第二篇 数学物理方程
——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法
Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程；
2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题；
3、方程齐次化；
４、数理方程的线性导致解的叠加。
一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律）
1、来源
I ．质点力学：牛顿第二定律F mr =r
r
&&
连续体力学2222()(,)(,)0(()0;
v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ
?????
-?=???????
??
+??=????-?+??=+=?????
r
r r r r r r r &弹性定律弦弹性体力学杆 振动：波动方程);膜
流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程
;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=?
???=???=?=+????=+??=-?=????????????????????r r r r r r r r r &&r r r r r r r r r r r &&r r r r
已已d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理
220;0.T k T t D t ρρ??
-?=??????-?=???
热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV. 量子力学的薛定谔方程：
22
.2u i u Vu t m
?=-?+?h h
二、数理方程的导出
推导泛定方程的原则性步骤：
（1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。
（2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化”
---“无理取闹”（物理趣乐）。
（3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽
略---线性化。
（4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。 （5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。
Chapter 7 一维波动方程的傅里叶解
第一节 一维波动方程-弦振动方程的建立
弦横振动方程的建立
（一根张紧的柔软弦的微小振动问题）
（1）定变量：取弦的平衡位置为x 轴。表征振动的物理量为各点的横向位移),(t x u ，从
而速度为t u ，加速度为tt u .
（2）立假设：①弦振动是微小的，1<<α，因此，sin tan ααα≈≈，1cos ≈α，又
tan u x αα?=≈?Q
，1<
u
；②弦是柔软的，即在它的横截面内不产生应力，则在拉紧的情况下弦上相互间的拉力即张力),(t x T 始终是沿弦的切向(等价于弦上相互间有小的弹簧相连)；③所有外力都垂直于x 轴，外力线密度为),(t x F ；④设弦的线密度（细长）为),(t x ρ，重力不计。
（3）取局部：在点x 处取弦段d x ,d x 是如此之小,以至可以把它看成质点(微元)。质
量微元：x t x d ),(ρ；微弧长：x x x u u x s d d 1d d d 2
2
2
≈??
?
????+=+=（即这一小段
的长度在振动过程中可以认为是不变的，因此它的密度()t x ,ρ不随时间变化，另外根据Hooke 定律F k x δδ=-可知，张力),(t x T 也不随时间变化，我
们把它们分别记为()x ρ和)(x T .
（4）找作用：找出弦段所受的力。
外力：x t x F d ),(，垂直于x 轴方向；
张力变化：()()d cos |cos |(d )()x x x T T T x x T x αα+-=+-,x 方向紧绷，
()()()()()d d sin |sin |||d x x x x x x x x x x T T Tu Tu Tu x αα++-=-=,垂直于x 轴方向。
（5）列方程：根据牛顿第二定律
0)()d (=-+x T x x T ，因x 方向无位移，故T x T x x T ==+)()d (.
()x Tu x t x F x Tu x t x F xu x xx x x tt d d ),(d d ),(d )(+=+=ρ
即，),(t x f u T
u xx tt =-
ρ
，其中ρ
)
,(),(t x F t x f =
是单位质量所受外力。
如果弦是均匀的，即ρ为常数，则可写ρ
T
a =
为弦振动的传播速度，则
自由振动(0f ≡): 2
0tt xx u a u -=(齐次方程)。
小结1：对于弦的横振动、杆的纵振动方程（一根弹性均匀细杆的微小振动问题）、薄膜的横振动方程（张紧的柔软膜的微小振动问题），在不受外力情况下，其振动的微分方程为：
22tt u a u =?（齐次方程）
其中a 为振动的传播的速度。当单位质量所受外力为f 时，其振动微分方程为：
22tt u a u f =?+（非齐次方程）
定解问题
第一节从物理问题和相应的物理定律导出了其所满足的偏微分方程，但总是选择物体内部，不含端点或边界，对一小部分来讨论其运动状况，仅反映了物体内部各部分之间的相互联系，且在区域内部相邻之间、相继时刻之间的这种联系（规律）通常与周围环境（边界上）和初始时刻对象（体系）所处的状态无关。
仅有方程还不足以确定物体的运动，因为外界的作用通常是通过物体边界“传”到内部的；一个方程可能有多个解，通解中含若干任意常数（函数），初始条件和边界条件就是确定它们的条件。
求一个微分方程的解满足一定初始条件和边界条件的问题称为定解问题：
泛定方程& ??
??
???
初始条件边界条件定解条件衔接条件自然条件。
1. 初始条件
00(,)()(,)().
t t t u x t x u x t x ?ψ==?=??=??，即已知初位移)(x ?和初速度)(x ψ 2. 边界条件 i.
第一类边界条件-狄利克雷条件（Dirichlet 边界条件）：直接给出了未知函数在边界上的值。
ii.
第二类边界条件-诺依曼条件（Neumann 边界条件）：给出未知函数在边界上法向导数的值。
自由端点边界（端点不受外力，自由振动，意味着弦张力在振动方向无分量）属于此类，边界条件为(0,)0(,)0或x x u t u l t ==
iii.
第三类边界条件-罗宾条件：给出未知函数和其边界法向导数在边界上的线性关系。
弹性支撑边界（端点受到弹簧的约束而无外力）属于此类，边界条件为：
(,)(,)000x u t hu t -=
Note ：初始条件和边界条件是场运动规律的极限。
例1．对弦的横振动问题导出下列情况的定解条件：弦的两端点0=x 和l x =固定，用手将弦上的点(0)x c c l =<<拉开使之与平衡位置的偏离为h （l h <<），然后放手。
解：两端固定，所以边界条件为：(0,)0,(,)0u t u l t ==
由点c x =的初始位移求出其他点的初始位移，它们是两段直线方程，容易求得：
(0)(,0)()() ()h
x x c c
u x x h l x c x l l c ??≤≤??==?
?-≤≤?-?
， ， 显然，初速度为零：(,0)0t
u x =
第二节 齐次方程混合问题的傅里叶解
——分离变量法 本征值问题
Abstract ：求解数理方程定解问题的方法有分离变量法、行波法、积分变换法、变分法、复变函数论等，这些方法各有千秋。分离变量法普遍适用，在其使用条件下，自然导致了问题的核心—本征值问题。
求解常微分方程：一般先求通解，再用初始/边界条件定其参数；求解偏微分方程，即使求得通解，亦难于由定解条件来定解（含任意函数）—本征值问题可解决此类问题。
利用分离变量法求解齐次弦振动方程的混合问题
分离变量法：把二元函数(,)u x t 表示为两个一元函数相乘(,)()()u x t X x T t =?；然后带入函数的二阶偏微分齐次方程20tt xx u a u -=，把偏微分方程化为两个常微分方程；把偏微分方程的边界条件转化为常微分方程的边界条件。
题型I ：方程和边界条件都是齐次的，而初始条件是非齐次的。 例题1：下面以两端固定弦的自由振动为例(第一类齐次边界条件):
()20000 0,
0; 0,
(); ().
tt xx x x l t t t u a u x l u u u x u x ?ψ====?-=<
==??==?? 注意这里的边界条件。
第一步, 分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。
设)()(),(t T x X t x u =[取此特解形式，可得驻波解：()T t 是振荡函数，而与x 无关，
()X x 是幅度函数，与t 无关],将此)()(),(t T x X t x u =代入泛定方程，即得
2()()()().X x T t a X x T t ''''=
等式两端除以)()(2
t T x X a ，就有
)
()
()()(2x X x X t T a t T ''=''.
注意在这个等式中，左端只是t 的函数，与x 无关，而右端只是x 的函数，与t 无关。因此，左端和右端相等，就必须共同等于一个既与x 无关、又与t 无关的常数。令这个常数为λ-(参数)，即，
λ-=''='')
()
()()(2x X x X t T a t T .
