中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析
在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。
在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。
一.考试说明要求
图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。
图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。
图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。
二.基本图形及辅助线
解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。
举例：
1、与相似及圆有关的基本图形
2、正方形中的基本图形
3、基本辅助线
（1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；（2）与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；
（3）共端点的等线段——旋转基本图形（60°，90°），构造圆；垂直平分线，角平分线——翻折；转移线段——平移基本图形（线段）线段间有特殊关系时，翻折；
（4）特殊图形的辅助线及其迁移
．．．．——梯形的辅助线（什么时候需要这样添加）等
作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数
平移腰——上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形——三角形
平移对角线——上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。
注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。三.题目举例
(一)基本图形与辅助线的添加
例1、已知：AC平分MAN
∠
（1）在图1中，若?
=
∠120
MAN，?
=
∠
=
∠90
ADC
ABC，AC
AD
AB___
+。（填写“>”或“<”或“=”）
（2）在图2中，若?
=
∠120
MAN，?
=
∠
+
∠180
ADC
ABC，则（1）中结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在图3中：
①若?
=
∠60
MAN，?
=
∠
+
∠180
ADC
ABC，判断AD
AB+与AC的数量关系，并说明理由；
②若)
180
0(?
<
<
?
=
∠α
α
MAN，?
=
∠
+
∠180
ADC
ABC，则AC
AD
AB_____
=
+（用含α的三角函数表示，直接写出结果，不必证明）
解
：
(1)
AB
＋
AD
=
AC ．--------------------------------------------------------------------------1分 (2) 仍然成立．
证明：如图2过C 作CE⊥AM 于E ，CF⊥AN 于F ， 则∠CEA=∠CFA=90°．
∵ AC 平分∠MAN，∠MAN=120°， ∴ ∠MAC=∠NAC=60°．
又∵ AC=AC ， ∴ △AEC≌△AFC， ∴ AE=AF ，CE=CF ．
∵ 在Rt△C EA 中，∠EAC=60°， ∴ ∠ECA=30°， ∴ AC=2AE ． ∴ AE+AF=2AE=AC ． ∴ ED+DA+AF=AC ． ∵ ∠ABC ＋∠AD C ＝180°，∠CDE+∠ADC=180°， ∴ ∠CDE=∠CBF．
又∵ CE=CF ，∠CED=∠CFB， ∴ △CED≌△CFB． ∴ ED=FB ， ∴ FB+DA+AF=AC ．
∴ AB+AD=AC ．----------------------------------------- 4分 (3)①AB+AD=3AC ．
证明：如图3，方法同(2)可证△AGC≌△AHC． ∴AG=AH ．
∵∠MAN=60°， ∴∠GAC=∠HAC=30°． ∴AG=AH=23AC ．∴AG+AH=3AC ．
∴GD+DA+AH=3AC ．
方法同(2)可证△GDC≌△HBC． ∴GD=HB， ∴ HB+DA+AH=3AC ．
∴AD+AB=3AC ．-------------------------------------------------------------------------------------6分
②AB＋AD ＝2cos 2α·AC．-------------------------------------------------------------------7
分
例2、已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==, ABO DCO =∠∠. 连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.
N
M A
C
D
E M A
D C
G
图1 图2
(1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =∠，则PMN △的形状是________________，此时
AD
BC
=________； (2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明PMN BAO △∽△，并计算
AD
BC
的值（用含α的式子表示）； (3) 在图2中，固定AOB △，将COD △绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.
例3、在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC=1
2
. 点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点.
（1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设CF kEF =，则k = ； （2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF ；
（3）若BC=6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，
求线段CF 长度的最大值．
解：（1）k =1；
………….……………………………2分
（2）如图2，过点C 作CE 的垂线交BD 于点G ，设BD 与AC 的交点为Q .
由题意，tan ∠BAC =
12，∴ 12
BC DE AC AE ==. ∵ D 、E 、B 三点共线，∴ AE ⊥DB .
∵ ∠BQC =∠AQD ，∠ACB =90°, ∴ ∠QBC =∠EAQ. ∵ ∠ECA+∠ACG =90°，∠BCG+∠ACG =90°，
B C
A D
E F B D E A F
C
B
A C
1
图2
图备图
2
图B
D E
A
F
C
G
Q
∴ ∠ECA =∠BCG . ∴ BCG ACE △∽△. ∴
1
2
BC GB AC AE ==. ∴ GB =DE. ∵ F 是BD 中点， ∴ F 是EG 中点. 在Rt ECG △中，1
2
CF
EG =, ∴ 2BE DE EG CF -==.
……………………5分
（3）情况1：如图，当AD =
1
3
AC 时，取AB 的中点M ，连结MF 和CM ， ∵∠ACB =90°， tan ∠BAC =1
2
，且BC = 6,
∴AC =12，AB =65. ∵M 为AB 中点，∴CM =35, ∵AD =
1
3
AC ， ∴AD =4.
∵M 为AB 中点，F 为BD 中点， ∴FM =
1
2
AD = 2. ∴当且仅当M 、F 、C 三点共线且M 在线段CF 上时CF 最大，此时CF =CM +FM =235+.6分
情况2：如图，当AD =2
3
AC 时，取AB 的中点M ，
连结MF 和CM ，
类似于情况1，可知CF 的最大值为435+. …7分 综合情况1与情况2，可知当点D 在靠近点C 的
三等分点时，线段CF 的长度取得最大值为435+.………8分
（二）直角三角形斜边中线+四点共圆
例4、已知：在△ABC 中，∠ABC =90, 点E 在直线AB 上, ED 与直线AC 垂直, 垂足为D ，且点M 为EC 中点, 连接BM , DM .
（1）如图1，若点E 在线段AB 上，探究线段BM 与DM 及∠BMD 与∠BCD 所满足
的数量关系, 并直接写出你得到的结论； （2）如图2，若点E 在BA 延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化写出 你的猜想并加以证明;
（3）若点E 在AB 延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM
与DM 及∠BMD 与∠BCD 所满足的数量关系.
