中考数学综合题专题复习【圆】专题解析
一. 教学内容：
1. 圆的内容包括：圆的有关概念和基本性质，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。
2. 主要定理：
（1）垂径定理及其推论。
（2）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。
（3）圆周角定理、弦切角定理及其推论。
（4）圆内接四边形的性质定理及其推论。
（5）切线的性质及判定。
（6）切线长定理。
（7）相交弦、切割线、割线定理。
（8）两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。
（9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。
（10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。
（11）正n边形的有关计算。
二. 中考聚焦：
圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表：
圆的知识在中考中所占的比例大，题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题，中考的压轴题都综合了圆的知识。
三. 知识框图：
圆
圆的有关性质
直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆
?
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?
圆的有关性质
圆的定义
点和圆的位置关系（这是重点）
不在同一直线上的三点确定一个圆
圆的有关性质
轴对称性—垂径定理（这是重点）
旋转不变性
圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
圆心角定理
圆周角定理（这是重点）
圆内接四边形（这是重点）
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直线和圆的位置关系
相离
相交
相切
切线的性质（这是重点）
切线的判定（这是重点）
弦切角（这是重点）
和圆有关的比例线段（这是重点难点）
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圆和圆的位置关系
外离
内含
相交
相切
内切（这是重点）
外切（这是重点）两圆的公切线
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正多边形和圆
正多边形和圆
正多边形定义
正多边形和圆
正多边形的判定及性质
正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算
圆周长、弧长（这是重点）
圆、扇形、弓形面积（这是重点）
圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点）
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【典型例题】
【例1】. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m 以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？
分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示：
O 120m 爆破中心 安全
区
域
解： 导火索燃烧的时间为
18
09
20.()=s 相同时间内，人跑的路程为2065130?=.()m ∴>人跑的路程130120m m
∴点导火索的人非常安全
【例2】. 已知梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ，⊙O 的半径为4，AB ＝6，CD ＝2，求梯形ABCD 的面积。
分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB 、CD 间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OE ⊥CD 于E ，延长EO 交AB 于F ，证OF ⊥
AB 。
此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。 解：分两种情况讨论：
（1）当弦AB 、CD 分别在圆心O 的两侧时，如图（1）：
过O 作OE ⊥CD 于E ，延长EO 交AB 于F 连OC 、OB ，则CE ＝DE ∵AB ∥CD ，OE ⊥CD
∴OF ⊥AB ，即EF 为梯形ABCD 的高 在Rt △OEC 中，∵EC ＝1，OC ＝4 ∴=
-=-=OE OC EC 22224115
同理，OF =
7
∴=+=+EF OE OF 157 ()()()
∴=
++=+=+S ABCD 梯形1
2
26157415741547 （2）当弦AB 、CD 在圆心O 的同侧时，如图（2）：
过O 作OE ⊥CD 于E ，交AB 于F 以下证法同（1），略。 ∴=-EF 157
()()()
∴=
+-=-=-S ABCD 梯形1
2
26157415741547 ()(
)
∴+-梯形的面积为或ABCD 41574157
【例3】. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，P 是OB 的中点，求tanC ·tanD 的值。
分析：为了求tanC ·tanD 的值，需要分别构造出含有∠C 和∠D 的两个直角三角形。而AB 是直径，为我们寻找直角创造了条件。连BC 、BD ，则得到Rt △ACB 和Rt △ADB 。可以发现∠ACD ＝∠ABD ，∠ADC ＝∠ABC ，于是，可以把tanC ·tanD 转化为
tan tan ∠·∠···，则可求。ABD ABC AD BD AC BC AD AC
BD BC
=
= 解：连结BC 、BD
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝90° ∵∠ACD ＝∠ABD ，∠ADC ＝∠ABC
∴===tan tan tan tan C D ABD ABC AD BD AC BC AD AC
BD BC
·∠·∠··· 作AE ⊥CD 于E ，作BF ⊥CD 于F 则△AEC ∽△ADB ∴
=
AC AE AB
AD
∴AC ·AD ＝AE ·AB 同理，BD ·BC ＝BF ·AB
∴==
tan tan C D AE AB BF AB AE
BF
··· ∵△APE ∽△BPF ∴
AE BF AP
BP
=
∵P 为半径OB 的中点 ∴
，∴AP BP AE
BF
==313 ∴tanC ·tanD ＝3
【例4】. 如图，△是等边三角形，是⌒
上任一点，求证：ABC D BC DB DC DA +=
分析：由已知条件，等边△ABC 可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB ＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC 。 证明：延长DB 至点E ，使BE ＝DC ，连结AE ∵△ABC 是等边三角形
∴∠ACB ＝∠ABC ＝60°，AB ＝AC ∴∠ADB ＝∠ACB ＝60°
∵四边形ABDC 是圆内接四边形 ∴∠ABE ＝∠ACD
在△AEB 和△ADC 中，
BE CD ABE ACD AB AC ===???
?
