11410
x y z --==,则下面说法正确的是( )
(a)两直线平行; (b)两直线相交; (c)两直线异面; (d)两直线重合.
5, 在仿射坐标系中,已知平面10x y z ++-=和直线20
y z x =
=, 则下面说法正确的是( )
(a)直线和平面平行; (b)直线和平面相交; (c)直线在平面上; (d)直线和平面垂直.
6,在平面直角坐标中,二次曲线2
862612130x xy x y +--+=是( ) (a),椭圆, (b),双曲线, (c),抛物线, (d),一对相交直线.
7,在空间直角坐标系下,方程2
22330x y z xy yz ++++=的图形是( )
(a),椭球面;(b),单叶双曲面;(c),双叶双曲面;(d),锥面。
8,在空间直角坐标系中,曲面的方程是2
2
2x xy y z ++=, 则曲面是( ) (a)椭球面, (b)双曲抛物面, (c)椭球抛物面, (d)双曲柱面.
9,在空间直角坐标系中,下面哪个方程的图形是由一族平行直线生成( ) (a), 2
2
2
321x y z +-= (b), 2
2
42x y z -=, (c), 0xy yz zx ++= (d), 22
232x z -=
10, 在空间直角坐标系中,已知球面2
2
2
:9A x y z ++=
,椭球面222
:1963
x y z B ++=, 则下面说法正确的( )
(a),球面A 与椭球面B 只有两个交点, (b),球面A 与椭球面B 只有四个交点, (c),球面A 与椭球面B 只有六个交点, (d), 球面A 与椭球面B 只有八个交点.
二, 填空题(30分)
1,在空间直角坐标系中,给定两点集{(,,)|320}A x y z x y z =++=,与点集
112{(,,)|
}231
x y z B x y z -++===--.
则A 中的点到B 中的点距离最小值是 .
2,在仿射坐标系中,给定一平面:320x y z π-+-=,则过点(0,1,-1)与平面π平行的平面方程是
3,在空间直角坐标系中,给定二次曲面
222:(2)(2)10x y z Γ+-+--=和平面方程:0y z π+=,
则二次曲面Γ上的点到平面π的最大距离是 .
4,在空间直角坐标系中,曲线22(3)1
0y z x ?-+=?=?
绕y 轴旋转的旋转面方程是
.
5,在空间直角坐标系中, 已知马鞍面22
249
x y z -=,则在马鞍面上过点(2,3,0)的直线是 .
6,在空间给定不同面的四点A,B,C,D,则坐标系
[;,,]I A AB AC AD 到坐标系
[;,,]I B BC BD BA 的过渡矩阵是 .
7,在平面仿射坐标系中,二次曲线2
2
344120x xy y ++-=的中心是 .
8,在平面直角坐标系中,给定曲线2
2
695810x xy y x y -+--+=,则它的对称轴方程是
9,在平面仿射坐标系中, 二次曲线2
2
20x xy y x y +--+=过原点的切线方程是 .
10,在空间直角坐标系中,二次曲面Г关于三个坐标平面都对称,并且已知它上面有两条曲线是
22143y x z ?+
=???=?和22
1282x y z ?+=???=-?
,则Г的方程是 .
三,在空间直角坐标系中,已知曲线222200x y z ?+-=?=?
,求经过此曲线的圆柱面方程.
12220210:,
:244020x y z x y l l x y z y z -++=+-=????++-=-+=??
求它们的距离和公垂线方程.
五,在空间直角坐标系中,求与两个球面
2
2
2
9x y z ++=与2
2
2
(5)4x y z ++-= 都相切的圆锥面方程.
六,在平面上有两个右手直角坐标系12[,,]I O e e ,'
'''
12[,,]I O e e ,
在坐标系12[,,]I O e e 下,二次曲线Γ的方程是
22:410422180.x xy y x y Γ++-++=
在坐标系'
''
12[,,]I O
e e 下,二次曲线Γ的方程是标准方程.
求(1),'
O 在12[,,]I O e e 中的坐标,(2), '
'
12,e e 在12[,,]I O e e 中的坐标, (3),求二次曲线Γ在'
'''
12[,,]I
O e e 中的标准方程.
