中考数学专题训练
函数综合题专题
1．如图，一次函数b kx y +=与反比例函数
x y 4
=
的图像交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为1，又一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点()0,3-C . （1）求一次函数的解析式； （2）求点B 的坐标.
2．已知一次函数y=（1-2x ）m+x+3图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。 （1）求m 的取值范围；
（2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是4.5 ，求这个一次函数的解析式。
3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点A 的坐标为（2，2），点B 、C 在x 轴上，BC =8，AB=AC ，直线AC 与y 轴相交于点D ． （1）求点C 、D 的坐标；
（2）求图象经过B 、D 、A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标．
4．如图四，已知二次函数
2
23y ax ax =-+的图像与x 轴交于点A ，点B
y C 点为D ，直线DC 的函数关系式为y kx b =+，又tan 1OBC
∠=．
（1）求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式；
（2）求ABC △的面积．
（
图四）
5．已知在直角坐标系中，点A 的坐标是（-3，1），将线段OA 绕着点O 顺时针旋转90°
得到OB . (1)求点B 的坐标； (2)求过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式； (3)设点B 关于抛物线的对称轴λ的对称点为C ，求△ABC 的面积。
6．如图，双曲线
x y 5
=
在第一象限的一支上有一点C （1，5），过点C 的直线)0(>+-=k b kx y 与x
轴交于点A （a ，0）、与y 轴交于点B .
(1)求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式；
(2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是9时，求△COD 的面积.
7．在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式； （2）设该抛物线的顶点为点P ，点B
为)1m ，（，且3 的坐标。 8．在直角坐标平面内，O 为原点，二次函数2 y x bx c =-++的图像经过A （-1，0）和点B （0，3）， 顶点为P 。 （1） 求二次函数的解析式及点P 的坐标； （2） 如果点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形，求点Q 的坐标。 x 图7 9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 2 1 2y x bx c =-++经过点(1,3)A ，(0,1)B ． （1）求抛物线的表达式及其顶点坐标； （2）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点C ， ①求△ABC 的面积；②在y 轴上取一点P ，使△ABP 与△ABC 相似，求满足条件的所有P 点坐标． 10．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线2 2y x =沿y 轴向上平移 位，平移后抛物线的顶点坐标记作A ，直线3x =与平移后的抛物线相交于B ，与直线OA 相交于C ． （1）求△ABC 面积； （2）点P 在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP 与△ABC 相似，求所有满足条件的P 点坐标． 11．如图，直线OA 与反比例函数的图像交于点A(3，3)，向下平移直线OA ，与反比例函数的图像交 于点B(6，m)与y 轴交于点C ． （1）求直线BC 的解析式； （2）求经过A 、B 、C （3）设经过A 、B 、C 三点的二次函数图像的顶点为D ，对称轴与x 数的对称轴上是否存在一点P ，使以O 、E 、P 为顶点的三角形与△BCD 坐标；若不存在，请说明理由． 图8 （图16） 12．二次函数图像过A （2，1）B （0，1）和C （1，-1）三点。 （1）求该二次函数的解析式； （2）该二次函数图像向下平移4个单位，向左平移2个单位后，原二次函数图像上的A 、B 两点相应平移到A 1、B 1处，求∠BB 1A 1的余弦值。 13．