数学物理方程第三版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 ()?? ? ??????=??? ??????x u E x t u x t ρ 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： ),();,(t x x u x x t x u x ?++?++ 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 ),()(),(t x u x E t x T x = 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 x u x S x E )()(x u x x S x x E t x )()();,(?+?+).,(t x x ?+ 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 tt u x s x )()(ρx ?? = x ESu () 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ????
第二章 波函数和 Schrodinger 方程 §1 波函数的统计解释__量子力学的第一条假设:量子状态公设 一个微观粒子的状态可以由波函数来描述，波函数的模方为为粒子的概率密度，波函数满足归一化条件。简言之:波函数完全描述微观粒子状态 (一）波函数 描写自由粒子的平 面 波 称为 de Broglie 波。此式称为自由粒子的波函数。 如果粒子处于随时间和位臵变化的力场中运动，他的动量和能量不再是常量，粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用 较复杂的波描写，一般记为： ，它通常是一个复函数。 如果用波函数描述粒子状态，则必须解决3个问题？ (1) ψ 是怎样描述粒子的状态？ (2) ψ 如何体现波粒二象性的？ (3) ψ 描写的是什么样的波呢？ （二）波函数的解释 波函数对微观粒子的描写统一了粒子性与波动性的关键在于波函数的统计解释： 如果微观粒子的波函数是 则某一时刻粒子出现在位臵r 处,体积元dV 中的粒子的概率，与波函数模的平方成正比。 exp ()i A Et ?? ψ=?-???? p r (,)t ψr (,)t ψr ()2 ,,,dW x y z t dV =ψ概率密度 /dW dV
所以， 与经典物理学中的波动不同，它不是某种实际的物理量振幅在空间的分布，而只是一种几率振幅。 波函数Ψ(x,y,z,t )的统计解释(哥本哈根解释)：波函数模的平方代表某时刻t 在空间某点(x,y,z )附近单位体积内发现粒子的概率，即|Ψ| 2 代表概率密度。 波函数的统计意义是波恩于1926年提出的。由于波恩在量子力学所作的基础研究，特别是波函数的统计解释，他与博特共享了1954年的诺贝尔物理学奖。 玻恩对波函数的统计诠释—哥本哈根学派(以玻尔和海森伯为首)观点。 玻恩假定： 描述粒子在空间的概率分布的“概率振幅” ，而 则表示概率密度 例题1：电子的自由平面波波函数 在空间各点发现光子的概率相同 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义 (1)入射强电子流 干涉花样取决于概率分布，而概率分 布是确定的。 (2)入射弱电子流 入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间将显示衍射图样。电子干涉不是电子之间相互作用引起的，是电子波动 (,)t ψr (,)t ψr ()()()2* ,,,t t t ψ=ψψr r r (),exp ()i t A Et ??ψ=?-?? ?? r p r ()2 ,t ψ=r 常数
波动方程正演模型的研究与应用 郑鸿明* 娄 兵 蒋 立 （新疆油田公司勘探开发研究院地物所） 摘要野外采集的地震数据是经过大地滤波后的畸变信号，处理的地震剖面只是间接地反映了地下构造和地质体的特征，虽然目前有很多方法和手段可以分析并提取相关的地质信息，但由于处理对波场的改造和噪声的存在以及方法本身的多解性问题降低了识别地质信息的可靠性。处理中每一步对有效信息的影响有多大，对地震属性解释的影响有多大，没有一个定量的标准，只能凭经验和认识来定性地判断。正演模型在弹性波理论指导下，遵循严格的数学公式，可以最佳模拟地下各种情况。各种处理方法和不同的处理流程所得到的结果能否符合或最佳逼近波动方程建立的数学模型，正演模型是判断处理工作合理性的良好准则。 主题词地质模型波动方程正演模型地震响应模块测试 1 引 言 随着地震勘探的不断深入，地震勘探也由构造型油气藏勘探进入精细的岩性勘探阶段，要求地震勘探能够反映地下地质体岩性变化，以及识别含油、气、水的地震响应特征，分辨薄互层、低幅度构造的能力。