第一讲有理数的巧算
趣题引路】
(第6届“希望杯"竞赛试题改编)计算：
2004 X 20032003+2005 X 20042004 一 2003 X 20042004 一 2004 X 20052005
解析 原式=2004 X 20032003 一 2003 X 20042004+2005 X 20042004一2004 X 20052005
=(2004 X 2003 X 10001-2003 X 2004 X 10001)+(2005 X 2004 X 10001- 2004 X 2005 X 10001) =0
点评:赢赢型式子通常将它化成^cXlOOl 型式子，有的问题还利用到1001=7X11X13这一特点 来进行考査，有理数的运算有许多技巧和方法，是中考和竞赛的热点。
知识延伸】 一、 巧用运算律
进行有理数运算时注意符号的处理，再看是否可以用运算律简化运算。
7
113 1 1
例 1 计算：(1)-1999- X 16： (2)(-一一一 +二一一)-(——)
8
6 36 4 12 48
解析⑴原式=-(2000-])><16
8
= -(3200-2) = -31998
(2)原式=一(一丄一丄 + 丄)><48=—(一8 — 已 +36—4)=一 22??
6 36 4 12 3 3
7 1
点评:⑴像1999_、2003等数字在参与运算时，往往将其写成2000--、2000+3的形式：(2)利用乘
8 8
法对加法的分配律时，应注意符号的处理技巧，尽量以免错误。
二、 有理数大小的比较
有理数大小比较的一般规律：正数>零>负数：两个负数比较大小，绝对值大的反而小：两个正数比较 大小，倒数大的反而小、在进行有理数大小比较时，往往利用到作差、作商、倒数比较、平方比较以及运 用一些熟知的规律进行比较.
1991 QI log? 09
例2 (1992年"缙云杯“初中数学邀请赛试题)把-四个分数按从小到大的顺序
1992 92 1993 93
排列是 __________________________________ ?
a 疋
1992(
1 9
2 ,
1 1993(
1 93(
1
1991 1991 91 91 1992 1992 92 92
点评:比较分数的大小通常可以将分子化成相同或分母化成相同，再进行比较，除了通分外，倒数法也 是经常用到的方法?实际上，此类习题具有-般规律；弓<角⑴是正整数)，如！|<|斗…
199991
一
'92
1 1
<
922 3
11999999
而
丄
9191-92
< >
丄
9292-93
93
91-92
, < 92-9192
一
93 <
一
93
一921,, < 9 9 ^911919 9 9 9 9 1 1 <
< 2 3
929999 19'- 9 1 1
三. 有理数巧算的几种特殊方法
有理数运算时，经常会出现一些较大或较多的数求和的问题，仔细观察它们的特点，探求英中的规律, 往往可以为解题开辟新的途径.
1 ?倒序相加法
例 3 计算：(1)1+2 + 3 + ???+2003 + 2004：
(2)1 — 2 + 3—4+??? + 2003 — 2004?
解析(1)设S=l+2+3 + ??? + 2003+2004 ①
则 S=2004+2003 +…+3+2+1 ②
①+②，得
2S=(l+2004)+(2+2003)+???+(2004+l) =2005 + 2005 +…+2005 (共 2004 个 2005)
=2005X2004,
即原式=2009010?
(2)原式=(1 一2)+(3—4)+??? + (2003 — 20Q4)
= -1-1 ------------- 1(共 1002 个一 1) = -1002.
点评:(1)式的特点是：后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项， 通常用“I 表示；最后一项叫末项，通常用血表示；相等的差叫公差，通常用d 表示。由上面的方法不难 得到.
等差数列的求和⑸)公式：s 严曲曲;求项数⑷的公式：心丄空+1?
2
d
在以后的运算中，我们也可以直接应用这个公式解题.
(1) 式之所以想到倒序相加，是因为这一组数字前而的数字与后而对应位垃的数字之和相等，倒过来 相加正好凑成一组相
同的数字。
(2) 式也可以将它看成两组等差数列之和的差，但是题目本身有更突出的特点：从左到右每两个数字结 合起来正好都等于
一 1.这就说明，在我们动手做题之前，要仔细研究题目本身的特点，选择一种最佳的方 法.
2 ?错位相减法
例4计算：5+52+5$+…+5”? 解析设S=5 + 52+53+??? + 5S ① 贝 ij 5S=5?+53+…② ②一①，得 4S=5"T — 5,
一 57
4
，
亍利_ 5
即原式=——?