如图，在直角坐标系中，直线421+=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，过点A 作CA ⊥AB ， CA ＝52,并且作CD ⊥x 轴. (1) 求证:△ADC ∽△BOA (2) 若抛物线c bx x y ++-=2 经过B 、C 两点. ①求抛物线的解析式； ②该抛物线的顶点为P ，M 是坐标轴上的一个点，若直线PM 与y 轴的夹角为30°，请直接写出点M 的坐标. 14．如图，已知二次函数y =ax 2-2ax +3（a <0）的图像与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于 点B ，顶点为P ，且OB =3OA ，一次函数y =kx +b 的图像经过点A 、点B ． （1）求一次函数的解析式； （2）求顶点P 的坐标； （3）平移直线AB 使其过点P ，如果点M 在平移后的直线上，且tan ∠OAM =2 3，求点M 的坐标． 15．如图16，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4 ，∠COA=60°，点P 为x 轴上的—个动点，但是点P 不与点0、点A 重合．连结CP ， D 点是线段AB 上一点，连结PD. (1)求点B 的坐标； (2)当∠C PD=∠OAB，且AB BD =8 5，求这时点P 的坐标. B AB O x y P 16. 如图，二次函数 c bx x y ++- =2 41的图像经过点()()4,4,0,4--B A ，且与y 轴交于点C . （1）试求此二次函数的解析式； （2）试证明：CAO BAO ∠=∠（其中O 是原点）； （3）若P 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），过P 作y 轴的平行线，分别交此二次函数图像及x 轴于Q 、H 两点，试问：是否存在这样的点P ，使QH PH 2=？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴正半轴上，边CO 在y 轴的正半轴上，且322==OB AB ，，矩形ABOC 绕点O 逆时针旋转后得到矩形EFOD ，且点A 落在y 轴上的E 点，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D . (1)求F 、E 、D 三点的坐标； （2）若抛物线c bx ax y ++=2 经过点F 、E 、D ，求此抛物线的解析式； （3）在x 轴上方的抛物线上求点Q 的坐标，使得三角形QOB 的面积等于矩形ABOC 的面积？ 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为原点，点A 、C 的坐标分别为（2，0）、（1，33）. 将△AOC 绕AC 的中点旋转180°，点O 落到点B 的位置，抛物线x ax y 322 -=经过点A ，点D 是该抛物线的顶点. （1）求证：四边形ABCO 是平行四边形； （2）求a 的值并说明点B 在抛物线上； （3）若点P 是线段OA 上一点，且∠APD=∠OAB ，求点P 的坐标； (4) 若点P 是x 轴上一点，以P 、A 、D 为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y 轴上，写出点P 的坐标. B C A x y O A B C D E F x y O 19．已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A 的坐标)0,4(，C 的坐标)20(-， ，直线x y 32 -=与边BC 相交于点D ，(1)求点D 的坐标；(2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ， 求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点 M 20．如图，在平面直角坐标系中，直线3 43 +-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 和点B ．二次函数 c ax ax y +-=42 的图象经过点B 和点C （-1，0），顶点为P . （1）求这个二次函数的解析式，并求出P 点坐标； （2）若点D 在二次函数图象的对称轴上，且AD ∥BP ，求PD 的长； x 3 2- 参考答案 1、 解：（1）由点A 在反比例函数图像上，则414== y ，—（1分） 又点()4,1A 与()0,3-C 在一次函数图像上， 则?? ?+-=+=b k b k 304，—（2分）解得? ??==31b k . （1分） ∴一次函数解析式为3+=x y .——（1分） （2）由? ?? ??=+=x y x y 43,———（2 分） 消元得0432 =-+x x ,—（1分） 解得1,421=-=x x （舍去）,——（1分） ∴点B 的坐标是()1,4--.——（1分） 2． 解：（1）∵一次函数y=（1-2x ）m+x+3 即y=（1-2m ）x+m+3 图像不经过第四象限 且函数值y 随自变量x 的减小而减小 ∴ 1-2m>0 ， m+3≥0, (2分） ∴ ………（2分） 根据题意，得：函数图像与y 轴的交点为（0，m+3）， 与x 轴的交点为 …（1分） 则 ………（1分） 解得m=0 或 m=-24（舍） …（1分） ∴一次函数解析式为：y=x+3……（1分） 3．