第二篇 数学物理方程
——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法
Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；
2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件
(自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题；
3、方程齐次化；
４、数理方程的线性导致解的叠加。
一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）
1、来源
I ．质点力学：牛顿第二定律F mr = 连续体力学2222()(,)(,)0(()0;v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ?????-?=?????????+??=????-?+??=+=?????
弹性定律弦弹性体力学
杆 振动：波动方程);膜流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程
;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+??=-?=?????????
???????????d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。
III. 热力学统计物理
220;0.T k T t D t ρρ??-?=??????-?=???
热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV. 量子力学的薛定谔方程：
22.2u i u Vu t m
?=-?+?
稳态方程 Laplace equation 20u ?= 椭圆型
二、数理方程的导出
推导泛定方程的原则性步骤：
（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知
函数的自变量。
（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”
---“无理取闹”（物理趣乐）。
（3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽略---线性化。 （4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。
（5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。
Chapter 7 一维波动方程的傅里叶解
第一节 一维波动方程-弦振动方程的建立
弦横振动方程的建立
（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）
（1）定变量：取弦的平衡位置为x 轴。表征振动的物理量为各点的横向位移),(t x u ，从而速度为t u ，加速度为tt u .
（2）立假设：①弦振动是微小的，1<<α，因此，sin tan ααα≈≈，1cos ≈α，又
tan u x αα?=≈?，1<
u ；②弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力),(t x T 始终是沿弦的切向(等价于弦上相互间有小的
弹簧相连)；③所有外力都垂直于x 轴，外力线密度为),(t x F ；④设弦的线密度（细长）为),(t x ρ，重力不计。
（3）取局部：在点x 处取弦段d x ,d x 是如此之小,以至可以把它看成质点(微元)。
质量微元：x t x d ),(ρ；微弧长：x x x u u x s d d 1d d d 2
22≈??? ????+=+=（即这一小段的长度在振动过程中可以认为是不变的，因此它的密度()t x ,ρ不随时间变化，另外根据Hooke 定律F k x δδ=-可知，张力),(t x T 也不随时间变化，我们把它们分别记为()x ρ和)(x T .
（4）找作用：找出弦段所受的力。
外力：x t x F d ),(，垂直于x 轴方向；
张力变化：()()d cos |cos |(d )()x x x T T T x x T x αα+-=+-,x 方向紧绷，
()()()()()d d sin |sin |||d x x x x x x x x x x T T Tu Tu Tu x αα++-=-=,垂直于x 轴方向。
（5）列方程：根据牛顿第二定律
0)()d (=-+x T x x T ，因x 方向无位移，故T x T x x T ==+)()d (.
()x Tu x t x F x Tu x t x F xu x xx x x tt d d ),(d d ),(d )(+=+=ρ 即，),(t x f u T
u xx tt =-ρ，其中ρ)
,(),(t x F t x f =是单位质量所受外力。
如果弦是均匀的，即ρ为常数，则可写ρT a =
为弦振动的传播速度，
自由振动(0f ≡): 20tt xx u a u -=(齐次方程)。 小结1：对于弦的横振动、杆的纵振动方程（一根弹性均匀细杆的微小振动问题）、薄膜的横振动方程（张紧的柔软膜的微小振动问题），在不受外力情况下，其振动的微分方程为：
22tt u a u =?（齐次方程）
其中a 为振动的传播的速度。当单位质量所受外力为f 时，其振动微分方程为：
22tt u a u f =?+（非齐次方程）
定解问题
第一节从物理问题和相应的物理定律导出了其所满足的偏微分方程，但总是选择物体内
部，不含端点或边界，对一小部分来讨论其运动状况，仅反映了物体内部各部分之间的相互联系，且在区域内部相邻之间、相继时刻之间的这种联系（规律）通常与周围环境（边界上）和初始时刻对象（体系）所处的状态无关。
仅有方程还不足以确定物体的运动，因为外界的作用通常是通过物体边界“传”到内部的；一个方程可能有多个解，通解中含若干任意常数（函数），初始条件和边界条件就是确定它们的条件。
求一个微分方程的解满足一定初始条件和边界条件的问题称为定解问题：
泛定方程& ???????
初始条件边界条件定解条件衔接条件
自然条件。 1. 初始条件
00(,)()(,)().
t t t u x t x u x t x ?ψ==?=??=??，即已知初位移)(x ?和初速度)(x ψ 2. 边界条件
i. 第一类边界条件-狄利克雷条件（Dirichlet 边界条件）：直接给出了
未知函数在边界上的值。
ii. 第二类边界条件-诺依曼条件（Neumann 边界条件）：给出未知函数在
边界上法向导数的值。
自由端点边界（端点不受外力，自由振动，意味着弦张力在振动方向无
分量）属于此类，边界条件为(0,)0(,)0或x x u t u l t ==
iii. 第三类边界条件-罗宾条件：给出未知函数和其边界法向导数在边界
上的线性关系。
弹性支撑边界（端点受到弹簧的约束而无外力）属于此类，边界条件为：
(,)(,)000x u t hu t -=
Note ：初始条件和边界条件是场运动规律的极限。
例1．对弦的横振动问题导出下列情况的定解条件：弦的两端点0=x 和l x =固定，用手将弦上的点(0)x c c l =<<拉开使之与平衡位置的偏离为h （l h <<），然后放手。
解：两端固定，所以边界条件为：(0,)0,(,)0u t u l t ==
由点c x =的初始位移求出其他点的初始位移，它们是两段直线方程，容易求得：
(0)(,0)()() ()h x x c c u x x h l x c x l l c ??≤≤??==??-≤≤?-?
