线性规划及其LINDO 求解
姓名 任淑丽 学号 102093116 班级 10计算科学
说明：
（1）要求在Notebook 环境下完成；
（2）完成后请以姓名(班级学号)实验报告名称命名并存盘;
（3）在下一次上课之前由学习委员收齐打包以附件形式后发到 lvximing@https://www.doczj.com/doc/7218194984.html, ； （5）请自行保存备份,以备后用。
【LINDO 程序】
max 50x1+100x2 ST
x1+x2<=300 2x1+x2<=400 x2<=250 end
【计算结果】
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 27500.00
1212122max 501003002400.250
0(1,2)LINDO j z x x x x x x st x x j =++≤??
+≤??
≤??≥=?
一、已知线性规划用编程计算其最优解和最优值。
VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 50.000000 0.000000
X2 250.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 50.000000
3) 50.000000 0.000000
4) 0.000000 50.000000
NO. ITERATIONS= 0
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 27500.00
VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 50.000000 0.000000
X2 250.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 50.000000
3) 50.000000 0.000000
4) 0.000000 50.000000
NO. ITERATIONS= 0
二、营养配餐问题
假定一个成年人每天需要从食物中获得3000千卡的热量、55克蛋白质和800毫克的钙。如果市场上只有四种食品可供选择，它们每千克所含的热量和营养成分和市场价格见下表：
序号食品
名称
热量
（千
卡）
蛋白质
（克）
钙
（毫克）
价格
（元）
1 猪肉1000 50 400 14
2 鸡蛋800 60 200 6
3 大米900 20 300 3
4 白菜200 10 500 2 问如何选择才能在满足营养的前提下使购买食品的费用最小？
经分析建立其数学模型如下：
minZ=14x1+6x2 +3x3+2x4
st. 1000x1+800x2 +900x3+200x4 ≥ 3000
50x1+ 60x2 + 20x3+ 10x4 ≥ 55
400x1+200x2 +300x3+500x4 ≥ 800
x1,x2 , x3,x4 ≥ 0
LINDO
用编程计算其最优解和最优值
【LINDO程序】
Min 14x1+6x2+3x3+2x4
ST
1000x1+800x2+900x3+200x4>=3000
50x1+60x2+20x3+10x4>=55
400x1+200x2+300x3+500x4>=800
【计算结果】
L P O P T I M U M F O U N D A T S T E P 3
O B J E C T I V E F U N C T I O N V A L U E
1) 10.00000
V A R I A B L E V A L U E R E D U C E D C O S T X 1 0.000000 10.666667 X 2 0.000000 3.333333 X 3 3.333333 0.000000 X 4 0.000000 1.333333
R O W S L A C K O R S U R P L U S D U A L P R I C E S 2) 0.000000 -0.003333 3) 11.666667 0.000000 4) 200.000000 0.000000
N O . I T E R A T I O N S = 3
三、（运输问题）
12123A A B B B 某公司从两个产地,将物品运往三个销地,,,各产地的产量,各销地:
LINDO 用编程计算其最优解和最优值
【LINDO 程序】
Min 6x11+4x12+6x13+6x21+5x22+5x23 st
x11+x12+x13=200 x21+x22+x23=300 x11+x21=150 x12+x22=150
:
数学模型为111213212223min646655x x x x x x +++++111213200
x x x ++=212223300
x x x ++=1121150x x +=1222150x x +=1323200
x x +=st.
x13+x23=200
【计算结果】
L P O P T I M U M F O U N D A T S T E P3
O B J E C T I V E F U N C T I O N V A L U E
1)2500.000
V A R I A B L E V A L U E R E D U C E D C O S T X1150.0000000.000000
X12150.0000000.000000
X130.0000001.000000
X21100.0000000.000000
X220.0000001.000000
X23200.0000000.000000
R O W S L A C K O R S U R P L U S D U A L P R I C E S
2)0.000000-5.000000
3)0.000000-5.000000
4)0.000000-1.000000
5)0.0000001.000000
6)0.0000000.000000
N O.I T E R A T I O N S=3
四、案例分析题
某证券公司受委托，准备把120万元投资基金A和B，其中A基金的每单位投资额为50元，年收益率为10％，B基金的每单位投资额为100元，年收益率为4％。委托人要求在每年的年回报金额至少达到6万元的基础上要投资风险最小；委托人另外要求基金B的投资金额不得少于30万元。据测定每单位A 基金的投资风险指数为8，每单位B基金的投资风险指数为3。该公司应该怎么对基金A和B进行组合投资，既能满足委托人的要求，又能使总的投资风险最小？
设投资单位A基金，单位B基金，则模型如下：
用LINDO编程求解结果如下：
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 62000.00
VARIABLE VALUE REDUCED COST
XA 4000.000000 0.000000
XB 10000.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 0.056667
3) 0.000000 -2.166667
4) 700000.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 3
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF COEF INCREASE DECREASE
XA 8.000000 INFINITY 4.250000
XB 3.000000 3.400000 INFINITY
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 1200000.000000 300000.000000 420000.000000
3 60000.000000 42000.000000 12000.000000
4 300000.000000 700000.000000 INFINITY
根据以上求解结果列表，回答以下问题：
a. 购买A基金，B基金的数量各为多少？这时总的投资风险指数为为多少？
b. 对表中给出的三个对偶价格的含义给予解释？
c. 表中松弛/剩余变量的含义是什么？
d. 目标函数系数分别在什么范围内变动，上述最优解不变？
e. 约束条件右端项，当一个保持不变时，另一个在什么范围内变动，上述最优解保持不变？
f. 当每单位基金A的投资风险指数为从8降为6，而每单位B基金的投资风险指数从3上升为5时，其最优解是否改变？为什么？
a.答：购买A基金4000，B基金10000。这时投资风险指数为62000
b.答：投资总额约束中没有使用的数量称为松弛量，本题的松弛量
c.
