1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编
函数与方程部分
2019A1、已知正实数a 满足()89a
a a a =，则()log 3a a 的值为 ． ◆答案：
9
16
★解析：由条件知18
9a a =，故916
39a a a a =?=，所以()9
log 316
a a =。
2019A 二、（本题满分 40 分）设整数122019,,,a a a 满足
122019199a a a =≤≤
≤= ． 记
()()22212201913243520172019f a a a a a a a a a a a =++
+-+++
+，
求f 的最小值0f ．并确定使0f f =成立的数组()122019,,,a a a 的个数． ★解析：由条件知()()2017
2
2
2221
2
2018
2019
21
2i i i f a a a
a
a
a +==++++-∑． ①
由于12,a a 及2i i a a +-（1,2,2016i =）均为非负整数，故有221122,a a a a ≥≥且
()
2
22i i i i a a a a ++-≥-．于是
()()()20162016
2
221
2
2
122201720181
1
i i i i i i a
a
a
a a a a a a a ++==++-≥++-=+∑∑②
………………10 分
由①、②得()2
22
201720182019201720182019
2f a a a a a a ≥++-++，结合20192019a =及201820170a a ≥>，可知
()()222
2201720172017201712999949740074002f a a a a ??≥
+-++=-+≥?
? ．③ ………20 分
另一方面，令1219201a a a ==
==，19202119202k k a a k +-+==（1,2,
,49k =），
201999a =
此时验证知上述所有不等式均取到等号，从而f 的最小值
07400f =．………………30 分
以下考虑③的取等条件．此时2018201749a a ==，且②中的不等式均取等， 即121a a ==，{}20,1i i a a +-∈（1,2,2016i =）。 因此122018149a a a =≤≤
≤=，且对每个k （149k ≤≤），122018,,
,a a a 中至
少有两项等于k ．易验证知这也是③取等的充分条件．
对每个k （149k ≤≤），设122018,,,a a a 中等于k 的项数为1k n +，则k n 为正整数，且()()()12491112018n n n ++++++=，即 12491969n n n ++
+=④，
该方程的正整数解()1249,,,n n n 的组数为481968C ，且每组解唯一对应一个使④取等的数组()122019,,,a a a ，故使0f f =成立的数组()122019,,,a a a 有481968
C 个………………40 分
2019B 10. （本题满分20分）设,,a b c 均大于1，满足lg log 3
lg log 4b a a c b c +=??+=?
，
求lg lg a c ?的最大值。
★解析：设lg x a =，lg y b =，lg z c =，由,,1a b c >，可知,,0x y z >。 由条件及换底公式得3z x y +=，4z y x
+=，即34xy z y x +==，由此令3,4x t y t ==（0t >）
，则2412120z x xy t t =-=->，得01t <<。所以 ()()()3
22216
lg lg 31211821833t t t a c t t t t t ++-???=?-=-≤?=
???
，当且仅当22t t =-，即2
3
t =时取得等号，相应的8
3100,10a b c ===，所以lg lg a c ?的
最大值为
163
。
2018A 5、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严
格递减，且满足1)(=πf ，2)2(=πf ，则不等式组?
