目录
摘要 ....................................................................... I Abstract ................................................................... II 第一章前言 (1)
1.1 什么是分类讨论思想 (1)
1.2 中学生为什么要学习分类讨论思想 (1)
第二章简述分类讨论思想 (1)
2.1 分类讨论思想的要求及其原则 (1)
2.2 分类讨论思想的标准 (3)
2.3 分类讨论思想的常规方法 (3)
2.3.1 根据概念的属性分类 (3)
2.3.2 根据定理法则的适用范围分类 (4)
2.3.3 根据数形结合进行分类 (5)
2.3.4 依据某些数学性质进行分类 (6)
2.3.5 依据位置关系进行分类 (6)
2.3.6 依据参数变化进行分类 (7)
2.3.7 根据整数的奇偶性进行分类 (8)
第三章分类讨论思想在中学数学中的应用 (9)
3.1 分类思想在集合中的应用 (9)
3.2 分类讨论思想在函数中的应用 (10)
3.2.1 分段函数中的分类讨论 (10)
3.2.2 函数中含参数的分类讨论 (11)
3.3 分类讨论思想在不等式中的应用 (12)
3.3.1 涉及运算要求的分类讨论 (12)
3.3.2 含参数不等式的分类讨论 (12)
3.4 分类讨论思想在排列组合中的应用 (13)
3.5 分类讨论思想在数列中的应用 (14)
3.6 分类讨论思想在圆锥曲线中的应用 (15)
3.7 分类讨论思想在立体几何中的应用 (16)
3.8 分类讨论思想在实际问题中的应用 (17)
第四章分类思想的延伸 (18)
4.1 绝对值平方法 (18)
4.2 分离变量法 (19)
4.3 换元法 (19)
4.4 方程和函数的转化法 (20)
4.5 换元法 (21)
总结 (22)
参考文献 (23)
致谢 (24)
分类讨论思想在中学数学中的应用
摘要本文主要研究了分类讨论思想在中学数学中的应用，首先提出了分类讨论思想的概念并强调了分类讨论思想的要求、原则以及标准；然后举例说明分类讨论思想解题的常规方法以及在中学数学中的应用；最后，基于某些问题进行分类讨论时情况过多，探讨了几类避免分类讨论的方法.在解数学问题时，应用分类讨论思想，通过正确分类，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答.分类讨论的思想在解决某些数学问题时，其解决过程包括多种情形，需要根据所研究的对象存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，最终使得整个问题在总体上得到解决.
关键词：正确分类;应用;分类讨论思想;标准
The Application of Categorized Discussion in Secondary
School Mathematics
Abstract This paper mainly studies the thought in the middle school mathematics application classification discussion, firstly puts forward the concept of classification to discuss ideas and to emphasize the requirement classification to discuss ideas, principles and standards; Then discuss the thought of the problem solving illustrates classification routine method and application in middle school mathematics; Finally, based on some problems in classification too much discussion about the situation, discusses the categories to avoid classification method of the discussion. In solving mathematical problems, discuss application of ideas, through the correct classification, can make the complicated problem is clear, complete, rigorous solutions. Classification discussed thoughts when solve some math problems, the solution process includes a variety of circumstances, need according to the different between the object of study, according to a certain standard of the original problem is divided into several different categories, and for each type of analysis and discussion to one by one, then every kind of results and conclusion to carry on the summary, eventually making the whole issue resolved in general.
Key words：proper classification；apply；categorized discussion method；standards
第一章 前言
1.1 什么是分类讨论思想
所谓的分类，就是把一个“类属念”分为若干个“种概念”的逻辑划分方法，用集合论
的观点来说，假设讨论的对象的全集为I ，按照一定的标准将集合I 划分若干个子集i
A （i=1,2,3,…,n ），使得I n
i ==1 （其中j i A A 为空集，且i ≠j). 由于在研究问题过程中出现了不同情况，从而针对不同的情况进行分类讨论研究的思
想，我们称之为分类讨论思想，其实质是一种逻辑划分的思想，是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．
分类讨论思想，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题
策略．分类讨论思想具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，所以在数学解题中占有重要的位置．
1.2 中学生为什么要学习分类讨论思想
人的年龄在一定程度的时候，思维的训练就变得尤为重要，中学数学的各种概念、原则
和法则不是杂乱无章的组合成的，而是在逻辑体系下展开的，这一数学特点决定了数学学习必须具有较强的逻辑推理能力，因此为了学生能建立起一个完善的数学思维体系和应对中学数学的学习任务，掌握分类思想是非常必要的.