地球物理学家们在长期的实践中已经研究开发了很多相关的技术，虽然理论上这些方法都能够成立，这些技术应用成功的实例也很多，但也不乏有失败的教训，往往产生多解性，或与钻探的结论不符。这里除了复杂地表和复杂地下构造形成的复杂地震波场而不满足建立在简单地质模型处理理论的因素外，与处理过程对地震波场的改造也有很大关系。从地震数据的采集到最终处理的地震剖面，整个过程是一个系统工程，地下地质结构、地质体的岩性变化以及含流体的性质，对处理人员来说是看不见、摸不着的“黑匣子”，我们所看到的只是经过大地滤波后产生畸变的地震波场，如何从这个畸变的地震波场中去伪存真、恢复真实的构造形态、提取储层的相关地震属性信息，这是岩性处理的最终目标。处理中的每一步环环相扣、相互影响、相互制约，而我们对处理中的每一步产生的中间结果所应达到的标准只是凭经验、感觉进行定性判定，加入了很多人为因素，这些因素或多或少影响着我们对解释成果的正确认识。另外，处理技术发展很快，相应的地震处理软件越来越多，应用这些模块之前对各模块所起的作用以及它们所产生的结果都需要有一个定量的认识，以及验证处理流程的合理性是当前迫切需要解决的问题。究竟什么样的结果满足岩性解释的要求、什么样的结果反映的是真正地下地质体的响应、什么样的处理方法满足保振幅处理和地震属性分析的应用等等一系列问题，这都是当前岩性处理中迫切需要解决的主要问题。它直接关联着处理成果的真伪及后续解释的可靠性，关联着勘探的投资风险。 随着计算机运算能力发展迅猛，特别是微机群的出现，为波动方程算法提供了硬件环境，开展此项技术的研究与应用已成为可能。此次模型的设计全面考虑了地表和地下的典型地质特征并将这些特征容入到模型中，真实模拟了实际地质结构。应用该地质模型正演叠前炮集的地震响应。 2 模型的建立 模型分物理模型和数学模型两种，目前的物理模型只能做非常简单的模拟，只有用数学模型才能模拟各种复杂的地质现象。20世纪70年代，美国哥伦比亚大学在郭宗汾
第三章基本波函数 3.1标量波函数 1. 直角坐标系中的标量函数 定义：标量波函数是齐次标量亥姆霍兹方程的基本解，也就是标量亥姆霍兹方程对应算子的 本征函数。标量亥姆兹方程的解可表示为 2. 圆柱坐标系中的标量波函数 笫一类柱贝塞尔函数通常称为贝塞尔函数，以表示Jgp),称为第n 阶贝塞尔函数。 当n 为整数时，可由下列级数表示 系为 (3-20) 当吋“? 0时N n (k /)P ) o 当n 为整数时，伙/)。当n 为整数吋，为贝 塞尔方程的另一个线性无关的解。 3. 圆球坐标系中的标量波函数 h(k x x) k x = J jk x 函数的表示 波动特性 向X 方向传播的等幅行波 e z e 心 随X 衰减的凋落波 复数忍 “? k r x - ik..x e x e y 向X 方向传播的衰减行波 e jk 'xX 向?X 方向传播的等幅行波 e ikxX ￡；= 0 e k 'xX 随?兀衰减的凋落波 复数任 向?X 方向传播的衰减行波 cm If v Q=0 sin 心 沿X 分布的正弦驻波 人 < =0 sinh kx ■A 两种凋落波的合成 nnQ u v ￡；= 0 cos kx 人 沿兀分布的余弦驻波 人 < =() cosh kx 两种凋落波的合成 屮=h(k x x)h(k v y)h(k z z) (3-5) ? ?? 解谐函数类熨: JJV )= i (? i)" A=0 ] (kpP 2k (3-19) 第二类贝塞尔函数 又称为诺依曼函数, 以Ng)表示。它与第一类贝塞尔函数的关
式(3-37)和式(3-38)分别称为第一类勒让徳函数鬥(x)和第二类勒让徳函数Q”(x)。 3?2平面波、柱面波和球面波用标量基本波函数展开及应用 1. 平面波用圆柱面基本波函数展开 向x 方向传播得平面波用柱面波基本波函数展开为 0曲=I 厂匕(切)严 (3-47) 斤―? 2. 柱面波用基本波函数展开 利用贝塞尔函数的叠加定理，以"为屮心轴的柱面波可转变为以Z 轴屮心轴的柱面波，即 _ a J?p)H 化kp)eiWp< p a J?p )H,、kppw,p> p 1 w=- ? 平而波用球而波基木波函数展开 0 gs 〃=彳 厂0+1)人鮒比(cos 0) n=0 1 d n Tn\dx n (3-37) ] 1+ x QQ)")(?卜 (叽⑴ k=l K (3-38) (3-50) (3-56) 3. 4. (2〃 + 1)皆)(kr')j n (kr)P n (cos 0)\r< (2〃 + l)y ；(加)皆)(kr)P n (cos ； 5. 点源场的平面波展开 屮= -虜(?「)+?(片站)+札卜zj ----------------------------- dk dk v k = x y (3-69) 3.3理想导电圆柱对平面波的散射 g s - ______ 2Z v 丿”血)严 2 族St 比珥肋) 上述散射场式(3?79)中级数的收敛快慢与理想导电圆柱半径的相对大小有关。 3.4理想导电圆柱对柱面波的散射 OO (3-79) 球面波用基本波函数展开
