锐角三角函数培优-题型分类
【考点】待定系数法求一次函数解析式；锐角三角函数的定义．1．（2009?牡丹江二模）直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为，则k 的值为（）
A．B．2 C．±2 D．
【分析】首先确定直线y=kx﹣4与y轴和x轴的交点，然后利用直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为这一条件求出k的值．
【解答】解：由直线的解析式可知直线与y轴的交点为（0，﹣4），即直线y=kx ﹣4与y轴相交所成锐角的邻边为|﹣4|=4，与x轴的交点为y=0时，x=，
∵直线y=kx﹣4与y轴相交所成锐角的正切值为，
即||=4×，k=±2．
故选C．
【考点】锐角三角函数的定义；三角形中位线定理．
2．（1998?台州）如图，延长Rt△ABC斜边AB到D点，使BD=AB，连接CD，若cot∠BCD=3，则tanA=（）
A．B．1 C．D．
【分析】若想利用cot∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ABC的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．
【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．
∵AB=BD，
∴E是CD中点，
∴AC=2BE，
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE=90°．
∴BE∥AC．
又∵cot∠BCD=3，设BE=x，则BC=3x，AC=2x，
∴tanA===，故选A．
【考点3】锐角三角函数的定义．
3．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连接AC，则tan∠DAC的值为（）
A．B．C．D．
【分析】欲求∠DAC的正切值，需将此角构造到一个直角三角形中．
过C作CE⊥AD于E，设CD=BD=1，然后分别表示出AD、CE、DE的值，进而可在Rt△ACE中，求得∠DAC的正切值．
【解答】解：如图，过C作CE⊥AD于E．
∵∠BDC=90°，∠DBC=∠DCB=45°，
∴BD=DC，
设CD=BD=1，
在Rt△ABD中，∠BAD=30°，则AD=2．
在Rt△EDC中，∠CDE=∠BAD=30°，CD=1，
则CE=，DE=．
∴tan∠DAC===．
故选C．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
4．（2007?连云港）如图是一山谷的横断面示意图，宽AA′为15m，用曲尺（两直尺相交成直角）从山谷两侧测量出OA=1m，OB=3m，O′A′=，O′B′=3m（点A，O，O′A′在同一条水平线上），则该山谷的深h为30m．
【分析】过谷底构造相应的直角三角形，利用坡比定义表示山谷宽求解．
【解答】解：设A、A′到谷底的水平距离为AC=m，A′C=n．
∴m+n=15．
根据题意知，OB∥CD∥O′B′．
∵OA=1，OB=3，O′A′=，O′B′=3．
∴==3，==6．
∴（+）×h=15．
解得h=30（m）．
5．（2007?娄底）去年夏季山洪暴发，几所学校被山体滑坡推倒教学楼，为防止滑坡，经过地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可以确保山体不滑坡．某小学紧挨一座山坡，如图所示，已知AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC=60°．改造后斜坡BE与地面成45°角，求AE至少是多少米？（精确到米）
【分析】连接BE，过E作EN⊥BC于N，则四边形AEND是矩形，有NE=AD，AE=DN，在Rt△ADB和Rt△BEN中都已知一边和一个锐角，满足解直角三角形的条件，可求出AD和BD、AE的长．
【解答】解：在Rt△ADB中，AB=30米∠ABC=60°
AD=AB?si n∠ABC=30×sin60°=15≈≈（米），
DB=AB?cos∠ABC=30×cos60°=15米．
连接BE，过E作EN⊥BC于N
∵AE∥BC∴四边形AEND是矩形NE=AD≈26米
在Rt△ENB中，由已知∠EBN≤45°，
当∠EBN=45°时，BN=EN=米
∴AE=DN=BN﹣BD=﹣15=11米
答：AE至少是米．
6．（2010?新密市自主招生）某厂家新开发的一种摩托车如图所示，它的大灯A 射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为8°和10°，大灯A离地面距离1m．
（1）该车大灯照亮地面的宽度BC约是多少（不考虑其它因素）？
（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是，从发现危险到摩托车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离，某人以60km/h的速度驾驶该车，从60km/h到摩托车停止的刹车距离是m，请判断该车大灯的设计是否能满足最小安全距离的要求，请说明理由．（参考数据：，，，）
【分析】（1）本题可通过构造直角三角形来解答，过A作AD⊥MN于D，就有了∠ABN、∠ACN的度数，又已知了AE的长，可在直角三角形ABE、ACE中分别求出BE、CE的长，BC就能求出了．
（2）本题可先计算出最小安全距离是多少，然后于大灯的照明范围进行比较，然后得出是否合格的结论．
【解答】解：
（1）过A作AD⊥MN于点D，
在Rt△ACD中，tan∠ACD==，CD=（m），
在Rt△ABD中，tan∠ABD==，BD=7（m），
∴BC=7﹣=（m）．
答：该车大灯照亮地面的宽度BC是；
（2）该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求．
理由如下：∵以60 km/h的速度驾驶，
∴速度还可以化为：m/s，
最小安全距离为：×+=8（m），
大灯能照到的最远距离是BD=7m，
∴该车大灯的设计不能满足最小安全距离的要求．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
7．（2010?赤峰）关于三角函数有如下的公式：
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①
cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②
tan（α+β）=③
利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：
tan105°=tan（45°+60°）====﹣（2+）．
根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：
如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．
【分析】先由俯角β的正切值及BC求得AB，再由俯角α的正切值及BC求得A、D两点垂直距离．CD的长由二者相减即可求得．
【解答】解：由于α=60°，β=75°，BC=42，