图1 图2
B
E
D
A
M C
B E
D A M C E
B
A
C M
A
M
F
B
A
F
M
（三）倍长过中点的线段 例5、请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PG
PC
的值．
小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PG
PC
的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形
ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）
．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任
意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PG
PC 的值（用含α的式子表示）． 解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是 ；PG
PC
= ．
（四）共端点的等线段，旋转
例6、如图1，在□ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，E 恰为BC 的中点，2tan =B .
（1）求证：AD =AE ；
（2）如图2，点P 在BE 上，作EF ⊥DP 于点F ，连结AF .
求证：AF EF DF 2=-；
（3）请你在图3中画图探究：当P 为射线E C 上任意一点（P 不与点E 重合）时，作
EF ⊥DP 于点F ，连结AF ，线段DF 、EF 与AF 之间有怎样的数量关系直接写出你的结论.
D A B
E F
C P G 图1 D
C G P A
B F
图2
证明：（1）在Rt △ABE 中，∠AEB=90°， ∴ 2tan ==
BE
AE
B
∴BE AE 2=． (1)
分 ∵E 为BC 的中点，
∴BE BC 2=．
∴AE=BC . ∵ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC .
∴AE=AD . ······························· 2分 （2）在DP 上截取DH =EF （如图8）．
∵四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC ， ∴∠EAD=90°． ∵EF ⊥PD ，∠1＝∠2， ∴∠ADH =∠AEF ． ∵AD =AE ，
∴△ADH ≌△AEF ． ······· 4分 ∴∠HAD =∠FAE ，AH =AF ． ∴∠FAH ==90°．
在Rt △FAH 中， AH =AF ，∴AF FH 2=．
∴AF EF FD HD FD FH 2=-=-=． 即AF EF DF 2=
-．
5分
（3）按题目要求所画图形见图9， 线段DF 、EF 、AF 之间的数量关系为：AF EF DF 2=+．
（五）利用平移变换转移线段，类比梯形平移对角线
例7、我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：
（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；
（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两
边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。
利用平移变换转移线段+作图8、（2011西城一模，25）在Rt △ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为CB ，CA 延长线上的点，BE 与AD 的交点为P .
（1）若BD=AC ，AE=CD ，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE 的度数； （2）若AC =，CD ，求∠APE 的度数.
图1
E
B
C
A
图3
E
B C
A D
图2
E
C
B A
D F
P
H
E C B A
D
F P 2
1
图8 E
C B
A
F
P D
图9
H
解：（1）如图9，∠APE= 45 °. ……………………2分
（2）解法一：如图AE 平移到DF ，连接BF ，EF 3分
则四边形AEFD 是平行四边形． ∴ AD ∥EF ，AD=EF ． ∵
AC
，CD =，
∴ 3=BD AC ，3==DF
CD
AE CD ． ∴
AC CD
BD DF
=
∵ ∠C =90°， ∴ 18090BDF
C ∠=?-∠=?．
∴ ∠C=∠BDF ．
∴ △ACD ∽△BDF ．………………5分
∴
AD AC
BF BD ==1=∠2． ∴ EF AD BF BF
==．
∵ ∠1+∠3=90°， ∴ ∠2+∠3=90°． ∴ BF ⊥AD ．
∴ BF ⊥EF ．…………………………………………………………6分 ∴ 在Rt △BEF 中，tan BF BEF EF ∠=
=
． ∴ ∠APE =∠BEF =30°．…………………………………………7分
解法二：如图11，将CA 平移到DF ，连接AF ，BF ，EF ．………………3分
则四边形ACDF 是平行四边形． ∵ ∠C =90°，
∴ 四边形ACDF 是矩形，∠AFD =∠CAF = 90°，∠1+∠2=90°． ∵ 在Rt △AEF 中，tan 3AE AE AF CD ∠== 在Rt △BDF 中，tan 1BD BD DF AC ∠===
， ∴ 3130∠=∠=?．
∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =90°． ∴ ∠AFD =∠EFB ． …………………4分
又∵
DF AF BF EF =
∴ △ADF ∽△EBF ． ………………………………………………5分 ∴ ∠4=∠5．…………………………………………………………6分 ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5，
∴ ∠APE =∠3=30°．………………………………………………7分
（六）翻折全等+等腰（与角平分线类比）
例9、我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形．
（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；
（2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上，设CD BE ，相交于点O ，
若60A ∠=°，1
2
DCB EBC A ∠=∠=∠．
请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；
（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且
1
2
DCB EBC A ∠=∠=
∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．
．解：（1）回答正确的给1分（如：平行四边形、等腰梯形等）。
（2）答：与∠A 相等的角是∠BOD （或∠COE ），四边形DBCE 是等对边四边形； （3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE 。
证法一：如图1，作CG ⊥BE 于G 点，作BF ⊥CD 交CD 延长线于F 点。 因为∠DCB=∠EBC=
1
2
∠A ，BC 为公共边， 所以△BCF ≌△CBG ， 所以BF=CG ，
因为∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB ，∠BEC=∠ABE+∠A ， 所以∠BDF=∠BEC ， 可证△BDF ≌△CEG ， 所以BD=CE
所以四边形DBCE 是等边四边形。
证法二：如图2，以C 为顶点作∠FCB=∠DBC ，CF 交BE 于F 点。 因为∠DCB=∠EBC=
1
2
∠A ，BC 为公共边， 所以△BDC ≌△CFB ，
所以BD=CF ，∠BDC=∠CFB ， 所以∠ADC=∠CFE ，
因为∠ADC=∠DCB+∠EBC+∠ABE ，∠FEC=∠A+∠ABE ， 所以∠ADC=∠FEC ， 所以∠FEC=∠CFE ，
所以CF=CE ， 所以BD=CE ，
B
O
A
D
E
C
B
O
A
D
E
C
F
B
C
所以四边形DBCE是等边四边形。
说明：当AB=AC时，BD=CE仍成立。只有此证法，只给1分。
二、从题目中获得方法的启发，类比解决问题
（一）由角平分线启发翻折，垂线
例1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
解：图略（1）FE与FD之间的数量关系为FE＝FD。
（2）答：（1）中的结论FE＝FD仍然成立。
证法一：如下图，在AC上截取AG＝AE，连结FG
因为∠1＝∠2，AF为公共边可证△AEF≌△AGF所以∠AFE＝∠AFG，
FE＝FG
由∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线
可得∠2＋∠3＝60°
所以∠AFE＝∠CFD＝∠AFG＝60°所以∠CFG＝60°
由∠3＝∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD所以FG＝FD所以FE＝FD
证法二：如下图，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H
因为∠B＝60°，且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
所以可得∠2＋∠3＝60°，F是△ABC的内心
所以∠GEF＝60°＋∠1，FG＝FH
又因为∠HDF＝∠B＋∠1 所以∠GEF＝∠HDF
因此可证△EGF≌△DHF 所以 FE＝FD
（二）启发利用重心分中线，中点相关内容
例2、我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心．经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2﹕1．请你用此
B
A
性质解决下面的问题.