由此得到两个常微分方程：
0)()(2=+''t T a t T λ （）
0)()(=+''x X x X λ （）
第二步，将(,)u x t 原来的边界条件转化为()X x 的边界条件。
将此(,)()()u x t X x T t =代入边界条件，得0)()0(=t T X ，0)()(=t T l X ，转化为()X x 的边界条件：
0)0(=X ，0)(=l X [因为)(t T 不可能恒为0，否则),(t x u 恒为0] （）
这样就完成了分离变量法求解偏微分方程定解（亦定界）问题的前两步：分离变量。在这两步中，假设所要求的是变量分离形式的非零解)()(),(t T x X t x u =，导出了函数)(x X 应该满足的常微分方程和边界条件，以及)(t T 所满足的常微分方程。分离变量之所以能够实现，是因为原来的偏微分方程和边界条件都是齐次的（可分离变量）。
第三步,求解本征值问题
上面得到的函数)(x X 的常微分方程定解问题，称为本征值问题。其特点是：常微分方程0)()(=+''x X x X λ中含有一个待定常数λ，而定解条件0)0(=X ，0)(=l X 是一对齐次边界条件。这样的定解问题不同于我们过去熟悉的常微分方程的初值问题。下面将看到，并非对于任何λ值，都有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解。只有当λ取某些特定值时，才有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解)(x X .λ的这些特定值称为本征值(eigenvalue)，相应的非零解称为本征函数(eigenfunction).
通过讨论分析得出只有0>λ时，方程（）的解才有意义。因此，0>λ时解（）式得，
()X x A B =+.
将这个通解代入边界条件（），就有
0;sin 0.A A B =???
+=??
即0;
0.
A B =???=?? A 和B 不能同时为0，否则)(x X 恒为零，),(t x u 恒为0（平凡解，虽然零解无物理意义，
但至少说明数学上可能行得通），因此只能是，
0sin =l λ，即πλn l = ()Λ,3,2,1=n .
于是，λ只能取如下的一系列值：2
???
??=l n n πλ ()Λ,3,2,1=n ；
相应的本征函数就是：x l
n x X n π
sin
)(= 这里取1B =，因为我们所要求的必然只是线性无关解。不同的B 值给出的是线性相关的。由于同样的原因，我们也不必考虑n 为负整数的情形。这样求得的本征值有无穷多个，他们可以用正整数n 标记，因此，我们把本征值和本征函数分别记为n λ和)(x X n .
第四步,求特解，并进一步叠加出一般解：
对于每一个本征值n λ，由0)()(2
=+''t T a t T λ（）解出相应的)(t T n :
()cos
sin n n n n n T t C at D at l l
ππ=+. 因此，也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解:
(,)cos sin sin n n n n n n u x t C at D at x l l l πππ?
?=+ ???
()Λ,3,2,1=n .
这样的特解有无穷多个()Λ,3,2,1=n 。每一个特解都同时满足齐次偏微分方程和齐次边界条件。它们是一系列的驻波。但是，一般来说，单独任何一个特解都不能满足定解问题中的初始条件。然而，由于偏微分方程和边界条件都是齐次的，把它们的特解线性叠加起来，即
1(,)cos sin sin n n n n n n u x t C at D at x l l l πππ∞
=?
?=+ ??
?∑.
这样得到的),(t x u 也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解（当然要求此级数收敛且可以逐项求二阶偏导，即求和和求导可以交换次序）。这种形式的解称为一般解。
现在根据初始条件中的已知函数)(x ?和)(x ψ定出叠加系数n C 和n D .将上面的一般解代入初始条件，得
1
1()sin , (7.4)()sin . (7.5)n n n
n n x C x l n a n x D x l l π?ππψ∞
=∞
=?
=???=∑∑???
注：)(x ?是已知函数而非任意函数().x ?%(,)u x t 既要满足方程又要满足条件。(,)n u x t 由()n X x 构成，)(x ?亦由()n X x 构成。初、边条件仅是其内部规律的极限。
第五步,利用本征函数的正交性确定叠加系数：
设x l n x X n πsin
)(=和x l
m x X m π
sin )(=是分别对应本征值n λ和m λ的两个本征函数，m n λλ≠（即m n ≠）. 显然，它们分别满足
()()0,n
n n X x X x λ''+= （） 0)0(=n X ，()0.n X l = （）
和 ()()0,m
m m X x X x λ''+= （） 0)0(=m X ，()0.m X l = （）
用)(x X m 乘以，用)(x X n 乘以，相减并在区间[]l ,0上积分，即得
()[][]000
()()d ()()()()d ()()()()0,l l
n m n m n m
m n l
n m
m n X x X x x X x X x X x X x x X x X x X x X x λλ''''-=-''=-=??
其中利用了)(x X n 和)(x X m 所满足的边界条件（）和（）. 考虑到m n λλ≠，因此，就证得本征函数的正交性:
进一步计算还可以得到本征函数的模方:
因此，在式两端同乘以x l
m x X m π
sin
)(=，并逐项积分，就得到 001
1
()sin d sin sin d sin
sin d .2
l
l n n l
n m n m x n x m x
x x C x l l l n x m x l
C x C l l πππ?ππ∞=∞
====∑??∑?
所以，02()sin d l n n x
C x x l l
πφ=
?.
同样可以得到，0
2()sin
d l
n n x
D x x n a
l
πψπ=
?.（实为傅里叶级数的奇延拓） 这样，根据初始条件中的已知函数)(x ?和)(x ψ，计算出积分，就可以得到叠加系数n
C 和n
D ，从而就求得了整个定解问题的解。
Step 6,解的物理解释
先观察特解：
()(,)cos sin sin sin sin ,n n n n n n n n n n u x t C at D at x N t k x l l l πππωδ?
?=+=+ ???
其中，l a n n πω=
，l
n k n π=，cos n n n N C δ=，sin n n n N D δ=.因此，),(t x u n 代表一个驻波，sin n n N k x 表示线上各点的振幅分布，()n n t δω+sin 表示点谐振动。n ω是驻波的圆频率，称为两端固定弦的固有频率或本征频率，与初始条件无关；n k 称为波数，是单位长度上波的个数；n δ称为位相，由初始条件决定。在πm x k n =，即
()n m l n m k m x n ,,2,1,0 ,Λ===π的各点上，振动的幅度恒为0，称为波节。包括弦的
两个端点在内，波节点共有1+n 个。在π??
? ??
+
=21m x k n ，即
()()1,,2,1,0 ,212212-=+=+=n m n l m k m x n Λπ的各点上，振幅的绝对值恒为最大，
称为波腹。波腹共有n 个。整个问题的解则是这些驻波的迭加。正是因为这个原因，这种解法也称为驻波法(a generized method of the separation variables).
就两端固定弦来说，固有频率中有一个最小值，即l
a
πω=
1，称为基频。其它固有频率
都是它的整数倍，称为倍频。弦的基频决定了所发声音的音调。在弦乐器中，当弦的质料一定（即ρ一定）时，通过改变弦的绷紧程度（即改变张力T 的大小），就可以调节基频1ω的大小。基频和倍频的迭加系数{}n C 和{}n D 的相对大小决定了声音的频谱分布，即决定了声音的音色。
小结2：对于弦振动的齐次方程和第一类齐次边界条件的混合问题，即：
()20000 0,0; 0,
(); ().
tt xx x x l t t t u a u x l u u u x u x ?ψ====?-=<
==??==?? （注意：这里的x 的范围和函数的边界条件的表示）
它的解是：
1(,)cos sin sin n n n n n n u x t C at D at x l l l πππ∞
=?
?=+ ??
?∑
其中：
02()sin d l n n x
C x x l l πφ=?
