第一讲 有理数（1）
一、知识提要
1、 整数和分数统称为有理数。
2、 有理数还可以这样定义：
形如
m
p
（其中m 、p 均为整数，且m ≠0）的数是有理数。这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数。 3、 有理数的数系表：
正整数 正整数 整数 零 正有理数
负整数 正分数 有理数 正有限小数 或 有理数 零
正分数 负整数 正无限循环小数 负有理数
分数 负分数
负有限小数
负分数
负无限循环小数 4、 有理数可以用数轴上的点表示。
5、 零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数。
6、 如果两个数的和为0，则称这两个数互为相反数。如果两个数的积为1，则称这两个数
互为倒数。
7、 有理数的运算法则： （1）、加法：两数相加，同号的取原来的符号，并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，绝对值相等时，和为0；一个数与0相加，仍得这个数。 （2）、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。 （3）、乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数与0相乘， 积为0. 乘方：求n 个相同因数a 的积的运算称为乘方，记为n
a 。 （4）、除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
8、有理数的运算律：
加法交换律：a b b a +=+；
加法结合律：)()(c b a c b a ++=++； 乘法交换律：c b b a ?=?；
乘法结合律：)()(c b a c b a ??=??； 乘法分配律：c b c a c b a ?+?=?+)(；
9、有理数具有以下性质
①对于任意两个有理数a , b ,在a < b , a = b ,a > b 三种关系中，有且只有一种成立。 ②如果a < b , 那么b > a 。 ③如果a < b , b < c , 那么 a < c ④如果a = b , b = c , 那么 a = c ⑤如果a = b , 那么 b = a
⑥任意一对有理数，对应的和、差、积、商（除数不为零）仍是有理数。 ⑦任意两个有理数之间存在着无限多个有理数。 二、例题 例1、 在18,)1(,1,)
1(183
2011
----这四个有理数中，负数共有（ ）
（A ） 1个 . (B) 2个 . (C) 3个 . (D) 4个 .
例2、有如下四个命题： ①有理数的相反数是正数；
②两个同类项的数字系数是相同的；
③两个有理数的和的绝对值大于这两个有理数绝对值的和； ④两个负有理数的比值是正数， 其中真命题有（ ）
(A) 4个 . (B) 3个 . (C) 2个 . (D) 1个
例3、有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则19981998
b a
+等于（ ）
(A) 0. (B) 1. (C) 1- . (D) 2.
例4、两个十位数1111111111和9999999999的乘积的数字中奇数的个数为（ ） A 、 8 B 、 9 C 、 10 D 、 11
例5、 2
2
)34(34?--?-等于（ ）
(A) 0. (B) 72. (C) 180- . (D) 108.
例6、)13
3
1()2.1()125.0321(117-?-÷-?- = 。
例7、计算 =-?-?-+-?+?+-)2(4
3
43)15()7(4312)613121( 。
例8、计算 =-?-÷-+-??-8
93
3)1()1(]3
22)2(5[25.13 。
例9、计算：=??-??-??-??-200020030040010)56
5
()454()343()232( 。
例10、 )10
1
98()9187()8176()7165()6154()5143(-
++++++++++等于（ ） A 、 5.5. B 、 5.65. C 、 6.05. D 、 5.85
例11、从和式
12
1
10181614121+++++中，必须去掉某两项才能使余下的项的和等于1，去掉的这两项是（ ） A 、 41和121 B 、 81和121 C 、 61和81 D 、 81和10
1
例12、计算 8
5
314526612833531218++++++
例13、计算 11111111
121
99919981998?
例14、 计算 9
819)375.41213(145232852÷+?-
例15、把2.1454545… 化成分数
第一讲 有理数（1）练习题
一、选择题 1、设a 是最小的自然数，b 是最大负整数，c 是绝对值最小的有理数，则c b a +-等于（ ） (A) 1- . (B) 0. (C) 1 . (D) 2 2、下面说法中不正确的是（ ）
(A) 有最小的自然数 (B) 没有最小的正有理数 (C) 没有最大的负整数 (D) 没有最大的非负数
3、若n 是自然数，并且有理数a , b 满足01
=+
b
a ，则必有（ ） (A) 0)1(2=+n n
b a (B) 0)
1(122=++n n
b a (C) 0)1(22=+n n b a (D) 0)1(121
2=+++n n b
a
4、如果a , b 为有理数，并且a + b 的值大于b a -的值，那么（ ）
(A) a , b 同号 (B) a , b 异号 (C) a > 0 (D) b > 0 5、a 为有理数，那么，a 和a -的大小关系是（ ）
(A) a 大于a - (B) a 小于a - (C) a 大于a - 或 a 小于a - (D) a 不一定大于a - 6、设a , b 是有理数，则下列式子中成立的是（ ）
(A) b a b a +=+ (B) 当b < 0 < a 时， 有 b a b a +>+ (C) 当a < 0 < b 时，有 b a b a +<+ (D) 当 a < b < 0 时 ，有 b a b a -<+ 二、填空题
7、初一“数学晚会”上，有10个同学藏在10个大盾牌后面，男同学的盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10个盾牌如下所示：