已知：如图，点O 为等腰直角三角形ABC 的重心， 90=∠CAB ，直线m 过点O ,过
C B A 、、三点分别作直线m 的垂线，垂足分别为点F E
D 、、. (1)当直线m 与BC 平行时（如图1），请你猜想线段CF B
E 、和AD 三者之间的数量
关系并证明；
(2) 当直线m 绕点O 旋转到与BC 不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立若成立，请给予证明；若不成立，线段CF BE AD 、、三者之间 又有怎样的数量关系请写出你的结论，不需证明．
解（1）猜想：BE+CF=AD ………………………………1分 证明：如图，延长AO 交BC 于M 点， ∵点O 为等腰直角三角形ABC 的重心
∴AO=2OM 且AM ⊥BC
又∵
EF ∥BC ∴AM ⊥EF ∵BE ⊥EF,CF ⊥EF ∴EB ∥OM ∥CF
∴EB=OM=CF
∴EB+CF=2OM=AD ………………………3分
（2）图2结论：BE+CF=AD
证明：联结AO 并延长交BC 于点G, 过G 做GH ⊥EF 于H 由重心性质可得AO=2OG
∵∠ADO=∠OHG=90°, ∠AOD=∠HOG
∴△AOD ∽△GOH ∴AD=2HG ………………………………5分 ∵O 为重心 ∴G 为BC 中点
∵GH ⊥EF,BE ⊥EF,CF ⊥EF ∴EB ∥HG ∥CF ∴H 为EF 中点
∴HG=2
1
(EB+CF)
图1
G
B
图2
∴EB+CF=AD …………………………………………7分 (3)CF －BE= AD ………………………………………8分
（三）由特殊形解题启发构造哪些相等的角
例3、如图①，P 为△ABC 内一点，连接PA 、PB 、PC ，在△PAB 、△PBC 和△PAC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．
⑴ 图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ABC ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B
作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点． ⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．
①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
(三) 一题多解与题目的变式及类题
1、点M 为正方形ABCD 的边AB （或延长线上）任一点（不与A ，B 重合），
90DMN ∠=?，
射线MN 与ABC ∠的外角平分线交于点N ，求证：DM=MN. 【变式】
A 、方法类比，改变图形
（1）等边三角形ABC 中，在BC 边上任取一点D （不与A ，B 重合）， 作 60ADE ∠=?， DE 交∠C 的外角平分线于E ，判断△ADE 的形状，并证明。若D 是射线BC 上任一点，上述结论是否成立
（2）(2008西城一模，25)如图,正六边形ABCDEF,点M 在AB 边上，
120FMH ?∠=,MH 与六边形ABC ∠外角的平分线BQ 交于H 点.
①当点M 不与点A 、B 重合时，求证：∠AFM=∠BMH;
②当点M 在正六边形ABCDEF 一边AB 上运动(点M 不与点B 重合)时,猜想FM 与MH 的数量关系，并对猜想的结果加以证明.
B 、改变背景
（3）（2011密云一模，24）如图，边长为5的正方形OABC 的顶点O 在坐标原点处，点A C 、分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点E 是OA
边上的点（不与点A 重合），EF CE ⊥，且与正方形外角平分线AC 交于点P .
（1）当点E 坐标为(30)，时，试证明CE EP =；
（2）如果将上述条件“点E 坐标为（3，0）”改为“点E 坐标为（t ，0）（0t >）”，结论
CE EP =是否仍然成立，请说明理由；
E
D
F
A
C
B
N
M
H
Q
B
P
G
O
F
A
E
C
y
N
A
D
C
A
D P E
① ② ③
D C B A A B C D A B C D （3）在y 轴上是否存在点M ，使得四边形BMEP 是平行四边形若存在，请证明；若不存
在，请说明理由.
2、如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF
＝45
°，求证：EF ＝BE ＋FD ． 【变式】方法类比，特殊到一般
削弱题目条件（1）如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180°，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF 是∠BAD 的一半，那么结论EF ＝BE ＋FD 是否仍然成立若成立，请证明；请写出它们之间的数量关系，并证明.
改变图形（2）在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B+∠D ＝180°，延长BC 到点E ，延长CD 到点F ，使得∠EAF 仍然是∠BAD 的一半，则结论EF ＝BE ＋FD 是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.
3、旋转特殊角度转移线段，比较线段大小（求最值）（2011房山一模，25）已知：等边三角形ABC
（1） 如图1，P 为等边△ABC 外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP 、PC 、AP 之间的数
量关系,并证明你的猜想；
（2）如图2，P 为等边△ABC 内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC ＞BD
【类题】1、已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题: （1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ； （2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ； （3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的
∠ACB 的度数.