在解决数学问题时，对于因为存在一些不确定因素无法解答或者结论不能给予统一表述
的数学问题，我们往往将问题按某个标准划分为若干类或若干个局部问题来解决，通过正确的分类，能够克服思维的片面性，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答．
第二章 简述分类讨论思想
2.1 分类讨论的要求及其原则
目前分类讨论的要求：正确应用分类讨论思想，是完整解题的基础．应用分类讨论思想
解决问题，必须保证分类科学，统一，不重复，不遗漏，在此基础上减少分类，简化分类讨
论过程．
为了分类的正确性，分类讨论必需遵循一定的原则进行，在中学阶段，我们经常用到的
有以下几大原则:
(1）同一性原则
在分类讨论过程中，每次划分的标准必须同一，也就是说每一次分类只能有一个依据，
不能交叉使用几个不同的划分标准.因此，在每次分类欠，应当从分类对象的属性中，选只取一个属性作分类标准，即：分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据．可以通过集合的思想来解释，如果把研究对象看作全集I ，i A 是I 的子集并
以此分类，且I A A A n =?? 21，则称这种分类()An A A ,,, ２１
符合同一性原则. 它有两层含义：一是概念应该放在哪一类的衡量尺度；二是两个不同的概念要用同一把
尺度来衡量，不然就会出现分类的结果重复或遗漏，使得我们的分类结果混淆不清.
⑵ 互斥性原则
分类后的每个子项应当互不相容，即做到各个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属
于这个子项，又属于另一个子项．即对于研究对象I ，()1,2,i A i n = 是I 的子集，且作为分类的标准，若()j i n j i A A j i ≠=Φ=?,1, ，则称这种分类符合互斥性原则．
⑶ 相称性原则
分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等．
⑷ 层次性原则
分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是
把分类后的所有的子项作为母项，再次进行分类，直到满足需要为止．
（5）合理性原则
划分后的各个概念的外延总和，应当与被划分概念的外延相等（I A i n
i ==1 ，称为完备性），
划分后各个概念之间不能重叠，他们之间的关系应当是互不相容的（即j i A A 为空集，且i 不等于j ，简称为互斥性），通常也把这个原则叫做不重复不遗漏.
(6）逐级性原则
在一些问题光靠一次分类处理是不够的，需对I 中的k A 再次分类处理，则称为A 的二
级分类，由此类推称为三级分类，四级分类等.比如一次函数的图像和性质，可以先按0>k 和0
0
2.2 分类讨论的标准
一个问题或事物要分类就必须具备三要素：母项、子项和根据.母项就是被划分的种概
念，子项是被划分过后所得的类概念，划分的依据就是借以划分的标准.
一个问题进行分类处理时，必须有一个标准.即必须根据对象本身的某种属性或关系来
进行划分.由于客观事物有很多方面的属性，事物之间有很多方面的联系，所以分类的标准也是很多方面的，可以根据不同的方面对事物进行分类.但同一次分类都应该按照同一标准进行，所以我们分类标准应当服从于研究的目的或观察问题的角度.
2.3 分类讨论思想的常规方法
2.1 根据概念的属性分类
有些数学概念本身就是分类定义的，比如绝对值的化简，直线与平面所成的角，所以对
于这些概念问题是就可以分类讨论 如求实数的绝对值，用一句话来概括比较困难，如果将这个数，按实数的分类（正数、零、负数）逐一解决，就容易多了.即
()()()
0000a a a a a a >??==??-
在实数的运算中，也用到了分类思想，比如两数相加、两数相乘的法则，都是按同号、
异号分别加以叙述的.