， ， 显然，初速度为零：(,0)0t u x =
第二节 齐次方程混合问题的傅里叶解
——分离变量法 本征值问题
Abstract ：求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变换法、变分法、复变函数论等，这些方法各有千秋。分离变量法普遍适用，在其使用条件下，自然导致了问题的核心—本征值问题。
求解常微分方程：一般先求通解，再用初始/边界条件定其参数；求解偏微分方程，即使求得通解，亦难于由定解条件来定解（含任意函数）—本征值问题可解决此类问题。
利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题
分离变量法：把二元函数(,)u x t 表示为两个一元函数相乘(,)()()u x t X x T t =?；然后带入函数的二阶偏微分齐次方程20tt xx u a u -=，把偏微分方程化为两个常微分方程；把偏微分方程的边界条件转化为常微分方程的边界条件。
题型I ：方程和边界条件都是齐次的，而初始条件是非齐次的。
例题1：下面以两端固定弦的自由振动为例(第一类齐次边界条件):
()20000 0,0; 0,(); ().
tt xx x x l t t t u a u x l u u u x u x ?ψ====?-=<
第一步, 分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。 设)()(),(t T x X t x u =[取此特解形式，可得驻波解：()T t 是振荡函数，而与x 无关，()X x 是幅度函数，与t 无关],将此)()(),(t T x X t x u =代入泛定方程，即得
2()()()().X x T t a X x T t ''''=
等式两端除以)()(2t T x X a ，就有)
()()()(2x X x X t T a t T ''=''. 注意在这个等式中，左端只是t 的函数，与x 无关，而右端只是x 的函数，与t 无关。因此，左端和右端相等，就必须共同等于一个既与x 无关、又与t 无关的常数。令这个常数为λ-(参数)，即，λ-=''='')
()()()(2x X x X t T a t T . 由此得到两个常微分方程：
0)()(2=+''t T a t T λ （）
0)()(=+''x X x X λ （）
第二步，将(,)u x t 原来的边界条件转化为()X x 的边界条件。
将此(,)()()u x t X x T t =代入边界条件，得0)()0(=t T X ，0)()(=t T l X ，转化为()X x 的边界条件：
0)0(=X ，0)(=l X [因为)(t T 不可能恒为0，否则),(t x u 恒为0] （）
这样就完成了分离变量法求解偏微分方程定解（亦定界）问题的前两步：分离变量。在这两步中，假设所要求的是变量分离形式的非零解)()(),(t T x X t x u =，导出了函数)(x X 应该满足的常微分方程和边界条件，以及)(t T 所满足的常微分方程。分离变量之所以能够实现，是因为原来的偏微分方程和边界条件都是齐次的（可分离变量）。
第三步,求解本征值问题
上面得到的函数)(x X 的常微分方程定解问题，称为本征值问题。其特点是：常微分方程0)()(=+''x X x X λ中含有一个待定常数λ，而定解条件0)0(=X ，0)(=l X 是一对齐次边界条件。这样的定解问题不同于我们过去熟悉的常微分方程的初值问题。下面将看到，并非对于任何λ值，都有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解。只有当λ取某些特定值时，才有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解)(x X .λ的这些特定值称为本征值(eigenvalue)，相应的非零解称为本征函数(eigenfunction).
通过讨论分析得出只有0>λ时，方程（）的解才有意义。因此，0>λ时解（）式得，
()sin X x A B =+.
将这个通解代入边界条件（），就有
0;sin 0.A A B =???+=??
即0;0.
A B =???=?? A 和B 不能同时为0，否则)(x X 恒为零，),(t x u 恒为0（平凡解，虽然零解无物理意义，但至少说明数学上可能行得通），因此只能是，
0sin =l λ，即πλn l = () ,3,2,1=n .
于是，λ只能取如下的一系列值：2??
? ??=l n n πλ () ,3,2,1=n ；相应的本征函数就是：x l
n x X n πsin )(= 这里取1B =，因为我们所要求的必然只是线性无关解。不同的B 值给出的是线性相关的。由于同样的原因，我们也不必考虑n 为负整数的情形。这样求得的本征值有无穷多个，他们可以用正整数n 标记，因此，我们把本征值和本征函数分别记为n λ和)(x X n .
第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：
对于每一个本征值n λ，由0)()(2
=+''t T a t T λ（）解出相应的)(t T n : ()cos sin n n n n n T t C at D at l l
ππ=+. 因此，也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:
(,)cos sin sin n n n n n n u x t C at D at x l l l πππ??=+ ???
() ,3,2,1=n . 这样的特解有无穷多个() ,3,2,1=n 。每一个特解都同时满足齐次偏微分方程和齐次边界条件。它们是一系列的驻波。但是，一般来说，单独任何一个特解都不能满足定解问题中的初始条件。然而，由于偏微分方程和边界条件都是齐次的，把它们的特解线性叠加起来，即
1(,)cos sin sin n n n n n n u x t C at D at x l l l πππ∞
=??=+ ???∑. 这样得到的),(t x u 也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解（当然要求此级数收敛且可以逐项求二阶偏导，即求和和求导可以交换次序）。这种形式的解称为一般解。
现在根据初始条件中的已知函数)(x ?和)(x ψ定出叠加系数n C 和n D .将上面的一般解代入初始条件，得
11()sin , (7.4)()sin . (7.5)n n n n n x C x l n a n x D x l l π?ππψ∞=∞=?=???=∑∑???
注：)(x ?是已知函数而非任意函数().x ?(,)u x t 既要满足方程又要满足条件。(,)n u x t 由()n X x 构成，)(x ?亦由()n X x 构成。初、边条件仅是其内部规律的极限。
第五步,利用本征函数的正交性确定叠加系数： 设x l n x X n πsin )(=和x l
m x X m πsin )(=是分别对应本征值n λ和m λ的两个本征函数，m n λλ≠（即m n ≠）. 显然，它们分别满足
()()0,n
n n X x X x λ''+= （） 0)0(=n X ，()0.n X l = （）
和 ()()0,m
m m X x X x λ''+= （） 0)0(=m X ，()0.m X l = （）
用)(x X m 乘以，用)(x X n 乘以，相减并在区间[]l ,0上积分，即得
()[][]000
()()d ()()()()d ()()()()0,l l n m n m n m
m n l n m m n X x X x x X x X x X x X x x X x X x X x X x λλ''''-=-''=-=??
其中利用了)(x X n 和)(x X m 所满足的边界条件（）和（）.
考虑到m n λλ≠，因此，就证得本征函数的正交性:
进一步计算还可以得到本征函数的模方:
因此，在式两端同乘以x l m x X m πsin
)(=，并逐项积分，就得到 001
01()sin d sin sin d sin
sin d .2l l n n l n m n m x n x m x x x C x l l l n x m x l C x C l l πππ?ππ∞=∞====∑??∑? 所以，02()sin d l n n x C x x l l
πφ=?. 同样可以得到，02()sin d l n n x D x x n a l
πψπ=?.（实为傅里叶级数的奇延拓） 这样，根据初始条件中的已知函数)(x ?和)(x ψ，计算出积分，就可以得到叠加系数n C 和n D ，从而就求得了整个定解问题的解。
Step 6,解的物理解释
先观察特解：
()(,)cos sin sin sin sin ,n n n n n n n n n n u x t C at D at x N t k x l l l πππωδ??=+=+ ???
