高三数学复合函数的导数、对数与指数函数的导数人教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
复合函数的导数、对数与指数函数的导数
二. 本周教学重、难点： 1. 复合函数的求导法则
设)(x u ?=在点x 处有导数)(x u x ?'='，)(u f y =在点x 的对应点u 处有导数
)(u f y u '='，则))((x f ?在点x 处也有导数，且x u x u y y '?'='或)()())((x u f x f x ??''='
2. 对数函数的导数 （1）x x 1)(ln =
' （2）e x
x a a log 1
)(log =' 3. 指数函数的导数
（1）x
x
e e =')( （2）a a a x
x
ln )(='
【典型例题】
[例1] 求下列函数的导数
（1）3
2)2(x x y += （2）2
45x e y +=
（3）32c bx ax y ++=
（4）3
12
)(sin x y =
（5）)1ln(2x x y ++= （6）x x y 33
log =
（7）x
x
y 2sin 5cos =
解：
（1）2
2
2
22)2)(1(6)22()2(33x x x x x x u u y ++=++='?=' （2）x e u e y x u 82
45?='?='+
（3）)2()(3
13132
2
32
b ax
c bx ax u u y +++='='--
（4）3
2
222
32232)(sin 3cos 22cos )(sin 3
1)2(cos 31x x x x x x x v u v u y y x v u =?=??='?'?'='-- （5）])1(121
1[11)1(1122
222'+++++='++++=
'x x x x x x x x y 2
2211
)11(11x x x x x +=++++= （6）)(log log 1log 33
323332ex x e x
x x x y =?+='
（7）2)2(sin )2(sin 5cos 2sin )5(cos )2sin 5cos (x x x x x x x y '
-'='=' 2
)2(sin 2cos 5cos 22sin 5sin 5x x
x x x ?-?-=
[例2] 若)5ln()(-+=x x x f ，)1ln()(-=x x g 解不等式)()(x g x f '>'
解：511)(-+
='x x f 1
1)(-='x x g ∵ )()(x g x f '>' ∴ 1
1
511->
-+x x ∴ 0)1)(5()3(2>---x x x ∴ 5>x 或1
10
5x x ∴ 5>x
∴ 解集为（5，∞+）
[例3] 设曲线)0(≥=-x e y x 在点M （t
e t -,）处的切线l 与y x ,轴围成的三角形面积为)(t s ，求切线l 的方程。
解：x x
e e y ---='=')( ∴ t t x e y -=-='|
∴ )(t x e e y t t
--=--- ∴ 0)1(=+-+--t e y x e t t
[例4] 曲线x e
y x
3cos 2=在（0，1）处的切线与l 的距离为5，求l 的方程。
解：)3(cos 3cos )(22'+'='x e x e y x
x
x x
e x x e
22)3sin (33cos 2-+=
x e x e x
x
3sin 33cos 222-=
∴ 曲线在（0，1）处的切线的斜率2|0='==x y k ∴ 切线方程为x y 21=-
设l 的方程为m x y +=2 ∴ 55
1=-=m d ∴ 4-=m 或6
当4-=m 时，l 为：42-=x y 当6=m 时，l 为：62+=x y
[例5] 将水注入锥形容器中，其速度为min /43
m ，设锥形容器的高为m 8，顶口直径为m 6，求当水深为m 5时，水面上升的速度。
解：设注入水min t 后，水深为hm ，由相似三角形对应边成比例可得水面直径为hm 4
3
，这时水的体积为3264
3)83(31h h h V ππ=?=
由于水面高度h 随时间t 而变化，因而h 是t 的函数)(t h h =
由此可得水的体积关于时间t 的导数为t t t h t h h h h h V V '?='?'='?'='2
364
9)643(ππ 由假设，注水速度为min /43
m
∴ 46492='?='t t h h V π即2
9644h h t π?='
∴ 当m h 5=时，水面上升的速度为：min)/(225256
59644|25m h h π
π=??='=
[例6] 求下列函数的导数
（1）)(12x y ?+= （2）)4()
4()2()4()5(2
15312
>++-+=x x x x x y
解：
（1）∵ 0>y ∴ 两边取对数得)](1ln[2
1
ln 2x y ?+= 两边求导得：
)(1)()(2x x x y y ???+'=' ∴ )(1)(1)()()(1)()(2
22x x x x y x x x y ???????++'=+'=')
(1)()(2x x x ???+'=
（2）∵ 0>y
∴ 两边取对数：2
15312)
4()2()
4()5(ln
ln ++-+=x x x x y
)4ln(2
1
)2ln(5)4ln(31)5ln(2+-+--++=x x x x
在上式两边求导得)
4(21