在盾牌后面的同学中有女同学 人；男同学 人。 8、用简便方法计算
⑴、 =++++999979997997977 。
⑵、=+++-+-+++-+-+++-+-+151413)12()11(109)8()7(65)4()3(2
9、计算 =+÷--÷2
2
22
)2
3(3.06.0)2
11()3.0( 。
10、计算 =-÷?-+-?-)]2()5
3
2.01(35[3 。
11、计算 =-÷--)8
7
()12787431( 。
12、计算 =--÷-)12
7
87431()87( 。
13、计算 =----)]}5
1
1(411[311{211 。
14、计算 =-÷--+÷-?-332)2(]3)5[(]6)71[(4 。
15、计算=-?+-?-+?-?--)5
42(5.4542)4125(54275.3548)1638161(）（ 。
16、计算 =++++2001
4001200132001220011 。 17、计算 22222222
1111
100520102010?= 。
18、计算
=?1234512345
2222222222
999999999999999123451234512345 。
19、把0.234234234… 化成分数，则0.234234234…= 。
20、把*
*183.1化成分数，则*
*183.1= 。
第一讲 有理数测试（1）
1、计算 22222222
1111
100520102010?= 。
2、 计算 9
819)375.41213(145
232852÷+?-
3、)13
3
1()2.1()125.0321(117-?-÷-?- = 。
4、计算 =-?-÷-+-??-8
933)1()1(]3
2
2)2(5[25.13 。
5、把2.1454545… 化成分数
第一讲 有理数（1）答案
一、例题 例1、 在18,)1(,1,)
1(183
2011
----这四个有理数中，负数共有（ B ）
（A ） 1个 . (B) 2个 . (C) 3个 . (D) 4个 . 例2、有如下四个命题： ①有理数的相反数是正数；
②两个同类项的数字系数是相同的；
③两个有理数的和的绝对值大于这两个有理数绝对值的和； ④两个负有理数的比值是正数，（ √ ） 其中真命题有（ D ）
(A) 4个 . (B) 3个 . (C) 2个 . (D) 1个 例3、有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则19981998b a +等于（ B ） (A) 0. (B) 1. (C) 1- . (D) 2.
解：1±=a ，b=0，则19981998
b a
+10)1(19981998=+± 例4、两个十位数1111111111和9999999999的乘积的数字中奇数的个数为（ C ）
A 、 8
B 、 9
C 、 10
D 、 11 例5、 22)34(34?--?-等于（ C ）
(A) 0. (B) 72. (C) 180- . (D) 108. 解：原式=180209)164(9349422-=?-=+?-=?-?-
例6、)13
3
1()2.1()125.0321(
117-?-÷-?- = 。 解：原式=131665323117131665)324321(117131656)81321(
117???=??-?-=?÷-?- 445
65239=??=
例7、计算 =-?-?-+-?+?+-)2(4
3
43)15()7(4312)613121( 。
解：原式=11154)20(4
3
4)2157(43246-=-=-?+=+--?++-
例8、计算 =-?-÷-+-??-8
933)1()1(]3
22)2(5[25.13 。
解：原式=26912701)8(45
271)8385(4527=-=--??-=-?--??-
例9、计算：=??-??-??-??-200020030040010)565()454()343()232(1536239
=?
例10、 )10
1
98()9187()8176()7165()6154()5143(-++++++++++等于（ B ）
(A) 5.5. (B) 5.65. (C) 6.05. (D) 5.85
解：原式=
65.51015143=-?+
例11、从和式 12
1
10181614121++
+++中，必须去掉某两项才能使余下的项的和等于1，去掉的这两项是（ ）
A 、
41和121 B 、 81和121 C 、 61和81 D 、 81和101 解：由 21211+=，414121+=，12
1
6141+=。知选D
例12、计算 85
314526612833531218++++++
解：原式27481585833526531612314218=++=++++++=
）（）（）（ 例13、计算 1111111112199919981998? （5.021=，25.041=，75.043=，125.08
1
=）
解：原式=100011111121999100011998??? （375.083=，625.085=，875.087
=）
1011111119991998???=101
22
= 例14、 计算 9819)375.41213(145232852÷+?- 解：原式=211722144738)711821(1799241797118219179)8351237(143332811=-=?-=?-=
÷+?- 原式=21172215921881475656179
9241797118219179)8351237(143332811==-=??-=
÷+?- 例15、把2.1454545… 化成分数
解：设 1454545.2=x
则 454545.2110=x ① 4545.21451000=x ② ② - ① 得 2124990=x 解得 55
118
9902124==
x 第一讲 有理数（1）练习题
一、选择题
1、设a 是最小的自然数，b 是最大负整数，c 是绝对值最小的有理数，则c b a +-等于（ C ） (A) 1- . (B) 0. (C) 1 . (D) 2
2、下面说法中不正确的是（ C ）
(A) 有最小的自然数 (B) 没有最小的正有理数 (C) 没有最大的负整数 (D) 没有最大的非负数