e.当右边值总投资额取值在780000—1500000之间时，不改变约束条件1的对偶价格；当右边值回报额取值在48000—102000之间时，不改变约束条件2的对偶价格；当右边值B 的投资额小于10000时，不改变约束条件3的对偶价格。
https://www.doczj.com/doc/7218194984.html,/p-995287478991.html
五、从网络或参考资料上收集并整理1～2个与所学知识相关的LINDO程序并运行其结果
六、从网络或参考资料上收集并整理1～2个与所学知识相关的MATLAB程序并运行其结果（添加必要的注释）
《常用逻辑用语》 一、判断命题真假 1、下列命题中，真命题是 （ ） A ．221,sin cos 222 x x x R ?∈+= B ．(0,),sin cos x x x π?∈> C ．2,1x R x x ?∈+=- D ．(0,),1x x e x ?∈+∞>+ 2、如果命题“)q p ∨?（”为假命题，则（ ） A. p,q 均为假命题 B. p,q 均为真命题 C. p,q 中至少有一个为真命题 D. p,q 中至多有一个为真命题 3、有四个关于三角函数的命题： 1p ：?x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =12 2p : ?x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ?x ∈[]0,π,1cos 22 x -=sinx 4p : sinx=cosy ? x+y=2π 其中假命题的是（ ） （A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （C ）1p ，3p （D ）2p ，4p 4、给出下列命题： ①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3 在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝a 至多有一个交点； ④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ? ????2x ＋π4的图象． 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①②③ D ．①②④
5、若命题p ：圆(x －1)2＋(y －2)2 ＝1被直线x ＝1平分；q ：在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B ，则下列结论中正确的是( ) A ．“p∨q”为假 B ．“p∨q”为真 C ．“p∧q”为真 D ．以上都不对 6、已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数；p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数， 则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(?p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(?p 2)中，真命题是( ) 7、下列命题中的假命题．．． 是 ( ) A. ,lg 0x R x ?∈= B. ,tan 1x R x ?∈= C. 3,0x R x ?∈> D. ,20x x R ?∈> 8、下列命题中的假命题是 （ ） A ．?x R ∈,120x -> B. ?*x N ∈,2(1)0x -> C ．? x R ∈,lg 1x < D. ?x R ∈,tan 2x = 9、有以下四个命题： ①ABC ?中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件； ②若命题:,sin 1,P x R x ?∈≤则:,sin 1p x R x ??∈>； ③不等式210x x >在()0,+∞上恒成立； ④设有四个函数111332,,,,y x y x y x y x -====其中在()0,+∞上是增函数的函数有3个。 其中真命题的序号 二、判断充分、必要条件
实验五数据处理、多项式计算 数值微积分与方程数值求解 实验要求： 为达到理想的实验效果，同学们务必做到： (1)实验前认真准备，要根据实验目的和实验内容，复习好实验中可能要用 到的命令，想好编程的思路，做到胸有成竹，提高上机效率。 (2)实验过程中积极思考，要深入分析命令、程序的执行结果以及各种屏幕 信息的含义、出现的原因并提出解决办法。 (3)实验后认真总结，要总结本次实验有哪些收获，还存在哪些问题，并写 出实验报告。实验报告应包括实验目的、实验内容、流程图（较大程序）、程序（命令）清单、运行结果以及实验的收获与体会等内容。 同学们在上机过程中会碰到各种各样的问题，分析问题和解决问题的过程就是积累经验的过程。只要同学们按照上面3点要求去做，在学完本课程后就一定会有很大的收获。 一、实验目的 1. 掌握数据统计和分析的方法。 2. 掌握数值插值与曲线拟合的方法及其应用。 3. 掌握多项式的常用运算。 二、实验内容 1. 利用MATLAB提供的rand函数生成30000个符合均匀分布的随机数，然后检验随机数的性质： (1) 均值和标准方差。 (2) 最大元素和最小元素。 (3) 大于的随机数个数占总数的百分比。 2. 将100个学生5门功课的成绩存入矩阵P中，进行如下处理：
(1) 分别求每门课的最高分、最低分及相应学生序号。 (2) 分别求每门课的平均分和标准方差。 (3) 5门课总分的最高分、最低分及相应学生序号。 (4) 将5门课总分按从大到小顺序存入zcj 中，相应学生序号存入xsxh 。 提示：上机调试时，为避免输入学生成绩的麻烦，可用取值范围在[45,95]之间的随机矩阵来表示学生成绩。 3. 某气象观测得某日6:00~18:00之间每隔2h 的室内外温度（0C ）如实验表1所示。 实验表1 室内外温度观测结果（0C ） 时间h 6 室内温度t1 室外温度t2 试用三次样条插值分别求出该日室内外6:30~18:30之间每隔2h 各点的近似温度（0C ）。 4. 已知lgx 在[1,101]区间10个整数采样点的函数值如实验表2所示。 实验表2 lgx 在10个采样点的函数值 x 1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 101 lgx 0 试求lgx 的5次拟合多项式p(x)，并绘制出lgx 和p(x)在[1,101]区间的函数曲线。 5. 有3个多项式P1(x)=x4+2x3+4x2+5，P2(x)=x+2，P3(x)=x2+2x+3，试进行下列操作： (1) 求P(x)=P 1(x)+P 2(x)P 3(x)。 (2) 求P(x)的根。 (3) 当x 取矩阵A 的每一元素时，求P(x)的值。其中 ： 1 1. 2 1.40.752 3.505 2.5A --????=?????? (4) 当以矩阵A 为自变量时，求P(x)的值。其中A 的值与第(3)题相同。 1. 利用MATLAB 提供的rand 函数生成30000个符合均匀分布的随机数，然后检验随机