??≤≤≤≤2)(12
1x f x 的解集为
◆答案：[]ππ28,2--
★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]1,0上严格递减知，)(x f 在[]0,1-上递增，结合周期性知，)(x f 在[]2,1上递增，又1)()2(==-ππf f ，2)2()2()28(==-=-πππf f f ，
所以不等式等价于)28()()2(ππ-≤≤-f x f f ，又22821<-<-<ππ 所以ππ282-<<-x ，即不等式的解集为[]ππ28,2--
2018A ，B 9、（本题满分16分）
已知定义在+
R 上的函数)(x f 为???--=x
x x f 41log )(39,90,>≤ 三个互不相同的实数，满足)()()(c f b f a f ==，求abc 的取值范围。 ★解析：不妨设c b a <<，由于)(x f 在(]3,0上递减，在[]9,3上递增，在[)+∞,9上递减，且0)3(=f ，1)9(=f ，结合图像知：()3,0∈a ，()9,3∈b ，()+∞∈,9c ，且()1,0)()()(∈==c f b f a f 。 由)()(b f a f =得2log log 33=+b a ，即9=ab ，此时c abc 9=， 又c c f -=4)(，由140<- 2018B 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严 格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组? ??≤≤≤≤1)(01 0x f x 的解集为 ◆答案：[]ππ--4,62 ★解析：由)(x f 为偶函数及在区间[]2,1上严格递减知，)(x f 在[]1,2--上递增，结合周期性知，)(x f 在[]1,0上递增，又1)()4(==-ππf f ，0)2()62(==-ππf f ，所以不等式等价于)4()()62(ππ-≤≤-f x f f ，又14620<-<-<ππ，即不等式的解集为[]ππ--4,62. 2017A1、设)(x f 是定义在R 上函数，对任意的实数x 有1)4()3(-=-?+x f x f ，又当70<≤x 时，)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为 ◆答案： 2 1- ★解析：由条件知，1)()7(-=+x f x f ，即1)14()7(-=++x f x f ，故)14()(+=x f x f ，即函数)(x f 的周期为14，所以 2 1 )5(1)2()100(-=- =-=-f f f 2017B 3、设)(x f 是定义在R 上的函数，若2)(x x f +是奇函数，x x f 2)(+是偶函数，则)1(f 的值为 ◆答案：74 - ★解析：由条件知，2(1)1((1)(1))(1)1f f f +=--+-=---，1(1)2(1)2 f f +=-+， 两式相加消去(1)f -，可知：12(1)32 f +=-，即7(1)4 f =-. 2016A 3、正实数u ，v ，w 均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则log w u 的值为 ◆答案：5 4 ★解析：令a v u =log ，b w v =log ，则 a u v 1log = ，b v w 1 log =，ab a w v v vw v u u u +=?+=log log log log 条件化为5=++b ab a ，311=+b a ，由此可得45 =ab ，因此 54 log log log ==?=u v u v w w ． 2016A 10、（本题满分20分）已知)(x f 是R 上的奇函数，1)1(=f ，且对 任意 ) ()1 ( x xf x x f =-。求)51 1 ()501()981()31()991()21()1001()1(f f f f f f f f ++++ 的值。 ★解析：设n n f a n )(1 (==1，2，3，…），则1)1(1==f a ． 在)()1(x xf x x f =-中取*)(1N k k x ∈-=，注意到 111111+=---=-k k k x x ，及)(x f 为奇函数．可知 )1 (1)1(1)11( k f k k f k k f =--=+……………………5分 即k a a k k 11=+，从而)!1(1 1111 111-==?=∏∏-=-=+n k a a a a n k n k k k n ．……………………10分 因此 ∑∑∑===--?=--=49 50 150 1 101)!99(!1 )!100()!1(1i i i i i i i i i a a ! 992221!991)(!991!9919899 49099999949099=??=+==∑∑=-=i i i i i C C C ……………………20分 2015A1、设a 、b 为两不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则)2(f 的值为 ◆答案：4 ★解析：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得 22 a b a +=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=． 