例2.1 化简a a ---32。
分析：了解了绝对值得分类标准，为了去掉绝对值号，可将实数a 分为三种情况：2 32<≤a ；3≥a ；分别加以讨论. （1）当2 原式=1)3()2(-=---a a （2）当32<≤a 时； 原式=52)3()2(-=---a a a （3）当3≥a 时； 原式=1)3()2(=---a a 例2.2 有理数2x -到有理数-1的距离是3，有理数1y +到3的距离是5，且x y >， 求x y x y +-和的值． 分析: 在数轴上，到有理数-1的距离是3的有理数有两个，一个是-4，另一个是2，即 42-=-x 或22=-x ； 到3的距离是5的数也有两个，一个是-2，另一个是8，即 21-=+y 或81=+y 解: 依题意得 42-=-x 或22=-x 21-=+y 或81=+y 解得 2-=x 或4=x 3-=y 或7=y 因为 y x > 所以 ???-=-=3 2y x 或? ??-==34y x 所以y x +的值为5-或1，y x -的值为1或7. 2.3.2 根据定理 法则的适用范围分类 有些数学公式本身就是分类形式给出的，比如等比数列前n 项和和公式、有理数乘法法 则等.运用等比数列前n 项和公式?????≠--==1,1)1(111q q q a q na S n n ， 求和，首先要判别其公比q 能否为 1进行判定， 以等比数列公比q 作为标准进行分类研究.许多法则、定理都有其分类讨论，如被开方数不能为负数. 例2.3 解方程()()()2432-=+-x x x 分析：常见这种问题会想到同时在两边乘以()2-x ，将原方程化简为43=+x ；而忽 视了2-x 是否等于0.可以根据2=x 或2≠x 两种情况. 解：（1）当2 =x 时； ()4030?=+?x 即 2=x 当2≠x 时；同时两边除以2≠x 有 43=+x 即 1=x 所以原方程的解为2=x 或1=x 2.3.3 根据数形结合进行分类 数形结合思想刻画了数量关系与图形运动的相互依存的关系，因图形位置不能确定或 形状的变化，形状直观为我们提供分类讨论的方法，如求集合的交集、并集、补集时，可以用数轴来表述；以及一元二次方程的实数根分布借用二次函数与x 轴交点情况进行讨论. 例2.4 如图2-1中，分别以直线m 上的点A 、B 、C 、D 、E 、F 为端点的线段共 有多少条？ 图2-1 分析：线段AB 与BA 是同一条直线，如依字母排列顺序表示线段，则一条线段就对应一个左端点，不妨以线段的左端点为标准进行分类计算. （1）以A 为左端点的线段有AB 、AC 、AD 、AE 、AF 共5条； （2）以B 左为左端点的线段有BC 、BD 、BE 、BF 共4条； （3）以C 为端点的线段有CD 、CE 、CF 共3条； （4）以D 为左端点的线段有DE 、DF 共2条； （5）以E 为左端点的线段仅有EF 共1条. 所以，共有1512345=++++条线段. 2.3.4 依据某些数学性质进行分类 数学研究对象往往具备一定性质，如欧偶次方根的性质；二次函数、反比例函数、指数 函数的相关性质；反三角函数的定义域、值域等，再利用这些函数的相关性质解题时，就需要根据这些性质成立的相关条件进行分类讨论处理. 例2.5 如用分类方法来讨论正比例函数)0(≠=k kx y 的图像与性质： （1）当0>k 时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； （2）当0 例2.6 用分类方法讨论一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的情况： （1）当042>-=?ac b 时，方程有2个相异实数根； （2）当042=-=?ac b 时，方程有2个相等实数根； （3）当042<-=?ac b 时，方程没有实数根. 2.3.5 依据位置关系进行分类 在几何问题中点与点，点与线，点与面，线与线，线与面等的位置关系是分类的依据， 如异面直线上两点的距离；在排列组合问题中，有限制条件时，应当优先考虑特殊元素的位置关系来分类处理. 例2.7 A 、B 、C 是平面α外的三点，他们到平面α的距离分别为3,6,6，求A B C ?的重心G 到平面α的距离. 分析：如图2-2，由于点A 、B 、C 在平面α外，且到平面α的距离为3,6,6，而他们 可能在平面α的同 侧，也可能在异侧，因此要进行分类讨论. 解：（1）当A α的距离53366=++=d （2）当A 、B 在平面α同侧，C 在另一侧时，33 366=-+= d （3）当A 、C 在平面α同侧，B 在另一侧时，13636=-+=d 所以，ABC ?