试 卷 一
一（33%）填空题（E 表示单位矩阵）：
1． 设),(21=α，),(11-=β，则=T αβ ； =999)(βαT ；
2． 设矩阵????????=031130021A ，???
?????=700650432B ，则行列式=-1
AB ；
3． 若向量组????
????-=???
?????=????????=11123321321k ααα,,，则当参数k 时，321ααα,,线性
相关；
4． 22?矩阵??
????
=d c b a A 的伴随矩阵*A = ；
5． 设矩阵A 及E A +均可逆，1-+-=)(E A E G ，则=-1
G ；
6． 分块矩阵??
????
O E E A 的逆矩阵为 ； 7． 设56?是A 矩阵。若齐次线性方程组θ=Ax 的解空间是2维的，则齐次线性方程
组θ=x A T
的解空间是 维的；
8． 与向量T ),,(101=α，T ),,(111=β均正交的一个单位向量为 ； 9． 已知矩阵??
?
??=k M 3412，T MM A =，则当数k 满足条件 时，A
是正定的；
10． 若实对称矩阵A 有两个不同的特征值, 且O E A A =+-232则当参数k 满足条
件 时，矩阵kA E +是正定的。
二（12%）求矩阵方程B X XA +=2的解，其中，
??????--=??
??
?
?????=123101300010113B A , 三（12%）设3阶方阵A 有特征值11-和二重)(，???
?????=????
????=11011121αα,是其相应于特征
值1 的特征向量，???
?
????=1003α是其相应于特征值1-的特征向量。
1.
求9999
A
A 及。
2. 若3阶实对称矩阵B 的特征值也是11-和二重)(，证明：A 与B 必定相似。
四（12%）设线性方程组
?
????-=++++
=-+-=+++=+++1
32324
321432x p x x x q x px x 25x 5x 3x x 0x x x x 43214321)( 1． 问：当参数q p ,满足什么条件时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解？ 2． 当方程组有无穷多解时，求出其通解（写成向量形式）。
五（12%）矩阵????
??????---=203102131111A 。
1. 求一;)(,,224==?B O AB B 且秩使得矩阵
2.
问：是否存在秩大于2的矩阵C 使得O AC =？为什么？
六（12%）设实对称矩阵
.相似与???
?????=????
????=42440003101B k A
1. 求参数的值k ；
2. 求一正交矩阵
.,B AQ Q Q T
=使得 七（7%）证明题：
1． 设21λλ, 是矩阵A 的两个互异的特征值，21ηη,是A 的属于1λ的线性无关的特
征向量，3η是A 的属于2λ的特征向量。证明：321ηηη,,线性无关。
2． 已知n 阶方阵A 相似于对角阵，并且，矩阵A 的特征向量均是矩阵B 的特征向
量（注：A ，B 的特征值未必相同）。证明BA AB =．
试 卷 二
一． （24%）填空题：
1． 假设矩阵10010002A λ?? ?= ? ??
?
，则n A ?
?
?=
?
??
?
。 2． 假设向量组A ：
111,,111t t t αβγ-?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ?-??????
，则当参数t 满足条件 时，向量组A
的秩为1； 时A 的秩为2； 时A 的秩为3。
3． 若向量11b η?? ?= ?
???是矩阵11120120a A ??
?=- ? ???
的特征向量，则(),a b =(
)。
4． 设矩阵11a A b ??=
???，0110B ??= ???
，且22
()()A B A B A B +-=-，则参数,a b 满足
条件 。
5． 若矩阵30431100A x ??
?=- ? ???
与对角阵Λ相似，则x 满足条件 。
6． 若1a A b c ??= ???
是正交矩阵，则,,a b c 满足条件 。 7． 若对满足条件2
34A A E O +-=的实对称矩阵A ， aE A +都是正定矩阵，则实
数a 必定满足条件 。
二． （8%）求矩阵111
111111
1x x x A x x
x
??
?
?
= ? ???
的行列式det()A 的值。 三．（15%）已知矩阵11
11212
A p p ?? ?=- ?
??
?
，向量313,11b q η???? ? ?== ? ? ? ???
??
。
1． 若η是线性方程组Ax b =的解，试求,p q 的值，并求这时Ax b =的通解； 2． 若Ax b =有无穷多组解，但η不是Ax b =的解，求,p q 的值。
四．（15%）解矩阵方程 2XA X B =+。其中301012003A -??
?= ? ?
??
，102110B ??= ?-??。 五． （15%）设二次型
222
12312313(,,)22f x x x x x x x x =+++
1． 写出二次型f 的矩阵；
2． 求正交变换X QY =将f 化成标准形，并写出相应的标准形。 六． （12%）设3阶矩阵A 的特征值是2（二重）和4，且()1
01T
α=，
()010T
β=是A 的相应于特征值2的特征向量，()101T
γ=-是A 的相应
于特征值是4的特征向量。求矩阵A 及(2)n A E -。
七． （5%）已知矩阵122A x ??= ???，311B y ??
= ???
。问：当参数,x y 满足什么条件时，
矩阵方程AX B =有解，但BY A =无解？
八． （6%）证明题：
1． 已知向量组123,,βββ可以由12,αα线性表示。若向量组123,,βββ的秩为2，证
明：12,αα线性无关。
2． 设2阶方阵a b A c d ??
= ???
，且2a d +=，1ad bc -=。若,b c 不全为零，证明：
A 不与任何对角阵相似。
试 卷 三
一． （27%）填空题
1． 若矩阵45a A b ??= ?
??
,2003B ??= ???，且AB BA =，则
,a b 的值分别为 ； 2． 设对任意列向量a X b c ?? ?= ? ?
??
，23456a b c AX a b c ++??= ?++??，则矩阵A = ；
3． 设３阶方阵()123A ααα=， ()2313123B αααααα=---。若A 的行列式
3A =，则矩阵B 的行列式B = ；
4． 设A 为n 阶可逆方阵，2n 阶矩阵E A B O
A ??
=
???
的逆矩阵为 ； 5． 齐次线性方程组1233230x x x ++=的一个基础解系为 ；
6． 若二次型222
1231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++是正定的，则参数t 的取值范
围是 ；
7． 若2a b A c a ?
?= ?+??
是正交矩阵, 则参数,,a b c 的值分别为 ； 8． 假设３阶矩阵A 的特征值为2,1,1-。则行列式1A A -+的值为 ；
9． 若实二次型,f g 的矩阵分别为1012001012A a B b ????
? ?== ? ? ? ?????
、，则
,f g 的正惯性指数
相同，负惯性指数也相同的充分必要条件是参数,a b 满足 。
二（14%）假设n 阶矩阵A 满足2
23A A E O +-=。
1． 证明矩阵A 及A E +均可逆，并分别求1
A -及1
()A E -+； 2． 证明：若A E ≠，矩阵3A E +肯定不可逆。
三（14%）假设矩阵1
11
11
1A λλ
λ??
?= ? ??
?，112b ??
?
= ? ?-??
