求指数、对数函数的导数
例 求下列函数的导数：
1．{ EMBED Equation.3 |1ln 2+=x y ；2．；
3．； 4．
分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数．
解：1．解法一：可看成复合而成．
解法二：
解法三：，
2．解法一：设，则
解法二：
3．解法一：设，则
解法二：
4．
说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境．
解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开．
变形函数解析式求导
例 求下列函数的导数：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
分析：先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量．
解：（1）
．
（2），
（3）
（4）
当时不存在．
说明：求（其中为多项式）的导数时，若的次数不小于的次数，则由多项式除法可知，存在，使．从而，这里均为多项式，且的次数小于的次数．再求导可减少计算量．对函数变形要注意定义域．如，则定义域变为，所以虽然的导数与的导数结果相同，但我们还是应避免这种解法．
函数求导法则的综合运用
例求下列函数的导数：
1．；2．；
3．；4．
分析：式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系．对于这种结构形式的函数，可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决．但必须注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误．
解：1．取y的绝对值，得，两边取寻数，得
根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，两端对x求导，得
，
∴
2．注意到，两端取对数，得
∴
∴
3．两端取对数，得
，
两端对x求导，得
4．两端取对数，得
，
两边对x求导，得
∴
说明：对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应用．从多角度分析和探索解决问题的途径，能运用恰当合理的思维视力，把问题的隐含挖掘出来加以利用，会使问题的解答避
繁就简，化难为易，收到出奇制胜的效果．解决这类问题常见的错误是不注意是关于x的复合函数．
指对数函数的概念揭示了各自存在的条件、基本性质及其几何特征，恰当地引入对数求导的方法，从不同的侧面分析转化，往往可避免繁琐的推理与运算，使问题得以解决．
C 咨询电话：4006-211-001 WWW r haOfangfa COm 1 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 a . 1及O ：：： a ：：： 1两种不同情况。 1、指数函数： 定义：函数y =a x a . 0且a --1叫指数函数。 定义域为R 底数是常数，指数是自变量。 认识。 图象特征 函数性质 （1）图象都位于X 轴上方； （1）X 取任何实数值时，都有 a X A0 ； （2）图象都经过点（0, 1）； （2）无论a 取任何正数，X = 0时，y = 1 ； （3） y — 2 ， y — 10在第一象限内的纵坐 \ > 0 ,贝U a X A 1 （3）当 a > 1 时，｛ →, X 标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于 1， < < 0 ,贝U a <1 X A 0 ,贝U a x V 1 y = — ［的图象正好相反； 当 0 ca c1 时，< X ￡ 0 ,贝U a x A 1 k （4） y =2X ， y=10X 的图象自左到右逐渐 （4）当a >1时，y =a x 是增函数， 当0cac1时，y=a x 是减函数。 为什么要求函数 y = a 中的a 必须a . 0且a = 1。 X 因为若a ：：;0 时, X 1、对三个指数函数 a = 0 ， y = 0 a =1 时，y = 1 =1x 的反函数不存在, y =a x ，y =Iog a X 在
上升，y = f l］的图象逐渐下降。 k2 J ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y=2x和y=10x相交于（0，1）， 的图象在y =2x的图象的上方，当X ：：：0 ,刚好相反，故有1 0 2. 22及10 ^ ：：： 2 ^。 步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a tl = N（a . 0且a ■■ 1）,那么数b就叫做以a为底的对数，记作b = Iog a N （a是底数，N是 真数，log a N是对数式。） 由于N ^a b . 0故log a N中N必须大于0。 当N为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如: 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成 比较好办。 解：设Iog 0.32 X ■? 0 时，y = 10 % ②y =2x与y X 的图象关于y轴对称。 ③通过y = 2 X X 三个函数图象，可以画出任意一个函数y = a 示意图，如y =3x的图象，一定位于y =2x和y =IO x两个图象的中间，且过点（0, 1）,从而y = X 也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进 再改写为指数式就