3、若n 是自然数，并且有理数a , b 满足01
=+
b
a ，则必有（ D ） (A) 0)1(2=+n n
b a (B) 0)
1(122=++n n
b a (C) 0)1(22=+n n b a (D) 0)1(121
2=+++n n b
a
4、如果a , b 为有理数，并且a ＋b 的值大于b a -的值，那么（ D ）
(A) a , b 同号 (B) a , b 异号 (C) a > 0 (D) b > 0 5、a 为有理数，那么，a 和a -的大小关系是（ D ）
(A) a 大于a - (B) a 小于a - (C) a 大于a - 或 a 小于a - (D) a 不一定大于a - 6、设a , b 是有理数，则下列式子中成立的是（ C ）
(A) b a b a +=+ (B) 当b < 0 < a 时， 有 b a b a +>+ (C) 当a < 0 < b 时，有 b a b a +<+ (D) 当 a < b < 0 时 ，有 b a b a -<+ 二、填空题
7、初一“数学晚会”上，有10个同学藏在10个大盾牌后面，男同学的盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数，这10个盾牌如下所示：
在盾牌后面的同学中有女同学 4 人；男同学 6 人。 8、用简便方法计算
⑴、 =++++999979997997977 。
解：原式=15)399997()39997()3997()397()37(-+++++++++ =111095151111101510000010000100010010=-=-++++
⑵、=+++-+-+++-+-+++-+-+151413)12()11(109)8()7(65)4()3(2
解：原式=[][][][][
][]2913)12()11(109)8()7(65)4()3(2++-+-+++-+-+++-+-+ 29=
9、计算 =+÷--÷2
222)2
3(3.06.0)211()3.0( 。
解：原式=09.125.22.104.041
22.19409.0493.036.04909.0=+-=+-?=+÷-÷
10、计算 =-÷?-+-?-)]2()53
2.01(35[3 。
解：原式=25
8
625158751583)753375125(3)21252235(3==?=+?=?-
-?-
11、计算 =-÷--)87
()12787431( 。 解：原式=31
3212)78()1278747(-=++-=-?--
12、计算 =--÷-)127
87431()87( 。
解：原式=3724
)87(247)87()241424212442(
)87()1278747()87(-=?-=÷-=--÷-=--÷- 13、计算 =----)]}5
1
1(411[311{211 。
解：原式=120
1
2415120124132)511(2416121)511(41161211-
=+-=--+=??????--+-
30
1912076120112075==+=
14、计算 =-÷--+÷-?-332)2(]3)5[(]6)71[(4 。 解：原式=321616812816)8()3125()1(42=+=÷+=-÷--+-?-
15、计算=-?+-?-+?-?--
)54
2(5.4542)4125(54275.3548)1638161(）（ 。 解：原式）（2
1
4412543355424816348814861-+-?+?-?-?=
4942715514968-=-+-=-?+--）（）（ 16、计算
=++++20014001
200132001220011 。 解： 令20014001
200132001220011S ++++= 反序排列2001
1
200139992001400020014001S ++++= 上两式相加得：）（）（）（2001
12001400120014000200122001400120011S 2++++++= 40012222?=+++= 所以4001S =
17、计算 222222221111
100520102010?= 。
解：原式=
11000122221111
1005100012010=??? 18、计算
=?1234512345
2222222222
999999999999999123451234512345 。 解：原式=
9
2
100001123451000012222211000010000999991100001000012345=????? 19、把0.234234234… 化成分数，则0.234234234…= 。
解：设 234234234.0=x ① 则 234234.2341000=x ② ② - ① 得 234999=x 解得 111
26
33378999234===
x 20、把*
*183.1化成分数，则*
*183.1= 。 解：设 ?
?=183.1x
则 ?
?=18.1310x ① ??=18.13811000x ② ② - ① 得 1368990=x
解得 55
76
9901368==
x 第一讲 有理数测试（1）
1、计算
222222221111
100520102010?= 。
解：原式=
11000122221111
1005100012010=??? 2、 计算 9
819)375.41213(145232852÷+?- 解：原式=211722144-73
8711-821179924179711-8219
1798351237143332-821==??
?? ??=?=÷
??? ??+?
原式=
211722188-14756561799
24179711
-8219
1798351237143332-821==??=÷?
?? ??+? 3、)13
3
1()2.1()125.0321(
117-?-÷-?- = 。 解：原式=131665323117131665)324321(117131656)81321(
117???=??-?-=?÷-?- 4
45
65239=??=
4、计算 =-?-÷-+-??-8
933)1()1(]3
22)2(5[25.13 。
解：原式=26912701)8(4
5
271)8385(4527=-=--??-=-?--??
