1锐角三角函数培优题目
三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：
1．单调性；
2．互余三角函数间的关系；
3．同角三角函数间的关系．
平方关系：sin2α+cos2α=1；
商数关系：tgα=??cossin，ctgα=??sincos；
倒数关系：tgαctgα=1．
【例题求解】
【例1】已知在△ABC中，∠A、∠B是锐角，且sinA＝135，tanB=2，AB=29cm，则S△ABC =
思路点拨过C作CD⊥AB于D，这样由三角函数定义得到线段的比，
sinA=135?ACCD，tanB=2?BDCD，设CD=5m，AC＝13m，CD＝2n，BD＝n，解题的关键是求出m、n的值．
注：设△ABC中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，R为△ABC外接圆的半径，
不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论：
(1) S△ABC=CabBacAbcsin21sin21sin21??；
（2）RCcBbAa2sinsinsin???．
【例2】在△ABC中．∠ACB＝90°，∠ABC＝15°，BC=1，则AC=( ) A 32? B32? C．0.3 D23?
思路点拨由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．
注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．
（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．
2【例3】如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，过BC的中点D 作DE⊥AB于E，连结CE，求sin∠ACE的值．
思路点拨作垂线把∠ACE变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．
【例4】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC，
(1)求证：AC＝BD；
(2)若sinC=1312，BC=12，求AD的长．
思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；
(2) sinC=ACAD?1312，引入参数可设AD=12k，AC＝13k
．
【例5】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程02???qpxx的两个根．
(1)求实数p、q应满足的条件；
(2)若p、q满足(1)的条件，方程02???qpxx的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角
A、B的正弦?
思路点拨由韦达定理、三角函数关系建立p、q等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p、q应满足的条件．
3学历训练
A组
1．已知α为锐角，下列结论①sinα+cosα=l；②如果α>45°，那么sinα>cosα；
③如果cosα>21，那么α<60°；④?sin11)-(sin2??α．正确的有
2．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，BC=1，cosB135，则这个菱形的面积为
3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB＝BD，利用此图可求得tan75°=
4．化简:
(1)263tan27tan22????=
(2)sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°=
5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )
A．甲的最高 B．丙的最高 C．乙的最低 D．丙的最低
6．已知 sinαcosα=81，且0°<α<45°则coα-sinα的值为( )
A 23 B23? C43 D43?
7．在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，D是AC的中点，则ctg∠DBC的值是( )
A 3 B32 C．23 D43
8．在等腰Rt△ABC中．∠C＝90°，AC＝6，D是AC上一点，若tan∠DBA=51，则AD的长为( )
A 2 B．2 C． 1 D22
9．已知关于x的方程0)1(242????mxmx的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m的值．
10．D是△ABC的边AC上的一点，CD=2AD，AE⊥BC于E，若BD＝8，sin∠
CBD=43，求AE的长．
4B组
11．若0°<α<45°，且sinαconα=1673，则sinα= 12．已知关于x的方程0)cos1(2sin423???????xx有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是
13．已知是△ABC的三边，a、b、c满足等式))((4)2(2acacb???，且有035??ca，则sinA+sinB+sinC的值为
14．设α为锐角，且满足sinα=3cosα，则sinαcosα等于( ) A61 B51 C92 D103
15．如图，若两条宽度为1的带子相交成
30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是( ) A．2 B 23 C．1 D21
16．如图，在△ABC中，∠A＝30°，tanB=23，AC=32，则AB的长是( ) A33? B322? C．5 D29
17．己在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且c=35，若关于
x 的方程0)35(2)35(2?????baxxb有两个相等的实根，又方程
0sin5)sin10(22???AxAx的两实根的平方和为6，求△ABC的面积．
18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC＝90°，∠CBD°=30°，求AC的长．
19．设 a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断nn ba?与n c的关系，并证明你的结论．
20．如图，已知边长为2的正三角形ABC沿直线l滚动．
(1)当△ABC滚动一周到△A l B1C1的位置，此时A点所运动的路程为，约为 (精确到0.1，π=3.14)
(2)设△ABC滚动240°，C点的位置为Cˊ，△ABC滚动480°时，A点的位置在Aˊ，请你利用三角函数中正切的两角和公式tan(α+β)=(tanα+tanβ)÷(1-tan α·tanβ)，求出∠CACˊ+∠CAAˊ的度数．