?∠∠
∴???AEB ADC ∴AE ＝AD
∵∠ADB ＝60°
∴△AED 是等边三角形 ∴AD ＝DE ＝DB ＋BE ∵BE ＝DC ∴DB ＋DC ＝DA
说明：本例也可以用其他方法证明。如：
（1）延长DC 至F ，使CF ＝BD ，连结AF ，再证△ACF ≌△ABD ，得出AD ＝DF ，从而DB ＋CD ＝DA 。
（2）在DA 上截取DG ＝DC ，连结CG ，再证△BDC ≌△AGC ，得出BD ＝AG ，从而DB ＋CD ＝DA 。
【例5】. 如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，AD ＝DC ，分别延长BA 、CD 交于点E ，BF ⊥EC 交EC 的延长线于F ，若EA ＝AO ，BC ＝12，求CF 的长。
分析：在Rt △CFB 中，已知BC ＝12，求CF ，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。
解：连结OD ，BD
AD DC AD DC ==，∴⌒⌒
∴∠ABC ＝∠AOD ∴OD ∥BC ∴
OD BC EO
EB
=
∵EA ＝AO ，∴EA ＝AO ＝BO BC OD OD ===12122
3
8，∴
，∴ ∴AB ＝16，BE ＝24
∵四边形ABCD 内接于⊙O ∴∠EDA ＝∠EBC ∵∠E 是公共角 ∴△EDA ∽△EBC ∴
AD BC EA EC ED
EB
==
设AD ＝DC ＝x ，ED ＝y ，则有
x y x y
12248
==
+ 解方程组，得：x =42 ∴=AD 42 ∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ADB ＝∠F ＝90° 又∠DAB ＝∠FCB ∴Rt △ADB ∽Rt △CFB
∴
==AD CF AB BC CF ，即4216
12
∴=CF 32
说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。
此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。
【例6】. 如图，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC 于
点、，过作⊙的切线交于，若＝，，求的长。F D D O FC E AF 7cosB CE =
3
5
解：连结FD
∵AB 是直径，∴AD ⊥BC
∵AB ＝AC ，∴BD ＝DC ，∠FAD ＝∠DAB ∵四边形ABDF 是圆内接四边形 ∴∠CFD ＝∠B ∵∠C 是公共角 ∴△ABC ∽△DFC ∴
CD AC DF
AB
=
∵AB ＝AC ∴CD ＝DF
（也可以证∠CFD ＝∠B ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠C ＝∠CFD ，∴CD ＝DF 。） ∵DE 切⊙O 于D ∴∠FAD ＝∠EDF
又∵∠CDE ＋∠EDF ＝∠FAD ＋∠DAB ∴∠CDE ＝∠DAB ∴∠CDE ＝∠EDF ∵CD ＝FD
∴CE ＝EF ，DE ⊥CF
cosB B C =
=3
5，∠∠ ∴=cosC 3
5
在中，Rt ACD C CD AC ?cos ==3
5
∴设CD ＝3x ，AC ＝5x 在中，，即Rt CDE C EC CD EC
x
?cos =
=
353 ∴=
EC x 9
5
AC AF CE =+2
∴=+5718
5
x x
x =5
∴EC ＝9
【例7】. 如图，相交两圆的公共弦长为120cm ，它分别是一圆内接正六边形的边和另一圆内接正方形的边。求两圆相交弧间阴影部分的面积。
解：∵公共弦AB ＝120 ∴==a R 46120
r R a 66242
22
212060603=-?? ??
?=-=
∠===
=O a R AB o
144601202
2
602，， ()
∴=-?? ??
?=
-==r R a O o 442
42
2
222602606090，∠
S S S R a r AmB AO B AO B
弓形扇形=-=-=-229036012
180036004244?ππ
S S S R a r AnB AO B AO B
弓形扇形=-=-=-116036012
2400360036
266?ππ
(
)
∴=+=-+
S S S AmB AnB 阴影弓形弓形4200360013π
(
)[
]
∴-+两圆相交弧间阴影部分的面积为42003600132
πcm
【例8】.一个长方体的香烟盒里，装满大小均匀的20支香烟。打开烟盒的顶盖后，二十支香烟排列成三行，如图（1）所示。经测量，一支香烟的直径约为0.75cm ，长约为8.4cm 。 （1）试计算烟盒顶盖ABCD 的面积（本小题计算结果不取近似值）。
（2）制作这样一个烟盒至少需要多少面积的纸张（不计重叠粘合的部分，计算结果
精确到，取）0.1cm 3173.
解题点拨：四边形ABCD 中，AD 长为7支香烟的直径之和，易求；求AB 长，只要计算出如图（2）中的O 1E 长即可。
解：（1）如图（2），作O 1E ⊥O 2O 3 O O O O O O 1223310753
4
====. ∴=
?=O E 13432338
()∴=?+=+AB cm 233834333
3
()AD cm =?
=73421
4
∴四边形ABCD 的面积是：
()21433346336316
2?+=+cm （2）制作一个烟盒至少需要纸张：
()263363163334842148414409614412
+++?+???
??
?=≈....cm
【例9】. 在直径为20cm 的圆中，有一弦长为16cm ，求它所对的弓形的高。 解：一小于直径的弦所对的弓形有两个：劣弧弓形与优弧弓形。
H
A B C
O
如图，HG 为⊙O 的直径，且HG ⊥AB ，AB ＝16cm ，HG ＝20cm ∴===OH cm BC AB cm 101
2
8， ∴=
-=-=OC OB BC cm 22221086
∴=-=-=CH OH OC cm 1064 CG OC OG cm =+=+=61016 故所求弓形的高为4cm 或16cm
【例10】.，，点有两条弦，过的直径⊙cm 3AD cm 2=AC A 2cm AB O ==
求：∠CAD 所夹圆内部分的面积。
解：符合题设条件的图形有两种情况： （1）圆心O 在∠CAD 的内部，如图（1），连结OC 、OD ，过O 作OE ⊥AD 于点E
OA OC AC ===12，
∴OC ⊥AB
∴=+=??+?=+S S S AOC BOC 11211901360124
?扇形ππ
OA AE AD ==
=11232
， ∴=-?? ??
?==OE OE OA 13212122
2
，即
∴=+=
??+??=+S S S AOD BOD 212123601360346
?扇形ππ ∴=+=
+++=++?? ??
?S S S cm 122
124346234512πππ （2）圆心O 在∠DAC 的外部时，如图（2），有：
S S S cm =-=+-
-=-+?? ??
?122
12434623412πππ ∴++??
???-+?? ???∠所夹圆的内部的面积为：或CAD cm cm 234512234
1222
ππ
【例11】. 已知圆中，、为两条弦，的度数为，的度数为O AB CD AC BD o
o ??13090,
M N AB CD MON 、分别为、的中点，求的度数。∠
分析：由已知条件可知AB 、CD 弦的位置不确定，所以要分多种情况讨论，可分为四种情况。 解：（1）当AB 、CD 不相交时，且AB 、CD 在圆心的两侧，如图（1）连结OD 、OB 。 ∵M 、N 分别是弦AB 、CD 的中点，OD 、OB 过圆心O
∴??