- 5、把2.1454545… 化成分数
解：设 1454545.2=x
则 45454
5.2110=x ① 454545.21451000=x ② ② - ① 得 2124990=x
解得 55
118
9902124==
x
有理数运算中的几个技巧 有理数的运算是初中数学中的基础运算，熟练地掌握有关的运算技巧，巧妙地运用有关数学方法，是提高运算速度和准确性的必要保证．下面介绍一些运算技巧． 一、 归类运算 进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷．如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等． 例1 计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)． 解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) = (－0.5 + 2.75) + (341－721) = 2.25－44 1=－2 ． 解法二：－(0.5)－(－3 41) + 2.75－(721) =－0.5 + 341+ 2.75－721= (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －21=－2． 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法． 二、 凑整求和 将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率． 例2 计算：36.54228263.46+-+。 解：原式()36.5463.462282=++- 1002282=+- 12282=- 40=。 在有理数的运算中，为了计算的方便，常把非整数凑成整数，一般凑成整一、整十、整百、整千等数，这样便于迅速得到答案． 三、 裂项相消法:凡是带有省略号的分数加减运算，可以用这种方法 例： 解：应用关系式 来进行“拆项”。 原式
四、 逆用运算律 在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快． 例4 计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88． 解：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88 =17.48×37＋(17.48×10)×1.9＋17.48×44 =17.48×37＋17.48×19＋17.48×44 = 17.48×(37＋19＋44) = 1748． 评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率． 五、 巧拆项 将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。 例5 计算：111125434236 -+-+。 解：原式()111125434236??=-+-++-+-+ ?? ? 3642212121212??=+- +-+ ??? 11221212 =+=。 例6 计算：20082009200920092009200820082008?-?。 解：原式2008200910001000120092008100010001=??-?? 0=。 评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决． 六、 分组搭配 观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算． 例7 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69． 解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69 = (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69) = 0＋0＋0＋…＋0 = 0． 评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题． 七、 倒序相加 在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．
小专题一) 有理数的混合运算 1．计算： (1)(－8)－(＋3)＋(－6)－(－17)； 解：原式＝－8－3－6＋17 ＝0. (2)－1.3＋4.5－5.7＋3.5； 解：原式＝(－1.3－5.7)＋(4.5＋3.5) ＝1. (3)－9＋6－(＋11)－(－15)； 解：原式＝－9＋6－11＋15 ＝(－9－11)＋(6＋15) ＝－20＋21 ＝1. (4)34－72＋(－16)－(－23 )－1； 解：原式＝34－72－16＋23 －1 ＝－134 . (5)113＋(－25)＋415＋(－43)＋(－15 )． 解：原式＝[113＋(－43)]＋[(－25)＋(－15)]＋415 ＝0＋(－35)＋415 ＝－13 . 2．计算：
(1)23÷12×4； 解：原式＝23×2×4 ＝184. (2)(－12)3×82； 解：原式＝－18×64 ＝－8. (3)(－3)×(－56)÷(－114)； 解：原式＝－3×56÷54 ＝－3×56×45 ＝－2. (4)18－6÷(－2)×(－13); 解：原式＝18－6×(－12)×??? ?－13 ＝18－1 ＝17. (5)2－(－4)＋8÷(－2)＋(－3)． 解：原式＝2＋4－4－3 ＝－1. 3．计算： (1)－14－2×(－3)2÷(－16)； 解：原式＝－1＋2×9×6 ＝－1＋108
＝107. (2)(－2)2×7－(－3)×6－|－5|； 解：原式＝4×7＋18－5 ＝28＋18－5 ＝41. (3)8－23÷(－4)×(－7＋5)； 解：原式＝8－8÷4×2 ＝8－4 ＝4. (4)－32＋5×(－85 )－(－4)2÷(－8)； 解：原式＝－9－8＋2 ＝－17＋2 ＝－15. (5)(－43)÷29 －16÷[(－2)3＋4]； 解：原式＝－43×92 －16÷(－4) ＝－6＋4 ＝－2. (6)(－1)3×(－12)÷[(－4)2＋2×(－5)]． 解：原式＝12÷(16－10) ＝12÷6 ＝2. 4．计算： (1)(－4)2×(－2)÷[(－2)3－(－4)]；
七年级上有理数混合运算50道 1、(－4 87)－(－521)+(－441)－38 1 2、1 3、0+1－［(－1)－(－73)－(+5)－(－7 4)］+｜－4｜ 3、15、－432+11211－1741－218 17； / 4、－40－28－(－19)+(－24)－(－32)； 5、()?? ? ??++--??? ??-+2175.2415.0 "
6、)4 12()831()75.7()854(-+-+-+- 7、102×-(-3)×(-5) ÷2 ^ 8、×＋× 9、(-2)+2-(-52)×(-1) ×5+87÷(-3)×(-1) 10、 ×〔(-3)×(-5)〕÷2 、
11、××÷ 12、127+352+73+44×(-2) 13、89×276+(-135)-33 、 14、25×71+75÷29 -88÷(-2) 15、243+89+111+57 16、148+3328÷64-75 17、360×24÷32+730 \ 18、51+（2304-2042）×23 19、4215+（4361-716）÷81
20、（247+18）×27÷25 21、36-720÷（360÷18） [ 22、1080÷（63-54）×80 23、8528÷41×38-904 24、264+318-8280÷69 25、1406+735×9÷45 26、796-5040÷（630÷7）27、285+（3000-372）÷36 | 28、1+2+3+4+......+100000
29、(-3/4+4) 30、-(+ （ 31、-1-〔1-÷3)〕×〔2-(-3)×(-4)〕 32、3×(-2)2+(-2×3)2+(-2+3)2 ? 33、80400－(4300＋870÷15) 34、240×78÷（154-115）35、2160÷〔（83-79）×18〕36、325÷13×(266－250)