工作计划 一、指导思想： 在我校整体建构和谐教学模式下，使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。具体目标如下。 1．获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程。 2．提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。 3．提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。 4．发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和作出判断。 5．提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 6．具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。
二、教材特点： 我们所使用的教材是人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》，它在坚持我国数学教育优良传统的前提下，认真处理继承，借签，发展，创新之间的关系，体现基础性，时代性，典型性和可接受性等到，具有如下特点： 1．“亲和力”：以生动活泼的呈现方式，激发兴趣和美感，引发学习激情。 2．“问题性”：以恰时恰点的问题引导数学活动，培养问题意识，孕育创新精神。 3．“科学性”与“思想性”：通过不同数学内容的联系与启发，强调类比，推广，特殊化，化归等思想方法的运用，学习数学地思考问题的方式，提高数学思维能力，培育理性精神。 4．“时代性”与“应用性”：以具有时代性和现实感的素材创设情境，加强数学活动，发展应用意识。 三、教法分析： 1．选取与内容密切相关的，典型的，丰富的和学生熟悉的素材，用生动活泼的语言，创设能够体现数学的概念和结论，数学的思想和方法，以及数学应用的学习情境，使学生产生对数学的亲切感，引发学生“看个究竟”的冲动，以达到培养其兴趣的目的。 2．通过“观察”，“思考”，“探究”等栏目，引发学生的思考和探索活动，切实改进学生的学习方式。 3．在教学中强调类比，推广，特殊化，化归等数学思想方法，
实验四 数值微积分与方程数值求解 以及符号运算 一、实验目的 1. 掌握求数值导数和数值积分的方法。 2. 掌握代数方程数值求解的方法。 3. 掌握常微分方程数值求解的方法。 4. 掌握定义符号对象的方法。 5. 掌握符号表达式的运算法则以及符号矩阵运算。 6. 掌握求符号函数极限及导数的方法。 7. 掌握求符号函数定积分和不定积分的方法。 8. 掌握级数求和的方法。 二、实验内容 1. 求函数在指定点的数值导数。 23 2()123,1,2,302 6x x x f x x x x x == 2. 用数值方法求定积分。 (1) 210I π =?的近似值。 3. 分别用3种不同的数值方法解线性方程组（左除、求逆、LU 分解）。 65254941334221 39211 x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-??-+-=??++-=??-+=? 4. 求代数方程的数值解。 (1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。 5. 求函数在指定区间的极值。 (1) 3cos log ()x x x x x f x e ++=在(0,1)内的最小值。 (2) 332 12112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。 6. 已知x=6,y=5，利用符号表达式求 z =
提示：定义符号常数x=sym(‘6’)，y=sym(‘5’)。 7. 分解因式。 (1) x 4-y 4 (2) 5135 8. 化简表达式。 21212 483(1)sin cos cos sin (2)21x x x ββββ++-+ 9. 用符号方法求下列积分。 48 2 ln 22400(1)(2)11(3)(4)(1)1 x x dx x x x dx e e dx x +∞+++++???10. 级数符号求和。 (1) 计算101 121n S n ==-∑。 (2) 求级数211n n n x ∞-=∑的和函数，并求215n n n ∞ =∑之和。 11. 求微分方程组的通解。 233453442dx x y z dt dy x y z dt dz x y z dt ?=-+???=-+???=-+?? 实验四 数值微积分与方程数值求解 以及符号运算 一、实验目的 1. 掌握求数值导数和数值积分的方法。 2. 掌握代数方程数值求解的方法。
《常用逻辑用语》 一、 令狐文艳 二、判断命题真假 1、下列命题中，真命题是 （ ） A ．221,sin cos 222 x x x R ?∈+= B ．(0,),sin cos x x x π?∈> C ．2,1x R x x ?∈+=- D ．(0,),1x x e x ?∈+∞>+ 2、如果命题“)q p ∨?（”为假命题，则（ ） A. p,q 均为假命题 B. p,q 均为真 命题 C. p,q 中至少有一个为真命题 D. p,q 中至多有一个 为真命题 3、有四个关于三角函数的命题： 1p ：?x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =122p : ?x 、y ∈R, sin(x- y)=sinx-siny 3p : ?x ∈[]0,π,1cos 22x -=sinx 4p : sinx=cosy ? x+y=2π 其中假命题的是（ ）