的重心G 到平面α的距离是5,3,1 2.3.6 依据参数变化进行分类 某些含有参数的数学问题，由于所含参数取值的不唯一，会导致所得结果不同，或者由 于对不同的参数值要运用不同的推演方法，这时就可以根据参数的不同取值情况进行分类讨论，比如在考虑正比例函数、二次函数的图像相关性质问题时，都会根据参数取值范围进行分类处理. 例 2.8 直线l 的方程为)0(01sin cos πθθθ<≤=++y x ,求直线l 的斜率与倾斜角. 分析：这个问题用到直线斜率与倾斜角的得概念，这些概念都是分段定义的.θ是变量， 导致θθcos ,sin 都是会随θ的改变而改变，因此在解这类问题时需要分类讨论. 解：（1）当0=θ时，因为直线方程为1=x ，所以直线l 的斜率k 不存在，倾斜角 2πα=。 （2）当πθ<<0时，因为)tan(cot 2θθπ +==k ， 因此，当20π θ<<时，倾斜角θπ α+=2 当πθπ <<2时，倾斜角22π θπθπ α-=-+= 根据直线斜率的定义：当倾斜角2πα≠ 时，αtan =k ； 当倾斜角2 π α=时，k 不存在. 所以（1）0=θ时， 2πα=，l 的斜率k 不存在； （2）20π θ<<时，θπ α+=2，l 的斜率k 为αtan ； （3）πθπ <<2时，2π θα-=，l 的斜率k 为αtan ； 注意，在应用直线斜率概念时，特别是直线运动时，要十分注意斜率是否可能不存在，否则会出现无解现象. 2.3.7 根据整数的奇偶性进行分类 有些数学问题中，涉及到有关整数的问题，可以根据奇数、偶数分为两大类，其实这就 是二分法的主要形式之一.所谓的二分法就是按概念的对象有无某一性质进行分类处理. 例 2.9 已知数列{}n a 的前n 和为n S ，满足关系式2 21??? ??+=n n a S ，且0>n a ，若()n n n S b 1-=，求(1)求n S 及其数列{}n b 的通项公式. （2）数列{}n b 的前n 项的和n T ． 解： ⑴ ① 当1=n 时，由 2 11121?? ? ??+==a S a ， 得 11=a ； ② 当2≥n 时，由 2 121 2121?? ? ??+-??? ??+=-=--n n n n n a a S S a ， 得 ()()0211=--+--n n n n a a a a ． 0>n a ，21=-∴-n n a a ， 即{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，从而 2n S n =，()()211n S b n n n n -=-=． ⑵① 当() +∈=N m m n 2，即偶数时， m n T T 2= ()()2222222124321m m +---+-+-= ()()()()[] 2222221223412--++-+-=m m ()2122+= m m ()2 1+=n n ； 当()N m m n ∈-=12，即奇数时， ()()212122212+-=--= -==-n n n n n b T T T m m m n ． 综上所述 ()()() + ∈+?-=N n n n T n n ,211． 第三章 分类讨论思想在中学数学中的应用 3.1 分类思想在集合中的应用 在集合运算中也常常需结合元素与集合，集合与集合之间的关系分类讨论，尤其是对一些含参数的集合问题，常需要进行分类讨论求解． 例3.1 设2{|2},{|23,},{|,},A x x a B y y x x A C z z x x A =-≤≤==+∈==∈ 且B C ?，求实数a 的取值范围． 分析：当a x ≤≤-2时2z x =的范围与实数a 取值的正负号，a 与2的大小均有关系， 因此需针对a 分情况讨论研究，从而求出集合C ，再依据B C ?，计算出a 的取值范围． 解： {} a x x A ≤≤-=2 ， }{ A x x y y B ∈+==∴,32 {}321+≤≤-=a y y ． ⑴ 当20a -≤≤时，2{|4}C z a z =≤≤，因为C B ?，所以423a ≤+， 解得 12 a ≥ ， 与20a -≤≤矛盾． ⑵ 当02a <≤时，2{|4}C z a z =≤≤，因为C B ?，所以423a ≤+， 解得 12 a ≥ ， 故 122 a ≤≤． ⑶ 当2 a >时，2{|0}C z z a =≤≤，因为C B ?，所以223a a ≤+， 解得 13a -≤≤， 故 23a <≤． 综上可得 132a a ??≤≤???? ． 3.2 分类讨论思想在函数中的应用 3.2.1 分段函数中的分类讨论 例3.2 已知函数()31 f x x x =-++，作函数()f x 的图像． 分析： ()f x 为分段函数，没有固定统一的表达式，所以需安零点分区间研究． 