七年级数学有理数计算题练习（要求：认真、仔细、准确率高） 1、 111117(113)(2)92844?-+?- 2、（—3 15）÷（—16）÷（—2） 3、 –4 + 2 ×(-3) –6÷0.25 4、（—5）÷［1.85—（2—43 1）×7］ 5、 18÷{1-[0.4+ (1-0.4)]×0.4 6、1÷( 61-31)×61 7、 –3-[4-(4-3.5×31)]×[-2+(-3) ] 8、 8+(-4 1)- 5- (- 0.25) 9、 99 × 26 10、 (3.5-7.75-4.25)÷1.1 11、13 611754136227231++-; 12、()5.5-+()2.3-()5.2--－4.8 13、()8-)02.0()25(-?-? 14、(－371)÷(461－1221)÷(－2511)×(－143) 15、－11312×3152－11513×41312－3×(－11513) 16、41+3265+2131-- 17、()()4+×733×250)-(.- 18、=++-)3()12( 19、=-++)4()15( 20、=-+-)8()16( 21、=+++)24()23( 22、=+-132)102( 23、=+(-11)(-32) 24、=+-0)35( 25、=-+)85(78 26、)3()26()2()4()14(-+++-+-++ 27、)15()41()26()83(++-+++- 28、)2.0(3.1)9.0()7.0()8.1(-++-+++- 29、)326()434()313(41-+++-+ 30、=+--)15()14( 31、=---)16()14( 32、=--+)9()12( 33、=+-)17(12 34、=+-)52(0 35、=--)11(108 36、=+-)3.2(8.4 37、=--)2 1 3(2 38、)5()]7()4[(--+-- 39、]12)3[(3--- 40、)109(8-- 41、)106()53(--- 42、543210-+-+- 43、2.104.87.52.4+-+-
七年级数学上册有理数的巧算专项训练 1．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445． 例2在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 2．用字母表示数 我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：
这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________，于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________这个公式叫――平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算． 例3 计算3001×2999的值． 练习1 计算103×97×10009的值． 练习2 计算： 练习3 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
练习4 计算： ． 3．观察算式找规律 例4某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分． 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．
例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．例6计算1+5+52+53+…+599+5100的值．例7 计算： 练习一：
1．计算下列各式的值： (1)-1+3-5+7-9+11-…-2009+2011； (2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100； (3)1991×1999-1990×2000； (4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636；
第一讲有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． 1．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1计算： 分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．
注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算． 例2计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算． 解原式＝(211×555+211×445)+(445×789+555×789) ＝211×(555+445)+(445+555)×789 ＝211×1000+1000×789 ＝1000×(211+789) ＝1 000 000． 说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧． 例3计算：S＝1-2+3-4+…+(-1)n+1·n． 分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法． 解 S＝(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n． 下面需对n的奇偶性进行讨论： 当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有 当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n＝n，所以有 例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1． 现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然
七年级数学上册有理数基础计算题练习 一、选择题： 1、下列计算正确的是( ) A.﹣7﹣8=﹣1 B.5+(﹣2)=3 C.﹣6+0=0 D.4﹣13=9 2、计算1－(－2)的正确结果是( ) A.－2 B.－1 C.1 D.3 3、计算－3＋(－5)的结果是( ) A.－2 B.－8 C.8 D.2 4、计算(﹣20)+16的结果是( ) A.﹣4 B.4 C.﹣2016 D.2016 5、若等式﹣2□(﹣2)=4成立，则“□”内的运算符号是( ) A.+ B.﹣ C.× D.÷ 6、计算(﹣4)×(﹣3)的结果等于( ) A.﹣12 B.﹣7 C.7 D.12 7、下列计算正确的是( ) A.(－14)－(＋5)= －9 B. 0－(－3)=0＋(－3) C.(－3)×(－3)= －6 D.|3－5|= 5－3 8、计算：3－2×(－1)=( ) A.5 B.1 C.－1 D.6 9、下列各对数中，相等的一对数是( ) A.﹣23与﹣32 B.(﹣2)3与﹣23 C.(﹣3)2与﹣32 D.﹣(﹣2)与﹣|﹣2| 10、计算﹣32的结果是( ) A.9 B.﹣9 C.6 D.﹣6 二、填空题: 11、某个地区，一天早晨的温度是﹣7℃，中午上升了12℃，则中午的温度是℃. 12、计算：﹣3﹣(﹣5)= . 13、计算：4﹣|﹣6|= . 14、计算：﹣1﹣2= . 15、计算：|﹣3|﹣2= . 16、计算: . 17、计算：= 18、如图是一数值转换机，若输入的x为﹣2，则输出的结果为 .
三、计算题: 19、12﹣(﹣18)+(﹣7)﹣15； 20、(-7)-(+5)+(-4)-(-10)； 21、15﹣(﹣8)﹣12； 22、12﹣(﹣3)+|﹣5| 23、. 24、 25、|－2|－(－3)×(－15)； 26、 27、； 28、 29、； 30、 31、32、
第二讲 有理数的巧算技巧与巧算答案 基础夯实： 一、填空题 1、计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）＝___-50_______ 2、计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99＝_____-50_____ 3、若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ___＜_____ 0.（填＞、＜号） 4、如果|a |＝3，|b |＝2，若ab ＜0，那么a -b ＝_____5_____ 5、25.2-减去85-与8 3 -的差，所得的结果 ＝______-2____ 2 1 2-、+3、-1.2的和比它们绝对值的和小＝_____7.4_____ 6、若实数a 、b 满足0a b a b +=，则ab ab ＝_____-1______. 7、如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为 1 2 的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为1 4的正方形 等分成两个面积为1 8 的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算 11111111 248163264128256 +++++++ ＝____256255 ______. 