一、自然常数e 1、求导x a dx d 令x a y = 已知导数差商公式定义式： x x f x x f x f x ?-?+=→?) ()()(lim 0 ' 由导数差商定义式得： x a a x a a x x f x x f x f x x x x x x x x ?-?=?-=?-?+=?→??+→?→?1 )()()(lim lim lim 000'（因子x a 与x ?无关，因此我们可以将它提到极限号前面） 注意到上式中的极限是函数)(x f 的导数在0=x 处的值，即 x a a f x x ?-?=?→?1)0(lim 00 ' 因此，我们已经说明了如果指数函数x a x f =)(在0=x 处是可微的，则该函数是处处可微的，并且 x a f x f ?=)0()('' 上述等式说明了任何指数函数的变化率是和指数函数本身成正比的. 令x a a f a M x x ?-?==?→?1 )0()(lim 00 ' 0，因为x a 已知，要求)('x f 必须 求得)(0a M ，从x a a M x x ?-=?→?1 )(l i m 0 0的定义式可以猜测)(0a M 可能 是一个无线不循环的数值，只能无限取小x ?值求得)(0a M 的估算值，
这种估算的过程相当繁琐且得不到)(0a M 的准确数值. h h h 1 2- h h 1 3- 0.1 0.7177 1.1612 0.01 0.6956 1.1047 0.001 0.6934 1.0992 0.0001 0.6932 1.0987 在上表中，给出了2=a 和3=a 时的情况，通过数值举例，说明了)0('f 的存在.极限明显存在并且 当2=a ，69.012)0(lim 0 ' ≈?-=?→?x f x x 当3=a ，10.11 3)0(lim 0' ≈?-=?→?x f x x 实际上，我们将在《微积分》5.6节说明它们极限存在并且精确到小数点后六位，如下： 693147.0)2(0≈=x x dx d 098612.1)3(0 ≈=x x dx d 因此，由等式①，我们有 x x dx d 2)69.0()2(?≈ x x dx d 3)10.1()3(?≈ 在等式①对于底数a 的所有可能的选择中，当1)0('=f 时，微分 公式最为简单，即x e y =，x e y ='，并且有11 )(lim 00=?-=?→?x e e M x x ，
幂函数、指数函数和对数函数·对数及其运算法则·教案 如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab=N，那么数b就叫做以a为底N的对数，记作 logaN=b， 其中a叫做底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式． 练习1 把下列指数式写成对数形式： 练习2 把下列对数形式写成指数形式： 练习3 求下列各式的值： 因为22=4，所以以2为底4的对数等于2． 因为53=125，所以以5为底125的对数等于3． 师：由定义，我们还应注意到对数式logaN=b中字母的取值范围是什么？ 生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R． 师：N∈R？（这是学生最易出错的地方，应一开始让学生牢牢记住真数大于零．） 生：由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，因而ab=N中N总是正数． 师：要特别强调的是：零和负数没有对数． 师：定义中为什么规定a＞0，a≠1？ 生：因为若a＜0，则N取某些值时，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，则当N不为0时，b不存在，如log02不存在；当N为0时，b可以为任何正数，是不唯一的，即log00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b不存在，如log13不存在，N为1时，b可以为任何数，是不唯一的，即log11有无数多个值．因此，我们规定：a＞0，a≠1． 师：（板书）对数logaN（a＞0且a≠1）在底数a=10时，叫做常用对数，简记lgN；底数a=e时，叫做自然对数，记作lnN，其中e是个无理数，即e≈2.718 28……． 练习4 计算下列对数： lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125． 师：请同学说出结果，并发现规律，大胆猜想． 生：2log24=4．这是因为log24=2，而22=4． 生：3log327=27．这是因为log327=3，而33=27． 生：10lg105=105． 生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125． alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用红笔在字母取值范围下画上曲线） 证明：设指数等式ab=N，则相应的对数等式为logaN=b，所以ab=alogaN=N． 师：你是根据什么证明对数恒等式的？ 生：根据对数定义． 师：（分析小结）证明的关键是设指数等式ab=N．因为要证明这个对数恒等式，而现在我们有关对数的知
