几代复习指导
目录
第一部分行列式
第二部分矩阵的运算
第三部分矩阵的初等变换和矩阵的秩
第四部分向量组的线性相关性和向量组的秩第五部分线性方程组
第六部分相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量第七部分实对称矩阵和二次型
第八部分空间解析几何
第一部分 行列式
一．定义
1．定义 设()
ij
n n
A a ?=，则121212(,)12,(1)n n n
i i i i i ni i i i A a a a τ=
-∑
是!n 项代数和；不同行，不同列；正、负号。
【例1】
32241342a a a a 是不是4阶行列式中展开式中的项，正、负号是什么？
不是
【例2】
512312
123122x x x x x x
中34,x x 的系数。345,10x x -
2．注：（1）. 对角线法则一般地不再成立。举例。 （2）. 记住上、下三角阵的行列式。 二．性质
1． 性质
（1） 行列式的基本性质； （2） 按行（列）展开； （3） 乘法定理。 2． 需记住的结果：
（1） Vandermonde 行列式；
（2） 分块上、下三角阵的行列式。 3． 例：
【例3】
已
知
()
33
1
2
A α
α
α
?=，()33122323232B αααααα?=+-+，2A =，求B 。
1232312321327277714B A αααααααααααα=+-+=+-=-==
【例4】已知120200561,350350461A B ????
? ?== ? ? ? ?????
。求31
A B -。
4． 注：
（1） 矩阵的加法、数乘之后的行列式； （2） 容易出现的错误：
11
03
27253721
2--r r ； *
0*
07/2,7253722
112r r r r --; （3） 分块矩阵的行列式.
三．计算
1． 典型方法：
（1） 化成低阶行列式； （2） 化成三角形行列式。
2． 注：很少直接用定义计算；应先化简，后计算。 3． 例
【例5】
1314
1516
；
【例6】
201331
21023123
1
4
-； 【例7】
1
23
4
11
1
1111111111
1
1
1λλλλ++++，1234,,,λλλλ均不为零；
【例8】
11
1
222
a a
n n
n a
+++ ；
【例9】
1231122
11132345122
3
4
1
n n n
n n n n n n n
------
；
【例10】n a b b c a b
D c c a
= ；
第二部分 矩阵的运算
一．矩阵的乘法
1． 运算规律
【例1】1221230101??-??
? ? ??? ???
，
()312012?? ? ? ???，()312102??
? ? ???
， ()312102n
???? ? ? ? ? ? ?????
。 【例2】假设e 是n 维非零列向量，T
A E ee =-。证明：A 是对称矩阵，
且2
1T
A A e e =?=。
2． 应当注意的问题
（1） 矩阵记号与行列式记号的差别；
（2） 单位矩阵（用E 或I 表示）的每个元素都等于1吗？ 不是 （3） 矩阵乘法含有非零零因子，因而乘法消去律不成立；
【例3】 01010N ?? ?
?= ? ?
??
。 【例4】 s n A ?满足满足什么条件时，由AB AC =就能推出B C =？ ()s n r A n ?=
（4） 矩阵乘法不可交换，因而一些代数恒等式不再成立。
【例5】平方差公式。 【例6】二项式定理。
【例7】设1
00
100
A λλ
λ??
?
= ? ??
?
，求n A 。 【例8】与对角阵可交换的矩阵是否一定是对角阵？
不一定，任意方阵与单位阵都是可交换的。
二．可逆矩阵
1． 可逆的条件
（1） 行列式不为零； （2） 秩等于阶数；
（3） 存在另一矩阵使它们的乘积是单位阵； （4） 特征值全不为零。
2． 逆矩阵的计算
（1） 利用伴随矩阵：一般只对低阶矩阵，如二阶矩阵用这种方法。但要注意二
阶矩阵的伴随矩阵是如何定义的。
（2） 利用初等变换：要注意避免过繁的运算。
【例9】求矩阵的逆矩阵321230312A ?? ?
= ? ???
3． 重要性质，如
（1） 可逆矩阵肯定不是零因子；
（2） 1
1
A
A --=；
（3） 对于方阵A ，若存在矩阵B 使得AB E =，则A 是可逆的，且1
A B -=； （4） 1
11()
AB B A ---=。
【例10】已知3
A O =，证明E A -是可逆的，并求其逆。 【例11】已知2
23A A E O +-=。
（1） 证明：A 可逆，并求1
A -； （2） 2A E +可逆，并求其逆；
【问题】：假设n 阶矩阵A 满足2
23A A E O +-=。证明矩阵A 及A E +均可
逆，并分别求1A -及1
()A E -+；证明：若A E ≠，矩阵3A E +肯定不
可逆。
4． 伴随矩阵
（1） 定义； 如求矩阵a b A c d ??
= ???
的伴随矩阵
（2） **AA A A A E ==； （3） 若A 可逆，则*1A A A -=。
【例12】已知123A ?? ?
= ? ???
，求*A 。 【例13】假设2n ≥，证明1
*
n A A
-=。
5． 矩阵方程
各种类型的矩阵方程，正确化简成标准形式，正确求解。
标准形式的矩阵方程的求解可以先求逆矩阵，再求乘积得解，或直接有初等变
换求解。可以进行验算！
【例14】设矩阵210120001A ?? ?= ? ???
，矩阵B 满足**
2ABA BA E =+，求B 。
三．矩阵的分块运算
（1） 分块矩阵的乘法规则的成立是有条件的：小矩阵间的运算要有意义，或左
边的因子的列的分法与右边的因子的行的分法一致
●
11
1211
12212221
22A A B B AB A A B B ????= ???????
； ● 11000
0k
k k n n A A A A ???? ? ?= ? ? ? ?
???? ；
【例15】求1000100n
λλ??
?
? ??
?
。 【例16】已知矩阵A O M C B ??=
???