8、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为2，点A 与原点O 的距离为6，则所有满足条件的点B 与 原点O 的距离的和为___0______； 9、计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=???归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测1-22018的个位数字是______3____. 10．．、．3．.．05．．万是精确到．．．．．__．．百______．．．．．．位的近似数．．．．．．． 11、地球到太阳的距离大约是150000000千米，用科学记数法表示为__11 101.5?_______ 米． 12．．、测得某同学的身高约是．．．．．．．．．．．1．.．66．．米，那么意味着他的身高的精确值．．．．．．．．．．．．．．．h ．的取值范围是在．．．．．．． 1.665h 1.655<≤ ．． 二、选择题 1、在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ B ） A ． 1 B ．0 C ．－1 D ．－3 2、若a ＜0，则|a －(－a )|等于（ D ） A ．－a B ．0 C ．2a D ．－2a 3、两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ D ） A ．两数一定都是正数 B ．两数都不为0
初一奥数数学竞赛第一讲有理数的巧算 1．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1计算： 分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化． 注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算． 例2计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算． 解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789
=211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000． 说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧． 例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n． 分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法． 解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n． 下面需对n的奇偶性进行讨论： 当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有 当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有 例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1． 现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0． 这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即
2018年七年级数学上册有理数计算题专项练习1、计算：； 2、计算：（﹣12）+（﹣13）﹣（﹣14）﹣15+16 3、计算： 4、计算：7－(－4)+( －5) 5、计算：. 6、计算：（﹣3）＋7＋8＋（﹣9）． 7、计算：7－(－3)＋(－5)－|－8| 8、计算：23﹣37+3﹣52 9、计算：0.35+（﹣0.6）+0.25+（﹣5.4）
10、计算： 11、计算： 12、计算： 13、计算： 14、计算：（﹣7）×（﹣5）﹣90÷（﹣15）； 15、计算：-8 - |+4| - 3×（-5） -（-1） 16、计算：（-3）×（-4）×（-5）+（-5）×（-7）； 17、计算：（﹣12）÷4×（﹣6）÷2
18、计算：23﹣6×（﹣3）+2×（﹣4） 19、计算：（﹣5）×6+（﹣125）÷（﹣5）； 20、计算：|－2|－(－3)×(－15)； 21、计算： 22、计算： 23、计算： 24、计算：
25、计算： 26、计算： 27、计算：. 28、计算：÷； 29、计算：
30、计算： 参考答案 1、-3； 2、-10； 3、8； 4、6； 5、－1； 6、3； 7、—3； 8、﹣63； 9、﹣5.4． 10、； 11、-12； 12、1； 13、-20； 14、41； 15、4； 16、-25； 17、9； 18、33； 19、﹣5； 20、－43. 21、-6； 22、； 23、2.6； 24、-； 81 625、-31； 26、16； 27、-1； 28、13； 29、18. 30、－41；
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 七年级数学有理数计算题练习（要求：认真、仔细、准确率高） 1、 111117(113)(2)92844?-+?- 2、（—3 1 5）÷（—16）÷（—2） 3、 –4 + 2 ×(-3) –6÷0.25 4、（—5）÷［1.85—（2—4 3 1）×7］ 5、 18÷{1-[0.4+ (1-0.4)]×0.4 6、1÷( 61-31)×6 1 7、 –3-[4-(4-3.5×31)]×[-2+(-3) ] 8、 8+(-41 )- 5- (- 0.25) 9、 99 × 26 10、 (3.5-7.75-4.25)÷1.1 11、13 6 11754136227231++-; 12、()5.5-+()2.3-()5.2--－4.8 13、()8-)02.0()25(-?-? 14、(－371)÷(461 －122 1)÷(－2511)×(－14 3) 15、－11312×3152－11513×41312－3×(－115 13 ) 16、41+3265+2131-- 17、()()4+×73 3×250)-(.- 18、=++-)3()12( 19、=-++)4()15( 20、=-+-)8()16( 21、=+++)24()23( 22、=+-132)102( 23、=+(-11)(-32) 24、=+-0)35( 25、=-+)85(78 26、)3()26()2()4()14(-+++-+-++ 27、)15()41()26()83(++-+++- 28、)2.0(3.1)9.0()7.0()8.1(-++-+++- 29、)326()434()313(41-+++-+ 30、=+--)15()14( 31、=---)16()14( 32、=--+)9()12( 33、=+-)17(12 34、=+-)52(0 35、=--)11(108
第一讲有理数的巧算 【学习导航】 有理数的运算是中学数学中一切运算的基础。它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算。不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。 1．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 试一试 (1)-1+3-5+7-9+11-…-2009+2011；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100； 例2在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 2．用字母表示数 我们先来计算(100+2)×(100-2)的值： 这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________ 于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________ 这个公式叫――___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算． 例3计算3001×2999的值．