其中，l a n n πω=，l
n k n π=，cos n n n N C δ=，sin n n n N D δ=.因此，),(t x u n 代表一个驻波，sin n n N k x 表示线上各点的振幅分布，()n n t δω+sin 表示点谐振动。n ω是驻波的圆频率，称为两端固定弦的固有频率或本征频率，与初始条件无关；n k 称为波数，是单位长度上波的个数；n δ称为位相，由初始条件决定。在πm x k n =，即()n m l n m k m x n ,,2,1,0 , ===π的各点上，振动的幅度恒为0，称为波节。包括弦的两个端点在内，波节点共有1+n 个。在π??? ??
+=21m x k n ，即
()()1,,2,1,0 ,212212-=+=+=n m n l m k m x n π的各点上，振幅的绝对值恒为最大，称为波腹。波腹共有n 个。整个问题的解则是这些驻波的迭加。正是因为这个原因，这种解法也称为驻波法(a generized method of the separation variables).
就两端固定弦来说，固有频率中有一个最小值，即l a
πω=1，称为基频。其它固有频率
都是它的整数倍，称为倍频。弦的基频决定了所发声音的音调。在弦乐器中，当弦的质料一定（即ρ一定）时，通过改变弦的绷紧程度（即改变张力T 的大小），就可以调节基频1ω
的大小。基频和倍频的迭加系数{}n C 和{}n D 的相对大小决定了声音的频谱分布，即决定了声音的音色。
小结2：对于弦振动的齐次方程和第一类齐次边界条件的混合问题，即：
()20000 0,0; 0,(); ().
tt xx x x l t t t u a u x l u u u x u x ?ψ====?-=<
它的解是：
1(,)cos sin sin n n n n n n u x t C at D at x l l l πππ∞
=??=+ ???∑ 其中：
02()sin d l n n x C x x l l
πφ=? 02()sin d l n n x D x x n a l
πψπ=? 习题七的1-6题属于例题1类型。
例题2，弦振动的齐次边界条件中存在第二类边界条件，如：
()20000 0,0; 0,(); ().
tt xx x x x l t t t u a u x l u u u x u x ?ψ====?-=<
第一步，分离变量，将偏微分方程转化为两个常微分方程。
令(,)()()u x t X x T t =，并代入泛定方程，即得
2()()()()X x T t a X x T t ''''=
等式两端同时除以()()X x T t ，就有
2()()()()
X x T t X x a T t λ''''==-. 由此得到两个常微分方程：
()()0,X x X x λ''+=
2()()0.T t a T t λ''+=
第二步，将原函数的边界条件化为分离变量后函数的边界条件。
将(,)()()u x t X x T t =代入关于x 的一对齐次边界条件，得
(0)()0X T t '=，()()0X l T t =
得X 的边界条件为：
(0)0X '=，()0X l =
第三步，解()X x 本征值问题。
这样，我们得到本征值问题:
0)()(=+''x X x X λ, (0)0X '=，()0X l =.
0>λ才有解.
解得：()X x A B =+.
得到：()X x '=+
代入边界条件，就有
0;0.B A B =???+=??
即0;0.
B A =???=?? A 和B 不能同时为0，否则)(x X 恒为零，因而),(t x u 恒为0（平凡解）
。因此只能是0=
1()2
n π=+ () ,3,2,1,0=n . 于是，λ只能取如下的一系列值：2
1()2n n l πλ??=+???
?() ,3,2,1,0=n ; 相应的本征函数就是： 1()cos[()]2n X x n x l
π=+. 第四步，解()T t 的微分方程，得到(,)u x t 的特解(,)n u x y ，叠加得出一般解。 对于每一个本征值n λ，可以求出相应的()n T t :
11()cos[()]sin[()].22n n n a a T t C n t D n t l l
ππ=+++ 因此，也就得到了满足边界条件的特解:
111(,)cos[()]sin[()]cos[()].222n n n a a u x t C n t D n t n x l l l πππ??=++++???
? 把这些特解叠加起来，就得到一般解:
0111(,)cos[()]sin[()]cos[()].222n n n a a u x t C n t D n t n x l l l πππ∞
=??=++++????∑. 第五步，由本征函数的正交归一性，得到系数，确定解。
将上面的一般解代入初始条件，根据本征函数的正交性得系数为：
021()cos[()]d ,2l n C x n x x l l π?=
+? 041()cos[()]d (21)2l n x D x n x n a l
πψπ=++?
例题3，弦振动的齐次方程和齐次第一类、第二类边界条件
()20000 0,0; 0,(); ().
tt xx x x x l t t t u a u x l u u u x u x ?ψ====?-=<
第一步，分离变量，将偏微分方程转化为两个常微分方程。
令(,)()()u x t X x T t =，并代入泛定方程，即得
2()()()()X x T t a X x T t ''''=
等式两端同时除以()()X x T t ，就有
2()()()()
X x T t X x a T t λ''''==-. 由此得到两个常微分方程：
()()0,X x X x λ''+=
2()()0.T t a T t λ''+=
第二步，将原函数的边界条件化为分离变量后函数的边界条件。
将(,)()()u x t X x T t =代入关于x 的一对齐次边界条件，得
(0)()0X T t =，()()0X l T t '=，这时也可以分离变量，得X 的边界条件为：
(0)0X =，()0X l '=.
第三步，解()X x 本征值问题。
这样，我们得到本征值问题:
0)()(=+''x X x X λ, (0)0X =，()0X l '=.
0>λ才有解.
解得：()X x A B =+.
得到：()X x '=+
以上两式代入边界条件，就有
0;0.A =???-+=??
即0;0.
A B =???=?? A 和B 不能同时为0，否则)(x X 恒为零，因而),(t x u 恒为0（平凡解）
。因此只能是0=
1()2
n π=+ () ,3,2,1,0=n . 于是，λ只能取如下的一系列值：2
1()2n n l πλ??=+???
?() ,3,2,1,0=n ; 相应的本征函数就是： 1()sin[()]2n X x n x l
π=+. 第四步，解()T t 的微分方程，得到(,)u x t 的特解(,)n u x y ，叠加得出一般解。 对于每一个本征值n λ，可以求出相应的()n T t :
11()cos[()]sin[()].22n n n a a T t C n t D n t l l
ππ=+++ 因此，也就得到了满足边界条件的特解:
111(,)cos[()]sin[()]sin[()].222n n n a a u x t C n t D n t n x l l l πππ??=++++???
