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数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子

例1：求极限 .1sin ...212sin 1sin lim ?????????

?++++++∞→n n n n n n n πππ [分析]由于是求数列的极限，即∑=∞→+n i n i n n i 11sin lim π，其分子和分母同时都在变化，这时可

以尝试把分母变成不变的，即此题中将分母中含有i 的项略去，同时配合放缩法进行求解。

由于原数列分母随着i 趋向到n ，分母都会小于()1+n ,他的倒数，即()11

+n 小于除了第一项的其他项，所以∑∑==∞→∞→+≤+n i n i n n i n n i n n i 111sin lim 1sin lim π

π。

同理，原数列分母随着i 趋向到n ，分母都会大于()n ，他的倒数，即()n 1

都会大于其他项，所以∑∑==∞→∞→≤+n i n i n n n n i i

n n i 11sin lim 1sin lim π

π 由于是无穷多项进行相加，运算过程可以相当于积分的运算即：令n i x =，11+=n dx (最左边的式子)，n dx 1=(最右边的式子)，得：

?∑?≤+≤=∞→10110)sin(1sin lim )sin(dx x i

n n i dx x n i n ππ

π 即：ππ

π21sin lim 21≤+≤∑=∞→n i n i

n n i 所以原题的极限为：π2. 例2：利用夹逼定理证明().211 (2)

111lim 2+=??? ??+--+-+-∞→k k k n n n n k n n [分析]观察到括号中的表达式：??

? ??+--+-+-k n n n n k 1...2111都是连续减的形式，一般情况是想办法把它变换成加的形式。观察到表达式：??? ??+--+-+-k n n n n k 1 (2)

111中有k 个n 1相加，所以可以分别和后面k 个相减项相结合可以得到：

???? ????? ??+-++??? ??+-+??? ??+-k n n n n n n 11...211111，所以可以得到：()∑=+k

i i n n i 1，同上面例题一样，分子和分母同时都在变动，可以尝试把分母固定不变。所以可得：所以可得：

所以根据夹逼定理可以得到：原式的极限为：()21k

k +

考研数学：夹逼准则的推论

https://www.doczj.com/doc/414580509.html, 考研数学：夹逼准则的推论夹逼准则是高等数学里求极限的重要方法之一，适用于函数与数列极限的计算及反常积分的计算。在考研数学中是要求考生重点掌握的一块内容，其考查方式多样，需要考生掌握关于夹逼准则的重点题型和基本的放缩技巧，同时也要会使用并证明夹逼准则的推论：无穷小量乘以有界量仍为无穷小量，下面重点讲解该推论的证明及应用。一、夹逼准则（函数）：如果（1）当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-?+时， ()()(); g x f x h x ≤≤（2）0lim ()x x g x A →=，0lim ()x x h x A →=，则0 lim ()x x f x →存在，且等于A 。此准则必须对所求极限的函数进行适当放大和缩小，且经放大和缩小得到的函数的极限易求且相等。夹逼准则的关键在于，找两个极限值相同的函数()g x 和()h x ，使得()()()g x f x h x ≤ ≤。二、夹逼准则的推论：无穷小量?有界量=无穷小量即0lim ()0x x f x →=，且当0000(,)(,)x x x x x δδ∈-?+时，存在0M >，使得()g x M ≤，则 0lim ()()0x x f x g x →=。证明：由条件可得 ()()() f x g x M f x ≤即()()()()M f x f x g x M f x -≤≤因为0lim ()0x x f x →=，故0 0lim ()lim ()0x x x x M f x M f x →→-==，由夹逼准则可得0lim ()()0 x x f x g x →=例：求极限201lim sin x x x →分析：由于0x →时，2x 为无穷小量，1sin x 的极限虽然不存在，但1sin 1x ≤，因此为有界量，根据推论可得该极限为0。解：由于20lim 0x x →=，且1sin 1x ≤，所以201lim sin 0x x x →=

数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子精编WORD版

数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子精编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】