。已知线性方程组Ax b =有无穷多组
解。试求参数λ的值，并求方程组的通解（要求用Ax b =的一特解及相应的齐次线性方程组的基础解系表示）。
四（15%）已知矩阵03401013A a ??
?=- ? ???
相似于对角阵。
1． 求参数a 的值，并求A 的特征值及相应的特征向量；
2． 求一可逆矩阵P ，使得1
P AP -为对角阵，并写出相应的对角阵； 3． 问：是否存在正交矩阵Q ，使得1Q AQ -为对角阵？试说明你的理由。
五（12%）已知矩阵021010001A -??
?
=- ? ?
??
，矩阵111210B -??= ???，2003D ??= ???求矩阵X ，
使得2DXA DX B =+。
六（12%）假设3维向量12100,1a b αα???? ? ?== ? ? ? ?????；1231112,1,112c βββ-??????
? ? ?
=== ? ? ? ? ? ???????
。已知向
量组12,αα与向量组123,,βββ等价。
1． 求123,,βββ的秩及其一个最大线性无关组，并求参数,,a b c 的值； 2． 令矩阵()()12123,,,,A B ααβββ==，求满足AX B =的矩阵X 。 七（6%）假设n 阶矩阵A 满足2
2A A =。
1． 证明：关于矩阵的秩有等式(2)()R E A R A n -+=，并且A 相似于对角阵； 2． 若()R A r =，试求行列式A E +的值。
试 卷 四
一．（30%）填空题 1. 设
100110011A -??
?=- ? ?-??
, 则1(2)A E -+= ；
2. 若矩阵A 满足2A O =，则E A +的逆矩阵1()E A -+= ；
3. 若向量组()()()12311,11,11,t t t ααα===的秩为2，则参数t 满足
条件 ；
4. 假设3阶矩阵A 的特征值为1,2,3，矩阵*
2B E A =-，其中，*
A 是A 的伴随矩
阵，则B 的行列式B = ； 5. 110A x ??
=
???
相似于对角阵的充要条件是x 满足条件 ； 6. 若10022312A x -??
?= ?
?
??
与03
B y ??
?= ? ???
相似，则(),x y = ； 7. 设(1,1,0),(1,0,1)T T --是3阶实对称矩阵A 的相应于某个非零二重特征值的特征
向量。若A 不可逆，则A 的另一个特征值为 ，相应的一个特征向量为 ；
8. 3元非齐次线性方程组Ax b =的系数矩阵的秩为2, 已知123,,ααα是它的3个解
向量,其中123(1,1,1),(2,4,6)T T ααα=+=,则该方程组的通解是 ； 9. 若4阶矩阵,A B 的秩都等于1，则矩阵A B +的行列式A B += 。
二．（10%）计算下述行列式111+1
1
111+11111111
x x D x x =--的值。 三． （15%）设线性方程组 1231231
233032314x x x x x x x x x λμ
++=??
++=-??-++=?。问：当参数,λμ取何值时, 线性方
程组有唯一解？当参数,λμ取何值时，线性方程组有无穷多组解？当线性方程组有无穷多组解时，求出其通解（用向量形式表示）。
四． （12%）假设矩阵11111
1111A -??
?
=- ? ?-??
，矩阵B 满足*12A B A B -=+，其中*A 是A 的伴随矩阵，求B 。
五． （10%）已知向量组123,,ααα线性无关，问：参数,,a b c 满足什么条件时，向量组
122331,,a b c αααααα+++线性相关？
六．（15%）已知二次型
222
1231231223(,,)2344f x x x x x x x x x x =++--，
1. 写出二次型f 的矩阵；
2. 求一正交变换x Qy =，将f 变成其标准形；
3. 求当1T
x x =时123(,,)f x x x 的最大值。
七．（8%）证明题：
1. 设向量组1234,,,αααα中，123,,ααα线性相关，234,,ααα线性无关，证明：1
α能由234,,ααα线性表示。
2. 设A 是n 阶正定矩阵,证明：矩阵12A A E -+-也是正定矩阵。
试 卷 五
一(30%)填空题
1. 设3阶矩阵123(,,)A ααα=，231312(2,,)B αααααα=--+。若A 的行列式
2A =，则B 的行列式B = ；
2. 与向量(1,0,1)α=及(0,1,0)β=都正交的单位向量为 ；
3. 矩阵1234A ??= ???
的伴随矩阵*
A = ；
4. 假设(1,1),(2,3)αβ=-=，则T αβ= ；T αβ= ；
5. 若A 为方阵，则方阵2E A B O E -??= ???
的逆矩阵1
B -= ；
6. 已知矩阵1120122a A a ?? ?
= ? ?-??
，若A 不可逆，则参数a 满足条件 ，这
时，A 的秩为 ；
7. 假设n 阶方阵A 满足2
32A A E O -+=，则A E +是可逆的，且
1()A E -+= ；
8. 假设矩阵1114335A x y -?? ?= ?
?--??
相似于对角阵，并且2是A 的一个二重特征值，则
参数,x y 的值分别等于 。
二（12%）已知矩阵111111111111A λλλλ?? ?
?= ? ???
。
1. 求A 的行列式的值；
2. 根据λ的不同的值，求A 的秩及列向量组的极大线性无关组。
三（12%）假设100100101A ??
?= ? ?
??
，211310B -??
= ???。求矩阵方程2X B XA =+的解。
四（14%）假设矩阵1
1
21
11
1A λ
λ??
?
= ? ??
?，121b λ?? ?= ?
?+??
。
1. 问：当参数λ取什么值时，线性方程组Ax b =有唯一解、有无穷多组解、无解？
2. 当线性方程组Ax b =有无穷多组解时，求出其通解。
五（14%）已知三阶方阵00022313A x ?? ?= ? ???与矩阵14B y ??
?
=
? ??
?
相似，求参数,x y 的值，并求一可逆矩阵P ，使得1
P AP B -=。
六（12%）设二次型222
12312313(,,)22f x x x x x x kx x =+++
1. 求一可逆线性变换将f 变成其标准形；
2. 根据参数k 的不同取值，讨论f 的秩及正、负惯性指数；
3. 问：当参数k 取什么值时，f 是正定二次型？
七（6%）假设A 是n 阶正交阵。若A 是实对称矩阵，证明：A 的特征值只能是1和1-，
并且，若A E ≠，则1-肯定是A 的特征值。
试 卷 六
一、 填空题
1. 设3阶方阵A 满足A T = -A (其中A T 表示A 的转置), 则行列式|A | = .
2. 矩阵???
?
??4321的伴随矩阵= . 3. 向量组??
????10, ??????21, ??
?
?
??-56,
??
?
???00的秩为 , 它的一个最大线性无关组是 。 4. 设A 为可逆矩阵, 则矩阵方程2XA + 3B = C 的解X = . 5. 设矩阵A = ??
???
?+-121y x 是正交矩阵, 则x , y 的值分别为 .
6. 二次型f (x 1, x 2, x 3) = 221x +22x - 32
3x + 4x 1x 2 - 6x 2x 3的矩阵是 .