图1 图2 图3
解：（1）33
；…………………………………………1’
C
B
B
A
B C
D E F
A
B
C
D
E
F
E
D C
B
A
D
A
B
C
E
（2）2
3
6
3-；…………………………………………2’
（3）以点D为中心，将△DBC逆时针旋转60°，则点B落在点A，点C落在点E.联结AE,CE，∴CD=ED，∠CDE=60°，AE=CB= a，
∴△CDE为等边三角形，
∴CE=CD. …………………………………………4’
当点E、A、C不在一条直线上时，有CD=CE 当点E、A、C在一条直线上时， CD有最大值，CD=CE=a+b； 此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠ACB=120°，……………………7’ 因此当∠ACB=120°时，CD有最大值是a+b. （三）启发构造三角形转移线段 例2、已知：2 PA=，4 PB=，以AB为一边作正方形ABCD，使P、 D两点落在直线AB的两侧. （1）如图，当∠APB=45°时，求AB及PD的长； （2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD 的 最大值，及相应∠APB的大小. 例3、如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，点E为CD的中点，点F在底边BC上，且∠FAE=∠DAE． （1）请你通过观察、测量、猜想，得出∠AEF的度数；（1）的方法多样（垂线段，倍长，中位线）但是其中有的不好迁移到后面，需要在多种方法中选取 （2）若梯形ABCD中，AD∥BC，∠C不是直角，点F在底边BC或其延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由． 图1 图2 图3 【类题】已知点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，C是直线n上一点，且∠ABC=90°，点E在AC的延长线上,BC＝k AB (k≠0). （1）当k＝1时，在图（1）中，作∠BEF＝∠ABC，EF交直线m于点F.，写出线段EF与EB的数量关系，并加以证明； （2）若k ≠1，如图(2)，∠BEF ＝∠ABC ，其它条件不变，探究线段EF 与EB 的数量关系，并说明理由． （1） （2） (四) 方法的综合应用 1、如图，已知ABC △． （1）请你在BC 边上分别取两点D E ，（BC 的中点除外），连结 AD AE ，，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； （2）请你根据使（1）成立的相应条件，证明AB AC AD AE +>+． 2、问题：已知△ABC 中，BAC =2ACB ，点D 是△ABC 内的一点，且AD =CD ，BD =BA 。探究DBC 与ABC 度数的比值。 请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当BAC =90时，依问题中的条件补全右图。 观察图形，AB 与AC 的数量关系为 ； 当推出DAC =15时，可进一步推出DBC 的度数为 ； 可得到DBC 与ABC 度数的比值为 ； (2) 当BAC 90时，请你画出图形，研究DBC 与ABC 度数的比值是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。 3、在△ABC 中，点P 为BC 的中点． （1）如图1，求证：AP ＜ 2 1 （AB +AC ）； （2）延长AB 到D ，使得BD=AC ，延长AC 到E ，使得CE=AB ，连结DE ． ①如图2，连结BE ，若∠BAC=60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； A C B A ②请在图3中证明：BC ≥ 2 1 DE ． 4、在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 于点F 。 （1）在图1中证明CE CF =； （2）若90ABC ∠=?，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数； （3）若120ABC ∠=?，FG ∥CE ，FG CE =，分别连结DB 、DG （如图3），求∠BDG 的度数。 (五)动点问题与分类讨论 不确定性引发分类讨论 (1)等腰三角形顶角顶点； (2)相似三角形对应点； (3)已知两点（三点）+限制条件定平行四边形（特殊梯形）； 注意：分类不重不漏；动点问题定界点。 由位置的不确定引发的分类讨论 1、在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =30，AB =50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM =EN ，sin ∠EMP = 1213 ． （1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长； （2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP =x ，BN =y ，求y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域； （3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求 AP 的长． 图1 图2 备用图 由图形的不确定引发的分类讨论，相似2、（2010密云一模，25）如图，在梯形ABCD 中，3AD BC AD =∥，， 510DC BC ==，，梯形的高为4．动点M 从B 点出发 沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD E A C B G E B E C B 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）． （1）当MN AB ∥时，求t 的值； （2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 与面积有关的动点问题 3、等边△ABC 边长为6，P 为BC 边上一点，∠MPN =60°，且PM 、PN 分别于边AB 、AC 交于点E 、F . （1）如图1，当点P 为BC 的三等分点，且PE ⊥AB 时，判断△EPF 的形状； （2）如图2，若点P 在BC 边上运动，且保持PE ⊥AB ，设BP =x ，四边形AEPF 面积的y ， 求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）如图3，若点P 在BC 边上运动，且∠MPN 绕点P 旋转，当CF =AE =2时，求PE 的长. 图1 图2 图3 4、在□ABCD 中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E ，将线段EC 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EF （如图1）. （1）在图1中画图探究： ①当1P 为射线CD 上任意一点（1P 不与C 点重合）时，连结1EP ，将线段1EP 绕点E 逆时针旋转90°得到线段1EG .判断直线1FG 与直线CD 的位置关系并加以证明； ②当2P 点为线段DC 的延长线上任意一点时，连结2EP ，将线段2EP 绕点E 逆时针旋转90°得到线段2EG .判断直线12G G 与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论. （2）若AD =6，4 tan 3 B = ， AE =1，在①的条件下，设1CP =x ，11P FG S ? =y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 图1 图2（备用） 5、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9cm，BC＝12cm．在Rt△DEF中，∠DFE＝90°，EF＝6cm，DF＝8cm．E，F两点在BC边上，DE，DF两边分别与AB边交于G，H两点．现固定△ABC不动，△DEF从点F与点B重合的位置出发，沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P 从点F出发，在折线FD—DE上以2cm/s的速度向点E运动．△DEF与点P同时出发，当点E 到达点C时，△DEF和点P同时停止运动．设运动的时间是t（单位：s），t＞0．（1）当t＝2时，PH= cm，DG = cm； （2）t为多少秒时△PDE为等腰三角形请说明理由； （3）t为多少秒时点P与点G重合写出计算过程； （4）求tan∠PBF的值（可用含t的代数式表示）． 中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析 在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。 在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。 