几何与代数历年真题
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:
0１－０2学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一(３0%）填空题：
1． 设(1,2)α=,(1,1)β=-,则T
αβ= ；T
αβ== ; 100
()
T
αβ= ；
2． 设矩阵120031130A ?? ?= ? ???,234056007B ??
?
= ? ???
，则行列式1AB -= ；
3． 若向量组123,,ααα线性无关,则当参数k 时，122331,,k αααααα---也线性无关;
4． 矩阵11110
11100110001A ?? ?
?= ?
???的伴随矩阵*
A =?
?
?
? ?
??
?
; 5． 设矩阵A 及A E +均可逆,则1
()G E A E -=-+，且1
G -= ；
6． 与向量(1,0,1)α=,(1,1,1)β=均正交的单位向量为 ;
7． 四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)A B x C D y 共面的充要条件为 ；
8． 设实二次型222
12312323(,,)2f x x x x kx x x x =+++，则当k 满足条件 时，123(,,)1
f x x x =是椭球面；当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是柱面。
二（8%）记1π为由曲线230
z y x ?=-?=?绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面3:1x y z π++=的
交线为准线，母线平行于z －轴的柱面。试给出曲面12ππ及的方程，并画出13ππ被所截有界部分在x y -平面上的投影区域的草图(应标明区域边界与坐标轴的交点）
。 三(8％)求经过直线22
21x y z x y z +-=??-+-=?
且与x y -平面垂直的平面方程．
四（12%）求矩阵方程2XA X B =+的解,其中，
311101010,321003A B ??
-?? ?
== ? ?-?? ?
??
.
五（12%)设线性方程组
12341234234
1234
03552
232(3)1
x x x x x x x x x px x q x x x p x +
++=
??+++=??
-+-=??++++=-?
1． 问:当参数,p q 满足什么条件时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解?
2． 当方程组有无穷多解时，求出其通解。
六（12％）设矩阵11113120132A k ?? ?
=- ? ?--??
，已知()2A =秩。
1． 求参数k 的值；
2． 求一42,,()2;B AB O B ?==矩阵使得且秩
3． 问:是否存在秩大于2的矩阵M 使得O AM =?为什么？ 七（1２%)设实对称矩阵
001100.1001A k B l ????
? ?== ? ? ? ?????
与相似
1． 求参数,k l 的值；
2． 求一正交阵,.T
Q Q AQ B =使得
八（6%)已知n 阶方阵A 相似于对角阵,并且，A 的特征向量均是矩阵B 的特征向量。证明:AB BA =。
02－０3学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一． 填空题、单选题(每小题３分,共3６分）
1．[]2002
105132????????-=??
??????????
?? ? ? ? ??
?
; 2．1230110002-?? ?
= ? ?
??
?? ?
? ? ??
?
; 3.若A 是正交矩阵,则行列式3T A A = ;
４．空间四点(1,1,1)A ,(2,3,4)B ,(1,2,)C k ,(1,4,9)D -共面的充要条件是k = ； 5.点(2,1,1)P -到直线11:221x y z l -+==- 的距离为 ;
６．若4阶方阵A 的秩为２,则伴随矩阵A *的秩为 ；
7．若可逆矩阵P 使AP PB =,1203B -??
= ???
，则方阵A 的特征多项式为 ；
8.若３阶方阵A 使,2,3I A I A A I --+都不可逆,则A 与对角阵 相似(其中,I 是3阶单位阵）;
9.若0111
120A x y ??
?
= ? ?-??
与对角阵相合，则(,)x y = ； 1０．设()1234,,,A A A A A =,其中列向量124,,A
A A 线性无关,31242A A A A =-+,则齐次线性方程组0Ax =的一个基础解系是 ;
11.设,A B 都是３阶方阵,AB O =，()()2r A r B -=，则()()r A r B +=（ ) （A)5; （B ）4; （Ｃ)3; （D)2
12.设n 阶矩阵A 满足2
2A A =，则以下结论中未必成立的是( ) (Ａ)A I -可逆,且1
()
A I A I --=-；
(B)A O =或2A I =；
（Ｃ)若2不是A 的特征值,则A O =；
（Ｄ)0A =或2A I =。
二． 计算题(每小题8分，共2４分）
1３.
20
1511011231
30
1
2
-
14．求直线211
:212
x y z l --+==
在平面:210x y z π+-+= 上的垂直投影直线方程. 1５．设XA AB X =+,其中102020101A ?? ?= ? ?-??,101B -??
?
= ? ???
,求99X .
三． 计算题、解答题（三小题共３２分)
1６.设向量组
12311222115,,,101302a b αααβ????????
? ? ? ? ? ? ? ?==== ? ? ? ?-- ? ? ? ?????????
123(,,)V L ααα=是123,,ααα生成的空间．已知()2V =维，V β∈．
（１） 求,a b ；
（２） 求V 的一个基，并求β在此基下的坐标; （３） 求V 的一个标准正交基. 17．用正交变换化简二次曲面方程
22121213234221x x x x x x x x +---=
求出正交变换和标准形）并指出曲面类型．
18.设D 为由yoz 平面中的直线0z =,直线,(0)z y y =≥及抛物线2
2y z +=围成的平面区域.将D 绕
y 轴旋转一周得旋转体Ω．
(１)画出平面区域D 的图形;（２）分别写出围成Ω的两块曲面12,S S 的方程；(3）求12,S S 的交线l 在zox 平面上的投影曲线C 的方程;(4)画出12,S S 和l ，C 的图形.