25)4(3152'+-+--++=x x x x y y
整理后得])
4(2125)4(3152[
)
4()2()4()5('2
15
312
+-+--++?++-+=
x x x x x x x x y
[例7] 已知曲线)(x f y =与)(x f y =)0(sin ≠a ax ，其中0)(>x f ，且都为可导函数，求证：两曲线在公共点处相切。
证明：设两曲线公共点为（00,y x ）则)(00x f y =，000sin )(ax x f y ?=
即000sin )()(ax x f x f = ∴ 1sin 0=ax ∴ )(2
20Z k k ax ∈+
=π
π
∴ )2
2(10π
π+=
k a x （Z k ∈） 对)(1x f y =有)(1
x f y '=' 对ax x f y sin )(2=有2
y 'ax x af ax x f cos )()sin()(+'= ∵ )(|01
0x f y x x '='= 00002
cos )(sin )(|0ax x af ax x f y x x +'='= )()2
2cos()()2
2sin()(000x f k x af k x f '=+
++
'=π
ππ
π
∴ 00||21
x x x x y y =='=' ∴ 两曲线彼此相切
[例8] 设曲线12
++=x x y x ln -在1=x 处的切线为l ，数列}{n a 中11=a ，且点（1,+n n a a ）在l 上。
（1）求证：数列}1{+n a 是等比数列，并求n a ； （2）求}{n a 的前n 项和n S 。
（1）证明：由x x x y ln 12-++=得1=x 时，3=y
又 ∵ 2|1='=x y ∴ 切线方程为)1(23-=-x y 即12+=x y ∵（1,+n n a a ）在切线l 上 ∴ 121+=+n n a a 则)1(211+=++n n a a 即
21
1
1=+++n n a a ∴ }1{+n a 是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列
∴ 1221-?=+n n a 即12-=n
n a
（2）解：由（1）知1212122121-++-+-=+++=n
n n a a a S
n n n n n n
--=---=
-+++=)12(22
1)
21(2)222(2
221
--=+n n
∴ }{n a 的前n 项和221
--=+n S n n
[例9] 已知)0)(ln()(>+=a a e x f x
求)(x f y =的反函数)(1
x f
y -=及)(x f '
解：设)ln(a e y x
+= ∴ a e e x y += ∴ a e e y
x -=
∴ )ln(a e x y -= ∴ )ln )(ln()(1
a x a e x f
x >-=-
∵ )ln()(a e x f x
+= ∴ a
e e a e a e a e x
f x x x
x x
+='++='+=')(1])[ln()(
【模拟试题】
一. 选择：
1. 函数2
)43(-=x y 的导数是（ ）
A. )23(4-x
B. x 6
C. )43(6-x x
D. )43(6-x
2. 已知)3
2cos()(π+
=x x f ，则)3(π
f '等于（ ）
A. 2-
B. 2
C. 1-
D. 0
3. 函数221
x
a y -=的导数是（ ）
A. x x a 22--
B. 2322)(21x a -
C. 2322)(--x a x
D. 23
2
2)(2
1x a --
4. )33sin(
x y -=π
在3π
=
x 处的切线方程是（ ）
A. )3(2323π
-=-x y B. )3(2323π
-=+
x y C. )3
(2323π--=-x y
D. )3
(2323π--=+x y 5. 若52)11()(++
=x x f ，则)0(f '等于（ ）
A. 5
B. 20
C. 40
D. 0
6. 已知)ln(ln )(x x f =，则)(e f '等于（ ） A. 0 B. 1 C. e D. 1
-e
7. 已知某函数的导数是)
1(21
-='x y ，则这个函数可能是（ ）
A. )1ln(x y -=
B. x
y -=11ln C. x y -=1ln D. x y -=11
ln
8. 函数x
x
x f +-=11log )(2
的导数)(x f '等于（ ） A. 112-x B. 2
12x x
- C. 1log 22-x e D. 221log 2x e x -
二. 解答：
1. 首先指出下列函数是怎样复合的，然后求导：
（1）5
)12(-=x y ；（2）32c bx ax y ++=；（3）5
)21(1
x y -=
2. 求下列函数的导数
（1）)1(log 2
2x x y ++= （2）2
2
11ln x
x y -+= （3）x
x y 2sin ln = （4）)(sin ln 2
x e y -=
3. 已知曲线C 1：2x y =与C 2：2
)2(--=x y ，直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程。
【试题答案】
一. 1. D 2. D
解析：)3
2sin(2)3
2()3
2sin()(π
π
π
+
-='+?+-='x x x x f
∴ 0)33
2sin(2)3
(=+
?