解：（1）过点A 作AE ⊥x 轴，垂足为点E ．……1′ ∵点A 的坐标为（2，2）， ∴点E 的坐标为（2，0）．…1′ ∵AB=AC ，BC =8， ∴BE=CE ， ………1′ 点B 的坐标为（-2，0），……1′ 点C 的坐标为（6，0）．…1′ 设直线AC 的解析式为：y kx b =+（0k ≠）， 将点A 、C 得到： 1 3 2y x =-+．…1′ ∴点D 的坐标为（0，3）． ……1′ （3） 设二次函数解析式为： 2 y ax bx c =++（0a ≠）， ∵ 图象经过B 、D 、A 三点， ∴4230, 423 2.a b a b -+=?? ++=? …2′ 解得：1,21.2a b ? =-??? ?=? ?……1∴此二次函数解析式为：211322y x x =-++……1′ 顶点坐标为（12，3 8）． …………1′ 4．解：(1) tan 1OBC ∠=，∴OB=OC=3, ∴B （3,0） ………（2分） 将B （3,0）代入2 23y ax ax =-+ 0963a a =-+，∴1a =- ……（1∴2 23y x x =-++；∴2 (1)4y x =--+…（1分） ∴D(1,4)，A(-1,0) …（将D(1,4)代入3y kx =+，∴1k =，3y x =+ ……………（2分） (2)1 436 2ABC S ?=??= …………………（4分） 213<≤-m ??? ??-+0,123m m ()293m 213m 21=+?-+?m （ 图八） 5．解：（1）过点A 作AH ⊥x 轴，过点B 作BM ⊥y 轴， 由题意得OA=OB,∠AOH=∠BOM, ∴△AOH ≌△BOM-------------1分 ∵A 的坐标是（-3，1）， ∴AH=BM=1,OH=OM=3 ∴B 点坐标为（1，3）---------2分 （2）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c 则??? ??==+-=++01393c c b a c b a --------3 分 得0 ,613 ,65===c b a ∴抛物线的解析式为 x x y 613652+=-----2分 （3）对称轴为1013-=x -------1分 ∴C 的坐标为( 3 ,518 -)--------1分 ∴ 5232)5181(2121=?+?=??= ?BC ABC h BC S --------------2分 6．解：（1）∵点C （1，5）在直线)0(>+-=k b kx y 上， ∴b k +?-=15， ∴5+=k b ，…1′ ∴5++-=k kx y .…1′ ∵点A （a ，0）在直线5++-=k kx y 上， ∴50++-=k ka .…1′ ∴ 15+= k a .………1′ （2）∵直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是9， 设点D （9，y ），………1′ ∴ 95= y . ∴点D （9，95 ）.……1′ 代入5++-=k kx y ， 可解得： 95 = k ，………1′ 95095+ -=x y . ………1′ 可得：点A （10，0），点B （0，950）. ………2′ ∴ BOC AOD AOB COD S S S S ????--= =1950 219510219501021??-??-?? …1′ =)1110(95021--? = )1110(95021--? = 9200 = 92 22. ……1′ 7．解：（1）设抛物线的解析式为 2 y ax bx c =++ 点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点 A '（3，a ）…………（1分） ∵抛物线与y 轴的交点的纵坐标为2 ∴2=c …………（1分） ∵ 图像经过点A （－1，a ）、A '（3，a ） ∴?? ?=++=++a c b a a c b a 9…（1分） 解得 ?? ?=-=21 b a ……（2 分） ∴ 222 ++-=x x y …………………（1分） （2）由 222 ++-=x x y =()312 +--x 得P(1，3) 52=AP ……………（1分） ∵△ABP 是等腰三角形,点B 的坐标为 )1m ，（,且3 （Ⅱ）当AP=AB 时 ()()()()2 2221113111m --+--=--+-- 解得5,3-==m m ……（1分） 3=m 不合题意舍去， ∴5-=m ………（1分） （Ⅲ）当PB=AB 时 ()() ()()2 2 2 2 111311m m --+--=-+-解得 21 = m ………（1分） 综上：当523-=m 或-5或21 时，△ABP 是等腰三角形 . 8．解：（1） 由题意，得103b c c --+=?? =? （2分） 解得2b =，3c = （1分） ∴二次函数的解析式是 223y x x =-++ （1分） ()2 22314 y x x x =-++=--+， ∴点P 的坐标是（1，4） （2分） （2） P （1，4），A （-1，0）∴2 AP =20．