二、 选择题
1. 设A 是4阶方阵, 则下列条件中[ D ]与“秩(A ) = 3”等价. (A) A 的列向量组线性无关, (B) 行列式|A | = 0,
(C) A 的3阶子式都不为零,
(D) 齐次线性方程组Ax = 0的基础解系中仅含有1个解向量.
2. 设A , B 都是2?3的矩阵, 它们的转置分别记为A T 和 B T , 则下列等式中恒成立的是[ B ].
(A) (A T B )T = AB T , (B) 行列式| A T B | = 0,
(C) 秩(A +B ) = 秩(A ) +秩(B ),
(D) ??
?
???=????????????T T T
T AB O O AB A O
O B B O O A . 3. 下列矩阵中不能相似对角化的是[ A ]. (A) ??
?
?
??1011, (B) ??
?
???2011, (C) ??
?
???--1111, (D) ??
?
???1010. 4. 下列陈述中正确的是[ B ].
(A) 若两个矩阵等价, 则它们的行列式相等, (B) 若两个矩阵等价, 则它们的秩相等,
(C) 若两个矩阵相似, 则它们有相同的特征向量, (D) 若两个矩阵合同, 则它们有相同的特征值.
三、 计算题
1. 计算行列式1
5212335
2231
011-----b b b b a a a 的值.
2. 求矩阵A = ??????????---7421053321的逆矩阵.
3. 对于方程组???
??=++=++=++b
ax x x x x x x x x 321
3213210323 来说,
(1) 当参数a 与b 满足什么条件时无解?
(2) 当参数a 与b 满足什么条件时有唯一解?
(3) 当参数a 与b 满足什么条件时有无穷多解?并在此条件下求出其通解.
4. 设α =??????????101, β =????
??????011, 用Schimidt 正交化方法求一个与向量组α, β等价的正交向量组ξ1, ξ2. 并用ξ1, ξ2把β线性表示出来.
5. 设矩阵A = ????
?
?????201021111, (1) 求A 的特征多项式和特征值.
(2) 求正交矩阵P 使P -1AP 为对角矩阵.
(3) 矩阵A 的正惯性指数是多少? 矩阵A 是否为正定矩阵? 四、 证明题
设n 阶方阵A 满足A 2 = A , E 为n 阶单位矩阵. 证明: (1) A + E 和A - 2E 都可逆, (2) A 的特征值只能为0或1, (3) A 相似于一个对角矩阵.
2006-2007学年第3学期(上)《线性代数》试卷
一. (18%)填空题(E表示单位矩阵).
1. 假设α = (1, 3), β = (1, -1), 则(αTβ)100 = ________.
2. 矩阵A =
12
34
??
?
??
的逆矩阵A-1 = ________.
3. 若3?3矩阵A = (α, β, γ)的行列式等于2, 矩阵B = (β, γ, α), 则矩阵A + B
的行列式|A+B| = ______.
4. 齐次线性方程组3x+ 2y-5z= 0的一个基础解系是____________________________.
5. 向量组α1 = (1, 2, 3, 4)T, α2 = (2, -1, 1, 0)T,α3 = (1, -3, -2, -4)T,α4 = (3, 1,
4, 1)T的一个极大线性无关组____________________________.
6. 若矩阵
1
2
a
b
??
?
??
,
20
01
??
?
-
??
合同, 则参数a, b满足条件
____________________________.
二. (12%)选择题.
1. 假设A, B是同阶方阵, 数k≠ 0, 则正确的命题是( ).
(A) |A + B| = |A| + |B|; (B) |k A| = k|A|;
(C) r(A + B) = r(A) + r(B);(D) r(k A) = r(A).
2. 假设矩阵A =
13
02
??
?
??
, 则不与A相似的矩阵为( ).
(A)
10
32
??
?
??
; (B) 10
02
??
?
??
; (C) 20
31
??
?
??
; (D) 01
32
??
?
??
.
3. 假设A, B都是非零矩阵且AB = O, 则正确的命题是( ).
(A) A的行向量组线性相关; (B) B的行向量组线性相关;
(C) A, B的行向量组都线性相关; (D) A, B的列向量组都线性相关.
三. (16%)设线性方程组
123
2 123
123
4
24 x x kx
x kx x k x x x
++=?
?
-+-=?
?-+=-?
1. 参数k取何值时, 线性方程组有唯一解? k取何值时, 方程组没有解?
2. 当k取何值时, 方程组有无穷多组解? 当方程组有无穷多组解时, 求其通解.
四. (16%)设P =
100
010
212
??
?
?
??
, Λ =
100
010
001
??
?
?
-
??
, 并且AP = PΛ, 求A及A2008.
五. (14%)已知向量η =
1
1
1
??
?
?
-??
是矩阵A =
312
53
11
a
b
-
??
?
?
--
??
的一个特征向量.
1. 求参数a, b的值, 并求A的相应于特征向量η的特征值;
2. 问: 矩阵A是否相似于对角阵? 说明你的理由.
六. (14%)已知矩阵A =111111111??
? ???
, 求一正交矩阵Q 使得Q T AQ 为对角阵.
七. (10%)假设n 维实行向量α = (a 1, a 2, ..., a n ), β = (b 1, b 2, ..., b n ), 矩阵A = αT β.
1. 证明: A 是对称矩阵当且仅当α, β线性相关;
2. 当α, β线性相关时, 求实数k 的取值范围, 使得k E + A 是正定矩阵.
解析几何题
一 填空题
1． 四点),,(),,,(),,,(),,,(3211211111y D C x B A 共面的充要条件为 ；
2． 设实二次型222
12312323(,,)2f x x x x kx x x x =+++，则当k 满足条件 时，
1321=),,(x x x f 是椭球面；当k 满足条件 时，1321=),,(x x x f 是柱
面。
3． 空间四点(1,1,1)A ，(2,3,4)B ，(1,2,)C k ，(1,4,9)D -共面的充要条件是k = ；
4． 点(2,1,1)P -到直线11:221
x y z
l -+==- 的距离为 ； 5． 若向量a -+=α
，b ++=β，=γ共面，则参数b a ,满足 .
6． 过点)1,2,1(P 且包含x 轴的平面方程为 .
7． 以(1,1,2)A ，(2,1,1)B --，(1,1,1)C --为顶点的三角形的面积为 ；
8． 直角坐标系中向量(1,1,2)α=与(1,0,1)β=的向量积为 ； 9． 过点(1,0,1)P 且与直线12
1
1
x y z -==垂直的平面的方程为 ；
10． 若222
221x y z kxz +++=表示一单叶双曲面，则k 满足条件 ；
二 计算题
1. 记1π为由曲线23
0z y x ?=-?=?
绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面
13=++z y x :π的交线为准线，母线平行于z -轴的柱面。试给出曲面的方程及21ππ，并画出31ππ被所截有界部分在y x -平面上的投影区域的草图
（应标明区域边界与坐标轴的交点）。
2. 求经过直线22
21x y z x y z +-=??-+-=?