4
点评:本题显然不是一个等差数列求和的问题，怎么求和呢？这就需要我们去探索?为达到抵消中间一 些数的目的，采取两边乘以5再做减法，达到目的。
结合例3的点评，通过本题的特点你能总结出什么规律？
c _ 2005 x 2004
3 ------------------ =2009010,
3?裂项法。
例5（1993年“祖冲之杯”邀请赛试题）计算「+占+ ￡ + -?- +
解析原式门+硝冷）+ 2（卜扣…+ 2怙一命）
200
而
点评：由1+2 +…+10 0想到等差数列求和公式：S肿上理，所以= ?又由
2 S” （\ + n）n
丄-丄—想到-丄
n n + \/?(/?+ 1) n(n +1) n n + \
4?设元法
在有理数的运算以及苴他代数式的运算中，我们常常把式中岀现的相同部分用字母表示，从而使问题简化。
例6 计算：(— + — + — + — + — + —)(—+ — + — + — + — + —)-
31 37 41 47 53 69 29 31 37 41 47 53
z 1 1 1 1 1 1 1 x/ 1 1 1 1 1、
(—+ — + — + — + — + — +—)(— + — + — + — + —). 29 31
37 41 47 53 69 31 37 41 47 53
心1 1 1 1 1 1 1 11111 mil
29 31 37 41 47 53 69 31 37 41 47 53
原式=(川 + —)(??? - —) - mn
69 69
=mn + —（m一n） - mn -—-
69 692
=丄（丄+丄）-1 - 1- 1
69 69 29 69269x29 一2001
点评:对于式子中结构相同的部分我们通常可以用字母来表示，从而起到简化运算的作用」
5?数形结合法
例7计算当”无限大时，叫+ 的值.
好题妙解】佳题新题品味
1 +
2 ------ F100
=1,故原式=2.
例自然数按一泄规律排成下表，问第200行的第5个数是多少?
解析观察图表，第一行1个数，第二行2个数，……
可知第200行有200个数，从上至下，从左到右按连续自然数排列，因此，可先算第199行最后一个数为：
1+2+3+…+199=19900?
所以，第200行的第5个数是19905.
点评:仔细观察图形，发现数字个数，行数之间的规律.
中考真题欣赏
例 (桂林市中考题)计算：1-3+5-7+9-11+ -+97-99=_______________________________________ ?
解析原式=(1 一3)+(5—7)+(9—11)+???+(97—99),
式中共50个数，分成了25组，
二原式=(-2)X25=-50?
点评:1~99共99个数，苴中有49个偶数，50个奇数，50个奇数两两分成一组，共25组，每组计算结果是一2,故原式为一50.
竞赛样题欣赏
113 13 5 13 Q7
例(第10 届“五羊杯"初一赛题)计算:-
2 4 4 6 6 6 98 98 98
l+2=l x2/+2+5 = i x丄+2+…+艺亠9,
解析
4 4 2 6 6 6 2 98 98 98 2
原式=_(1 + 2 --------- F 49)
2
=612.5.
点评:研究每一部分的结构特点，找出规律.
过关检测】
1 2 3 2000 1 ?计算:
+ + + ? ? ? + 2001 2001 2001 2001
(22 +42 +62 +... + 1002)-(12 +32 +52 +... + 992)
1 +
2 +
3 +???+ 8 + 9 + 10 + 9 + 8 +…+1
2000 + 20002000 + 200020002000 +
2000200020002000
2001 + 20012001+200120012001+2001200120012001
2 ?计
算:
(2001-1) + (2000-2) + (1999-3)
+ ??. + (1002-1000)
3 ?计
算:
111...111222...2*333 (3)
? ——
丄〈 — ■ ? —
? 20(”个I
200】个2 200】个3
1
1 +
2
5 ?计算:
6?计算:
B 级
1
1 1 1 1
1. ----- H ------- + ------ + …+ ---------------- + ---------------- = 3x1 4x2 5x3 1999x1997 2000x1998 -
1x2x3 + 2x4x6 + 3x6x9 + 4x8x12 + 5x10x15
3.2000
」9⑼ 9991999 + 2000x1999-200E99J
200020002000
200(? -2001x1999
12 +22 22 +32 32 +42 --------+ ---------- H ---------
1x2 2x3 3x4
1 1 1
--- + ----- + ----- 1x2 2x3 3x4
5 ?计
算:
4 ?计算: 2000,+2001， 2000x2001
6 ?已知
自然数川的最小值是多少？
第一讲有理数的巧算
2. 原式=2000 + 1998 + …+2 =(吧
丄 x 1000 -1001 x 1000 -1001000 t Q i Hl 二 1 *3) =
100^02-g-3 =33—34.