四． 证明题、解答题（每小题４分，共８分）
19.设η是线性方程组Ax b =的一个解,0b ≠，12,ξξ是导出组0Ax =的基础解系．证明：
12,,ηξηξη++线性无关.
20.设α是３维非零实列向量，
2α=.又T A αα=.（１)求A 的秩;(2)求A 的全部特征值；(3）问A
是否与对角阵相似?（4)求3I A ．
03-04学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一． （２4％）填空题
1．若向量i a j k α
=+-，bi j k β=++，k =γ共面，则参数b a ,满足
.
2．过点)1,2,1(P 且包含x 轴的平面方程为 .
3．已知矩阵A 满足O I A A =-+322
,则A 的逆矩阵1-A ＝ . ４.设矩阵120031130A ??
?= ?
?
??，234056007B ?? ?= ? ?
??
,则行列式=-12B A .
５.设向量组1231312,2,311k ααα??????
? ? ?=== ? ? ? ? ? ?-??????
,则当k 时，123,,ααα线性相关.
6.向量空间2R 中向量)3,2(=η在2
R 的基)1,1(=α,)1,0(=β下的坐标为 .
7．满足下述三个条件的一个向量组为 ,这三个条件是:①它是线性无关的;②其中的每个向量
均与向量()121=α正交;③凡与α正交的向量均可由它们线性表示.
８．已知22?矩阵?
??
? ??=d b c a A ，若对任意2维列向量η有0=ηηA T ,则d c b a ,,,满足条件 ． 二．（12%)假设矩阵B A ,满足AB B A =-,其中???
?
?
??---=021021020A .求B .
三．（15%）设向量()T
a
1021=α，
()T 5122-=α,()T 4213-=α,()T c b 1=β. 问：当参数c b a ,,满足什么条
件时
1．β能用321,,ααα唯一线性表示? ２.β不能用321,,ααα线性表示?
3.β能用321,,ααα线性表示，但表示法不唯一？求这时β用321,,ααα线性表示的一般表达式. 四．（8%）设实二次型
ayz axy z y x z y x f 22),,(2
2
2
++++=
问:实数a 满足什么条件时,方程1),,(=z y x f 表示直角坐标系中的椭球面?
五．(12%）设３阶方阵A 的特征值为2,2-，1,矩阵I aA aA B +-=43
。 1． 求参数a 的值，使得矩阵B 不可逆； 2． 问:矩阵B 是否相似于对角阵?请说明你的理由. 六．（12％）已知二次曲面1S 的方程为：
223y x z +=,2S 的方程为:21x z -=。
1． 问：1S ,2S 分别是哪种类型的二次曲面？
2． 求1S 与2S 的交线在xOy 平面上的投影曲线方程； 3． 画出由1S 及2S 所围成的立体的草图．
七．（10%）假设33?实对称矩阵A 的秩为2，并且C AB =，其中?
?
??
?
??-=110011B ,????? ??-=110011C 。求
A 的所有特征值及相应的特征向量；并求矩阵A 及9999A .
八．（７%）证明题：
1． 设t ηηη,,,21 是齐次线性方程组θ=Ax 的线性无关的解向量，β不是其解向量。证明：
t ηβηβηββ+++,,,,21 也线性无关.
2． 设A 是n 阶正定矩阵,证明：1>+A I .
０4－05学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一、 （2４%)填空题
1． 以(1,1,2)A ,(2,1,1)B --，(1,1,1)C --为顶点的三角形的面积为 ；
2． 设3阶矩阵123(,,)A ααα=,23131(,2,)B ααααα=+-。若A 的行列式3A =，则B 的行列式
B = ；
3． 若向量(1,0,1)α=，(2,1,1)β=-，(1,1,)k γ=-共面，则参数k = ；
4． 若A 为n 阶方阵,则方阵2I O B A I ??= ?
??
的逆矩阵1B -= ；
5． 已知向量111η??
?= ?
?
??
是矩阵11201122a A ?? ?
= ? ?-??的特征向量，则参数a = ，相应的特征值等
于 ；
6． 假设矩阵1000A ??= ???
，则在实矩阵11001110,,,,11021101B C D E ????????
==== ? ? ? ?--????????1300F ??
= ???
中,与A 相抵的有 ;与A 相似的有 ;与A 相合的有 ．
二、 (8％）计算行列式
121
11
1
x x x x x x x
x x
x .
三、 （10％)假设
200110102A ?? ?= ? ?
??
,121210B -??= ?
-??， 求矩阵方程3X
B XA =+的解．
四、 （14%）假设矩阵
1101011A λλλ?? ?
=- ? ???,000θ?? ?= ? ???,11a b ?? ?= ?
???
.