且与x y -平面垂直的平面方程.
3. 求直线211:212
x y z l --+==
在平面:210x y z π+-+= 上的垂直投影直线方程．
4. 用正交变换化简二次曲面方程
22
121213234221x x x x x x x x +---=
求出正交变换和标准形）并指出曲面类型．
5. 设D 为由yoz 平面中的直线0z =，直线,(0)z y y =≥及抛物线22y z +=围成的
平面区域．将D 绕y 轴旋转一周得旋转体Ω．（１）画出平面区域D 的图形；（２）分别写出围成Ω的两块曲面12,S S 的方程；（３）求12,S S 的交线l 在zox 平面上的投影曲线C 的方程；（４）画出12,S S 和l ，C 的图形．
6. 已知二次曲面1S 的方程为：2
23y x z +=，2S 的方程为：2
1x z -=。问：1S ，
2S 分别是哪种类型的二次曲面？求1S 与2S 的交线在xOy 平面上的投影曲线
方程；画出由1S 及2S 所围成的立体的草图.
7. 已知直线l 过点(1,1,1)P ，
与平面:1x y z π+-=平行，且与直线1
121
x
y z λ- =
=
： 相交。求直线l 的方向向量，并写出直线l 的方程。
8. 假设二次曲面1π的方程为：2242x y z +=；平面2π的方程为：1x z =-。 (1)
1π与2π的交线向xy 平面作投影所得的投影曲线l 的方程为 ；
(2) 该投影曲线绕x 轴旋转所得的旋转曲面π的方程为 。 (3) 在坐标系中画出投影曲线l 的草图（请给坐标轴标上名称）； (4) 在坐标系中画出
1π与2π所围成的立体的草图（请给坐标轴标上名称）
。
9. 设二次型222
12312313(,,)22f x x x x x x kx x =-+-+。试就参数k 不同的取值范围，讨
论二次曲面123(,,)1f x x x =的类型；假设0k >。若经正交变换X QY =，
123(,,)f x x x 可以化成标准形222
123
224y y y +-，求参数k 及一个合适的正交矩阵Q 。
10. 已知空间直角坐标系中三平面的方程分别为：
1:21x y z π++=,
2:2x y z πλ++=,
3:1x y z πλλ++=+
(1) 问：当λ取何值时这三个平面交于一点？交于一直线？没有公共交点？
(2) 当它们交于一直线时，求直线的方程。
11. 由与平面1z =-及点(0,0,1)M 等距离运动的动点(,,)P x y z 所生成的曲面记为
1π，将yOz 平面上曲线25
y z x ?+=?
=?以z 轴为旋转轴所生成的旋转曲面记为2π。则： (1) 1π的方程是： ； (2) 2π的方程是： ；
(3) 1π与2π的交线在xOy 平面上的投影曲线方程
是： ；
(4) 在坐标系中画出由这两个曲面所围成的有限立体的简图。
高数实验报告 学号： 姓名： 数学实验一 一、实验题目：（实验习题7-3） 观察二次曲面族kxy y x z ++=22的图形。特别注意确定k 的这样一些值，当k 经过这些值时，曲面从一种类型变成了另一种类型。 二、实验目的和意义 1. 学会利用Mathematica 软件绘制三维图形来观察空间曲线和空间曲线图形的特点。 2. 学会通过表达式辨别不同类型的曲线。 三、程序设计 这里为了更好地分辨出曲线的类型，我们采用题目中曲线的参数方程来画图，即t t kr r z sin cos 22+= 输入代码： ParametricPlot3D [{r*Cos[t]，r*Sin[t],r^2+ k*r^2*Cos[t]*Sin[t]}, {t, 0, 2*Pi}, {r, 0, 1}，PlotPoints -> 30] 式中k 选择不同的值：-4到4的整数带入。 四、程序运行结果
k=4： k=3： k=2：
k=1: k=0:
k=-1: k=-2:
k=-3: k=-4: 五、结果的讨论和分析 k取不同值，得到不同的图形。我们发现，当|k|<2时，曲面为椭圆抛物面；当|k|=2时，曲面为抛物柱面；当|k|>2时，曲面为双曲抛物面。
数学实验二 一、实验题目 一种合金在某种添加剂的不同浓度下进行实验，得到如下数据： 2 + y+ = cx a bx 法确定系数a,b,c，并求出拟合曲线 二、实验目的和意义 1.练习使用mathematic进行最小二乘法的计算 2.使用计算机模拟，进行函数的逼近 三、程序设计 x={,,,,}; y={,,,,}; xy=Table[{x[[i]],y[[i]]},{i,1,5}]; q[a_,b_,c_]:=Sum[(a+b*x[[i]]+c*x[[i]]*x[[i]]-y[[i]])^2,{i,1 ,5}]; Solve[{D[q[a,b,c],a]?0,D[q[a,b,c],b]?0,D[q[a,b,c],c]?0},{a, b,c}] A={a,b,c}/.%; a=A[[1,1]]; b=A[[1,2]];
如何用好题目中的条件暗示 有一类题目，我们在解前面几小题时，其解题思路和方法往往对解后面问题起着很好的暗示作用，现以一次函数中出现的两道题目为例予以说明，供同学们在学习过程中参考。 【例1】直线与x轴、y轴分别交于B、A两点，如图1。 图1 （1）求B、A两点的坐标； （2）把△AOB以直线AB为轴翻折，点O落在平面上的点C处，以BC为一边作等边△BCD。求D点的坐标。 解析：（1）容易求得，A（0，1）。 （2）如图2， 图2 ∵，A（0，1）， ∴OB=，OA=1。 ∴在Rt△AOB中，容易求得∠OBA=30° ∵把△AOB以直线AB为轴翻折， ∴∠OBC=2∠OBA=60°，BO=BC。 ∴△OBC是等边三角形 以BC为一边作等边△BCD，则D的落点有两种情形，可分别求得D的坐标为（0，0），。 反思：在求得第（1）小题中B、A两点的坐标分别为B（，0），A（0，1），实质上暗示着Rt△AOB中，OA=1，OB=，即暗示着∠OBA=30°，为解第（2）小题做了很好的铺垫。
【例2】直线与x轴、y轴分别交于A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且点P（1，a）为坐标系中的一个动点，如图3。 图3 （1）求三解形ABC的面积。 （2）证明不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数； （3）要使得△ABC和△ABP的面积相等，求实数a的值。 解析：（1）容易求得：A（，0），B（0，1）， ∴。 （2）如图4，连接OP、BP，过点P作PD垂直于y轴，垂足为D，则三角形BOP的面积为，故不论a取任何实数，三角形BOP的面积是一个常数。 图4 （3）如图4，①当点P在第四象限时由第（2）小题中的结果：，和第（3）小题的条件可得： ∴， ∵，
代数几何综合题 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。 例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作P C P B ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 解：（1） P C P B B O P O ⊥⊥, ∴∠+∠=?∠+∠ ∴∠=∠C P A O P B P B O O P B C P A P B O 90, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=? B O P P A C 90 ∴??B O PP A C ~ ∴ =P O A C B O P A ，∴=+||||||x y x 2 2 ， x y x y x <<∴= -002 2，，∴=-+y x x 122 （2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 , 当x =-1时，y =- 32，∴=CA 3 2
B O a B O Q C A Q O Q A Q B O C A //~,，∴∴=?? 设Q 点坐标为()m ，0，则A Q m =-2 ∴-=∴=m m m 2232 8 7 ， ∴Q 点坐标为()8 7 0， 说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。 练习 1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ；（3分） (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。（4分） B