，其中,B C 是可逆矩阵，求1
M -。
（2） 注意：不能滥用分块。如：行列式；伴随矩阵等。
第三部分 矩阵的初等变换和矩阵的秩
一．概念
（1） 讨论什么问题可以用初等行、列变换。有时只能用行变换，不能用列变换； 求相抵标准型要同时用初等行、列变换。解方程组，求逆矩阵，求极大无关组都只能用初等行变换，不能用列变换。
（2） 行向量组等价的矩阵一定是等价的。等价的矩阵的行向量组等价吗？ 等价的矩阵的行向量组不一定等价，因为等价的矩阵可能做了初等列变换。
【例１】 讨论矩阵的秩
12312323k A k k -??
?=-- ? ?-??
二．初等变换与矩阵乘法
（1） 初等变换与初等矩阵的乘积；
【例2】已知44A ?可逆，交换其第一、三两行的得矩阵B ，求1
AB -。
（2） 矩阵的等价标准形r E o o o ??
???
； （3） 若()s n r A r ?=，则一定存在可逆矩阵,s s n n P Q ??，
使得r E O A P Q O
O ??
= ???
。 【例4】 证明矩阵的满秩分解定理，分解成秩为1的矩阵的和。 （4） 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵，解矩阵方程。
三．矩阵的运算与秩
（1）()()T
r A r A =
（2）()()()r A B r A r B +≤+ （3）()(),()r AB r A r B ≤
（4）()()()s n n t r A B r A r B n ??≥+- （3） 若s n n t A B O ??=，则()()r A r B n +≤
【例4】假设n n A ?满足2
A E =，证明：()()r A E r A E n ++-=。
【例5】假设A 是s n ?矩阵，且()r A n =。若AX AY =，则必有X Y =。
【例6】假设2n >，A 是n n ?矩阵。证明*,()()1()10,()1n r A n
r A r A n r A n =??==-??<-?
如果，如果如果。
第四部分
向量组的线性相关性和向量组的秩
一．什么叫线性相关、线性无关？什么叫向量组的极大无关组，秩？重要结论。
（1） 定义；
（2） 简单性质：含零向量的向量组一定线性相关等；
两个向量线性相关当且仅当其分量成比例；
问题：如果三个向量中的任意两个向量的分量都不成比例，是否线
性无关？
不一定，可能有某一行可以由其他两行线性表示。
（3） 向量组的秩与矩阵的秩的关系；
（4） 定理：2s ≥时，12,,,s ααα 线性相关?存在某个j 使得j α可以由其余1s -
个向量线性表示。
（5） 定理：若12,,,s ααα 线性无关，12,,,,s ηααα 线性相关，则η可以由
12,,,s ααα 线性表示。
（6） 定理：若12,,,t βββ 可以由12,,,s ααα 线性表示，且t s >，则12,,,t
βββ 线性相关。
（7） 定理：12,,,s ααα 线性无关?12(,,,)s r s ααα= 。 （8） 定理：假设向量组12,,,s ααα 线性无关，并且
1122j j j sj s k k k βααα=+++ ，1j s ≤≤
记()
ij
s s
K k ?=。则12,,,s βββ 线性无关?K 可逆；
二．如何判别？
（1） 线性表示， 线性相关性
【例1】 设向量()1124T
α=-，()T 5122-=α，()3210T
a α=，
()T c b 1=β. 问：当参数c b a ,,满足什么条件时
1．β能用321,,ααα线性表示？
2．β不能用321,,ααα线性表示？
【例2】已知向量组321,,ααα，321,,βββ之间有关系：
,211ααβ-= 322ααβ-=， 133ααβ-=
证明：321,,βββ肯定线性相关.
【例3】求k ，使得向量组1231122,2,123k ααα?????? ? ? ?
=== ? ? ? ? ? ???????
线性相关。
【例5】设t ηηη,,,21 是齐次线性方程组θ=Ax 的线性无关的解向量，β不
是其解向量。证明：t ηβηβηββ+++,,,,21 也线性无关.
【例5】 设
321,,ααα线性无关，112,k βαα=+ 223l βαα=+，
331βαα=+。问：,k l 满足什么条件时123,,βββ线性无关？
（2） 极大无关组和秩
定理：如果12,,,t βββ 可以由12,,,s ααα 线性表示，则
12(,,,)t r βββ≤ 12(,,,)s r ααα
定理：如果12(,,,)s r r ααα= ，则12,,,s ααα 中任意r 个线性无关的向量都
是其一极大无关组。
【例6】
若向量组???
?
? ??=????? ??=????? ??=110,12,101321αααk ，则当参数k 取什么值时，
321ααα,,线性相关；这时求这个向量组的一个极大无关组。
【例7】
求给定向量组的极大无关组
（3）注意辨别对错
【例7】若12,,,s ααα 线性相关，则1α可由2,,s αα 线性表示？错，不一定 【例8】若有全为零的数12,,,s k k k 使得1122s s k k k αααθ+++= ，则
()()()()()
123451102,2111,1213,1122,1012T T
T
T
T ααααα=-=-=-==
12,,,s ααα 线性无关。错，不一定
三．向量空间
第五部分
线性方程组
一．解的存在性、唯一性 s n A x b ?=
（1）s n A x b ?=有解?()()r A r Ab =；
（2）若()()r A r Ab r ==，则s n A x b ?=有唯一解?r n =；
（3）若()()r A r Ab r n ==<，则s n A x b ?=的通解中含有n r -个自由未知量。 二．解的结构
（1） 齐次线性方程组 s n A x θ?=有非零解的充分必要条件是()r A r n =<。
A ． 解的结构
B ． 若()r A r n =<，则s n A x θ?=的基础解系中含n r -个解向量；
C ． 若()r A r n =<，则s n A x θ?=的任意n r -个线性无关的解向量都是基础解系 （2） 非齐次线性方程组 s n A x b ?=的解的结构
三．Cramer 法则，Gauss 消元法与通解的表达
注：Cramer 法则只适用于方程个数与未知量个数相同的情形；
用Gauss 消元法求解只能对增广矩阵作初等行变换, 不能作列变换； 通解有两种形式：用自由未知量表示；用向量形式表示。 四．例
【例1】 求齐次线性方程组的基础解系
12
3
4
51
23451
234
5
022330330
x x x x x x x x x x x x x x x +
+
+
+=??