? 把这些特解叠加起来，就得到一般解:
0111(,)cos[()]sin[()]sin[()].222n n n a a u x t C n t D n t n x l l l πππ∞
=??=++++????∑
第五步，由本征函数的正交归一性，得到系数，确定解。
将上面的一般解代入初始条件，根据本征函数的正交性得系数为：
021()sin[()]d ,2l n C x n x x l l π?=
+? 041()sin[()]d (21)2l n x D x n x n a l
πψπ=++?
小结3：对于弦的自由振动，针对齐次边界条件中存在第二类边界条件的两类例题：
例题2()20000 0,0; 0,(); ().
tt xx x x x l t t t u a u x l u u u x u x ?ψ====?-=<
0111(,)cos[()]sin[()]cos[()].222n n n a a u x t C n t D n t n x l l l πππ∞
=??=++++????∑ 其中
021()cos[()]d ,2l n C x n x x l l π?=
+? 041()cos[()]d (21)2l n x D x n x n a l
πψπ=
++? 例题3()20000 0,0; 0,(); ().
tt xx x x x l t t t u a u x l u u u x u x ?ψ====?-=<
0111(,)cos[()]sin[()]sin[()].222n n n a a u x t C n t D n t n x l l l πππ∞
=??=++++????∑ 其中
021()sin[()]d ,2l n C x n x x l l
π?=+?
041()sin[()]d (21)2l n x D x n x n a l
πψπ=++? 习题七的13题属于例题2类型。
题型II ：方程为齐次，边界条件为非齐次。
以习题10为例：求解长为l 的弦的振动问题
()20000 0, (1); 0, (2)0; 0. (3)
tt xx x x l t t t u a u x l u E u u u ====?-=≤≤??==??==?? 注意边界条件，边界条件为非齐次，直接用分离变量法无法求出解，所以需将非齐次边界条件处理成齐次边界条件，再用分离变量法。
解题方法：用辅助函数法，把非齐次边界条件转化为齐次边界条件。令函数(,)(,)(,)u x t V x t s x t =+，其中(,)s x t 为已知函数。已知函数(,)s x t 的选取条件是：必须能够使得(,)V x t 满足齐次边界条件的混合问题，即：
()20 0,(0,)0;(,)0,
tt xx V a V x l V t V l t ?-=≤≤??==?? 解：第一步，找出已知函数
令
()(,)(,)l x u x t V x t E l
-=+ （4） 第二步，把上式带入(,)u x t 的混合问题，转化为(,)V x t 的齐次边界条件的混合问题。
把公式（4）带入公式（1）得：
2tt xx V a V = （5）
将公式（2）带入公式（4）得：
(0,)0;(,)0V t V l t == （6）
将公式（3）带入公式（4）得：
()(,0)x l V x E l
-= （7） (,0)0t V x = （8）
这样，函数(,)V x t 满足的混合问题为：
()20 0,(0,)0;(,)0,
()(,0)();(,0)()0 tt xx t V a V x l V t V l t x l V x x E V x x l ?ψ??-=≤≤?==??-?====?
第三步，解关于(,)V x t 的混合问题。
(,)V x t 的混合问题为例题1，所以(,)V x t 解为
1(,)cos sin sin n n n n n n V x t C at D at x l l l πππ∞
=??=+ ???∑ 其中：
0022()()sin d sin d l l n n x E x l n x C x x x l l l l l
ππφ-==?? 02()sin d 0l n n x D x x n a l
πψπ==? 第四步，写出原方程的解。 由()(,)(,)l x u x t V x t E l -=+
得： 1()(,)cos sin sin n n n l x n n n u x t E C at D at x l l l l πππ∞=-??=++ ??
?∑
习题七第12题：
()20002 0 (1)0; 0 (2)(); () (3)
tt xx t x x l t t t u a u hu x l u u u x u x ?ψ====?=-<
分析：泛定方程（1）式除了u ，不存在第二个函数项，所示是齐次微分方程，（2）式为边界条件而且是齐次的，所以该题可以用分离变量法。
解：第一步，分离变量，将偏微分方程转化为两个常微分方程。
令
(,)()()u x t X x T t = （4）
将（4）式代入方程（1），即得
2()()()()2()()X x T t a X x T t hX x T t '''''=-
等式两端同时除以()()X x T t ，把关于x 和t 的函数分移至等号两边，有
2()()2() (0)()()
X x T t hT t X x a T t λλ'''''+==->. 由此得到两个常微分方程：
()()0X x X x λ''+= （5）
2()2()()0T t hT t a T t λ'''++= （6）
第二步，将原函数的边界条件化为分离变量后函数的边界条件。
将(,)()()u x t X x T t =代入关于x 的一对齐次边界条件（2）式，得
(0)()0X T t =，()()0X l T t =，这时也可以分离变量，得X 函数的边界条件为：
(0)0X =，()0X l = （7）
第三步，解()X x 本征值问题。
这样，我们得到本征值问题:
0)()(=+''x X x X λ, (0)0X =，()0X l =.
解得：()sin X x A B =+.
代入边界条件，就有
0;0.A A B =???+=??
即0;0.