哈尔滨工业大学《代数与几何》期末试题 （此卷满分50分） 注：本试卷中()R A 、'A 、* A 分别表示A 的秩，A 的转置矩阵、A 的伴随矩阵；E 表示单位矩阵. 一、填空题（每小题2分，共10分） 1．若4阶方阵A 的特征值为0,1,2,3，且A 与B 相似,则行列式2||+=B E . 2．过点(1,2,3)-，垂直于直线 456 x y z ==且平行于平面789100x y z +++=的直线方程为 . 3．设123,,ααα是3维欧氏空间的标准正交基，则模12322-+=ααα . 4．若A 为4阶方阵，且R （A ）=3，则方程组0*=A X 的基础解系含 个线性无 关的解向量. 5．yOz 坐标面上的抛物线20z y x ?=?=? 绕y 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为 . 二、选择题（每小题2分，共10分） 1．设A 是n m ?矩阵，则线性方程组AX =b 有解的充分条件是 【 】 （A ）()R m =A ； （B ）A 的行向量组线性相关； （C ）()R n =A ； （D ）A 的列向量组线性相关. 2．二次型222 123123121323,,)f x x x tx tx tx x x x x x x =+++++（正定的充要条件为 【 】 （A ）1t >； （B ）0t >； （C ）1t >-； （D ）1 2 t > . 3．设462414, 26,41.848?????? ? ? ?=== ? ? ??????? A B C 则A 与B 【 】 （A ）A 与C 相似且合同； （B ）A 与B 相似且合同； （C ）B 与C 相似且合同； （D ）B 与C 相似但不合同. 4．设,αβ是4维非零列向量,T A E =+αβ，则在A 的特征值中,至少有 【 】 （A ）1个1； （ B ）2个1； （ C ）3个1； （ D ）4个1. 5．设1234,,,αααα是3维向量，则下列命题正确的为 【 】 （A ）如果12,αα线性相关,34,αα线性相关，则1324,αααα++线性相关；
东南大学往年高数期末考试试题及答案-8篇 整合 https://www.doczj.com/doc/e713110481.html,work Information Technology Company.2020YEAR
2 东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷） 一．填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分） 1．2 2lim sin 1 x x x x →∞ =+ 2 ； 2．当0x →时 ,()x α=2()x kx β=是等价无穷小,则 k = 3 4 ; 3．设()1sin x y x =+，则d x y π == d x π- ； 4．函数()e x f x x =在1x =处带有Peano 余项的二阶Taylor 公式为 ()223e e 2e(1)(1)(1)2 x x x ο+-+ -+- ； 5．已知函数3 2e sin , 0()2(1)9arctan ,0 x a x x f x b x x x ?+
初中数学用几何图示法解代数问题 很多代数问题用纯代数知识来解答很繁琐，也很难解决。因此，许多代数问题用几何图示法来解决非常容易，下面列举几例进行探讨。 一. 线段图示法 例1. 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，相遇时，甲车在已过中点15千米处，相遇后甲车再行8 9时到达B 地，乙车又行了2时到达A 地，求甲、乙两车每时各行多少千米？ 分析：行程问题有三个基本量：路程、速度、时间，且有基本关系：路程=速度×时间。本题设甲车的速度为x 千米/小时，乙车的速度为y 千米/小时，由于同时出发到相遇时，甲车在已过（如图1）所示的线段AB 中点M 的15千米处C 点，继续前进后，甲车行的距离为x 89CB = 千米，乙车行的距离为CA=2y 千米。因此，甲车开始行驶的距离AC 的时间为x y 2时与乙车开始行驶的距离BC 的时间为y x 89时所用时间相同，而M 是AB 的中点， 即AM=BM ，MC=15千米， 则15x 8 9BM ,15y 2AM +=-=，由图所示易知： ???????=+=-y x 89x y 215x 8915y 2 解这个方程组，得??? ????=-=???==760y 780x ,60y 80x 2211 经检验，???????=-=???==760y 780x ,60y 80x 2211都是原方程组的解，但??? ????=-=760y 780x 22，不合题意，舍去。 所以，甲车的速度为80千米/小时，乙车的速度为60千米/小时。 图1 二. 三角形图示法 例2. 已知正数，x ，y 满足条件x+y=4，求1y 1x 22++的最小值。
一次函数与几何图形综合专题讲座 思想方法小结 ： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 知识规律小结 ： （1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点； 当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－ k b =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－k b ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限；
当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0) 当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 12 1b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2） ； ③???≠=21 21,b b k k ?y 1与y 2平行； ④?? ?==2 121, b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB (1) 求AC (2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系， 并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PM x y
01-02学年第二学期 几何与代数期终考试试卷 一（30%）填空题： 1． 设(1,2)α=，(1,1)β=-，则T αβ= ；T αβ== ； 100 () T αβ= ； 2． 设矩阵120031130A ?? ?= ? ???，234056007B ?? ? = ? ??? ，则行列式1AB -= ； 3． 若向量组123,,ααα线性无关，则当参数k 时，122331,,k αααααα---也线性无关； 4． 矩阵11110 11100110001A ?? ? ? = ? ???的伴随矩阵*A =? ? ? ? ? ?? ? ； 5． 设矩阵A 及A E +均可逆，则1 ()G E A E -=-+，且1 G -= ； 6． 与向量(1,0,1)α=，(1,1,1)β=均正交的单位向量为 ； 7． 四点(1,1,1),(1,1,),(2,1,1),(2,,3)A B x C D y 共面的充要条件为 ； 8． 设实二次型222 12312323(,,)2f x x x x kx x x x =+++，则当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是椭 球面；当k 满足条件 时，123(,,)1f x x x =是柱面。 二（8%）记1π为由曲线23 z y x ?=-?=?绕z -轴旋转所产生的旋转曲面,2π为以1π与平面3:1x y z π++=的 交线为准线，母线平行于z -轴的柱面。试给出曲面12ππ及的方程，并画出13ππ被所截有界部分在x y -平面上的投影区域的草图（应标明区域边界与坐标轴的交点） 。 三（8%）求经过直线22 21x y z x y z +-=??-+-=? 且与x y -平面垂直的平面方程. 四（12%）求矩阵方程2XA X B =+的解，其中， 311101010,321003A B ?? -?? ? == ? ?-?? ? ?? . 五（12%）设线性方程组