1． 已知齐次线性方程组Ax θ=的基础解系中有两个线性无关的解向量.试确定这时参数λ的值,并求这
时Ax θ=的一个基础解系.
2． 若在非齐次线性方程组Ax b =的解集中，存在两个线性无关的解向量,但不存在更多的线性无关的解
向量，试确定这时参数λ及a 的值,并求Ax b =的通解.
五、 （1０%）已知直线l 过点(1,1,1)P ,与平面:1x y z π+-=平行，且与直线1
121
x
y z λ- =
=
： 相交。求直线l 的方向向量，并写出直线l 的方程．
六、 (10%）假设二次曲面1π的方程为：2
2
42x y z +=；平面2π的方程为:1x z =-.
1. 1π与2π的交线向xy 平面作投影所得的投影曲线l 的方程为 ；
2. 该投影曲线绕x 轴旋转所得的旋转曲面π的方程为 ;
3. 在坐标系中画出投影曲线l 的草图(请给坐标轴标上名称)；
4.
在坐标系中画出1π与2π所围成的立体的草图(请给坐标轴标上名称)．
七、 (１４％)设二次型
222
12312313(,,)22f x x x x x x kx x =-+-+
1． 试就参数k 不同的取值范围，讨论二次曲面123(,,)1f x x x =的类型；
2． 假设0k >.若经正交变换X QY =，123(,,)f x x x 可以化成标准形222
123224y y y +-,求参数k 及一个
合适的正交矩阵Q . 八、 （10%)证明题
1． 假设n 维向量112a b βαα=+，212c d βαα=+。若12,ββ线性无关，证明:12,αα线性无关,并且，
行列式
0a b c
d
≠。
2． 假设,A B 都是n 阶实对称矩阵，并且，A 的特征值均大于a ，B 的特征值均大于b ,证明:A B +的
特征值均大于a b +。
０5-0６学年第二学期
几何与代数期终考试试卷
一. （24%)填空题
1. 直角坐标系中向量(1,1,2)α=与(1,0,1)β=的向量积为 ;
2. 过点(1,0,1)P 且与直线1211
x y z -==垂直的平面的方程为 ; 3. 设0110P ??=
???，1011Q ??= ???,a b A c d ??= ???
,则1010P AQ =?
? ??
?
；
4. 若33?矩阵A 的秩为2， 123,,ααα是线性方程组Ax b =的解向量 ，并且
()
12,3,4T
α=,()
232,4,6T
αα+= , 则线性方程组Ax b =的通解是 ;
5. 设α是(1)n n >维列向量，则n 阶方阵T
A αα=的行列式A 的值为 ； 6. 设A 是33?矩阵,若矩阵,2,23I A I A I A +--均不可逆，则行列式A = ； 7. 若3是n n ?矩阵A 的特征值,2A =,*A 是A 的伴随矩阵，则矩阵*
A 的一特征值为 ; 8. 若2
2
2
221x y z kxz +++=表示一单叶双曲面，则k 满足条件 。
二（12%)设1234A ??= ???
，10
102
1001B ?? ?= ? ?-??,132011C ?? ?= ? ?
--??
,求11,A B --以及矩阵X ，使A O C X O B O ????= ? ?????。式中的O 均指相应的零矩阵。
三（1０%）设向量组 123,,ααα线性无关 , 问: 参数,l m 满足什么条件时, 向量组 12l αα+，
23m αα+ ，13αα+也线性无关？
四（1４%）已知空间直角坐标系中三平面的方程分别为:
1:21x y z π++=，
2:2x y z πλ++=,
3:1x y z πλλ++=+
1. 问：当λ取何值时这三个平面交于一点?交于一直线?没有公共交点？
2. 当它们交于一直线时,求直线的方程。
五(12%）已知33?矩阵10
023302A a
a a a -?? ?
=-+ ? ?--+??
有一个二重特征值。 1. 试求参数a 的值，并讨论矩阵A 是否相似于对角阵。
2. 如果A 相似于对角阵,求可逆矩阵P ，使得1P AP -=Λ是对角阵。 六（10%)假设,A B 是实对称矩阵。证明:分块矩阵A O M O B ??
=
???
是正定矩阵的充分必要条件是,A B 都是正定矩阵。
七（８%）由与平面1z =-及点(0,0,1)M 等距离运动的动点(,,)P x y z 所生成的曲面记为1π,将yOz 平面
上曲线250
y z x ?+=?=?以z 轴为旋转轴所生成的旋转曲面记为2π。则：
1．1π的方程是: ；2π的方程是: ; 2. 1π与2π的交线在xOy 平面上的投影曲线方程是: ； 3. 在坐标系中画出由这两个曲面所围成的有限立体的简图.
八(1０%)证明题：
1. 若22?实矩阵A 的行列式0A <,证明:A 必定相似于对角阵．
2. 假设n n ?实对称矩阵A 的特征值为12,,
,n λλλ,α是A 的属于特征值1λ单位特征向量，矩阵
1
T
B A λαα=-．证明：B 的特征值为20,,,n λλ．
06－07第二学期
几何代数期终考试试卷
一． (30%)填空题（I 表示单位矩阵）
1.
