广东省中山一中等七校2015届高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．
1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数是（）
A．1B．3C．4D．6
2．（5分）i为虚数单位，复平面内表示复数z=（1+i）（2+i）的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中
位数为（）
A．11 B．11.5 C．12 D．12.5
5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A．5B．7C．9D．11
6．（5分）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）
A．B．C．D．
7．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，0），若M（x，y）为平面区域上的一个
动点，则|+|的取值范围是（）
A．[1，]B．[2，]C．[1，2]D．[0，]
8．（5分）对于集合A，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足下列4个条件：（Ⅰ）?a，b∈A，都有a⊕b∈A
（Ⅱ）?e∈A，使得对?a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a；
（Ⅲ）?a∈A，?a′∈A，使得a⊕a′=a′⊕a=e；
（Ⅳ）?a，b，c∈A，都有（a⊕b）⊕c=a⊕（b⊕c），
则称集合A对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：
①A={整数}，运算“⊕”为普通加法；
②A={复数}，运算“⊕”为普通减法；
③A={正实数}，运算“⊕”为普通乘法．
其中可以构成“对称集”的有（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题：本题共4小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分（一）必做题（9～13题）
9．（5分）若f（x）=2x+2﹣x lga是奇函数，则实数a=．
10．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a=2bsinA．则角B的大小为．
11．（5分）已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为．
12．（5分）各大学在2015届高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．
13．（5分）若实数a、b、c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：．
（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）【坐标系与参数方程选做题】
14．（5分）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为．
15．如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN 过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP?NP=．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（12分）已知函数f（x）=2sin（x+φ）（x∈R，0＜φ＜）的图象过点M（，）．（1）求φ的值；
（2）设α，β∈[0，]，f（3α+π）=，f（3β+）=﹣，求sin（α﹣β）的值．
17．（12分）2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5
x 169 178 166 175 180
y 75 80 77 70 81
（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．
18．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．
（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；
（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．
19．（14分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a2n+a n=2S n
（1）求a1
（2）求数列{a n}的通项；
（3）若b n=（n∈N*），T n=b1+b2+…b n，求证：T n＜．
20．（14分）已知圆C与两圆x2+（y+4）2=1，x2+（y﹣2）2=1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M（x，y）的距离的最小值为m，点F（0，1）与点M（x，y）的距离为n．
（Ⅰ）求圆C的圆心轨迹L的方程；
（Ⅱ）求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程；
（Ⅲ）试探究轨迹Q上是否存在点B（x1，y1），使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于．若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
21．（14分）已知函数f（x）=ke x﹣x2（其中k∈R，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若k=﹣2，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求k的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试证明0＜f（x1）＜1．
广东省中山一中等七校2015届高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．
1．（5分）设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，则满足A∪B={0，1，2}的集合B的个数是（）