02()sin d l n n x D x x n a l πψπ=? 习题七的1-6题属于例题1类型。
例题2，弦振动的齐次边界条件中存在第二类边界条件，如：
()20000 0,
0; 0,
(); ().
tt xx x x x l t t t u a u x l u u u x u x ?ψ====?-=<
==??==?? 注意：边界条件与例题1不一样。
第一步，分离变量，将偏微分方程转化为两个常微分方程。
令(,)()()u x t X x T t =，并代入泛定方程，即得
2()()()()X x T t a X x T t ''''=
等式两端同时除以()()X x T t ，就有
2()()
()()
X x T t X x a T t λ''''==-. 由此得到两个常微分方程：
()()0,X x X x λ''+= 2()()0.T t a T t λ''+=
第二步，将原函数的边界条件化为分离变量后函数的边界条件。
将(,)()()u x t X x T t =代入关于x 的一对齐次边界条件，得
(0)()0X T t '=，()()0X l T t =
得X 的边界条件为：
(0)0X '=，()0X l =
第三步，解()X x 本征值问题。
这样，我们得到本征值问题:
0)()(=+''x X x X λ, (0)0X '=，()0X l =.
0>λ才有解.
解得：()sin X x A B =+.
得到：()X x '=+ 代入边界条件，就有
0;0.B A B =???
+=??
即0;
0.
B A =???=?? A 和B 不能同时为0，否则)(x X 恒为零，因而),(t x u 恒为0（平凡解）
。因此只能是0=
1
()2
n π=+ ()Λ,3,2,1,0=n .
于是，λ只能取如下的一系列值：2
1()2n n l πλ?
?=+???
?()Λ,3,2,1,0=n ;
相应的本征函数就是：
1()cos[()]2n X x n x l
π
=+.
第四步，解()T t 的微分方程，得到(,)u x t 的特解(,)n u x y ，叠加得出一般解。
对于每一个本征值n λ，可以求出相应的()n T t :
11()cos[()]sin[()].22n n n a a T t C n t D n t l l
ππ
=+++
因此，也就得到了满足边界条件的特解:
111(,)cos[()]sin[()]cos[()].222n n n a a u x t C n t D n t n x l l l πππ?
?=++++???
?
把这些特解叠加起来，就得到一般解:
0111(,)cos[()]sin[()]cos[()].222n n n a a u x t C n t D n t n x l l l πππ∞
=?
?=++++???
?∑.
第五步，由本征函数的正交归一性，得到系数，确定解。
将上面的一般解代入初始条件，根据本征函数的正交性得系数为：
021()cos[()]d ,2l n C x n x x l l
π
?=+?
041()cos[()]d (21)2l n x
D x n x n a l
πψπ=
++?
例题3，弦振动的齐次方程和齐次第一类、第二类边界条件
()20000 0,0; 0,
(); ().
tt xx x x x l t t t u a u x l u u u x u x ?ψ====?-=<
==??==?? 注意：边界条件与例题1、例题2都不一样。
第一步，分离变量，将偏微分方程转化为两个常微分方程。
令(,)()()u x t X x T t =，并代入泛定方程，即得
2()()()()X x T t a X x T t ''''=
等式两端同时除以()()X x T t ，就有
2()()
()()
X x T t X x a T t λ''''==-. 由此得到两个常微分方程：
()()0,X x X x λ''+= 2()()0.T t a T t λ''+=
第二步，将原函数的边界条件化为分离变量后函数的边界条件。
将(,)()()u x t X x T t =代入关于x 的一对齐次边界条件，得
(0)()0X T t =，()()0X l T t '=，这时也可以分离变量，得X 的边界条件为： (0)0X =，()0X l '=.
第三步，解()X x 本征值问题。
这样，我们得到本征值问题:
0)()(=+''x X x X λ, (0)0X =，()0X l '=.
0>λ才有解.
解得：()sin X x A B =+.
得到：()X x '=+ 以上两式代入边界条件，就有
0;0.A =???
-+=??
即0;
0.
A B =???=?? A 和B 不能同时为0，否则)(x X 恒为零，因而),(t x u 恒为0（平凡解）
。因此只能是0=
1
()2
n π=+ ()Λ,3,2,1,0=n .
于是，λ只能取如下的一系列值：2
1()2n n l πλ?
?=+???
?()Λ,3,2,1,0=n ;
相应的本征函数就是：
1()sin[()]2n X x n x l
π
=+.
第四步，解()T t 的微分方程，得到(,)u x t 的特解(,)n u x y ，叠加得出一般解。
对于每一个本征值n λ，可以求出相应的()n T t :
11()cos[()]sin[()].22n n n a a T t C n t D n t l l
ππ
=+++
因此，也就得到了满足边界条件的特解:
111(,)cos[()]sin[()]sin[()].222n n n a a u x t C n t D n t n x l l l πππ?
?=++++???
?
把这些特解叠加起来，就得到一般解:
0111(,)cos[()]sin[()]sin[()].222n n n a a u x t C n t D n t n x l l l πππ∞
=?
?=++++???
?∑
第五步，由本征函数的正交归一性，得到系数，确定解。
将上面的一般解代入初始条件，根据本征函数的正交性得系数为：
021()sin[()]d ,2l n C x n x x l l
π?=
+?
041()sin[()]d (21)2l n x D x n x n a l
πψπ=
++?
小结3：对于弦的自由振动，针对齐次边界条件中存在第二类边界条件的两类例题：
例题2()20000 0,
0; 0,(); ().
tt xx x x x l t t t u a u x l u u u x u x ?ψ====?-=<
==??==??
的解为
0111(,)cos[()]sin[()]cos[()].222n n n a a u x t C n t D n t n x l l l πππ∞
=?
?=++++???
?∑
其中
021()cos[()]d ,2l n C x n x x l l
π
?=+?
041()cos[()]d (21)2l n x
D x n x n a l
πψπ=
++?
例题3()20000 0,
0; 0,(); ().
tt xx x x x l t t t u a u x l u u u x u x ?ψ====?-=<
==??==??
的解为
0111(,)cos[()]sin[()]sin[()].222n n n a a u x t C n t D n t n x l l l πππ∞
=?
?=++++???
?∑
其中
021()sin[()]d ,2l n C x n x x l l
π?=
+? 041()sin[()]d (21)2l n x
D x n x n a l
πψπ=++?
习题七的13题属于例题2类型。
题型II ：方程为齐次，边界条件为非齐次。
以习题10为例：求解长为l 的弦的振动问题
()20000 0, (1); 0, (2)0; 0. (3)
tt xx x x l t t t u a u x l u E u u u ====?-=≤≤??
==??==?? 注意边界条件，边界条件为非齐次，直接用分离变量法无法求出解，所以需将非齐次边界条件处理成齐次边界条件，再用分离变量法。
解题方法：用辅助函数法，把非齐次边界条件转化为齐次边界条件。令函数(,)(,)(,)u x t V x t s x t =+，其中(,)s x t 为已知函数。已知函数(,)s x t 的选取条件是：必须能够使得(,)V x t 满足齐次边界条件的混合问题，即：
()2
0 0,
(0,)0;(,)0,
tt xx V a V x l V t V l t ?-=≤≤??
==?? 解：第一步，找出已知函数
令
()
(,)(,)l x u x t V x t E l
-=+
（4） 第二步，把上式带入(,)u x t 的混合问题，转化为(,)V x t 的齐次边界条件的混合问题。
把公式（4）带入公式（1）得：
2tt xx V a V = （5）
将公式（2）带入公式（4）得：
(0,)0;(,)0V t V l t == （6）
将公式（3）带入公式（4）得：
()
(,0)x l V x E l
-=
（7） (,0)0t V x = （8）
这样，函数(,)V x t 满足的混合问题为：
()20 0,(0,)0;(,)0,
()(,0)();(,0)()0
tt xx t V a V x l V t V l t x l V x x E V x x l ?ψ?
?-=≤≤?
==??-?====?
第三步，解关于(,)V x t 的混合问题。
(,)V x t 的混合问题为例题1，所以(,)V x t 解为
1(,)cos sin sin n n n n n n V x t C at D at x l l l πππ∞
=?
?=+ ??
?∑
其中：
0022()()sin d sin d l l n n x E x l n x
C x x x l l l l l
ππφ-==??
02()sin d 0l n n x D x x n a l
πψπ==? 第四步，写出原方程的解。
由()
(,)(,)l x u x t V x t E l
-=+
得： 1()(,)cos sin sin n n n l x n n n u x t E C at D at x l l l l πππ∞
=-?