４７ 科技资讯 科技资讯 ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ２００７ ＮＯ．１２ ＳＣＩＥＮＣＥ ＆ ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ 工 业 技 术 地震正演模拟作为反演解释的反过程，是验证解释成果的有效手段，进行必要可靠的正演模拟可以有效的监控反演解释。地震学一般可以分为几何地震学和物理地震学，在几何地震学中进行的正演模拟方法就是我们通常所说的射线追踪法，射线追踪法是在合成记录时用地震子波和界面或地质体的反射系数进行反褶积运算，即。运算的最大特点是说明了地震波传播的运动学特征。而在物理地震学中应用波动方程法合成的地震记录是通过求解波动方程的数值解来模拟地震波场的。在波动方程合成的地震记录中不单保持了地震波传播运动学特征，还说明了地震波传播的动力学特征。本文将分别用射线追踪和波动方程的方法合成地震记录。 １ 基于射线追踪的合成地震响应 射线追踪法的主要理论基础是，在高频近 射线追踪与波动方程正演模拟方法对比研究 王志美 畅永刚 （长江大学油气资源与勘探技术教育部重点实验室 湖北荆州 ４３４０２３） 摘 要：地震学一般可以分为几何地震学和物理地震学，几何地震学中进行正演模拟方法就是射线追踪法，射追踪法是在合成记录时用地震子波和界面或地质体的反射系数进行反褶积运算，即。运算的最大特点就是说明了地震波传播的运动学特征。而在物理地震学中的波动方程法合成的地震记录是通过求解波动方程的数值解来模拟地震波场。在波动方程合成的地震记录中不单保持了地震波传播 运动学特征外，还说明了地震波传播的动力学特征。本文将分别用射线追踪和波动方程的方法合成地震记录。关键词：射线追踪 波动方程 正演模拟 中图分类号：Ｐ３１５文献标识码： Ａ 文章编号：１６７２－３７９１（２００７）０４（ｃ）－００４７－００ 图１ 射线追踪正演模拟（１） 图 ２ 逐段迭长示意图 图 ３ 射线追踪正演模拟（２） 图４ 波动方程正演模拟结果 似条件下，地震波的主能量沿射线轨迹传播。基于这种认识，运用惠更斯原理和费马原理来重建射线路径，并利用程函方程来计算射线的旅行时。在旅行时计算中应用有限差分等方法，以获得快速的解。射线法的主要优点是概念明确，显示直观，运算方便，适应性强；其缺陷是应用有一定限制条件，计算结果在一定程度上是近似的，对于复杂构造进行两点三维射线追踪往往比较麻烦。为了计算波沿射线的旅行时和波的传播路径，叙述如下。 如图１所示，首先给出连接Ｓ（激发点）和Ｒ（接收点）之间的初始射线路径射线的振幅变化，首先必须知道地震波在实际地层中传播的射线路径。 由于地震波在整条路径上满足同一个射线参数，因此射线路径上任意连续三点也将满足同一个参数，而三点间的射线表现形式为Ｓｎｅｌｌ定律。按照Ｓｎｅｌｌ 定律，可导出一个求 取中间点的一阶近似公式。当前后两点位于界面两边时，中间点为透射点，所求路径为透射路径；当前后两点位于界面的同一边时，中间点为反射点，所求路径为反射路径。为此，可以从任一端点出发，连续地选取三点，通过一阶近似公式进行逐段迭代取中间点，利用新求出的点代替原来的点，然后以一点的跨跃作为步长，顺序地逐段迭代下去，直到另一端点。这样，新计算出的中间点和两个端点就构成了一次迭代射线路径，如图２中所示。如果整条射线路径上校正量的范数之和满足一定的精度要求，则认为射线追踪过程结束，否则从追踪出的射线路径开始，继续重复上述过程，直到满足精度要求为止。最后一次追踪到的中间点和两个端点，构成整条射线路径。图３基于多层倾斜界面模型通过射线追踪正演模拟地震响应。从模拟结果可以直观的看出基于几何地震学的原理正演模拟结果只能反映地震波的几何传播路径。在实际的工程设计中通过正演模拟可以在地表确定地下观测范围，节约设备提高工程效率，但不能反映 物理地震学中的地震属性，例如振幅，频率和相位等。更不能反映地震波的动力学特征。 ２ 波动方程的合成地震响应 ２．１ 波动方程的建立 非均匀介质的声波方程： （１） （２） 可由对连续介质方程（１）式的两端对时间求导，并利用欧拉方程推得： （３） 其中：Ｐ是波数，Ｖ是质点振动的速度向量，ρ是密度，ｃ是波速，ρ和ｃ是随着空间参数χ和ｚ变化的，这里ρ给定为常数，只有ｃ 是地质模型的控制参数。χ和Ｚ分别是在地面水平距离和深度。这样（３）式就可以变为： （４） 其中：ｃ＝ν （χ，ｚ）；（４）式即是所求的弹性波动方程。 ２．２ 数值计算及稳定性 求解弹性波动方程的方法有多种，付立叶变换法是对弹性波动方程的波场进行付立叶变换，优点是运算速度快。克希霍夫积分法是基于均匀模型，利用格林函数公式计算曲面积分，求出空间波场值，但这种方法不能适应