-='π
π
πf
3. C
解析：2
32
22
2
2
2
2
2
2
2
2)()()
(22-
-=--=
----
='x a x x
a x a x
x a x a x y
4. B
解析：23)3cos(3|
),33
cos(
33
=--='--='=πππ
πx y x y ，3π
=x 时， 23)3
sin(
-
=-=ππ
y ∴ 切线方程为)3
(2323π
-=+
x y 5. D
解析：)11()11(5)(242'++++='x x x f
)1()1(2
1)11(52
21
24
2
'++?++=-x x x
2
421)11(5x x
x +++=
∴ 0025)0(4
=??='f
6. D
解析：x x x x x x f ln 1)(ln ln 1])[ln(ln )(=
'='=' ∴ 1
1)(-=='e e
e f 7. C 8. C
解析：])1(log 21
)1(log 21[)11log 21()(222
'+--='+-='x x x x x f
1
log )1(2log )1(2log 2222-=+---=
x e
x e x e 二. 1.
（1）解：设12-=x u ，则5
u y = ∴ )12(54'-?='?'='x u u y y x u x
44)12(102)12(5-=?-=x x
（2）解：设c bx ax u ++=2
，则3
1
u y =
∴ )2()(3132
2b ax c bx ax u y y x u x +++=
'?'='-)
(3)2(232c bx ax c bx ax b ax +++++=
（3）解：设66
5)21(10)2(5,,21----=-?-='?'='=-=x u
u y y u y x u x u x 2.
解： （1）2222
21log )1(1log x x e x x x x e y ++='++++='])1(1211[22
'+?++
x x
2
22
2
21log )11(1log x e
x x
x
x e +=
++
++=
（2）由对数运算性质，有)]1ln()1[ln(2
12
2x x y --+=
='y 4
22222212)1212(21]1)1(1)1([
21x x
x x x x x x x x -=---+=-'--+'+ （3）x x x x x x x x x x x x y 1
2cot 212sin 22cos 2sin )2sin (2sin 2
-=?-???='=' （4）)
(sin ])([sin 2
2x e x e y -'
-=' )
(sin ])[sin()sin(22x e x e x e -'
-?-=
)
(sin )()cos()sin(22
x e x e x e x e -'
-?-?-= )cot(2x e --=
3.
解：依题意，可设直线l 与1C 相切于点),(2
11x x P 与2C 相切于点))2(,(2
22--x x Q ，对于x y C 2:1='，则与1C 相切于点P 的切线方程为)(2112
1x x x x y -=-，即2
112x x x y -=，对于)2(2:2--='x y C ，则与2C 相切于点
Q
的切线方程为
))(2(2)2(2222x x x x y ---=-+，即4)2(2222-+--=x x x y
∵ 两切线重合 ∴ ???-=---=4)
2(222
221
21x x x x 解得???==2021x x 或???==022
1x x ∴ 直线l 的方程为0=y 或44-=x y
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）
导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( )
指数函数和对数函数知识点总结及练习题 一.指数函数 （一）指数及指数幂的运算 n m n m a a = s r s r a a a +=? rs s r a a =)( r r r b a ab =)( （二）指数函数及其性质 1.指数函数的概念：一般地，形如x a y =（0>a 且1≠a ）叫做指数函数。 2.指数函数的图象和性质 10<a 6 54321 -1 -4-2 2460 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4-2 246 1 定义域 R 定义域 R 值域y ＞0 值域y ＞0 在R 上单调递减 在R 上单调递增 非奇非偶函数 非奇非偶函数 定点（0，1） 定点（0，1） 二.对数函数 （一）对数 1.对数的概念：一般地，如果N a x =（0>a 且1≠a ），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =，其中a 叫做底数，N 叫做真数，N a log 叫做对数式。 2.指数式与对数式的互化 幂值 真数 x N N a a x =?=log 底数 指数 对数
3.两个重要对数 （1）常用对数：以10为底的对数N lg （2）自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数N ln （二）对数的运算性质（0>a 且1≠a ，0,0>>N M ） ①MN N M a a a log log log =+ ②N M N M a a a log log log =- ③M n M a n a log log = ④换底公式：a b b c c a log log log =（0>c 且1≠c ） 关于换底公式的重要结论：①b m n b a n a m log log = ②1log log =?a b b a （三）对数函数 1.对数函数的概念：形如x y a log =（0>a 且1≠a ）叫做对数函数，其中x 是自变量。 2对数函数的图象及性质 0