【教学设计中学数学】 区县雁塔区 学校西安市航天中学 姓名贾红云 联系方式 邮编710100 《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计 一、设计理念 《普通高中数学课程标准》明确指出：“学生的数学学习活动，不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应该倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等信息数学的方式；课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律，体现从具体到抽象，特殊到一般的原则；教学应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉等”。本节课是北师大版高中数学必修Ⅰ第三章第6节内容，本节专门研究指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节课的学习，可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动，利用几何画板这种信息技术工具，可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异，使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想，并为学生提供了学数学、用数学的机会，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。 二、教学目标 1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性； 2．能借助信息技术，利用函数图像和表格，对几种常见增长类型的函数增长的情况进行比较，体会它们增长的差异； 3.体验指数函数、幂函数、对数函数与现实世界的密切联系及其在刻画实际问题中的作用，体会数学的价值. 三、教学重难点
教学重点：认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含 义。 教学难点：比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异 四、教学准备 ⒈提醒学生带计算器； ⒉制作教学用幻灯片； ⒊安装软件：几何画板 ，准备多媒体演示设备 五、教学过程 ㈠基本环节 ⒈创设情景，引起悬念 杰米和韦伯的故事 一个叫杰米的百万富翁，一天，碰上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说，我想和你定个合同，我将在整整一个月中每天给你 10万元，而你第一天只需给我一分钱，而后每一天给我的钱是前一天的两倍。杰米说：“真的？！你说话算数？” 合同开始生效了，杰米欣喜若狂。第一天杰米支出一分钱，收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入10万元；第四天，杰米支出8分钱，收入10万元…..到了第二十天，杰米共得到200万元，而韦伯才得到1048575分，共10000元多点。杰米想：要是合同定两个月、三个月多好！ 你愿意自己是杰米还是韦伯？ 【设计意图】创设情景，构造问题悬念，激发兴趣，明确学习目标 ⒉复习旧知，提出问题 图1-1 图1-2 图1-3 ⑴ 如图1-1，当a 时，指数函数x y a =是单调 函数，并且对于0x >，当底数a 越大时，其 函数值的增长就越 ； ⑵ 如图1-2当a 时，对数函数log a y x =是单调 函数，并且对1x >时，当底数a 越 时 其函数值的增长就越快； ⑶ 如图1-3当0x >，0n >时，幂函数n y x =是增函数，并且对于1x >，当n 越 时，其函数值
高三第三章导数--对数函数与指数函数的导数练习题 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列求导数运算正确的是 A.（x +x 1)′=1+21x B.(log 2x )′=2ln 1x C.(3x )′=3x log 3e D.(x 2cos x )′=－2x sin x 2.函数y =ln(3－2x －x 2)的导数为 A.32+x B.2231x x -- C.32222-++x x x D.3 2222-+-x x x 3.函数y =lncos2x 的导数为 A.－tan2x B.－2tan2x C.2tan x D.2tan2x 4.函数y =x x a 22-(a >0且a ≠1),那么y ′为 A.x x a 22-ln a B.2(ln a ) x x a 22- C.2(x －1) x x a 22-·ln a D.(x －1) x x a 22-ln a 5.函数y =x ln 的导数为 A.2x x ln B.x x ln 2 C.x x ln 1 D.x x ln 21 6.函数y =sin32x 的导数为 A.2(cos32x )·32x ·ln3 B.(ln3)·32x ·cos32x C.cos32x D.32x ·cos32x 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.设y =x x e e 2 )12(+,则y ′=___________. 8.在曲线y =5 9++x x 的切线中，经过原点的切线为 9.函数y =x 22的导数为y ′=___________. 10.函数y =log 3cos x 的导数为___________. 11.曲线y =e x －e ln x 在点（e ,1)处的切线方程为___________. 三、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 12.求函数y =ln(21x +－x )的导数.