试一试 （1）103×97×10009 （2） （3）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) （4） 3．观察算式找规律 例4某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88． 例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值． 例6计算 1+5+52+53+…+599+5100的值． 例7 计算：
(1)53141553266767????????-+-++--+ ? ? ? ????????? (2) (－1.5)＋134??+ ???＋(＋3.75)＋142??- ??? (3)()??? ??--++??? ??-+??? ??+-??? ??-41153141325 (4) 222348312131355??????+-++-+- ? ? ??????? (5) )75.1(321432323+-??? ??--??? ??--??? ? ?- (6) 711145438248????????---+--+ ? ? ? ????????? (7) ??? ??+-??? ??--??? ? ?-+??? ??++??? ??-411433212411211 (8) 151.225 3.4( 1.2)66????-+------ ? ????? (9) 1111122389910++++???? (10) 11111335979999101++++???? 20、已知的值是那么y x y x +==,2 13,6 ． 22、若8a =，3b =，且0a >，0b <，则a b -＝________． 24、若0a <，那么()a a --等于___________． 27、 若||||a b a b =-=312，，且、异号，则a b -=___________． 28、用“＞”或“＜”号填空：有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图： 则a ＋b ＋c ______0；|a |______|b |；a －b ＋c ______0；a ＋c ＿＿＿b ；c －b ＿＿＿a ； 32、一个小吃店去超市买10袋面粉，这10袋面粉的重量分别为：24.8千克，25.1千 克，24.3千克，24.6千克，25.5千克，25.3千克，24.9千克，25.0千克24.7千克，25.1千克，你能很快就求出这10袋面粉的总重量吗？
老师 姓名 学生姓名教材版本________版 学科 名称 年级七上课时间月日 _ : -- _ : 课题 名称 第六讲有理数巧算 教学 目标 及重 难点 巧算练习 教学过程复习检查 知识梳理 裂项法 零点分段法 1.零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．绝对值的几何意义的拓展 1.a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． 2.a b 的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离． 典型例题 1．利用裂项技巧计算（）×33时，最恰当的方案可以是（）
A．（100﹣）×33 B．（﹣100﹣）×33 C．﹣（99+）×33 D．﹣（100﹣）×33 2．在计算＝﹣×（﹣24）…．①＝12+6+4＝22中①运用了（） A．加法结合律B．加法交换律C．乘法分配律D．加法分配律 3．阅读下面计算+++…+的过程，然后填空． 解：∵＝（﹣），＝（﹣），…，＝（﹣）， ∴+++…+ ＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣） ＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣） ＝（﹣） ＝． 以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成： （1）+＝； （2）当+++…+x＝时，最后一项x＝． 4．计算：++…+（提示：裂项法） 5．阅读下面文字： 对于（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3） 可以如下计算： 原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]
＝[（一5）+（﹣9）+17+（一3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]＝0+（﹣1）＝﹣1 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，请你计算：（﹣1）+（﹣2000）+4000+（﹣1999） 6．请你观察： ＝﹣，＝﹣；＝﹣；… +＝﹣+﹣＝1﹣＝； ++＝﹣+﹣+﹣＝1﹣＝；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 请类比完成： （1）+++＝； （2）++++…+＝． （3）计算：++++的值． 7．阅读下列计算方法，再用这种方法计算下面一题． 计算：（﹣9）+17+（﹣3）． 解：原式＝[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]＝[（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）++（﹣）]＝5+0＝5． 上面这种解题方法叫做拆项法，根据拆项法计算：（﹣1999）+4000+（﹣1）
第一讲 绝对值、有理数的巧算专题 一、知识梳理 1.非负数 一个数的绝对值是非负数，一个数的平方（四次方，六次方等偶次方）都是非负数. 即，0≥a ，02≥a ，为正整数）（其中n a n 02≥ 2.裂项常用到的关系式 （1）b a a b b a 11+=+； （2）111)1(1+-=+a a a a ； （3）b a a b a a b +-=+11)(； （4）2 )1(321n n n ?+=++++Λ. 3.绝对值表示距离的应用 n n a x a x a x a x a x a x -+-++-+-+-+--14321Λ：表示求数x 分别到数 n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ的距离和（其中n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ是数轴 上依次排列的点表示的有理数）. （1）当n 为偶数时，若1 22+≤≤n n a x a ，则原式有最小值； （2）当n 为奇数时，若2 1+=n a x ，则原式有最小值. 4.乘方中的计算公式 （1）n n n b a b a ?=?)(； （2）?????-=-为偶数时当，为奇数时当，n a n a a n n n )( 二、典例剖析 专题一：一个数的绝对值与其本身的关系的应用——a a 例题1 用a 、 b 、 c 表示任意三个非零的有理数，求c c b b a a ++的值. 【活学活用】 1.设0 2.若0≠ab ，则b b a a +的取值不可能是（ ） A.0 B.1 C.2 D.-2 3.用a 、b 表示任意两个有理数，若0≠ab ，则ab ab b b a a ++的取值可能是（ ） A. 0 B.1 C.3或1 D.3或-1 ★4．三个有理a 、b 、c 满足0,0>++ 初中部 年级 (学科)导学案 学案编号： 班级： 姓名： 执笔： 审核： 审批： 印数： 教师评价： 课题： 常见有理数巧算的技巧 〖学习目标〗能巧妙运用有关数学定律和数学方法，解决复杂的有理数计算题。 1.〖重点难点预见〗利用运算律巧算 2.凑整法计算 3.恰当分组计算 4.裂相想消巧算 5.分解相约计算 6.错位相减计算 〖学习流程〗 1.利用运算律巧算 例1.()()[]5413431618387 ÷-?-+- 小结：在计算中应该合理的使用各种运算规律，才能使计算变得简单有序 2.凑整法计算 例1. 89+899+8999+89999+899999 小结：找到一定规律，使数凑成整数 3.恰当分组计算 例2. (1+3+......+2011) —（2+4+ (2010) 小结：如何将一个算式分成若干个才能使计算变得简单 4.裂相想消巧算 例4. 211?+321?+431?+ (200019991) 小结：根据特点，将其中一些分数适当拆开，使得拆开后有一些分数可以互相抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫做拆项法。常用的拆项方法：①()111 11 ++?-=n n n n ②d n n d n n d ++?-=11)(③()()211+?+?n n n =()()()[]21111 21 +?++?-?n n n n 5.分解相约计算 例5.2006?20082008—2008?20062006 小结：分解的目的是为了找到相同项 6.