3001-M ； 9HOfO
MlkM: ? r
1 ' …*
99
.=2X (2-"100)=
5.原式 _ (2—广)+(4—3J+??? + ( 100—992)
(2 + l)(2-l) +(4+3)(4 3) i ? 4 (100+99)(100 99)
102
?…:：
3“+ 11+…4199 101 x 50 101
105 ■ 100 * 2
陌十 2000 x(l+KXXH “(XXHOOO]+lOQ (nOO(HO()01) 2000 6 塚真=2001 x (L +1Q001+100010001 +100010001(X)01) "2001*
詰（1十计侖-命卜却 =4（1-厲）*克齐缶卜存（器+
=5993001 =
7996000"
勺 5 产屮
(1X 3X 5)X (1+23+33+43*53)
1X 3X 5
5
T
=
(1 x2 x3) x (1 +2J +3S +4J +5J ) =172^3 "T
仙 1
1999*100010001
(2000 * 1998 #2000) - (2000 x 1998 會 1998)
= X
2000x100010001
(20002 -1)+1 -2001 X1999
^2(xx> 1999 2000 x 1998 +2000-2000 *1998 二 1998
=
2000 + (2OOO 2 -1) +1 -2001 x1999
A 级
+
S)
=ioo
°-
3.原式=(1」1 二J xlg ?02) A( Mit-i lO?fO
1 1 I
4
-原式=T +3~4 *T^_ _4
2 2 3
2
3 5
1 1 1 2^3+
3^4+
475
+
49
江i2”
2 2
〒2 X
"273*3^4*475^ ** + 99x100
3 3 x (5)
°
997100)=2X (I~3_+3
1?原式 1亠亠1 1
5 99 100
5 妙3001 "7996000’
2
=1999 +
(2000+l)(20wll) +1 -2001 X1999 = 1999 + 7 = 200L 2001? 2000z \ 2 2000x2001 + 2000 x2001) =7
2000-1998 4-解;原式彳着*着卜（魚*島卜（急*君）*??? + （ + * + "|~ +-y 4--^- + ■— -?-??? +
M0?*因为上式中同分母的瓯个分数之和都是2'所以原式二?
x 2000 +
= 40Q0
XZWU+
2001
2001*
2000
5.
解：因为』+* =（』*=+） ［卜?甘宀】［卜+好阳,所以, 将
TH
討T ［附T ［（却诗
H
（對T 麗）T ［附创附创（討创
G 岸
F+
丄如丄
4-4=221.
（T ）
+
T T +
T
1
原式=
21
6
解:原式=
）VH 傅V 】胖）T
仕吗则根据题意得一占，翳?解I
>24話所以於的最小值为25.