（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （C ）1p ，3p （D ）2p ，4p 4、给出下列命题： ①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3 在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝a 至多有一个交点； ④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4 个单位，则得到函数y ＝sin ? ?????2x ＋π4的图象． 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①②③ D ．①②④ 5、若命题p ：圆(x －1)2＋(y －2)2＝1被直线x ＝1平分；q ：在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B ，则下列结论中正确的是( ) A ．“p∨q”为假 B ．“p∨q”为真 C ．“p∧q”为真 D ．以上都不对 6、已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数；p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数， 则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(?p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(?p 2)中，真命题是( ) 7、下列命题中的假命题是 ( ) A. ,lg 0x R x ?∈= B.,tan 1x R x ?∈= C. 3,0x R x ?∈> D. ,20x x R ?∈>
一、判断命题真假 1下列命题中,真命题是 — 2 X 2 X 1 A. X R,sin CoS = 2 2 2 B . -X (0，二）,sin X cosx 2 C. -X R ） X x = —1 X D. —X （0, ：:），e I X 2、 如果命题“ (P q ） ”为假命题,则（ A. p,q 均为假命题 B. p ，q C. p ，q 中至少有一个为真命题 4、给出下列命题: ① 在△ ABC 中，若∠ A>∠ B,贝U Sin A > Sin B ； ② 函数y = X 3 在R 上既是奇函数又是增函数; ③ 函数y = f （x ）的图象与直线X= a 至多有一个交点； ④ 若将函数y = Sin 2x 的图象向左平移 丁个单位，则得到函数 y= Sin 2x+∏的图象。 其中正确命题的序号是（ ） A 。①② B .②③ C 。①②③ D 。①②④ 《常用逻辑用语》 ） 均为真命题 D. p,q 中至多有一个为真命题 .2 X 2 X 1 P I : T X R, Sin —+ COS -- 2 2 2 1 -cos2x P 3： - X 〔0 ,二 1, J ------------ =Sin V 2 其中假命题的是（ ) (A) Pl , P 4 (B ) P 2 , P 4 p 2: ^ X 、y 三 R, sin(x-y)=sinX-Siny p 4 : SinX=COSy =■ x+y=- 2 (C) P ，P 3 (D) p 2，P 4 3、 有四个关于三角函数的命题：
5、若命题 P:圆(X - 1）2+ (y — 2）2 = 1 被直线 X= 1 平分;q ：在厶 ABC 中，若 Sin 2A= Sin 2B ， 则A= B ，则下列结论中正确的是 （ ） A 。 “p ∨ q”为假 B .“p ∨ q”为真 C 。“p ∧ q”为真 D 。以上都不对 6、已知命题p i :函数y = 2x - 2— x 在R 上为增函数；p 2：函数y= 2x + 2— X 在R 上为减函数, 则在命题 q i : p ι∨ p 2， q 2: p ι∧ p 2， q 3： (—p i ） ∨ p 2 和 q 4： p i ∧ ( 一 p 2）中，真命题是 （ ) 7、下列命题中的假命题是（） A. T X R ，Ig X = O B. C. —X R ， X 3 . 0 D. 8、下列命题中的假命题是 （ ） A. -X R ， 2XjL 0 B. —X * N ，（X —1）2 C. —.1 X R , Ig X ：: 1 D 。 -。1 X R , tan X = 2 9、有以下四个命题： ① =ABC 中,“ A B ”是“ Si nA Sin B ”的充要条件; ② 若命题 P: -χ? R ，sin X -1,则一prχ? R ，sin X 1 ； ③ 不等式10x X 2 在上恒成立； 1 1 1 一 - 3 ④ 设有四个函数 y=x ，y = X 2 , y = X 3 ,y = X ，其中在 0,匸：上是增函数的函数有 3 个. 其中真命题的序号 ______ 、判断充分、必要条件 X 三 R,tan X =1 XR,2x 0
6 用抛物线法求飞f(x)=0.25x^4-4/3*x^3+5/2*x^2-2*x的极小值点解： >> f=inline('0.25*x^4-4/3*x^3+5/2*x^2-2*x','x'); x0=0;x1=-6;x2=6; c=0.001; f0=f(x0); f1=f(x1); f2=f(x2); b1=(f1-f0)/(x1-x0); b2=(f2-f1)/(x2-x1); a2=(b2-b1)/(x2-x0); a1=b1-(x1+x0)*a2; x3=0.5*(x1+x0-b1/a2); f3=f(x3); while abs(x2-x0)>c f0=f(x0); f1=f(x1); f2=f(x2); b1=(f1-f0)/(x1-x0); b2=(f2-f1)/(x2-x1); a2=(b2-b1)/(x2-x0); a1=b1-(x1+x0)*a2; x3=0.5*(x1+x0-b1/a2); f3=f(x3); if (f0-f3)<0 if (x0-x3)<0 x2=x3;f2=f3; else x1=x3;f1=x3; end else if (x0-x3)<0 x1=x0;f1=f0; x0=x3;f0=f3; else x2=x0;f2=f0; x0=x3;f0=f3; end end end x3=x0;f3=f0; x3 = 2.0000 f3 = -0.6667 所以：极小值点为x=2.0000 极小值为：f3=-0.6667