思考题 3-1 如何判断简谐振动？ 3-2 两个同方向同频率的简谐振动相遇后各点要始终保持不振动，应具备什么条件？ 3-3 旋转矢量法如何来计算振动方程的初相？ 3-4 简谐振动的速度和加速度都有负号，是否意味着速度和加速度一定是负值，二者的方向相同吗？ 3-5 振动的能量由什么决定？ 3-6 什么是阻尼振动？阻尼振动与简谐振动有什么不同？受迫振动和阻尼振动一样吗？ 3-7 什么是共振？ 3-8 产生机械波要具备什么条件，波在不同介质中传播波长，周期，波速哪些量不变化哪些量会变化？ 3-9 波动方程和振动方程有什么区别？ 3-10 简谐振动和简谐波的能量有什么特点？ 3-11 什么是波的干涉？两列波相遇后一定会发生干涉现象吗？ 3-12 什么是驻波？驻波和简谐波有什么区别？ 3-13 什么是闻阈和痛阈？人耳对声音的反应主要决定是什么？ 3-14 听觉域的范围是什么？闻阈最敏感的频率是多少？ 3-15 声强级大的响度级一定高吗？声强级相同的响度级也一定相同吗？ 3-16 什么是多普勒效应？ 3-17 超声波和次声波哪种波传的远？哪种波容易阻挡？ 参考答案 3-1 满足下列方程之一，就可以认为是简谐振动： ①ks F -=；②02=+s dt ds ω；③)cos(?ω+=t A s ； 3-2 当相位差为π的奇数倍时，合振动的振幅最小，等于二者的分振动振幅之差，所以要具备两个条件，分振动的相位差为π的奇数倍，分振动的振幅相等，在相遇的区域满足这两个条件的合振动振幅为零，即质点始终保持不振动. 3-3 位移S 轴的正方向与旋转矢量的初始位置的夹角称为初相，沿逆时针方向的夹角取正，沿顺时针方向的夹角取负.一般在2π内，小于π取正，大于π取负.例如，初相位2 3π，一
第一章作业题 1. 19世纪末，经典物理学遇到了哪些无法解释的问题？ 2. 哪些现象揭示了光的波粒二象性？ 3. 得布罗意关系是什么？哪些实验证实了微观粒子的波粒二象性？ 4. 若电子被U 伏电势加速，其德布罗意波长是多少？ () 课后习题： 1.2；1.3； 补充描写同一状态？些与请问下列波函数中，哪：11ψ /33/22/21,,x i x i x i e e e ===-ψψψ .)24(,3,/26/)2(5/24 x i x i x i e i e e +==-=+-ψψψπ 补充2：设)()(2 221为常数αψαx Ae x -=，求A = ？ 第二章作业题 1. ()?ψψψV dxdydz t r dxdydz t z y x t z y x 222,,,,(,,,,( ，的物理意义。 2. 归一化条件()1,2=ψ?∞ dxdydz t r 的物理意义？ 3. 与自由粒子相联系的波是什么波？表达式？ 4. 简述态叠加原理。 5. 写出坐标表象的动量算符、能量算符； 6. 写出几率流密度的表达式以及粒子数守恒定律. 7. 写出波函数的标准条件。 8. 什么是定态？写出含时薛定谔方程，定态薛定谔方程。
9. 写出一维无限深势阱中（a ~0）的能级表达式和波函数表达式。 10. 什么是束缚态、非束缚态？ 11. 写出一维谐振子能级表达式。写出一维谐振子正交归一化性质。 课本作业： 2.2；2.3；2.4；2.5 补充1： 设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ???∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如c b a ==，写出归一化的基态波函数及能量。 补充2： 补充3： 22 )1()(ξξξξ--=e d d e H n n n n 0)(2)(2)()(2)(111=+-=-+-ξξξξξξξn n n n n nH H H nH d dH
基于GPU的波动方程正演模拟的实现 袁崇鑫;邓飞 【期刊名称】《电脑知识与技术》 【年(卷),期】2014(000)018 【摘要】随着计算机技术的发展，使得波动方程正演由理论研究应用到实际地震勘探中成为了可能。而有限差分技术作为地震波场模拟的一种有效数值方法，它具有实现简单，速度快，从而被广泛应用正演计算密集的波形正反演中。地震波正演的计算量大，通过CPU来计算地震波正演模拟严重影响整体运算效率，GPU通用计算技术的产生及其在内的数据并行性有望改变这一状况。该文主要研究波动方程正演在GPU上的模拟实现。