导数单元测试题 班级姓名 一、选择题 1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 2．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2 D．4x 3．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直 4．曲线y＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A．y＝x－2 B．y＝x C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 5．下列点中，在曲线y＝x2上，且在该点处的切线倾斜角为π 4 的是( ) A．(0,0) B．(2,4) C．(1 4 ， 1 16 ) D．( 1 2 ， 1 4 ) 6．已知函数f(x)＝1 x ，则f′(－3)＝( ) A．4 B.1 9 C．－ 1 4 D．－ 1 9 7．函数f(x)＝(x－3)e x的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 8．“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取极值”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极小值点有( ) A．1个B．2个 C．3个D．4个 10．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分 别是( ) A．f(2)，f(3) B．f(3)，f(5) C．f(2)，f(5) D．f(5)，f(3) 11．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为( ) A．－10 B．－71 C．－15 D．－22 12．一点沿直线运动，如果由始点起经过t秒运动的距离为s＝ 1 4 t4－ 5 3 t3＋2t2，那么速度为零的时刻是( ) A．1秒末 B．0秒 C．4秒末 D．0,1,4秒末 二、填空题 13．设函数y＝f(x)＝ax2＋2x，若f′(1)＝4，则a＝________. 14．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则 b a ＝________. 15．函数y＝x e x的最小值为________． 16．有一长为16 m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2. 三、解答题 17．求下列函数的导数：(1)y＝3x2＋x cos x； (2)y＝ x 1＋x ； (3)y＝lg x－e x. 18．已知抛物线y＝x2＋4与直线y＝x＋10，求： (1)它们的交点； (2)抛物线在交点处的切线方程． 19．已知函数f(x)＝ 1 3 x3－4x＋4.(1)求函数的极值； (2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．
导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知32 ()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3 y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a = +2 （）(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 22 2()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2 y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线32 153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为
当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）4 x x y = ； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。 （2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。 （4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+
简单复合函数的导数 一、基础知识梳理： （一）常用的求导公式 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1 7.()log ,'()(0,1); ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则 （二）复合函数的求导数公式 若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 2 )()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'='' =''+'='?'±'='± （三）复合函数求导法则 1、二重复合：若)(u f y =， )(x u φ= 且)(x u φ=在点x 处可导。 则)()('?'='x u f y φ 2、多次复合函数求导法则类推 二、典型例题分析： 例1、求下列函数的导数； 1）、3 (23)y x =- 2）、ln(51)y x =+
练习：求下列函数的导数 1）、2 (23)y x =+ 2）、3 (13)y x =- 例2、求下列函数的导数； 1）、1 31 y x = - 2)、cos(12)y x =- 练习：求导数； 1）、1ln y x = 2）、2x y e = 3）、求曲线sin 2y x =在点P （,0π）处的切线方程。 例题3 已知(5)5,'(5)3,(5)4,'(5)1f f g g ==== ，根据下列条件 求(5)h 及'(5)h 1）、()3()2()h x f x g x =+ 2）、 ()()()1h x f x g x =+ 3）、()2 ()() f x h x g x +=
高中数学导数的几何意义测试题(含答案) 选修2-21.1第3课时导数的几何意义 一、选择题 1．如果曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么() A．f(x0)＞0 B．f(x0)＜0 C．f(x0)＝0 D．f(x0)不存在 [答案] B [解析] 切线x＋2y－3＝0的斜率k＝－12，即f(x0)＝－12＜0.故应选B. 2．曲线y＝12x2－2在点1，－32处切线的倾斜角为() A．1 B.4 C.54 D．－4 [答案] B [解析] ∵y＝limx0[12(x＋x)2－2]－(12x2－2)x ＝limx0(x＋12x)＝x 切线的斜率k＝y|x＝1＝1. 切线的倾斜角为4，故应选B. 3．在曲线y＝x2上切线的倾斜角为4的点是() A．(0,0) B．(2,4) C.14，116 D.12，14