9 编写用”成功——失败“法求飞f(x)= x^5+2*x^4-4*x^3+x^2+x+2的极小值点的计算程序。并求解。 解： 编写程序并运行如下： >> f=inline('x^5+2*x^4-4*x^3+x^2+x+2','x') h=0.01; c=0.0001 x0=0 f1=f(x0); while 1 f2=f(x0+h); if f2 目标认知： 考试大纲要求： 重点： 难点： ： 知识点一：命题： 定义： “” “” 能帮助判断。如：一定推出. “” “不一定等于 逻辑联结词： ）复合命题的真假判断（利用真值表）： 非 “或 ”. “ p 且 q”“ p 或 q”. 123(4知识点二：四种命题 四种命题的形式： 分别表示原命题的条件和结论，用p 和 q 否命题：若 p 则q 逆否命题：若q 则p. 建议收藏下载本文，以便随时学习！ 我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙 2. 四种命题的关系： ①原命题逆否命题.它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径之一. ②逆命题 否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命题转化的另一依据和途径. 除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系. 四种命题及其关系： 关于逆命题、否命题、逆否命题，也可以有如下表述：第一：交换原命题的条件和结论，所得的命题为逆命题；第二：同时否定原命题的条件和结论，所得的命题为否命题； 第三：交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题为逆否命题； 5．写出“若或，则”的逆命题、否命题、逆否命题及2=x 3=x 0652 =+-x x 命题的否定，并判其真假。解: 逆命题：若，则或，是真命题； 0652 =+-x x 2=x 3=x 否命题：若且，则，是真命题；2≠x 3≠x 0652 ≠+-x x 逆否命题：若，则且，是真命题。0652 ≠+-x x 2≠x 3≠x 命题的否定：若或，则，是假命题。 2=x 3=x 0652 ≠+-x x 知识点三：充分条件与必要条件： 1. 定义： 对于“若p 则q”形式的命题： ①若p q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件； ②若p q ，但q p ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件； ③若既有p q ，又有q p ，记作p q ，则p 是q 的充分必要条件（充要条件）. 2. 理解认知： （1）在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；然后用条件推结论， 再用结论 推条件，最后进行判断. （2）充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”. 建议收藏下载本文，以便随时学习！ 我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙 常用逻辑用语测试题 一 、 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列语句不是命题的有( ) ①2 30x -=;②与一条直线相交的两直线平行吗③315+=;④536x -> A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 2．（改编题）命题“a 、b 都是奇数，则a ＋b 是偶数”的逆命题是 （ ） A ．a 、b 都不是奇数，则a ＋b 是偶数 B ．a ＋b 是偶数，则a 、b 都是奇数 C ．a ＋b 不是偶数，则a 、b 都不是奇数 D ．a ＋b 不是偶数，则a 、b 不都是奇数 3．命题“若a ＞b ，则2 2 ac bc >”(这里a 、b 、c 都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 （ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．0个 4．命题“若A ∪B ＝A ，则A ∩B=B ”的否命题是（ ） A ．若A ∪ B ≠A ，则A ∩B ≠B B ．若A ∩B ＝B ，则A ∪B=A C ．若A ∩B ≠A ，则A ∪B ≠B D ．若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A 5．（改编题）下列有关命题的说法中错误的个数是( ) ①若p q ∧为假命题,则p q 、均为假命题 ②“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件 ③命题“若2 320x x -+=,则1x =“的逆否命题为:“若1,x ≠则2 320x x -+≠” ④对于命题:,p x R ?∈使得2 10x x ++<,则:,p x R ??∈均有2 10x x ++≥ A 4 B 3 C 2 D 1 6．已知命题:p R x ∈?,022 ≤++a ax x .若命题p 是假命题,则实数a 的取值范围是 ( ) A.(,0][1,)-∞+∞ B.[0,1] C.(,0)(1,)-∞+∞ D.(0,1) 7．（原创题）“ 2a b =-”是“直线20ax y +=垂直于直线1x by +=”的( ) A.充分而不必要条件 B.充分必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 8．用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，ab 能被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容是（ ） A ．a 、b 都能被5整除 精心整理 第一练集合与常用逻辑用语一.强化题型考点对对练 1.（集合的基本运算）已知集合{|1A x x =≤-或1}x ≥，集合{|01}B x x =<<，则（） A.{}1A B ?= B.A B R ?= C.()(]0,1R C A B ?= D.()R A C B A ?= 【答案】D 2．（集合的基本运算）若集合{}02A x x =<<，且A B B =I ，则集合B 可能是（） A.{}0 2， B.{}0 1， C.{}0 1 2，， D.{}1 【答案】D 【解析】由题意得,因为,所以选B. 3.（集合的基本运算）设集合{}|2M x x =<，{}1,1N =-，则集合M C N 中整数的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【解析】{}(){}|22,2,1,1M x x N =<=-=-Q ，()()()2,11,11,2,M N ∴=--?-?∴e集合M N e中整数只有0，故个数为1，故选C. 4.（集合间的关系）已知集合 ，若，则（） A.0或1 B.0或2 C.1或2 D.0或1或2 【答案】C 【解析】或.故选C. 5．（充分条件和必要条件）设x R ∈，i 是虚数单位， 则“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯虚数”的 A.充分不必要条 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由3x =-，得()()2 22332330x x +-=-+?