+++-=??++++
=? 将系数矩阵化成行简化阶梯形矩阵，求通解，写出基础解系。 【例2】 讨论解的情况并求基础解系
12121
2(1)02(2)20()0n n n a x x x x a x x nx nx n n x ++
++=??++++=??
??++++=?
【例3】 问：当参数去什么值时，齐次线性方程组有非零解，有非零解时求通解
12341
23412
3
41
2
3
4
3521412307107x x x x x x px x x x x x x x x x q
--+=-??+++=??
-
-
+=??+++=
?
【例4】
讨论解的情况并求解
12
3
1
231
23
1
01
x x x x x x x x x λλλ+
+
=
??
++=??++=-? 【例5】
设12,αα是齐次线性方程组Ax θ=的基础解系，12,ββ线性方程组Ax b =的特解。12,k k 表示任意常数。则Ax b =的通解是
（1） 11212121
()()2k k αααββ+++
- （2） 11212121
()()2k k αααββ+-++
（3） 11212121
()()2k k αββββ+++-
（4） 11212121
()()2
k k αββββ+-++
【例6】
已知12,,,s ααα 是齐次线性方程组Ax θ=的基础解系，
1112221223121,,,s s t t t t t t βααβααβαα=+=+=+
问：当12,t t 取何值时，12,,,s βββ 也是Ax θ=的基础解系。
【例7】
假设33()2r A ?=，12,ηη是Ax b =的解，
且12112ηη?? ?+= ? ???，1233221ηη?? ?
-= ? ???
。求Ax b =的通解。
第六部分 相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量
中心问题是矩阵的相似对角化问题。
一．矩阵的特征值、特征向量的概念和简单性质
1． 计算：先求特征多项式，再求根，再解齐次线性方程组的非零解
【例1】 求矩阵001010100A ?? ?
= ? ???
的特征值和特征向量。
2． 特征多项式和迹
假设()
ij
n n
A a ?=。则
E A λ-是n 次多项式，首一的，且
11122()(1)n n n nn E A a a a A λλλ--=-+++++-
称1122nn a a a +++ 为A 的迹，记为()tr A 。 3． 特征值的性质
（1） 如()
ij
n n
A a ?=的特征值是12,,,n λλλ ，则
12()n tr A λλλ=+++ ， 12n A λλλ=???
（2） A 可逆?特征值均不为零。如果A 可逆，0λ是A 的特征值，则10λ-是1
A
-的特征值；
（3） 假设()f x 多项式，0λ是A 的特征值，则0()f λ是()f A 的特征值； （4） 设()f x 是A 的化零多项式，则A 的特征值均是()f x 的根。 【例2】假设A 是3阶方阵，2,2,2A E E A A E ++-均不可逆，求A 。 【例3】假设2
A A =，证明：A 的特征值只能是0和1。
注：错误做法：因为0A E A -=，则0A =或0E A -=。若0A =，
则0是A 的特征值，若0E A -=，则1是A 的特征值。
二．相似矩阵及矩阵相似的必要条件
定义：矩阵的相似。
定理：若矩阵A 与B 相似，则
E A E B λλ-=-，且A 与B 有相同的特征值、迹、秩、
行列式。
【例4】已知矩阵11111a A a b b ?? ?= ? ???与012B ??
?
= ? ???
相似，求,a b 。
解：A ，B 相似，则|A|=|B|=0。化简可得|A|=(a-b )2=0,所以a=b 。
另外，A ，B 相似，A 的特征值也为0，1，2。当λ=1时，|λI-A |=-2ab=0。 所以a=b=0。
注：1.逆命题不成立
2.课程中没有介绍“充分条件”，除非对矩阵加了特定的条件（如实对称等）。 【例5】 若A 与B 之一可逆，证明：AB 与BA 一定相似。
【例6】 若1A 与1B 相似，2A 与2B 相似，证明：1
2A A ??
??
?与12B B ??
???
相似。 三．矩阵可相似对角化问题
注：并非每个矩阵都相似于对角阵。如01010?? ?
? ? ?
??
定理：n n ?矩阵A 相似于对角阵?A 有n 个线性无关的特征向量。
定理：矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关。
【例7】如：123045006?? ?
? ???
肯定相似与对角阵。
如：1001?? ???
有重特征值，但相似于对角阵。
定理：如果12,,,s λλλ 是矩阵A 的互不相同的特征值，12,,,i i i ik ξξξ 是A 的属于i λ的
特征向量，则11112112,,,,,,,,s k s s sk ξξξξξξ 线性无关。
【例8】假设()
ij
n n
A a ?=是上三角矩阵。证明
（1） 如果1122,,,nn a a a 互异，则A 一定相似于对角阵；
(此时，A 有n 个不同的特征值1122,,,nn a a a ，所以有n 个线性无关的特
征向量。)
（2） 如果1122,,,nn a a a 全相等，而A 不是对角阵，则A 肯定不相似于
对角阵。
（此时，A 的n 个特征值相同，且()0.i r I A n n n n λ->=-=-）
定理：n n ?矩阵A 相似于对角阵?对于A 的s 重特征值，A 有s 个线性无关的特征
向量。
【例9】 假设1114335A x
y -?? ?
= ? ?--??
相似于对角阵，2是一个二重特征值。求,x y 及可逆矩阵P ，使得1
P AP -是对角阵。
【例10】 已知矩阵12314315A a -??
?
=-- ? ???
的特征方程有一个二重根。求参数a 的
值，并讨论A 是否可相似对角化。 注：
2(2)(8183)E A a λλλλ-=--++。因此，若2是两重根，则
2a =-，此时，特征值为2，2，6。可以证明，这时，可以相似对
角化。
若2不是两重根，则2
8183a λλ-++为完全平方，从而可以解得
2
3
a =-。可以证明，这时不可以相似对角化。
【例11】 设n n ?矩阵A 满足2
A A =。证明：
（1）A 相似于r E o o o ??Λ=
???