则AB=BC?tanβ=42tan75°=42?=42?=42（），
A、D垂直距离为BC?tanα=42，
∴CD=AB﹣42=84（米）．
答：建筑物CD的高为84米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
8．（2010?巴中）巴中市某中学数学兴趣小组在开展“保护环境，爱护树木”的活动中，利用课外时间测量一棵古树的高，由于树的周围有水池，同学们在低于树基米的一平坝内（如图），测得树顶A的仰角∠ACB=60°，沿直线BC后退6米到点D，又测得树顶A的仰角∠ADB=45°，若测角仪DE高米，求这棵树的高AM．（结
果保留两位小数，≈）
【分析】可在Rt△ABD和Rt△ABC中，利用已知角的三角函数，用AB表示出BD、BC，根据CD=BD﹣BC=6即可求出AB的长；已知HM、DE的长，易求得BM的值，由AM=AB﹣BM即可求出树的高度．
【解答】解：设AB=x米．
Rt△ABD中，∠ADB=45°，BD=AB=x米．
Rt△ACB中，∠ACB=60°，BC=AB÷tan60°=x米．
CD=BD﹣BC=（1﹣）x=6，
解得x=9+3，
即AB=（9+3）米．
∵BM=HM﹣DE=﹣=2，
∴AM=AB﹣BM=7+3≈（米）．
答：这棵树高米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
9．（2015?甘南州）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】在图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．
【解答】解：由已知，得∠ECA=30°，∠FCB=60°，CD=90，
EF∥AB，CD⊥AB于点D．
∴∠A=∠ECA=30°，∠B=∠FCB=60°．
在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，
∴AD==90×=90．
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，tanB=，
∴DB==30．
∴AB=AD+BD=90+30=120．
答：建筑物A、B间的距离为120米．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．
10．（2007?徐州）如图，一艘船以每小时30海里的速度向东北方向航行，在A 处观测灯塔S在船的北偏东75°的方向，航行12分钟后到达B处，这时灯塔S 恰好在船的正东方向．已知距离此灯塔8海里以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿东北方向航行吗？为什么？（参考数据：≈，≈）
【分析】问这艘船能否可以继续沿东北方向航行，只要证明D与S的距离要大于8海里，可以做与正北方向平行的直线，与SB的延长线相交于点C．则△ABC，△ACS都是直角三角形，可以运用勾股定理来计算．
【解答】解：作与正北方向平行的直线，与SB的延长线相交于点C，过点S作SD⊥AB于D．
∵AB=30×=6（海里），
∵∠CAB=45°，∠ACB=90°，
∴AC=BC=AB?sin45°=6×=3（海里），
∵∠CAS=75°，∠ACS=90°，
∴SC=AC?tan75°=3×（2+）=6+3（海里），
∴BS=3+3（海里），
∵∠DBS=∠ABC=45°，
∴SD=BS?sin45°=（3+3）×=3+3≈＞8，
∴这艘船可以继续沿东北方向航行．
【考点】平行四边形的性质；三角形的面积；解直角三角形．11．（2010?兰州）已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8．
（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积；
（2）若AC与BD的夹角∠AOD=60°，求四边形ABCD的面积；
（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=θ，AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积（用含θ，a，b的代数式表示）．
【分析】（1）因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积等于对角线乘积的一半；（2）过点A分别作AE⊥BD，CF⊥BD，根据平行四边形对角线互相平分和正弦定理求出△AOD的面积，那么四边形ABCD的面积=4△AOD的面积；
（3）作辅助线AE⊥BD，CF⊥BD，利用正弦定理求出△BCD、△ABD的高，那么四边形ABCD的面积=△BCD的面积+△ABD的面积．
【解答】解：（1）∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积=AC?BD=40．
（2）分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO=AC=5，BO=DO=BD=4．
在Rt△AOE中，sin∠AOE=，
∴AE=AO?sin∠AOE=AO×sin60°=5×=．
=OD?AE=×4××5=5．
∴S
△AOD
=20．
∴四边形ABCD的面积S=4S
△AOD
（3）如图所示，过点A，C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
在Rt△AOE中，sin∠AOE=，
∴AE=AO?sin∠AOE=AO?sinθ．
同理可得
CF=CO?sin∠COF=CO×sinθ．
∴四边形ABCD的面积
S=S△ABD+S△CBD=BD?AE+BD?CF
=BDsinθ（AO+CO）
=BD?ACsinθ
=absinθ．
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形．
12．（2006?潍坊）已知平行四边形ABCD ，AD=a ，AB=b ，∠ABC=α．点F 为线段BC 上一点（端点B ，C 除外），连接AF ，AC ，连接DF ，并延长DF 交AB 的延长线于点E ，连接CE ．
（1）当F 为BC 的中点时，求证：△EFC 与△ABF 的面积相等；
（2）当F 为BC 上任意一点时，△EFC 与△ABF 的面积还相等吗？说明理由．
【分析】（1）S △EFC =FC?高h ，S △ABF =BF?高h′，而△EFC 与△ABF 的面积相等且当F 为BC 的中点，所以必须证明h=h′，而h =ABsinα，
h′=EBsinα，所以证明方向转化为求证EB=AB ，而EB=CD ，可利用证△EBF ≌△DCF 来解答，因此便可求证所求；
（2）由于△ABC 和△CDE 为等底等高三角形，所以S △ABC =S △CDE ，又因为△ACF 和△CDF 同底等高，所以S △AFC =S △CDF ． ∴S △ABC ﹣S △AFC =S △CDE ﹣S △CDF ，即S △ABF =S △EFC ． 【解答】（1）证明：∵点F 为BC 的中点， ∴BF=CF=BC=， 又∵BF ∥AD ， ∴BE=AB=b ，