%With the development of computer technology, the wave equation forward by the application of theory to real seismic exploration as possible. The finite-difference seismic wave field simulation technology as an effective numerical methods, it has a simple, fast, and thus is widely used computationally intensive forward modeling and inversion of the waveform. Computationally intensive seismic forward modeling of seismic waves through the CPU to calculate the forward modeling seriously affect the over-all operational efficiency, GPU general computing technologies, including the generation and data parallelism is expected to change this situation. This paper studies the wave equation forward simulation on the GPU. 【总页数】6页(4333-4337,4340)
声波波动方程正演模拟程序 程序介绍： 第一部分：加载震源，此处选用雷克子波当作震源。 编写震源程序后，我将输出的数据复制，然后我用excel做成了图片，以检验程序编写是否正确。以下为雷克子波公式部分的程序： for(it=0;it 模型构建与试算： 1、我首先建立了一个均匀介质模型，首先利用不同时间，进行了数值模拟，得到波场快照如图所示： 100ms 200ms 300ms 此处，纵波速度为v=3000m/s。模型大小为200×200，空间采样间隔为dx=dz=10m。采用30Hz的雷克子波作为震源子波，时间采样间隔为1ms，图中可以看出，波场快照中的同相轴是圆形的，说明在均匀各向同性介质中，点源激发的波前面是一个圆，这与理论也是吻合的。并且随着时间的增大，波前面的面积逐渐增大，说明地震波从震源中心向外传播。 2、我在建立的均匀模型的基础上，改变差分算子的精度，分别采用2阶、6阶、12阶精度进行试算。时间统一采用300ms的时候。得到的波长快照如下： 2阶精度6阶精度12阶精度 第一章 波函数与dinger o Schr 方程 一 内容提要 1 波函数的统计解释 [1] 在量子力学中用波函数描述微观体系的运动状态 ； [2] 2 ),(t r ψ表示粒子在空间出现的几率密度； [3] 波函数归一化条件 1),(2 =ψ? t r ； [4] 波函数应满足的基本条件：单值、有限、连续。 2态的叠加原理 设 ,,,,321n ψψψψ是体系的可能状态，那么态的线性叠加 ∑ψ=ψn n n c 也是体系的一个可能状态； 3 dinger o Schr 方程 [1] 含时间的dinger o Schr 方程 ψ+ψ?μ -=?ψ?),(222t r V t i [2]定态dinger o Schr 方程 当)(r V 不显含时间t 时，波函数的解为定态解： /)(),(iEt e r t r -ψ=ψ )(r ψ满足定态dinger o Schr 方程ψ=ψ+?μ -E r V )](2[22 该方程也是能量算符的本征值方程。 4 几率流密度)(2ψ?ψ-ψ?ψμ=** i j 与几率密度ψψ=ρ*满足连续性方程 0=??+?ρ?j t 5 量子力学中的初值问题 已知量子态的初态波函数)0,(r ψ，原则上可以利用S,eq 求出任意时刻的波函数),(t r ψ 二 例题讲解 1 粒子在一维无限深势阱中运动，阱宽为a ， （1）设a x ASin x π=ψ)(，求归一化系数A 。 （2）设)()(x a Ax x -=ψ，求归一化系数A 并求粒子的最可几位置。 [解] （1）令12)() (220 2 ==π=ψ??a A dx a x ASin dx x a a 则 a A 2 = 那么a x Sin a x π= ψ2)( （2）令130)]([) (5 2 2 2 ==-=ψ?? a A dx x a x A dx x a a 则530a A = 2 证明具有不同能量的两个束缚态，其波函数的重叠积分为零。 解：设1ψ、2ψ分别为对应能量1E 、2E 束缚态波函数，21E E ≠，要证明等式 0)()(2 * 1 =ψ τψ?r r d 。 凡这种与具体势函数无关的结论，第一选择是从S.eq 出发。