； （2）()()tr A r A =。
四．同时对角化问题、矩阵相似对角化的应用
【例12】 设n n ?矩阵A 有n 个互不相同的特征值，且AB BA =。证明：存在
可逆阵P 使得1
P AP -，1
P BP -均是对角阵。
【例13】 设3222A -??= ?-??
。求n A 。
第七部分 实对称矩阵和二次型
应当注意，讨论二次型与讨论实对称矩阵本质上是同一回事。 一．内积、Schmidt 正交化方法和正交矩阵
1． 内积和正交性
定义：n 维向量的内积（可以用矩阵的乘积表示）,T αβαβ<>= 正交
长度，单位向量，单位化 正交向量组
定理：正交向量组是线性无关的。
【例1】 已知向量组321,,ααα线性无关，非零向量β与321,,ααα中每个向
量正交。证明：321,,ααα，β线性无关。
2． Schmidt 正交化方法
如果12,,,s ααα 线性无关，则经过正交化、单位化可以得到一个与之等价的标准正交向量组。
正交化、单位化的公式。 3． 正交矩阵
定义：正交矩阵
定理：n 阶实矩阵A 是正交矩阵?1
T
A A
A -=?的行（列）向量组是标准正交向
量组。
【例2】 若上三角实矩阵A 是正交矩阵，则A 是对角阵，且主对角元是1±。 【例3】 若n 阶实矩阵A 是正交矩阵。则
（1）当1A =时，且n 是奇数时，1是A 的特征值； （2） 当1A =-，-1是A 的特征值；
（3） 若B 也是n 阶正交矩阵，且0AB <，则0A B +=。
二．实对称矩阵
1．实对称矩阵的基本性质（三条）：假设A 是实对称矩阵，则
（1） 实对称矩阵的特征值是实数；
（2） 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交； （3） 存在正交矩阵Q ，使得T Q AQ 是对角阵。
2． 正交矩阵Q 及对角阵T Q AQ 的计算。要注意与相似对角化的区别。
【例4】假设101000101A ?? ?
= ? ???
。求正交矩阵Q ，使得T Q AQ 是对角阵。
【例5】设三阶实对称矩阵A 的特征值为3，1，1，111α??
?
= ? ?-??
是A 的相应于
特征值3的特征向量。求A 。
法一. 求正交阵；
法二. 用相似对角化方法。
【例6】假设A 是n n ?实对称矩阵。证明：存在实对称矩阵B ，使得3
A B =。 【例7】假设A 是实对称矩阵。证明：若存在m 使得m
A O =，则A O =。
三．二次型的矩阵
二次型的矩阵都是对称矩阵，两者一一对应。 可逆线性变换与矩阵的合同关系两者一一对应。
【例8】求二次型222
1231231223(,,)268f x x x x x x x x x x =++++的矩阵。
【例9】假设M 是n n ?矩阵（不一定是对称的）。求二次型()T
f X X MX
=的矩阵。 四．标准形、惯性定理与规范形
1． 标准形的计算
配方法：
【例10】二次型222
1231231223(,,)222f x x x x x x x x x x =++++
注：应是可逆线性变换，故，变换前后变量个数相同。 正交变换的办法：完全化成矩阵问题
【例11】已知实二次型2
2
2
12312323(,,)34f x x x x ax x x x =+++在一正交变换下
可以变成222
123
33y y by ++。求,a b 及一个合适的正交变换。 2． 惯性定理，正、负惯性指数
定理：惯性定理
定义：二次型的秩和正、负惯性指数
命题：二次型的秩和正、负惯性指数可以由其矩阵的特征值确定。
【例12】假设A 是n n ?实对称矩阵，且2
A E =，()r A E s +=。求A 的秩和
正、负惯性指数。
3． 分类
每个实对称矩阵A 均与p r p
E E O -??
?
-
? ??
?
合同，称此矩阵为A 的规范形。 于是，两个n n ?实对称矩阵合同?它们有相同的秩和正惯性指数。
【例14】 若将n n ?实对称矩阵按合同关系分类，共可分成多少合同类？ 解：秩的取值为0，1，2，3，4，…, n 合同类的个数为1，2，3，4，5，…,n+1 共有(n+1)(n+2)/2. 五．正定性
定义：实对称矩阵、二次型的正定性、负定性
定理：假设A 是n n ?实对称矩阵，则下述命题是等价的：
1．A 是正定的
2．A 的各个顺序主子式大于零 3．A 的所有特征值均大于零
4． 存在实可逆矩阵P ，使得T
A P P =。
【例13】 设222
1231231223(,,)244f x x x x x tx tx x x x =++--。求t ，使之为正定二
次型。
【例14】 设,A B 都是正定矩阵。证明：1*,,,m
A A A A
B -+都是正定的。问：AB
是不是正定的？
【例15】 假设n n ?实对称矩阵A 是正定的，B 是n s ?实矩阵。证明：T
B AB
正定()r B s ?=。
【例16】 假设n n ?实对称矩阵A 是正定的。证明：1A E +>。
第八部分 空间解析几何
一．矢量代数
1． 数量积
几何定义：是一数量，cos αβαβ??=??
坐标表达：3
1
i i
i x y αβ=?=
∑
几何意义：正交0αβ??=， 2． 向量积
几何定义：是一向量，方向： ,,αβαβ?符合右手则；
sin αβαβ??=
坐标表达：1
231
2
3
i
j k x x x y y y αβ?= 几何意义：//αβαβθ??=；一般地，αβ?是平行四边形面积
3． 混合积
定 义：(,,)()αβγαβγ=??