[答案] D 页 1 第 [解析] 易求y＝2x，设在点P(x0，x20)处切线的倾斜角为4，则2x0＝1，x0＝12，P12，14. 4．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为() A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2 C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5 [答案] B [解析] y＝3x2－6x，y|x＝1＝－3. 由点斜式有y＋1＝－3(x－1)．即y＝－3x＋2. 5．设f(x)为可导函数，且满足limx0f(1)－f(1－2x)2x＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为() A．2 B．－1 C．1 D．－2 [答案] B [解析] limx0f(1)－f(1－2x)2x＝limx0f(1－2x)－f(1)－2x ＝－1，即y|x＝1＝－1， 则y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为－1，故选B. 6．设f(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线() A．不存在 B．与x轴平行或重合
一、自然常数e 1、求导x a dx d 令x a y = 已知导数差商公式定义式： x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()()(lim 0 ' 由导数差商定义式得： x a a x a a x x f x x f x f x x x x x x x x ?-?=?-=?-?+=?→??+→?→?1 )()()(lim lim lim 000'（因子x a 与x ?无关，因此我们可以将它提到极限号前面） 注意到上式中的极限是函数)(x f 的导数在0=x 处的值，即 x a a f x x ?-?=?→?1)0(lim 00 ' 因此，我们已经说明了如果指数函数x a x f =)(在0=x 处是可微的，则该函数是处处可微的，并且 x a f x f ?=)0()('' 上述等式说明了任何指数函数的变化率是和指数函数本身成正比的. 令x a a f a M x x ?-?==?→?1 )0()(lim 00 ' 0，因为x a 已知，要求)('x f 必须 求得)(0a M ，从x a a M x x ?-=?→?1 )(l i m 0 0的定义式可以猜测)(0a M 可能 是一个无线不循环的数值，只能无限取小x ?值求得)(0a M 的估算值，
这种估算的过程相当繁琐且得不到)(0a M 的准确数值. h h h 1 2- h h 1 3- 0.1 0.7177 1.1612 0.01 0.6956 1.1047 0.001 0.6934 1.0992 0.0001 0.6932 1.0987 在上表中，给出了2=a 和3=a 时的情况，通过数值举例，说明了)0('f 的存在.极限明显存在并且 当2=a ，69.012)0(lim 0 ' ≈?-=?→?x f x x 当3=a ，10.11 3)0(lim 0' ≈?-=?→?x f x x 实际上，我们将在《微积分》5.6节说明它们极限存在并且精确到小数点后六位，如下： 693147.0)2(0≈=x x dx d 098612.1)3(0 ≈=x x dx d 因此，由等式①，我们有 x x dx d 2)69.0()2(?≈ x x dx d 3)10.1()3(?≈ 在等式①对于底数a 的所有可能的选择中，当1)0('=f 时，微分 公式最为简单，即x e y =，x e y ='，并且有11 )(lim 00=?-=?→?x e e M x x ，
【巩固练习】 一、选择题 1．设函数310()(12)f x x =-，则'(1)f =（ ） A ．0 B ．―1 C ．―60 D ．60 2．（2014 江西校级一模）若2()2ln f x x x =-，则'()0f x >的解集为（ ） A.(0,1) B.()(),10,1-∞-U C. ()()1,01,-+∞U D.()1,+∞ 3．（2014春 永寿县校级期中）下列式子不正确的是（ ） A.()'23cos 6sin x x x x +=- B. ()'1ln 2 2ln 2x x x x -=- C. ()' 2sin 22cos 2x x = D.'2sin cos sin x x x x x x -??= ??? 4．函数4538 y x x =+-的导数是（ ） A ．3543 x + B ．0 C ．3425(43)(38)x x x ++- D ．3425(43)(38)x x x +-+- 5．（2015 安徽四模）已知函数()f x 的导函数为' ()f x ，且满足关系式2'()3(2)ln f x x xf x =++，则'(2)f 的值等于（ ） A. 2 B.-2 C. 94 D.94- 6．设曲线1(1)1 x y x x +=≠-在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（ ） A ．2 B ．12 C ．―12 D ．―2 7．23log cos (cos 0)y x x =≠的导数是（ ） A ．32log tan e x -? B ．32log cot e x ? C ．32log cos e x -? D ． 22log cos e x 二、填空题 8．曲线y=sin x 在点,12π?? ??? 处的切线方程为________。 9．设y=(2x+a)2，且2'|20x y ==，则a=________。 10．31sin x x '??-= ??? ____________，()2sin 25x x '+=????____________。 11．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y=x 3―10x+3上，且在第二象限内，已知曲
复合函数求导方法和技巧 毛涛 （陕西理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班，陕西 汉中 723000） 指导老师：刘延军 [摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的有效学习。 [关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用 1引言 复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向内层逐层求导（或者也可以由内层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。 2复合函数的定义 如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数[] ()y f g x =