（1分） 设点Q 的坐标是（x ，0） ∠PAQ =90°不合题意 则 () 2 21AQ x =-， ()2 2116 PQ x =-+ （1分） 当∠AQP =90°时，222 AQ PQ AP +=， ()()2 2 111620x x ++-+=，解得11x =，21x =-（舍去） ∴点Q 的坐标是（1，0） （2分） 当∠APQ =90°时，222AP PQ AQ +=，()()22 201161x x +-+=+，解得9x =， ∴点Q 的坐标是（9，0） （2分） 综上所述，所求点P 的坐标是（1，0）或（9，0）． 9．解：（1）将(1,3)A ，(0,1)B ，代入2 12y x bx c =-++， 解得 52b =，1c =． …………2分 ∴抛物线的解析式为211225y x x =-++．………1分 ∴顶点坐标为(,) 53328．……1分 （2）①由对称性得(4,3)C ．……1分 ∴1 231413 ABC S =--=g V ．…1分 ②将直线AC 与y 轴交点记作D ， ∵1 2AD BD BD CD = = ，∠CDB 为公共角， ∴△ABD ∽△BCD ． ∴∠ABD =∠BCD ．………1分 1°当∠PAB =∠ABC 时，PB AB AC BC = ， ∵BC == AB ==3AC = ∴ 32PB = ，∴1(0,5 ) 2P ． …………2分 2°当∠PAB =∠BAC 时，PB AB BC AC =， ， ∴ 310 PB = ， ∴2(0, 13) 3P ．……2分 综上所述满足条件的P 点有5 (0,)2，13(0,) 3． …………1分 10．解：平移后抛物线的解析式为 2 2(2)1y x =-+．……2分 ∴A 点坐标为（2，1），……1分 设直线OA 解析式为y kx =，将A （2，1）代入 得 12k = ，直线OA 解析式为1 2y x =， 将3x =代入 12y x =得32y = ，∴C 点坐标为（3，32）．…………1分 将3x =代入2 2(2)1y x =-+得3y =， ∴B 点坐标为（3，3）．…1分 ∴ ABC 3 4S = V …2分 （2）∵PA ∥BC ，∴∠PAB =∠ABC 1°当∠PBA =∠BAC 时，PB ∥AC ， ∴四边形PACB 是平行四边形，∴32PA BC ==．…1分 ∴1 5 (2,)2P ． …1分 2°当∠APB =∠BAC 时， AP AB AB BC = ，∴ 2AB AP BC =． 又∵ AB =103AP = …1分 ∴213 (2,)3P 综上所述满足条件的P 点有5(2,)2，13(2,) 3．…………1分 11．解：（1）由直线OA 与反比例函数的图像交于点A(3，3)双曲线为： x y 9= ，点B(6，m)代入x y 9= 得 23= m ，点B(6设直线BC 的解析式为 b x y +=，由直线BC 经过点B ，将=x 得 29- =b …（1分） 所以，直线BC 的解析式为 29 - =x y … （1分） (2)由直线 29-=x y 得点C(0，29 - )， 设经过A 、B 、C 三点的二次函数的解析式为29 2- +=bx ax y 将A 、B 两点的坐标代入 29 2- +=bx ax y ，得 ??? ??? ? =-+=-+232963632939b a b a … （1分）解得? ???? =- =421b a （1分） 所以，抛物线的解析式为 294212- +-=x x y ………（1分） （3）存在 把 294212-+-=x x y 配方得27 )4(212+ --=x y ， 所以得点D(4，27)， 对称轴为直线4=x …（1分） 得对称轴与x 轴交点的坐标为E(4，0). ………（1分） 由BD=8，BC=72，CD=80,得222BD BC CD +=， 所以，∠DBC=ο 90 ……（1分） 又∠PEO=ο 90，若以O 、E 、P 为顶点的三角形与△BCD 相似，则有： ① DB PE BC OE =即22264PE = 得 34=PE ，有1P (4，34) ，2P (4，34- ) ② BC PE DB OE =即26224PE = 得12=PE ， 有3P (4，12) ，4P (4，12-). …（3分） 所以，点P 的坐标为 (4，3 4) ， (4， 34 - )， (4，12) ， (4，12-). 12．（1）设y=ax 2+bx+c … 1’，代入A 、B 、C 坐标得 ?? ? ??'++=-=++=311241Λc b a c c b a 解得' 1142Λ?? ? ??=-==c b a 得142+-=x x y … 1’ （2）BB 1=52 … 1’ cos ∠BB 1A 1= 5 5 … 3’ 13．(1) ∵CD ⊥AB ∴∠BAC ＝90° ∴∠BAO ＋∠CAD ＝90°………（1分） ∵CD ⊥x 轴 ∴∠CDA ＝90° ∴∠C ＋∠CAD ＝90°……（1分）∴∠C ＝∠BAO ……（1分） 又∵∠CDO ＝∠AOB ＝90° ∴△ADC ∽△BOA …………（1分） (2)①由题意得，A(－8，0)，B(0，4) …（1分） ∴OA ＝8，OB ＝4，AB ＝54……（1分） ∵△ADC ∽△BOA ，CA ＝52 ∴AD ＝2，CD ＝4 ∴C(－10，4) ……（1分） 将B(0，4)，C(－10，4)代入c bx x y ++-=2 ???