坐标表达：1
231
231
2
3
(,,)x x x y y y y y y αβγ= 几何意义：(,,)αβγ=平行六面体的体积；四面体的体积； 共面(,,)0αβγ?=。
简单性质：轮回。
二．平面、直线
1． 平面方程
（3） 确定平面的基本方法：点+法向量
【例1】 三点确定平面
【例2】 两相交直线确定平面 【例3】 两平行直线确定平面
（4） 截距式方程
1x y z a b c
++= （5） 特殊形式的方程（缺项）
【例4】 缺常数项表示过原点，缺x 项时表示与x 轴平行。
【例5】 缺,x y 时表示与xOy 平面平行。 【例6】 求过点(3,2,1)且通过直线
13213
x y z
-+==-的平面 2． 直线方程
（1） 确定直线的基本方法：点+方向向量?对称方程（标准方程）
?参数方程
【例7】 两点确定一条直线。
【例8】 两相交平面确定一条直线。
【例9】
求过点(3,2,1)P 且与方向(1,1,1),(2,1,0)αβ==-都正交
的直线。
（2） 直线的一般方程：?视直线为两平面的交线
?一般方程与标准方程的互换
【例10】 化一般方程为标准方程21
22x y z x y z +-=??-+=?
。
3． 位置关系：理解几何含义
（1） 夹角
【例8】 求直线
13112
x y z
-+==与平面25x y z -+=的夹角。 （2） 距离
【例9】 点到直线的距离：利用平行四边形的面积公式（底与高的积，
向量积的模）。如：
13213x y z -+==-与321
213
x y z --+==-间的距离。
【例10】 点到平面的距离：利用在法向上的投影的绝对值。 【例11】 异面直线间的距离：公垂线与两直线的交点间的距离（公垂
线的方向是很容易得到的）
（3） 平面束
【例12】 求直线
41
432
x y z -+==-在平面380x y z -++=上的投影直线方程。
三．一般曲线、曲面：
曲面是由一个方程给定的，曲线是由两个方程给定的。由此也可看出，通常地，曲线被看成是两个曲面的交线。
必须弄清楚它们的定义（几何上是如何确定的）；特定位置的曲面方程的特点；图形特征（会画简单图形的草图）。 1． 球面：点和半径
2． 柱面：准线（定曲线）+母线（的方向）
【例13】 分别画出22221x z a b +=，22
221x y a b
-=的草图，指出它们的图
形特征。
3． 旋转面：母线（给定曲线）+定直线（轴）
【例14】 求在yOz 平面上的曲线(,)0
0f y z x =??=?
绕z 轴旋转所得曲面方
程。（答案：()0f z =）
4． 锥面：顶点+准线（重点准线是二次曲线、顶点是坐标原点的锥面）
5． 空间曲线在坐标平面上的投影柱面、投影曲线
【例15】求(,,)0
(,,)0F x y z G x y z =??=?
的母线平行于z 轴的投影柱面方程。
四．二次曲面
方程与图形：
1． 椭球面 222
2221x y z a b c ++=
2． 单叶双曲面 222
2221x y z a b c +-=
3． 双叶双曲面 222
2221x y z a b c +-=-
4． 二次锥面（方程特点：二次齐次方程）222
2220x y z a b c +-=
5． 椭圆抛物面 22
222x y z a b +=
6． 双曲抛物面（马鞍面） 22
222x y z a b
-=
【例16】 2221234x y z +-=与222
022
y z x +-=（0z >）的交线在xOy 平面上的投影曲线方程。
【例17】已知二次曲面1S 的方程为：2
23y x z +=，2S 的方程
为：2
1x z -=。
2019-2020年中考数学复习检测第2部分专题突破专题十解答题突破—代数几何综合题(涉及二次函数) 类型一以几何图形为背景的综合题 【例1】(xx·苏州一模)如图1①，四边形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AD ＝6 cm，DC＝8 cm，BC＝12 cm.动点M在CB上运动，从C点出发到B点，速度每秒2 cm；动点N在BA上运动，从B点出发到A点，速度每秒1 cm.两个动点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t(秒)． (1)求线段AB的长． (2)当t为何值时，MN∥CD? (3)设三角形DMN的面积为S，求S与t之间的函数关系式． (4)如图1②，连接BD，是否存在某一时刻t，使MN与BD互相垂直？若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由． 图1
【例2】(xx·吉林)如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8 2 cm，AD⊥BC于点D，点P从点A出发，沿A→C方向以 2 cm/s的速度运动到点C停止，在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM＝90°(点M，C位于PQ异侧)．设点P的运动时间为x(s)，△PQM与△ADC重叠部分的面积为y(cm2) 图2 备用图 (1)当点M落在AB上时，x＝____________； (2)当点M落在AD上时，x＝____________； (3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
1．(xx·宁夏)如图3，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC 向点C移动，连接QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒 (0＜x≤3)，解答下列问题： (1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值； 图3 (2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由． 2．(xx·梅州)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，∠BAC＝60°，动点M 从点B出发，在BA边上以每秒2 cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 3 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒(0≤t≤5)，连接MN. 图4 (1)若BM＝BN，求t的值； (2)若△MBN与△ABC相似，求t的值； (3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．
初一数学（上）应知应会的知识点 代数初步知识 1. 代数式：用运算符号“＋－×÷……”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式. 2.列代数式的几个注意事项： （1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写； （2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号； （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a×5应写成5a； （4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a× 应写成 a； （5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a写成的形式； （6）a与b的差写作a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a、b时，则应分类，写做a-b和b-a . 3.几个重要的代数式：（m、n表示整数） （1）a与b的平方差是： a2-b2； a与b差的平方是：（a-b）2； （2）若a、b、c是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c； （3）若m、n是整数，则被5除商m余n的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、n、n+1 ； （4）若b＞0，则正数是:a2+b ，负数是： -a2-b ，非负数是： a2 ，非正数是：-a2 . 有理数 1.有理数： (1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；p不是有理数； (2)有理数的分类: ① ② (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数? 0和正整数；a＞0 ? a是正数；a＜0 ? a是负数；
代数几何综合题 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。 例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作P C P B ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 解：（1） P C P B B O P O ⊥⊥, ∴∠+∠=?∠+∠ ∴∠=∠C P A O P B P B O O P B C P A P B O 90, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=? B O P P A C 90 ∴??B O PP A C ~ ∴ =P O A C B O P A ，∴=+||||||x y x 2 2 ， x y x y x <<∴= -002 2，，∴=-+y x x 122 （2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 , 当x =-1时，y =- 32，∴=CA 3 2
B O a B O Q C A Q O Q A Q B O C A //~,，∴∴=?? 设Q 点坐标为()m ，0，则A Q m =-2 ∴-=∴=m m m 2232 8 7 ， ∴Q 点坐标为()8 7 0， 说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。 练习 1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ；（3分） (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。（4分） B