数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子例1：求极限 . 1 sin ... 2 1 2 sin 1 sin lim ? ? ? ? ?? ? ? ? ? + + + + + + ∞ → n n n n n n n π π π [分析]由于是求数列的极限，即 ∑ = ∞ →+ n i n i n n i 1 1 sin lim π ，其分子和分母同时都在变化，这时可以尝试把分母变成不变的，即此题中将分母中含有i的项略去，同时配合放缩法进行求解。由于原数列分母随着i趋向到n，分母都会小于()1+n,他的倒数，即() 1 1 + n小于除了第一项的其他项，所以 ∑∑ == ∞ → ∞ →+ ≤ + n i n i n n i n n i n n i 11 1 sin lim 1 sin lim π π 。同理，原数列分母随着i趋向到n，分母都会大于()n，他的倒数，即() n 1 都会大于其他项，所以 ∑∑ == ∞ → ∞ → ≤ + n i n i n n n n i i n n i 11 sin lim 1 sin lim π π 由于是无穷多项进行相加，运算过程可以相当于积分的运算即：

令n i x =，1 1 +=n dx (最左边的式子)，n dx 1=(最右边的式子)，得：?∑?≤+≤=∞→1 01 10)sin(1sin lim )sin(dx x i n n i dx x n i n πππ 即：πππ21sin lim 21 ≤+≤∑=∞→n i n i n n i 所以原题的极限为： π2 . 例2：利用夹逼定理证明().211 (2) 111lim 2 +=??? ??+--+-+-∞→k k k n n n n k n n [分析]观察到括号中的表达式：??? ??+--+-+-k n n n n k 1...2111都是连续减的形式，一般情况是想办法把它变换成加的形式。观察到表达式：??? ??+--+-+-k n n n n k 1 (2) 111中有k 个n 1相加，所以可以分别和后面k 个相减项相结合可以得到： ???? ????? ??+-++??? ??+-+??? ? ?+-k n n n n n n 11 ...211111，所以可以得到：()∑=+k i i n n i 1 ，同上面例题一样，分子和分母同时都在变动，可以尝试把分母固定不变。所以可得：所以可得：所以根据夹逼定理可以得到：原式的极限为： ()2 1k k +

数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子

数学中使用放缩法和夹逼准则来求极限的例子例1：求极限 .1sin ...212sin 1sin lim ????????? ?++++++∞→n n n n n n n πππ [分析]由于是求数列的极限，即∑=∞→+n i n i n n i 11sin lim π ，其分子和分母同时都在变化，这时可以尝试把分母变成不变的，即此题中将分母中含有i 的项略去，同时配合放缩法进行求解。由于原数列分母随着i 趋向到n ，分母都会小于()1+n ,他的倒数，即()11+n 小于除了第一项的其他项，所以 ∑∑==∞→∞→+≤+n i n i n n i n n i n n i 111sin lim 1sin lim π π。同理，原数列分母随着i 趋向到n ，分母都会大于()n ，他的倒数，即() n 1都会大于其他项，所以∑∑==∞→∞→≤+n i n i n n n n i i n n i 11sin lim 1sin lim π π 由于是无穷多项进行相加，运算过程可以相当于积分的运算即：

令n i x =，1 1+=n dx (最左边的式子)，n dx 1=(最右边的式子)，得：?∑?≤+≤=∞→10110)sin(1sin lim )sin(dx x i n n i dx x n i n ππ π 即：ππ π21sin lim 21≤+≤∑=∞→n i n i n n i 所以原题的极限为：π2. 例2：利用夹逼定理证明().211...2111lim 2 +=??? ??+--+-+-∞→k k k n n n n k n n [分析]观察到括号中的表达式：?? ? ??+--+-+-k n n n n k 1...2111都是连续减的形式，一般情况是想办法把它变换成加的形式。观察到表达式： ??? ??+--+-+-k n n n n k 1 (2) 111中有k 个n 1相加，所以可以分别和后面k 个相减项相结合可以得到：??? ? ????? ??+-++??? ??+-+??? ??+-k n n n n n n 11...211111，所以可以得到：()∑=+k i i n n i 1，同上面例题一样，分子和分母同时都在变动，可以尝试把分母固定不变。所以可得：所以可得：所以根据夹逼定理可以得到：原式的极限为：()21k k +