课程编号:MTH17014 北京理工大学
2012-2013学年第一学期
2012级本科生解析几何期末试题B 卷
姓名--------------,班级------------,学号--------------,
题目 一 二 三 四 五 六 总分
得分
一,单选题(30分)
1,已知空间五点A,B,C,D,O.满足11170.4
8
2
8
OA OB OC OD ++-=
则下面说法正确的是( )
(a), 空间五点A,B,C,D,O 一定在一个平面上. (b), 空间四点A,B,C,D,一定在一个平面上. (c), 空间五点A,B,C,D,O 一定在一个直线上. (d), 空间四点A,B,C,D 一定在一个直线上.
2, 已知三向量,,,αβγ满足下面哪个条件说明这三向量共面( ) (a), ()0αβγ?=, (b), 0.αββγγα?+?+?=, (c), ()0αβγ??=, (d), ()()αβγβγα??=??.
3,在一仿射坐标系中,平面:23430x y z π+++=,点A(1,0,-1)和点B(0,0,0).则下面说法正确的是( )
(a)点A 和点B 在平面π的两侧; (b)点A 和点B 在平面π的同侧; (c)线段AB 平行于平面π; (d)线段AB 垂直于平面π.
4, 在仿射坐标系中,已知直线1210x y z -==-和直线112410
x y z --==,则下面说法正确的是( )
(a)两直线平行; (b)两直线相交; (c)两直线异面; (d)两直线重合.
5, 在仿射坐标系中,已知平面0x y z ++=和直线20
y z x =
=, 则下面说法正确的是( )
(a)直线和平面平行; (b)直线和平面相交; (c)直线在平面上; (d)直线和平面垂直.
6,在平面直角坐标中,二次曲线2
862612130x xy x y +--+=是( ) (a),椭圆, (b),双曲线, (c),抛物线, (d),一对相交直线.
7,在空间直角坐标系下,方程2
220x y z xy yz ++++=的图形是( )
(a),椭球面;(b),单叶双曲面;(c),双叶双曲面;(d),锥面。
8,在空间直角坐标系中,曲面的方程是2
2
2x xy y z ++=, 则曲面是( ) (a)椭球面, (b)双曲抛物面, (c)椭球抛物面, (d)双曲柱面.
9,在空间直角坐标系中,下面哪个方程的图形是由一族平行直线生成( ) (a), 2
2
2
321x y z +-= (b), 2
2
42x y z -=, (c), 0xy yz zx ++= (d), 22
232x z -=
10, 在空间直角坐标系中,球面2
2
2
:4A x y z ++=
,椭球面22
2:143
x y B z ++=, 则下面说法正确的( )
(a),球面A 与椭球面B 只有两个交点, (b),球面A 与椭球面B 只有四个交点, (c),球面A 与椭球面B 只有六个交点, (d),球面A 与椭球面B 只有八个交点.
二, 填空题(30分)
1,在空间直角坐标系中,给定两点集{(,,)|30}A x y z x y z =-+=,与点集
112{(,,)|
}201
x y z B x y z -++===-.
则A 中的点到B 中的点距离最小值是 .
2,在仿射坐标系中,给定一平面:20x y z π++-=,则过点(0,1,-1)与平面π平行的平面方程是
3,在空间直角坐标系中,给定二次曲面
222:(4)10x y z Γ++--=和平面方程:0y z π+=,
则二次曲面Γ上的点到平面π的最大距离是 .
4,在空间直角坐标系中,曲线22(1)1
0y z x ?-+=?=?
绕y 轴旋转的旋转面方程是
.
5,在空间直角坐标系中, 已知马鞍面22
49
x y z -=,则在马鞍面上过点(2,3,0)的直线是 .
6,在空间给定不同面的四点A,B,C,D,则坐标系
[;,,]I A AB AC AD 到坐标系
[;,,]I C CA CB CD 的过渡矩阵是 .
7,在平面仿射坐标系中,二次曲线2
2
4410x xy y ++-=的中心是 .
8,在平面直角坐标系中,给定曲线2
2
69810x xy y y -+-+=,则它的对称轴方程是
9,在平面仿射坐标系中, 二次曲线2
2
0x xy y x +--=过原点的切线方程是 .