向量(1,0,1),(1,1,0),(1,1,)k αβγ=-=-=共面时参数k 的值为 ,此时,与这三个向量都
正交的一个单位向量是 ; 2. 向量组
123410110111
,,,21131102αααα???????? ? ? ? ?- ? ? ? ?==== ? ? ? ?- ? ? ? ?--????????
的秩等于 ，这个向量组的一极大线性无关组是 ;
3. 假设矩阵1(2,)2A t ??
= ???
,若1是A 的特征值，则参数t 的值为 ;
4. 二次型2
2
(,,)22f x y z x z xy =++的正、负惯性指数分别为 ,下列图形中，能表示二次曲面
(,,)1f x y z =的图形的标号为 :
(A ），(Ｂ) ,
(C ) ， (D ) ；
5. 由曲线2
z x y ?=?=?绕z -轴旋转所产生的旋转曲面方程为 ；
6. 若向量组1211,1a αα????== ? ?????与向量组1211,2b ββ????== ? ?????
等价，则参数,a b 必定满足条件 ;
7. 若2130100A b a ?? ?= ? ???与00010001c B ?? ?
= ? ???
相似，则(),,a b c = 。
二． (1０%)已知向量组1234,,,αααα线性无关，问:当参数p 取何值时,向量组
1232122,2,βααβαα=+=+3344142,p βααβαα=+=+
也线性无关?
三． （1５%）假设,p q 是参数,空间直角坐标系中平面123,,πππ的方程分别如下:
1:21x y z π-+=,
2:22x py z π++=, 3:352x y z q π++=
（1） 问:当,p q 取何值时, 这三个平面的公共点构成一直线?
（2） 当它们的公共点构成一直线时,求直线的方向向量,并给出该直线的对称方程。
四． （１５％)设212010001P ?? ?= ? ???，100010001?? ?
Λ=- ? ???
，并且AP P =Λ，求A 及99A 。
五． （15%)已知二次型
222
12312312(,,)4f x x x x x x x x =+--。
（1） 写出二次型f 的矩阵；
（2） 求一个正交变换x Qy =，把f 化为标准形, 并给出该标准形； （3） 假设0a >，求222
123123max (,,)x x x a
t f x x x ++==的值.
六． （15％)证明题:
1. 已知矩阵a b A I c d ??
=≠
???
,其中,2,1a d ad bc +=-=。证明：A 不与任何对角阵相似.
2. 假设s n ?矩阵A 的秩等于r ，并且非齐次线性方程组Ax b =（b θ≠)有解。证明： Ax b =有
并且只有1n r -+个线性无关的解向量. 3. 若A B 、都是可逆的实对称矩阵，且A B A B -、、都是正定矩阵,证明：1
1
B A ---也是正定矩阵.
高数实验报告 学号： 姓名： 数学实验一 一、实验题目：（实验习题7-3） 观察二次曲面族kxy y x z ++=22的图形。特别注意确定k 的这样一些值，当k 经过这些值时，曲面从一种类型变成了另一种类型。 二、实验目的和意义 1. 学会利用Mathematica 软件绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲线图形的特点。 2. 学会通过表达式辨别不同类型的曲线。 三、程序设计 这里为了更好地分辨出曲线的类型，我们采用题目中曲线的参数方程来画图，即t t kr r z sin cos 22+= 输入代码： ParametricPlot3D [{r*Cos[t]，r*Sin[t],r^2+ k*r^2*Cos[t]*Sin[t]}, {t, 0, 2*Pi}, {r, 0, 1}，PlotPoints -> 30] 式中k 选择不同的值：-4到4的整数带入。 四、程序运行结果
k=4： k=3： k=2：
k=1: k=0:
k=-1: k=-2:
k=-3: k=-4: 五、结果的讨论和分析 k取不同值，得到不同的图形。我们发现，当|k|<2时，曲面为椭圆抛物面；当|k|=2时，曲面为抛物柱面；当|k|>2时，曲面为双曲抛物面。
数学实验二 一、实验题目 一种合金在某种添加剂的不同浓度下进行实验，得到如下数据： 2 + y+ = cx a bx 法确定系数a,b,c，并求出拟合曲线 二、实验目的和意义 1.练习使用mathematic进行最小二乘法的计算 2.使用计算机模拟，进行函数的逼近 三、程序设计 x={,,,,}; y={,,,,}; xy=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,5}]; q[a_,b_,c_]:=Sum[(a+b*x[[i]]+c*x[[i]]*x[[i]]-y[[i]])^2,{i,1 ,5}]; Solve[{D[q[a,b,c],a]?0,D[q[a,b,c],b]?0,D[q[a,b,c],c]?0},{a, b,c}] A={a,b,c}/.%; a=A[[1,1]]; b=A[[1,2]];
代数几何综合题 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。 例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作P C P B ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 解：（1） P C P B B O P O ⊥⊥, ∴∠+∠=?∠+∠ ∴∠=∠C P A O P B P B O O P B C P A P B O 90, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=? B O P P A C 90 ∴??B O PP A C ~ ∴ =P O A C B O P A ，∴=+||||||x y x 2 2 ， x y x y x <<∴= -002 2，，∴=-+y x x 122 （2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 , 当x =-1时，y =- 32，∴=CA 3 2
B O a B O Q C A Q O Q A Q B O C A //~,，∴∴=?? 设Q 点坐标为()m ，0，则A Q m =-2 ∴-=∴=m m m 2232 8 7 ， ∴Q 点坐标为()8 7 0， 说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。 练习 1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ；（3分） (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。（4分） B
01-02学年第二学期 几何与代数期终考试试卷 一（30%）填空题： 1． 设(1,2)α=，(1,1)β=-，则T αβ= ；T αβ== ； 100 () T αβ= ； 2． 设矩阵120031130A ?? ?= ? ???，234056007B ?? ? = ? ??? ，则行列式1AB -= ； 3． 若向量组123,,ααα线性无关，则当参数k 时，122331,,k αααααα---也线性无关； 4． 矩阵11110 11100110001A ?? ? ? = ? ???的伴随矩阵*A =? ? ? ? ? ?? ? ； 5． 设矩阵A 及A E +均可逆，则1 ()G E A E -=-+，且1 G -= ； 6． 与向量(1,0,1)α=，(1,1,1)β=均正交的单位向量为 ； 7． 四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)A B x C D y 共面的充要条件为 ； 8． 设实二次型222 12312323(,,)2f x x x x kx x x x =+++，则当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是椭 球面；当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是柱面。 二（8%）记1π为由曲线23 z y x ?=-?=?绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面3:1x y z π++=的 交线为准线，母线平行于z -轴的柱面。试给出曲面12ππ及的方程，并画出13ππ被所截有界部分在x y -平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点） 。 三（8%）求经过直线22 21x y z x y z +-=??-+-=? 且与x y -平面垂直的平面方程. 四（12%）求矩阵方程2XA X B =+的解，其中， 311101010,321003A B ?? -?? ? == ? ?-?? ? ?? . 五（12%）设线性方程组