OM ON AB CD 、的延长线平分、
∴∠?∠=?BOM m AB DON m CD 1212
， ∴∠+∠?+?BOM DON m AB CD 12
() AC BD ???
?的度数为，的度数为13090 ∴?+?
?-?-?=?CD AB 的度数为36013090140
∴∠+∠=?BOM DON 70
∠?
=?BOD m BD 90
∴∠=?+?=?MON 9070160
图（1）
（2）当AB 、CD 不相交，且在圆心O 的同侧时，如图（2），连结OB 、OC
同理可证，，∠?∠?BOM m AB CON m CD 1212
而∠=∠-∠-∠?-?-?MON BOM CON BOC m AD CD BC 1212 =?+?+?-?
-?12
()AD DC BC DC BC
=?-?=?-?=?121
2
1309020()()AC BD
图（2）
（3）当AB 、CD 相交于点P ，且圆心O 在∠DPA 的内部时，如图（3），∠DPA 是圆内角，
则∠?+?=?-?-?=?DPA m AD BC AC BD 1212
36070()()
∠=∠=?∴∠=?-?=?OMP ONP MON 9018070110
图（3）
（4）当AB 、CD 相交于点P ，且圆心O 在∠DPA 的外部时，如图（4）
∠?+?=?-?=?∠=?DPA m AD BC AC BD ONP 1212
2090()()，又 ∴∠=∠=?-?=?∴∠=?NQP MQO MON 90207020， 综上所述，的度数为或或。∠???MON 20110160
图（4）
【例12】.已知：如图，圆心A （0，-3），圆A 与x 轴相切，圆B 的圆心B 在x 正半轴上，且圆B 与圆A 外切于点P 。两圆内公切线MP 交y 轴于点M ，交x 轴于点N ：（1）求证△AOB ∽△NPB ；（2）设圆A 半径为r 1，圆B 半径为r 2，若r 1：r 2＝3：2，求点M 、N 的坐标及公切线MP 的函数解析式；（3）设点B （x 1，0），点B 关于y 轴的对称点B’（x 2，0），若x 1·x 2＝-6，求过B’、A 、B 三点的抛物线解析式；（4）若圆A 的位置大小不变，圆心B 在x 正半轴上移动，并始终有圆B 与圆A 外切，过点M 作圆B 的切线MC ，C 为切点，MC ＝33时，B 点在x 轴的什么位置？从你的解答中能获得什么猜想？
解：（1） AO x MP AB ABO NBP ⊥⊥∠=∠轴，，， ∴~??AOB NPB
（），，2033 A OA AP ()-∴==
又 r r AP PB 1232
:::== ∴===-=PB AB BO 2553422，，
AB NB BO
BP
=
∴=?=?=NB AB BP BO 5245
2
∴=-=ON 4523
2
∴点的坐标为（，）N 3
2
由Rt APM Rt AOB ???
∴==∴AM AB M 502，点的坐标为（，） 设直线MP 的解析式为y ＝kx ＋b ，
则有，，解得，，
2003
2432=?+=+?????=-=?????k b k b k b ∴=-
+MP y x 的函数解析式为4
3
2 （3）设抛物线为y ＝ax 2
＋bx ＋c （a ≠0）
令y ＝0，则有ax 2
＋bx ＋c ＝0 ∵B 与B’关于y 轴对称， ∴x 1＋x 2＝0，即b ＝0， 又点A （0，-3），∴C=-3 x x c a a
123
6?==--=- ∴=
a 12
∴=-抛物线的解析式为y x 12
32
（4）∵MC ＝MP
∴可证△APM ≌△AOB
∴===MC MP BO 33 ∴点的坐标为（，）B 330
猜想：圆心B 在x 轴的正半轴上任一位置时，都有切线MP 的长等于点B 的横坐标或四边形MOBC 是长方形。
【模拟试题】 一. 选择题：（本题共24分，每小题4分，每道题只有一个正确答案） 1. 已知AB 是⊙O 的直径，半径EO ⊥AB 于O ，弦CD ⊥EO 于F 点，若∠CDB ＝120°，则CD ⌒
的度数为（ ）
A. 10°
B. 15°
C. 30°
D. 60°
2. 如图，已知⊙O 中，M 是弦CD 的中点，N 为弦AB 的中点，并且AC BD ⌒、⌒
的度数为130°、
90°，则∠MON 的度数为（ ）
A. 70°
B. 90°
C. 130°
D. 160°
C M
D B O N
A
3. 已知△ABC 中，a 、b 、c 是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若r 是内切圆半径，则△ABC 的面积可以表示为（ ） A.
()1
4
a b c r ++
B.