高三第三章导数--对数函数与指数函数的导数练习题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列求导数运算正确的是 A.（x +x 1)′=1+21x B.(log 2x )′=2ln 1x C.(3x )′=3x log 3e D.(x 2cos x )′=－2x sin x 2.函数y =ln(3－2x －x 2)的导数为 A.32+x B.2231x x -- C.32222-++x x x D.3 2222-+-x x x 3.函数y =lncos2x 的导数为 A.－tan2x B.－2tan2x C.2tan x D.2tan2x 4.函数y =x x a 22-(a >0且a ≠1),那么y ′为 A.x x a 22-ln a B.2(ln a ) x x a 22- C.2(x －1) x x a 22-·ln a D.(x －1) x x a 22-ln a 5.函数y =x ln 的导数为 A.2x x ln B.x x ln 2 C.x x ln 1 D.x x ln 21 6.函数y =sin32x 的导数为 A.2(cos32x )·32x ·ln3 B.(ln3)·32x ·cos32x C.cos32x D.32x ·cos32x 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.设y =x x e e 2 )12(+,则y ′=___________. 8.在曲线y =5 9++x x 的切线中，经过原点的切线为 9.函数y =x 22的导数为y ′=___________. 10.函数y =log 3cos x 的导数为___________. 11.曲线y =e x －e ln x 在点（e ,1)处的切线方程为___________. 三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 12.求函数y =ln(21x +－x )的导数.
导数单元测试题（实验班用） 一、选择题 1．曲线3 2 3y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为( ) A .31y x =- B .35y x =-+ C .35y x =+ D .2y x = 2．函数21()e x f x x +=?,[]1,2-∈x 的最大值为( )． A .14e - B . 0 C .2e D . 23e 3.若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.(2,2)- B.[]2,2- C.(,1)-? D.(1,)+? 4.若函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A.1 (0,)2 B. (,1)-? C. (0,)+? D. (0,1) 5.若2a >，则函数3 21()13 f x x ax =-+在区间(0,2)上恰好有( ) A ．0个零点 B ．3个零点 C ．2个零点 D ．1个零点 6．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．2 94 e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e 7．函数()f x 的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )． A .(3)(2) 0(2)(3) 32 f f f f -''<<< - B .(3)(2) 0(3)(2)32 f f f f -''<<<- C . (3)(2) 0(3)(2)32 f f f f -''<<<- D .(3)(2) 0(2)(3)32 f f f f -''<<<- 8设(),()f x g x 分别是R 上的奇函数和偶函数, 当0x <时,' ' ()()()()0f x g x f x g x +>,
课 题： 3．5对数函数与指数函数的导数(1) 教学目的： 1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式. 2.在学习了函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数 教学重点：应用对数函数的求导公式求简单的初等函数的导数． 教学难点：对数函数的导数的记忆，对数函数求导公式的灵活运用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -= 2.法则1 )()()]()([' ''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '= 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 3.复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u ) 在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x ). 4.复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 二、讲解新课： ⒈对数函数的导数（1）： x x )'(ln = 证明：∵ x x f y ln )(==