--=，1314x -=--=-． 而由2230{ 10 x x x +-=-≠，得3x =-．所以“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯数”的充要条件．故选C. 【标题01】没能准确全面理解命题的概念 【习题01】判断下列语句是否是命题？(1)2008年5月12日在四川汶川县难道没有发生了里氏8.0特大级地震吗？(2)对2(1)0x -≤，有210x -<. 【经典错解】(1)(2)都不是命题. 【习题01针对训练】判断下列语句是否是命题？（1）请举起手来！（2）今天天气真好！（3）0x > ；（4）0a b >>,则ac bc >. 【标题02】混淆了逻辑联结中的“或”与日常生活中的“或” 【习题02】若命题p ：方程(2)(1)0x x +-=的根是2-，命题q ：方程(2)(1)0x x +-=的根是1，则命题“方程(2)(1)0x x +-=的根是2-或1”是__________________(填“真”或“假”)命题. 【经典错解】由条件易知命题p 与命题q 都是假命题，而命题“方程(2)(1)0x x +-=的根是2-或1”为“p ∨q ”，故就填假命题. 【详细正解】所判断命题应为真命题.根据一真“或”为真判断出命题为真命题. 【深度剖析】（1）经典错解混淆了逻辑联结中的“或”与日常生活中的“或”.（2）命题“方程(2)(1)0x x +-=的根是2-或1”中的“或”不是逻辑联结词，有“和”的意思.正确区分数学中的“或”与日常用语中的“或”的不同点.日常用语中的“或”，带有两者选择其一的意思.如：我暑假准备到海南或昆明旅游，意思是或去海南，或去昆明，绝没有两地都去的意思，如果两地都去，应说成：我准备暑假到海南和昆明旅游.逻辑联结词“或”，用在数学命题的分解与合成上，包含了三层：如0ab =包含了“0a =，0b ≠；或0a ≠，0b =；或0a =且0b =”. 常用逻辑用语测试题（答案） 1、一个命题与他们的逆命题、否命题、逆否命题这4个命题中（ ） A 、真命题与假命题的个数相同 B 、真命题的个数一定是奇数 C 、真命题的个数一定是偶数 D 、真命题的个数可能是奇数，也可能是偶数 2、下列说法中正确的是（ ） A 、一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B 、“a b >”与“ a c b c +>+”不等价 C 、“220a b +=,则,a b 全为0”的逆否命题是“若,a b 全不为0, 则220a b +≠” D 、一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真 3、给出命题：若函数()y f x =是幂函数，则函数()y f x =的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ） A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 4、命题“设a 、b 、c R ∈，若22ac bc >则a b >”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的 个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、“若x ≠a 且x ≠b，则2()x a b x ab -++≠0”的否命题（ ） A 、若x ＝a 且x ＝b ，则2()x a b x ab -++＝0 B 、若x ＝a 或x ＝b ，则2()x a b x ab -++≠0 C 、若x ＝a 且x ＝b ，则2()x a b x ab -++≠0 D、若x ＝a 或x ＝b ，则2()x a b x ab -++＝0 6、“0x >0>”成立的( ) A 、充分不必要条件. B 、必要不充分条件. C 、充要条件. D 、既不充分也不必要条件. 7、“()24x k k Z π π=+∈”是“tan 1x =”成立的 （ ） A 、充分不必要条件. B 、必要不充分条件. C 、充分条件. D 、既不充分也不必要条件. 8、不等式2 230x x --<成立的一个必要不充分条件是（ ） A 、-1 地贫患者的基因筛查问题 摘要 地中海贫血（简称“地贫”）是全球广为流行、危害极为严重的遗传性溶血性疾病，全世界至少有亿人携带地中海贫血的致病基因。医学上通过大人群的基因筛查来预防地贫患儿的出生。 本文应用统计学原理，对病人以及健康人的110个基因进行分析，采用Fisher判别模型建立判别标准和多元统计模型spss 软件进行筛选。 问题一，利用费希尔模型判别待测者是否患有地贫，以编号1~20地贫患者的样本，编号21~40健康人员的样本，分别作为模版建立模型，用mathlab软件求解得到待测组的患病者编号41~60个是待筛查人员的样本。 问题二，为确定“地贫”样本与“健康”样本在基因链上的区别。以及癌症样本中是否有子类。我们用1~20数据为标准化并确立相关系数矩阵，求出相关矩阵的特征值和特征向量，然后通过前m 个 主成分的累计贡献率满足 % 85 ) 1 /( ) 1 (≥ ∑ = ∑ =k i k k i k λ λ 来确定贡献率矩阵，从而得出各种基因的权 值，又利用初始特征值需大于 1，再运用逐步剔除法得出关键基因关键字：地贫患者的基因 Fisher判别筛查相关系数矩阵 1 问题重述 化验指标能够协助医生诊断。人们到医院就诊时，诊断就诊人员是否患肾炎时通常要化验人体内各种元素含量。表是确诊病例的化验结果，其中1－30号病例是已经确诊为肾炎病人的化验结果；31－60号病例是已经确定为健康人的结果。表是就诊人员的化验结果。 1.根据表中的数据，提出一种或多种简便的判别方法，判别属于患者或健康人的方 法，并检验你提出方法的正确性。 2.按照1提出的方法，判断表中的30名就诊人员的化验结果进行判别，判定他（她） 们是肾炎病人还是健康人。 3.能否根据表的数据特征，确定哪些指标是影响人们患肾炎的关键或主要因素，以 便减少化验的指标。 4.根据3的结果，重复2的工作。 5.对2和4的结果作进一步的分析。 2 问题分析 问题解决的关键是如何正确判断正常人与患者之间的差异，利用所给数据，可以选择用医学统计方法[1]中的判别分析法[2]进行分析。从题目给出的表中可以得出以下信息：1）表中分别给出正常人与患者各30组数据，每组数据各包含7种元素（Zn、Cu、Fe、Ca、Mg、K、Na）在人体中的含量。通过对这些数据进行分析，可以从中找出数据差异，根据判别法确定判别标准。