东南大学往年高数期末考试试题及答案-8篇 整合 https://www.doczj.com/doc/731577240.html,work Information Technology Company.2020YEAR
2 东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷） 一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．2 2lim sin 1 x x x x →∞ =+ 2 ； 2．当0x →时 ,()x α=2()x kx β=是等价无穷小,则 k = 3 4 ; 3．设()1sin x y x =+，则d x y π == d x π- ； 4．函数()e x f x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为 ()223e e 2e(1)(1)(1)2 x x x ο+-+ -+- ； 5．已知函数3 2e sin , 0()2(1)9arctan ,0 x a x x f x b x x x ?+
一次函数与几何图形综合专题讲座 思想方法小结 ： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 知识规律小结 ： （1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点； 当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－ k b =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－k b ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限；
当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0) 当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 12 1b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2） ； ③???≠=21 21,b b k k ?y 1与y 2平行； ④?? ?==2 121, b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB (1) 求AC (2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系， 并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PM x y
代数几何综合题 x<0，连 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）() ⊥交过点A的直线a于点C（2，y） 结BP，过P点作PC PB （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。 2．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，⊙O的直径BD为6，连结CD、AO. (1)求证：CD∥AO； (2)设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若AO＋CD＝11，求AB的长. B
3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2 +2x+m-3=O 的两根，且x 1<0 1、已知抛物线)0(22 >--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。 （1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。 2、如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于 A （－1，0）、 B （3，0）、 C （0，3）三点，其顶点为 D ． （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积； （3）试判断△BCD 与△COA 是否相似若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由． A B D C o x y 东南大学二○○二年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（高等代数） 一、以下结论是否成立，如成立，试证明。否则举实例。（每题4分，共24分） 1、若α为()f x '的k 重根，则α为)(x f 的1+k 重根。这里)(x f '表示多项式)(x f 的微商（或导数）。 2、设A 为n m ?阵，B 为m n ?阵，且,n m >则0AB =。 3、若,A B 均为n 阶实对称阵，具有相同的特征多项式，则A 与B 相似。 4、设4321,,,αααα线性无关，则12233441,,,αααααααα++++秩为3。 5、设21,v v 均为线性空间v 的子空间，满足{}021=?v v ，则21v v v ⊕=。 6、设A 为n 阶正定矩阵，则一定存在正定阵B ，使2 B A =。 二、（10分）以知线性方程组21ββ+=k Ax ，其中，=A ????? ??-----111121111，???? ? ??=3121β，????? ??-=1312β，求 k 使方程组有解，并求有解时的通解。 三、（10分）已知A 是n 阶实对矩阵，n λλ,,1 是A 的特征阵，相对应的标准正交特征向量为1,,n εε。求 证：T n n n T A εελεελ++= 111。这里“T ”表示转置。 四、（12分）设线性变换A 在线性空间V 的基123,,ααα下矩阵为101210,113?? ?- ? ??? 1、求值域AV ，核1(0)A -的基。 2、问1(0)V AV A -=+吗？为什么？ 五、（12分）设(),ij n n A a ?=如果10,1, ,n ij j a i n ===∑。求证：11221n A A A ===。 （这里ij A 为1j a 的代数余子式） 六、（12分）设A 为n 阶矩阵，试证：2A A =的充要条件为()()r A r I A n +-=。 （这里I 为n 阶单位阵，()r A 表示A 的秩） 七、（10分）设A 为4阶矩阵，且存在正整数k ，使0k A =，又A 的秩为3，分别求A 与2A 的若当（)Jordan 标准形。 八、（12分）证明，若()f x 与()g x 互素，并且(),()f x g x 次数都大于零，那么可以选取(),()u x v x 使(())(()),(())(()),u x g x v x f x ? 代数几何综合题 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0） ()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 2．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ； (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长. 3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2x+m -3=O 的两根，且x 1<0 2019届中考数学总复习：代数几何综合问题 【中考展望】 代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键． 