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2014年安庆市高三模拟考试（三模）
数学试题（文）参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题
1、解析：?
????=21,1,2B ，=B A {－1，0，1，
2
1
，2}.选D. 2、解析：i i i i i i i z 53541068)3)(3()3(332+=+=+-+=-+=，点??
?
??53,54在第一象限内，选A.
3、解析：由
11
知1>x 或0 5、解析：执行程序框图依次得2,21== n S ；;3,43==n S 4,8 7 ==n S ，此时应不满足条件，故选D. 6、解析：对于②，其正视图与侧视图都是等腰三角形，符合题意；对于④，其正视图与侧视图都是等腰 三角形，符合题意；另外两个都不符合题意，故选D. 7、解析：122++-+n n n S S S =)(12++-n n S S d a a S S n n n n =-=--+++121)( (d 为公差)． 因为0>d ，0＜a ＜1,x a 是减函数,所以1 2+n S a n S a >·2+n S a , 选B. 8、解析：对于每一条面对角线，有另外两条面对角线与之成“黄金异面直线对” ，故有24122=?对. 9、解析：将向量投影到,上，即过点P 作AC AB ,的平行线，分别交AB AC ,于点.,E D 由系 数, 5152的几何意义知， .5 2 ,51==AC AD AB AE 于是 ,252 =?=??AC AD AB AE S S ABC ADE 又APE ADEP ADE S S S ??==2 1 所以 .252=??ABC APE S S 而,51==??AB AE S S ABP APE 所以.5 2 =??ABC ABP S S 故选C. 10、解析：采用特殊值法，令直线为2=y ，则2||||==CD AB ，于是4||||=?CD AB ，选A. 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.） 11、3 12、[-3，1] 13、π4 14、2> a 15、①②⑤ 11、解析：由条件可知3,6==y x ，代入回归方程，可得1318= a ，所以13 18 267?+=x y ，当6=x 时，3?=y ，故填3. 12、解析：令u x y =+，则y x u =-+，u 表示直线y x u =-+ 在y 轴上的截距.作出不等式组表示的平面区域， 易知直线y x u =-+经过()1,2B 时，u 有最大值3， 直线y x u =-+经过A （-2,1），u 有最小值为-1， 因此2-+=y x z 的取值范围是[-3，1]. 13、解析：函数)(x f 的周期为π8，则12x x -的最小值是π 4. 14、解析：)4sin(2cos sin )(π - = -='x x x x f ， 4 34 4π π π ≤ - ≤x ，最大值为2,2>a 15、解析：圆心O 到直线l 的距离为13||c ，当 113 | | 39-<<-c 时，圆O 上恰有两个不同点到直线l 的距离为1；当39±=c 时，圆O 上只有一个点到直线l 的距离为1.故①②⑤正确. 三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16、（本题满分12分） 解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)a b c b c b c =+++ 即2 2 2 a b c bc =++ 由余弦定理得 2 2 2 2cos a b c bc A =+- 故 1c o s 2 A =-，∴∈),,0(πA A= 32π ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2 3)2 1 (sin 2sin 2sin 21sin 22cos )(2 2 + --=+-=+=x x x x x x f 因为R x ∈，所以[]sin 1,1x ∈-，因此，当1sin 2x =时，)(x f 有最大值32 . 当1sin -=x 时，)(x f 有最小值-3， 所以所求函数)(x f 的值域是33,2 ??-??? ? . ……………………12分 17、（本题满分12分） 解：（Ⅰ）由题可知，第2组的频数为0.3510035?=人, 第3组的频率为 30 0.300100 =。 （频率分布直方图略）. ……3分 （Ⅱ）因为第3、4、5组共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为， 第3组: 306360?=人, 第4组:20 6260 ?=人, 第5组: 10 6160 ?=人, 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人。 ……6分 （Ⅲ）设第3组的3位同学为123,,A A A ,第4组的2位同学为12,B B ,第5组的1位同学为1C ,则从六位同 学中抽两位同学有15种可能如下: 12(,),A A 13(,),A A 11(,),A B 12(,),A B 11(,),A C 23(,),A A 21(,),A B 22(,),A B 21(,),A C 31(,),A B 32(,),A B 31(,),A C 12(,),B B 11(,),B C 21(,),B C ……9分 其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的有: 11(,),A B 12(,),A B 21(,),A B 22(,),A B 31(,),A B 12(,),B B 32(,),A B 11(,),B C 21(,),B C 共9种． 所以其中第4组的2位同学为12,B B 至少有一位同学入选的概率为93 155 = . ……12分 18、（本题满分12分） 解：（Ⅰ）当1=n 时，111+-=p pa a 即0)1)(1(1=--a p ，所以1=p 或11=a 当2=n 时，222221+-=+p pa a a ， 若1=p ，则212221,2222a a a a a a =∴=+-=+与已知矛盾，故1≠p ， 所以11=a ，又21a a ≠，12≠∴a 由222221+-=+p pa a a ，得2 1 =p ……6分 （Ⅱ）由条件知)1(2+=n n a n S 。当2≥n 时，)1)(1(211+-=--n n a n S 。 两式相减得01)1()2(1=+----n n a n a n ，于是01)1(1=+--+n n na a n 两式相减得n n n a a a 211=+-+（2≥n ）。故数列{}n a 是等差数列. ……………..12分 19、（本题满分13分） 解：（Ⅰ）证明：三棱柱 111C B A ABC -为直三棱柱， ∴⊥A A 1平面ABC ， 又?BC 平面ABC ，∴BC A A ⊥1 ……………. 2分 又AD ⊥平面1A BC ，且?BC 平面1A BC ， ∴BC AD ⊥. 又?1AA 平面AB A 1,?AD 平面AB A 1,A AD A A =?1， ∴BC ⊥平面1A AB 。 又?B A 1平面BC A 1，∴ B A BC 1⊥ …………….6分 （Ⅱ）在直三棱柱111C B A ABC - 中，⊥A A 1AB . AD ⊥平面1A BC ，其垂足D 落在直线1A B 上,∴ B A AD 1⊥. 在ABD Rt ?中，AD AB BC ==2，sin 2 AD ABD AB ∠= = 60ABD ∠= 在1ABA Rt ?中， t a n A A A B =?=0 160 ……………8分 由（1）知BC ⊥平面1A AB ， ?AB 平面AB A 1, 从而AB BC ⊥。 2222 1 21=??=?=?BC AB S ABC 。 P 为AC 的中点，1 2 1 == ??ABC BCP S S ……10分 ∴=-BC A P V 1 11 111333 A BCP BCP V S A A -?=?=??= ………13分 20、（本题满分13分） 解：（Ⅰ）由条件),(2t t M ，x x f 2)(='，于是切线的斜率为t 2，于是l 的方程为)(22t x t t y -=-，则点)2,1(,0,22 t t Q t P -?? ? ??。 ……………3分 所以22)2(41 )2)(21(21)(t t t t t t g S -=--= =)10(< 当)1,3 2 (∈t 时，0)(<'t g ，)(t g 单调递减. ……………9分 又0)0(,41)1(,27 8 32===? ?? ??g g g 要使PQN ?的面积为b 时的点M 恰好有两个，则必有?? ? ??∈278,41b . ……………13分 21、（本题满分13分） 解：（Ⅰ）∵点3 (1,)2P 在椭圆上，2219 1.4a b ∴+= 又 2221 ,2,442 e c a a b a =∴=∴-=，解得224,3a b ==， ∴椭圆方程为22 1.43 x y +=………………………………………………4分 （Ⅱ）设直线AB 的方程为(0)x my s m =+≠，则直线CD 的方程为1 x y s m =- + 联立22 143 x y x my s ?+ =???=+? 可得222(34)63120m y smy s +++-=……………………………6分 设211221212226312 (,),(,),,3434 sm s A x y B x y y y y y m m -∴+=-=++ 由中点坐标公式得22 43( ,)3434 s sm M m m -++………………………………………8分 将M 的坐标中的m 用1m -代换，得CD 的中点222 43(,)4343 sm sm N m m ++………… 9分 ∴直线MN 的方程为24(1)4,(1)77 m s x y m m -- =≠± 令0y =得：47x s = ，所以直线MN 经过定点4 (,0)7 s ……………………………11分 当0,1m =±时，易知直线MN 也经过定点4 (,0)7 s . 综上所述，直线MN 经过定点4 (,0)7 s …………………………………………………13分
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