2015A 9、（本题满分16分）若实数c b a ,,满足c b a 242=+，c b a 424=+，求c 的最小值。 ★解析：将2,2,2a b c 分别记为,,x y z ，则,,0x y z >． 由条件知，222,x y z x y z +=+=，故2222224()2z y x z y z y z y -==-=-+．8分 因此，结合平均值不等式可得， 4221111(2)244y y z y y y y +==++≥?=12分 当212y y = ，即y =时，z x 符合要求）． 由于2log c z =，故c 的最小值225 log log 33 =-．16分 2016B 4、已知)(x f ,)(x g 均为定义在R 上的函数，)(x f 的图像关于直线1=x 对称，)(x g 的图像关于点)2,1(-中心对称，且19)()(3++=+x x g x f x ，则)2()2(g f 的值为 ◆答案：2016 ★解析：由条件知()()002,f g += ① ()()22818190.f g +=++= ② 由()(),f x g x 图像的对称性，可得()()()()02,024,f f g g =+=-结合①知， ()()()()22400 2.f g f g --=+= ③ 由②、③解得()()248,242,f g ==从而()()2248422016.f g =?= 另解：因为()()391x f x g x x +=++， ① 所以()()2290.f g += ② 因为()f x 的图像关于直线1x =对称，所以()()2.f x f x =- ③ 又因为()g x 的图像关于点()1,2-中心对称，所以函数()()12h x g x =++是奇 函数，()()h x h x -=-，()()1212g x g x ??-++=-++??，从而()()2 4.g x g x =--- ④ 将③、④代入①，再移项，得()()3229 5.x f x g x x ---=++ ⑤ 在⑤式中令0x =，得()()22 6.f g -= ⑥ 由②、⑥解得()()248,246.f g ==于是()()222016.f g = 2014A1、若正数a 、b 满足)(log log 2log 2632b a b a +=+=+，则b a 11 +的值为 ◆答案：108 ★解析：设k b a b a =+=+=+)(log log 3log 2632，则22-=k a ，33-=k b ， k b a 6=+，从而108323 26113 23 2=?=?=+=+--k k k ab b a b a 。 2015B1、已知函数? ? ?+∞∈∈-=) ,3(log ]3,0[)(2x a x x a x f x ，其中a 为常数，如果 )4()2(f f <，则a 的取值范围为 ◆答案： ()+∞-,2 ★解析：(2)2,(4)2f a f a =-=，所以22a a -<，解得：2a >-． 2015B 2、已知3)(x x f y +=为偶函数，且15)10(=f ，则)10(-f 的值为 ◆答案： 2015 ★解析：由己知得33(10)(10)(10)10f f -+-=+，即(10)(10)2000f f -=+=2015． 2014A 3、若函数|1|)(2-+=x a x x f 在),0[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围为 ◆答案： ]0,2[- ★解析：在),1[+∞上，a ax x x f -+=2)(单调递增，等价于12 ≤-a ，即2-≥a 。在]1,0[上，a ax x x f +-=2)(单调递增，等价于02 ≤a ，即0≤a ，因此实数a 的取值范围是]0,2[- 2014B1、若函数)(x f 的图像是由依次连接点)0,0(，)1,1(，)3,2(的折线，则=-)2(1f ◆答案： 2 3 ★解析：可求得直线2=y 与函数图像的交点为?? ? ??2,2 3，即223=?? ? ??f ，根 据反函数的性质知2 3)2(1=-f 。 2014B 8、设()g x =[0,1]上的函数，则函数()y xg x =的图像与x 轴所围成图形的面积为 ◆答案： 16 π ★解析：显然)(x g 的图像与x 轴围成一个半圆，我们用A 表示)(x xg 与x 轴围成的图形。直线12=x 是半圆的对称轴，它将A 分成左右两个部分。我们知道： )()()1()()1()1()(x g x g x x xg x g x x xg =-+=--+（2 10≤ ≤x ），这个式子的几何意义如下图所示： 根据祖暅原理的二维形式，A 的左半部分与右半部分的面积之和恰好是 四分之一圆的面积。即我们要求的面积是16 21412 ππ=??? ??。 2014B 二、（本题满分40分）在同一直角坐标系中，函数4)(+=ax x f （0≠a ）与其反函数)(1x f y -=的图像恰有三个不同的交点. 