A B =???=?? A 和B 不能同时为0，否则)(x X 恒为零，因而),(t x u 恒为0（平凡解）
。因此只能是0=
n π= ()1,2,3,
n =. 于是，λ只能取如下的一系列值：2(
)n n l πλ=()1,2,3,n =;
相应的本征函数就是： ()sin()n n X x x l
π= （8） 第四步，解()T t 的微分方程，得到(,)u x t 的特解(,)n u x y ，叠加得出一般解。
解（6）式：2()2()()0T t hT t a T t λ'''++=
（6）式的特征函数为22
20r hr a λ++=，其特征根为：
r h =-±因此（6）式解为：
((()()h t h t ht T t C e D e e C D -+---''=+=+ 对于每一个本征值n λ，相应的()n T t
:
(){cos[sin[ht n n n T t e C D -=+ 因此，也就得到了满足边界条件的特解
:
(,){cos[sin[]}sin()ht n n n n u x t e C D x l
π-=+ 把这些特解叠加起来，就得到一般解
:
1(,){cos[sin[]}sin()ht n n n n u x t e C D x l
π∞-==+∑ （9） 第五步，由本征函数的正交性，得到系数，确定解。
将初始条件(,0)()u x x ?=代入上面的一般解，得：
1(,0)sin(
)()n n n u x C x x l
π?∞===∑ 根据本征函数sin()n x l
π的正交性得系数为： 02()sin()d l n n C x x x l l
π?=? （10） （9）式对t 求导为：
11(,){cos[sin[]}sin(){)ht t n n n ht n n u x t he C D x l n e C D x l ππ∞
-=∞-==-++-+∑∑ 将初始条件(,0)()t u x x ψ=带入上求导式，得
11(,0)sin()sin()()t n n n n n u x hC x D x x l l ππψ∞
∞===-+=∑∑
根据本征函数sin()n x l
π的正交性，得：
0()sin()d 2l n n l n hC D x x x l
πψ-+=? 把（10）式带入，得到
00()sin()d ()sin()d l l n n n D x x x x x x l l
ππ?ψ=?（11） 该题的解为（9）式，（10）式和（11）式为（9）式中的系数。
第四节 非齐次振动方程求解
前面所讨论的问题中的偏微分方程都是齐次的，现在来讨论非齐次偏微分方程的解法。为方便起见，以长为l 两端固定的弦的强迫振动为例，所用方法对其它类型的方程也适合。即考虑定解问题
()()22222000(,)(0,0),(4.1)0,0(0),(4.2),(0).(4.3)
x x l t t u u a f x t x l t t x u u t u u x x x l t ?ψ====???=+<<>?????==>????==<
由上节例题1可知：两端固定的弦的自由振动在弦上形成驻波形式，其本征值为2()n n l πλ=，本征函数为sin n x l
π。则该弦在强迫力(,)f x t 作用下仍作类似该驻波形式的振动，因此，直接利用本征函数来求解。
第一步，将上述定解问题中未知函数(,)u x t 、已知函数(,)f x t 、()x ?和()x ψ都展开成本征函数sin n x l
π的级数形式。令 1(,)()sin
n n n u x t T t x l
π∞==∑ （） 1(,)()sin
n n n f x t f t x l
π∞==∑ （） 1
()sin
n n n x x l π??∞==∑ （） 1
()sin
n n n x x l πψψ∞==∑ （） 由本征函数的正交性可知：
第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 1.直线的倾斜角： 2.直线的斜率： 3.直线的斜率公式： 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角 例 1 已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（）. A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 变式训练： 设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕原点沿逆时针方向旋转45°， 得到直线，则的倾斜角为（）。 A. B. C. D. 当0°≤α＜135°时为，当135°≤α＜180°时，为 题型二求直线的斜率 例2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练：已知过两点, 的直线l的倾斜角为45°，求实数的值. 题型三直线的倾斜角与斜率的关系 例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）. A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2
拓展一三点共线问题 例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 变式训练: 若三点P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（）. A． B． C． D． 拓展二与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围. 变式训练： 已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围.
拓展三利用斜率求最值 例 6 已知实数、满足当2≤≤3时，求的最大值与最小值。 变式训练：利用斜率公式证明不等式：且 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 1.直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x轴和y轴的两直线）： 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例 1 已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？ 变式训练：经过点和的直线平行于斜率等于1的直线，则的值是（）. A．4 B．1 C．1或3 D．1或4
第三章 直线与方程 ３.1 直线的倾斜角与斜率 3.１．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 １.直线的倾斜角: ２.直线的斜率: 3.直线的斜率公式: 【典型例题】 题型 一 求直线的倾斜角 例 １ 已知直线l 的斜率的绝对值等于3,则直线的倾斜角为（ ). Ａ. 6０° B ． ３０° Ｃ. 60°或120° D. ３0°或１50° 变式训练： 设直线l 过原点,其倾斜角为α,将直线l 绕原点沿逆时针方向旋转4５°,得到直线1l ,则 1l 的倾斜角为( ）。 A. 45α+? B ． 135α-? C. 135α?- Ｄ. 当0°≤α＜1３5°时为45α+?,当１3５°≤α＜1８0°时,为135α-? 题型 二 求直线的斜率 例 ２如图所示菱形ＡBCD 中∠BAD =6０°，求菱形A ＢＣD 各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练： 已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°,求实数m 的值. 题型 三 直线的倾斜角与斜率的关系 例３右图中的直线l １、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则( ）. A .k 1＜k 2<ｋ3? Ｂ． ｋ3 变式训练: 若三点P (2，3)，Q （3,a ),R (4，b )共线,那么下列成立的是（ ）. A ．4,5a b == B.1b a -= C.23a b -= D.23a b -= 拓展 二 与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- ３) , B (3, 0) ,过点Ｐ （-1， ２）的直线l 与线段AB 始终有公共点,求直线l 的斜率k 的取值范围. 变式训练: 已知(2,3),(3,2)A B ---两点,直线l 过定点(1,1)P 且与线段ＡＢ相交,求直线l 的斜率k 的取值范围. 拓展 三 利用斜率求最值 例 6 已知实数x 、y 满足28,x y +=当2≤x ≤3时，求y x 的最大值与最小值。 变式训练： 利用斜率公式证明不等式:(0a m a a b b m b +><<+且0)m > 3.1.２ 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 精品文档 #include "stdafx.h" #include 直线与方程 知识点复习： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0 考点1：倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 例1例1. 若θ为三角形中最大内角，则直线0tan :=++m y x l θ的倾斜角的范围是（ ） A.??? ?????? ??32,22,0πππ B.??? ?????? ??32223ππππ，， C.??? ?????? ??πππ，，330 D.?? ? ?????? ??πππ，，3220 2 若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．,63ππ?????? B ．,62ππ?? ??? C ．,32ππ?? ??? D ．