夹逼定理

利用夹逼准则求极限精编版

利用夹逼准则求极限精编版 MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】

利用夹逼准则求极限夹逼准则的使用方法：定理1用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。题型1夹逼准则常用于求若干项和的极限推论1极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限。证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项，则整数倍为n 倍，由定理1可知.)() (lim 1)()(lim x x x n x n βαβα== 例1.求)21 (4) 12 1( lim 2 2 2 n n n n n ++ +++ +∞ →. 解：.11lim 22lim 22lim 2 121 lim 22 2222==++=++=++∞ →∞→∞→∞ →n n n n n n n n n n n n n 由推论1，.12 21 (4) 12 1212 2 2 2 2 →+≤ ++ +++ +≤ +← n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为1. 例2.求).1 ...2111(lim 222n n n n n n n n +++++++++∞→ 解：.11lim 1 1 1lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n 由推论1，.01 1...2111022222→++≤+++++++++≤++←n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为0. 例3.求)....2211(lim 222 n n n n n n n n n +++++++++∞→ 解：由推论1， 2 1112)1(...221112)1(2122222→++?+<+++++++++<++?+←n n n n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为2 1 . 由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩

夹逼准则在求极限中的应用.

夹逼准则在求极限中的应用数学学院数学与应用数学（师范）专业 2008级敖欢指导教师刘学文摘要：极限的思想方法贯穿于整个数学分析中，一些基本概念如微分、积分的定义都与极限有密不可分的联系。极限是高等数学的理论基础和重要工具。不同形式的极限求解的方式各不相同，解题思路不同所得到的效果也是不一样的。本文主要举例讨论并分析夹逼准则的应用，特别是其在求极限中的应用。关键词：极限；夹逼准则；函数；数列 Abstract：The thinking method of limit throughout the mathematical analysis, some basic concepts such as differential, integral and limit are inseparable links. Limit of higher mathematics is the theoretical foundation and important tool. Different forms of the solution to the limit the way is also different, different thoughts of solving the effect is not the same.This paper mainly discussed by examples and analysis of squeeze rule applications, especially in the limit of application. Key words：Limit;Squeeze rule;Function;Series 极限是从初等数学跨向高等数学的一座重要桥梁。在青少年阶段或者更早吸收了解极限先进思想和概念，无疑对他们的人生发展有着不可估量的影响。极限理论是数学分析的入门和基础，是人们把握无限的金钥匙。不论是函数的连续性、导数、定积分还是无穷级数这些数学分析的核心内容，无一例外地都是通过极限来定义和推演的。鉴于其在高等数学中的特殊重要地位，极限亦成为数学考研的必考内容之一。极限概念最初产生于求曲边形的面积与求曲线在某一点处的切线斜率这两个基本问题。我国古代数学家刘徽利用圆的内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术，就是用极限思想研究几何问题。刘徽说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，

利用夹逼准则求极限精编WORD版

利用夹逼准则求极限精编W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】

解：.11lim 1 1 1 lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n 由推论1，.01 1...2111022222→++≤+++++++++≤++←n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为0. 例3.求)....2211(lim 222n n n n n n n n n +++++++++∞ → 解：由推论1， 2 1112)1(...221112)1(2122222→++?+<+++++++++<++?+←n n n n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为2 1. 由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩接下来的例题稍有难度，难处仍难在放缩的技巧例4.求! 2lim n n n ∞→. 解：).(42...322212!20放到第二项最大！ n n n n ≤????=< 且0! 4lim =∞→n n .故由夹逼准则可知.0!2lim =∞→n n n 例5.求).1(lim >∞→ααn n n