一.考试说明要求 图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。 图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线 解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例： 1、与相似及圆有关的基本图形 2012年中考第二轮专题复习九：几何综合体、代数和几何综 合题 1（2011省）如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG． （1）求证：①DE=DG；②DE⊥DG （2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG （要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）； （3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的 特殊四边形，并证明你的猜想： （4）当时，请直接写出的值． 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图—复杂作图。分析：（1）由已知证明DE、DG所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE⊥DG； （2）根据正方形的性质分别以点G、E为圆心以DG为半径画弧交点F，得到正方形DEFG；（3）由已知首先证四边形CKGD是平行四边形，然后证明四边形CEFK为平行四边形； （4）由已知表示出的值． 解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴DC=DA，∠DCE=∠DAG=90°． 又∵CE=AG， ∴△DCE≌△GDA， ∴DE=DG， ∠EDC=∠GDA， 又∵∠ADE+∠EDC=90°， ∴∠ADE+∠GDA=90°， ∴DE⊥DG． （2）如图． （3）四边形CEFK为平行四边形． 证明：设CK、DE相交于M点， ∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形， ∴AB∥CD，AB=CD，EF=DG，EF∥DG， ∵BK=AG， ∴KG=AB=CD， ∴四边形CKGD是平行四边形， ∴CK=DG=EF，CK∥DG， ∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°， ∴∠KME+∠DEF=180°， ∴CK∥EF， ∴四边形CEFK为平行四边形． （4）=． 点评：此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂 2（2011建设兵团）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9，∠B=45°．动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）求AB的长； （2）设BP=x，问当x为何值时△PCQ的面积最大， 并求出最大值； （3）探究：在AB边上是否存在点M，使得四边形PCQM为 菱形？请说明理由． 考点：等腰梯形的性质；二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形。 分析：（1）作AE⊥BC，根据题意可知BE的长度，然后，根据∠B的正弦值，即可推出AB 的长度； （2）作QF⊥BC，根据题意推出BP=CQ，推出CP关于x的表达式，然后，根据∠C的正弦值推出高QF关于x的表达式，即可推出面积关于x的二次函数式，最后根据二次函数的最值即可推出x的值； （3）首先假设存在M点，然后根据菱形的性质推出，∠B=∠APB=∠BAP=45°，这是不符合三角形角和定理的，所以假设是错误的，故AB上不存在M点． 解答：解：（1）作AE⊥BC， ∵等腰梯形ABCD中，AD=4，BC=9， ∴BE=（BC﹣AD）÷2=2.5， ∵∠B=45°， ∴AB=， （2）作QF⊥BC， ∵等腰梯形ABCD， ∴∠B=∠C=45°， ∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同，BP=x， ∴BP=CQ=x， ∵BC=9， ∴CP=9﹣x，QF=， 设△PQC的面积为y， 中考数学复习几何压轴题 1．在△ABC 中，点D 在AC 上，点E 在BC 上，且DE ∥AB ，将△CDE 绕点C 按顺时针方向旋转得到△E D C ''(使E BC '∠＜180°)，连接D A '、E B '，设直线E B '与AC 交于点O . (1)如图①，当AC =BC 时，D A ':E B '的值为 ； (2)如图②，当AC =5，BC =4时，求D A ':E B '的值； (3)在(2)的条件下，若∠ACB =60°，且E 为BC 的中点，求△OAB 面积的最小值. 图① 图② 答 案 ： 1；……………………………………………………………………………………………1分 （2）解：∵DE ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ．∴AC DC BC EC =． 由旋转图形的性质得，C D DC C E EC '='=,,∴AC C D BC C E '='． ∵ D C E ECD ' '∠=∠,∴ , E AC D C E E AC ECD '∠+''∠='∠+∠即 D AC E BC '∠='∠． ∴E BC '?∽D AC '?.∴4 5 ==''BC AC E B D A ．……………………………………………………4分 （3）解：作BM ⊥AC 于点M ，则BM =BC ·sin 60°=23． ∵E 为BC 中点，∴CE = 2 1 BC =2． △CDE 旋转时，点E '在以点C 为圆心、CE 长为半径的圆上运动． ∵CO 随着E CB '∠的增大而增大， ∴当E B '与⊙C 相切时，即C E B '∠=90°时E CB '∠最大，则CO 最大． O D E'O E' A D 2013中考数学压轴题动态几何题型精选解析（三） 例题如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（﹣2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE． （1）填空：点D的坐标为，点E的坐标为． （2）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式． （3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动． ①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围． ②运动停止时，求抛物线的顶点坐标． 思路分析： （1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D、点E的坐标； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）本问非常复杂，须小心思考与计算： ①为求s的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时秒，期间可以划分成三个阶段：当0＜t≤时，对应图（3）a；当＜t≤1时，对应图（3）b；当1＜t≤时，对应图（3）c．每个阶段的表达式不同，请对照图形认真思考； ②当运动停止时，点E到达y轴，点E（﹣3，2）运动到点E′（0，），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位．由此得到平移之后的抛物线解析式，进而求出其顶点坐标． 解：（1）由题意可知：OB=2，OC=1． 如图（1）所示，过D点作DH⊥y轴于H，过E点作EG⊥x轴于G． 易证△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（﹣1，3）； 同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（﹣3，2）． ∴D（﹣1，3）、E（﹣3，2）． （2）抛物线经过（0，2）、（﹣1，3）、（﹣3，2）， 则 解得 初中数学几何图形综合题 必胜中学2018-01-30 15:15:15 题型专项几何图形综合题 【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用. 【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等. 【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决. 【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势. 为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题. 