,62ππ?????? （二）直线的斜率及应用 3、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 例2、设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++= 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为（） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 3．已知直线l 则直线的倾斜角为（ ） A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 4．若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是（ ）. A ．4,5a b == B ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -= 5．右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）. A .k 1＜k 2＜k 3 B. k 3＜k 1＜k 2 C. k 3＜k 2＜k 1 D. k 1＜k 3＜k 2 6．已知两点A (x ，－2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝ . 7．若A (1，2)，B (-2，3)，C (4，y )在同一条直线上，则y 的值是 . 8．已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围. 9、直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________． 考点2：求直线的方程 例3. 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程； (2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 1、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。 2、设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是（ ）A. x ＋y －5＝0 B. 2x －y －1＝0 C. 2y －x －4＝0 D. 2x ＋y －7＝0 3、直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线方程为________． 4、过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_____________． 5、已知点A (2，－3)是直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0与直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点，则经过两个不同点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x －3y ＋1＝0 B ．3x －2y ＋1＝0 C ．2x －3y －1＝0 D ．3x －2y －1＝0 6、.过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)的距离相等的直线方程是( ) A ．y ＝1 B ．2x ＋y －1＝0 C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0 7.如图，过点P （2，1）作直线l ，分别为交x 、y 轴正半轴于A 、B 两点。（1）当⊿AOB 波动方程正演模型的研究与应用 郑鸿明* 娄 兵 蒋 立 （新疆油田公司勘探开发研究院地物所） 摘要野外采集的地震数据是经过大地滤波后的畸变信号，处理的地震剖面只是间接地反映了地下构造和地质体的特征，虽然目前有很多方法和手段可以分析并提取相关的地质信息，但由于处理对波场的改造和噪声的存在以及方法本身的多解性问题降低了识别地质信息的可靠性。处理中每一步对有效信息的影响有多大，对地震属性解释的影响有多大，没有一个定量的标准，只能凭经验和认识来定性地判断。正演模型在弹性波理论指导下，遵循严格的数学公式，可以最佳模拟地下各种情况。各种处理方法和不同的处理流程所得到的结果能否符合或最佳逼近波动方程建立的数学模型，正演模型是判断处理工作合理性的良好准则。 主题词地质模型波动方程正演模型地震响应模块测试 1 引 言 随着地震勘探的不断深入，地震勘探也由构造型油气藏勘探进入精细的岩性勘探阶段，要求地震勘探能够反映地下地质体岩性变化，以及识别含油、气、水的地震响应特征，分辨薄互层、低幅度构造的能力。地球物理学家们在长期的实践中已经研究开发了很多相关的技术，虽然理论上这些方法都能够成立，这些技术应用成功的实例也很多，但也不乏有失败的教训，往往产生多解性，或与钻探的结论不符。这里除了复杂地表和复杂地下构造形成的复杂地震波场而不满足建立在简单地质模型处理理论的因素外，与处理过程对地震波场的改造也有很大关系。从地震数据的采集到最终处理的地震剖面，整个过程是一个系统工程，地下地质结构、地质体的岩性变化以及含流体的性质，对处理人员来说是看不见、摸不着的“黑匣子”，我们所看到的只是经过大地滤波后产生畸变的地震波场，如何从这个畸变的地震波场中去伪存真、恢复真实的构造形态、提取储层的相关地震属性信息，这是岩性处理的最终目标。处理中的每一步环环相扣、相互影响、相互制约，而我们对处理中的每一步产生的中间结果所应达到的标准只是凭经验、感觉进行定性判定，加入了很多人为因素，这些因素或多或少影响着我们对解释成果的正确认识。另外，处理技术发展很快，相应的地震处理软件越来越多，应用这些模块之前对各模块所起的作用以及它们所产生的结果都需要有一个定量的认识，以及验证处理流程的合理性是当前迫切需要解决的问题。究竟什么样的结果满足岩性解释的要求、什么样的结果反映的是真正地下地质体的响应、什么样的处理方法满足保振幅处理和地震属性分析的应用等等一系列问题，这都是当前岩性处理中迫切需要解决的主要问题。它直接关联着处理成果的真伪及后续解释的可靠性，关联着勘探的投资风险。 随着计算机运算能力发展迅猛，特别是微机群的出现，为波动方程算法提供了硬件环境，开展此项技术的研究与应用已成为可能。此次模型的设计全面考虑了地表和地下的典型地质特征并将这些特征容入到模型中，真实模拟了实际地质结构。应用该地质模型正演叠前炮集的地震响应。 2 模型的建立 模型分物理模型和数学模型两种，目前的物理模型只能做非常简单的模拟，只有用数学模型才能模拟各种复杂的地质现象。20世纪70年代，美国哥伦比亚大学在郭宗汾 波函数和薛定谔方程-力学量算符 1．一维运动的粒子处在 的状态，其中，求： （1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。 [解]首先将归一化，求归一化系数A。 （1）动量的几率分布函数是 注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有 令 代入上式得 （2） 动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论： ①一维的傅里叶变换的系数是而不是。 ②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时， 即相当于的情况，变换式的形式保持不变。 ③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。 2．设在时，粒子的状态为 求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。 [解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照 求平均值。 在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取 ，而，粒子动量的平均值为 A可由归一化条件确定 故 粒子动能的平均值为 。 方法二：直接积分法 根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有 而 则有及。 讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。 ②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展开，即 这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分，得到函数。 ③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函数讲 授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。 3．一维谐振子处在 的状态，求： （1）势能的平均值； （2）动量的几率分布函数； （3）动能的平均值 [解]先检验是否归一化。 是归一化的。 （1） . 其中应用及 （2）由于是平方可积的，因此可作傅氏变换求动量几率分布函数 第三章直线与方程 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角与斜率 设直线I斜率为k且1 3.1.2两条直线平行与垂直的判定 【 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例1 已知直线l i 经过点M (-3, 0)、N (-15,-6), 12 经过点R (-2, - )、S (0, 2 5)，试判断^与12是否平行？ 2 变式训练：经过点P( 2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，贝U m的值是(). A . 4 B. 1 C. 1 或3 D. 1 或4 题型二两条直线垂直关系 例2已知ABC的顶点B(2,1), C( 6,3)，其垂心为H( 3,2)，求顶点A的坐标. 变式训练：(1) h的倾斜角为45 ° 12经过点P (-2，-1 )、Q (3，-6)，问h与12是否垂直？ (2)直线11,12的斜率是方程x2 3x 1 0的两根，则h与12的位置关系是—. 