()1
2
a b c r ++ C. ()a b c r ++
D. ()2a b c r ++
4. 已知两圆的半径分别为R 、r ，且圆心距为d ，若R d r Rd 2
2
2
2+-=，则这两圆的位置关系为（ ） A. 外离或外切 B. 相交或内切 C. 外切或内切
D. 内切或内含
5. 已知正多边形的边长为a 与外接圆半径R 之间满足12<
R ，则这个多边形是（ ） A. 正三边形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形 6. 已知正方形ABCD 边长为5，剪去四个角后成正八边形，则正八边形的边长为（ ） A. 5 2 2 B. 5 2 2 C. ( ) 52 21- D. ( ) 5 21- 二. 填空题：（本题共16分，每小题4分） 7. 已知△ABC ，∠C ＝90°，∠B ＝28°，以C 为圆心，以CA 为半径的圆交AB 于D ，则AD ⌒ 的度数为_____________。 8. 已知△ABC 内接于⊙O ，F 、E 是AB ⌒ 的三分之一点，若∠AFE ＝130°，则∠C ＝ ____________度。 9. 已知PA 切⊙O 于A ，∠APO ＝30°，若PA =123，OP 交于⊙O 于C ，则PC ＝____________。 10. 两圆半径之比为2：1，大圆内接正六边形与小圆外切正六边形的面积比为_______。 三. 求解下列各题：（本题共18分，每小题6分） 11. 已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，若弦CD 把⊙O 分为2：1的两部分，且CD =43，求⊙O 的直径及AE 长。 12. 已知等边△ABC 内接于⊙O ，E 是BC ⌒ 上一点，AE 交BC 于D ，若BD ：DC ＝2：1，且AB ＝6，求DE 长。 13. 如图所示，AB 是⊙O 的弦，EF 切⊙O 于B ，AC ⊥EF 于C 。 求证：AB AC AO 2 2=· 四. 解答题：（本题共24分，每小题8分） 14. 如图所示，AB 切⊙O 于B ，AE 过O 点交⊙O 于E 、C ，过C 作⊙O 切线交AB 于D ，若 AD BD =2。 求证：AE AB = 3 15. 如图所示，△ABC 中，∠A ＝90°，O 是BC 上一点，以O 为圆心的圆切AB 、AC 于D 、E ，若AB ＝3，AC ＝4，求阴影部分的面积。 16. 如图所示，⊙O 与⊙O'交于A 、B ，过A 点任意作两圆的割线CAD ，若连结CB 、DB ，问 因割线CAD 的位置不确定，∠CBD 的大小是否改变？ 五. 解答题：（本题共18分，每小题9分） 17. 如图所示，PA 切⊙O 于A ，PO 交⊙O 于B 、C ，若AC CE ⌒⌒ ，AE 交BC 于D ，且∠BEA ＝30°，DB ＝1，求AP 及PB 长。 18. 已知一块直径为30cm 的圆形铁板，已经截去直径分别为20cm ，10cm 的圆形铁板各一块。现在剩余的铁板中再截出两块同样大小的圆形，问这两个圆形的最大半径是多少？ [参考答案] 一. 选择题。 1. D 2. D 3. B 提示：设△ABC 的内切圆的圆心为O 连结OA 、OB 、OC ，则△ABC 可分割成三个三角形：△ABO ，△BCO ，△ACO 则S S S S ABC ABO BCO ACO ????=++ ()= ?+?+?=++121212 1 2 a r b r c r a b c r 应选B 4. C 提示：依题意，有：R Rd d r 222 20-+-= ()R d r --=2 2 ()()R d r R d r -+--=0 所以，R d r -+=0或R d r --=0 即R r d +=，或R r d -= 两圆内切或外切 5. C 提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有R a R <<2 因为a R 6=，a R 42= ，所以a a a 64<< 则a a a 654<<，是正五边形，应选C 。 6. D 提示：如图所示，所截的四个角是全等的等腰三角形，且GE ＝EF ＝FH A E F D G H B C 设EF ＝x ，则根据勾股定理，AE DF x ==22 则有AD AE EF FD =++ 即x x +=22 2 5· () x = +=-521 521 应选D 二. 填空题。 7. 56° 8. 75°或105° 提示：如图所示： ∵∠AFE ＝130°，∴ABE ⌒ 的度数为260° 则AE ⌒ 的度数为360260100o o o -= ∵F 、E 是AFB ⌒ 的三分之一点 ∴==∴===AF FE EB AF FE EB o ⌒⌒⌒⌒⌒⌒ 50 ∴=∠⌒ C m AFB o 150或∠C o =105 9. 12 10. 3：1 如图所示，设大圆与小圆的半径为2r 和r 则大圆内接正六边形的边长为2r ，小圆外切正六边形的边长为23 3 r 因为这两个正六边形相似，所以面积比等于边长比的平方 即()2233312 2 r r ：：?? ?? ?= 三. 求解下列各题： 11. 解：如图，分两种情况：（1）点E 在OA 上；（2）点E 在OB 上 （1）∵直径AB ⊥弦CD 于E ，CD =43 ∴根据垂径定理，有：CE ED ==23 A 、B 分别为CAD ⌒和CBD ⌒ 的中点 ∵CD 把⊙O 分成2：1两部分 ∴CD ⌒ 的度数为120°，CBD ⌒的度数为240° 一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，⊙O的半径为6cm，经过⊙O上一点C作⊙O的切线交半径OA的延长于点B，作∠ACO的平分线交⊙O于点D，交OA于点F，延长DA交BC于点E． （1）求证：AC∥OD； （2）如果DE⊥BC，求AC的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2）2π． 【解析】 试题分析：（1）由OC=OD，CD平分∠ACO，易证得∠ACD=∠ODC，即可证得AC∥OD；（2）BC切⊙O于点C，DE⊥BC，易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得△AOC是等边三角形，则可得：∠AOC=60°，继而求得弧AC的长度． 试题解析：（1）证明：∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC．∵CD平分∠ACO， ∴∠OCD=∠ACD，∴∠ACD=∠ODC，∴AC∥OD； （2）∵BC切⊙O于点C，∴BC⊥OC．∵DE⊥BC，∴OC∥DE．∵AC∥OD，∴四边形ADOC 是平行四边形．∵OC=OD，∴平行四边形ADOC是菱形，∴OC=AC=OA，∴△AOC是等边三 角形，∴∠AOC=60°，∴弧AC的长度=606 180 π? =2π． 点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 2．不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线． 【答案】画图见解析. 【解析】 【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线. 【详解】解：画图如下： 【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线. 3．已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC． （1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若sin∠ABE= 3 3 ，CD=2，求⊙O的半径． 【答案】（1）直线BE与⊙O相切，证明见解析；（2）⊙O的半径为3 ． 【解析】 分析：（1）连接OE，根据矩形的性质，可证∠BEO=90°，即可得出直线BE与⊙O相切；（2）连接EF，先根据已知条件得出BD的值，再在△BEO中，利用勾股定理推知BE的长，设出⊙O的半径为r，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r的值．详解：（1）直线BE与⊙O相切．理由如下： 连接OE，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC． ∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE． 又∵∠ABE=∠DBC，∴∠ABE=∠OED， ∵矩形ABDC，∠A=90°，∴∠ABE+∠AEB=90°， ∴∠OED+∠AEB=90°，∴∠BEO=90°，∴直线BE与⊙O相切； 如图 8，在Rt ABC中，CAB 90，AC 3 ， AB 4 ，点 P 是边 AB 上任意一点，过点 P 作PQ AB 交BC于点E，截取 PQ AP ，联结 AQ ，线段 AQ 交BC于点D，设 AP x ，DQ y ．