利用所得判别标准，与就诊人员的化验结果比较可以判 第一章 集合与常用逻辑用语 §1.1 集合的概念与运算 一、知识导学 1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合. 2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元. 3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若A a ?则B a ∈），则称 集合A 为集合B 的子集，记为A ?B 或B ?A ；如果A ?B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A. 4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ?B 、B ?A ，则A=B. 5.补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记 为 A C s . 6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常 记作U. 7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集， 记作A ?B. 8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并 集，记作A ?B. 9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ. 10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集. 11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集. 12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）. 13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N +或N *，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R . 二、疑难知识 1.符号?，，?，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“?”包括“”和“=”两种情况，同样“?”包括“”和“=”两种情况.符号∈，?表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别. 2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”. 3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质. 4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式 中，B =Φ易漏掉的情况. 5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之. 6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏. 论文关键词: 图像分割边缘检测模糊理论遗传算法 Matlab 论文摘要：分割的目的是将图像划分为不同区域。图像分割算法一般是基于亮度值的两个基本特性之一：不连续性和相似性。第一类性质的已用途径是基于亮度的不连续变化分割图像，比如图像的边缘。第二类的主要应用途径是依据事先制订的准则将图像分割为相似的区域。门限处理、区域生长、区域分离和聚合都是这类方法的实例。遗传算法具有简单、鲁棒性好和本质并行的突出优点。其在应用领域取得的巨大成功，引起了广大学者的关注。在图像分割领域，遗传算法常用来帮助确定分割阈值。 本文介绍讨论了几种目前广泛应用的图像边缘检测、图像阈值分割的各种算法，并给出了对比分析;对遗传算法的基本概念和研究进展进行了综述;给出了标准遗传算法的原理、过程、实验结果及分析. 实验结果表明，本文提出的遗传分割算法优于传统分割算法。 第一章绪论 1.1 图像分割综述 图像分割就是指把图像分成各具特性的区域并提取出感兴趣目标的技术和过程。这里所说的特性可以是灰度、颜色、纹理等，而目标可以对应单个区域，也可以对应多个区域。图像分割是数字图像处理中的一项关键技术，它使得其后的图像分析，识别等高级处理阶段所要处理的数据量大大减少，同时又保留有关图像结构特征的信息。而且，在数字图像处理工程中，一方面，图像分割是目标表达的基础，对特征测量有重要的影响；另一方面，图像分割是自动目标识别的关键步骤，图像分割及其基于分割的目标表达、特征提取和参数测量等将原始图像转化为更抽象更紧凑的形式，分割中出现的误差会传播至高层次处理阶段，因此分割的精确程度是至关重要的。只有通过细致精细的图像分割，才能使得更高层的图像分析和理解成为可能。因此，图像分割是由图像处理进到图像分析的关键步骤，在图像工程中占据重要的位置。 1.2 图像分割的研究意义与发展现状 作为计算机视觉和图像处理中的难点和热点之一，图像分割的研究受到了研究工作者的高度重视，对图像分割进行了深入、广泛的研究。作为一种重要的图像技术，图像分割在不同领域中有时也用其它名称：如目标轮廓(object delineation)技术，阈值化(thresholding)技术，图像区分或求差(image discrimination)技术，目标检测(target detection)技术，目标识别(target recognition)技术，目标跟踪(target tracking)技术等，但这些技术本身或其核心实际上也就是图像分割技术。图像分割作为图像处理、分析的一项基本内容，其应用非常广泛，几乎出现在有关图像处理的所有领域，并涉及各种类型的图像。在工业自动化、在线产品检验、生产程控、文件图像处理、遥感图像、保安监视、以及军事、体育、农业等行业和工程中，图像分割都有着广泛的应用。例如：在遥感图像中，合成孔径雷达图像中目标的分割、遥感云图中不同云系和背景分布的分割等；在医学应用中，脑部 MR 图像分割成灰质（GM）、白质（WM）、脑脊髓（CSF）等脑组织和其它脑组织区域（NB）等；在交通图像分析中，把车辆目标从背景中分割出来等；在面向对象的图像压缩和基于内容的图像检索中将图像分割成不同的对象区域等。在各种图像应用中，只要需对图像目标进行提取，测量等都离不开图像分割。 自 20 世纪 70 年代至今，已提出上千种各种类型的分割算法。如：门限法、匹配法、区域生长法、分裂－合并法、水线法、马尔可夫随机场模型法、多尺度法、小波分析法、数学形态 第一章 集合与常用逻辑用语知识结构 【知识概要】 一、集合的概念、关系与运算 1. 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性. 