“放缩法”证明不等式的基本策略
1、添加或舍弃一些正项（或负项）
例1、已知*
21().n n a n N =-∈求证：
*12
231
1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111
.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232k k k k k k k
k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q
1222311111111
...(...)(1),2322223223
n n n n a a a n n n a a a +∴
+++≥-+++=-->-
*122311...().232
n n a a a n n
n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的
值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k
-，从而是使和式得到化简.
2、先放缩再求和（或先求和再放缩）
例2、函数f （x ）=
x
x 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n +
)(2
1
21*1
N n n ∈-+. 证明：由f (n )=
n
n 414+=1-
11
11422
n n
>-+? 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n
2
2112
2112
2112
1
?-
++?-
+?-Λ
)(21
2
1)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ.
此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
3、逐项放大或缩小
例3、设)1(433221+++?+?+?=n n a n Λ求证：2)1(2)1(2
+<<+n a n n n 证明：∵ n n n n =>+2)1( 2
1
2)21()1(2+=+<+n n n n
∴ 2
1
2)1(+<+ ∴ 2 ) 12(31321++++<<++++n a n n ΛΛ， ∴2)1(2)1(2+<<+n a n n n 本题利用21 2 n n +<<，对n a 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的 数列，达到化简的目的。 4、固定一部分项，放缩另外的项； 例4、求证：2222111171234 n ++++ <=---Q 2222211111111151171()().1232231424 n n n n ∴ ++++<++-++-=+-<-L L 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。 5、函数放缩 例5.求证：)(66 5333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++Λ. 解析:先构造函数有 x x x x x 1 1ln 1ln - ≤? -≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 2 2ln n n n n +++--<++++ΛΛ 因为? ?? ??++++++??? ??++++++??? ??+=+++n n n n 3112121 9181716151413121313 121ΛΛΛ 6533323279189936365111n n n n n =???? ??+?++??? ??++??? ??++>---Λ 所以66 53651333ln 44ln 33ln 2 2ln +-=--<++++n n n n n n Λ 6、裂项放缩 例6 求证:35 1 1 2 < ∑=n k k . 解析:因为? ? ? ??+--=-= - <121121 2144 4 1112 22 n n n n n ,所以353211211215 1 31211 1 2 = + n k Λ 7、均值不等式放缩 例 7.设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证 .2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 解析: 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+= 2121)1(+=++< + 21 (1 1∑∑==+<<∴n k n n k k S k ， 即. 2)1(22)1(2)1(2 +<++<<+n n n n S n n n 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 2 b a a b +≤ ，若放成 1)1(+<+k k k 则得2)1(2)3)(1()1(2 1 +> ++=+<∑=n n n k S n k n ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 n a a n a a a a a a n n n n n n 2 211111 1++≤++≤ ≤++ΛΛΛΛ 其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。 8、二项放缩 n n n n n n C C C +++=+=Λ10)11(2,121 0+=+≥n C C n n n , 22 22210 ++= ++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n
相关主题
文本预览