01-02学年第二学期 几何与代数期终考试试卷 一（30%）填空题： 1． 设(1,2)α=，(1,1)β=-，则T αβ= ；T αβ== ； 100 () T αβ= ； 2． 设矩阵120031130A ?? ?= ? ???，234056007B ?? ? = ? ??? ，则行列式1AB -= ； 3． 若向量组123,,ααα线性无关，则当参数k 时，122331,,k αααααα---也线性无关； 4． 矩阵11110 11100110001A ?? ? ? = ? ???的伴随矩阵*A =? ? ? ? ? ?? ? ； 5． 设矩阵A 及A E +均可逆，则1 ()G E A E -=-+，且1 G -= ； 6． 与向量(1,0,1)α=，(1,1,1)β=均正交的单位向量为 ； 7． 四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)A B x C D y 共面的充要条件为 ； 8． 设实二次型222 12312323(,,)2f x x x x kx x x x =+++，则当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是椭 球面；当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是柱面。 二（8%）记1π为由曲线23 z y x ?=-?=?绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面3:1x y z π++=的 交线为准线，母线平行于z -轴的柱面。试给出曲面12ππ及的方程，并画出13ππ被所截有界部分在x y -平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点） 。 三（8%）求经过直线22 21x y z x y z +-=??-+-=? 且与x y -平面垂直的平面方程. 四（12%）求矩阵方程2XA X B =+的解，其中， 311101010,321003A B ?? -?? ? == ? ?-?? ? ?? . 五（12%）设线性方程组
一次函数与几何图形综合专题讲座 思想方法小结 ： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 知识规律小结 ： （1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点； 当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－ k b =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－k b ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限；
当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0) 当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 12 1b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2） ； ③???≠=21 21,b b k k ?y 1与y 2平行； ④?? ?==2 121, b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB (1) 求AC (2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系， 并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PM x y
代数几何综合题 【题型特征】代数、几何知识相结合的综合题是以几何知识为主体,以代数知识为工具(背景),来确定图形的形状、位置、大小(坐标)的问题.解答时往往需要从代数几何的结合点或在几何图形中寻找各元素之间的数量关系或在代数条件中探讨各个量的几何模型,进行数与形之间的互相转化,使问题得到解决. 为了讲解方便,我们将代数几何综合题按题目叙述的背景分为:坐标系、函数为背景的代数几何综合题和以几何图形为背景的代数几何综合题. 【解题策略】几何图形为背景的代数几何综合题,建立函数表达式的常见思路是:利用图形的面积公式建立函数表达式;或利用勾股定理或解直角三角形知识建立函数表达式;或利用相似三角形的线段成比例建立函数表达式. 类型一坐标系、函数为背景 典例1(2015·湖南怀化)如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y. (1)求y与x之间的函数表达式; (2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图(2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式; (3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由. (1)
(2) 【全解】 (1)∵AB=OB,∠ABO=90°, ∴△ABO是等腰直角三角形. ∴∠AOB=45°. ∵∠yOC=45°, ∴∠AOC=(90°-45°)+45°=90°. ∴AO⊥CO. ∵C'O'是CO平移得到, ∴AO⊥C'O'. ∴△OO'G是等腰直角三角形. ∵射线OC的速度是每秒2个单位长度, ∴OO'=2x. ∴其以OO'为底边的高为x. ∴点G的坐标为(3,3). 设抛物线表达式为y=ax2+bx,
七年级数学上册代数式知识点归纳及练习 考点一、代数式相关概念 1、代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2、单项式 只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式(即 不含加减运算)。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如b a 23 1 4-，这种表示就是错误的，应写成b a 23 13-。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如c b a 235-是6次单项式。 考点二、多项式 1、多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 单项式和多项式统称整式。 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。 注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。 （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。 2、同类项 所有字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。 3、去括号法则 （1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。 （2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。 4、整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。 整式的乘除法：),(都是正整数n m a a a n m n m +=? )0,,(≠=÷-a n m a a a n m n m 都是正整数 乘方运算：),(都是正整数）（n m a a mn n m = )()(都是正整数n b a ab n n n = 重要公式： 22))((b a b a b a -=-+ ))((2233b ab a b a b a +±=± 2222)(b ab a b a ++=+3 223333)(b ab b a a b a +++=+
代数几何综合题 x<0，连 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）() ⊥交过点A的直线a于点C（2，y） 结BP，过P点作PC PB （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。 2．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，⊙O的直径BD为6，连结CD、AO. (1)求证：CD∥AO； (2)设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若AO＋CD＝11，求AB的长. B
3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2 +2x+m-3=O 的两根，且x 1<0 1、已知抛物线)0(22 >--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。 （1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。 2、如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于 A （－1，0）、 B （3，0）、 C （0，3）三点，其顶点为 D ． （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积； （3）试判断△BCD 与△COA 是否相似若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由． A B D C o x y 中考数学代数几何综合题2 Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式显现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝1 2 BC·CE； ⑶假如AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB ⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图) ∵A 是BDC 中点，∴HC＝HB ＝1 2 BC ， ∵∠CAE＝900，∴AC 2 ＝CH·CE＝12 BC·CE ⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2 ＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2 ＝17 ∵EC 2 ＝AC 2 ＋AE 2 ，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠AEC ＝AE AC ＝13 2 点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的专门突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就专门关键. 【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分 别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○ 。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。 苏教版七年级代数式知识点汇总及练习题 姓名 日期： 代数式章节知识点汇总 1、代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方和开方等）将 的式子；单独的 2、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项。 3、整式：单项式和多项式统称为整式。 (1)单项式：由数字与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式(单独的一个数字或字母也是单项式)。 ①单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 ②所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。任何一个非零数的零次方等于1。 （2）多项式：几个单项式的和组成的式子(减法中有:减一个数等于加上它的相反数)。 ①多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。 4、整式的加减: 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接.整式加减的一般步骤是: (i)如果遇到括号.按去括号法则先去括号:括号前是“十”号，把括号和它前面的“+”号去掉。括号里各项都不变符号，括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉.括号里各项都改变符号。 (ii )合并同类项: 同类项的系数相加，所得的结果作为系数.字母和字母的指数不变。 一、选择题。 1．下列代数式表示a 、b 的平方和的是（ ） A ．（a+b ）2 B ．a+b 2 C ．a 2 +b D ．a 2 +b 2 2．下列各组代数式中，为同类项的是（ ） A ．5x 2 y 与－2xy 2 B ．4x 与4x 2 C ．－3xy 与 32 yx D ．6x 3y 4 与－6x 3z 4 3．下列各式中是多项式的是 （ ） A.2 1- B.y x + C.3ab D.22b a - 4．下列说法中正确的是（ ） A.x 的次数是0 B. y 1 是单项式 C.21是单项式 D.a 5-的系数是5 5．－a+2b －3c 的相反数是（ ） A ．a －2b+3c B ．a 2 －2b －3c C ．a+2b －3c D ．a －2b －3c 6．当3≤m<5时，化简│2m －10│－│m －3│得（ ） A ．13+m B ．13－3m C ．m －3 D ．m －13 7．已知－x+2y=6，则3（x －2y ）2－5（x －2y ）+6的值是（ ） 代数几何综合题 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0） ()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 2．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ； (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长. 3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2x+m -3=O 的两根，且x 1<0 第四章代数式 用字母表示数的规范格式： 1.数和表示数的字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可以省略不写，或用“.”来代替。 2. 当数和字母相乘，省略乘号时，要把数字写到前面，字母写后面。如：100a或100?a，na或n?a。 3. 后面接单位的相加式子要用括号括起来。如：（5s ）时 4. 除法运算写成分数形式 5. 带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式。 面积公式： 正方形面积=边长X 边长 长方形面积=长X宽 三角形面积= 圆形面积= 周长公式： 三角形周长=三边之和 正方形周长=边长×4 长方形周长=（长+宽）×2 圆的周长= 行程问题 路程=时间×速度 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 价格问题 总价=单价×数量 单价=总价÷数量 数量=总价÷单价 代数式：由数和表示数的字母，同运算符号连接而成的数学表达式——代数式（单个字母和数字也是代数式） 列代数式时要注意 （1）语言叙述中关键词的意义，如“大”“小”“增加”“减少” “倍”“几分之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系． （2）要理清运算顺序和正确使用括号，以防出现颠倒等错误，例如“积的和”与“和的积”“平方差”“差的平方”等等 （3）在同一问题中，不同的数量必须用不同的字母表示． 代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值 单项式：由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或字母也叫做单项式，如0,1,a - 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数； 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数； 多项式：由几个单项式相加组成的代数式叫做多项式； 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； 多项式的次数：次数最高的项的次数就是这个多项式的次数； 整式：单项式、多项式统称为整式。 注意：特别强调1 , x y x x y - + 等分母含有字母的代数式不是整式。 同类项：多项式中，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项所有常数项也看做同类项 合并同类项法则： 把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。 去括号法则：括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变号，括号前是“—”号，把括号和它前面的“—”号去掉，括号里各项都改变符号。 2019届中考数学总复习：代数几何综合问题 【中考展望】 代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键． 题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题. 题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口. 【方法点拨】 方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明． 函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等． 函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型． 几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力． 1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现． 2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等． 3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力． 4．解几何综合题应注意以下几点： （1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系； （2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化； （3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法； （4）注意灵活地运用数学的思想和方法． 【典型例题】 类型一、方程与几何综合的问题 1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________. 北师大版七年级数学上册知识点归纳：第三章 整式及其加减 1 字母表示数 2 代数式 3 整式 4 整式的加减 5 探索与表达规律 ※代数式的概念： 用运算符号（加、减、乘除、乘方、开方等）把数与表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．．． 。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等 号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合 实际问题的意义。 ※代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt ； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a ； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如a ?312应写作 a 37； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如4÷（a-4）应写作 4 4-a ；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单 位名称写在式子的后面，如)(2 2b a -平方米 ※代数式的系数： 代数式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数．．．．．． 。如3x,4y 的系数分别为3，4。 注意：①单个字母的系数是1，如a 的系数是1； ②只含字母因数的代数式的系数是1或-1，如-ab 的系数是-1。a 3b 的系数是1 ※代数式的项： 代数式7262--x x 表示6x 2、-2x 、-7的和，6x 2、-2x 、-7是它的项，其中把不含字母的项叫做常数项 注意：在交待某一项时，应与前面的符号一起交待。 ※同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 注意：①判断几个代数式是否是同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。这两个条件缺一不可； ②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；③几个常数项也是同类项。 ※合差同类项： 把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 ①合并同类项的理论根据是逆用乘法分配律； ②合并同类项的法则是把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 注意： ①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后结果为0； ②不是同类项的不能合并，不能合并的项，在每步运算中都要写上； ③只要不再有同类项，就是最后结果，结果还是代数式。 线性代数(B)教学大纲 （课程编号学分：2；上课32；习题课0，实验0；课外上机：0） 东南大学数学系 一．课程的性质与目的 本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是工科非电类专业学生本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。 