在应用集合的概念求解集合问题时，要特别注意这三个性质在解题中的应用，元素的互异性往往就是检验的重要依椐。 2. 集合的表示方法：列举法、描述法. 有的集合还可用Venn 图表示，用专用符号表示，如,,,,,,N N N Z R Q φ*+等。 3. 元素与集合的关系：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，若元素x 是集合A 的元素，则x A ∈，否则x A ?。 4. 集合与集合之间的关系： ①子集：若x A ∈，则x B ∈，此时称集合A 是集合B 的子集，记作A B ?。 ②真子集：若A B ?，且存在元素x B ∈，且x A ?，则称A 是B 的真子集，记作：A B . ③相等：若A B ?，且A B ?，则称集合A 与B 相等，记作A ＝B .。 5. 集合的基本运算： ①交集：{}A B x x A x B =∈∈I 且 ②并集：{}A B x x A x B =∈∈U 或 ③补集：{|,}U C A x x U x A =∈?且，其中U 为全集，A U ?。 6. 集合运算中常用结论： ①,,A A A A A B B A φφ===I I I I ，A B A A B =??I 。 ②,,A A A A A A B B A φ===U U U U ，A B A B A =??U 。 ③()U A C A U =U ，()U C A A ?=I ， ()()()U U U C A B C A C B =I U ，()()()U U U C A B C A C B =U I 。 ④由n 个元素所组成的集合，其子集个数为2n 个。 常用逻辑用语 1．命题及其真假判断 (1)可以判断真假的陈述句为命题、反问句也是命题，但疑问句、祈使句、感叹句都不是命题． [例1] 下列语句哪些是命题，是命题的判断其真假． ①方程x2－2x＝0的根是自然数； ②sin(α＋β)＝sinα＋sinβ(α，β是任意角)； ③垂直于同一个平面的两个平面平行； ④函数y＝12x＋1是单调增函数； ⑤非典型肺炎是怎样传染的？ ⑥奇数的平方仍是奇数； ⑦好人一生平安！ ⑧解方程3x＋1＝0； ⑨方程3x＋1＝0只有一个解； ⑩3x＋1＝0. [解析] ①②③④⑥⑨都是命题，其中①④⑥⑨为真命题． [点评] ⑤是疑问句，⑦是感叹句，⑧是祈使句都不是命题，⑩中由于x的值未给，故无法判断此句的真假，因而不是命题． [误区警示] 含有未知数的等式、不等式，当式子成立与否与未知数的值有关时，它不是命题． (2)复合命题的真假判断是个难点，当直接判断不易着手时，可转为判断它的等价命题——逆否命题，这是一种重要的处理技巧． [例2] 判断命题：“若a＋b≠7，则a≠3，且b≠4”的真假． [解析] 其逆否命题为：“若a＝3或a＝4，则a＋b＝7”．显然这是一个假命题， ∴原命题为假． 2．四种命题的关系 (1)注意：若p，则q，不能写作“p?q”，因为前者真假未知，而“p?q”是说“若p，则q”是一个真命题． (2)原命题与其逆否命题等价，原命题的逆命题与原命题的否命题也等价．从而四种命题中有两对同真同假． (3)互逆或互否的两个命题不等价，其真假没有联系． [例3] 写出下列各命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判定其真假： (1)?n∈N，若n是完全平方数，则∈N； (2)?a，b∈R，如果a＝b，则a2＝ab； (3)如果x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0； (4)如果a，b都是奇数，则ab必是奇数． (5)对于平面向量a，b，c，若a·b＝a·c，则b＝c. [解析](1)逆命题：?n∈N，若n∈N，则n是完全平方数．(真) 否命题：?n∈N，若n不是完全平方数，则n?N.(真) 逆否命题：?n∈N，若n?N，则n不是完全平方数．(真) (2)逆命题：?a，b∈R，若a2＝ab，则a＝b.(假) 否命题：?a，b∈R，若a≠b，则a2≠ab.(假) 逆否命题：?a，b∈R，若a2≠ab，则a≠b.(真) 2019-2020学年上学期 高二数学备课组工作计划 高二数学备课组 2019-9 一、指导思想 解决实施新高考授课过程中所遇到的教学实际问题作为学科教研的核心，尤其应围绕教学观念的更新、教学内容的变革、教学方法的改造和教学效率的提升，开展具体而深入的教学研究。力争在实施新高考的过程中探索出一条适合我校实际的方案，使实施新高考工作走在全县的前列。 二、教学目标 县、市统考优秀率、平均分力争缩小与五莲县第一中学的差距，平均分差努力缩小到10分以内。 二、教学、教研任务 教学：学习必修五二、三章，选修2-1、选修2-2第三章，内容多，任务重。 教研：本学期着重研究新高考形式的教学方法，讨论实践怎样在新高考形式实施诱思探究教学法，要切实转变教学观念，改进教学方法和学生的学习方法。 三、教学措施 积极做好集体备课工作，达到内容统一、进度统一、目标统一、例题统一、习题统一、资料统一，处理好课本与资料的关系，用好用巧；上好每一节课，及时对学生的思想进行观察与指导，避免课堂教学“一言堂”现象，要注重课堂教学的精讲多练，注重对学生思维能力的培养；课后进行有效的辅导，抓好周练，要求周练围绕上一周所授内容命题，题量适中，难易适当，针对性强，注重基础知识与方法的反馈训练，进行有效的课堂反思；培养学生自学能力，主要是对解题方法的点拨，解题思路的引导，让学生自己学会抓住题目已知条件的关键点，寻找解题的突破口；培养尖子生，复习过程中要选准苗子，培养他们良好的学习品质和学习习惯，培养他们较强的自学能力和应试能力，以及稳定的心理素质和良好的心态。对尖子生每次考试的试卷作好分析与针对性讲评。 1、激发学生的学习兴趣。由数学活动、故事、吸引人的课、合理的要求、师生谈话等途径树立学生的学习信心，提高学习兴趣，在主观作用下上升和进步。 2、注意从实例出发，从感性提高到理性；注意运用对比的方法，反复比较相近的概念；注意结合直观图形，说明抽象的知识；注意从已有的知识出发，启发学生思考。 3、加强培养学生的逻辑思维能力就解决实际问题的能力，以及培养提高学生的自学能力，养成善于分析问题的习惯，进行辨证唯物主义教育。 4、抓住公式的推导和内在联系；加强复习检查工作；抓住典型例题的分析，讲清(完整版)常用逻辑用语知识点,推荐文档
常用逻辑用语测试题
集合与常用逻辑用语练习测试题.doc
专题34 常用逻辑用语-高中数学经典错题深度剖析及针对训练 含解析 精品
常用逻辑用语测试题(含答案)
数模-化验结果判别及matlab程序
高中数学经典错因正解汇总：第一章集合与常用逻辑用语
matlab
集合与常用逻辑用语,函数知识总结大全
常用逻辑用语典型例题
2019-2020高二数学上学期工作计划
相关主题
文本预览