题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题. 题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口. 【方法点拨】 方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明． 函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等． 函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型． 几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力． 1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现． 2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等． 3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力． 4．解几何综合题应注意以下几点： （1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系； （2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化； （3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法； （4）注意灵活地运用数学的思想和方法． 【典型例题】 类型一、方程与几何综合的问题 1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________. 2003级高等数学（A ）（上）期末试卷 一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程 ? +-=y x t x dt e 1 2 确定，则 ==0 x dx dy （ ） .e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A 2．曲线41 ln 2+-+ =x x x y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A 3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ） 4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ） . 2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( * * **x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+=== 二、填空题（每小题3分，共18分） 1．_____________________ )(lim 2 1 =-→x x x x e 2．若)(cos 21arctan x f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dx dy 3．设,0,00 ,1sin )(?????=≠=α x x x x x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。 4．若dt t t x f x ?+-=2032 4 )(，则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线x xe y -=的拐点是__________ 6．微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y 线性代数(B)教学大纲 （课程编号学分：2；上课32；习题课0，实验0；课外上机：0） 东南大学数学系 一．课程的性质与目的 本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是工科非电类专业学生本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。 二．课程内容的教学要求 1．行列式 （1）理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算； （2）知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响； （3）了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式； （4）掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理； （5）掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算； （6）理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。 2．矩阵 （1）理解矩阵的概念； （2）理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算； （3）理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质； （4）理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质； （5）了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵； （6）了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。 3．矩阵的初等变换与Gauss消元法 （1）理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系； （2）理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念； （3）了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系； （4）了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解； （5）理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系； 1 中考第一轮复习 代数与几何综合初步 本讲包括两个方面：数形结合思想、方程函数与几何的综合. 数形结合思想从解题方法上主要分为两类：一是用“形”来解决“数”的问题，体现在数列计算、公式证明等方面；二是用“数”来解决“形”的问题，体现在用方程、函数最值等来解决图形中的计算或最值问题. 方程函数与几何的综合这部分主要侧重在题型上，将代数式、方程、各种函数及各种几何图形综合在一起，不仅将第一轮复习的内容很好的综合，也能锻炼同学们灵活运用各种知识点、方法解决问题的能力. 一、数形结合思想 【例1】 （1）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂 分家万事非”，如图，在边长为1 的正方形纸板上，依次贴上面积为 2 1 ， 41，81 ，…，n 2 1的长方形彩色纸片（n 为大于1的整数），请你用“数 形结合”的思想，依数形变化的规律，计算+++81 4121…+n 2 1=___________. （2）利用图形可以计算正整数的乘法，请根据以下四个算图所示规律在右图中画出232312? 的算图（标出相应的数字和曲线） . （2009海淀初三期中） （3）数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数 问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题．通过数形结合将代数与几何完美的结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果．