1ψ、2ψ满足的两个定态S.eq 为： )()()(211112 2r E r V r m ψ=ψ+ψ?- （1） )()()(222222 2r E r V r m ψ=ψ+ψ?- （2） )2()1(* 1*2?ψ-?ψ ，再对空间积分：? τd ，得 )(2)()()(22 *1*12222* 1 21ψ?ψ-ψ?ψτ-=ψτψ-??d m r r d E E )(22*1*122ψ?ψ-ψ?ψ?τ-=?d m 0)(22* 1*122=ψ?ψ-ψ?ψ-=?dS m （束缚态边界条件：0,0,21→ψ→ψ∞→处r ） 因为21E E ≠ 那么有0)()(2* 1=ψτψ? r r d 3 已知描述单粒子一维束缚态的两个本征函数分别为 22 11x Ae α-=ψ 22 12 1)(x e c bx x B α-++=ψ 试求这两个状态的能级间隔。 解：1ψ、2ψ满足的两个定态S.eq 为： 三维波动方程正演及模型应用研究 1熊晓军，贺振华，黄德济 成都理工大学油气藏地质与开发工程国家重点实验室（610059） E-mail:xiongxiaojun@https://www.doczj.com/doc/8912443027.html, 摘 要：为了真实准确地反映三维地质体的波场特征，在频率-波数域将二维波场延拓算子推广到三维空间，采用三维波动方程延拓方法实现了三维地质模型的快速叠后正演。该方法采用傅立叶变换进行计算不仅计算迅速，算法稳定，而且可以采用相位移加插值方法处理一定的横向变速的情况，为更加灵活方便地模拟地下复杂的三维地质体提供了一种有效的工具。作为实例，首先进行了三维French 模型的数值模拟，得到了和实际物理模型实验结果相一致的正演记录，并对比分析了三维偏移剖面和二维偏移剖面的偏移效果，验证了该方法的正确性和适用性。然后进行了三维缝洞地质模型的正演计算，得到了高信噪比的正演记录，对认识和解释三维缝洞地质体的地震波场特征很有帮助。 关键词：三维地震正演，波动方程，波场延拓，French 模型，缝洞模拟 1. 引 言 在地震资料采集、处理和解释中通常要进行地震波场的数值模拟，即假设已知地下的地质情况，应用地震波的运动学和动力学的基本原理，计算给定地质模型的地震响应，其对正确认识地震波的运动学和动力学特征，以及准确地分析油气藏的反射波场特征有着重要的指导意义。常规的正演方法主要有波动方程法和几何射线法两大类[1]。几何射线法[2]将地震波波动理论简化为射线理论，主要考虑地震波传播的运动学特征，所得的地震波的传播时间比较准确，但是计算结果很难保持地震波的动力学特征，而且对复杂的地质构造会出现盲区。波动方程法通过求解地震波波动方程，建立地下地震波运动的波场，它包含了地震波传播的所有信息，在地震模拟中占有重要地位。目前，常规的波动方程正演方法，如有限差分法[3]、积分法[4]以及F-K 域[5]等方法，主要进行二维地质体的数值模拟，而实际的地下构造往往是三维的，因此，十分有必要研究基于三维地质体的数值模拟方法。本文在二维正演方法的基础上，将二维波场延拓算子推广到三维空间，在频率—波数域进行三维叠后正演模拟。该方法不仅算法稳定，计算速度快，具有处理一定横向变速的能力，而且可以得到高信噪比的零偏移距正演记录。 2. 方法原理 利用波动方程进行地震波场数值模拟的核心是波场延拓，对于垂向变速介质，利用二维 标量波动方程，在频率—波数域可以得到各个深度间隔内的相位移延拓的正演和偏移公式[6]， i zi Z ik i x i x e z k P z k P ?+=),,(),,(1ωω (1) i zi Z ik i x i x e z k P z k P ??+=),,(),,(1ωω (2) 1 本课题得到高等学校博士学科点专项科研基金资助课题（SRFDP ）资助，编号：20040616001。 - 1 - 第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。 地震波波动方程数值模拟方法 地震波波动方程数值模拟方法主要包括克希霍夫积分法、傅里叶变换法、有限元法和有限差分法等。 克希霍夫积分法引入射线追踪过程，本质上是波动方程积分解的一个数值计算，在某种程度上相当于绕射叠加。该方法计算速度较快，但由于射线追踪中存在着诸如焦散、多重路径等问题，故其一般只能适合于较简单的模型，难以模拟复杂地层的波场信息。 傅里叶变换法是利用空间的全部信息对波场函数进行三角函数插值，能更加精确地模拟地震波的传播规律，同时，利用快速傅里叶变换(FFT)进行计算，还可以提高运算效率，其主要优点是精度高，占用内存小，但缺点是计算速度较慢，对模型的适用性差，尤其是不适应于速度横向变化剧烈的模型. 