题型三根据直线的位置关系求参数 例3已知直线h经过点A(3,a)、B (a-2,-3)，直线S经过点C (2，3)、D (-1，a-2) (1)如果I1//I2，则求a的值；(2)如果11丄12，则求a的值 题型四直线平行和垂直的判定综合运用 例4四边形ABCD的顶点为A(2,2 2 2)、B( 2,2)、C(0,2 2.. 2)、D(4,2)，试判断四边形ABCD的形状. 第三章 直线与方程知识点及典型例题 1. 直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用k 表示。即k=tan α。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180 ,90∈α时，0 ４７ 科技资讯 科技资讯 ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ２００７ ＮＯ．１２ ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ 工 业 技 术 地震正演模拟作为反演解释的反过程，是验证解释成果的有效手段，进行必要可靠的正演模拟可以有效的监控反演解释。地震学一般可以分为几何地震学和物理地震学，在几何地震学中进行的正演模拟方法就是我们通常所说的射线追踪法，射线追踪法是在合成记录时用地震子波和界面或地质体的反射系数进行反褶积运算，即。运算的最大特点是说明了地震波传播的运动学特征。而在物理地震学中应用波动方程法合成的地震记录是通过求解波动方程的数值解来模拟地震波场的。在波动方程合成的地震记录中不单保持了地震波传播运动学特征，还说明了地震波传播的动力学特征。本文将分别用射线追踪和波动方程的方法合成地震记录。 １ 基于射线追踪的合成地震响应 射线追踪法的主要理论基础是，在高频近 射线追踪与波动方程正演模拟方法对比研究 王志美 畅永刚 （长江大学油气资源与勘探技术教育部重点实验室 湖北荆州 ４３４０２３） 摘 要：地震学一般可以分为几何地震学和物理地震学，几何地震学中进行正演模拟方法就是射线追踪法，射追踪法是在合成记录时用地震子波和界面或地质体的反射系数进行反褶积运算，即。运算的最大特点就是说明了地震波传播的运动学特征。而在物理地震学中的波动方程法合成的地震记录是通过求解波动方程的数值解来模拟地震波场。在波动方程合成的地震记录中不单保持了地震波传播 运动学特征外，还说明了地震波传播的动力学特征。本文将分别用射线追踪和波动方程的方法合成地震记录。关键词：射线追踪 波动方程 正演模拟 中图分类号：Ｐ３１５文献标识码： Ａ 文章编号：１６７２－３７９１（２００７）０４（ｃ）－００４７－００ 图１ 射线追踪正演模拟（１） 图 ２ 逐段迭长示意图 图 ３ 射线追踪正演模拟（２） 图４ 波动方程正演模拟结果 似条件下，地震波的主能量沿射线轨迹传播。基于这种认识，运用惠更斯原理和费马原理来重建射线路径，并利用程函方程来计算射线的旅行时。在旅行时计算中应用有限差分等方法，以获得快速的解。射线法的主要优点是概念明确，显示直观，运算方便，适应性强；其缺陷是应用有一定限制条件，计算结果在一定程度上是近似的，对于复杂构造进行两点三维射线追踪往往比较麻烦。为了计算波沿射线的旅行时和波的传播路径，叙述如下。 如图１所示，首先给出连接Ｓ（激发点）和Ｒ（接收点）之间的初始射线路径射线的振幅变化，首先必须知道地震波在实际地层中传播的射线路径。 由于地震波在整条路径上满足同一个射线参数，因此射线路径上任意连续三点也将满足同一个参数，而三点间的射线表现形式为Ｓｎｅｌｌ定律。按照Ｓｎｅｌｌ 定律，可导出一个求 取中间点的一阶近似公式。当前后两点位于界面两边时，中间点为透射点，所求路径为透射路径；当前后两点位于界面的同一边时，中间点为反射点，所求路径为反射路径。为此，可以从任一端点出发，连续地选取三点，通过一阶近似公式进行逐段迭代取中间点，利用新求出的点代替原来的点，然后以一点的跨跃作为步长，顺序地逐段迭代下去，直到另一端点。这样，新计算出的中间点和两个端点就构成了一次迭代射线路径，如图２中所示。如果整条射线路径上校正量的范数之和满足一定的精度要求，则认为射线追踪过程结束，否则从追踪出的射线路径开始，继续重复上述过程，直到满足精度要求为止。最后一次追踪到的中间点和两个端点，构成整条射线路径。图３基于多层倾斜界面模型通过射线追踪正演模拟地震响应。从模拟结果可以直观的看出基于几何地震学的原理正演模拟结果只能反映地震波的几何传播路径。在实际的工程设计中通过正演模拟可以在地表确定地下观测范围，节约设备提高工程效率，但不能反映 物理地震学中的地震属性，例如振幅，频率和相位等。更不能反映地震波的动力学特征。 ２ 波动方程的合成地震响应 ２．１ 波动方程的建立 非均匀介质的声波方程： （１） （２） 可由对连续介质方程（１）式的两端对时间求导，并利用欧拉方程推得： （３） 其中：Ｐ是波数，Ｖ是质点振动的速度向量，ρ是密度，ｃ是波速，ρ和ｃ是随着空间参数χ和ｚ变化的，这里ρ给定为常数，只有ｃ 是地质模型的控制参数。χ和Ｚ分别是在地面水平距离和深度。这样（３）式就可以变为： （４） 其中：ｃ＝ν （χ，ｚ）；（４）式即是所求的弹性波动方程。 ２．２ 数值计算及稳定性 求解弹性波动方程的方法有多种，付立叶变换法是对弹性波动方程的波场进行付立叶变换，优点是运算速度快。克希霍夫积分法是基于均匀模型，利用格林函数公式计算曲面积分，求出空间波场值，但这种方法不能适应 告实验报学生 偏微分方程数值解实验课程名称 开课实验室数统学院 信计02班专业班院数统年级2013 学 学号姓学生名 学年第2016 2 学期开课时间2015 至 总成绩 教师签名 数学与统计学院制 开课学院、实验室：数统学院实验时间2016年6月20日： kkjikkk1kk?1k?kkk u??2uuu?2u?2u?uu?u ,j?,iji,,ijj1ij?1,i,ij,jii?1,jj,?1i??（2）?????kk?1k21kkkk2）3（uu???u??u?ruuu?24r 222?hh整理得到： j,ij,i1?j,i1?j,ij1,?ij1,?ij,i ????，差分格式为：kkkk（4）,140?0,k?0,1,u?u?u?u N0,0,N0,N,0N 考虑初始条件y?sinsinuxx,y,0 ????????0????（5）,10usin?sin0,1,xjsinjh?y,?sini,ih jjii,2??????，利用二阶差商近似：考虑初始条件0,1?,y,0,?0,yuxx t1?1u?u j,jii,?0,i,j?0,1,,10（6）?2设时刻的点为内点，则满足差分格式（2），代入上式得到：0k? ????002211?000（7）u?uu?u4?ur??u2?r?u j,iii,,jj?j?i1?1,j1i,?1,jjii,11?uu?代入（将（6）得到的结果7）中，整理得到：ji,ji,1????01202000）（8?u?1??u2rru?uu?u j,j?1i,1,jjii,j?1?i1,j,ii?2 8）得到三层显格式的差分格式为：（4）、（5）、（综上（2）、??????1kk2kkk2kk?1u?u???uu4?urr?2u?u i,ij?1,,ii,,jj?1i?1,jji?1,jji?i,j?1,2,,9,k?1,2,,139??kkkk?u?u?u?u,1 40?0,k?0,1,（9）N0,N,0NN0,0,? ????????0?????,i,jih?u?sinsinx0,1,sin,10jhy?sin jji,i? 1?????02102000,10?0,1,uu,?ui?1?2ru?,ruj?u? ?1j?1i,ijii?,j1,j,j?ii,j?1,?2? ??22?0.1?r?其中，局部截断误差为ho?。h 四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件 Matlab %二维波动方程数值计算（关键：怎么运用i,j,k三个指标建立循环） clc; %可以将代码换成函数m文件 h=0.1;tau=0.1*h;%定义步长 r=tau/h;%网比 空间网格剖分[x,y,t]=meshgrid(0:h:1,0:h:1,0:tau:1.4);%． 直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 基础卷 一．选择题： 1．下列命题中，正确的命题是 （A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α （B ）直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α （C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率 （D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π 2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为 （A ）3 （B ）－3 （C ）33 （D ）－3 3 3．直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是 （A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[4 3π,π) 4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为 （A ）4π （B ）54π （C ）4π或54 π （D ）－4π 5．已知直线l 的倾斜角为α，若cos α=－5 4，则直线l 的斜率为 必修二 第一章 空间几何体 知识点： 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、长方体的对角线长2222c b a l ++=；正方体的对角线长a l 3= 3、球的体积公式：33 4 R V π= ，球的表面积公式：24 R S π= 4、柱体h s V ?=，锥体h s V ?=31，锥体截面积比：22 2 1 21h h S S = 5、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积； l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积： l r S ??