解 ：⑴ 当1x ≤-时， ()3122f x x x x =---=-+； ⑵ 当13x -<≤时， ()314f x x x =-++=； ⑶ 当3x >时， ()3122f x x x x =-++=-； 即 22,1()4,1322,3x x f x x x x -+≤-??=-<≤??->? ． 故()f x 的函数图像为如图（3-1）所示: 图3-1 3.2.2 函数中含参数的分类讨论 例3.3 已知函数()3222+-=ax x x f 在区间[]1,1-上有最小值，记作g(a)，求g (a ) 的函数表达式． 解：原式配方得 2 22()322 a a y x =-+-， 其对称轴方程为 2a x = ， ⑴ 当12 a ≤-时，即2a ≤-时，y 在[]1,1-上递增， 在1x =-时， ()52+=a a g ； ⑵ 当112a -< <时，即22a -<<时， 在2 a x =处有最小值， ()2 32 a a g -=； ⑶ 当12 a ≥即2a ≥时，y 在[]1,1-上单调递减， 在1x =时， ()a a g 25-=； 综上所述可得 ()() ()() ???????≥-≤≤---≤+=2,2522,232,522a a a a a a g a ． 3.3 分类讨论思想在不等式中的应用 3.3.1 涉及运算要求的分类讨论 我们在不等式的解题过程中，常常将式子进行变形或者转化成另外一个式子来解题和运算，许多变形与运算都是受相关条件限制的，比如解不等式当两边同时乘（除）以一个代数式时，要考虑代数式的正负. 例3.4 解不等式31->-x x ． 分析：解此不等式需要去掉根号，而去掉根号时，需要考虑两边是否同为正，方能同时两边平方而不改变不等号方向，所以在解不等式应依据运算要求分类讨论研究. 解：原不等式等价于 1030x x -≥??- ， 或 ()21030 13x x x x ?-≥??-≥??->-?? ； 解得 31≤≤x ， 或 53<≤x 不等式解集为 {}51<≤x x ． 3.3.2 含参数不等式的分类讨论 例3.5 解关于x 的不等式223()0x a a x a -++>． 分析：原不等式是关于x 的一元二次不等式，可化为 2()()0x a x a -->． 因为a 和2a 无法确定大小，该不等式没办法继续解下去，所以要对a 进行讨论，讨论的标准是a 与2a 的大小上． 解： ⑴ 当10<，不等式的解集为 {}a x or a x x ><..2 ； ⑵ 当0=a 时，2a a =，不等式解集为 {}0..≠∈x and R x x ； ⑶ 当1≠a 时，2a a =，不等式解集为 {}1..≠∈x and R x x ； ⑷ 当1>a 或0 2..0a x and a x x <<<． 3.4 分类讨论思想在排列组合中的应用 分类讨论思想在排列组合十分广泛，尤其是在解决有约束条件的排列组合问题时，分类讨论的方法可以把复杂的问题转化为简单的问题． 例 3.6 在正方体的八个顶点，12条棱的中点，六个面的中心及正方体的中心一共二十七个点，共线的三点组的个数是多少？ 解：依题意，共线的三点组可以分为三类: ⑴ 两端点皆为顶点的共线三点组，共有 282 78=?（组）； ⑵ 两端点皆为面的中心的共线三点组，共有 32 16=?（组）； ⑶ 两端点皆为各棱中点的共线三点组，共有 182 312=?（组）； 所以总共有4918328=++（组）． 例3.7 甲 、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一个人，并要求安排甲在另外两位前面，不同的安排共有多少方法？ 解：本题考查排列组合，按甲参加的日期分类: ⑴ 甲周一参加，丙和乙在剩下的4天中选两天参加，共有24A 种； ⑵ 甲周二参加，同理可知有23A 种； ⑶ 甲周三参加，有22A 种； 根据加法原理可知，总共有20222324=++A A A 种． 3.5 分类讨论思想在数列中的应用 在某些数列问题中也存在不确定的因素，比如等比数列的公比q 是否为1；数列的项的个数为偶数还是奇数等等，就那样的数列问题，我们要进行分类讨论． 例3.8 已知数列 ，，，， 324321x x x 求它的前n 项和． 分析：本题未指明数列为等比数列，所以分类讨论时还要考虑0=x 这一情况． 解：设12321-++++=n n nx x x S ， ⑴ 当0=x 时， 1=n S ； ⑵ 当1=x 时， ()2 1321+= ++++=n n n S n ； ⑶ 当0≠x 且1≠x 时， 由 12321-++++=n n nx x x S ， 得 ()n n n nx x n x x x xS +-++++=-132132 ， 两式相减: ()n n n n n nx x x nx x x x S x ---=-++++=--111112 ， ()()2 111x x nx x S n n n ----=∴． 