错位相减计算 例6. S=1+2+22+32+........+20112 小结：n 2=122-?n ，常见与错位相减得计算中 人教版七年级上册有理数计算题 有理数加法 38+ (— 22) + (+62) + (— 78) (—I) +0+ (+ 1) + (— 6) + (—扌) (—9) + (— 13) (—12) +27 (—28) + (— 34) 67+ (— 92) (—27.8)+43.9 (—23) +7+ (— 152) +65 (—8) + (— 10) +2+ (— 1) (—8) +47+18+ (— 27) (—5) +21+ (— 95) +29 (—8.25) +8.25+ (— 0.25) + (— 5.75) + (— 7.5) 6+ (— 7) + (9) +2 72+65+ (-105) + (— 28) (—23) +1 — 63|+|— 371+ (— 77) 19+ (— 195) +47 ( + 18) + (— 32) + (— 16) + (+26) (—0.8) + (— 1.2) + (— 0.6) + (— 2.4) (—8) + (— 3? ) +2+ (—疔)+12 5 ∣+ (— 53)+4f + (— 3) (-6.37) + (— 33 ) +6.37+2.75 (—善)—3 —(— 3.2) — 7 (+6.1) — (— 4.3) — (— 2.1)— 5.1 (+4.3) — (— 4) + (— 2.3) — ( +4) 有理数减法 8-9 -8-9 0— (— 9) (—25)-( — 13) 8.2 — (— 6.3) (—31)— 5? (— 12.5) — (— 7.5) (—26)— (— 12) —12—18 —1 —(— 4)—(+4) (—20)— (+5) — (— 5) — (— 12) (—23)—( — 59) — (— 3.5) |— 32— (— 12)—72 — (— 5) （+ 存）—（一 （+7）—（— 7）— 7 (—t )— (— 13) — (— 1?)— (+1.75) (—3|) — (— 2疋—(—侶)—(—1.75) —8 4 — 5f + 46 — 39 —44 +^6+( — 1)—i 0.5+ (— i )— (— 2.75) +2 有理数运算的几种特殊方法 王尧兴 有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算，不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。 一、倒序相加法 例1 计算1＋3＋5＋7＋……＋1997＋1999的值。 分析：观察发现：算式中从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可用如下解法。 解：用字母S表示所求算式，即 S＝1＋3＋5＋……＋1997＋1999。① 再将S各项倒过来写为 S＝1999＋1997＋1995＋……＋3＋1。② \ 将①，②两式左右分别相加，得 从而有 说明：该题之所以想到倒序相加，是因为这一组数字前面的数字与后面对应位置的数字之和相等，倒过来相加正好凑成一组相同的数字。 另该式后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用表示；最后一项叫末项，通常用表示，相等的差叫公差，通常用d表示，项数 用n表示（），则该题也可以用等差数列的求和（）公式： 来计算。 二、错位相减法 例2 计算的值。 分析：观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍，如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算。 解：设，① 所以② 【 ②－①，得，所以。 说明：如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决。 三、裂项相减法 例3 计算 分析：一般情况下，分数计算是先通分，但本题通分计算很繁。由1＋2＋……＋100想到等差数列求和公式：，所以，又有想到，从而把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法。 解：原式 说明：本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相抵消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用。 … 四、换元法 在有理数运算及其他代数式的运算中，我们常常把式中出现的相同部分用字母表示，从而使问题简化。 例4 计算： 分析：四个括号中均包含一个共同部分：，我们用一个字母表示它以简化计算。 初一数学100道有理数计算题 1、 111117(113)(2)92844 ?-+?- 2、4 19932(4)(1416)41313??--?-÷-???? 3、 33221121(5533)22??????--÷+?+?? ? ????????? 4、2335(2)(10.8)114??---+-?÷--???? 5、（—3 15）÷（—16）÷（—2） 6、 –4 + 2 ×(-3) –6÷ 7、（—5）÷［—（2—4 31）×7］ 8、 18÷{1-[+ ]× 9、1÷( 61-31)×6 1 10、 –3-[4-×3 1)]×[-2+(-3) ] 11、 8+(-4 1)- 5- (- 12、 99 × 26 13、 14、|])21((|31)322(|)2(41[|)116(2152 3---÷-?-+---- 15、13 611754136227231++-; 16、2001 2002200336353?+?- 17、()5.5-+()2.3-()5.2--－ 18、()8-)02.0()25(-?-? 19、2 1+()23-??? ??-?21 20、81)4(2833--÷- 21、100()()222---÷?? ? ??-÷32 22、(－371)÷(461－122 1)÷(－2511)×(－143) 23、(－2)14×(－3)15×(－6 1 )14 24、－42＋5×(－4)2－(－1)51 ×(－61)＋(－22 1)÷(－241) 25、－11312×3152－11513×41312－3×(－11513) 26、4 1+3265+2131-- 27、()()4+×7 33×250)-(.- 28、=++-)3()12( 29、=-++)4()15( 30、=-+-)8()16( 31、=+++)24()23( 有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． 1．括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单． 例1 计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445． 例2 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 2．用字母表示数 我们先来计算(100+2)×(100-2)的值： 这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过 程变为(a+b)(a-b)=___________ 于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________ 这个公式叫___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明 过程，可直接利用该公式计算． 例3 计算 3001×2999的值． 练习1 计算 103×97×10 009的值．练习2 计算： 练习3 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)． 练习4 计算： ． 3．观察算式找规律 例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分． 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值． 例6 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值． 例7 计算：常见有理数巧算的技巧
人教版七年级上册有理数计算题
有理数运算的几种特殊方法
初一数学100道有理数计算题
福建省泉州市泉港三川中学九年级数学奥数提高班 第一讲 有理数的巧算 华东师大版
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