九、格点与面积(A)
年级______班_____ 姓名 _____得分_____
一、填空题:
1.下图的图形的面积是________(面积单位).
2. 下列的图形中,三角形的面积是_________(面积单位).
3.下列多边形的面积是________(面积单位).
4.下列多边形的面积是_________(面积单位).
5.求下列多边形的面积,填在相应的括号里:
a=（）b=（）.
6.用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).
如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三
角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的
个数有多少?
7.在右图中,如果钉与钉之间距离为1厘米,用橡皮筋
将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形.在这些三角
形中,面积等于2平方厘米的三角形有多少个？
8.右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,
这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形?
9.12个钉钉成右图那样的一个矩形钉阵,相邻两钉
间的距离都是1厘米.以这些钉为顶点用皮筋去套,可以
得到不少三角形.问这些三角形中面积为3平方厘米的
三角形有多少个?
10.右图是由8个钉组成的不规则钉阵,我们依次给它
们编号,分别为1,2,3,4,5,6,7,8.这1,3,5;2,3,4;6,7,8
分别在一条直线上,用皮筋去套这些钉,一共可以套出多少
个三角形?
二、解答题:
1.右图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共
有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的
3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角
形有同样大小面积的有多少个?
2.右图中有A 1 A 2 ,…,A 10共10个点,以这些点为顶点,可以
画多少个不同的三角形?
3.在圆周上任意给定6个点,在圆内再选4个点,使得以这10个点为顶点构成尽可能多的彼此不重叠的三角形.这些三角形最多有多少个?
4.右图是一个相邻横竖两排距离都相等的4 6矩
形钉阵,你能套出多少个不同的正方形来?
九、格点与面积(B)
年级______班_____ 姓名 _____得分_____
一、填空题:
1.右图是用皮筋在钉板上围成的一个三角形,计算它的面积是多
少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).
2.右图是一根用皮筋在钉板上围成的一个四边形,计算它的面积是多少.(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位).
3.在一个9?6的长方形内,有一个凸四边形ABCD(如右图).用毕克定理先求出它的面积
来,再用拼割方法计算它的面积,看两者是否一致.
4.右图中每个小正方形的面积都是4平方厘米,求图中阴影部分的面积.
5.右图是一个10?10的正方形,求正方形内的四边形ABCD的面积.
6.右图是一个8?12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.
7.右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?
8.右图是一个5?5的方格纸,小方格的面积是1平方厘米,小方格的顶点为格点.请你在图上选7个格点,要求其中任意3个格点都不在一条直线上,并且使这7个点用线段连结所围成的面积尽可能大,那么,所用图形的面积1是多少平方厘米？
9.右图中每个小正方形的面积为1平方分米,那么阴影部分的面积是多少平方分米?
10.右图中每个小平行四边形的面积是1个面积单位,求阴影部分的面积.
二、解答题:
1.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算ABC
的面积.
2.右图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形DEFG的面积.
3.把等边三角形ABC每边六等分,组成如右图的三角形网.若图中每个小三角形的面积
均为12
cm,试求图中三角形DEF的面积.
4.把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果每个小三角形的面积都是1,求图中粗线所围成的三角形的面积.
—————————————————————A卷答案—————————————————————
一、填空题:
1. 5.
2. 8. 点金术:设图形内的点为V,图形边上的点为L,则面积为L÷2-1+V.
3. 14÷2-1+35=41.
4. 36. 点金术:可以分成一个长方形和三角形.
5. a=10+9÷2-1 b=30+15÷2-1
=13.5 =36.5
6. 共有32个.
解:分类统计如下:
①②③
底为2,高为1 底为2,高为1 底为1,高为2
3?2=6(个) 3?2=6(个) 3?2=6(个)
④⑤⑥
底为1,高为2 底为2,高为1 底为1,高为2
3?2=6(个) 2?2=4(个) 2?2=4(个)
所以,面积等于1平方厘米的三角形的个数有:
6+6+6+6+4+4=32(个).
7. 答:面积等于2平方厘米的三角形有8个.
8. 共有54个.
解:分类如下:
①②③
底为2,高为2 底为2,高为2 底为2,高为2
5?3=15(个) 5?3=15(个) 2(个)
④⑤⑥
底为4,高为1 底为4,高为1 底为1,高为4
5?2=10(个) 2?2=4(个) 4(个)
它的面积为
⑦ 4?2-1?3÷2-1?1÷2-(1+3)?2÷2
4个 =2(平方厘米)
所以,面积为2平方厘米的三角形有:
15+15+2+10+4+4+4=54(个).
9. 答:面积为3平方厘米的三角形有26个.
10. 解:由于“不在一条直线上的三点可确定一个三角形”,根据排列组合知识得,一共可套出三角形:
8?7?6÷(3?2?1)-1-1-1=56-3=53(个).