A．1B．3C．4D．6
考点：并集及其运算．
专题：集合．
分析：先求出集合A元素，根据集合关系和运算即可得到结论．
解答：解：A={x|x2﹣3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1，2}，
若A∪B={0，1，2}，则0∈B，
则B={0}，{0，2}，{1，0}，{0，1，2}，共4个，
故选：C
点评：本题主要考查集合的基本关系的应用，比较基础．
2．（5分）i为虚数单位，复平面内表示复数z=（1+i）（2+i）的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．
专题：计算题．
分析：化简复数为a+bi的形式，然后求出复数的对应点所在象限即可．
解答：解：复数z=（1+i）（2+i）=2+3i﹣1=1+3i，
复数对应点为（1，3）．在第一象限．
故选A．
点评：本题考查复数的基本运算，考查计算能力．
3．（5分）“a=1”是“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
考点：三角函数的周期性及其求法；必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：计算题．
分析：化简y=cos2ax﹣sin2ax，利用最小正周期为π，求出a，即可判断选项．
解答：解：函数y=cos2ax﹣sin2ax=cos2ax，它的周期是，a=±1
显然“a=1”可得“函数y=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”
后者推不出前者，
故选A．
点评：本题考查三角函数的周期性及其求法，必要条件、充分条件与充要条件的判断，是基础题．
4．（5分）如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（）
A．11 B．11.5 C．12 D．12.5
考点：众数、中位数、平均数．
专题：概率与统计．
分析：由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数．
解答：解：由题意，0.06×5+x×0.1=0.5，所以x为2，所以由图可估计样本重量的中位数是12．
故选：C．
点评：本题考查频率分布直方图，考查样本重量的中位数，考查学生的读图能力，属于基础题．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A．5B．7C．9D．11
考点：程序框图．
专题：空间位置关系与距离．
分析：根据框图的流程依次计算运行的结果，直到不满足条件S＜20，计算输出k的值．解答：解：由程序框图知：第一次运行S=1+2=3，k=1+2=3；
第二次运行S=1+2+6=9．k=3+2=5；
第三次运行S=1+2+6+10=19，k=5+2=7；
第四次运行S=1+2+6+10+14=33，k=7+2=9；
此时不满足条件S＜20，程序运行终止，输出k=9．
故选：C．
点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．
6．（5分）由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为（）
A．B．C．D．
考点：定积分在求面积中的应用．
专题：函数的性质及应用．
分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．
解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]
所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，
故选A．
点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．
7．（5分）已知O是坐标原点，点A（﹣1，0），若M（x，y）为平面区域上的一个
动点，则|+|的取值范围是（）
A．[1，]B．[2，]C．[1，2]D．[0，]
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：由题意作出可行域，由向量的坐标加法运算求得+的坐标，把||转化为可行域内的点M （x，y）到定点N（1，0）的距离，数形结合可得答案．
解答：解：+=（﹣1，0）+（x，y）=（x﹣1，y），
则|+|=，
设z=|+|=，
则z的几何意义为M到定点D（1，0）的距离，
由约束条件作平面区域如图，
由图象可知当M位于A（0，2）时，z取得最大值z=，
当M位于C（1，1）时，z取得最小值z=1，
1≤z≤，
即|+|的取值范围是[1，]，
故选：A
点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合、转化与化归等解题思想方法，考查了向量模的求法，是中档题．
8．（5分）对于集合A，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足下列4个条件：（Ⅰ）?a，b∈A，都有a⊕b∈A
（Ⅱ）?e∈A，使得对?a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a；
（Ⅲ）?a∈A，?a′∈A，使得a⊕a′=a′⊕a=e；
（Ⅳ）?a，b，c∈A，都有（a⊕b）⊕c=a⊕（b⊕c），
则称集合A对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：
①A={整数}，运算“⊕”为普通加法；
②A={复数}，运算“⊕”为普通减法；
③A={正实数}，运算“⊕”为普通乘法．
其中可以构成“对称集”的有（）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
考点：元素与集合关系的判断．
专题：计算题；集合．
分析：根据新定义，对所给集合进行判断，即可得出结论．
解答：解：①A={整数}，运算“⊕”为普通加法，根据加法运算可知满足4个条件，其中e=0，
a、a′互为相反数；
②A={复数}，运算“⊕”为普通减法，不满足4个条件；
③A={正实数}，运算“⊕”为普通乘法，根据乘法运算可知满足4个条件，其中e=1，a、a′互为倒数．
故选：B．
点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分（一）必做题（9～13题）