【2013徐汇】 （1）求y关于x的函数解析式及定义域；（ 4 分） （2）如图 9，联结CQ，当CDQ和ADB相似时，求x的值；（ 5 分） （3）当以点C为圆心，CQ为半径的⊙C和以点B为圆心，BQ为半径的⊙B相交的另一个交点在边 AB 上时，求 AP 的长．（ 5 分） C Q D E A P B （图 8） C Q D E A （图 9） P B C A B （备用图） 【2013 奉贤】如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C在半径OA上（点C与点O、A不重合），过点 C作 AB的垂线交⊙ O于点 D，联结 OD，过点 B 作 OD的平行线交⊙ O于点 E、交射 线CD于点 F． （1）若 ⌒ ED BE⌒ ，求∠ F 的度数； （2）设CO x, EF y,写出y 与x之间的函数解析式，并写出定义域； （3）设点 C 关于直线 OD 的对称点为 P ，若△ PBE 为等腰三角形，求 OC 的长． 第 25 题 【 2013 长宁】△ ABC 和△ DEF 的顶点 A 与 D 重合，已知∠ B = 90 . ，∠ BAC = 30 . ， BC=6，∠ FDE = 90 ， DF=DE=4. （1）如图①， EF 与边 、 分别交于点 ，且 . 设 DF a ，在射线 上取 AC AB G 、H FG=EH DF 一点 P ，记： DP xa ，联结 CP. 设△ DPC 的面积为 y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写 出定义域； （2）在（ 1）的条件下，求当 x 为何值时 PC // AB ； （ 3）如图②，先将△ DEF 绕点 D 逆时针旋转，使点 E 恰好落在 AC 边上，在保持 DE 边与 AC 边完 全重合的条件下， 使△ DEF 沿着 AC 方向移动 . 当△ DEF 移动到什么位置时， 以线段 AD 、FC 、BC 的长度为边长的三角形是直角三角形. 图① 图② 【 2013 嘉定】已知 AP 是半圆 O 的直径，点 C 是半圆 O 上的一个动点 （不与点 A 、P 重合），联结 AC ，以直线 AC 为对称轴翻折 AO ，将点 O 的对称点记为 O 1 ，射线 AO 1 交半圆 O 于 点 B ，联结 OC . （1）如图 8，求证： AB ∥ OC ； （2）如图 9，当点 B 与点 O 1 重合时，求证： AB CB ； ——圆 ◆知识讲解 一．圆的定义 1、在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 2、圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。 3、确定一个圆需要两个要素：一是位置二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小。 4、连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弦记作“圆弧AB”，或者“弧AB”。大于半圆的弧叫作优弧（用三个字母表示，如ABC）叫优弧；小于半圆的弧（如AB）叫做劣弧。 二、垂直于弦的直径、弧、弦、圆心角 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弦。 2、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等。 在等圆中，弦心距相等的弦相等。 三、圆周角 1、定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。 2、定理：一条弧所以的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3、推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所以的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 四、点和圆的位置关系 1、设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。 则d>r ?点在圆外，d=r ?点在圆上，d 2020年中考数学圆专题复习 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E． (1)求证：∠A=∠ADE； (2)若AD=8，DE=5，求BC的长． 2.已知点A、B在半径为1的⊙O上，直线AC与⊙O相切，OC⊥OB，连接AB交OC于点D． （1）如图①，若∠OCA=60°，求OD的长； （2）如图②，OC与⊙O交于点E，若BE∥OA，求OD的长． 3.如图，AB为⊙O直径，C是⊙O上一点，CO⊥AB于点O，弦CD与AB交于点F．过点D作⊙O的切 线交AB的延长线于点E，过点A作⊙O的切线交ED的延长线于点G． （1）求证：△EFD为等腰三角形； （2）若OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长． 4.如图，已知在△ABC中，⊙O在AB上，AC为⊙O的弦，延长BC至D，使AD为⊙O切线， 且DA=DC. （1）求证：BD为⊙O切线； （2）若AB=9，AD=12，求BD的长及⊙O的半径； （3）若⊙O的半径为6，tan∠BAC=，求CD的长. 5.如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E． (1)试判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若⊙O的半径为2，∠BAC=60°，求线段EF的长． 6.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊥BC于点E． （1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）过点D作DF⊥AB于点F，若BE=3，DF=3，求图中阴影部分的面积． 7.如图，四边形ABCD为矩形，E为BC边中点，连接AE，以AD为直径的⊙O交AE于点F，连接CF． （1）求证：CF与⊙O相切； （2）若AD=2，F为AE的中点，求AB的长． 8.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC 于点E，F是DE的中点，连接CF． (1)求证：CF是⊙O的切线． (2)若∠A=22.5°，求证：AC=DC． 中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析 在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。 在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。 一.考试说明要求 图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。 图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线 解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例： 1、与相似及圆有关的基本图形 中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ） 圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△ △△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△ △OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径． 初中数学圆的专题圆 一、知识点梳理 知识点1：圆的定义： 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的； 圆又是对称图形，是它的对称中心. 知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 . 3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 . 