一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： a n n a a a a 个???= )(* ∈N n ()010a a =≠ ()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2）()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0
⑤式子n a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 ∴ n a =． ． 4．a 的n 次方根的性质 一般地，若n 是奇数，则a a n n =； 若n 是偶数，则?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ． 5．例题分析： 例1．求下列各式的值： （1）() 338- （2） ()210- （3）()44 3π- （4） ()()b a b a >-2解：略。 例2．已知,0<N n n ,1， 化简：()()n n n n b a b a ++-． 解：当n 是奇数时，原式a b a b a 2)()(=++-= 当n 是偶数时，原式a b a a b b a b a 2)()(||||-=--+-=++-= 所以，()()n n n n b a b a ++-22a n a n ?=? -?为奇数 为偶数 ． 例3．计算：407407-++ 解：407407-++52)25()25(22=-++= 例4．求值： 54 925-+． 解：549 25-+4 25254 5 49252 ）（-+=-+= 452622525+=-+= 2 1 54152 += +=）（ （二）分数指数幂 1．分数指数幂： ()10 2 5 0a a a ==> ()124 3 0a a a ==> 即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 如果幂的运算性质（2）() n k kn a a =对分数指数幂也适用， 例如：若0a >，则3 223233a a a ???== ??? ，4 554544a a a ???== ???， 23a = 4 5 a =． 即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是)0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； （2）正数的负分数指数幂的意义是)10,,,1m n m n a a m n N n a -* == >∈>． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用
课 题： 3．5对数函数与指数函数的导数(1) 教学目的： 1.理解掌握对数函数的导数的两个求导公式. 2.在学习了函数四则运算的求导法则与复合函数求导法则的基础上，应用对数函数的求导公式，能求简单的初等函数的导数 教学重点：应用对数函数的求导公式求简单的初等函数的导数． 教学难点：对数函数的导数的记忆，对数函数求导公式的灵活运用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -= 2.法则1 )()()]()([' ''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'(Cu x Cu x '= 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 3.复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u ) 在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x ). 4.复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 二、讲解新课： ⒈对数函数的导数（1）： x x )'(ln = 证明：∵ x x f y ln )(==
指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 y a y x x a ==，log 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x =1 4 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1， 但y x =1的反函数不存在，因为要求函数y a x =中的a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ? ? ?=21210，，的图 象的认识。 对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0 时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及 10222--<。
②y x =2与y x =?? ?? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ?? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中 间，且过点()01，，从而y x =?? ???13也由关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即 通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =log （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 （2）对数恒等式： 由a N b N b a ==()log ()12 将（2）代入（1）得a N a N log = 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算： () 313 2 -log 解：原式==?? ?? ?-=3 131 2 222 13 1 3 log log 。 （3）对数的性质： ①负数和零没有对数； ②1的对数是零； ③底数的对数等于1。 （4）对数的运算法则： ①()()log log log a a a MN M N M N R =+∈+ ， ②()log log log a a a M N M N M N R =-∈+ ， ③()()log log a n a N n N N R =∈+ ④()log log a n a N n N N R =∈+ 1
指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 14 时，函数值不存在。 a =0，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但 y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ?? ?=21210，，的图象的 认识。 图象特征与函数性质：
对图象的进一步认识，（通过三个函数相互关系的比较）： ①所有指数函数的图象交叉相交于点（0，1），如y x =2和y x =10相交于()01，，当x >0时，y x =10的图象在y x =2的图象的上方，当x <0，刚好相反，故有10222>及10222--<。 ②y x =2与y x =?? ? ? ?12的图象关于y 轴对称。 ③通过y x =2，y x =10，y x =?? ? ? ?12三个函数图象，可以画出任意一个函数y a x =（a a >≠01且）的 示意图，如y x =3的图象，一定位于y x =2和y x =10两个图象的中间，且过点()01，，从而y x =?? ? ? ? 13也由 关于y 轴的对称性，可得y x =?? ? ? ?13的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数： 定义：如果a N a a b =>≠()01且，那么数b 就叫做以a 为底的对数，记作b N a =l o g （a 是底数，N 是真数，log a N 是对数式。） 由于N a b =>0 故log a N 中N 必须大于0。 当N 为零的负数时对数不存在。 （1）对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如： 求lo g .032524?? ? ? ? 分析：对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log .032524?? ? ? ?=x ，再改写为指数式就比较好办。 解：设log .032524?? ? ? ?=x
指数函数对数函数计算题30-1 1、计算：lg 5·lg 8000＋06.0lg 6 1lg )2 (lg 23++. 2、解方程：lg 2(x ＋10)－lg(x ＋10)3=4. 3、解方程：23log 1log 66-=x . 4、解方程：9-x －2×31-x =27. 5、解方程：x )8 1(=128. 6、解方程：5x+1=12 3-x . 7、计算：10log 5log )5(lg )2(lg 2233+ +·.10 log 18 8、计算：(1)lg 25+lg2·lg50; (2)(log 43+log 83)(log 32+log 92). 9、求函数121log 8.0--= x x y 的定义域. 10、已知log 1227=a,求log 616.