∴A ，E 两点到BC 的距离相等，都为bsinα，（3分） 则S △ABF =??bsinα=absinα， S △EFC =??bsinα=absinα， ∴S △ABF =S △EFC ；（5分）
（2）解：
法一：当F为BC上任意一点时，
设BF=x，则FC=a﹣x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，∴，
∴，（7分）
在△EFC中，FC边上的高h1=BEsinα，
∴，
∴，（9分）又在△ABF中，BF边上的高h2=bsinα，
∴S
△ABF
=bxsinα，
∴S
△ABF =S
△EFC
；（11分）
法二：∵ABCD为平行四边形，
∴S
△ABC =S
△CDE=
absinα，
又∵S
△AFC =S
△CDF
，
∴S
△ABC ﹣S
△AFC
=S
△CDE
﹣S
△CDF
，
即S
△ABF =S
△EFC
．（11分）
菱形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形．13．（2009?龙岩）在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A?B?C向终点C运动，连接DM交AC于点N．
（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值．
（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；解直角三角形．【专题】压轴题；动点型．
【分析】（1）①△ABN和△ADN中，不难得出AB=AD，∠DAC=∠CAB，AN是公共边，根据SAS即可判定两三角形全等．
②通过构建直角三角形来求解．作MH⊥DA交DA的延长线于点H．由①可得∠MDA=∠ABN，那么M到AD的距离和∠α就转化到直角三角形MDH和MAH中，然后根据已知条件进行求解即可．
（2）本题要分三种情况即：ND=NA，DN=DA，AN=AD进行讨论．
【解答】解：（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠1=∠2．
又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN（SAS）．
②作MH⊥DA交DA的延长线于点H．
由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°．
在Rt△AMH中，MH=AM?sin60°=4×sin60°=2．
∴点M到AD的距离为2．
∴AH=2．
∴DH=6+2=8．
在Rt△DMH中，tan∠MDH=，
由①知，∠MDH=∠ABN=α，
∴ta nα=；
（2）∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形．
∴∠CAD=45°．
下面分三种情形：
（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．
此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．
此时，点M恰好与点C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4．
∴CM=CN．
∵AC=6．
∴CM=CN=AC﹣AN=6﹣6．
故x=12﹣CM=12﹣（6﹣6）=18﹣6．
综上所述：当x=6或12或18﹣6时，△ADN是等腰三角形．
等边三角形的判定与性质；解直角三角形．
14．（2009?莆田）已知：等边△ABC的边长为a．
探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=a；
探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．
①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1．OD+OE+OF=a；结论2．AD+BE+CF=a；
②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
【分析】（1）本题中△ABC为等边三角形，AB=BC=a，∠ABC=60°，求出∠N，∠G的值，在直角△AMB、△CNB中，可以先用a表示出MB，NB然后再表示出MN，这样就能证得MN=a；
（2）判定①是否成立可通过构建直角三角形，把所求的线段都转化到直角三角形中进行求解；
判断②是否成立，也要通过构建直角三角形，可根据勾股定理，把所求的线段都表示出来，然后经过化简得出结论②是否正确．
【解答】（1）证明：如图1，∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°．
∵BC⊥MN，BA⊥MG，
∴∠CBM=∠BAM=90°．
∴∠ABM=90°﹣∠ABC=30°．
∴∠M=90°﹣∠ABM=60°．
同理：∠N=∠G=60°．
∴△MNG为等边三角形．
在Rt△ABM中，BM=a，
在Rt△BCN中，BN=a，
∴MN=BM+BN=a．
（2）②：结论1成立．
证明：如图3，过点O作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，过点H作HM⊥BC于点M，
∴∠DGO=∠B=60°，∠OHF=∠C=60°，
∴△AGH是等边三角形，
∴GH=AH．
∵OE⊥BC，
∴OE∥HM，
∴四边形OEMH是矩形，
∴HM=OE．
在Rt△ODG中，OD=OG?sin∠DGO=OG?sin60°=OG，
在Rt△OFH中，OF=OH?sin∠OHF=OH?sin60°=OH，
在Rt△HMC中，HM=HC?sinC=HC?sin60°=HC，
∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH
=（GH+HC）=AC=a．
（2）②：结论2成立．
证明：如图4，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得：
BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①，
CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②，
AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③，
①+②+③得：BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2，
∴BE2+CF2+AD2=（a﹣AD）2+（a﹣BE）2+（a﹣CF）2=a2﹣2AD?a+AD2+a2﹣2BE?a+BE2+a2﹣2CF?a+CF2
整理得：2a（AD+BE+CF）=3a2
∴AD+BE+CF=a．