类型1操作探究题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D作DF⊥AC于点F. (1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC； 中考数学综合专题训练【以圆为基础的几何综合题】精品专题解析 几何综合题一般以圆为基础，涉及相似三角形等有关知识；这类题虽较难，但有梯度，一般题目中由浅入深有1～3个问题，解答这种题一般用分析综合法． 【典型例题精析】 例1．如图，已知⊙O的两条弦AC、BD相交于点Q，OA⊥BD． （1）求证：AB2=AQ·AC： （2）若过点C作⊙O的切线交DB的延长线于点P，求证：PC=PQ． P 分析：要证A B2=AQ·AC，一般都证明△ABQ∽△ACB．∵有一个公共角∠QAB=∠BAC，?∴只需再证明一个角相等即可． 可选定两个圆周角∠ABQ=∠ACB加以证明，以便转化，题目中有垂直于弦的直径，可知AB=AD，AD和AB所对的圆周角相等． （2）欲证PC=PQ， ∵是具有公共端点的两条线段， ∴可证∠PQC=∠PCQ（等角对等边） 将两角转化，一般原地踏步是不可能证明出来的，没有那么轻松愉快的题目给你做，因为数学是思维的体操． ∠BQC=∠AQD=90°-∠1（充分利用直角三角形中互余关系） ∵∠PCA是弦切角，易发现应延长AO与⊙交于E，再连结EC，?利用弦切角定理得∠PCA=∠E，同时也得到直径上的圆周角∠ACE=90°， ∴∠PCA=∠E=90°-∠1． 做几何证明题大家要有信心，拓展思维，不断转化，寻根问底，不断探索，?充分发挥题目中条件的总体作用，总能得到你想要的结论，同时也要做好一部分典型题，?这样有利于做题时发生迁移，联想． 例2．如图，⊙O1与⊙O2外切于点C，连心线O1O2所在的直线分别交⊙O1，⊙O2于A、E，?过点A作⊙O2的切线AD交⊙O1于B，切点为D，过点E作⊙O2的切线与AD交于F，连结BC、CD、?DE． （1）如果AD：AC=2：1，求AC：CE的值； （2）在（1）的条件下，求sinA和tan∠DCE的值； （3）当AC：CE为何值时，△DEF为正三角形？ 1．（1）操作发现· 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AB AD 的值； （3）类比探究 保持（1）中的条件不变，若DC ＝n ·DF ，求 AB AD 的值． 2．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB ＝75o，以CD 为一边的 等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB ＝BC ； （3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC ＝30o． 求 DF FC 的值． 3.如图①，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终．． 为10cm 2．设EP ＝x cm ，FQ ＝y cm ，A B C D E 图1 A B C D E 图2 F 解答下列问题： （1）直接写出当x ＝3时y 的值； （2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？ （4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积． 4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1． A B C D E F （备用图） A B C D E F Q P 图① 图 ① A C A 1 B 1 C 1 几何图形变换压轴题中考整理 1（黑龙江省哈尔滨市）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG＋DC＝AD； （2）如图2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____________________________________； （3）在（2）的条件下，若AG＝2 5，DC＝3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别 3，求线段PQ的长． 与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG＝ 2 （湖北省随州市）如图①，已知△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC 的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论． （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． （3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值． 3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测 量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长 线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 3．在△ABC 中，点P 为BC 的中点． （1）如图1，求证：AP ＜ 2 1 （AB +BC ）； （2）延长AB 到D ，使得BD =AC ，延长AC 到E ，使得CE =AB ，连结DE ． ①如图2，连结BE ，若∠BAC =60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：BC ≥ 2 1 DE ． 图13－2 E A B D G F O M N C 图13－3 A B D G E F O M N C 图13－ 1 A ( G ) B ( E ) C O D ( F ) 如图 8，在Rt ABC中，CAB 90，AC 3 ， AB 4 ，点 P 是边 AB 上任意一点，过点 P 作PQ AB 交BC于点E，截取 PQ AP ，联结 AQ ，线段 AQ 交BC于点D，设 AP x ，DQ y ．【2013徐汇】 （1）求y关于x的函数解析式及定义域；（ 4 分） （2）如图 9，联结CQ，当CDQ和ADB相似时，求x的值；（ 5 分） （3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边 AB 上时，求 AP 的长．（ 5 分） C Q D E A P B （图 8） C Q D E A （图 9） P B C A B （备用图） 【2013 奉贤】如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点 C作 AB的垂线交⊙ O于点 D，联结 OD，过点 B 作 OD的平行线交⊙ O于点 E、交射 线CD于点 F． （1）若 ⌒ ED BE⌒ ，求∠ F 的度数； （2）设CO x, EF y,写出y 与x之间的函数解析式，并写出定义域； （3）设点 C 关于直线 OD 的对称点为 P ，若△ PBE 为等腰三角形，求 OC 的长． 第 25 题 【 2013 长宁】△ ABC 和△ DEF 的顶点 A 与 D 重合，已知∠ B = 90 . ，∠ BAC = 30 . ， BC=6，∠ FDE = 90 ， DF=DE=4. （1）如图①， EF 与边 、 分别交于点 ，且 . 设 DF a ，在射线 上取 AC AB G 、H FG=EH DF 一点 P ，记： DP xa ，联结 CP. 设△ DPC 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写 出定义域； （2）在（ 1）的条件下，求当 x 为何值时 PC // AB ； （ 3）如图②，先将△ DEF 绕点 D 逆时针旋转，使点 E 恰好落在 AC 边上，在保持 DE 边与 AC 边完 全重合的条件下， 使△ DEF 沿着 AC 方向移动 . 当△ DEF 移动到什么位置时， 以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 图① 图② 【 2013 嘉定】已知 AP 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上的一个动点 （不与点 A 、P 重合），联结 AC ，以直线 AC 为对称轴翻折 AO ，将点 O 的对称点记为 O 1 ，射线 AO 1 交半圆 O 于 点 B ，联结 OC . （1）如图 8，求证： AB ∥ OC ； （2）如图 9，当点 B 与点 O 1 重合时，求证： AB CB ； 01如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG. (1)求证：四边形EFDG是菱形； (2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由； (3)若AG＝6，EG＝25，求BE的长． (1)证明：由折叠性质可得，EF ＝FD ，∠AEF ＝∠ADF ＝90°，∠ EFA ＝∠DFA ，EG ＝GD ，∵EG ∥DC ，∴∠DFA ＝∠EGF ， ∴∠EFA ＝∠EGF ，∴EF ＝EG ＝FD ＝GD ，∴四边形EFDG 是菱形； (2)解：EG 2 ＝1 2 GF ·AF .