波动方程有限元法的做法是：将变分法用于单元分析，得到单元矩阵，然后将单元矩阵总体求和得到总体矩阵，最后求解总体矩阵得到波动方程的数值解；其主要优点是理论上可适宜于任意地质体形态的模型，保证复杂地层形态模拟的逼真性，达到很高的计算精度，但有限元法的主要问题是占用内存和运算量均较大，不适用于大规模模拟，因此该方法在地震波勘探中尚未得到广泛地应用。。 相对于上述几种方法，有限差分法是一种更为快速有效的方法。虽然其精度比不上有限元法，但因其具有计算速度快，占用内存较小的优点，在地震学界受到广泛的重视与应用。 声波方程的有限差分法数值模拟 对于二维速度-深度模型，地下介质中地震波的传播规律可以近似地用声波方程描述： )()(2222222t S z u x u v t u +??+??=?? （4-1） (,)v x z 是介质在点（x , z ）处的纵波速度，u 为描述速度位或者压力的波场，)(t s 为震源函数。 为求式（4-1）的数值解，必须将此式离散化，即用有限差分来逼近导数，用差商代替微商。为此，先把空间模型网格化（如图4-1所示）。 设x 、z 方向的网格间隔长度为h ?，t ?为时间采样步长，则有： z ?,i j 1,i j +2,i j +1,i j - 王红落,常 旭,陈传仁.基于波动方程有限差分算法的接收函数正演与偏移.地球物理学报,2005,48(2):415～422 Wang H L ,Chang X ,Chen C R.Receiver function forward m odeling and migration based on wave 2equation finite difference method.Chinese J .G eophys .(in Chinese ),2005,48(2):415～422 基于波动方程有限差分算法的接收函数正演与偏移 王红落1 ,常 旭1 ,陈传仁 2 1中国科学院地质与地球物理研究所,北京 1000292长江大学地球物理与石油资源学院,荆州 434023 摘 要 针对接收函数正演与偏移,本文采用波动方程有限差分算法.借鉴成熟的勘探地震学方法,引入等效速度概念,建立接收函数转换波与地震勘探反射波的等效走时方程,实现了基于波动方程有限差分算法的接收函数正演与偏移.数值计算表明,波动方程有限差分叠后偏移方法可以对点绕射和穹隆构造模型实现高精度成像.本文利用数值计算讨论了波动方程有限差分叠后偏移与K irchhoff 叠后偏移对于接收函数偏移的适用性,还对偏移过程中速度模型的误差进行了分析. 关键词 有限差分正演,接收函数阵列,共转换点(CCP )叠加,有限差分偏移 文章编号 0001-5733(2005)02-0415-08 中图分类号 P631 收稿日期 2004-04-13,2004-12-08收修定稿 基金项目 国家自然科学基金项目(40174017,40235055)资助. 作者简介 王红落,男,1975年生,1998年毕业于大庆石油学院,现为中国科学院地质与地球物理研究所博士研究生,主要从事勘探地震数 字处理方面的工作.E 2mail :whl @https://www.doczj.com/doc/8912443027.html, R eceiver function for w ard modeling and migration based on w ave 2equation finite difference method W ANG H ong 2Luo 1,CHANG Xu 1,CHE N Chuan 2Ren 2 1Institute o f G eology &G eophysics ,Chinese Academy o f Sciences ,Beijing 100029,China 2The College o f G eophysics and P etroleum Resources ,Yangtze Univer sity ,Jingzhou 434023,China Abstract The wave 2equation finite difference alg orithm is applied here as a s olution for forward m odeling and migration of receiver function.With the help of exploration seism ology concepts ,the equivalent velocity and traveltime equation are established ,therefore the forward calculation and migration of receiver function are im plemented by wave 2equation finite difference method.The numerical calculation