二．课程内容的教学要求 1．行列式 （1）理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算； （2）知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响； （3）了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式； （4）掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理； （5）掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算； （6）理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。 2．矩阵 （1）理解矩阵的概念； （2）理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算； （3）理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质； （4）理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质； （5）了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵； （6）了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。 3．矩阵的初等变换与Gauss消元法 （1）理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系； （2）理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念； （3）了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系； （4）了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解； （5）理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系； 1 中考第一轮复习 代数与几何综合初步 本讲包括两个方面：数形结合思想、方程函数与几何的综合. 数形结合思想从解题方法上主要分为两类：一是用“形”来解决“数”的问题，体现在数列计算、公式证明等方面；二是用“数”来解决“形”的问题，体现在用方程、函数最值等来解决图形中的计算或最值问题. 方程函数与几何的综合这部分主要侧重在题型上，将代数式、方程、各种函数及各种几何图形综合在一起，不仅将第一轮复习的内容很好的综合，也能锻炼同学们灵活运用各种知识点、方法解决问题的能力. 一、数形结合思想 【例1】 （1）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂 分家万事非”，如图，在边长为1 的正方形纸板上，依次贴上面积为 2 1 ， 41，81 ，…，n 2 1的长方形彩色纸片（n 为大于1的整数），请你用“数 形结合”的思想，依数形变化的规律，计算+++81 4121…+n 2 1=___________. （2）利用图形可以计算正整数的乘法，请根据以下四个算图所示规律在右图中画出232312? 的算图（标出相应的数字和曲线） . （2009海淀初三期中） （3）数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数 问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题．通过数形结合将代数与几何完美的结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果．教科书中利用几何图形证明乘法公式 () 2 222a b a ab b +=++的做法，就是一个非常典型的例子： 如图，a 、b 分别表示一条线段的长度，则a+b 可以表示两条线段之和，那么()2 a b + 就可以表示正方形的面积．同样， a b b a b 代数儿何综合题一、基础题 （大兴，2010期末，18） 18.已知：如图，在山8C中，ZC = 90°,P为43上一点，且 点p不与点刀重合，过点户作PE1AB交刀C边于点点厅不与点。 重合，若力3 = 10,4。= 8,设，户的长为x,四边形PEC3周长为*. （1）求证：/^APE s MCB ； （2）写出y与x的函数关系式，并在直角坐标系中画出图象 （丰台，2010期末，21） 22.（本小题满分6分） 已知：如图，渔船原本应该从A点向正南方向行驶回到港口P,但由于受到海风的影响，渔船向西南方向驶去，行驶了240千米后到达B点，此时发现港口P在渔船的南 偏东60°的方向上，问渔船现在距港口P多远？（结果精确到0.1千米）（参考数据: V2M.41, V3M.73,际"24, ^6^2.45) （丰台，2010期末，25） 25.（本小题满分7分） RtAABC在平面直角坐标系中的初始位置如图1所示，ZC=90°, AB=6, AC=3,点A在x轴上由原点。开始向右滑动，同时点B在y轴上也随之向点O滑动，如图2所示；当点B滑动至与点。重合时，运动结束.在上述运动过程中，OG始终是一个以 AB为直径的圆. （1）试判断在运动过程中，原点。与OG的位置关系，并说明理由； （2）设点C坐标为（x,y）,试求出y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据对问题（1）、（2）的探究，请你求出整个过程中点C运动的路径的长. 二、提高题 （吕平，2010期末，25） 25. （7分）已知，抛物线y^ax1轴的两个交点分别 为A（1,0）, B（4, 0）,与y轴的交点为C. （1）求出抛物线的解析式及点C的坐标； （2）点P是在直线x=4右侧的抛物线上的一动点，过P作PM lx轴，垂足为M,是否存在P点，使得以A, P,M为顶点的三角形与AOCB相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. （朝阳，2010期末，24） 24.（本小题7 分）如图，在z^ABC 中,ZA=90°, AB=8, 过M点作MN〃BC交AC于点N.以MN为 直径作。0,并在。0中作内接矩形AMPN.令 AM=x. （1）用含x的代数式表示AIVINP的面积S； （2）当x为何值时，。。与直线BC相切？ （3）在点M的运动过程中，设△MNP与梯形BCNM重合的 面积为V，求y关于x的函数关系式，并求x为何值时，y 的值最大，最大值是多少？/ P \ B ------------------ C （第24题） （朝阳，2010期末，25） 25.（本小题8分） 已知：在/XABC中，ZACB=90°, CD_LAB于点D,点E在AC上，BE交CD于点G, EF1BE交AB于点F. 中考数学代数几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是?BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且??BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝12 BC·CE； ⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵??BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB ⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图) ∵A 是?BDC 中点，∴HC＝HB ＝12 BC ， ∵∠CA E ＝900，∴AC 2＝CH·CE＝12 BC·CE ⑶∵A 是?BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17 ∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠A EC ＝AE AC ＝132 点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就非常关键. 【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分 别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。 第二章代数式知识点归纳 一、代数式 用字母表示数：在现实生活中，有大量的数量关系和运算关系,我们可以选取适当的字母代替这些数或者数量,从而使问题变得及准确又简单。 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号； ②代数式中不含有“=、>、〈、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式； ③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。 代数式的书写格式： ①代数式中出现乘号,通常省略不写，如vt； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a； ③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如2×a应写作a； ④数字与数字相乘，一般仍用“×"号，即“×”号不省略； ⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式,如4÷（a—4）应写作;注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。 ⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面,如(a2—b2）平方米。 列代数式的步骤：①抓住表示数量关系的关键词语；②弄清运算顺序；③用运算符号把数与表示数的字母连接。 代数式的值 把代数式里的字母用数代入，计算后得出的结果叫做代数式的值。 求代数式的值:①用数值代替代数式里的字母,简称“代入”;②按照代数式指定的运算关系计算出结果，简称“计算"。 注意：①代入时，将相应的字母换成指定的数，运算符号、原来的数及运算顺序都不能改变；②代入时，恢复必要的运算符号,如省略的乘号要还原；③当字母取值为负数时，代入时要注意将该数添加括号. 二、整式 单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。（数字因数叫做这个单项式的系数；所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数，如a3b的次数是4。) 注意:①单独的一个数或一个字母也是单项式;②单独一个非零数的次数是0；③当单项式的系数为1或-1时,这个“1”应省略不写,如-ab的系数是-1,a3b的系数是1。中考数学代数几何综合题2
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