9．（5分）若f（x）=2x+2﹣x lga是奇函数，则实数a=．
考点：函数奇偶性的性质．
专题：计算题．
分析：由题设条件可知，可由函数是奇函数，建立方程f（x）+f（﹣x）=0，由此方程求出a的值
解答：解：函数f（x）=2x+2﹣x lga是奇函数
∴f（x）+f（﹣x）=0，
∴2x+2﹣x lga+2﹣x+2x lga=0，即2x+2﹣x+lga（2x+2﹣x）=0
∴lga=﹣1
∴a=
故答案为：．
点评：本题考查奇函数，解题的关键是熟练掌握奇函数的定义，由定义得出方程f（x）+f （﹣x）=0，由此方程求出参数的值．
10．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a=2bsinA．则角B的大小为60°．
考点：正弦定理．
专题：计算题；解三角形．
分析：由a=2bsinA，利用正弦定理得sinA=2sinBsinA，从而可得sinB=，结合0＜B
＜π，且a＜b＜c，可求B．
解答：解：由a=2bsinA，得sinA=2sinBsinA，
因为0＜A＜π，所以sinA≠0，
所以sinB=，
因为0＜B＜π，且a＜b＜c，所以B=60°．
故答案为：60°．
点评：本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
11．（5分）已知某四棱锥，底面是边长为2的正方形，且俯视图如图所示．若该四棱锥的侧视图为直角三角形，则它的体积为．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：根据四棱锥的俯视图得到四棱锥的特征，根据四棱锥的左视图为直角三角形，得到四棱锥的高即可求出它的体积
解答：解：由四棱锥的俯视图可知，该四棱锥底面为ABCD为正方形，PO垂直于BC于点O，其中O为BC的中点，
若该四棱锥的左视图为直角三角形，
则△BPC为直角三角形，且为等腰直角三角形，
∵B0=1，
∴PO=BO=1，
则它的体积为．
故答案为：．
点评：本题主要考查三视图的识别和应用以及锥体的体积的计算，考查线面垂直和面面垂直的判断，考查学生的推理能力．
12．（5分）各大学在2015届高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有180种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．
考点：计数原理的应用．
专题：应用题；排列组合．
分析：分类讨论，分别求出甲、乙都不选、甲、乙两个专业选1个时的报名方法，根据分类计数原理，可得结论．
解答：解：甲、乙都不选时，有=60种；甲、乙两个专业选1个时，有=120种，
根据分类计数原理，可得共有60+120=180种不同的填报专业志愿的方法．
故答案为：180．
点评：本题考查计数原理的运用，考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．
13．（5分）若实数a、b、c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：4﹣．
考点：等差数列的性质；点到直线的距离公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由题意可得动直线l：ax+by+c=0过定点Q（1，﹣2），PMQ=90°，点M在以PQ为
直径的圆上，求出圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为．求得点N到圆心C的距离，再减去半径，即得所求．
解答：解：因为a，b，c成等差数列，故有2b=a+c，即a﹣2b+c=0，对比方程ax+by+c=0
可知，
动直线恒过定点Q（1，﹣2）．
由于点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，即∠PMQ=90°，
所以点M在以PQ为直径的圆上，该圆的圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为=，
再由点N到圆心C的距离为NC=4，所以线段MN的最小值为NC﹣r=4﹣，
故答案为：4﹣．
点评：本题主要考查等差数列的性质，直线过定点问题、圆的定义，以及点与圆的位置关系，属于中档题．
（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）【坐标系与参数方程选做题】
14．（5分）在极坐标系中，曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为．
考点：点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．
专题：计算题．
分析：联立ρ=cosθ+1与ρcosθ=1消掉θ即可求得ρ，即为答案．
解答：解：由ρ=cosθ+1得，cosθ=ρ﹣1，代入ρcosθ=1得ρ（ρ﹣1）=1，
解得ρ=或ρ=（舍），
所以曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为，
故答案为：．
点评：本题考查两点间距离公式、极坐标与直角坐标的互化，属基础题．
15．如图所示，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，弦MN 过CD的中点P．已知AC=4，AB=6，则MP?NP=．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：计算题．
分析：由已知中，过⊙O外一点A作一条直线与⊙O交于C，D两点，AB切⊙O于B，我们由切割线定理，结合已知中AC=4，AB=6，我们易求出AD的长，进而求出弦CD的长，又由弦MN过CD的中点P，由相交弦定理我们易求出MP?NP．
解答：解：∵AB为⊙O的切线，ACD为⊙O的割线
由切割线定理可得：AB2=AC?AD
由AC=4，AB=6，故AD=9
故CD=5
又∵P是弦CD的中点
故PC=PD=
由相交弦定理得MP?NP=PC?PD=
故答案为：
点评：本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，分析已知线段与未求线段与圆的关系，以选择恰当的定理是解答此题的关键．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）已知函数f（x）=2sin（x+φ）（x∈R，0＜φ＜）的图象过点M（，）．（1）求φ的值；