indicates that imaging of point diffractor and dome can be accom plished with high accuracy em ploying poststack wave 2equation finite difference migration.Then the applicabilities for receiver function imaging between poststack finite difference migration and K irchhoff migration are discussed according to numerical results.Finally ,the effects on velocity error for imaging are analyzed. K eyw ords Finite difference m odeling ,Receiver function array ,C omm on converted point stack ,Finite difference migration 1 引 言 地震台站记录是震源时间函数、地下介质结构 以及仪器特性耦合作用的结果.接收函数是消除震 源效应以及仪器特性后,台站下方介质结构的径向响应.早期的接收函数方法是用单个固定台站远震体波资料来反演台站下方地壳的一维速度结 第48卷第2期2005年3月 地 球 物 理 学 报 CHI NESE JOURNA L OF GE OPHY SICS V ol.48,N o.2 Mar.,2005 习题三 波动 声波 基本要求 掌握平面简谐波方程，理解波速、波长，波的频率和周期。理解波的能量。理解惠更斯原理，了解波的衍射。理解波的叠加原理，掌握波的相干条件及波的干涉。理解驻波的形成条件和特点。理解声波的声强级和响度级了解超声的特点。 [3-1] 波动与振动有什么区别和联系？ 答：振动是物体在一定位置附近来回重复的运动。波动是振动在弹性介质中的传播。振动是波动的起源，波动是振动的扩展。波动包含着振动。 [3-2] 设在介质中有振源作谐振动并产生平面余弦波。问：（1）振动的周期与波动的周期数值是否相同？（2）振动的速度与波动的速度数值是否相同？ 答：（1）振动的周期与波动的周期在数值上是相同的。因为波动是由振动引起的，波的频率由波源的振动频率所决定。 （2）振动的速度与波动的速度在数值上不同。振动的速度由振源决定，其大小随时间t 作周期性变化。波动的速度与介质的性质有关，即与介质的密度和弹性模量有关。 [3-3] 波动在通过不同介质时，它的波长λ、频率υ和波速c ，哪些要改变？哪些不会改变？ 答：波动在通过不同介质时，波的频率υ不变，波长λ和波速c 改变。因为波的频率由波源决定，而波速c 由介质的性质决定，波在不同介质中传播时波速不同。又因为c=λυ，频率υ不变，故波长λ随波速c 的变化而变化。 [3-4] 一沿着很长弦线进行的横波的方程由y=6.0cos (0.020πx -4.0πt) 给出，其中x 与y 的单位为厘米，t 的单位为秒。试求振幅、波长、频率、波速、波传播的方向以及弦线质点的最大横向速率。 解：将已知波动方程改写成y=6.0cos2π(2.0t -0.010 x) 并与波动方程标准形式y=Acos2π(υt -x/λ) 比较可得：振幅A=6.0cm 波长λ=1/0.01cm=100cm 频率υ=2.0Hz 波速C =λυ=200cm/s 波传播的方向沿x 轴的正方向。 最大横向速率V m =ωA=2πυA=75.4cm/s 。 [3-5] 一波动沿x 轴的负方向行进，其振幅为0.010m ，频率为550Hz ，波速为330m/s,试写出这行波的波动方程。 解：因为沿x 轴负方向行进的波动方程为 将已知量代入，则得 [3-6] 平面简谐波的波动方程为 求（1）t=2.1s 时波源及距波源0.10m 处的位相；（2）离波源0.80m 及0.30m 两处的相位差。 解：（1）由已知波动方程，当x=0时得波源的振动方程为：y 0=8cos4πt 当t=2.1s 时，波源的位相φ=ωt=4π×2.1=4.8π；x=0.10m=10cm 处质点的振动方程为： )(cos )(cos c x t A c x t A y +=+=πυω2)(cos .x t y 3 5550210012+?=-π厘米)(cos 100 228x t y -=π第一章 波函数
三维波动方程正演及模型应用研究
第三章-行波法与积分变换法Word版
地震波波动方程数值模拟方法
基于波动方程有限差分算法的接收函数正演与偏移
第三章波动
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