=π侧面 典型例题： ★例1：下列命题正确的是( ) Ａ.棱柱的底面一定是平行四边形 Ｂ.棱锥的底面一定是三角形 Ｃ.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 Ｄ.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 ★★例2：若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的（ ） A 21 倍 B 42倍 C 2倍 D 2倍 ★例3：已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如下图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是（ ） Ａ．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱 Ｂ．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱 Ｃ．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱 Ｄ．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱 ★★例4：一个体积为38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是 A ．28cm π B 2 12cm π. C 216cm π． D ．220cm π 二、填空题 ★例1：若圆锥的表面积为a 平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直径为_______________． ★例2：球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍. 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 知识点： 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点 的公共直线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简 称线线平行，则线面平行）。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行（简称线面平行，则线线平行）。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简 称线面平行，则面面平行）。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称 面面平行，则线线平行）。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和 这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 （简称线线垂直，则线面垂直）。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。 12、面面垂直： ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直， 基于GPU的波动方程正演模拟的实现 袁崇鑫;邓飞 【期刊名称】《电脑知识与技术》 【年(卷),期】2014(000)018 【摘要】随着计算机技术的发展，使得波动方程正演由理论研究应用到实际地震勘探中成为了可能。而有限差分技术作为地震波场模拟的一种有效数值方法，它具有实现简单，速度快，从而被广泛应用正演计算密集的波形正反演中。地震波正演的计算量大，通过CPU来计算地震波正演模拟严重影响整体运算效率，GPU通用计算技术的产生及其在内的数据并行性有望改变这一状况。该文主要研究波动方程正演在GPU上的模拟实现。%With the development of computer technology, the wave equation forward by the application of theory to real seismic exploration as possible. The finite-difference seismic wave field simulation technology as an effective numerical methods, it has a simple, fast, and thus is widely used computationally intensive forward modeling and inversion of the waveform. Computationally intensive seismic forward modeling of seismic waves through the CPU to calculate the forward modeling seriously affect the over-all operational efficiency, GPU general computing technologies, including the generation and data parallelism is expected to change this situation. This paper studies the wave equation forward simulation on the GPU. 【总页数】6页(4333-4337,4340) 第三章直线与方程知识点及典型例题 1. 直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率 ① 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用k 表示。即 k=tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时 ,α=0°,k = tan0 =0;° 当直线 l 与 x 轴垂直时 ,α= 90k°不,存在 . 当0,90时， k0 ；当90 ,180时， k0；当90 时，k不存在。 例 .如右图，直线l 1的倾斜角 =30°，直线 l1⊥ l 2，求直线 l1和 l2的斜率 . y 解： k1=tan30° =3∵ l1⊥ l2∴ k1· k2 =— 1l 1 3 ∴ k2 =—32x 1 例：直线 x 3 y50 的倾斜角是()o l2 °°°° ②过两点 P1 (x1， y1)、P1(x1，y1) 的直线的斜率公式： k y2y 1 ( x1x 2 ) x2x1 注意下面四点： (1)当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k与 P1、 P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 例 .设直线l1经过点A(m，1)、B(—3，4)，直线l2经过点C(1，m)、D(—1，m+1)， 当 (1) l / / l 2(2) l⊥l时分别求出 m 的值 111 ※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。 3. 直线方程 ① 点斜式：y y1k( x x1 )直线斜率k，且过点x1, y1 注意：当直线的斜率为0°时， k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都 波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波和水波。波动方程抽象自声学，电磁学，和流体力学等领域。 历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。 波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x 和时间t 的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足： 这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c 依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。 在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量，这种处理对应真实物理世界中的色散现象。此时，c 应该用波的相速度代替： 实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程： 另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动（譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。这种情况下，标量u 的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。 三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂，它必须同时考虑固体中的纵波和横波: 式中： 和被称为弹性体的拉梅常数（也叫“拉梅模量”，英文Lamé constants 或 Lamémoduli），是描述各向同性固体弹性性质的参数； 表示密度； 是源函数（即外界施加的激振力）； 表示位移； 注意在上述方程中，激振力和位移都是矢量，所以该方程也被称为矢量形式的波动方程。其他形式的波动方程还能在量子力学和广义相对论理论中用到。 标量形式的一维波动方程 [编辑]波动方程的推导 一维波动方程可用如下的方式推导：一列质量为m的小质点，相邻质点间用长度h的弹簧连接。弹簧的弹性系数（又称“倔强系数”）为k：(整理)二维波动方程第一类吸收边界条件c++实现代码.
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