10,在空间直角坐标系中,二次曲面Г关于三个坐标平面都对称,并且已知它上面有两条曲线是
22143y x z ?+
=???=?和22
1282x y z ?+=???=-?
,则Г的方程是 .
三,在空间直角坐标系中,已知曲线222400x y z ?+-=?=?
,求经过此曲线的圆柱面方程.
四,在空间直角坐标系中,给定两个直线方程
12220210:,
:244020x y z x y l l x y z y z -++=+-=????++-=-+=??
求它们的距离和公垂线方程.
五,在空间直角坐标系中,求与两个球面
2
2
2
9x y z ++=与2
2
2
(5)4x y z ++-= 都相切的圆锥面方程.
六,在平面上有两个右手直角坐标系12[,,]I O e e ,'
'''
12[,,]I O e e ,
在坐标系12[,,]I O e e 下,二次曲线Γ的方程是
22:410422180.x xy y x y Γ++-++=
在坐标系'
''
12[,,]I O
e e 下,二次曲线Γ的方程是标准方程.
求(1),'
O 在12[,,]I O e e 中的坐标,(2), '
'
12,e e 在12[,,]I O e e 中的坐标, (3),求二次曲线Γ在'
'''
12[,,]I
O e e 中的标准方程.
北京理工大学2016-2017学年第一学期
2016级本科生解析几何期末试题B 卷
姓名________________ 班级________________ 学号________________
一、填空题(40分)
1.在空间右手直角坐标系中,给定两点集(){},,|20A x y z x y z =
++-=与点集
()1,,|231x y z B x y z -?
?===????
,则A 中点到B 中点距离的最小值为________________;
2.在空间仿射坐标系中给定一平面:210x y z π-+-=,则过点()0,1,1-与平面π平行的平面方程是________________;
3.在空间右手直角坐标系中,曲面S 的方程是2
2
21x y z -=+,点()0,0,1P S -∈,则在S 上且过点P
的直线方程是________________;
4.在空间直角坐标系下,二次方程2
2
2
0x y z yz +++=的图形是________________;
5.在空间直角坐标系中,给定二次曲面()2
2
2
:110x y z Γ++--=和平面方程:70y z π++=,则二次
曲面Γ上的点到平面π的最大距离是________________;
6.在空间直角坐标系中,曲线2231
0y z x ?+=?=?
绕z 轴旋转的旋转面方程是________________;
7.在空间给定不同面的四点A,B,C,D ,平面π在坐标系;,,I A AB AC AD ????
下的方程是20x y z ++=,
则平面π在坐标系;,,I B BC BD BA ??'??
下的方程为________________;
8.在平面仿射坐标系中,二次曲线22
2410x xy y ++-=的中心是________________; 9.在平面仿射坐标系中,二次曲线2
2
0x y y -+=过原点的切线方程为________________;
10.在空间直角坐标系中,椭球面方程222
1234
x y z ++=,球面方程222x y z r ++=,如果该椭球面与该球面有且仅有两个交点,则r =________________。
二、(10分)在空间直角坐标系中,二次曲面Γ关于三个坐标平面都对称,并且两条曲线经过它,这两
条曲线方程是2214163x y z ?+
=???=?
和2
2041
y z x ?-=???=-?,求此二次曲面的方程。
三、(10分)在一个空间右手直角坐标系中,空间曲线L 的参数方程为
3sin 4sin ,5cos x t
y t t z t =??
=-∞<<+∞??=?
。证明:曲线L 是一个圆并且求出它的半径。
四、(10分)在空间右手直角坐标系中,曲面S 的方程是222
445250x xy y z -++-=。证明曲面S 是一个柱面。
五、(10分)球面与圆锥面相切是指所有切点构成一个圆。在空间直角坐标系中,求与两个球面
2221x y z ++=与()2
2231x y z ++-=都相切的圆锥面的方程。
六、(10分)在一个平面右手直角坐标系下,曲线S 的方程是2
2
2220x xy y x ++--=,说明曲线S 是什么图形,并且求出它的对称轴所在直线的方程。
七、(10分)在平面右手直角坐标系下,椭圆的方程为22
193
x y +=。证明:过原点的任意直线将此椭圆围成的区域分成面积相等的两部分,并求出此椭圆的面积。