综上所述 ()()()()()()???? ?????≠≠----=+==1,0,1111210,12x x x x nx x x n n x s n n n ． 3.6 分类讨论思想在圆锥曲线中的应用 例 3.10 如图（3-2）所示，给定点()()00>a a A ， 和直线l 上的动点AB ，BOA ∠的角平分线交AB 于点C ，求点C 的轨迹方程，并说什么曲线． 图3-2 分析：因为动点因点在直线l 上的位置的变动而变化，故设出点的坐标()b ,1-，b 为参数；由题意知C 点应为b 的表达式，消去参数，即得C 点的轨迹方程．本体的关键是如何求C 点的坐标，方法有多种，如利用角平分线的定义，性质可得． 解：依题意，记)(),,1(R b b B ∈，则直线OA 和OB 的方程分别为0=y 和bx y -=． 设点()y x C ,，则有 a x <≤0， 由点到直线的距离公式得 21b bx y y ++= ① 点C 在直线AB 上，故 ()a x a b y -+- =1， 由0≠-a x 得 ()a x y a b -+- =1 ② 将②代入①得 ()()2221210y a x ax a y ??--++=??． ⑴ 若0≠y ，则 ()()()a x y a ax x a <<=++--0012122； ⑵ 若0=y ，则0=b ，AOB π∠=，点C 的坐标为()0,0，满足上式． 综上得点C 的轨迹方程为 ()()()a x y a ax x a <≤=++--0012122 此轨迹方程里含有参数a ，因参数a 的值的不同而导致曲线的形状不同，从而需要对参数a 分情况讨论． Ⅰ当1=a 时，方程化为 ()a x x y <≤=02 ③ 此时，方程③表示为抛物线弧段； Ⅱ 当1a ≠时，轨迹方程为 ()a x a a y a a a a x <≤=-+-??? ??--011112 22222 ④ 所以，当10< 当1>a 时，方程④表示双曲线支的弧段． 3.7 分类讨论思想在立体几何中的应用 点，线，面是组成几何图形的三个要素，有些立体几何题中，这三者的位置关系是不确定的，因此要对每种情况进行分类讨论求解，这样防止漏解．下面一题是涉及点与线的位置关系不确定的分类讨论． 例3.11 线段AB 与平面α平行，平面α的斜线A B A A 11，与平面α所称的角分别??6030和且1190A AB B BA ?∠=∠=，AB a =，11(0)A B b b =>，求AB 与平面α的距离． 分析：作AC α⊥，垂足为C ，则AC 即为所求距离．作BD α⊥，垂足为D ， //AB α //AB CD ∴，由已知可证AB ⊥面1A AC ，同理可证⊥AB 面1B BD ， ∴面//1AC A 面BD B 1，由面面平行的性质定理可知D B C A 11//．考虑到11,A B 在CD 的同侧或CD 异侧，所以分两种情况讨论． 解：⑴ 如图（3-3），11,B A 在CD 的同侧时，过点1B 作C A E B 11⊥，垂足为E ，由已 知01 30=∠C AA ，0160=∠D BB 设AC x =，则可用x 表示，在11EB A Rt ?中，利用勾股定理列方程，解得 222 3a b x -=． 图3-3 图3-4 ⑵ 如图（3-4），11B A 在CD 异侧时，在平面α内作D B E A 11⊥，交其延长线于E ，同理可得224 3a b AC -= 3.8 分类讨论思想在实际问题中的应用 近几年来，高、中考的考试命题从知识转向能力测试，出现了许多有鲜活背景的实际应用题。这种实际应用问题，常常需要有分类讨论的思想才能顺利解决．其解题思路是：用数学的语言加以表达和交流，敏捷的接受试题所提供的信息，并和所学的有关知识相结合，确定适当的分类标准，把一个复杂的应用题分解成几个较简单的问题，从而使问题获解． 例3.12 有一批货物，如在本月初出售，可获利10万元，然后将本利都存入银行，每月利率为%4.2，如在下月出售，可获利12万元，但要付5.0万元货物保管费，试问这批货物在本月初出售合算还是下月初出售合算? 解：设这批货物的成本a 万元． ⑴ 若这批货物在本月初出售，将本利存入银行，到下月初货主有金额 ()()%4.2110++=a m ； ⑵ 若这批货物在下月初出售，货主有金额为 5.012-+=a n ； ⑶ ()5.52024.026.1024.0-=-=-a a n m ， ∴当成本5.52>a 时，应该本月初出售合算； 当成本5.52=a 时，在本月初出售或下月初出售都一样； 当成本5.52
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