理由如下： 如解图，连接ED ，交AF 于点H ， ∵四边形EFDG 是菱形， ∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝DH ＝1 2 DE ， ∵∠FEH ＝90°－∠EFA ＝∠FAE ，∠FHE ＝∠AEF ＝90°， ∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF AF ＝FH EF ，即EF 2＝FH ·AF ， 又∵FH ＝12GF ，EG ＝EF ，∴EG 2 ＝12 GF ·AF ； (3)解：∵AG ＝6，EG ＝25，EG 2 ＝12AF ·GF ，∴(25)2 ＝12 (6＋GF )·GF ， 解得GF ＝4或GF ＝－10(舍)，∴GF ＝4，∴AF ＝10. ∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45， DE ＝2EH ＝2 EG 2 －（1 2 GF ）2＝8， ∵∠CDE＋∠DFA＝90°，∠DAF＋∠DFA＝90°，∴∠CDE＝∠DAF，∵∠DCE＝∠ADF＝90°， ∴Rt△DCE∽Rt△ADF，∴EC DF ＝ DE AF ，即 EC 25 ＝ 8 10 ， ∴EC＝85 5 ，∴BE＝BC－EC＝ 125 5 . 02如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F，若DE＝4，BD＝8. (1)求证：AF＝EF； (2)求证：BF平分∠ABD. 2020年全国各地中考数学压轴题汇编（贵州专版） 几何综合 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2020?贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（） A．24 B．18 C．12 D．9 解：∵E是AC中点， ∵EF∥BC，交AB于点F， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=BC， ∴BC=6， ∴菱形ABCD的周长是4×6=24． 故选：A． 2．（2020?遵义）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE=2，PF=8．则图中阴影部分的面积为（） A．10 B．12 C．16 D．18 解：作PM⊥AD于M，交BC于N． 则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S △ADC =S △ABC ，S △AMP =S △AEP ，S △PBE =S △PBN ，S △PFD =S △PDM ，S △PFC =S △PCN ， ∴S △DFP =S△PBE=×2×8=8， ∴S 阴=8+ 8=16， 故选：C． 3．（2020?贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（） A．B．1 C．D． 解：连接BC， 由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则tan∠BAC=1， 故选：B． 4．（2020?遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（） 第三课时 几何代数综合题1.已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=320 ,AE ⊥BD ，垂足是 E.点F 是点E 关于AB 的对称点，连接 AF 、BF. （1）求AE 和BE 的长； （2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为 m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）.当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值. （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角（0°＜＜180°），记旋转中的△ABF 为△A ′BF ′，在旋转过程 中，设A ′F ′所在的直线与直线 AD 交于点P.与直线BD 交于点Q.是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由 . 解：（1）在Rt △ABD 中，AB=5，AD = ，由勾股定理得：BD === ． ∵S △ABD =BD?AE =AB?AD ， ∴AE===4． 在Rt △ABE 中，AB=5，AE=4，由勾股定理得： BE=3．（2）设平移中的三角形为△ A ′ B ′F ′，如答图2所示：由对称点性质可知，∠ 1=∠2．由平移性质可知，AB ∥A ′B ′，∠4=∠1，BF=B ′F ′=3． ①当点F ′落在AB 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠3=∠4，∴∠3=∠2， ∴BB ′＝B ′F ′=3，即m=3； ②当点F ′落在AD 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠6=∠2，∵∠1=∠2，∠5=∠1， ∴∠5=∠6，又易知A ′B ′⊥AD ， ∴△B ′F ′D 为等腰三角形， ∴B ′D=B ′F ′=3， ∴BB ′＝B D ﹣B ′D =﹣3=，即m=． （3）存在．理由如下： 二次函数与几何综合 几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲： 几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答．解几何综合题，一要注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题的关键． 解几何综合题，还应注意以下几点： ⑴ 注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形． ⑵ 掌握常规的证题方法和思路． ⑶ 运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题．还要灵活运用数学思想方法伯数形结合、分类讨论等）． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（南充，10分）⊿ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ，点F 是BE 的中点． （1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若AE ＝14，BC ＝12，求BF 的长． 解：（1）证明：连接OD ，AD ． AC 是直径， ∴ AD ⊥BC ． ⊿ABC 中，AB ＝AC ， ∴ ∠B ＝∠C ，∠BAD ＝∠DAC ． 又∠BED 是圆内接四边形ACDE 的外角， ∴∠C ＝∠BED ． 故∠B ＝∠BED ，即DE ＝DB ． 点F 是BE 的中点，DF ⊥AB 且OA 和OD 是半径， 即∠DAC ＝∠BAD ＝∠ODA ． 故OD ⊥DF ，DF 是⊙O 的切线． （2）设BF ＝x ，BE ＝2BF ＝2x ． 又 BD ＝CD ＝21 BC ＝6， 根据BE AB BD BC ?=?，2(214)612x x ?+=?． 化简，得 27180x x +-=，解得 122,9x x ==-（不合题意，舍去）． 中考数学几何选择填空压轴题精选配答案 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】 2016中考数学几何选择填空压轴题精选(配答案)一．选择题（共13小题） 1．（2013蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC 于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HEHB． A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 2．（2013连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作 D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A ．B ． C ． D ． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论： ①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A ．1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： 中考数学压轴题(几何综合题） 1、如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4厘米，BC＝6厘米，D是BC的中点．