11、已知f(x)=1322+-x x a ,g(x)=522 -+x x a (a ＞0且a ≠1),确定x 的取值范围,使得f(x)＞g(x). 12、已知函数f(x)=321121x x ?? ? ??+-. (1)求函数的定义域;(2)讨论f(x)的奇偶性;(3)求证f(x)＞0. 13、求关于x 的方程a x ＋1=－x 2＋2x ＋2a(a ＞0且a ≠1)的实数解的个数. 14、求log 927的值. 15、设3a =4b =36,求a 2＋b 1的值. 16、解对数方程：log 2(x －1)+log 2x=1 17、解指数方程：4x +4-x －2x+2－2-x+2+6=0 18、解指数方程：24x+1－17×4x +8=0 19、解指数方程：22)223()223( =-++-x x ±2 20、解指数方程：014332 14111=+?------x x 21、解指数方程：042342222=-?--+-+x x x x
求指数、对数函数的导数 例 求下列函数的导数： 1．1ln 2+=x y ；2．)132(log 22++=x x y ； 3．)sin(b ax e y +=； 4．).12cos(3+=x a y x 分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数． 解：1．解法一：可看成1,,ln 2+===x v v u u y 复合而成． .1 11 2)1(2 111 )2(2 11222212221 +=+?+=?+?+=??='?'?'='--x x x x x x x x x v u v u y y x v u x 解法二：[])1(111ln 222'++= '+='x x x y .12112111)1()1(2 111 22222122+=?+?+= '+?+?+=-x x x x x x x x 解法三：)1ln(2 11ln 22+=+=x x y ， [] .1122)1(1121)1ln(2122222+=+='+?+?='+='x x x x x x x y 2．解法一：设132,log 2 2++==x x u u y ，则 )34(log 12+??='?'='x e u u y y x u x
.1 32log )34()34(132log 2222++?+=+++?=x x e x x x x e 解法二：[] )132(1 32log )132(log 22222'++?++='++='x x x x e x x y .132log )34()34(132log 2222+++=+?++=x x e x x x x e 3．解法一：设b ax v v u e y u +===,sin ,，则 )sin()cos( cos b ax u x v u x e b ax a a v e u u y y +?+=??='?'?'=' 解法二：[][]'+?='='++)sin()sin()sin(b ax e e y b ax b ax )sin()sin()cos()()cos(b ax b ax e b ax a b ax b ax e ++?+=' +?+?= 4．])12cos([3'+='x a y x )].12s i n (2)12c o s (ln 3[) 12sin(2)12cos(ln 3)12)](12sin([)12cos()3(ln ])12[cos()12cos()(3333333+-+?=+?-+?=' ++-++'??=' +?++'=x x a a x a x a a x x a x x a a x a x a x x x x x x x 说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境． 解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开． 变形函数解析式求导 例 求下列函数的导数： （1）12223+-++=x x x x y ； （2）x x y +-=11ln ；
一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： 43 421Λa n n a a a a 个???= )(*∈N n ()0 10a a =≠ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2） ()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0