?=++ ??
?∑
习题七第12题：
()20002 0 (1)
0; 0 (2)(); () (3)
tt xx t x x l t t t u a u hu x l u u u x u x ?ψ====?=-<
==??==?? 其中h 是一个充分小的正数，(),()x x ?ψ为充分光滑的已知函数。
分析：泛定方程（1）式除了u ，不存在第二个函数项，所示是齐次微分方程，（2）式为边界条件而且是齐次的，所以该题可以用分离变量法。
解：第一步，分离变量，将偏微分方程转化为两个常微分方程。
令
(,)()()u x t X x T t = （4）
将（4）式代入方程（1），即得
2()()()()2()()X x T t a X x T t hX x T t '''''=-
等式两端同时除以()()X x T t ，把关于x 和t 的函数分移至等号两边，有
2()()2()
(0)()()
X x T t hT t X x a T t λλ'''''+==->. 由此得到两个常微分方程：
()()0X x X x λ''+= （5） 2()2()()0T t hT t a T t λ'''++= （6）
第二步，将原函数的边界条件化为分离变量后函数的边界条件。
将(,)()()u x t X x T t =代入关于x 的一对齐次边界条件（2）式，得
(0)()0X T t =，()()0X l T t =，这时也可以分离变量，得X 函数的边界条件为：
(0)0X =，()0X l = （7）
第三步，解()X x 本征值问题。
这样，我们得到本征值问题:
0)()(=+''x X x X λ, (0)0X =，()0X l =.
解得：()sin X x A B =+. 代入边界条件，就有
0;0.A A B =???
+=??
即0;
0.
A B =???=?? A 和B 不能同时为0，否则)(x X 恒为零，因而),(t x u 恒为0（平凡解）
。因此只能是0=
n π= ()1,2,3,n =L .
于是，λ只能取如下的一系列值：2
()n n l
πλ=()1,2,3,n =L ; 相应的本征函数就是：
()sin(
)n n X x x l
π
= （8） 第四步，解()T t 的微分方程，得到(,)u x t 的特解(,)n u x y ，叠加得出一般解。
解（6）式：2
()2()()0T t hT t a T t λ'''++=
（6）式的特征函数为22
20r hr a λ++=，其特征根为：
r h =-±
因此（6）式解为：
((()()h t
h t
ht T t C e D e e C D -+---''=+=+
对于每一个本征值n λ，相应的()n T t :
(){cos[sin[ht n n n T t e C D -=+ 因此，也就得到了满足边界条件的特解:
(,){cos[sin[]}sin()ht n n n n u x t e C D x l
π-=+ 把这些特解叠加起来，就得到一般解:
1
(,){cos[sin[]}sin()ht n n n n u x t e C D x l
π
∞
-==+∑ （9） 第五步，由本征函数的正交性，得到系数，确定解。
将初始条件(,0)()u x x ?=代入上面的一般解，得：
1
(,0)sin(
)()n n n u x C x x l
π
?∞
===∑ 根据本征函数sin(
)n x l
π
的正交性得系数为： 02()sin()d l n n C x x x l l
π
?=? （10）
（9）式对t 求导为：
1
1
(,){cos[sin[]}sin(){]}sin()ht t n n n ht n n u x t he C D x l
n e C D x l
π
π∞
-=∞
-==-++-+∑∑
将初始条件(,0)()t u x x ψ=带入上求导式，得
11
(,0)sin()sin()()t n n n n n u x hC x D x x l l ππ
ψ∞
∞
===-+=∑∑
根据本征函数sin(
)n x l
π
的正交性，得：
0()sin()d 2l n
n l n hC D x x x l
π
ψ-+=?
把（10）式带入，得到
()sin()d ()sin(
)d l
l
n n n D x x x x x x l
l
π
π
?ψ=
+?（11） 该题的解为（9）式，（10）式和（11）式为（9）式中的系数。
第四节 非齐次振动方程求解
前面所讨论的问题中的偏微分方程都是齐次的，现在来讨论非齐次偏微分方程的解法。为方便起见，以长为l 两端固定的弦的强迫振动为例，所用方法对其它类型的方程也适合。即考虑定解问题
()()22222
000(,)(0,0),(4.1)0,0
(0),(4.2),(0).(4.3)
x x l t t u u a f x t x l t t x u u t u u x x x l t ?ψ====???=+<<>?????
==>??
??==<
由所给的定解问题可以看出：弦两端固定，所以做的是强迫振动。 方法1：直接利用本征函数来求解，即把解展开成本征函数的形式，求出参数。（该方法的前提条件是要知道此定解问题对应的齐次方程的本征函数）
由上节例题1可知：两端固定的弦的自由振动在弦上形成驻波形式，其本征值为
2(
)n n l πλ=，本征函数为sin n x l
π
。则该弦在强迫力(,)f x t 作用下仍作类似该驻波形式的振动，因此，直接利用本征函数来求解。
第一步，将上述定解问题中未知函数(,)u x t 、已知函数(,)f x t 、()x ?和()x ψ都展开成本征函数sin
n x l
π
的级数形式。令 1(,)()sin
n n n u x t T t x l
π
∞
==∑ （） 1
(,)()sin
n n n f x t f t x l
π
∞
==∑ （） 1
()sin
n n n x x l
π
??∞
==∑ （） 1
()sin
n n n x x l
π
ψψ∞
==∑ （） 由本征函数的正交性可知：
第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 1.直线的倾斜角： 2.直线的斜率： 3.直线的斜率公式： 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角 例 1 已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（）. A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 变式训练： 设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕原点沿逆时针方向旋转45°， 得到直线，则的倾斜角为（）。 A. B. C. D. 当0°≤α＜135°时为，当135°≤α＜180°时，为 题型二求直线的斜率 例2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练：已知过两点, 的直线l的倾斜角为45°，求实数的值. 题型三直线的倾斜角与斜率的关系 例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）. A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2
拓展一三点共线问题 例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 变式训练: 若三点P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（）. A． B． C． D． 拓展二与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围. 变式训练： 已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围.