习 题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x = +1 13 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x =sin 3； ⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()； ⑻ y x =-arcsin (e )2 ； ⑼ ?? ? ? ?- =221ln x x y ； ⑽ y x x =+1 222(sin )； ⑾ y x x x = +-1122 ln ； ⑿ y x x = +12 csc ； ⒀ y x x = -++2213 31 23 34； ⒁ y x =-e sin 2 ； ⒂ y x a x x a x =-+-2 2 22. 解 （1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。 （2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。 （3）23 32323 3)1(2 3 )'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。 （4）2 12 ' 2 1 ln 2ln 1ln ln 21'?? ? ??-=?? ? ????? ??=x x x x x x x x y 。 （5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。 （6）x x x x y 2sin )'(sin '- =-=。
（7 ）1'2y = （8 ）2 2 'x x y --= = = 1 22 2--x e x 。 （9）44 2 4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422 (1)x x x +-。 （10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3 2) sin 2() cos 4(2x x x x ++-。 （11 ）'y = = 2 322222)1() 21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x - -+--。 （12 ）2 ' '1csc x x y x =+ = 2222 322 1csc csc cot (1csc ) x x x x x ++= +。 （13 ）'y =+ 452323 4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+ 45 223 34827(21)(31)34 x x x x --=---+。 （14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2 sin sin 2x x e -=-?。
求指数、对数函数的导数 例 求下列函数的导数： 1．1ln 2+=x y ；2．)132(log 22++=x x y ； 3．)sin(b ax e y +=； 4．).12cos(3+=x a y x 分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数． 解：1．解法一：可看成1,,ln 2+===x v v u u y 复合而成． .1 11 2)1(2 111 )2(2 11222212221 +=+?+=?+?+=??='?'?'='--x x x x x x x x x v u v u y y x v u x 解法二：[])1(11 1ln 222'++='+='x x x y .121121 11)1()1(2111 22222122+=?+? +='+?+?+= -x x x x x x x x 解法三：)1ln(2 11ln 22+=+=x x y ， [] .1122)1(1121)1ln(2122222+=+='+?+?='+='x x x x x x x y 2．解法一：设132,log 2 2++==x x u u y ，则 )34(log 12+??='?'='x e u u y y x u x .1 32log )34()34(132log 2222++?+=+++?=x x e x x x x e 解法二：[] )132(1 32log )132(log 22222'++?++='++='x x x x e x x y .132log )34()34(132log 2222+++=+?++=x x e x x x x e 3．解法一：设b ax v v u e y u +===,sin ,，则
高二数学导数专题训练 一、选择题 1. 一个物体的运动方程为S=1+t+2 t 其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 2. 已知函数f (x )=ax 2 ＋c ,且(1)f '=2,则a 的值为（ ） A.1 B.2 C.－1 D. 0 3 ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足' ' ()()f x g x =,则 ()f x 与()g x 满足（ ） A ()f x =2()g x B ()f x -()g x 为常数函数 C ()f x =()0g x = D ()f x +()g x 为常数函数 4. 函数3 y x x =+的递增区间是（ ） A )1,(-∞ B )1,1(- C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 5.若函数f(x)在区间（a ，b ）内函数的导数为正，且f(b)≤0，则函数f(x)在（a ， b ）内有（ ） A. f(x) 〉0 B.f(x)〈 0 C.f(x) = 0 D.无法确定 6.0'()f x =0是可导函数y =f(x)在点x =x 0处有极值的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件 7．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 8．函数3 13y x x =+- 有 （ ） A.极小值-1，极大值1 B. 极小值-2，极大值3 C.极小值-1，极大值3 D. 极小值-2，极大值2 9. 对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足' (1)()0x f x -≥，则必有（ ） A (0)(2)2(1)f f f +< B (0)(2)2(1)f f f +≤ C (0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +> 10.若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A ．'0()f x B ．'02()f x C ．' 02()f x - D ．0 二、填空题 11．函数3 2 y x x x =--的单调区间为___________________________________.