方程解问题的代数解法与几何解法 一般地，讨论方程的解可以有两种解法，一是利用代数方法，最终把比较复杂的 方程化为比较简单的一元一次方程或一元二次方程或其他基本方程（如简单的三角方程），二是转化为函数或方程的曲线，利用图形进行分析，即几何解法.要根据具体问题灵活选用这两种解法，而且两种解法要相互补充，灵活运用.下面举例说明这两种解法的具体应用. 例题1：设方程340x x +-=的根为1x ，方程3log 40x x +-=的根为2x ， 求12x x +. 代数解法：因为13140+-=，所以1x =方程340x x +-=的一个根， ()34x f x x =+-在R 上为增函数，所以()34x f x x =+-在R 上最多只有一个零 点，所以1 1.x =因为3log 3340+-=，所以3x =方程3log 40x x +-=的一个根，3 ()log 4 f x x x =+-在(0,)+ 上为增函数，所以3()lo g 4f x x x =+-在(0,)+ 上最多只有一个零点，所以2 3.x = 所以12 4.x x += 显然上面提供的代数解法仅仅局限于能够用观察法求出方程根的情况，对于含有指数式、对数式及整式的方程，一般无法用初等方法求出方程的根，因此可以考虑从整体上求出12x x +. 此题的特殊性决定了题目的确具有更有一般性的代数方法，但是要用到指数与对数的互化，很难想到，下面提供给同学们仅供参考： 11340x x +-= ① 322log 40x x +-= ② ①式可以变形为1 13 4x x =-+，即为 311log (4)x x -+=，若设14x t -+=， 则14x t =-，于是3log 4t t =-， ②式变为322log 4x x =-，t 与2x 都是方程3log 4x x =-的根，而这个方程即3log 40 x x -+=，又函数3()log 4f x x x =+-在(0,)+ 上为增函数，最多只有一个实数根，因此必有214x x =-+，所以12 4.x x += 几何解法：将方程340x x +-=变形为34x x =-+，将方程
代数几何综合题 x<0，连 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A（2，0），B（0，2），P（x，0）() ⊥交过点A的直线a于点C（2，y） 结BP，过P点作PC PB （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当x取最大整数时，求BC与PA的交点Q的坐标。 2．如图，从⊙O外一点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C，⊙O的直径BD为6，连结CD、AO. (1)求证：CD∥AO； (2)设CD＝x，AO＝y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若AO＋CD＝11，求AB的长. B
3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2 +2x+m-3=O 的两根，且x 1<0 1、已知抛物线)0(22 >--=m m x x y 与y 轴的交于C 点，C 点关于抛物线对称轴的对称点为C ′。 （1）求抛物线的对称轴及C 、C ′的坐标（可用含m 的代数式表示）； （2）如果点Q 在抛物线的对称轴上，点P 在抛物线上，以点C 、C ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求Q 点和P 的坐标（可用含m 的代数式表示）； （3）在（2）的条件下，求出平行四边形的周长。 2、如图，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴、y 轴分别相交于 A （－1，0）、 B （3，0）、 C （0，3）三点，其顶点为 D ． （1）求：经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）求四边形ABDC 的面积； （3）试判断△BCD 与△COA 是否相似若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由． A B D C o x y 东南大学二○○二年攻读硕士学位研究生入学考试试卷（高等代数） 一、以下结论是否成立，如成立，试证明。否则举实例。（每题4分，共24分） 1、若α为()f x '的k 重根，则α为)(x f 的1+k 重根。这里)(x f '表示多项式)(x f 的微商（或导数）。 2、设A 为n m ?阵，B 为m n ?阵，且,n m >则0AB =。 3、若,A B 均为n 阶实对称阵，具有相同的特征多项式，则A 与B 相似。 4、设4321,,,αααα线性无关，则12233441,,,αααααααα++++秩为3。 5、设21,v v 均为线性空间v 的子空间，满足{}021=?v v ，则21v v v ⊕=。 6、设A 为n 阶正定矩阵，则一定存在正定阵B ，使2 B A =。 二、（10分）以知线性方程组21ββ+=k Ax ，其中，=A ????? ??-----111121111，???? ? ??=3121β，????? ??-=1312β，求 k 使方程组有解，并求有解时的通解。 三、（10分）已知A 是n 阶实对矩阵，n λλ,,1 是A 的特征阵，相对应的标准正交特征向量为1,,n εε。求 证：T n n n T A εελεελ++= 111。这里“T ”表示转置。 四、（12分）设线性变换A 在线性空间V 的基123,,ααα下矩阵为101210,113?? ?- ? ??? 1、求值域AV ，核1(0)A -的基。 2、问1(0)V AV A -=+吗？为什么？ 五、（12分）设(),ij n n A a ?=如果10,1, ,n ij j a i n ===∑。求证：11221n A A A ===。 （这里ij A 为1j a 的代数余子式） 六、（12分）设A 为n 阶矩阵，试证：2A A =的充要条件为()()r A r I A n +-=。 （这里I 为n 阶单位阵，()r A 表示A 的秩） 七、（10分）设A 为4阶矩阵，且存在正整数k ，使0k A =，又A 的秩为3，分别求A 与2A 的若当（)Jordan 标准形。 八、（12分）证明，若()f x 与()g x 互素，并且(),()f x g x 次数都大于零，那么可以选取(),()u x v x 使(())(()),(())(()),u x g x v x f x ? 代数几何综合题 1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0） ()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。 2．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO. (1)求证：CD ∥AO ； (2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长. 3．如图，A 、B 两点的坐标分别是(x 1，0)、(x 2，O)，其中x 1、x 2是关于x 的方程x 2+2x+m -3=O 的两根，且x 1<0 2019届中考数学总复习：代数几何综合问题 【中考展望】 代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现．解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤,解代几综合题必须要有科学的分析问题的方法．数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键． 题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题. 题型特点：一是以几何图形为载体，通过线段、角等图形寻找各元素之间的数量关系，建立代数方程或函数模型求解；二是把数量关系与几何图形建立联系，使之直观化、形象化．以形导数，由数思形，从而寻找出解题捷径. 解代几综合题要灵活运用数形结合的思想进行数与形之间的相互转化，关键是要从题目中寻找这两部分知识的结合点，从而发现解题的突破口. 【方法点拨】 方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识．其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明． 函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型．主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题．