=+--=4101004c b c ∴?? ?-==104b c ∴4102+--=x x y ………（1分） ③ M(0，3529+)，M(0，3529-) M(53329-- ,0)，M(5 3329 -,0) ……（4分） 14．解：（1）Q y =ax 2-2ax +3， 当0=x 时,3=y ∴)3,0(B ……… (1分) ∴3=OB ， 又Q OB =3OA ， ∴1=AO ∴)0,1(-A ………（2分） 设直线AB 的解析式b kx y += ?? ?==+-30 b b k ， 解得 3=k ，3=b ∴直线AB 的解析式为33+=x y ．……… (1分) （2）Q )0,1(-A ， ∴320++=a a ，∴1-=a ∴ 322++-=x x y 4)1(2 +--=x …(2分) ∴抛物线顶点P 的坐标为（1，4）．………… (1分) （3）设平移后的直线解析式m x y +=3 Θ点P 在此直线上，∴m +=34， 1=m ∴平移后的直线解析式13+=x y ………… (1分) 设点M 的坐标为)13,(+x x ，作ME x ⊥轴- 若点M 在x 轴上方时， 13+=x ME ，1+=x AE 在Rt △AME 中，由11323tan ++===∠x x AE ME OAM ，∴31= x ……(1分) ∴)2,31(M ……(1分) 若点M 在x 轴下方时， 13--=x ME ，x AE +=1 在Rt △AME 中，由 x x AE ME OAM +--=== ∠11323tan ，∴95-=x ∴)32 ,95(--M …… (1分) 综上所述： M 的坐标是)2,31(或) 32,95(--……（1分） 15．解：（1）作BQ ⊥x 轴于Q. ∵四边形OABC 是等腰梯形， ∴∠BAQ =∠COA =60° 在Rt △BQA 中，BA =4， BQ =AB ·sin ∠BAO =4×sin60°=32…（1分） AQ =AB ·cos ∠BAO =4×cos60°=2，……（1分） ∴OQ=OA －AQ=7－2=5 点B 在第一象限内，∴点B 的坐标为（5，32）……(1分) （2）∵∠CPA =∠OCP +∠COP 即∠CPD +∠DPA =∠COP +∠OCP 而∠CPD =∠OAB=∠COP =60° ∴∠OCP =∠APD ……（1分） ∵∠COP =∠PAD ……（1分）∴△OCP ∽△APD ……（1分） ∴AP OC AD OP = ， ∴OP ·AP =OC ·AD ……(1分) ∵85 = AB BD ∴BD = 8 5AB= 2 5，AD=AB －BD=4－ 2 5= 2 3 ∵AP =OA －OP =7－OP ∴OP （7－OP ）=4×2 3 …（1分） 解得OP =1或6 ∴点P 坐标为（1，0）或（6，0）…………（2分） 16、解：（1）∵点()0,4A 与()4,4--B 在二次函数图像上，∴?? ?+--=-++-=c b c b 444440， 解得?????== 221c b ， ∴二次函数解析式为2 21 412++-=x x y .————（2+1+1分） （2）过B 作x BD ⊥轴于点D ，由（1）得()2,0C ，———（1分） 则在AOC Rt ?中， 21 42tan = == ∠AO CO CAO ， 又在ABD Rt ?中， 21 84tan = == ∠AD BD BAD ，———（1分） ∵BAD CAO ∠=∠tan tan ，—（1分） ∴BAO CAO ∠=∠.———（1分） （3）由()0,4A 与()4,4--B ，可得直线AB 的解析式为 221 -= x y ，—（1分） 设() 44,221,ππx x x P -??? ??-， 则??? ? ?++-22141,2x x x Q ， ∴ 2 21 41,2122212++-=-=-= x x QH x x PH . ∴2214122122++-=-x x x .——（1分） 当4212122++-=- x x x ， 解得 4,121=-=x x （舍去），∴? ?? ? ?--25,1P .———（1分） 当4212122--=-x x x ，解得 4,321=-=x x （舍去），∴? ?? ??--27,3P .———（1分） 综上所述，存在满足条件的点，它们是??? ? ?--25,1与? ?? ??--27,3. 17．解：（1）联结AO ,Q 矩形ABOC 322==OB AB ，40=∴A ---------------（1分） Q 矩形ABOC 绕点O 逆时针旋转后得到矩形EFOD ,A 落在y 轴上的点E 4==∴EO AO )4,0(E ∴ ----------------(1分) 过D 点作DH ⊥X 轴于H ，AOB DOH ABO DHO ∠=∠∠=∠,Θ， DHO ?