例1 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若 半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S 1，S 2 之间的关系是 （） A．S 1＜S 2 B．S 1 ＞S 2 C．S 1 =S 2 D．不确定 例3 如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分） 的面积为（） 例4 车轮半径为0.3m的自行车沿着一条直路行驶，车轮绕着轴心转动的转速为100转/分，则自行车的行驶速度（） A．3.6π千米/时 B．1.8π千米/时 C．30千米/时 D．15千米/时 例5 如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 知识点4：垂径定理 垂直于弦的直径平分，并且平分； 平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分 . 例1、如图（1）和图（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 中考数学综合专题训练【以圆为基础的几何综合题】精品专题解析 几何综合题一般以圆为基础，涉及相似三角形等有关知识；这类题虽较难，但有梯度，一般题目中由浅入深有1～3个问题，解答这种题一般用分析综合法． 【典型例题精析】 例1．如图，已知⊙O的两条弦AC、BD相交于点Q，OA⊥BD． （1）求证：AB2=AQ·AC： （2）若过点C作⊙O的切线交DB的延长线于点P，求证：PC=PQ． P 分析：要证A B2=AQ·AC，一般都证明△ABQ∽△ACB．∵有一个公共角∠QAB=∠BAC，?∴只需再证明一个角相等即可． 可选定两个圆周角∠ABQ=∠ACB加以证明，以便转化，题目中有垂直于弦的直径，可知AB=AD，AD和AB所对的圆周角相等． （2）欲证PC=PQ， ∵是具有公共端点的两条线段， ∴可证∠PQC=∠PCQ（等角对等边） 将两角转化，一般原地踏步是不可能证明出来的，没有那么轻松愉快的题目给你做，因为数学是思维的体操． ∠BQC=∠AQD=90°-∠1（充分利用直角三角形中互余关系） ∵∠PCA是弦切角，易发现应延长AO与⊙交于E，再连结EC，?利用弦切角定理得∠PCA=∠E，同时也得到直径上的圆周角∠ACE=90°， ∴∠PCA=∠E=90°-∠1． 做几何证明题大家要有信心，拓展思维，不断转化，寻根问底，不断探索，?充分发挥题目中条件的总体作用，总能得到你想要的结论，同时也要做好一部分典型题，?这样有利于做题时发生迁移，联想． 例2．如图，⊙O1与⊙O2外切于点C，连心线O1O2所在的直线分别交⊙O1，⊙O2于A、E，?过点A作⊙O2的切线AD交⊙O1于B，切点为D，过点E作⊙O2的切线与AD交于F，连结BC、CD、?DE． （1）如果AD：AC=2：1，求AC：CE的值； （2）在（1）的条件下，求sinA和tan∠DCE的值； （3）当AC：CE为何值时，△DEF为正三角形？ 42.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P （1）若AE=CF， ①求证：AF=BE，并求∠APB的度数； ②若AE=2，试求AP?AF的值； （2）若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径的长． 43.合作学习 如图，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=3，另两边与反比例函数 的图象分别相交于点E，F，且DE=2，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作FG⊥EH 于点G。回答下列问题： ①该反比例函数的解析式是什么？ ②当四边形AEGF为正方形时，点F的坐标是多少？ （1）阅读合作学习内容，请解答其中的问题； （2）小亮进一步研究四边形AEGF的特征后提出问题：“当AE>EG时，矩形AEGF与矩形DOHE能否全等？能否相似？” 针对小亮提出的问题，请你判断这两个矩形能否全等？直接写出结论即可；这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由． 44.九（3）班为了组队参加学校举行的“五水共治”知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分成人数相同的甲乙两组，进行了四次“五水共治”模拟竞赛，成绩优秀的人数和优秀率分别绘 制成如下统计图． 根据统计图，解答下列问题： （1）第三次成绩的优秀率是多少？并将条形统计图补充完整； （2）已求得甲组成绩优秀人数的平均数，方差，请通过计算说明，哪一组成绩优秀的人数较稳定？ 45.一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接．（1）若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？ （2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？ 46.在棋盘中建立如图所示的直角坐标系，三颗棋子A，O，B的位置如图，它们的坐标分别是（-1，1），（0，0）和（1，0）． （1）如图2，添加棋子C，使A，O，B，C四颗棋子成为一个轴对称图形，请在图中画出该图形的对称轴； （2）在其它格点位置添加一颗棋子P，使A，O，B，P成为一个轴对称图形，请直接写出棋子P的位置的坐标（写出2个即可）． 47.如图，在平面直角坐标系中，A是抛物线上的一个动点，且点A在第一象限内．AE⊥轴于点E，点B坐标为（0，2），直线AB交轴于点C，点D与点C关于轴对称，直线DE与AB相交于点F，连结BD．设线段AE的长为，△BED的面积为 ． 2018-2019学年初三数学专题复习圆 一、单选题 1.下列说法，正确的是( ) A. 半径相等的两个圆大小相等 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 直径不一定是圆中最长的弦 D. 圆上两点之间的部分叫做弦 2.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（） A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 3.已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，当OP＝6时，点A与⊙O的位置关系是( ) A. 点A在⊙O内 B. 点A在⊙O上 C. 点A在⊙O外 D. 不能确定 4.如果两圆半径分别为5和8，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 两个圆的半径分别为2和3，当圆心距d=5时，这两个圆的位置关系是（） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 6.一个扇形的半径为2，扇形的圆心角为48°，则它的面积为（）。 A. B. C. D. 7.钝角三角形的外心在（） A. 三角形的内部 B. 三角形的外部 C. 三角形的钝角所对的边上 D. 以上都有可能 8.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（） A. 5πcm B. 6πcm C. 8πcm D. 9πcm 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于( ) A. 6π B. 9π C. 12π D. 15π 10.直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 11.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD=OB，则∠DAC等于（） 初三中考数学综合题(一) A 卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．下列各数中是负数的是（ ） A ．－(－3) B ．－(－3)2 C ．－(－2)3 D ．|－2| 2．下列计算正确的是（ ） A ．3a = B ．632a a a ÷= C ．()1 22a a -=- D ．() 3 2628a a -=- 3．6月5日是世界环境日，“海洋存亡，匹夫有责”，目前全球海洋总面积约为36105.9万．平方千米,用科学记数法(保留三个有效数字)表示为（ ） A ．6 1061.3?平方千米 B ．7 1061.3?平方千米 C ．81061.3?平方千米 D ．91061.3?平方千米 4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）． 