求指数、对数函数的导数 例 求下列函数的导数： 1．1ln 2+=x y ；2．)132(log 22++=x x y ； 3．)sin(b ax e y +=； 4．).12cos(3+=x a y x 分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行．求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数． 解：1．解法一：可看成1,,ln 2+===x v v u u y 复合而成． .1 11 2)1(2 111 )2(2 11222212221 +=+?+=?+?+=??='?'?'='--x x x x x x x x x v u v u y y x v u x 解法二：[])1(11 1ln 222'++='+='x x x y .121121 11)1()1(2111 22222122+=?+? +='+?+?+= -x x x x x x x x 解法三：)1ln(2 11ln 22+=+=x x y ， [] .1122)1(1121)1ln(2122222+=+='+?+?='+='x x x x x x x y 2．解法一：设132,log 2 2++==x x u u y ，则 )34(log 12+??='?'='x e u u y y x u x .1 32log )34()34(132log 2222++?+=+++?=x x e x x x x e 解法二：[] )132(1 32log )132(log 22222'++?++='++='x x x x e x x y .132log )34()34(132log 2222+++=+?++=x x e x x x x e 3．解法一：设b ax v v u e y u +===,sin ,，则
基本初等函数I(指数函数与对数函数)
基本初等函数(指数函数和对数函数 一、基本内容串讲 本章主干知识：指数的概念与运算，指数函数、图象及其性质，对数的概念与运算，对数函数、图象及其性质，幂函数的概念 1．指数函数：（1）有理指数幂的含义及其运算性质： ①r s r s a a a +?=；②()r s rs a a =；③()(0,0,,)r r r ab a b a b r s Q =>>∈。 （2）函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数。 x a y = 0 < a < 1 a > 1 图 象 性 质 定义 域 R 值域 (0 , +∞) 定点 过定点（0，1），即x = 0时，y = 1 （1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 < y < 1。 （2）0 < a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1。 单调性 在R 上是减函数 在R 上是增函数 对称性 x y a =和x y a -=关于y 轴对称 2．对数函数 （1）对数的运算性质：如果a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0，那么： ①N M MN a a a log log log +=； ②N M N M a a a log log log -=； ③)(log log R n M n M a n a ∈=。
（2）换底公式：)0,10,10(log log log >≠>≠>= b c c a a a b b c c a 且且 x y a log = 0 < a < 1 a > 1 图 象 定义域 (0 , +∞) 值域 R 性 质 （1）过定点（1，0），即x = 1时，y = 0 （2）在R 上是减函数 （2）在R 上是增函数 （3）同正异负，即0 < a < 1 , 0 < x < 1或a > 1 , x > 1时， log a x > 0； 0 < a < 1 , x > 1或a > 1 , 0 < x < 1时，log a x < 0。 3．幂函数 函数αx y =叫做幂函数（只考虑2 1 ,1,3,2,1-=α的图象）。 二、考点阐述 考点1有理指数幂的含义 1、化简1 327()125 -的结果是（ ）. A. 35 B. 5 3 C. 3 D.5 考点2幂的运算 2、（1）计算：25.021 21 32 5.032 0625.0])32.0()02.0()008.0()9 4 5()833[(÷?÷+---； （2）化简： 5332 33 23 233 2 3 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ??? -÷++-- 。 3、已知1 12 2 3x x - +=，求 22332 2 23 x x x x --+-+-的值。
教案 对数函数的导数公式 （回忆公式） 求下列几个函数的导数： （1）y=sinx 3 +sin 3 3x ；（2）1 22sin -=x x y 【探索研究】 一、对数函数的导数 ()e x x a a log 1log =' 公式一 说明：此公式的记忆要点是：将x 拿到对数前面并“倒”一下，原来x 的地方换成“e ” 练习1：求下列对数函数的导数（随手写出） （1）x lg ；（2）)2(log 2-x a （3）)lg(sin x （4）x ln 例2 求21lg x y -= 处理：例2放在第（3）题后讲解 ()x x 1ln = ' 公式二 例1 求)132ln(2++x x 的导数 处理：例题教师板演 练习2：求下列对数函数的导数（随手写出） 二、指数函数的导数 ()a a a x x ln =' 公式三 说明：指导学生记忆此公式，并说明a 应为正数。 