求实数a 的取值范围，并证明你的结论。 ★解析：由题意可得其反函数() 41)(2 1-= -x a x f ， 记)(x f 与其反函数) (1 x f -的交点坐标为()v u ,，则???+=+=4 4 22au v av u ，两式子相减得()()0=++-a v u v u ，得 v u =或0=++a v u ， 若0>a ，显然两个函数的图像都在第一象限，所以0>++a v u ，联立v u =和 42+=av u ，得到一个交点（另一个是负数），与题目要求三个交点不相 符，故0 当0 +=av u ，得交点???? ??++++216,21622a a a a ； 联立0=++a v u 和42+=av u ，得交点??? ? ??+-+-+-+-2163,216322a a a a 或??? ? ??+---+---2163,216322a a a a ，考虑这两个交点不重合，且坐标非负，故???≥--->-0316031622a a a 解得233 4-≤<-a ，即所求的范围为?? ? ??--2,334。 2013A 5、设b a ,为实数，函数b ax x f +=)(满足：对任意]1,0[∈x ，都有1)(≤x f ，则ab 的最大值为 ◆答案：4 1 ★解析：由题意得)0()1(f f a -=，)0(f b = 所以()41)1(41)1(41)1(21)0()0()1()0(222 ≤≤+? ?? ??--=-?=f f f f f f f ab ，当且仅当1)1()0(2±==f f ，即21±==b a 时，41=ab ，故所求最大值为4 1 。 2013A 7、若实数y x ,满足y x y x -=-24，则实数x 的取值范围为 ◆答案：{}[]20,40 ★解析：令a y =，b y x =-，显然0≥a ，0≥b ，且 22b a x +=，y x y x -=-24即为b a b a 2422=-+， 亦为()()51222=-+-b a （0≥a ，0≥b ），以()b a ,为坐标 作图如图示，在平面aOb 内，()b a ,的轨迹为如图所示 的实线部分含原点O ，因此22b a +{}[]52,20 ∈， 即∈+=22b a x {}[]20,40 。 2013A 11、（本题满分20分）设函数b ax x f +=2)(，求所有的正实数对),(b a ，使得对任意的实数y x ,均有)()()()(y f x f y x f xy f ≥++。 ★解析：已知即可变为：()()()()()b ay b ax b y x a b y ax ++≥++++2222① 先寻找b a ,所满足的必要条件。 ①式中，令0=y ，的对任意的x 都有()()0212≥-+-b b ax b ，由于0>a ，故2ax 可以取到任意大的正值，因此必有01≥-b ，即10≤ ①式中，令x y -=，得()()2 24b ax b b ax +≥++，即对任意实数x ，有()()0222242≥-+--b b abx x a a ② 记()()224222)(b b abx x a a x g -+--=，即 () ()b a a b a b x a a x g ---+ ?? ? ?? ---=2211)(2 22 要0)(≥x g 恒成立，则()??? ??≥--->-022102 b a a b a a ，即10< 2≤+b a ③ 下面证明对满足③的任意实数对()b a ,及任意实数y x ,，总有①成立， 令0)2(2))(1()(),(222222≥-+++-+-=b b axy y x b a y x a a y x h 恒成立， 事实上，在③成立时，有0)1(≥-b a ，02>-a a ， ()0221≥---b a a b ，又xy y x 222-≥+，可得)2(2))(1()(),(222222b b axy y x b a y x a a y x h -+++-+-= )2(2)2)(1()(2222b b axy xy b a y x a a -++--+-≥ )2(2)(2222b b abxy y x a a -++-= ()≥---+ ?? ? ?? -+-=b a a b a b xy a a 2211)(2 2 综上所述，满足条件的),(b a 为(){}22,10,10,≤+<<≤ 2013B 2、 设i =为虚数单位，则232013232013i i i i ++++= ． ◆答案：i 10071006+ ★解析：因为232013232013i i i i ++++= ()()i i 1007100620132011753120122010864210061005+=+-+-+-++--+-+- 项 项 2013B 5、在区间[)0,π中，方程sin12x x =的解的个数为 ． ◆答案：4 ★解析：因为当1>x 时，x x <≤112sin ，方程无解；当[]1,0∈x 时， ππ4123<<，做出x y 12sin =及x y =的图像即可得到。 2013B 6、定义在实数上的函数( ))f x x R =∈的最小值 是 ． ◆答案：3 3 2- ★解析：因为43 432112 2≥+?? ? ??