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．（6分）某海域有A ，B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60海里，有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD ⊥BC 于D ，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据 正切的定义求出CD 的长，得到答案． 试题解析：作AD ⊥BC 于D ，∵∠EAB=30°，AE ∥BF ，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD= ，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC= ，∴CD= =， ∴BC= ．故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=， 2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到
1cm）？ 【答案】 【解析】 于F，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，又可证过A作AF CD 四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据DC=DE+EC进行解答即可． 3．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm． （1）AE的长为 cm； （2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值； （3）求点D′到BC的距离． 【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm． 【解析】 试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案： ∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．
锐角三角函数 欧阳光明（2021.03.07） 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若 cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（）A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（） A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（） A.0°<∠A ≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知 sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（） A.23B.2 3- C.43D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（）
A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（） A.m=n B.m=2n+1 C.122+=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ， AC=6，若a ABD =∠，则下列式子正确的是（） A.sin α=54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=34 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α=167 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=5 1，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43B.43- C.34D.34- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。 4、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△；（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。 题型：三角函数值的计算(1) 例：计算：000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ??-+= 变式：1、计算： 2002020010)60cot 4()60tan 25.0(?= 2、计算：0 000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型：三角函数值的计算(2)
锐角三角函数 题型：锐角三角函数基本概念(1) 例：已知α为锐角，下列结论： （1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若cos α> 2 1 ,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（ ）A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式： 1、下列各式中，不正确的是（ ） A.160cos 60sin 0 2 2 =+ B .130cos 30sin 0 =+ C.0 55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（ ） °<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90° 3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=，则cos36042\= 题型：锐角三角函数基本概念(2) 例：已知sin α·cos α= 8 1 ，且45°<α<90°，则COS α-sin α的值为（ ） A. 23 B.23- C.4 3 D.23± 变式： 1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（ ） A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2 tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（ ） A.m=n =2n+1 C.122 +=n m D.n m 212 -= 题型：求三角函数值 例：如图，菱形的边长为5，AC 、BD 相交于点O ，AC=6，若a ABD =∠，则 下列式子正确的是（ ） A.sin α= 54 α=53 α=34 α=3 4 变式：1、设0°<α<45°，sin αcos α= 16 7 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α= 51，0°<α<180°，则tan α的值是（ ）43 B.43- C.34 D.3 4- 3、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM 。