5．已知下列四个命题：（1）．对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（2）．相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形；（3）．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 4）．对角线垂直相等的四边形是菱形。其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6．已知112233 (2)(1)(2)P y P y P y --，，，，，是反比例函数2y x =的图象上的三点，则123y y y ，，的大小关系是（ ） Ａ．321y y y << 123y y y << Ｃ．213y y y << Ｄ． 以上都不对 7．如右图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两 条平行线a b 、上，已知155∠=°，则2∠的度数为（ ） A ．45° B ．125° C ．55° D ．35° 8．已知点P （x ，y ）在函数x x y -+= 2 1 的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限 9．“只要人人都献出一点爱，世界将变成美好的人间”．在今年的慈善一日捐活动中，成都市某中学九年级三班50名学生自发组织献爱心捐款活动．班长将捐款情况进行了统计，并绘制成了统计图．根据右图提供的信息，捐款金额．． 的众数和中位数分别是（ ） A ．20、20 B ．30、20 C ．3010．如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限， ⊙A 与x 轴相切于B ，与y 轴交于C （0，1）， D （0，4）两点，则点A 的坐标是 （ ） A ．35 (,)22 B ．3(,2)2 A B C D 主 视 图左视图俯 视图(第4题) 《圆》 一、圆的概念 概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内?d r ?点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离?d r >?无交点； 2、直线与圆相切?d r =?有一个交点； 3、直线与圆相交?d r +； 外切（图2）?有一个交点?d R r =+； 相交（图3）?有两个交点?R r d R r -<<+； 内切（图4）?有一个交点?d R r =-； 内含（图5）?无交点?d R r <-； A r R d 图3 r R d 五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD 例题1、 基本概念 1．下面四个命题中正确的一个是（ ） A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B ．过弦的中点的直线必过圆心 C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D ．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理 1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大 深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm. r R d 图4 r R d 图5 r R d O E D C A O C D A B 中考数学专题训练函数综合题专题 1. 如图，一次函数y kx b y 4 与反比例函数x 的图像交于 A 、B 两点，其中y 点A的横坐标为1，又一次函数y （1）求一次函数的解析式； （2）求点 B 的坐标. kx b 的图像与x 轴交于点C3,0 . A C O x B 2. 已知一次函数y=（1-2x）m+x+3 图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。（1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 4.5 ，求这个一次函数的解析式。 y 2 1 -1 O -1 1 2 x 图 2 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点 A 的坐标为（2，2），点B、C 在x 轴上，BC=8，AB=AC ，直线 y 1 / 22 D A ° AC 与 y 轴相交于点 D ． （ 1）求点 C 、D 的坐标； （ 2）求图象经过 B 、D 、 A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4. 如图四， 已知二次函数 y ax 2 2ax 3 的图像与 x 轴交于点 A ，点 B ，与 y 轴交于点 C ，其顶点为 D ，直线 DC 的函数关系式为 y kx b ，又 tan OBC 1． y （ 1）求二次函数的解析式和直线 DC 的函数关系式； D （ 2）求 △ ABC 的面积． C （ 图 四 ） A O B x 5. 已知在直角坐标系中，点 A 的坐标是（ -3， 1），将线段 OA 绕着点 O 顺时针旋转 90 得到 OB. y 2 / 22 A x (1)求点B 的坐标；(2) 求过A、B、O 三点的抛物线的解析式；(3)设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为C，求△ABC 的面积。 y 6．如图，双曲线0）、与y 轴交于点5 x 在第一象限的一支上有一点 B. C（1，5），过点C 的直线y kx b( k 0) 与x 轴交于点A（a， (1) 求点A 的横坐标 a 与k 之间的函数关系式； (2) 当该直线与双曲线在第一象限的另一交点 D 的横坐标是9 时，求△COD 的面积. y B C D O A x 第 6 题 3 / 22 中考数学综合习题（六） 一、 填空题 1、计算：(2)--= ;15- = ;1 3()2 -= . 2、计算：(52)(52)+-= . 3、计算：2sin60°= . 4、将3 2 x xy -分解因式的结果为 . 5、一个圆锥形容器的底面半径为12cm ，母线长为15cm ，那么这个圆锥形容器的高为 cm. 6、如图，将边长为8cm 的正方形ABCD 沿直线l 向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动三次后，正方形ABCD 的中心经过的路线长是 cm. 选择题（7~12题为单项选择题；13~15题为多项选择题） 7、下列计算正确的是（ ） A 、3 2 5 2a a a += B 、32 6 (2)4a a -= C 、2 2 2 ()a b a b +=+ D 、623 a a a ÷= 8、下列各图中，∠1大 于∠2的 是（ ） 9、下列运算中，错误．． 的是（ ） A 、 (0)a ac c b bc =≠ B 、1a b a b --=-+ C 、0.55100.20.323a b a b a b a b ++= -- D 、x y y x x y y x --=++ 10、将不等式841 13822 x x x x +<-?? ?≤-??的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ） 11、在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不一样的是（ ） 12、已知某种品牌电脑的显示器的大约为4 210?小时，这种显示 寿命 器工作的天数为d （天），平均每天工作的时间为t （小时），那么能正确表示d 与t 之间的函数关系的图象是（ ） 13、下列说法正确的是（ ） A 、9的算术平方根是3 B 、设a 是实数，则a a -的值可能是正数，也可能是负数 C 、点(2,3)P -关于原点的对称点的坐标是(2,3)-- D 、抛物线2 6y x x =--的顶点在第四象限 14、如图，反映的是某中学七（3）班学生外出乘车、步行、骑车的人数直方图（部分）和扇形分布图，则下列说法正确的是（ ） A 、七（3）班外出步行的有8人 B 、七（3）班外出的共有40人 C 、在扇形统计图中，步行人数所占的圆心角度数为82° D 、若该校七年级外出的学生共有500人，那么估计全年级外出骑车的约有150人 15、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，E 为AB 上一点，且ED 平分∠ADC ，EC 平分∠BCD ，则下列结论中正确的有（ ） A 、∠ADE=∠CDE B 、DE ⊥E C C 、AD·BC=BE·DE D 、 CD=AD+BC 三、解答下列各题 A B C D E F 12 20 乘车50% 步行 20% 骑车30% 乘车 步行 骑车 初中数学“圆”专题复习（初三必备） 一、知识点梳理 知识点1：圆的定义： 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的； 圆又是对称图形，是它的对称中心. 