拓展三利用斜率求最值 例 6 已知实数、满足当2≤≤3时，求的最大值与最小值。 变式训练：利用斜率公式证明不等式：且 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 1.直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x轴和y轴的两直线）： 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例 1 已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？ 变式训练：经过点和的直线平行于斜率等于1的直线，则的值是（）. A．4 B．1 C．1或3 D．1或4
精品文档 #include "stdafx.h" #include 光纤通信基础 1. 有线接入技术按照接入时所使用的材料来分类，目前主要使用的接入方式有铜线和光纤。 2. 光纤是目前宽带最宽的传输介质。与其他常见传输介质相比，抗干扰性也是最好的。并且由于光纤中传输的光波要比无线电通信使用的频率高得多，因此其通信容量也比无线电通信大得多。 3. 光纤由纤芯和包层组成，为保证光的传导，纤芯的折射率应大于包层的折射率。 4. 光缆中填充石油油膏的主要目是为了光滑。普通土质要求光缆的埋深应不小于1.2m。 5. 在光缆的型号中，GY表示通信用室外（野）光缆。 6. 光纤的接口标准有ST、FC、SC、LC和MTRJ。其中SC为大方头，LC为小方头，FC 为圆头。 7. 光纤截面的研磨工艺常见为PC与APC，PC表示平面，APC为8度斜面。在EPON系统中，常用的插头类型主要为FC与SC两种，研磨工艺为PC。 8. 光纤的连接方式有三种：永久性连接（熔接），应急连接（冷接），活动连接（插头/插座）。 9. 光纤通信中，一般使用的波长从800nm至1600nm。常见的工作窗口有850nm、1310nm、1550nm三个区间。由于光纤通信中使用的是不可见光，虽然肉眼无法观看到，但依然具有光热效应，眼睛不能直接对着发光器件，以免造成不可逆的视力伤害。 10. 光纤的衰减指的是光在光纤中传输时的能量损耗。 11. 光纤按照光纤模式分类，可分为单模光纤（single mode）和多模光纤（multimode）。由单模光纤的传输特性比多模光纤好，价格比多模光纤便宜，因而得到更广泛的应用。 12. G.652光纤称为常规单模光纤，其特点是在波长1.31μm处色散为零，系统的传输距离一般只受损耗的限制。一般用于长距离传输。 13. 单模光纤在1310nm波长处的衰减为0.4-0.6dB/km，在1550波长处的衰减0.2-0.3dB/km。 14. 光缆按敷设方式可分为管道光缆、直埋光缆、架空光缆和水底光缆等。 15. 光纤通信的主要缺点：容易折断，光纤连接困难，光纤通信过程中怕水、怕冰，光纤怕弯曲。 16. 光纤通信的主要优点：传输损耗低、中继距离长，抗电磁干扰能力强，保密性能好，重量轻，体积小，节省有色金属和原材料，较强的耐高低温能力。 PON系统概述 概述 1. PON，无源光网络，一种基于P2MP（点到多点）拓扑的技术，是一种应用于接入网，局端设备（OLT）与多个用户端设备（ONU/ONT）之间通过无源的光缆、光分/合路器等组成的光分配网（ODN）连接的网络。常见的PON网络有APON、EPON和GPON等。PON系统主要的组网方式有星型、环型、树型、总线型。PON网络在整个网络中的位置，一般属于接入网。 2. EPON，基于以太网的无源光网络，采用WDM技术，强制性实现单纤双向传输。上行1310nm，下行1490nm，CA TV1550nm。普通光功率只能测试下行1490nm波长的光功率。上行1310nm的光功率需采用波长分离EPON专用的光功率计。是中国电信目前大范围推广、应用的PON技术。 3. EPON系统下行采用广播技术，每个ONU都会接受OLT发送的所有数据。不同的ONU 依据不同的LLID来过滤数据，仅获取与自己LLID相同的数据包。需要注意的是，EPON 系统提供加密，即便每个ONU能收到广播来的所有信息，用户数据还是安全的。 4. 上行采用TDMA时分复用技术。由OLT发送指令分配时隙，来进行传输数据。ONU不能主动发光。这也是为什么普通光功率计无法测试上行光功率的缘故。 波动光学习题解答 1-1 在氏实验装置中，两孔间的距离等于通过光孔的光波长的100倍，接收屏与 双孔屏相距50cm 。求第1 级和第3级亮纹在屏上的位置以及它们之间的距离。 解： 设两孔间距为d ，小孔至屏幕的距离为D ，光波波长为λ，则有=100d λ. (1)第1级和第3级亮条纹在屏上的位置分别为 -5150==510m 100D x d λ=?? -42503==1.510m 100 D x d λ=?? (2)两干涉条纹的间距为 -42=1.010m D x d λ?=?? 1-2 在氏双缝干涉实验中，用0 6328A =λ的氦氖激光束垂直照射两小孔，两小孔的间距为1.14mm ，小孔至屏幕的垂直距离为1.5m 。求在下列两种情况下屏幕上干涉条纹的间距。 （1）整个装置放在空气中； （2）整个装置放在n=1.33的水中。 解： 设两孔间距为d ，小孔至屏幕的距离为D ，装置所处介质的折射率为n ，则两小孔出射的光到屏幕的光程差为 21()x n r r nd D δ=-= 所以相邻干涉条纹的间距为 D x d n λ?=? （1）在空气中时，n ＝1。于是条纹间距为 943 1.5 632.8108.3210(m)1.1410 D x d λ---?==??=?? （2）在水中时，n ＝1.33。条纹间距为 9 43 1.563 2.810 6.2610(m)1.1410 1.33 D x d n λ---???=?==??? 1-3 如图所示，1S 、2S 是两个相干光源，它们到P 点的距离分别为1r 和2r 。路径1S P 垂直穿过一块厚度 为1t 、折射率为1n 的介质板，路径2S P 垂直穿过厚度为2t ，折射率为2n 的另一块介质板，其余部分可看做真空。这两条路径的光程差是多少？ 解：光程差为 222111[r (n 1)t ][r (n 1)t ]+--+- 1-4 如图所示为一种利用干涉现象测定气体折射率的原理性结构，在1S 孔后面放 置一长度为l 的透明容器，当待测气体注入容器而将空气排出的过程中幕上的干涉条纹就会移动。由移过条纹的根数即可推知气体的折射率。 （1）设待测气体的折射率大于空气折射率，干涉条纹如何移动？ （2）设 2.0l cm =，条纹移过20根，光波长为 589.3nm ，空气折射率为1.000276，求待测气体（氯气）的折射率。 1-5 用波长为500 nm 的单色光垂直照射到由两块光学平玻璃构成的空气劈尖上。在观察反射光的干涉现象中，距劈尖棱边1=1.56 cm 的A 处是从棱边算起的第四条暗条纹中心。 （1）求此空气劈尖的劈尖角θ； （2）改用600 nm 的单色光垂直照射到此劈尖上，仍观察反射光的干涉条纹，A 处是明条纹还是暗条纹？ （3）在第（2）问的情形从棱边到A 处的围共有几条明纹，几条暗纹？ 直线与方程 知识点复习： 一、直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k 表示。即tan k α=。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0 第19单元 波动光学（二） 学号 姓名 专业、班级 课程班序号 一 选择题 [C]1. 在如图所示的单缝夫琅和费衍射装置中，将单缝宽度a 稍稍变窄，同时使会聚透镜L 沿y 轴正方向作微小位移，则屏幕E 上的中央衍射条纹将 (A) 变宽，同时向上移动 (B) 变宽，同时向下移动 (C) 变宽，不移动 (D) 变窄，同时向上移动 (E) 变窄，不移动 [ D ]2. 在双缝衍射实验中，若保持双缝S1和S2的中心之间的距离d 不变，而把两条缝的宽度a 稍微加宽，则 (A) 单缝衍射的中央主极大变宽，其中所包含的干涉条纹数目变少 (B) 单缝衍射的中央主极大变宽，其中所包含的干涉条纹数目变多 (C) 单缝衍射的中央主极大变宽，其中所包含的干涉条纹数目不变 (D) 单缝衍射的中央主极大变窄，其中所包含的干涉条纹数目变少 (E) 单缝衍射的中央主极大变窄，其中所包含的干涉条纹数目变多 [ C ]3. 在如图所示的单缝夫琅和费衍射实验中，若将单缝沿透镜光轴方向向透镜平移，则屏幕上的衍射条纹 (A) 间距变大 (B) 间距变小 (C) 不发生变化 (D) 间距不变，但明暗条纹的位置交替变化 [ B ]4. 一衍射光柵对某一定波长的垂直入射光，在屏幕上只能出现零级和一级主极大，欲使屏幕上出现更高级次的主极大，应该 (A) 换一个光栅常数较小的光栅 (B) 换一个光栅常数较大的光栅 (C) 将光栅向靠近屏幕的方向移动 (D) 将光栅向远离屏幕的方向移动 λ L 屏幕 单缝 f 单缝 λa L E f O x y [ B ]5. 波长λ =5500 ?的单色光垂直入射于光柵常数d = 2?10-4cm 的平面衍射光柵上，可能观察到的光谱线的最大级次为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 二 填空题 1. 