教科书中利用几何图形证明乘法公式 () 2 222a b a ab b +=++的做法，就是一个非常典型的例子： 如图，a 、b 分别表示一条线段的长度，则a+b 可以表示两条线段之和，那么()2 a b + 就可以表示正方形的面积．同样， a b b a b system of linear equations 线性方程组equivalent 等价的 triangular form 三角型back substitution 回代 row operation 行变换coefficient matrix 系数矩阵 augmented matrix 增广矩阵elementary row operation初等行变换 pivot 主元pivotalrow 主行 row reduction 行化简row echelon form 行阶梯型 leading variable 约束变量free variable 自由变量 overdetermined linear system 方程个数超过未知数个数的方程组underdetermined linear system 方程个数低于未知数个数的方程组 consistent 相容的inconsistent 不相容的Gauss-Jordan reduction 高斯-若当消去法homogeneous systems齐次线性方程组solution解trivial solution 平凡解 Euclidean n-space欧几里得n维空间row vector 行向量column vector 列向量scalar multiplication 标量乘法 matrix addition 矩阵加法additive identity 加法单位元 additive inverse 加法的逆linear combination 线性组合 nonsingular 非奇异的invertible可逆的 multiplicative inverse 乘法的逆singular 奇异的transpose of a matrix 矩阵的转置idempotent 等幂的symmetric 对称的adjacency matrix邻接矩阵 中考数学代数几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是?BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且??BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝12 BC·CE； ⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵??BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB ⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图) ∵A 是?BDC 中点，∴HC＝HB ＝12 BC ， ∵∠CA E ＝900，∴AC 2＝CH·CE＝12 BC·CE ⑶∵A 是?BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17 ∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠A EC ＝AE AC ＝132 点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就非常关键. 【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分 别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。 几何与代数教学大纲 （总学分： 4；总上课学时：64；课外上机时数：4） 东南大学数学系 一．课程的性质与目的 本课程是工科电类专业学生本科阶段关于几何及离散量数学重要的数学基础课程。本课程的目的是使学生熟悉空间解析几何与线性代数基本概念，掌握用坐标及向量的方法讨论几何图形的方法，熟悉空间中简单的几何图形的方程及其特点，掌握线性代数的基本理论和基本方法，熟悉矩阵运算的基本规律和基本技巧，熟悉矩阵在等价关系、相似关系、合同关系下的标准形，提高其空间想象能力、抽象思维和逻辑思维的能力，为后继课程的学习做好准备，并为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。 二．课程内容的教学要求 1．向量代数平面与直线 （1）理解几何向量的概念及其加法、数乘运算，熟悉运算规律，了解两个向量共线和三个向量共面的充分必要条件； （2）理解空间直角坐标系的概念，理解仿射坐标系的概念，掌握向量的坐标表示； （3）理解向量的数量积、向量积和混合积的概念，理解它们的几何意义，了解相关的运算性质，掌握利用坐标进行计算的方法； （4）理解平面的法向量的概念，熟练掌握平面的方程的确定方法，熟悉特殊位置的平面方程的形式； （5）理解直线的方向向量的概念，熟练掌握直线的对称方程、一般方程及参数方程的确定方法； （6）了解直线、平面间的夹角的定义，了解点与直线、平面间的距离的定义，并掌握相关的计算； （7）了解平面束的概念，并会用平面束处理相关几何问题。 2．矩阵和行列式 （1）理解矩阵和n维向量的概念； （2）理解矩阵和向量的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算； （3）理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质； （4）理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算； （5）知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响； （6 ）了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n 阶行列式； 中考冲刺：代几综合问题—知识讲解（提高） 【巩固练习】 一、选择题 1. 如图，正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A出发，沿图中所示方向按滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（） A. 2 B. 4－ C． D． 2. 如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的 影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函 数关系的图象大致为（） 二、填空题 3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4，0)，点B的坐标为(4，10)，点C在y轴上，且△ABC 是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为______________． 4.如图，(n+1)个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2 的面积为S2，…，△B n+1D n C n的面积为S n，则S2=______________；S n=__________________ (用含的式子表示）． 三、解答题 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm，现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）． （1）连接DP，经过1秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由； （2）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行．为什么？ （3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形． 东南大学二00三年攻读硕士学位研究生入学考试试卷 课程编号：433 课程名称：高等代数 一、填空题（每小题6分，共30分） 1、设12312,,,,αααββ均为四维列向量，且四阶行列式12311223,,,,,,,m n αααβααβα==。