夹逼定理练习

第六节夹逼定理无穷小的比较一．夹逼定理定理1：如果数列{}n x 、{}n y 及{}n z 满足下列条件：（1）n n n z x y ≤≤,( ,3,2,1=n )。（2） a y n n =∞→lim ，a z n n =∞ →lim 。则数列{}n x 的极限存在，且a x n n =∞ →lim 定理2：设函数)(x f 在点a 的的某一去心邻域),(δ∧ a U 内（或X x ≥时）满足条件：（1）)()()(x h x f x g ≤≤。（2） A x g a x =→)(lim ，A x h a x =→)(lim （或A x g x =∞→)(lim ，A x h x =∞→)(lim ）。则)(lim x f a x →存在，且A x f a x =→)(lim （（或)(lim x f x ∞→存在，且A x f x =∞ →)(lim ）。注：（1）夹逼定理不仅说明了极限存在，而且给出了求极限的方法。（2）定理1中的条件（1）改为：n n n z x y ≤≤,( ,3,2,1=n )，结论仍然成立。例1：求下列极限（1）n n n 11lim +∞→ （2）)1...2111(lim 222n n n n n ++++++∞→ 二．两个重要极限（1）1sin lim 0=→x x x 。（2）e x x x =+∞→)11(lim ，（e x x x =+→10)1(l i m ，e n n n =+∞→)11(lim ）。例2：求下列极限（1） x x x tan lim 0→ （2） 30sin tan lim x x x x -→ （3）203cos cos lim x x x x -→ 例3：求下列极限（1） x x x 2)21(lim -∞→ （2） 21 2)2(lim -→x x x （3）x x x x )55(lim -+∞→ 三．无穷小的比较：在极限的运算法则中，我们讨论了两个基本点无穷小的和、差及乘积仍是无穷小。那末两个无穷小的商的情况又如何呢？为此讨论下列极限。尽管,3,1,,,2x Cosx Sinx x x -都是0→x 时的无穷小量，但是它们趋向于零的快慢程度不一样。设)(x α，)(x β是当0x x →时的两个无穷小量，由极限的运算法则知：)()(x x βα+，)()(x x βα-，)()(x x βα?都是当0x x →时的无穷小量。

夹逼定理word版

一、夹逼准则及第一个重要极限 1、准则I 如果数列{}n x ，{}n y ，{}n z 满足下列条件（1）n n n x y z ≤≤(1,2,....)n = （2）lim n n x a →∞=，lim n n z a →∞ = 则数列{}n y 的极限存在，且lim n n y a →∞ = . 证明由lim n n x a →∞ =?0ε?>,1N ?,当1 n N >时，有 n x a ε-时，有n z a ε-

取1 2 {},N max N N =，则对上述0ε>，当n N >时，有 n n n x y z ≤≤， n a x ε-<， n z a ε+< 从而有 n n n y z a x a εε≤≤<-+< 即 n y a ε-<, 故 lim n n y a →∞ =. 上述极限存在准则可以推广到函数的极限情形，即: 2、准则II 设函数()f x ，()g x ，()h x 满足 (1) ()()()f x g x h x ≤≤ （当0 ,()U x x δ∈ (或x M >)时）； (2)0 () lim ()x x x f x A →∞→=，0() lim ()x x x h x A →∞→=.

则 0( ) lim () x x x g x →∞ → 存在且等于 A . 上述两个准则都称为夹逼准则. 举例例1 求 2 n n →∞ + ++ + 解因为 2111 n n n ≤+++≤ + 又因为 lim 1,lim 1n n →∞→∞== 所以由夹逼准则得 21111 n n →∞ + ++ =+. 3、第一个重要极限： 0sin lim 1x x x →=

利用夹逼准则求极限之令狐文艳创作

利用夹逼准则求极限令狐文艳夹逼准则的使用方法：定理 1 用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。题型1 夹逼准则常用于求若干项和的极限推论 1 极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限。证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项，则整数倍为n 倍，由定理1可知.)() (lim 1)()(lim x x x n x n βαβα== 例1.求 ) 21 (4) 12 1( lim 2 2 2 n n n n n ++ +++ +∞ →. 解： . 11lim 22lim 22lim 2121 lim 22 2222==++=++=++∞ →∞→∞→∞ →n n n n n n n n n n n n n 由推论1， . 12 21 (4) 12 1212 2 2 2 2 →+≤ ++ +++ +≤ +← n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为1. 例2.求). 1 ...2111( lim 222n n n n n n n n +++++++++∞ →