人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程 （10）二元一次方程组解的讨论 【知识精读】 1． 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 【分类解析】 例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。 解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解， 即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a 取什么值时，方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难） 1．如图，为原点，数轴上两点所对应的数分别为，且满足关于的整式与之和是是单项式，动点以每秒个单位长度的速度从点向终点运动. （1）求的值. （2）当时，求点的运动时间的值. （3）当点开始运动时，点也同时以每秒个单位长度的速度从点向终点运动，若 ，求的长. 【答案】（1）解：因为m、n满足关于x、y的整式-x41+m y n+60与2xy3n之和是单项式 所以 所以m=-40，n=30. （2）解：因为A、B所对应的数分别为-40和30， 所以AB=70,AO=40,BO=30， 当点P在O的左侧时： 则PA+PO=AO=40， 因为PB-（PA+PO）=10, PB=AB-AP=70-4t 所以70-4t-40=10 所以t=5. 当点P在O的右侧时: 因为PB 又因为PQ= AB=35 所以70-6t=35 所以t= ,AP= = , ②如图2，当点P在点Q右侧时， 因为AP=4t，BQ=2t，AB=70， 所以PQ=（AP+BQ）-AB=6t-70， 又因为PQ= AB=35 所以6t-70=35 所以t= 所以AP= =70. 【解析】【分析】（1）根据单项式的次数相同，列方程即可得到答案；（2）分情况讨论：当点P在O的左侧时：当点P在O的右侧时.即可得到答案.（3）结合题意分别计算：①如图1,当点P在点Q左侧时，如图2，当点P在点Q右侧时. 2．同学们都知道，|3-（-1）∣表示3与-1的差的绝对值，其结果为4，实际上也可以理解为3与-1两数在数轴上所对应的两点之间的距离，其距离同样是4；同理，∣x-5|也可以理解为x与5两数在数轴上所应的两点之间的距离，试利用数轴探索： （1）试用“| |”符号表示：4与-2在数轴上对应的两点之间的距离，并求出其结果； （2）若|x-2|=4，求x的值； （3）同理，|x-3|+|x+2|表示数轴上有理数x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和，请你直接写出所有符合条件的整数x，使得|x-3|+|x+2|=5；试求代数式|x-3|+|x+2|的最小值. 【答案】（1）解：|4-（-2）|=6 （2）解：x与2的距离是4，在数轴上可以找到x=-2或6 （3）解：当-2≤x≤3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5，∴符合条件的整数x=-2，-1，0，1，2，3； 当x<-2或x>3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5，∴|x-3|+|x+2|的最小值是5 【解析】【分析】（1）根据已知列式求解即可；（2）按照已知去绝对值符号即可求解.（3）当-2≤x≤3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和是5；当x<-2或x>3时，x所对应的点到3和-2所对应的两点距离之和大于5，由此即可得出结论. 3．阅读填空，并完成问题：“绝对值”一节学习后，数学老师对同学们的学习进行了拓展. 七年级数学尖子生培优训练 第一讲 绝对值 典型例题： 例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()() 1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距 离 可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ . 培优竞赛训练一 1. 有理数a ，b ，c 在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”填空： (1)｜a ｜______｜b ｜； (2)a ＋b ＋c ______0： (3)a －b ＋c ______0； (4)a ＋c ______b ； (5)c －b ______a ． 2. 已知321===c b a ，，，且c b a >>，那么c b a -+＝ ． 3. 已知d c b a 、、、是有理数，169≤-≤-d c b a ，，且25=+--d c b a ， 那么=---c d a b ． 4. 若有理数x 、y 满足2002(x 一1)2 +0112=+-y x ，则=+2 2y x ． 5. a 与b 互为相反数，且54=-b a ，那么1 2+++-ab a b ab a ＝ ． 6. 设0=++c b a ，0>abc ，则c b a b a c a c b +++++的值是（ ）． A ．-3 B ．1 C ．3或-1 D ．-3或1 7. 若｜x ｜＝x ，并且｜x －3｜＝3－x ，请求出所有符合条件的整数x 的值，并计算这些值 的和． 8. 已知m ，n 为整数，且｜m －2｜＋｜m －n ｜＝1，求m ＋n 的值． 9. ｜x －1｜＋｜y ＋2｜＋｜z －3｜＝0，则(x －1)(y －2)(z ＋3)的值为( )． (A)48 (B)－48 (C)0 (D)xyz 10. 巧算下列各题： (1))2004 11)(120031( )151)(411)(131)(211(--?---- (2)666663333222299999?-? 11. 式子| |||||ab ab b b a a ++的所有可能的值有( )． (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)无数个 12. 13. 如果c b a 、、是非零有理数，且0=++c b a ，那么 abc abc c c b b a a +++的所有可能 苏科版七上第二章《有理数》解答题培优训练（一） 班级：___________姓名：___________得分：___________ 一、解答题 1.计算． (1)已知|a|=3，|b|=2，且|a+b|=?(a+b)，则a+b的值 (2)计算2?4+6?8+10?12+??2016+2018． 2.阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为 |AB|=|a?b|． 