第一讲
绝对值、有理数的巧算专题
一、知识梳理
1■非负数
一个数的绝对值是非负数，一个数的平方（四次方，六次方等偶次方）都是非负数 即，
azO , a^Q ，a 2^（X 其中n 为正整数）
3■绝对值表示距离的应用
x —a 1 + x —a 2 +|x —a 3|+|x —a 4 +…+x — a n 」十 x — a n :表示求数 x 分别到数 a 「a 2、a 3、a 4、、a n “
a n 的距离和（其中 a 1> a 2、a 3、a 4、、a nJ > a n 是数轴
上依次排列的点表示的有理数）
（2）当n 为奇数时，若X 二a n1，则原式有最小值
"2~
4■乘方中的计算公式
专题一：一个数的绝对值与其本身的关系的应用
【活学活用】 2■裂项常用到的关系式
a +
b 1
1 (1)
ab a
b
b 1
1
(3)
a(a +b) a a +b
(2)
1 a(a 1) a
(4) 12
3
（1）当n 为偶数时，若 a n
，则原式有最小值;
⑴(a b)n
=a n
b n
；
(2) (-a)n
当n 为奇数时
、典例剖析
例题1用a 、b 、c 表示任意三个非零的有理数，求
1.
a a ，
则 x + 1 — x — 2 =
a
★ 4.三个有理a 、b 、c 满足abc <0, a +b +c > 0 ,当乂=同+冋」4时，代数式 a b c
x 19 -92 x - 2 的值为 ___________ .
abc abc
6.已知：a 、b 、c 都不为0，且—+— + |-| + -------- 的最大值为 m 最小值为 n 则
|a| |b|
|d |abd
2004
(m n) = ___________ .
专题二：绝对值的非负性—— a_0
引例 若（a —1）2与b + 2互为相反数，则（a+b ）2010= ______
【活学活用】 1.已知：a+|b =1,且
a,b 为整数，贝U a —b= _____ .
2若ab 工0，则冋+ E 的取值不可能是（
a b
A.0
B.1
C.2
D.-2
3.用a 、b 表示任意两个有理数，若
则
a
?
b ab a b l ab
的取值可能是（
A. 0
B.1
C.3 或 1
D.3 或-1
5.已知 a b c —+— +
a
一1，试求兰+竺+竺.abc
ab ——■——+ ----- 的值.
|bc| |ca| |abc
7.
已知abc?且M —
a b
abc
+
------- 1
当a 、b 、c 取不同的值时, 皿有（
A.惟一确定的值
B . 3种不同的取值
C . 4种不同的取值
D . 8种不同的取值
例题
2 若a,b,c 为整数，且 19
a -
b 19
+ c _a
试计算
c — a + a — b+b — c 的值.
2?如果（x +—）2+ y —2 =0 ,贝y x y= .
3 ------------
3. 若m = m+1,则（4m+1）2010= .
★ 4.如果X V —2,那么1 — 1 + X等于（）
A. - 2 - x
B. 2 x
C. x
D. - x
★ 5.若x V 2,则|x —2|+ |2+x|= _________
★ 6.已知a、b、c 都是负数，且x_a+y_b + z_c = 0 ,贝U xyz 是（）
A.负数
B. 非负数
C. 正数
D. 非正数
★7.如果X — 2 + x — 2 = 0,那么x的取值范围是（）
A.x > 2
B.x V 2
C.x - 2
D.x <2
8. 已知x—5 +2（y+3）4= 0，求（x + 2y）2010的值.
9. 计算：若（a-2）2与型鳥互为相反数，则豊的值为？
2003 a+b
★ 10..已知（a +b）2 +|b + 5 =b +5，且2a — b — 1 =0 ,求ab 的值.
专题三：绝对值表示距离的应用
解决数轴上两点之间的距离问题（数形结合的解题思想）
若数轴上点A对应的数是a，点B对应的数是b，贝y A、B两点之间的距离为数a、b的差的绝对值，即AB=|a—b .
例题3如图，点A、B在数轴上对应的有理数分别为m、n，则A、B间的距离是（用含m、n 的式子表示）
A B
m 0 n
【活学活用】有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示.
试化简: c - c + b +|c - a - b + a 例题4绝对值表距离的应用
(1) x—1+x—5 的最小值是. (2) x +
(3)X +1 + x —2 + x —4的最小值是.
(4)试求x—1 + x—2 +x—3 + x — 4+|x — 5 + x — 6 +
+ x-3的最小值是x - 7的最小值?
(5)试求x—1 +|x—2 + x— 3+?"+ x —2010 的最小值
(6)试求x -1 +|x -2 + x -3 +…+ x —2011 的最小值
【活学活用】(★)若x为有理数，则x—3+|x + 7+|x1的最小值为______________ 专题四：乘方中的计算公式——(a b)n =a n b n
例题 5 已知13+23+33+ …+143+153=14400，求2’ +4’ +6’ + …+28’ +30’ 的
值?
专题五：整数的分解
例题6 若a、b、c、d是互不相等的整数(acbcccd ),且axbxc^：d=121，求a c- b d的值.
【活学活用】若a、b、c、d是互不相等的正整数，且a b c d = 441，求a b c d的值.
专题六：有理数运算的技巧 -- 裂项、凑整、换元
3 2 11 1
例题7 已知|x_1 +(y_2)=0，求一+---------------------- +…… +--------------------- 的
xy (x+1)(y+1) (x+2008)”+ 2008) 值.
【活学活用】
3 1 1 1
1.已知| x_1 +(y_2)2=0，求一+-------------------- +..... +-------------------- 的值.
xy (x+1)(y+1) (x+2008)(/+2008)
2. 计算丄.丄.丄
2 5 5 8 8 11 11 14 2009 2012
1 5
89 898 8998 89998 899998
例题 9
计算 89
898
8998
89998
899998
3 3 3 3 3
【活学活用】
1.计算 2005 X 0.5-2006 X
2.5-2007 - 12.5 .
2.计算 89-899+8999-89999+ …+得（ ）
A.-0
B.-
C.
D.0
三、家庭作业
3?计算1
11 13 + 30 42 15 17 + 56 72 19 21
+ 90 110
例题8 计算:
12
3
1
12
3讦…川'99 100
★ 1.已知ab2c3d4e5<0,下列判断正确的是（）1
5