（2）设α，β∈[0，]，f（3α+π）=，f（3β+）=﹣，求sin（α﹣β）的值．
考点：两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：三角函数的求值．
分析：（1）依题意求得sin（+φ）=，结合0＜φ＜求得φ的值．
（2）由条件求得cosα=，sinβ=．根据α，β∈[0，]，利用同角三角函数的基本关系求得inα和cosβ的值，从而求得sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ的值．
解答：解：（1）依题意得2sin（+φ）=，即sin（+φ）=，
∵0＜φ＜，∴＜φ+＜，∴φ+=，φ=．
（2）∵f（3α+π）=2sin（α+）=2cosα=，∴cosα=．
∵f（3β+）=2sin（β+π）=﹣2sinβ=﹣，∴sinβ=．
∵α，β∈[0，]，∴sinα==，cosβ==，
∴sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=﹣=．
点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式、诱导公公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．
17．（12分）2014年巴西世界杯的周边商品有80%左右为“中国制造”，所有的厂家都是经过层层筛选才能获此殊荣．甲、乙两厂生产同一产品，为了解甲、乙两厂的产品质量，以确定这一产品最终的供货商，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号 1 2 3 4 5
x 169 178 166 175 180
y 75 80 77 70 81
（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．
考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
专题：概率与统计．
分析：（1）利用分层抽样方法能求出乙厂生产的产品总数．
（2）样品中优等品的频率为，由分层抽样方法能求出乙厂生产的优等品的数量．
（3）由题意知ξ=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出抽取的2件产品中优等品数ξ
的分布列及其均值．
解答：（本小题满分12分）
解：（1）乙厂生产的产品总数为5=35．…．（2分）
（2）样品中优等品的频率为，
乙厂生产的优等品的数量为35×．…（4分）
（3）由题意知ξ=0，1，2，…..（5分）
P（ξ=0）===0.3，
P（ξ=1）===0.6，
P（ξ=2）==，…．（8分）
ξ的分布列为
ξ0 1 2
P 0.3 0.6 0.1
…．（11分）
均值Eξ=1×0.6+2×0.1=0.8…．（12分）
点评：本题考查乙厂生产的产品数量的求法，估计乙厂生产的优等品的数量，求抽取的2
件产品中优等品数ξ的分布列及其均值，是中档题．
18．（14分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．
（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；
（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．
考点：平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角．
专题：计算题；证明题；空间角．
分析：（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°
﹣∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE．
（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．
解答：解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD…（1分），
∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°…（2分），
又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=（180°﹣∠ECD）=30°…（3分）
∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE…（4分），
∵AA1⊥平面ABCD，DE?平面ABCD，∴DE⊥AA1．…（5分），
∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE…（6分），
∵DE?平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．…（7分）．
（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，…（8分）
∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C
∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D
∴EF∥A1D…（9分），
可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角…（10分）．
∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1
∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==…（12分），
∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为…（14分）
点评：本题在直平行六面体中，求证面面垂直并求异面直线所成角余弦，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．
19．（14分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且a2n+a n=2S n
（1）求a1
（2）求数列{a n}的通项；
（3）若b n=（n∈N*），T n=b1+b2+…b n，求证：T n＜．
考点：数列的求和．