点E从A 出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1厘米/秒的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值； （2）当a＝1 2 时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； （3）当a＝2时，是否存在某个时间，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值； 若不存在，请说明理由． 解：（1）∵t＝2，∴CF＝2厘米，AE＝2a厘米， ∴EC＝(4－2a ) 厘米． ∵△ECF∽△BCA．∴EC CF CB AC = ∴422 64 a - =．∴ 1 2 a=． （2）由题意，AE＝1 2 t厘米，CD＝3厘米，CF＝t厘米． ∵EG∥CD，∴△AEG∽△ACD．∴EG AE CD AC =， 1 2 34 t EG =．∴EG＝ 3 8 t． ∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，∴EG＝DF． 当0≤t＜3时，3 3 8 t t =-， 24 11 t=． 当3＜t≤6时，3 3 8 t t=-， 24 5 t=． 综上 24 11 t=或 24 5 （3）由题意，AE＝2t厘米，CF＝t厘米，可得：△AEG∽△ACD AG＝5 2 t厘米，EG＝ 3 2 t，DF＝3－t厘米，DG＝5－ 5 2 t（厘米）． G D B A C F E （第27题） D B A C 备用图 图1 如图8，在ABC Rt ?中，?=∠90CAB ，3=AC ，4=AB ，点P 是边AB 上任意一点，过点P 作AB PQ ⊥交BC 于点E ，截取AP PQ =，联结AQ ，线段AQ 交BC 于点D ，设x AP =，y DQ =．【2013徐汇】 （1）求y 关于x 的函数解析式及定义域； （4分） （2）如图9，联结CQ ，当CDQ ?和ADB ?相似时，求x 的值； （5分） （3）当以点C 为圆心，CQ 为半径的⊙C 和以点B 为圆心，BQ 为半径的⊙B 相交的另一 个交点在边AB 上时，求AP 的长． （5分） 【2013奉贤】如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB =8， 点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，联结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ． （1）若 ，求∠F 的度数； （2）设,,y EF x CO ==写出y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （图8） C A B D E P Q C A B D E P Q （图9） （备用图） C A B BE ED =⌒ ⌒ 第25题 （3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长． 【2013长宁】△ABC 和△DEF 的顶点A 与D 重合，已知∠B =?90. ，∠BAC =?30. ，BC=6，∠ FDE =?90，DF=DE=4. （1）如图①，EF 与边AC 、AB 分别交于点G 、H ，且FG=EH . 设a DF =，在射线DF 上取一点P ，记：a x DP =，联结CP. 设△DPC 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （2）在（1）的条件下，求当x 为何值时 AB PC //； （3）如图②，先将△DEF 绕点D 逆时针旋转，使点E 恰好落在AC 边上，在保持DE 边与AC 边完全重合的条件下，使△DEF 沿着AC 方向移动. 当△DEF 移动到什么位置时，以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 【2013嘉定】已知AP 是半圆O 的直径，点C 是半圆O 上的一个动点（不与点A 、P 重合），联结AC ，以直线AC 为对称轴翻折AO ，将点O 的对称点记为1O ，射线1AO 交半圆O 于点B ，联结OC . （1）如图8，求证：AB ∥OC ； （2）如图9，当点B 与点1O 重合时，求证：CB AB =； 图① 图② 几何综合（习题） ? 例题示范 例：如图，在四边形ABCD 中，AB =2，BC =CD =B =90°， ∠C =120°，则AD 的长为_______． D C B A 解：如图，连接AC ． D C B A 在Rt △ABC 中，∵∠B =90°，AB =2，BC =∴tan ∠ACB = 3 AB BC = ∴∠ACB =30° ∴AC =2AB =4 ∵∠BCD =120° ∴∠ACD =∠BCD -∠ACB =90° 在Rt △ADC 中，AC =4，CD =∴AD = ? 巩固练习 C D B A 1. 如图，在△ABC 中，AB =15 m ，AC =12 m ，AD 是∠BAC 的外角平分线，DE ∥ AB 交AC 的延长线于点E ，那么CE =________． 2. 在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高．将△ABC 按如图所 示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为________． D B A 3. 如图，矩形EFGD 的边EF 在△ABC 的BC 边上，顶点D ，G 分别在边AB ，AC 上．已知AB =AC=5，BC=6，设BE =x ，EFGD S y 矩形，则y 关于x 的函数关系式为________________． （要求写出x 的取值范围） G F E D C B A N M G F E D C B A 第3题图 第4题图 4. 如图，在△ABC 中有一正方形DEFG ，其中D 在AC 上，E ，F 在AB 上，直线 AG 分别交DE ，BC 于M ，N 两点．若∠B =90°，AB =4，BC =3，EF =1，则BN 的长度为（ ） A ．43 B ．32 C ．85 D ．127 5. 如图，在△ABC 中，AB =BC =10，AC =12，BO ⊥AC ，垂足为O ，过点A 作射线 AE ∥BC ，点P 是边BC 上任意一点，连接PO 并延长与射线AE 相交于点Q ，设B ，P 两点之间的距离为x ，过点Q 作直线BC 的垂线，垂足为R ．小明同学思考后给出了下面五条结论：①△AOB ≌△COB ； ②当0＜x ＜10时，△AOQ ≌△COP ； 中考数学几何选择填空压轴题精选 一．选择题（共13小题） 1．（2013?蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE 的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE?HB． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2013?连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A．B．C．D． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： ①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S?DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（） A．①③B．②④C．①④D．②③ 5．（2008?荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（） A．5：3B．3：5C．4：3D．3：4 6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（） A．B．C．D． 7．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（） A．B．6C．D．3 8．（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 9．（2012?黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论： ①（BE+CF）=BC； ②S△AEF≤S△ABC； ③S四边形AEDF=AD?EF； ④AD≥EF； ⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图①中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析
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题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C中考数学专题复习教学案几何综合题
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