格点与面积
如下图 ;在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上;如果任意相邻平行线之间的距离都相等 ;我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点）;把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度;把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。
一个多边形的顶点如果全是格点;这个多边形就叫做格点多边形;本讲就 ;学习求格点多边形的面积问题。这种格点多边形的面积计算起来很方便;一般有三种方法：
①规则的格点多边形;可以运用多边形的面积公式求出面积;
②一些简单而又特殊的格点多边形;可以通过数格子求出面积;
③较复杂的不规则图形;一般用皮克公式计算。其中数格子的方法比较原始;很少用。
任意格点多边形;只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数;就可用下面的皮克公式算出面积：
格点多边形面积=内格点个数+ 边格点数÷2-1
这个公式是皮克(Pick)在 1899 年给出的 ;被称为“皮克定理”;这是一个实用而有趣的定理。
例 1 ：求下面各图形的面积。
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【解析】：
图① 是个平行四边形 ;周界上有 10 个格点 ;图内有 4 个格点 ;根据格点面积公式 ;图①的面积为： 4+10 ÷2-1=8;
图② 是个梯形 ;周界上有 8 个格点 ;图内有 2 个格点 ;根据格点面积公式;图②的面积为： 2+8 ÷2-1=5;
图③ 是个三角形 ; 周界上有 6 个格点 ;图内有 4 个格点 ; 根据格点面积公式 ;图③ 的面积为： 4+6 ÷2-1=6;
以上 3 个图形都是规则图形 ;但四年级学生还没有学过这 3 种图形的面积计算 ; 不能用面积公式计算。
图④ 是个六边形 ; 周界上有8 个格点 ;图内有9 个格点 ; 根据格点面积公式 ;图④ 的面积为： 9+8 ÷2-1=12。
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这四个图形也可以用数格子的方法计算面积。
例 2 ：下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？
【解析】：
这三个图形都适合用格点面积公式计算面积。
喇叭周界上有 8 个格点 ;图内没有格点 ;面积为： 0+8 ÷2-1=3;
小猫周界上有 20 个格点 ;图内有 2 个格点 ; 面积为：2+20 ÷2-1=11;
小狗图案可以看着是两个格点多边形组成 ; 先分别求出每个格点多边形的面积 ;再求出总面积。
躯干面积： 0+12 ÷2-1=5;
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尾巴面积： 0+4 ÷2-1=1;
总面积： 5+1=6。
像小狗图案这样 ;由两个或两个以上独立的格点多边形拼成的多边
形;要求其总面积 ; 一般先求出每个独立多边形的面积 ; 再求和 ; 以免发生漏数多个独立图形公共格点的错误。
例 3 ：下面是一个漂亮礼盒的平面图 ;请你求出它的面积。
【解析】：
这个礼盒平面图是由 3 个独立的格点多边形组成的。
左边三角形面积可以用皮克公式求出： 4+4 ÷2-1=5;
右边三角形面积可以用皮克公式求出： 2+6 ÷2-1=4;
下面长方形长为 6 、宽为 3; 可以直接用长方形面积公式算出面积：6 ×3=18;
所以上图总面积为： 5+4+18=27。
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