中考数学专题训练---锐角三角函数的综合题分类及答案 一、锐角三角函数 1．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值. 【答案】（1）120米；（2）3 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 3，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=333∴3 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE 5032 35 答：从无人机'A 上看目标D 2 35
【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 2．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，MD∥BC，且MD=CM，DE⊥AB于点E，连结AD、CD． （1）求证：△MED∽△BCA； （2）求证：△AMD≌△CMD； （3）设△MDE的面积为S1，四边形BCMD的面积为S2，当S2 =17 5 S1时，求cos∠ABC的 值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC=5 7 . 【解析】 【分析】 （1）易证∠DME=∠CBA，∠ACB=∠MED=90°，从而可证明△MED∽△BCA；（2）由∠ACB=90°，点M是斜边AB的中点，可知MB=MC=AM，从而可证明∠AMD=∠CMD，从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD； （3）易证MD=2AB，由（1）可知：△MED∽△BCA，所以 2 1 1 4 ACB S MD S AB ?? == ? ?? V ，所以 S△MCB=1 2 S△ACB=2S1，从而可求出S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1= 2 5 S1，由于1 EBD S ME S EB = V ，从而可 知 5 2 ME EB =，设ME=5x，EB=2x，从而可求出AB=14x，BC= 7 2 ，最后根据锐角三角函数的 定义即可求出答案．【详解】 （1）∵MD∥BC，∴∠DME=∠CBA，
知识要点 1、 锐角三角函数定义？ 斜边的对边αα∠= sin 斜边的邻边αα∠=cos 的邻边的对边 ααα∠∠= t a n 的对边的邻边ααα∠∠=cot 2、 特殊角的三角函数值300 、450 、600 、的记忆规律： 3、 角度变化与锐角三角函数的关系 当锐角α在00∽900 之间变化时，正弦（切）值随着角度的增大而增大；余弦（切）值随着角度的增大而减少。 4、 同角三角函数之间有哪些关系式 平方关系：sin 2A ＋cos 2 A ＝1； 商数关系：sinA/cosA ＝tanA ； 倒数关系：tanA ·tan B ＝1； 5、 互为余角的三角函数有哪些关系式？ Sin （900－A ）＝cosA ； cos （900－A ）＝sin A ； tan （900 －A ）＝ctan A ； 一、选择题 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，∠A ＝∠B ，则sinA 的值是（ ）．A ． 2 1 B ．22 C ．23 D ．1 2．在△ABC 中，∠A ＝105°，∠B ＝45°，tanC 的值是（ ）． A ． 2 1 B ．33 C ．1 D ．3 3．在Rt △ABC 中，如果各边的长度都缩小至原来的 5 1 ，那么锐角A 的各个三角函数值（ ）． A ．都缩小 5 1 B ．都不变 C ．都扩大5倍 D ．仅tan A 不变 4．如图，菱形ABCD 对角线AC ＝6，BD ＝8，∠ABD ＝α．则下列结论正确的是（ ）． A ．sin α＝ 54 B ．cos α＝ 53 C ．tan α＝ 34 D ．tan α＝ 4 3 5．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．tan 4B = 6．已知ΔABC 中，∠C ＝90?，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 7．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．A. 513 B. 1213 C.10 13 D.512 8．如图，在△EFG 中，∠EFG ＝90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误．．的是（ ）． A. sin EF G EG = B. sin EH G EF = C. sin GH G FG = D. sin FH G FG = 9．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙风筝，他们放出的线长分别为300米、250米、200米，线与地面所成的角为30°、45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）．
锐角三角函数培优题目 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质： 1．单调性； 2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tgα=ααcos sin ，ctgα=α αsin cos ； 倒数关系：tgαctgα=1． 【例题求解】 【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝ 135，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ． 思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA= 135=AC CD ，tanB=2=BD CD ，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值． 注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不 难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 21sin 21sin 21== ； （2）R C c B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 在△ABC 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3 D ．23- 思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化． 注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形． （2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．