解：.11lim 11 1lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n 由推论1， .011 (211102) 2222→++≤+++++++++≤++← n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为0. 例3.求). ...2211( lim 222n n n n n n n n n +++++++++∞→ 解：由推论1， 2 1112)1(...221112)1(2122222→++?+<+++++++++<++?+←n n n n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为21. 由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩接下来的例题稍有难度，难处仍难在放缩的技巧例 4.求!2lim n n n ∞→. 解：) .(42...322212!20放到第二项最大！n n n n ≤????=< 且0 !4 lim =∞→n n .故由夹逼准则可知.0!2lim =∞→n n n 例5.求 ). 1(lim >∞ →αα n n n 解：设),0(1>+=h h α则从而 ,)1(202h n n n -< < α因为,0)1(2 lim 2=-∞→h n n

利用夹逼准则求极限

利用夹逼准则求极限标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

利用夹逼准则求极限夹逼准则的使用方法：定理1 用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。题型1 夹逼准则常用于求若干项和的极限推论1 极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限。证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项，则整数倍为n 倍，由定理1可知.)() (lim 1)()(lim x x x n x n βαβα== 例1.求)21 (4) 12 1( lim 2 2 2 n n n n n ++ +++ +∞ →. 解：.11lim 22lim 22lim 2 121 lim 22 2222==++=++=++∞ →∞→∞→∞ →n n n n n n n n n n n n n 由推论1，.12 21 (4) 12 1212 2 2 2 2 →+≤ ++ +++ +≤ +← n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为1. 例2.求).1 ...2111(lim 222n n n n n n n n +++++++++∞→ 解：.11lim 1 1 1lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n 由推论1，.01 1...2111022222→++≤+++++++++≤++←n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为0. 例3.求)....2211(lim 222 n n n n n n n n n +++++++++∞→ 解：由推论1， 2 1112)1(...221112)1(2122222→++?+<+++++++++<++?+←n n n n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为2 1 .

利用夹逼准则求极限

利用夹逼准则求极限夹逼准则的使用方法: 定理1用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。要求放大和缩小后的极限容易求出, 此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。题型1夹逼准则常用于求若干项和的极限推论1极限变化过程中最小项与最大项之比为 1时可以使用夹逼准则求其极限。证明：不妨设最小项为：(x)，最大项为1(x)，数列有n 项，则整数倍为n 倍，由夹逼准则可得所求极限为1. 1 1 1 例 2.求 lim ( — 2— … --------- ). n 1 n n 2 n 1 『n n 才向耳n 1 =1. n —'n n n 由推论1, °’ 石' 由夹逼准则可得所求极限为0. ---- 1 ----- + ------------ 2 ----- + + n ) 2 2 2 n n1 n n 2 n n n 由定理1可知lim 册十lim ：(X ) ■(x)' 1 1 例1.求四齐+R 十 + ? 2打)? 一 n 2n 1 解：专殳，n 2 2n n 2 2 _1_ n 2 2 二 lim 、1 = 1. 由推论1，1 + ______ n 2 2n 兰詁T 1. 解: n i m 1 n 2 n 1 例

逼准则可得所求极限为- 由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩接下来的例题稍有难度，难处仍难在放缩的技巧 2 例4求lim . n Y n! 4 一 2n 且lim 0 .故由夹逼准则可知lim 0. n —5 n in! 例5.求lim 眾用＞ 1). n 护Ct 解：设-=1 h(h 0),则由夹逼准则可知［计耳巾例 6求 lim n sin(n!) 即- 31 ，而 lim 、1 =lim 31 “, Vn n+1 Vn n ^ 红 n “护句 n 由夹逼准则可知lim '『引n （n!） =0. n —JpC 例 7求 lim(1 2n 3n )n . 解: 由推论1, 1 n(n 1) 1 2 2 ~2 ~2 n n n n n 1 n n 2 n(n 1) n 2 n n 2 解：0：：：2 222 2 4 -"—.（放到第二项最大）从而:,因为n im ：扃厂0, ：n (n-1)h 解：由于0乞 3 n 2 sin(n!) 一2 3 1,（三角函数有界性） n

利用夹逼准则求极限

利用夹逼准则求极限 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020