用半波带法讨论单缝衍射暗条纹中心的条件时，与中央明条纹旁第二个暗条纹中心相对应的半波带的数目是_____4_________。 2. 如图所示，在单缝夫琅和费衍射中波长λ的单色光垂 直入射在单缝上。若对应于汇聚在P 点的衍射光线在缝 宽a 处的波阵面恰好分成3个半波带，图中 ____________CD BC AB ==，则光线1和光线2在P 点的相差为 π 。 3. 一束单色光垂直入射在光栅上，衍射光谱中共出现5条明纹，若已知此光栅缝宽度与不透明部分宽度相等，那么在中央明纹一侧的两条明纹分别是第__一___级和第___三_级谱线。 4 用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上时，波长为λ1=440nm 的第3级光谱线，将与波长为λ2 = 660 nm 的第2级光谱线重叠。 5. 用波长为λ的单色平行光垂直入射在一块多缝光柵上，其光柵常数d=3μm ，缝宽a =1μm ，则在单缝衍射的中央明条纹中共有 5 条谱线(主极大)。 三 计算题 1. 波长λ=600nm 的单色光垂直入射到一光柵上，测得第二级主极大的衍射角为30o ，且第三级是缺级。则 (1) 光栅常数(a ＋b )等于多少？ (2) 透光缝可能的最小宽度a 等于多少 (3) 在选定了上述(a ＋b )和a 之后，求在屏幕上可能呈现的全部主极大的级次。 解：(1) 由光栅公式：λ?k d =sin ，由题意k = 2，得 P λ5.1λA B C D a 1234 考点1：倾斜角与斜率 （一）直线的倾斜角 例1例1. 若θ为三角形中最大内角，则直线0tan :=++m y x l θ的倾斜角的范围是（ ） A.??? ?????? ??32,22,0πππ B.??? ?????? ??32223ππππ，， C.??? ?????? ??πππ，，330 D.?? ? ?????? ??πππ，，3220 2 若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A ．,63ππ?????? B ．,62ππ?? ??? C ．,32ππ?? ??? D ．,62ππ?????? （二）直线的斜率及应用 3、利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 例2、设,,a b c 是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)A a a B b b C c c 、、在同一直线上，求证：0a b c ++= 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为（） A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 3．已知直线l 则直线的倾斜角为（ ） A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 4．若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是（ ）. A ．4,5a b == B ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -= 5．右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）. A .k 1＜k 2＜k 3 B. k 3＜k 1＜k 2 C. k 3＜k 2＜k 1 D. k 1＜k 3＜k 2 6．已知两点A (x ，－2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝ . 7．若A (1，2)，B (-2，3)，C (4，y )在同一条直线上，则y 的值是 . 8．已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围. 9、直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，则a 的取值范围是________． 考点2：求直线的方程 例3. 已知点P (2，－1)．(1)求过P 点且与原点距离为2的直线l 的方程； (2)求过P 点且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？ (3)是否存在过P 点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由． 1、求过点P （2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a 、b,且满足a=3b 的直线方程。 2、设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是（ ）A. x ＋y －5＝0 B. 2x －y －1＝0 C. 2y －x －4＝0 D. 2x ＋y －7＝0 3、直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12，则该直线方程为________． 4、过点P (－2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_____________． 5、已知点A (2，－3)是直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0与直线a 2x ＋b 2y ＋1＝0的交点，则经过两个不同点P 1(a 1，b 1)和P 2(a 2，b 2)的直线方程是( )A ．2x －3y ＋1＝0 B ．3x －2y ＋1＝0 C ．2x －3y －1＝0 D ．3x －2y －1＝0 6、.过点P (0,1)且和A (3,3)，B (5，－1)的距离相等的直线方程是( ) A ．y ＝1 B ．2x ＋y －1＝0 C ．y ＝1或2x ＋y －1＝0 D ．2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0 7.如图，过点P （2，1）作直线l ，分别为交x 、y 轴正半轴于A 、B 两点。（1）当⊿AOB 装维竞赛题库 判断题 1. 单口SFU + LAN上行e8-C定制终端组合的FTTH形态，其LAN上行e8-C定制终端的上行 链路具备QoS能力，优先保障VOIP语音业务的上行链路。A.正确B.错误答案：A 2. 单口SFU + LAN上行e8-C定制终端组合，也适用于光纤入户困难，单口SFU置于用户家 庭门口楼道，LAN上行e8-C定制终端置于用户家庭内部的情形。A.正确B.错误答案：A 3. AP 外置型PON上行e8-C终端的上行接口为PON口A.正确 B.错误答案：A 4. 按照中国电信规范要求，机卡分离家庭网关与接入方式有直接关系，只能与LAN上行的 e8-C、e8-B 终端相结合，应用于FTTB+LAN接入场景。A.正确B.错误答案：B 5. 单口SFU + LAN上行e8-C定制终端组合的FTTH形态，WLAN功能由SFU提供。A.正确B.错误答案：B 6. 单口SFU + LAN上行e8-C定制终端组合的FTTH形态，VOIP 业务由电话机外接单口SFU 的POTS口来实现。A.正确B.错误答案：B 7. 敷设蝶形引入光缆的最小弯曲半径应符合：敷设过程中不应 小于50mm；固定后不应小 于30mm。( ) A.正确B.错误答案：B 8. 室外引入线敷设时，同路电杆档的引入线不超过8对，超过时应改用电缆引入( ) A.正确B.错误答案：B 9. 装维作业过程中不能影响或中断其他客户的正常通讯( ) A.正确B.错误答案：A 10. 根据现场的实际情况对线槽及其配件进行组合，在切割直线槽时，可以分别处理线槽盖 和底槽。( ) A.正确B.错误答案：B 11. 光缆分纤/分路箱只能在用户室内、外的墙壁上。（）A.正确B.错误答案：B 12. 对于紧急排障，要坚持“先抢通，后修复”的原则。（）A.正确B.错误答案：A 13. 蝶形引入光缆可以长期浸泡在水中，一般适宜直接在地下管道中敷设( ) A.正确B.错误答案：B 14. 电缆问题中，本对芯线在电缆中间或接头中间错接到另一对芯线上，称地气，也称接地。 （）A.正确B.错误答案：B 15. 采用纵包管方式对蝶形引入光缆进行包扎保护，主要在光缆穿越墙洞、障碍物以及与其 它线缆交叉处使用。( ) A.正确B.错误答案：B 16. PON中的ODN位于ONU和OLT之间，ODN全部由无源器 习题13 13.1选择题 （1）在双缝干涉实验中，为使屏上的干涉条纹间距变大，可以采取的办法是[ ] (A) 使屏靠近双缝． (B) 使两缝的间距变小． (C) 把两个缝的宽度稍微调窄． (D) 改用波长较小的单色光源． [答案：C] （2）两块平玻璃构成空气劈形膜，左边为棱边，用单色平行光垂直入射．