中考数学锐角三角函数综合经典题含答案 一、锐角三角函数 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案． 试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°， ∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，
中考数学锐角三角函数综合题含详细答案 一、锐角三角函数 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt △OFK 中，KO ＝OF?cos60°＝2（分米），FK ＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt △PKE 中，EK ＝22EF FK -＝26（分米）， ∴BE ＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt △OFJ 中，OJ ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ ＝23（分米）， 在Rt △FJE′中，E′J ＝2263-（2） ＝26， ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE ＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为?AC 上的动点，且10 cos B =. (1)求AB 的长度； (2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD?AE 的值是否变化？若不变，请求出AD?AE 的值；若变化，请说明理由. (3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+. 【答案】(1) 10AB (2) 10AD AE ?=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长； （2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的
中考数学锐角三角函数(大题培优)及答案 一、锐角三角函数 1．如图，山坡上有一棵树AB ，树底部B 点到山脚C 点的距离BC 为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F 处测量这棵树的高，点C 到测角仪EF 的水平距离CF=1米，从E 处测得树顶部A 的仰角为45°，树底部B 的仰角为20°，求树AB 的高度．（参考数 值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36） 【答案】6.4米 【解析】 解：∵底部B 点到山脚C 点的距离BC 为6 3 米，山坡的坡角为30°． ∴DC=BC?cos30°=3 639=?=米， ∵CF=1米， ∴DC=9+1=10米， ∴GE=10米， ∵∠AEG=45°， ∴AG=EG=10米， 在直角三角形BGF 中， BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米， ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米， 答：树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC 中求得DC 的长，然后求得DF 的长，进而求得GF 的长，然后在直角三角形BGF 中即可求得BG 的长，从而求得树高 2．如图，某无人机于空中A 处探测到目标B D 、的俯角分别是30、60??,此时无人机的飞行高度AC 为60m ，随后无人机从A 处继续水平飞行303m 到达'A 处. （1）求之间的距离 （2）求从无人机'A 上看目标的俯角的正切值.
【答案】（1）120米；（2）23 5 . 【解析】 【分析】 （1）解直角三角形即可得到结论； （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ，于是得到'60A E AC ==， '30CE AA ==3，在Rt △ABC 中，求得DC= 3 3 AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】 解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°， 在Rt △ABC 中，AC=60m ， ∴AB=sin 30AC ? =6012 =120（m ） （2）过'A 作'A E BC ⊥交BC 的延长线于E ，连接'A D ， 则'60A E AC ==， '30CE AA ==3， 在Rt △ABC 中， AC=60m ，∠ADC=60°， ∴DC=3AC=203 ∴DE=503 ∴tan ∠A 'A D= tan ∠'A DC= 'A E DE =503= 2 35 答：从无人机'A 上看目标D 的俯角的正切值是 2 35 ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键. 3．如图，在△ABC 中，AB=7.5，AC=9，S △ABC = 81 4 ．动点P 从A 点出发，沿AB 方向以每秒5个单位长度的速度向B 点匀速运动，动点Q 从C 点同时出发，以相同的速度沿CA 方向向A 点匀速运动，当点P 运动到B 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正△PQM
A B C D α A （第7题） 1l 3l 2l 4l A D E B 图 C 一、锐角三角函数定义：sin αα∠= 的() （ ） cos αα∠=的（）（） tan α= （） （） 例1．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝3 2 ，求cosA 、tanB ． 例2．△ABC 中，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝63，BD ＝3. （1）求cosA （2）求BC 的长及△ABC 的面积． 例3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是∠BAC 的角平分线，与BC 相交于点D ，且AB ＝43，求AD 的长． 例4.如图1，已知AD 是等腰△ABC 底边上的高，且tan ∠B=43 ,AC 上有一点E ，满足AE:CE=2:3则tan ∠ADE 的值是 练习．1.在7,35,90==∠=AB B 中，则BC 的长为（ ） （A ） 35sin 7 （B ） 35 cos 7（C ） 35cos 7 （D ）． 35tan 7 2．在Rt △ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（ ）． A ．423sin = A B ．3 1 cos =B C ．42tan =A D ．2tan B = 3．已知ΔABC 中，∠C ＝90 ，CD 是AB 边上的高，则CD ：CB 等于（ ）． A ．sinA B ．cosA C ．tanA D ． 