这里减去的3个三角形,实际上是不能构成的.因为1,3,5;2,3,4;6,7,8分别在一条直线上.
二、解答题:
1. 解: ①设每个小正方形的边长为1个长度单位,则阴影三角形面积为:
2?3÷2=3(面积单位).
②分类统计如下:
①②③
底为2,高为3 底为2,高为3 底为3,高为2
4?2=8(个) 4?2=8(个) 4?2=8(个)
④⑤⑥
底为3,高为2 底为2,高为3 底为3,高为2
4?2=8(个) 2?2?2=8(个) 2?2?2=8(个)
③与阴影三角形面积相同的三角形有:
8+8+8+8+8+8=48(个).
2. 答:可画100个.
提示:将所有的三角形按有一个顶点在直径上和两个顶点在直径上及三个顶点都不在直径上的三类.
3. 答:12 个.
提示:对任意给定的6 个点可以构成4个互不重
叠的三角形(图①),下图②中如果选取A点只能增加
一个互不重叠的三角形,如果选取B点可以增加两个
互不重叠的三角形,所以只要在图①的4个三角形内
各取一点,就得到12个互不重叠的三角形.
4.一共能套出40个正方形.
———————————————————B卷答案——————————————————————
一、填空题:
1. 5.5面积单位.
分析:解答这类问题可直接套用毕克定理:
格点面积=内部格点数+周界上格点数÷2-1.
注意:一是毕克定理只对格点凸多边形适用,二是在数格点时要细心.
解: 5+3÷2-1=5.5(面积单位).
2. 5+5÷2-1=6.5(面积单位).
3. 27.5面积单位.
解: ①由毕克定理得:
25+7÷2-1=27.5(面积单位).
②用拼割方法得:
ABCD的面积=长方形EFGH的面积-四角上的四个三角形的面积 =9?6-(6?2÷2+3?3÷2+4?3÷2+4?5÷2)
=54-(6+4.5+6+10)=27.5(面积单位).
4. 48平方厘米.
解: ①内部格点数为: 9个;
②周界上格点数为: 8个;
③阴影部分的面积是: 4?(9+8÷2-1)=48(平方厘米).
5. 30面积单位.
解: 因为ABCD不是凸四边形,所以如在原题图上取格点E,则三角形BCE及四边形AECD都是凸的图形,故:
S=(4+6÷2-1)+(21+8÷2-1)
ABCD
=6+24=30(面积单位).
6. 46面积单位.
解: 因为ABCDEFGH不是凸多边形,所以,连结GC、MN,则ABH
?、矩形GCNM、三角形MFE、EDN都是凸的图形.
故箭形ABCDEFGH的面积=(8+10÷2-1)+4?8+(4÷2-1)?2
=12+32+2=46(面积单位).
7. 67.5面积单位.
解: 图形内部格点数为59,图形周界上格点数为19.
所以图形的面积为:59+19÷2-1=67.5(面积单位).
8. 23.5(平方厘米).
分析与解: 这是一个5?5的方格纸,共有25个格点.现在要围成一个面积最大的图形,根据格点面积公式,要使图形面积最大,必须使图形包含的内部格点数和周界上格点数尽可能多.由方格纸可知,内部格点数最多为4?4=16,周界上格点数最多为5?4=20.但是,当周界上格点数为最多时,不符合题中“任意3个格点不在一条直线上”的条件,因此,适当调整图上7个格点的位置,如右上图所示,就得到了面积最大的图形.
所围成图形的最大面积为: 16+17÷2-1=23.5(平方厘米).
9. 8.5平方分米.
解:图形内部格点数为7,图形周界上格点数为5.阴影部分的面积为:7+5÷2-1=8.5(平方分米).
10. 18.5面积单位.
解: 图形内部格点数为16,图形周界上格点数为7.
图形的面积为: 16+7÷2-1=18.5(面积单位).
二、解答题:
1. 10面积单位.
分析: 由“∵”和“∴”重合两点可拼为平行四边形 ,可以推出如下计算这类格点面积的公式:
图形面积=(内部格点数+周界上格点数÷2-1)?2.
解: 图形内部格点数为4,图形周界上格点数为4.
ABC S ?=(4+4÷2-1)?2=10(面积单位).
2. 12面积单位.
解: DEFG S 四边形=(5+4÷2-1)?2=12(面积单位).
3. 11面积单位.
解: 图形内部格点数为5,图形周界上格点数为3.
DEF S ?=(5+3÷2-1)?2=11(2cm ).
4. 26面积单位.
解: 图形内部格点数为12,图形周界上格点数为4.
图形的面积为: (12+4÷2-1)?2=26(面积单位).