则四阶行列式32112,,,()αααββ+= 。 2、已知()111,2,3,1,,23αβ?? == ??? ，设T A αβ=，其中T α表示α的转置，则n A = 。 3、设矩阵A 的行列式因子为()3 1,1,1λλ--，则A 的初等因子为 ，A 的若当标准形为 。 4、设V 是数域P 上全体次数4<的多项式与零多项式组成的线性空间，且232,,1,1x x x x x +++是V 的一组基，则223x x ++在这组基下的坐标（写成行向量形式）为 。 5、()()43232341,1f x x x x x g x x x x =+---=+--的最大公因式()(),()f x g x 为 。 二、选择题（每小题6分，共30分） 1、设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ） （A ）12312,,,k αααββ+线性无关 （B ）12312,,,k αααββ+线性相关 （C ）12312,,,k αααββ+线性无关 （D ）12312,,,k αααββ+线性相关 2、设A 是m n ?矩阵，B 是n m ?矩阵，则（ ） （A ）当m n >时，0AB ≠ （B ）当m n >时，0AB = （C ）当n m >时，0AB ≠ （D ）当n m >时，0AB = 3、设n ()2≥阶矩阵A 可逆，* A 为A 的伴随矩阵，则（ ） （A ）()*1*n A A A += （ B ）()*1*n A A A -= （ C ）()*2*n A A A += （ D ）()*2 *n A A A -= 4、设12324369Q t ?? ?= ? ??? ，P 为三阶非零矩阵，且满足0PQ =，则（ ） （A ）当6t =时，P 的秩必为1 （B ）当6t =时，P 的秩必为2 （C ）当6t ≠时，P 的秩必为1 （D ）当6t ≠时，P 的秩必为2 5、已知12,ββ是非齐次线性方程组Ax b =的两个不同的解，12,αα是0Ax =的基础解系，12,k k 为任意常数， 专题训练十 解答题突破 ——代数几何综合题(涉及二次函数) 1．(2016·新疆)如图1，抛物线y ＝ax 2 ＋bx －3 (a ≠0)的顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A 、B 两点， 与y 轴交于点C ，且BO ＝OC ＝3AO ，直线y ＝－1 3 x ＋1与y 轴交于点D ． 图1 (1)求抛物线的解析式； (2)证明：△DBO ∽△EBC ； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PBC 是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图2，图3，在每一个四边形ABCD 中，均有AB ∥DC ，AD ⊥AB ，∠ABC ＝30°，CD ＝6，AB ＝12. 图2 图3 (1)如图图2，点M 是四边形ABCD 边AB 上的一点，求△DMC 的面积； (2)点M 是四边形ABCD 边AB 上的任意一点，请你求出△DMC 周长的最小值； (3)如图3，如果点M 在AB 上，是以1个单位/秒的速度从A 向点B 运动，是否存在一个时刻t ，使得△MCB 是等腰三角形？如存在，请求出此时的t 值；如不存在，请说明理由． 3．(2016·青羊区模拟)如图4所示，一张三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成△AC 1D 1和△BC 2D 2两个三角形(如图5所示)．将纸片△AC 1D 1沿直线D 2B (A →B 方向)平移(点A ，D 1，D 2，B 始终在同一直线上)，当D 1与点B 重合时，停止平移．在平移的过程中，C 1D 1与BC 2交于点E ，AC 1与C 2D 2，BC 2分别交于点F ，P . 几代复习指导 目录 第一部分行列式 第二部分矩阵的运算 第三部分矩阵的初等变换和矩阵的秩 第四部分向量组的线性相关性和向量组的秩第五部分线性方程组 第六部分相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量第七部分实对称矩阵和二次型 第八部分空间解析几何 第一部分 行列式 一．定义 1．定义 设() ij n n A a ?=，则121212(,)12,(1)n n n i i i i i ni i i i A a a a τ= -∑ 是!n 项代数和；不同行，不同列；正、负号。 【例1】 32241342a a a a 是不是4阶行列式中展开式中的项，正、负号是什么？ 不是 【例2】 512312 123122x x x x x x 中34,x x 的系数。345,10x x - 2．注：（1）. 对角线法则一般地不再成立。举例。 （2）. 记住上、下三角阵的行列式。 二．性质 1． 性质 （1） 行列式的基本性质； （2） 按行（列）展开； （3） 乘法定理。 2． 需记住的结果： （1） Vandermonde 行列式； （2） 分块上、下三角阵的行列式。 3． 例： 【例3】 已 知 () 33 1 2 A α α α ?=，()33122323232B αααααα?=+-+，2A =，求B 。 1232312321327277714B A αααααααααααα=+-+=+-=-== 【例4】已知120200561,350350461A B ???? ? ?== ? ? ? ????? 。求31 A B -。 4． 注： （1） 矩阵的加法、数乘之后的行列式； （2） 容易出现的错误： 11 03 27253721 2--r r ； * 0* 07/2,7253722 112r r r r --; （3） 分块矩阵的行列式. 三．计算 1． 典型方法： （1） 化成低阶行列式； （2） 化成三角形行列式。 2． 注：很少直接用定义计算；应先化简，后计算。 3． 例 【例5】 1314 1516 ； 【例6】 201331 21023123 1 4 -； 【例7】 1 23 4 11 1 1111111111 1 1 1λλλλ++++，1234,,,λλλλ均不为零； 【例8】 11 1 222 a a n n n a +++ ； 【例9】 1231122 11132345122 3 4 1 n n n n n n n n n n ------ ； 高等数学数学实验报告 院（系） 软件学院 学号 71110325 姓名 向往 实验地点： 计算机中心机房 实验一 一、 实验题目 设数列}{n x 由下列递推关系式给出：),2,1( ,2 1211 =+==+n x x x x n n n ，观察数列11111121++++++n x x x 的极限。 二、 实验目的和意义 1、通过编程可以输出数列的任意多项值，以此来得到数列的收敛性。 2、通过此实验对数列极限概念的理解形象化、具体化。 三、程序设计 f[x_]=x^2+x;xn=0.5; g[x_]=1/(x+1); S=0; For[n=1,n 10,n++,xN=xn;xn=f[xN];yn=g[xN];S+=N[yn];Print[S]] 四、程序运行结果 0.666667 1.2381 1.67053 1.91835 1.99384 1.99996 2. 2. 2. 2. 五、结果的讨论和分析 观察数列的极限可采用数形结合的方法或者通过输出N项来观察数列逼近趋势。本题我采用后者，才仅仅输出10项（其实比10项还要少）之后就得出了数列极限，程序设计较数行结合法来说更简单，同时也比较直观的得出了结论。并且由此看出此数列极限的逼近速度还是相当快的。 实验二 实验题目:用梯形法计算定积分 2 2 sin x dx π ?的近似值。（精确到0.0001）。 实验目的:根据本实验介绍的方法（如梯形法），利用mathematica进行定积分的近似计算。这样比求其原函数要更加简便。 实验设计: f[x_]:=Sin[x^2]; a=0;b=Pi/2;m2=N[f''[2]];delta=10^(-4);n0=100; t[n_]:=(b-a)/n*((f[a]+f[b])/2+Sum[f[a+i*(b-a)/n],{i,1,n-1}]); Do [ Print[n," ",N[t[n]]] ; If [ (b-a)^3/(12n^2)2002年东南大学考研高等代数试题
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