1 tan A 4. Rt△ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，那么c 等于（ ） A.cos sin a A b B + B.sin sin a A b B + C sin sin a b A B +. D.cos sin a b A B + 5. 如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D ．若AC=5，BC=2，则sin∠ACD 的值为 6. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cot A = a b ．则下列关系式中不成立．．．的是（ ）（A ）tan A ·cot A =1 （B ）sin A =tan A ·cos A （C ）cos A =cot A ·sin A （D ）tan 2A +cot 2A =1 7.如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ． 8．如图，已知矩形ABCD 的两边AB 与BC 的比为4:5，E 是AB 上的一点，沿CE 将ΔEBC 向上翻折，若B 点恰好落在边AD 上的F 点，则tan ∠DCF 等于 C B A E F D 第8题 C M B A 第7题 D B C A C B 第2题
中考数学锐角三角函数(大题培优易错难题)附详细答案 一、锐角三角函数 1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米． 【答案】553 【解析】 【分析】 如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可． 【详解】 解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J． ∵AM⊥CD， ∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°， ∴四边形OQMP是矩形， ∴QM＝OP， ∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∵OP⊥CD， ∠COD＝30°， ∴∠COP＝1 2 ∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3 ∵∠AOC＝∠QOP＝90°， ∴∠AOQ＝∠COP＝30°， ∴AQ＝1 OA＝5（分米）， 2 ∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3 ∵OB∥CD， ∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt△OFK中，KO＝OF?cos60°＝2（分米），FK＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt△PKE中，EK＝22 -＝26（分米）， EF FK ∴BE＝10?2?26＝（8?26）（分米）， 在Rt△OFJ中，OJ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ＝23（分米）， 在Rt△FJE′中，E′J＝22 -（2）＝26， 63 ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26， ∴B′E′?BE＝4． 故答案为：5＋53，4． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系； （2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由 （3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长． 【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP62 23 . 【解析】 【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再
锐角三角函数综合复习—知识讲解及经典例题解析 【考纲要求】 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边． B C a b c 锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c ∠= =的对边斜边； 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A b A c ∠= =的邻边斜边； 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边． 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ，， ，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、
中考数学锐角三角函数(大题培优)及详细答案 一、锐角三角函数 1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°． （1）求∠BPQ的度数； （2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：， 【答案】（1）∠BPQ=30°； （2）该电线杆PQ的高度约为9m． 【解析】 试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可； （2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解． 试题解析：延长PQ交直线AB于点E， （1）∠BPQ=90°-60°=30°； （2）设PE=x米． 在直角△APE中，∠A=45°， 则AE=PE=x米； ∵∠PBE=60° ∴∠BPE=30° 在直角△BPE中，33 米， ∵AB=AE-BE=6米， 则3 ， 解得：3
则BE=（33+3）米． 在直角△BEQ中，QE= 3 3 BE= 3 3 （33+3）=（3+3）米． ∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）． 答：电线杆PQ的高度约9米． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 2．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）． 【答案】32．4米． 【解析】 试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E， 根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°． ∵AB⊥AC，CD⊥AC， ∴四边形ABEC为矩形， ∴CE=AB=12m， 在Rt△CBE中，cot∠CBE=BE CE ， ∴33 在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，得3 ∴CD=CE+DE=123）≈32.4．答：楼房CD的高度约为32.4m．
