当前位置：文档之家› 数学放缩技法

数学放缩技法

浅谈“放缩法”证明不等式的常规方法

芜湖十二中杨德根

一. “添舍”放缩

例1已知*21().n n a n N =-∈求证：

*12

231

1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111

.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232

k k k k k k

k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-

1222311111111

...(...)(1),2322223223n n n n a a a n n n a a a +∴

+++≥-+++=-->- *122311...().232

n n a a a n n

n N a a a +∴

-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的

值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k

-，从而是使和式得到化简。

例2 已知a 、b 、c 不全为零，求证：

a a

b b b b

c c c ac a a b c 22222232

++++++++++＞（）

证明：因为a ab b a b b a b a b a b 22222

2342

22++=

+++=++（）＞（）≥

同理b bc c b c 222

+++

＞，c ac a c a

222+++＞

所以a ab b b bc c c ac a a b c 22222232

++++++++++＞

（）

二. 分式放缩

一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12

＜

＋＋＜a b c b a c c a b

+++。

证明：由于a 、b 、c 为正数，所以

a b c a a b c +++＞，b a c b a b c +++＞，c a b c a b c

+++＞，

所以a b c b

a c c a b

a a

c b a b c c a b c +++＋＋＞＋＋＋＋＋＋＋＋＝1，又a ，b ，c 为三

角形的边，故b +c ＞a ，则

a b c

+为真分数，

则a b c a a b c +++＜2，同理b a c b a b c +++＜2，c a b c a b c

+++＜2，

故

a b c b a c c a b

a a

c b a b c c a b c +++++++++=＋＋＜＋＋2222. 综合得12＜

＋＋＜a b c b a c c a b

+++。

三. 裂项放缩（先放缩后裂项或先裂项再放缩）

若欲证不等式含有与自然数n 有关的n 项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。例4已知n ∈N*，求n 2n

11＜…+

。

证明：因为

1221

21n

n n

n n n n =

++-=--＜

（），则112

…＜（）（）…（）＜+

+-+-++--=-1

122123221212n

n n n n 所以原不等式成立。

例5 已知*

N n ∈且)1n (n 3221a n +++?+?= ，求证：2

)1(2)1(2

<+n a n n n 对所有正整数n 都成立。证明：因为n n n n =>

+2)1(，所以2

)1n (n n 21a n +=

+++> ，又2

)

1()1(+<

+n n n n ，所以2

)1n (21n 225232)1n (n 232221a 2

n +=++++=++++++< ，综合知结论成立。

四. 公式放缩（利用基本不等式、二项式定理放缩）

利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。

例6已知函数1

212)(+-=x x x f ，证明：对于*

N n ∈且3≥n 都有1)(+>n n n f 。

证明：由题意知

)12)(1()

12(212211)111()1

221(112121)(+++-=

+-+=+--+-=+-+-=+-n n n n n n n n n n n n n n n f

又因为*N n ∈且3≥n ，所以只须证122+>n n ，又因为，

1n 21n 2

)

1n (n n 1C C C C C )11(2n

n 1

n n

n 1

n 0

n n n +>+++-+

+=+++++=+=- 所以1

)(+>

n n

n f 。例7 已知2x 1)x (f +=，求证：当a b ≠时f a f b a b （）（）-<-。

证明：f a f b a b a b a b a b a b a b （）（）-=+-+=

-+++

+-+++

11111122222

b a b

a b

a )

b a (b

a b a b a -=+-+<

+-+<

证毕。

五.逐项放缩或部分放缩

例8设)1(433221+++?+?+?=n n a n 求证：2

)1(2)1(2

+<<+n a n n n 证明：因为n n n n =>+2

)1(2

12)21()1(2+=+<+n n n n

所以2

2)1(+<+

所以2)

12(31321++++<<++++n a n n ，所以2

)1(2)1(2+<<+n a n n n

本题利用21

n n +<，对n a 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，

达到化简的目的。例9求证：

2222111171234

n ++++< 证明：21111(1)1n n n n n

<=---

2222211111111151171()().1232231424

n n n n ∴

++++<++-++-=+-<- 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据

具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。六. 单调函数放缩

根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。

例10已知a ，b ∈R ，求证

1b a

1a b

a 1

b a ++

+≤

+++。

证明：构造函数)0x (x

)x (f ≥+=

，首先判断其单调性，设21x x 0<≤，因为0)

x 1)(x 1(x x x 1x x 1x )x (f )x (f 212

1221121<++-=+-+=

-，所以()()21x f x f <，所以)x (f 在],0[+∞上是增函数，取b a x 1+=，b a x 2+=，显然满足21x x 0≤≤，所以|)b ||a (|f )b a (f +≤+，

即

b |1|

b ||a |1|a ||b ||a |1|b ||b ||a |1|a ||b ||a |1|b ||a ||b a |1|b a |+++≤+++++=+++≤+++。证毕。

以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。希望大家能够进一步的了解放缩法的作用，掌握基本的放缩方法和放缩调整手段.