专题：计算题；等差数列与等比数列．
分析：（1）a2n+a n=2S n中令n=1求a1
（2）又a2n+a n=2S n有a2n+1+a n+1=2S n+1，两式相减得并整理得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，数列{a n}是以a1=1，公差为1的等差数列，以此求数列{a n}的通项；
（3）由（2）得出a n=n，利用放缩法求证：T n＜．
解答：解：（1）令n=1，得a12+a1=2S1=2a1，∵a1＞0，∴a1=1，
（2）又a2n+a n=2S n，
有a2n+1+a n+1=2S n+1，
两式相减得并整理得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，
∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=1，∴数列{a n}是以a1=1，公差为1的等差数列，
通项公式为a n=1+（n﹣1）×1=n；
（3）n=1时b1=1＜符合…（9分）
n≥2时，因为==2（﹣）
所以T n=b1+b2+…b n＜1+2（++…+﹣）=1=
∴T n＜．
点评：本题考查等差数列的判定与通项公式求解，不等式的证明，是数列与不等式的结合．
20．（14分）已知圆C与两圆x2+（y+4）2=1，x2+（y﹣2）2=1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M（x，y）的距离的最小值为m，点F（0，1）与点M（x，y）的距离为n．
（Ⅰ）求圆C的圆心轨迹L的方程；
（Ⅱ）求满足条件m=n的点M的轨迹Q的方程；
（Ⅲ）试探究轨迹Q上是否存在点B（x1，y1），使得过点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于．若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：直线和圆的方程的应用；圆与圆的位置关系及其判定．
专题：综合题；直线与圆．
分析：（Ⅰ）确定两圆心分别为C1（0，﹣4）、C2（0，2），由题意得CC1=CC2，从而可求圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线方程；
（Ⅱ）因为m=n，所以M（x，y）到直线y=﹣1的距离与到点F（0，1）的距离相等，故点M的轨迹Q是以y=﹣1为准线，点F（0，1）为焦点，顶点在原点的抛物线，从而可得轨迹Q的方程；
（Ⅲ）设出切线方程，求出切线与两坐标轴围成的三角形的面积，利用S=，即可求得结论．
解答：解：（Ⅰ）两圆半径都为1，两圆心分别为C1（0，﹣4）、C2（0，2），
由题意得CC1=CC2，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，C1C2的中点为（0，﹣1），直线C1C2的斜率等于零，故圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线方程为y=﹣1，即圆C 的圆心轨迹L的方程为y=﹣1．（4分）
（Ⅱ）因为m=n，所以M（x，y）到直线y=﹣1的距离与到点F（0，1）的距离相等，
故点M的轨迹Q是以y=﹣1为准线，点F（0，1）为焦点，顶点在原点的抛物线，
∴=1，即p=2，所以，轨迹Q的方程是x2=4y；（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，，所以过点B的切线的斜率为，
设切线方程为，
令x=0得y=，令y=0得，
因为点B在x2=4y上，所以，
所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S==
设S=，即得|x1|=2，所以x1=±2
当x1=2时，y1=1，当x1=﹣2时，y1=1，所以点B的坐标为（2，1）或（﹣2，1）．（14分）点评：本题考查轨迹方程，考查抛物线的定义，考查切线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
21．（14分）已知函数f（x）=ke x﹣x2（其中k∈R，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若k=﹣2，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求k的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试证明0＜f（x1）＜1．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）求f（x）的导数f′（x），利用f′（x）判定f（x）的单调性，从而求出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）先求导数f′（x），由题意知x1、x2是方程f′（x）=0的两个根，令，利用导数得到函数φ（x）的单调区间，继而得到k的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f′（x1）=0，则得，又由f（x1）=﹣（x1﹣1）2+1，x1∈（0，1），
即可得到0＜f（x1）＜1．
解答：解：（Ⅰ）若k=﹣2，f（x）=﹣2e x﹣x2，则f'（x）=﹣2e x﹣2x，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）=﹣2e x﹣2x＜0，
故函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
（Ⅱ）函数f（x）有两个极值点x1，x2，则x1，x2是f′（x）=ke x﹣2x=0的两个根，
即方程有两个根，设，则，
当x＜0时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＜0；
当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＞0；
当x＞1时，φ′（x）＜0，函数φ（x）单调递减且φ（x）＞0．
要使有两个根，只需，
故实数k的取值范围是．
（Ⅲ）由（Ⅱ）的解法可知，函数f（x）的两个极值点x1，x2满足0＜x1＜1＜x2，
由，得，
所以
，
由于x1∈（0，1），故，
所以0＜f（x1）＜1．
点评：本题考查了利用函数的性质求参数取值与利用导数证明不等式成立的问题，是容易出错的题目．