第九讲 锐角三角函数 板块一 锐角三角函数 【例1】⑴(2010年人大附统练)如图，在ABC △中，AB AC =，45A =?∠，AC 的垂直平分线分别交AB 、 AC 于D 、E 两点，连接CD ，如果1AD =，那么tan BCD =∠ 。 ⑵(2007海淀二模)如图，四边形ABCD 、A 1B 1BA 、…、A 5B 5B 4A 4都是边长为1的小正方形。已知 ∠ACB ＝α，∠A 1CB 1＝α1，…，∠A 5CB 5＝α5。则tanα·tanα1＋tanα1·tanα2＋…＋tanα4·tanα5的值 为( ) A ．1 B ．5 C ．45 D ．56 ⑶(2010年济宁市)如图，是一张宽m 的矩形台球桌ABCD ，一 球从点M (点M 在长边CD 上)出发沿虚线MN 射向边BC ，然后反弹到边AB 上的P 点。如果MC n =，CMN α∠=。那么P 点与B 点的距离为 。 【例2】⑴(2010年人大附统练)已知ABC △，90C =?∠，设sin A m =，当A ∠是最小的内角时，m 的 取值范围是( ) A ．1 02 m << B ．02m << C ．0m < D ．0m << B 5 B 4 B 3 B 2B 1 A 5A 4A 3A 2A 1B A C D E D C B A B N
12?5? D C B A ⑵(十一学校2009年初三数学学习能力测试)已知1 sin cos 8 αα?=，且4590α<<°°，则 cos sin αα-的值是( ) A B ． C ． 34 D ． ⑶(北京二中分校2009学年度第一学期初三质量检测)因为1sin 302= °，1 sin 2102 =-°，所以 ()sin 210sin 18030sin 30=+=-°°°° ；因为sin 452= ° ，sin 2252 =°，所以 ()sin 225sin 18045sin 45=+=-°°°°；由此猜想并推理知：一般地，当α为锐角时，有()sin 180sin αα+=-°。由此可知sin 240=°( ) A ．1 2 - B ． C ． D ． 板块二 解直角三角形及应用 【例3】(2009浙江台州)如图，有一段斜坡BC 长为10米，坡角 12CBD ∠=?，为方便残疾人的轮椅车通行，现准备把 坡角降为5?。 ⑴求坡高CD ； ⑵求斜坡新起点A 与原起点B 的距离(精确到0.1米) (参考数据：sin120.21cos120.98tan50.09?≈?≈?≈，，) 【例4】面积专题： 题源：(2010年人大附统练)如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为 α，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为( ) A ． 1sin α B ．1 cos α C ．sin α D ．1
中考数学专题训练---锐角三角函数的综合题分类及详细答案 一、锐角三角函数 1．（6分）某海域有A ，B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60海里，有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD ⊥BC 于D ，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据 正切的定义求出CD 的长，得到答案． 试题解析：作AD ⊥BC 于D ，∵∠EAB=30°，AE ∥BF ，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD= ，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC= ，∴CD= =， ∴BC= ．故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为 1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=， 2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到
1cm）？ 【答案】 【解析】 于F，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF、EF的值，又可证过A作AF CD 四边形ABCE为平行四边形，故有EC=AB=25cm，再再根据DC=DE+EC进行解答即可． 3．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC． (1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由； (2) 求证：∠ACF=90°； (3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长. 图1 图2 【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析 （2）证明见解析 （3）=2π 【解析】 试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH
<锐角三角函数.相似> 一、选择题 1．下列多边形一定相似的为（ ） A ．两个矩形 B ．两个菱形 C ．两个正方形 D ．两个平行四边形 2．在△ABC 中，BC=15cm ，CA=45cm ，AB=63cm ，另一个和它相似的三角形的最短边是5cm ，则最长边是（ ） A ．18cm B ．21cm C ．24cm D ．19.5cm 3．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A ．10米 B ．15米 C ．25米 D ．30米 4．若A B ∠∠、均为锐角，且2 1cos 21sin ==B A ，，则（ ）. A ．?=∠=∠60 B A B ．?=∠=∠30B A C ．?=∠?=∠3060B A ， D ．?=∠?=∠6030B A ， 5. 如图：把△ ABC 沿AB 边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的 面积是空白部分面积的一半，若AB=1，则此三角形移动的距离AA'是（ ） A 2- 1 B ． 2 2 C ．212 - D ． 12 6. P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B , C 的一点，过P 点作直线截△ABC ，使截得的三角 形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有（ ） A. l 条 B. 2条 C. 3 条 D. 4条 7. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 2 1 B. 3 3 C. 1 D. 3 8．如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是（ ） A ． 247 B 7 C ．724 D ． 13 题 10 A B D C E 30 ° 6 8 C E A B D （第8题）