理解： (1)数轴上表示2和?3的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示x和?5的两点A和B之间的距离是______； (3)当代数式|x?1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是______；最小值 是______． 应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数． 3.阅读解答： (1)填空：21?20=2()，22?21=2()，23?22=2()，…… (2)探索(1)中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立． (3)计算：20+21+22+23+?+21000 4.阅读理解，并解答问题： (1)观察下列各式：1 2=1 1×2 =1?1 2 ，1 6 =1 2×3 =1 2 ?1 3 ，1 12 =1 3×4 =1 3 ?1 4 ，… (2)请利用上述规律计算(要求写出计算过程)： ①1 2+1 6 +1 12 +1 30 +1 42 +1 56 ； ②1 1×3+1 3×5 +1 5×7 +1 7×9 +1 9×11 +1 11×13 +1 13×15 ． 5.数轴上有两点A，B，点C，D分别从原点O与点B出发，沿BA方向同时向左运 动． (1)如图，若点N为线段OB上一点，AB=16，ON=2，当点C，D分别运动到 七年级数学尖子生培养计划 （2010-------2011学年度第二学期） 四合中学赵振海 一、确立培养对象 根据上学期期末的数学成绩，确定以下人员为尖子生：商广全、袁彬、张远、庞丽雪、张诗胜、聂兆斌、 王坤 二、培养目标 经过培养使他们在原有的基础上都有较大幅度的提高，使部分同学在学科竞赛中获奖，使他们学会学习，培养他们自学的学习习惯。 三、培养措施和方法 1、选择合适的教学方法，加强对学生学法的指导。 根据尖子生思维快、肯动脑筋等特点，我们在尖子生实行“问题教学”。“问题”，就是指学生通过自学遇到自己不能解决，需要教师指点的知识点。“问题教学”强调以“问题”为教学的出发点，积极创设教育情景，使学生的思维处于最积极的状态，尝试通过自学来发现新知识， 得出自己的结论。教师对学生的尝试失败不要急于作出评价，而是引导学生自己更正，教师是心理的调节者，是道路的引导者，在教师指导下，学生获得的不是解决问题本身，更重要的是获得了探索知识的思维方式和方法，也就是自学的方法，使他们享受到自我发现知识的喜悦，这也是提高学生的学习兴趣，使学生能够自主地学习。 2、在作业的设置上，我们采取“补一块，免一块，加一块”的方法，即给学生补充一些拔高作业，提倡一题多解、巧解，对问题多角度思维，寻求解决问题的各种途径和最佳方案，提高学生分析问题和解决问题的能力。 3、对尖子生，注意尽力把学生稳定的兴趣逐步确定为一种终身的志向：在导学过程中要以指导学生进行探索性独立学习为主要目标，着重于创造性思维的启发；在实践环节上则让学生有更大的独立性和灵活性，只在非常必要时少加点拨让学生自己领悟其精妙之处，举一反三、触类旁通。所以教学模式在实施时，对该层次的学生“情”、“导”、“实践”三个环节上表现为“立志向、导探索、自己走”。 4、专门辅导 27 以形借数——借助图形思考 阅读与思考 数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面： 1．从给定的图形获取解题信息 数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能． 2．有意地画图辅助解题 图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解． 阅读与思考 【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住 其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同 形状的共有____________种。 （“五羊杯”竞赛试题） x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,, ≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。 ++=。不妨设x y z 9 x y z 【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为 ．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。根据图像进行一下探究： 信息读取 （1）甲、乙两地之间的距离为___________km。 （2）请解释图中点B的实际意义。 图像理解 （3）求慢车和快车的速度。 （4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 问题解决 （5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时？ （江苏省南京市中考试题）解题思路：函数图像包含了两种不同层次的信息：有慢车行驶900km用了12h等可直接感知的浅层结构信息，也有在0～4小时之间以及稍后的一段时间内，快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。 七年级数学 上册 培优训练 第一讲 有理数（一） 一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。 二、【典型例题解析】： 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 220062007 ()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ) A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ， b 的形式，求20062007a b +。 8三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。 三、课堂备用练习题。 1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) 3、计算：5917336512913248163264 +++++- 4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。 5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求 || abc abc 的值。 2020-2021学年七年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】 专题3 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 专题4.2代数式 1．（2019秋?德惠市期中）下列代数式符合书写要求的是（ ） A ．125a B ．