若上面的平玻璃以棱边为轴，沿逆时针方向作微小转动，则干涉条纹的[ ] (A) 间隔变小，并向棱边方向平移． (B) 间隔变大，并向远离棱边方向平移． (C) 间隔不变，向棱边方向平移． (D) 间隔变小，并向远离棱边方向平移． [答案：A] （3）一束波长为λ的单色光由空气垂直入射到折射率为n 的透明薄膜上，透明薄膜放在空气中，要使反射光得到干涉加强，则薄膜最小的厚度为[ ] (A) λ / 4 ． (B) λ / (4n )． (C) λ / 2 ． (D) λ / (2n )． [答案：B] （4）在迈克耳孙干涉仪的一条光路中，放入一折射率为n ，厚度为d 的透明薄片，放入后，这条光路的光程改变了[ ] (A) 2 ( n -1 ) d ． (B) 2nd ． (C) 2 ( n -1 ) d +λ / 2． (D) nd ． (E) ( n -1 ) d ． [答案：A] （5）在迈克耳孙干涉仪的一条光路中，放入一折射率为n 的透明介质薄膜后，测出两束光的光程差的改变量为一个波长λ，则薄膜的厚度是 ［ ］ (A) λ / 2 ． (B) λ / (2n )． (C) λ / n ． (D) λ / [2(n-1)]． [答案：D] 13.2 填空题 （1）如图所示，波长为λ的平行单色光斜入射到距离 为d 的双缝上，入射角为θ．在图中的屏中央O 处 (O S O S 21=)，两束相干光的相位差为 ________________． [答案：2sin /d πθλ] （2）在双缝干涉实验中，所用单色光波长为λ＝562.5 nm (1nm ＝10-9 m)，双缝与观察屏的距离D ＝1.2 m ，若测得屏上相邻明条纹间距为?x ＝1.5 mm ，则双缝的间距d ＝ 第三章直线与方程 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角与斜率 设直线I斜率为k且1 3.1.2两条直线平行与垂直的判定 【 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例1 已知直线l i 经过点M (-3, 0)、N (-15,-6), 12 经过点R (-2, - )、S (0, 2 5)，试判断^与12是否平行？ 2 变式训练：经过点P( 2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，贝U m的值是(). A . 4 B. 1 C. 1 或3 D. 1 或4 题型二两条直线垂直关系 例2已知ABC的顶点B(2,1), C( 6,3)，其垂心为H( 3,2)，求顶点A的坐标. 变式训练：(1) h的倾斜角为45 ° 12经过点P (-2，-1 )、Q (3，-6)，问h与12是否垂直？ (2)直线11,12的斜率是方程x2 3x 1 0的两根，则h与12的位置关系是—. 题型三根据直线的位置关系求参数 例3已知直线h经过点A(3,a)、B (a-2,-3)，直线S经过点C (2，3)、D (-1，a-2) (1)如果I1//I2，则求a的值；(2)如果11丄12，则求a的值 题型四直线平行和垂直的判定综合运用 例4四边形ABCD的顶点为A(2,2 2 2)、B( 2,2)、C(0,2 2.. 2)、D(4,2)，试判断四边形ABCD的形状. 光学练习题 一、 选择题 11. 如图所示，用厚度为d 、折射率分别为n 1和n 2 (n 1＜n 2)的两片透明介质分别盖住杨氏双缝实验中的上下两缝, 若入射光的波长为, 此时屏上原来的中央明纹处被第三级明纹所占 据, 则该介质的厚度为 [ ] (A) λ3 (B) 1 23n n -λ (C) λ2 (D) 1 22n n -λ 17. 如图所示，在杨氏双缝实验中, 若用一片厚度为d 1的透光云母片将双缝装置中的上面一个缝挡住; 再用一片厚度为d 2的透光云母片将下面一个缝挡住, 两云母片的折射率均为n , d 1＞d 2, 干涉条纹的变化情况是 [ ] (A) 条纹间距减小 (B) 条纹间距增大 (C) 整个条纹向上移动 (D) 整个条纹向下移动 18. 如图所示，在杨氏双缝实验中, 若用一片能透光的云母片将双缝装置中的上面一个缝盖住, 干涉条纹的变化情况是 [ ] (A) 条纹间距增大 (B) 整个干涉条纹将向上移动 (C) 条纹间距减小 (D) 整个干涉条纹将向 下移动 26. 如图(a)所示，一光学平板玻璃A 与待测工件B 之间形成空气劈尖，用波长λ＝500nm(1nm = 10-9m)弯曲部分的顶点恰好与其右边条纹的直线部分的切线相切．则工件的上表面缺陷是 [ ] (A) 不平处为凸起纹，最大高度为500 nm (B) 不平处为凸起纹，最大高度为250 nm (C) 不平处为凹槽，最大深度为500 nm (D) 不平处为凹槽，最大深度为250 nm 43. 光波的衍射现象没有声波显著, 这是由于 [ ] (A) 光波是电磁波, 声波是机械波 (B) 光波传播速度比声波大 (C) 光是有颜色的 (D) 光的波长比声波小得多 53. 在图所示的单缝夫琅禾费衍射实验中，将单缝K 沿垂直光的入射光(x 轴)方向稍微 平移，则 [ ] (A) 衍射条纹移动，条纹宽度不变 (B) 衍射条纹移动，条纹宽度变动 (C) 衍射条纹中心不动，条纹变宽 (D) 衍射条纹不动，条纹宽度不变 K S 1 L L x a E f 告实验报学生 偏微分方程数值解实验课程名称 开课实验室数统学院 信计02班专业班院数统年级2013 学 学号姓学生名 学年第2016 2 学期开课时间2015 至 总成绩 教师签名 数学与统计学院制 开课学院、实验室：数统学院实验时间2016年6月20日： kkjikkk1kk?1k?kkk u??2uuu?2u?2u?uu?u ,j?,iji,,ijj1ij?1,i,ij,jii?1,jj,?1i??（2）?????kk?1k21kkkk2）3（uu???u??u?ruuu?24r 222?hh整理得到： j,ij,i1?j,i1?j,ij1,?ij1,?ij,i ????，差分格式为：kkkk（4）,140?0,k?0,1,u?u?u?u N0,0,N0,N,0N 考虑初始条件y?sinsinuxx,y,0 ????????0????（5）,10usin?sin0,1,xjsinjh?y,?sini,ih jjii,2??????，利用二阶差商近似：考虑初始条件0,1?,y,0,?0,yuxx t1?1u?u j,jii,?0,i,j?0,1,,10（6）?2设时刻的点为内点，则满足差分格式（2），代入上式得到：0k? ????002211?000（7）u?uu?u4?ur??u2?r?u j,iii,,jj?j?i1?1,j1i,?1,jjii,11?uu?代入（将（6）得到的结果7）中，整理得到：ji,ji,1????01202000）（8?u?1??u2rru?uu?u j,j?1i,1,jjii,j?1?i1,j,ii?2 8）得到三层显格式的差分格式为：（4）、（5）、（综上（2）、??????1kk2kkk2kk?1u?u???uu4?urr?2u?u i,ij?1,,ii,,jj?1i?1,jji?1,jji?i,j?1,2,,9,k?1,2,,139??kkkk?u?u?u?u,1 40?0,k?0,1,（9）N0,N,0NN0,0,? ????????0?????,i,jih?u?sinsinx0,1,sin,10jhy?sin jji,i? 1?????02102000,10?0,1,uu,?ui?1?2ru?,ruj?u? ?1j?1i,ijii?,j1,j,j?ii,j?1,?2? ??22?0.1?r?其中，局部截断误差为ho?。h 四．实验环境（所用软件、硬件等）及实验数据文件 Matlab %二维波动方程数值计算（关键：怎么运用i,j,k三个指标建立循环） clc; %可以将代码换成函数m文件 h=0.1;tau=0.1*h;%定义步长 r=tau/h;%网比 空间网格剖分[x,y,t]=meshgrid(0:h:1,0:h:1,0:tau:1.4);%． 电信客户端装维理论考试题库 一、基础知识及客户端装维指标介绍 1.严格遵守国家法律、法规和行业各项规章制度，保护用户通信自由、通信秘密、个人隐私及财产设施， 严禁利用职务工作之便做出有损企业和用户利益的行为。 2.诚实守信、准时履约、严格遵守与用户约定，遵守“首问负责制”，做到热情诚恳、积极主动、服务周 到，及时处理或反馈用户提出需求。 3.不能影响或中断其它用户的正常通讯，不能擅自使用用户电话或线路，因工作联系使用用户电话应征求 用户同意后拨打免费业务电话。 4.中国电信的服务宗旨是用户至上，用心服务。 5.我公司的全称是中国电信股份有限公司温州分公司。 6.我们目前工单调度使用的是电信综合调度监控系统（客户端支撑系统）。 7.电信客户服务热线电话是10000号。 8.电信品牌用户指我的E家和商务领航的用户，固话和宽带业务是中国电信的主要基础业务，其终端装维 服务质量是影响用户感知度的重要因素。 9.客户用户满意率是指当月回访满意的客户装移修工单总数与所有回访成功的客户装移修工单总数之比； 客户用户满意率指标要求95%。 10.因各类原因造成装移机工单退单总数与装移机工单总数之比；退单指标要求小于3%。 