导数及其应用单元测试题 一、选择题 1.函数3y x x =+的递增区间是（ ） A ．),0(+∞ B ．)1,(-∞ C ．),(+∞-∞ D ．),1(+∞ 2.3 2 ()32f x ax x =++,若(1)4f '-=,则a 的值等于（ ） A ．319 B ． 316 C ．3 13 D ．310 3.已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则 0x <时( ) A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ． ()0()0f x g x ''<<， 4. 设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞， 内单调递增，:5q m -≥， 则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 5.抛物线y=(1-2x)2 在点x=32 处的切线方程为（ ） A. y=0 B.8x －y －8=0 C ．x=1 D.y=0或者8x －y －8=0 6. 设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 7.已知32()26(f x x x m m =-+为常数）在[2,2]-上有最大值3，那么此函数在[2,2]-上的最小值为（ ） A ．-37 B ．-29 C ．-5 D ．-11
8.设函数322()3(1)1f x kx k x k =+--+在区间(0,4)上是减函数，则k 的取值范围是 （） A ．13 k < B ．103 k <≤ C ．103 k ≤< D ．13 k ≤ 9. 已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ， '(0)0f >，对于任 意实数x 都有 ()0f x ≥，则(1) '(0) f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．32 二、填空题 10.函数ln x e y x =的导数' y =_____________ 11.若函数3 43 y x bx =- +有三个单调区间，则b 的取值范围是 ． 12.已知函数3221 ()3 f x x a x ax b =+++，当 1x =-时函数 ()f x 的极值为7 12 - ，则 (2)f = ． 13.函数 2cos y x x =+在区间[0,]2 π上的最大值是 ． 三、解答题（共80分） 14.（本题满分12分） 设()3 3 f x x x =+ ,求函数f(x)的单调区间及其极值；
教案 对数函数的导数公式 （回忆公式） 求下列几个函数的导数： （1）y=sinx 3 +sin 3 3x ；（2）1 22sin -=x x y 【探索研究】 一、对数函数的导数 ()e x x a a log 1log =' 公式一 说明：此公式的记忆要点是：将x 拿到对数前面并“倒”一下，原来x 的地方换成“e ” 练习1：求下列对数函数的导数（随手写出） （1）x lg ；（2）)2(log 2-x a （3）)lg(sin x （4）x ln 例2 求21lg x y -= 处理：例2放在第（3）题后讲解 ()x x 1ln = ' 公式二 例1 求)132ln(2++x x 的导数 处理：例题教师板演 练习2：求下列对数函数的导数（随手写出） 二、指数函数的导数 ()a a a x x ln =' 公式三 说明：指导学生记忆此公式，并说明a 应为正数。 练习3：求下列指数函数的导数（随手写出） （1）3x ；（2）x 3+3x ；（3）a 5x ；（4）e x ； ()x x e e =' 公式四 练习4：求下列指数函数的导数（随手写出） （1）e 3x ；（2）x 2e x ；（3）e 2x cos3x ；（4）x n e -x 练习5：求下列指数函数的导数（随手写出） （1）y=e x sinx ；（2）y=e x lnx 【求导小测】 1． 求下列函数的导数 （1）) sin(b ax e y +=；（2）)12cos(3+x a x ；（3）( )2 sin 1-x e 说明：一些复杂的求导问题基本为复合函数求导问题，按照复合函数的求导方法，首先要选
【巩固练习】 一、选择题 1．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 2．（2014 东昌府区校级二模）若点P 在曲线3 2 3 3(34 y x x x =-++ 上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α ，则角α 的取值范围是（ ） A.0,2π?????? B. 20,,23πππ???? ????????U C. 2,3ππ???? ?? D. 20,,223πππ???? ? ?????? U 3. 函数)(x f y =在0x x =处的导数)(0/ x f 的几何意义是（ ） A 在点0x x =处的函数值 B 在点))(,(00x f x 处的切线与x 轴所夹锐角的正切值 C 曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率 D 点))(,(00x f x 与点（0，0）连线的斜率. 4．（2015春 湖北校级期末）已知函数y=3x 4+a ，y=4x 3，若它们的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则切斜线率为（ ） A ．0 B ．12 C ．0或12 D ．4或1 5．已知函数3 ()f x x =的切线的斜率等于1，则其切线方程有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．多于2条 D ．不确定 6.（2015 上饶三模）定义：如果函数()f x 在[a ，b]上存在x 1，x 2（a ＜x 1＜x 2＜b ）满足 '1()()()f b f a f x b a -= -，' 2()()()f b f a f x b a -=-，则称函数()f x 在[a ，b]上的“双中值函 数”。已知函数3 2 ()f x x x a =-+是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A ．11(,)32 B ．3(,3)2 C ．1(,1)2 D ．1(,1)3 二、填空题 7．曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为3x+y+3=0，则0'()f x ________0。（填“＞”“＜”“＝”“≥”或“≤”）
§1.2.3复合函数的求导法则 教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则． 教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积． 教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确． 一．创设情景 （一）基本初等函数的导数公式表 导数运算法则 1．[]' ''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]' ''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 3．[] ' ''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 函数 导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =?> ()x y f x e == 'x y e = ()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =
二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。 复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 三．典例分析 例1求y ＝sin （tan x 2）的导数． 【点评】 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x a x 22--的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数． 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－ 21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋ 4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步． 例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离． 【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－ 31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0． 显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2 |1271431|++-＝22716．