解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化．例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等． 函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型． 几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力． 1．几何型综合题，常以相似形与圆的知识为考查重点，并贯穿其他几何、代数、三角等知识，以证明、计算等题型出现． 2．几何计算是以几何推理为基础的几何量的计算，主要有线段和弧长的计算，角的计算，三角函数值的计算，以及各种图形面积的计算等． 3．几何论证题主要考查学生综合应用所学几何知识的能力． 4．解几何综合题应注意以下几点： （1）注意数形结合，多角度、全方位观察图形，挖掘隐含条件，寻找数量关系和相等关系； （2）注意推理和计算相结合，力求解题过程的规范化； （3）注意掌握常规的证题思路，常规的辅助线作法； （4）注意灵活地运用数学的思想和方法． 【典型例题】 类型一、方程与几何综合的问题 1．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝12，∠ABE＝45°，若AE ＝10，则CE的长为_________. 2003级高等数学（A ）（上）期末试卷 一、单项选择题（每小题4分，共16分） 1．设函数()y y x =由方程 ? +-=y x t x dt e 1 2 确定，则 ==0 x dx dy （ ） .e 2(D) ; 1-e (C) ; e -1(B) ;1)(+e A 2．曲线41 ln 2+-+ =x x x y 的渐近线的条数为（ ） . 0 (D) ; 3 (C) ; 2 (B) ; 1 )(A 3．设函数)(x f 在定义域内可导，)(x f y =的图形如右图所示， 则导函数)(x f y '=的图形为（ ） 4．微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为（ ） . 2sin y )( ;2sin 2cos y )(;2cos y )( ;2cos y )( * * **x A D x Bx x Ax C x Ax B x A A =+=== 二、填空题（每小题3分，共18分） 1．_____________________ )(lim 2 1 =-→x x x x e 2．若)(cos 21arctan x f e x y +=，其中f 可导，则_______________=dx dy 3．设,0,00 ,1sin )(?????=≠=α x x x x x f 若导函数)(x f '在0=x 处连续，则α的取值范围是__________。 4．若dt t t x f x ?+-=2032 4 )(，则)(x f 的单增区间为__________,单减区间为__________. 5．曲线x xe y -=的拐点是__________ 6．微分方程044='+''+'''y y y 的通解为__________________________=y 线性代数(B)教学大纲 （课程编号学分：2；上课32；习题课0，实验0；课外上机：0） 东南大学数学系 一．课程的性质与目的 本课程是以矩阵为主要工具研究数量间的线性关系的基础理论课程，也是工科非电类专业学生本科阶段关于离散量数学的最重要的课程。本课程的目的是使学生熟悉线性代数的基本概念，掌握线性代数的基本理论和基本方法，提高其抽象思维、逻辑思维的能力，为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。 二．课程内容的教学要求 1．行列式 （1）理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算； （2）知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响； （3）了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n阶行列式； （4）掌握行列式的性质，熟练掌握行列式按行、列展开公式，了解行列式的乘法定理； （5）掌握不很复杂的低阶行列式及简单的高阶行列式的计算； （6）理解Cramer法则，掌握用Cramer法则求方程组的解的方法。 2．矩阵 （1）理解矩阵的概念； （2）理解矩阵的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算； （3）理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质； （4）理解矩阵的可逆性的概念，掌握矩阵可逆的判别方法，掌握逆矩阵的性质； （5）了解伴随矩阵的概念，熟练掌握伴随矩阵的性质，掌握利用伴随矩阵计算矩阵的逆矩阵； （6）了解分块矩阵的运算性质，掌握简单的分块矩阵的运算规则。 3．矩阵的初等变换与Gauss消元法 （1）理解矩阵的初等行变换与Gauss消元法的关系； （2）理解矩阵的初等变换及矩阵的等价关系的概念； （3）了解矩阵的等价标准形的概念，理解矩阵的初等变换与矩阵的乘法间的关系； （4）了解可逆矩阵与初等矩阵间的关系，掌握用初等变换求逆矩阵的方法，会求简单的矩阵方程的解； （5）理解矩阵的秩的概念，熟练掌握矩阵的秩的求法，理解矩阵运算前后的秩之间的关系； 1 中考第一轮复习 代数与几何综合初步 本讲包括两个方面：数形结合思想、方程函数与几何的综合. 数形结合思想从解题方法上主要分为两类：一是用“形”来解决“数”的问题，体现在数列计算、公式证明等方面；二是用“数”来解决“形”的问题，体现在用方程、函数最值等来解决图形中的计算或最值问题. 方程函数与几何的综合这部分主要侧重在题型上，将代数式、方程、各种函数及各种几何图形综合在一起，不仅将第一轮复习的内容很好的综合，也能锻炼同学们灵活运用各种知识点、方法解决问题的能力. 一、数形结合思想 【例1】 （1）我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂 分家万事非”，如图，在边长为1 的正方形纸板上，依次贴上面积为 2 1 ， 41，81 ，…，n 2 1的长方形彩色纸片（n 为大于1的整数），请你用“数 形结合”的思想，依数形变化的规律，计算+++81 4121…+n 2 1=___________. （2）利用图形可以计算正整数的乘法，请根据以下四个算图所示规律在右图中画出232312? 的算图（标出相应的数字和曲线） . （2009海淀初三期中） （3）数形结合思想是中学数学解题中常用的数学思想，利用这种思想，可以将代数 问题转化为几何问题，也可以将几何问题转化为代数问题．通过数形结合将代数与几何完美的结合在一起，可以大大降低解题的难度，提高效率和正确率，甚至还可以达到令人意想不到的效果．教科书中利用几何图形证明乘法公式 () 2 222a b a ab b +=++的做法，就是一个非常典型的例子： 如图，a 、b 分别表示一条线段的长度，则a+b 可以表示两条线段之和，那么()2 a b + 就可以表示正方形的面积．同样， a b b a b C D B A B C E A F D 第 18 讲 用代数法解几何题 【知识提要】 有的几何图形是由两个或两个以上的图形错综复杂地组合在一起,甚至已知条件是隐蔽的。我们可以根据图形的特征以及已知条件选择适当的未知量用x 来表示,然后找出相等关系列出方程(或代数式)求解。 【例题解析】 例1.把一个正方形的一边延长6cm,相邻的另一边缩短2cm,就变成一个长方形,这样面积比原来增加56cm 2,求原来正方形的面积。 思路点拨：设原正方形的边长为xcm,则列方程6(x －2)－2x ＝56求解。 例2.一块直角三角形的铁皮,两条直角边分别长40cm 和60cm 。要在里面剪一块最大的正方形,剪成的正方形边长是多少厘米？ 思路点拨：设剪出最大正方形边长为xcm,则列方程40x ÷2＋60x ÷2＝40×60÷2求解。 例3.如图,梯形ABCD 是直角梯形,面积是54cm 2,下底是上底的2倍。求阴影部分的面积。 思路点拨：设梯形上底为xdm,则下底为2xdm,高也为xdm 。根据梯形面积公式列方程求解。 例4.如图长方形ABCD 中,长30cm,宽15cm,E 是AB 的中点,求图中阴影部分的面积。 思路点拨：设△CDF 的CD 边上的高为xcm 。根据“S △CDF ＋S △ADE －S △AEF ＝S △ACD ”列方程求解。 