11.一次预约成功率是指按照第一次与客户约定时间提供上门服务履约工单与预约工单总数之比；一次预约 成功率指标要求大于75%。 12.宽带装/移机外线竣工平均时长是指所有宽带装/移机总历时除以所有宽带装/移机工单总数（不剔除非 工作时间）；宽带装机时长目标值：小于36小时，宽带移机时长目标值：小于60小时。 13.预约服务履约率中的按照约定时间要求，上午比对时间为预约当天14：00时和下午比对时间为预约当 天22：00时,经客户同意后经过改约流程，并按照最后约定时间提供上门服务的工单视为履约工单。 14.宽带重复障碍率是指当月宽带重复障碍派单数量与宽带障碍派单总数中之比，根据一个月内该用户的报 障记录，凡在消障后再次申告的属于重复障碍，重复次数为N-1；未消障以前，同一用户多次申告不属于重复障碍；宽带重复障碍率指标要求品牌用户7%，普通用户9%。 15.宽带障碍平均修复时长是指所有宽带派单障碍修复总历时除以宽带派单障碍总次数（不剔除非工作时 间）；宽带障碍平均修复时长指标要求品牌用户小于3小时，普通用户小于5小时。 16.宽带障碍率是指当月宽带障碍派单数量与宽带实装用户总数中之比；宽带障碍率指标要求品牌用户3%， 普通用户2%. 一、选择题(每题4分，共20分) 1．如图所示，波长为λ的平行单色光垂直入射在折射率为2n 的薄膜上，经上下两个表面反射的两束光发生干涉。若薄膜厚度为e ，而且321n n n >>，则两束反射光在相遇点的位相差为（B （A ） 22πn e λ ； （B ） 24πn e λ ； （C ） 24πn e πλ -； （D ） 24πn e πλ +。 2．如图示，用波长600λ=nm 的单色光做双缝实验，在屏P 处产生第五级明纹，现将折射率n =1.5的薄透明玻璃片盖在其中一条缝上，此时P （A ）5.0×10-4cm ；（B ）6.0×10-4cm ； （C ）7.0×10-4cm ；（D ）8.0×10-4cm 。 3．在单缝衍射实验中，缝宽a =0.2mm ，透镜焦距f =0.4m ，入射光波长λ=500nm 位置2mm 处是亮纹还是暗纹？从这个位置看上去可以把波阵面分为几个半波带？（ D ） (A) 亮纹，3个半波带； (B) 亮纹，4个半波带；(C) 暗纹，3个半波带； (D) 暗纹，4个半波带。 4．波长为600nm 的单色光垂直入射到光栅常数为2.5×10-3mm 的光栅上，光栅的刻痕与缝宽相等，则光谱上呈现的全部级数为（B ） (A) 0、1±、2±、3±、4±； (B) 0、1±、3±；(C) 1±、3±； (D) 0、2±、4±。 5． 自然光以60°的入射角照射到某一透明介质表面时，反射光为线偏振光，则（ B ） (A) 折射光为线偏振光，折射角为30°； (B) 折射光为部分偏振光，折射角为30°； (C) 折射光为线偏振光，折射角不能确定； (D) 折射光为部分偏振光，折射角不能确定。 二、填空题(每小题4分，共20分) 6．波长为λ的单色光垂直照射在空气劈尖上，劈尖的折射率为n ，劈尖角为θ，则第k 级明纹和第3k +级明纹的间距l = 32s i n λn θ 。 7．用550λ=nm 的单色光垂直照射牛顿环装置时，第4级暗纹对应的空气膜厚度为 1.1 μm 。 8．在单缝夫琅和费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小。若1600nm λ=为入射光，中央明纹宽度为 3m m ；若以2400nm λ=为入射光，则中央明纹宽度为 2 mm 。 9．设白天人的眼瞳直径为3mm ，入射光波长为550nm ，窗纱上两根细丝之间的距离为3mm ，人眼睛可以距离 13.4 m 时，恰能分辨。 10.费马原理指出，光总是沿着光程为 极值 的路径传播的。 三、计算题(共60分) 11.（10分）在杨氏双缝实验中，双缝间距d =0.20mm ，缝屏间距D ＝1.0m ，试求：(1)若第二级明条纹离屏中心的距离为6.0mm ，计算此单色光的波长；(2)相邻两明条纹间的距离． 解：(1)由λk d D x = 明知，23 0.26002110 x nm λ= =??， 3 n e 直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k 1=k 2, 那么一定有L 1∥L 2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 基础卷 一．选择题： 1．下列命题中，正确的命题是 （A ）直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α （B ）直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α （C ）任何一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都存在斜率 （D ）直线的斜率为0，则此直线的倾斜角为0或π 2．直线l 1的倾斜角为30°，直线l 2⊥l 1，则直线l 2的斜率为 （A ）3 （B ）－3 （C ）33 （D ）－3 3 3．直线y =x cos α+1 (α∈R )的倾斜角的取值范围是 （A ）[0, 2π] （B ）[0, π) （C ）[－4π, 6π] （D ）[0, 4π]∪[4 3π,π) 4．若直线l 经过原点和点(－3, －3)，则直线l 的倾斜角为 （A ）4π （B ）54π （C ）4π或54 π （D ）－4π 5．已知直线l 的倾斜角为α，若cos α=－5 4，则直线l 的斜率为 第六次作业 波动光学 一、选择题： 1.C ；2.A ；3.C ；4. BC ；5. A ；6. E ；7. C ；8. C ；9. A 。 二、填空题： 1. nr ， 光程。 2. )(12r r n - ， c r r n ν π )(212- 。 3. 频率相同、振动方向相同、相位差恒定的两束光；将同一光源发出的光分为两束，使两束光在空间经不同路程再次相遇；分波阵面；分振幅。 4. 5 5.1 。 5. 暗， 明，2 2n λ ， sin θ 2θ 222n n λ λ 或 。 6. 光疏，光密，反射，或半波长2 λ ，π 。 7. 6，1 ，明。 8. 2， 4 1，?45。 9. 51370'， 90o ，1.32 。 10. 610371.1-?m 。 11. 910699-?.m 。 12. 寻常；非常；光轴；O 。 三、问答题 答：将待检光线垂直入射偏振片，并以入射光为轴旋转偏振片，透射光强若光强不变则为自然光，光强有强弱变化但最弱不为零则为部分偏振光，光强有强弱变化且最弱处光强为零则为完全偏光。 四、计算题 1. 解：方法一：设相邻两条明纹间距为l ，则 10 b l = ，且L d = ≈θθtan sin 对于空气劈尖，相邻两条明纹对应的厚度差为 2 λ =?e 而 10 22sin b d L e l = = = ?=λθ λ θ 所以，细丝直径 m b L d 6 3 9 2 10 91710 008010 863210002055----?=?????= = ....λ 方法二： 由明纹条件得 λ λ δk e =+ =2 2 22??? ? ? -=λλk e k θλλθ22??? ? ? -== k e l k k 22)10(10??? ? ? -+=+λλk e k θ λλθ 22)10(10 10??? ? ? -+== ++k e l k k d L L d l l b k k λλθ λ5/521010= == -=+ 所以，细丝直径 m b L d 6 3 9 2 10 91710 008010 863210002055----?=?????= = ....λ 2. 解：（1）光程差2 21λ δ+ =e n ； 明纹条件 ) ,3,2,1(2 22 21 ==+ =k k e n λ λ δ 将最高点h e =代入得: 352 1 5768646122 121..=+??= += λ h n k 即：最高点为不明不暗，边缘处为暗环。 共有k =1、2、3、4、5 的5条明纹（干涉图样为同心圆环） 对应于k 的油膜厚度e k 为： nm k k n e k )2 1(180)2 1(21 - ?=- = λ k =1， e 1 = 90nm ； k =2， e 2 = 270nm ； k =3， e 3 = 450nm ； k =4， e 4 = 630nm ； k =5， e 5 = 810nm 。 (2) h = 864nm ，k = 5.3为非整数，条纹介于明暗之间，非明非暗条纹； h = 810nm ，2 10 52880nm 25768106.122 21λ λλ δ===+ ??=+=e n ，k = 5，为明纹； h = 720nm ，2 9 54nm 59222 5767206122 21λ λλ δ===+??=+ =..e n ，k = 4，为暗纹； 故最高点条纹变化为： 明暗之间→明纹→暗纹装维比赛题库知识点分析
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