∴∽ABO ? AO DO OB HO AB DH = =∴ 4,2,32,2====AO DO OB AB Θ 3,1==∴OH DH )1,3(-∴D ----------------(1分) 同理求得)3,3(F ∴-------------(1分) （2）因为抛物线 c bx ax y ++=2 经过点F 、E 、D ?????+-=++=∴4 3314 333b a b a 求得：4 ,33 ,32==-=c b a --（3分） 所求抛物线为：433322++-=x x y -（1分） （3）因为在x 轴上方的抛物线上有点Q ，使得三角形QOB 的面积等于矩形ABOC 的面积 设三角形QOB 的OB 边上的高为h ，则3 223221 ?=??h ，所以4=h --------------（1分） 因为点Q 在x 轴上方的抛物线上, )4,(x Q ∴ 23 .0,43 3 324212= =++- =∴x x x x ------（1分） 所以Q 的坐标是)4,0(或)4,23 ( ------------------（2分） 18．（1）证明：∵△AOC 绕AC 的中点旋转180°， 点O 落到点B 的位置， ∴△ACO ≌△CAB . ………1′ ∴AO=CB ，CO=AB ，……1′ ∴四边形ABCO 是平行四边形. …………1′ （2）解：∵抛物线 x ax y 322 -=经过点A ， 点A 的坐标为（2，0），……1′ ∴0344=-a ，解得：3=a . …1′ ∴x x y 3232 -=. ∵四边形ABCO 是平行四边形， ∴OA ∥CB . ∵点C 的坐标为（1，33），…………1′ ∴点B 的坐标为（3，33）. ………1′ 把3=x 代入此函数解析式，得： 333639332332 =-=?-?=y . ∴点B 的坐标满足此函数解析式，点B 在此抛物线上. …1′ ∴顶点D 的坐标为（1，-3）. …1′ （3）联接BO ， 过点B 作BE ⊥x 轴于点E ， 过点D 作DF ⊥x 轴于点F . tan ∠BOE =3，tan ∠DAF=3， ∴tan ∠BOE=tan ∠DAF . ∴∠BOE=∠DAF . …1′ ∵∠APD=∠OAB ， ∴△APD ∽△OAB . ……1′ 设点P 的坐标为（x ，0）， ∴OB AD OA AP = ， ∴6222=-x ，解得：34=x ………1′ ∴点P 的坐标为（ 3 4 ，0）. （4）)0,1(1P ，)0,1(2-P ，3(3,0)P ………2′19．解：（1）ΘD 在BC 上，BC ∥x 轴，C (D （x ，-2）---------（1分） ΘD 在直线 x y 32 -=上 ∴ 3 32 2=-=-x x ------（2分） ∴D （3，-2）-----（1分） （2）Θ抛物线 c bx ax y ++=2 经过点A 、D 、O ∴?????-=++==++23900416c b a c c b a 解得：??? ??? ??? =- ==03832 c b a ------（3分）所求的二次函数解析式为x x y 38322-=----（1分） （3）假设存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形 ①若以OA 为底，BC ∥x 轴，抛物线是轴对称图形 ∴点M 的坐标为（21 -，）--------（1分） ②若以OD 为底，过点A 作OD 的平行线交抛物线为点M Θ直线OD 为 x y 32-= ∴直线AM 为3832+-=x y ∴=+-3832x x x 38322- 解得：4,121=-=x x （舍去） ∴点M 的坐标为（ 310, 1-）----------（2分） 若以AD 为底，过点O 作AD 的平行线交抛物线为点M Θ直线AD 为82-=x y ∴直线OM 为x y 2= ∴=x 2x x 38 3 22- 解得：0,721==x x （舍去） ∴点M 的坐标为（14,7）-----------（1分） ∴综上所述，当点M 的坐标为（21 -，）、（310 , 1-）、（14,7）时以O 、D 、A 、M 为顶点的 四边形是梯形 第25 20.解：（1）因为直线3 43 +-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 和点B ． 由,0=x 得3=y ，0=y ，得4=x ， 所以)0,4(A )3,0(B ………1分 把)0,1(-C )3,0(B 代入 c ax ax y +-=42 中，得 ???=++=043c a a c ， 解得?????-==533 a c ……2分 ∴这个二次函数的解析式为3512532 ++-=x x y ……1分 527)2(532+--=x y ，P 点坐标为P ) 527 ,2( ………1分 （２）设二次函数图象的对称轴与直线3 43 +-=x y 交于E 点，与x 轴交于F 点 把2-=x 代入343+-=x y 得，23=y ， ∴)23,2(E ， ∴ 103923527= -=PE ………1分 ∵PE//OB ，OF=AF ， ∴AE BE = ∵AD ∥BP ，∴DE PE =， 539 2= =PE PD …2分
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