D B A E F E B A 例5.如图,大、小两个正方形的边长为10cm和6cm,求阴影部分的面积。 思路点拨：设DO＝xcm。则根据“S 梯形DOFE ＋S △CDO ＝S △CEF ”求出DO的长,进而 求出阴影部分的面积。 【分层训练】 ★ 1.将一个长方形的宽增加5cm,长减少3cm,正好得到一个正方形,且正方形的面积比原来长方形的面积大45cm2,求原来长方形的面积。 2.如图梯形ABCD中,对角线AC与BD相交于E,且CE＝2AE,若梯形ABCD的面积为540cm2,求△ADE的面积。 3.如图,已知梯形上、下底长度之比为5：8,面积为39cm2,求阴影部分的面积。 4.一个正方形,一边减少20%,另一边增加2cm,得到一个与正方形面积相等的长方形,求正方形的面积。 5.如图,△ABC中,D为BC的中点,E为CA的三等分点,AD与BE相交于F,若△ABC 的面积为60cm2,求△BDF的面积。 中考数学代数几何综合题 Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数和几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析 【例1】（2005，温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，A 是?BDC 的中点，AE⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且??BF AD =，EM 切⊙O 于M 。 ⑴ △ADC∽△EBA ;⑵ AC2＝12 BC·CE； ⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot∠CAD 的值。 解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠CDA＝∠ABE， ∵??BF AD =，∴∠DCA＝∠BAE， ∴△CAD∽△AEB ⑵ 过A 作AH⊥BC 于H(如图) ∵A 是?BDC 中点，∴HC＝HB ＝12 BC ， ∵∠CA E ＝900，∴AC 2＝CH·CE＝12 BC·CE ⑶∵A 是?BDC 中点，AB ＝2，∴AC＝AB ＝2， ∵EM 是⊙O 的切线，∴EB·EC＝EM 2 ① ∵AC 2＝12 BC·CE，BC·CE＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17 ∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE＝17－22＝13 ∵△CAD∽△ABE，∴∠CAD＝∠AEC， ∴cot∠CAD＝cot∠A EC ＝AE AC ＝132 点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题表现的非常突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就非常关键. 【例2】（2005，自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分 别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内 作等腰直角△ABC ，∠BAC=90○。过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足． （1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长； （2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。 C D B A B C E A F D 第 18 讲用代数法解几何题 【知识提要】 有的几何图形是由两个或两个以上的图形错综复杂地组合在一起,甚至已知条件是隐蔽的。我们可以根据图形的特征以及已知条件选择适当的未知量用x 来表示,然后找出相等关系列出方程(或代数式)求解。 【例题解析】 例1.把一个正方形的一边延长6cm,相邻的另一边缩短2cm,就变成一个长方形,这样面积比原来增加56cm 2,求原来正方形的面积。 思路点拨：设原正方形的边长为xcm,则列方程6(x －2)－2x ＝56求解。 例2.一块直角三角形的铁皮,两条直角边分别长40cm 和60cm 。要在里面剪一块最大的正方形,剪成的正方形边长是多少厘米？ 思路点拨：设剪出最大正方形边长为xcm,则列方程40x ÷2＋60x ÷2＝40×60÷2求解。 例3.如图,梯形ABCD 是直角梯形,面积是54cm 2 ,下底是上底的2倍。求阴影部分的面积。 思路点拨：设梯形上底为xdm,则下底为2xdm,高也为xdm 。根据梯形面积公式列方程求解。 例4.如图长方形ABCD 中,长30cm,宽15cm,E 是AB 的中点,求图中阴影部分的面积。 思路点拨：设△CDF 的CD 边上的高为xcm 。根据“S △CDF ＋S △ADE －S △AEF ＝S △ACD ”列方程求解。 D C B A E F C E D B A 例5.如图,大、小两个正方形的边长为10cm 和6cm,求阴影部分的面积。思路点拨：设DO ＝xcm 。则根据“S 梯形DOFE ＋S △CDO ＝S △CEF ”求出DO 的长,进而求出阴影部分的面积。 【分层训练】 ★ 1.将一个长方形的宽增加5cm,长减少3cm,正好得到一个正方形,且正方形的面积比原来长方形的面积大45cm 2,求原来长方形的面积。 2.如图梯形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于E,且CE ＝2AE,若梯形ABCD 的面 积为540cm 2,求△ADE 的面积。 3.如图,已知梯形上、下底长度之比为5：8,面积为39cm 2,求阴影部分的面积。 4.一个正方形,一边减少20%,另一边增加2cm,得到一个与正方形面积相等的长方形,求正方形的面积。 5.如图,△ABC 中,D 为BC 的中点,E 为CA 的三等分点,AD 与BE 相交于F,若△ABC 的面积为60cm 2,求△BDF 的面积。 几何与代数教学大纲 （总学分： 4；总上课学时：64；课外上机时数：4） 东南大学数学系 一．课程的性质与目的 本课程是工科电类专业学生本科阶段关于几何及离散量数学重要的数学基础课程。本课程的目的是使学生熟悉空间解析几何与线性代数基本概念，掌握用坐标及向量的方法讨论几何图形的方法，熟悉空间中简单的几何图形的方程及其特点，掌握线性代数的基本理论和基本方法，熟悉矩阵运算的基本规律和基本技巧，熟悉矩阵在等价关系、相似关系、合同关系下的标准形，提高其空间想象能力、抽象思维和逻辑思维的能力，为后继课程的学习做好准备，并为用线性代数的理论解决实际问题打下基础。 二．课程内容的教学要求 1．向量代数平面与直线 （1）理解几何向量的概念及其加法、数乘运算，熟悉运算规律，了解两个向量共线和三个向量共面的充分必要条件； （2）理解空间直角坐标系的概念，理解仿射坐标系的概念，掌握向量的坐标表示； （3）理解向量的数量积、向量积和混合积的概念，理解它们的几何意义，了解相关的运算性质，掌握利用坐标进行计算的方法； （4）理解平面的法向量的概念，熟练掌握平面的方程的确定方法，熟悉特殊位置的平面方程的形式； （5）理解直线的方向向量的概念，熟练掌握直线的对称方程、一般方程及参数方程的确定方法； （6）了解直线、平面间的夹角的定义，了解点与直线、平面间的距离的定义，并掌握相关的计算； （7）了解平面束的概念，并会用平面束处理相关几何问题。 2．矩阵和行列式 （1）理解矩阵和n维向量的概念； （2）理解矩阵和向量的加法、数乘、乘法运算及矩阵的转置及相关的运算性质，熟练掌握上述运算； （3）理解零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、对角阵、三角阵、对称矩阵、反对称矩阵的定义及其运算性质； （4）理解二阶、三阶行列式的定义，熟练掌握它们的计算； （5）知道全排列及全排列的逆序数的定义，会计算排列的逆序数，知道对换及对换对于排列的奇偶性的影响； （6 ）了解n阶行列式的定义，会用行列式的定义计算简单的n 阶行列式；2002年东南大学考研高等代数试题
代数几何综合题含答案
2019届中考数学总复习：代数几何综合问题
东南大学高数上期末往年试题
几何与代数教学大纲
九年级数学代数几何综合题解析提高班教师版
用代数法解几何题
历年初三数学中考代数几何综合题及答案
最新最全用代数法解几何题复习完整版.doc
东南大学几何与代数B教学大纲2010
相关主题
文本预览