知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念 1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角，都等于它所对的圆心角的 . 3. 直径所对的圆周角是，90°所对的弦是 . 例1 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S 1 ， S 2 之间的关系是（） A．S 1＜S 2 B．S 1 ＞S 2 C．S 1 =S 2 D．不确定 例3 如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为（） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 知识点4：垂径定理 垂直于弦的直径平分，并且平分； 平分弦(不是直径)的垂直于弦，并且平分 . 例1、如图（1）和图（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD?相交于MN?上的一点P，?∠APM=∠CPM． （1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例2 在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（） A．6分米 B．8分米 C．10分米 D．12分米 一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C． （1）求抛物线解析式及对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得 解得 ∴抛物线解析式为：y= x2?x?1 ∴抛物线对称轴为直线x=- ＝1 （2）解：存在 使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小 ∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点． 设过点C′、O直线解析式为：y=kx ∴k=- ∴y=- x 则P点坐标为（1，- ） （3）解：当△AOC∽△MNC时， 如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E ∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90° ∴∠CDN=∠CAO 由相似，∠CAO=∠CMN ∴∠CDN=∠CMN ∵MN⊥AC ∴M、D关于AN对称，则N为DM中点 设点N坐标为（a，- a-1） 由△EDN∽△OAC ∴ED=2a ∴点D坐标为（0，- a?1） ∵N为DM中点 ∴点M坐标为（2a，a?1） 把M代入y= x2?x?1，解得 a=4 则N点坐标为（4，-3） 当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM ∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N 复习题（一） 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分. 在每题所给出的四个选项中，只有 一项是符合题意的. 请把所选项前的字母代号填在题后的括号内.） 1、计算2 )3(-，结果正确的是（ ） A 、－9 B 、9 C 、－6 D 、6 2、若a 为任意实数，则下列等式中恒成立的是 ( ). A 、2 a a a =+ B 、a a a 2=? C 、1=÷a a D 、0=-a a 3、如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的俯视图应是如图所示的（ ） 4、下列结论中正确的是（ ） A 、无限小数都是无理数 B 、 3 3 是分数 C 、(－4)2的平方根是±4 D 、a a 221 -=- 5、已知反比例函数y ＝x a 2 -的图象在第二、四象限，则a 的取值范围是（ ） A 、a ≤2 B 、a ≥2 C 、a ＜2 D 、a ＞2 6、正方形网格中，AOB ∠如图放置，则cos AOB ∠的值为（ ） A 、5 B C 、1 2 D 、2 7、如图，奥运会五环旗是由五个圆组成的图形，此图中存在的圆和圆的位置关系有（ ） A 、相交与内含 B 、只有相交 C 、外切与外离 D 、相交与外离 8、如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位 置，若B A AC ''⊥，则BAC ∠是（ ） A 、50° B 、60° C 、70° D 、80° 9、如图，扇形OAB 是圆锥的侧面展开图，若小正方形方格的边长均为1，则这个圆锥的底面半径为（ ） A 、 2 1 B 、22 C 、2 D 、22 10、固体物质的溶解度是指在一定的温度下,某物质在100克溶剂里达到饱和状态时所溶解 的克数.如图所示，观察硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度，下列叙述不正确．．．的是（ ） A 、硝酸钾的溶解度比氯化铵的溶解度大 B 、约25℃时二者的溶解度相等 C 、温度为10℃时氯化铵的溶解度大 D 、温度为40℃时，硝酸钾的溶解度大 、选择题： 1. 如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 3. 已知圆内接正三角形的边心距为 1，则这个三角形的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4. 如图，点 A ， B ， C ，在⊙ O 上，∠ ABO=32°，∠ ACO=38°，则∠ BOC 等于 ( 6.如图, ⊙O 是△ ABC 的外接圆 ,弦AC 的长为 3,sinB=0.75, 则⊙ O 的半径为( ) 圆 50 题 垂直，在测直径时，把 A ． O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8个单位， 12 个单位 B ． 10 个单位 C CD 是⊙ O 的两条弦，连结 AD 、BC ．若∠ BCD=70°， OF=6个单位，则圆的直径为 ( 1 个单位 D ． 15 个单位 则∠ BAD 的度数为( 2. 如图， AB 、 A ． 40° B ．50° C ． 60° D ． 70° B ．70° C ．120° D ． 140° 5. 如图 , 点 A,B,C 在⊙ O 上, ∠A=36° , ∠ C=28° , 则∠ B=( A.100 B.72 C.64 D.36 OA 、 OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持 AD 切⊙ O 于点 A ，点 C 是弧 BE 的中点，则下列结论不成立的是( B ． EC=B C C ．∠ DAE=∠ABE D ．AC ⊥OE 10. 如图 , △ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4, 以点 C 为圆心的圆与 AB 相切 ,则⊙ C 半径为( 11. 数学课上，老师让学生尺规作图画 Rt △ABC ，使其斜边 AB=c ，一条直角边 BC=a ，小明的作法如图所 示， 你认为这种作法中判断∠ ACB 是直角的依据是( ) A.4 B.3 C.2 D. OB=6cm,高 OC=8cm 则. 这个圆锥的侧面 积是 7. 如图，圆锥的底面半径 22 A.30cm 2 B.30 π cm 2 C.60 2 π cm D.120cm 9. 如图,AB 是⊙ O 的直径 ,C 、D 是⊙ O 上两点 , 分别连接 AC 、BC 、CD 、OD ．∠ DOB=140° A.20° B.30 C.40 D.70 ，则∠ ACD (= B.2.5 C.2.4 D.2.3中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类含答案
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