练习3：求下列指数函数的导数（随手写出） （1）3x ；（2）x 3+3x ；（3）a 5x ；（4）e x ； ()x x e e =' 公式四 练习4：求下列指数函数的导数（随手写出） （1）e 3x ；（2）x 2e x ；（3）e 2x cos3x ；（4）x n e -x 练习5：求下列指数函数的导数（随手写出） （1）y=e x sinx ；（2）y=e x lnx 【求导小测】 1． 求下列函数的导数 （1）) sin(b ax e y +=；（2）)12cos(3+x a x ；（3）( )2 sin 1-x e 说明：一些复杂的求导问题基本为复合函数求导问题，按照复合函数的求导方法，首先要选
习题四 隐函数 对数函数求导 高阶导数 一、是非题 解：1.（×）)1(ln )1(ln )(+=?+='x x x x x x x x x x ． 2.（×）)1 sin ln (cos )(sin sin x x x x x x x x ?+?=')sin ln (cos sin x x x x x x +=． 3.（×） )()(d d t t x y ?'ψ'=． 二、解：1. 两边对x 求导数： ()()0e e sin ='+-+'+-y x y y y x x x ， 化简，得 ()()x x y x y y x e sin e -+='-， 所以 ()x x y y x x -+-='e sin e 1． 2. 两边对x 求导数： 0)()1(e ='+-'++y x y y y x ， 化简，得 y x y x y y x ++-='-e )e (， 所以 x y y y x y x --='++e e ． 三、解：1．原式两边取对数 )]3ln()2ln()423ln()1ln(3)1[ln(4 1 ln -----+++-=x x x x x y ， 等式两边对x 求导 )31 21 4234 13 11(41 ------+++-=' x x x x x y y ， 所以41 ='y 43)3)(2()423()1)(1(---+-x x x x x )31 21 4234 13 11 (------++-x x x x x .
２．原式两边取对数 x x y ln 2ln =， 等式两边对x 求导 x x x y y 12ln 2?+=' ， 整理得 )2ln 2(2+='x x y x ， 即 )2ln 2(d d 2+=x x x y x ． 四、解：由???=+=3e 1t y t x t ，得 ()() ()t t t t x y t t t t +='+'=1e 3e 1d d 23， 0=t 的对应点处切线的斜率为0d d 0==t t y ，M 点的坐标为（1，0）， 所以，M 处切线的方程为 0=y ． 五、解：1.)2(510'++='e x x y =491010x x +=)1(1054+x x ， 384090x x y +=''=)49(1053+x x ． 2.)cos ln 2e 3(2'++='x x y x = x x x sin 2e 62-+， x x y x cos 2 e 1222--=''． 3. 2)2()21(109+-?-='x y =2)21(209+--x ， =''y 88)21(360)2()21(180x x -=---． 4. x x y 2cos 20026++='， =''y x 2s i n 4006-．
对数函数与指数函数的运算 1.化简下列各式（其中各字母均为正数）: （1） ;)(65312121132 b a b a b a ????-- （2）.)4()3(6521 332121231----?÷-??b a b a b a 2.化简(1) 313 2)3(---a y x (2) )111)((2211b ab a b a +-+-- 3.化简下列各式 (1) 6113175.0231729)95()27174(256)61(027 .0------+-+-- (2) (a 3+a -3)(a 3-a -3)÷[(a 4+a -4+1)(a-a -1)] 4.求值(1)lg14-2lg 37+lg7-lg18 (2)9lg 243lg
(3) 2.1lg 10lg 38lg 27lg -+ (4)(lg2)3+(lg5)3+3lg2?lg5 (5)化简22)4(lg 16lg 25lg )25(lg ++ 答案： 1.（1）原式= .100653121612131656131212131=?=?=?-+-+--b a b a b a b a b a （2）原式=- )(45)4(25233136121332361------÷-=?÷b a b a b a b a .45145452 32321ab ab ab b a -=?-=?-=-- 2. (1) 639 27x a y ； (2) 3311b a +；
3.(1) 5132；(2) a a 1 ； 4. (1) 0；(2) 25；(3) 23；(4) 1；(5) 2 ；