+=++x x x ，1sin ≤x π，知3324 31)(=≤ x f ， 又当2 1 -=x 时，332)21(-=-f ，所以所求最小值为332-。 2013B 7、设,a b 为实数，函数()f x ax b =+满足：对任意[]0,1x ∈，()1f x ≤，则ab 的最大值为 ． ◆答案：4 1 ★解析：由题意得)0()1(f f a -=，)0(f b = 所以()41)1(41)1(41)1(21)0()0()1()0(222 ≤≤+??? ??--=-?=f f f f f f f ab ，当且仅 当1)1()0(2±==f f ，即21±==b a 时，41=ab ，故所求最大值为4 1 。 2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为 ◆答案：12+ ★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤ 则M = ≤= 所以 1.M =≤ 当且仅当1,0,1,2 y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立. 故max 1.M =+ 2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是 ◆答案：).+∞ ★解析：由题设知22(0) ()(0) x x f x x x ?≥?=?- 则2()).f x f =因此,原不等式等 价于()).f x a f +≥ 因为()f x 在R 上是增函数, 所以,x a +≥ 即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时 ,1)x 取得最大值1)(2).a +因此 ,1)(2),a a ≥+ 解得a ≥故a 的取值范围是).+∞ 2012A 9、（本题满分16分） 已知函数2 1 32cos 21sin )(+-+-=a a x x a x f ，0,≠∈a R a . ⑴若对任意R x ∈,都有0)(≤x f ，求实数a 的取值范围； ⑵若2≥a ，且存在R x ∈,使得0)(≤x f ，求实数a 的取值范围； ★解析：⑴令x t sin =，则11≤≤-t ，函数)(x f 即为a a at t t g 3)(2-++=， 由0)(≤x f 即0)(≤t g 对任意11≤≤-t 恒成立，即?? ??? ≤-+=≤-=-0 3 21)1(031)1(a a g a g ，解得 10≤ 故所求实数a 的取值范围为(]1,0 ⑵因为2≥a ，所以)(t g 的对称轴12 -≤-=a x ，有)(t g 在[]1,1-上递增， 所以)(t g 的最小值为a g 31)1(-=-，即)(x f 的最小值为a 31-，由03 1≤-a ， 解得30≤ 又2≥a ，故所求实数a 的取值范围为(]3,2 2012B 4、若关于x 的不等式组???≤-->--+0 120 33223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有 且只有一个，则a 的取值范围为 ◆答案：?? ????34,43 ★解析：由03323>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2-或2。记函数12)(2--=ax x x f ，由于对称轴0>=a x ， 所以整数解只能是2，因此有 ?? ???>-=≤-=>+=-0 68)3(043)2(0 43)2(a f a f a f ，解得3443<≤a ，故所求范围为??? ???34,43。 2012B 7、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是 ◆答案：).+∞ ★解析：由题设知22(0)()(0) x x f x x x ?≥? =?- 则2()).f x f =因此,原不等式等 价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数, 所以,x a +≥ 即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时 ,1)x 取得最大值1)(2).a + 因此 ,1)(2),a a ≥+ 解得a ≥故a 的取值范围是).+∞ 2012B 9、（本题满分16分） 已知函数2 1 32cos 21sin )(+-+-=a a x x a x f ，0,≠∈a R a . ⑴若对任意R x ∈,都有0)(≤x f ，求实数a 的取值范围； ⑵若2≥a ，且存在R x ∈,使得0)(≤x f ，求实数a 的取值范围； ★解析：⑴令x t sin =，则11≤≤-t ，函数)(x f 即为a a at t t g 3)(2-++=， 由0)(≤x f 即0)(≤t g 对任意11≤≤-t 恒成立，即?? ??? ≤-+=≤-=-0 3 21)1(031)1(a a g a g ，解得 10≤ 故所求实数a 的取值范围为(]1,0 ⑵因为2≥a ，所以)(t g 的对称轴12 -≤-=a x ，有)(t g 在[]1,1-上递增， 所以)(t g 的最小值为a g 31)1(-=-，即)(x f 的最小值为a 31-，由031≤-a