高中数列放缩法技巧大全

高中数列放缩法技巧大全证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+

高中数学放缩法技巧全总结材料

2010高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n

各种数学归纳法

1.5 归纳法原理与反归纳法数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n =1正确；若假设此命题对n －1正确，就能推出命题对n 也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n =1正确，因而命题对n =2也正确，然后命题对n =3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明．定理1.19 如果某个命题Ｔ，它的叙述含有自然数，如果命题Ｔ对n =1是正确的，而且假定如果命题Ｔ对n 的正确性就能推出命题Ｔ对n +1也正确，则命题Ｔ对一切自然数都成立．（第一数学归纳法）证明设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ正确的自然数集合，则 (1) M ∈1．设M n ∈，则命题Ｔ对n 正确，这时命题对n n '=+1也正确，即 (2) M n ∈' 所以由归纳公理Ｄ，Ｍ含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立．下面我们给出一个应用数学归纳法的命题．例１求证 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 证明 (1)当n =1时，有 16 ) 112()11(112 =+?++?= 所以n =1，公式正确． (2)假设当k =n 时，公式正确，即 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 那么当k =n ＋１时，有 =+++++=+++++2 2222222)1()21()1(21n n n n =++++2 ) 1(6 ) 12)(1(n n n n =++++6 ) 1(6)12)(1(2 n n n n =++++6 )] 1(6)12()[1(n n n n =+++6 ) 672)(1(2 n n n =+++6) 32)(2)(1(n n n =+++++6 ) 1)1(2)(1)1)((1(n n n 所以公式对n +1也正确．

高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题

用放缩法处理数列和不等问题（教师版）一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理）例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1

常用放缩方法技巧

常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如： a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+n n n n (5)利用常用结论： Ⅰ. 的放缩 Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1) k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ. 2 1k 的放缩(3)：221 4112()412121k k k k <=+--+（程度更小） Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b m a m b a b 和)0,0(>>>++

第一轮复习放缩法技巧全总结

放缩法在数列不等式中的应用数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。 1. 直接放缩，消项求解例1在数列{}{},n n a b 中,112,4a b ==,且1,,n n n a b a +成等差数列,11,,n n n b a b ++成等比数列. *N n ∈, （Ⅰ）求234,,a a a 及234,,b b b ,由此猜测{}{},n n a b 的通项公式,并证明你的结论; （Ⅱ）证明:1122111512 n n a b a b a b +++<+++L . 分析：（Ⅰ）数学归纳法。（Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。（Ⅰ）略解2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．（Ⅱ）11115612 a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ??+++<++++ ?+++??+?? …… 111111116223341n n ??=+-+-++- ?+?? … 111111562216412n ??= +-<+= ?+??，综上，原不等式成立．点评：数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。再用裂项的方法求解。另外，熟悉一些常用的放缩方法，如： ),,2,1(1 1121n k n k n n Λ=+≤+≤,n n n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+- 例2设数列{}n a 满足*,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+其中c 为实数

高中数学放缩法公式

“放缩法”证明不等式的基本策略 1、添加或舍弃一些正项（或负项）例1、已知* 21().n n a n N =-∈求证： *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232 k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例2、函数f （x ）= x x 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n + )(2 1 21*1 N n n ∈-+. 证明：由f (n )= n n 414+=1- 11 11422n n >-+? 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n 2211221122112 1 ?- ++?- +?-Λ )(21 2 1)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ. 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、逐项放大或缩小

用放缩法证明不等式的方法与技巧答案

用放缩法证明不等式的方法与技巧一.常用公式 k(k +1) k(k -1) 2. _____________ w ___ ￡ ________ ____ k 2 2 >k (k > 4) k 4. 1 x 2x 3x”…X k >2 (k > 2) 丄凸丄 k ! 2 ( k _1)! b （待学）二?放缩技巧 (1) 所谓放缩的技巧：即欲证 A < B ，欲寻找一个（或多个）中间变量 C ，使A < C < B , 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧若 t 〉0, a+t >"a,a — t ■7^^ = n 1 1 1 —— --- = -------- n n +1 n(n +1) (4) 2( J n +1 - >/n)= 1 1 11,^

----- ,一 < ---- b b+m b b 1 “1 + 1 . . 1 n! 2 22 2n 」 1 1 1 1 + …c 1 +(1 —一) +(— 一一) n 2 2 3 + 1 3! 1 (7) (8) =2(V n - J n -1) J 2! 1 + — + — 22 32 1 1 1 --)(因为—< -------------- ) n n (n-1) n 丄+丄+丄1 n +1 n +2 n +3 或丄十丄十丄 n +1 n +2 n +3 1 +丄+丄+…+丄 …亠丄 2n n +1 ，丄」 2n A 丄+丄+… 需T n +丄 n +1 十丄+ 2n 2n ?+丄 T n "丄 n +1 2n —<1 n +1 _ n _ 1 —2n — 2 -n = V n 等等。 v n 三?常见题型（一）.先求和再放缩： 1?设 s, =! + 1+ 丄+■- + 2 6 12 n(n+1) 1 ，求证：Si <1 1 M 2 .设0=— ( n 匸N ),数列｛b n b n^｝的前n 项和为T n ,求证: n