m ÷n C ．?13m D ．t ×3 【分析】根据代数式的书写要求，依次分析各个选项，选出正确的选项即可． 【解析】A ．正确的书写格式为：75a ，即A 项不合题意， B ．正确的书写格式为：m n ，即B 项不合题意， C ．符合书写要求，即C 项符合题意， D ．正确的书写格式为：3t ，即D 项不合题意， 故选：C ． 2．（2020?蜀山区校级一模）某公司今年2月份的利润为x 万元，3月份比2月份减少8%，4月份比3月份 增加了10%，则该公司4月份的利润为（单位：万元）（ ） A ．（x ﹣8%）（x +10%） B ．（x ﹣8%+10%） C ．（1﹣8%+10%）x D ．（1﹣8%）（1+10%）x 【分析】首先利用减小率的意义表示出3月份的利润，然后利用增长率的意义表示出4月份的利润． 【解析】由题意得3月份的产值为（1﹣8%）x ，4月份的产值为（1﹣8%）（1+10%）x ． 故选：D ． 3．（2020春?香坊区期末）买一个足球需m 元，买一个篮球需n 元，则买4个足球和7个篮球共需（ ） 元． A ．11mn B ．28mn C ．4m +7n D ．7m +4n 【分析】根据单价×数量＝金额表示出足球与篮球各自的费用，再将两个费用求和便可得总费用． 【解析】根据题意得，买4个足球和7个篮球的总费用为（4m +7n ）元， 奥数培训之趣味数学 生活中的数学： 1、诗仙李白豪放豁达，有斗酒诗百篇的美名，为唐代“饮中八仙”之一， 民间流传李白买酒歌谣，是一道有趣的数学问题：李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一抖，三遇店和花，喝完壶中酒。试问：酒壶中原有多少酒？ 解：设酒壶中原有酒x 斗，“三遇店和花”意思是李白三遇店，同时也三见花。 第一次见店又见花后，酒有：12-x ； 第二次见店又见花后，酒有：1-122）（ -x ； 第三次见店又见花后，喝完壶中酒，所以 依题意，得 ()[]0111222=---x 解方程，得 87= x 答：酒壶中原有酒8 7斗。 2、有甲乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了”，求两个牧童各有多少只羊。 解：设甲有x 只羊，乙有y 只羊。依题意，得 ()? ??+=--=+11121y x y x 解方程组，得? ??==57y x 所以甲牧童有羊7只，乙牧童有5只。 3、一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要（ ）头牛 A 、16 B 、18 C 、20 D 、22 分析：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c ，根据60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完，列方程组，用其中一个未知数表示另一个未知数即可求解。 解：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c 。 根据题意，得 ???==???+=?+=?b c b a a c b a c b 120010606030242460解得， 则若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是20120120=+b a c 。故选C 。 4、杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A ．一样多． B ．多了． C ．少了． D ．多少都可能． 解：设杯中原有水量为a ，依题意可得， 第二天杯中水量为a ×(1－10%)=0.9a ； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a ； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为199.01.19.01.19.0<=?=??a a 。 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C ． 5、 甲杯中盛有2m 毫升红墨水，乙杯中盛有m 毫升蓝墨水，从甲杯倒出a 毫升到乙杯里（0＜a ＜m ），搅匀后，又从乙杯倒出a 毫升到甲杯里，则这时( )。 A ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C ．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同． D ．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定． 解：从甲杯倒出a 毫升红墨水到乙杯中以后： 乙杯中含红墨水的比例是a m a +， 乙杯中含蓝墨水的比例是 a m m +， 再从乙杯倒出a 毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的红墨水的数量是毫升a m ma a m a a a +=+?- ① 此文档下载后即可编辑 初一数学培优专题讲义一 有理数及其运算 一、 有理数的基本概念梳理与强化： （一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。理清小知识点，减少失误 1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是 ；平方等于本身的数是 ；立方 等于本身的数是 ；倒数等于本身的数是 。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x |=|2 1-|，则x =______； 若|x |=|－4|，则x =____； 若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果 ，那么a=____；若 x 2=(－2)2，则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______； －32的底数是_______，结果是_______；n 为正整数，则（－1）2n =_ __, (－1) 2n +1=_ __。计算： （1） = ； （2） = ； （3） = ；（4） = （5） = 6.a 的相反数是 ；a+b 的相反数是 ；a-b 的相反数 是 ；-a+b-c 的相反数是 ； 变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣= ，-∣a-b ∣= （二）突破绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想） （a ＞0） |a| = （a ＝0 ） （a ＜0 ） 9.绝对值的非负性： 162=a七年级数学尖子生培优训练[1]学习资料
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