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湖北省八市2013届高三3月调考数学(理)试题含答案

湖北省八市2013年高三年级三月调考

数学（理科）试题

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的)

1．复数5

21i -的共轭复数是

A ．21i +

B ．12i --

C ．21i -

D ．12i -

2．已知命题:,20x p x R ?∈>，那么命题p ?为

A ．,20x x R ?∈≤

B ．,20x x R ?∈<

C ．,20x

x R ?∈< D ．,20x

x R ?∈≤

3.执行右边的框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是 A ．120 B ．720

C ．1440

D ．5040

4.不等式组(3)()0,04x y x y x -++???≥≤≤表示的平面区域是 A ．矩形 B ．三角形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形

5.设a R ∈，函数()x x

f x e a e -=+?的导函数是()f x '，且()f x '

A ．1

B ．1

C ．

D ．1-

6．如图，设D 是图中边长为2的正方形区域，E 是函数3y x =

的图象与x 轴及1x =±围成的阴影区域．向D 中随机投一点，

则该点落入E 中的概率为

A ．116

B ．18

C ．14

D ．12

7．下列结论正确的是

①“1

a =”是“对任意的正数x ，均有1a x x +≥”的充分非必要条件

②随机变量ξ服从正态分布2

(2,2)N ，则()2D ξ= ③线性回归直线至少经过样本点中的一个 ④若10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有c b a >>c A ．③④ B ．①② C ． ①③④ D ．①④ 8．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题

目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的1

是较小

的两份之和，则最小1份为

A ．56

B ．103

C ．53

D ．116

9．已知函数21(0)

()log (0)

x x f x x x +?=?>?≤，则函数[()]1y f f x =+的零点个数是

A ．4

B ．3

C ． 2

D ．1

10．抛物线24y x =的焦点为F ，点,A B 在抛物线上，且2

π3

AFB ∠=

，弦AB 中点M 在准第6题图

线l 上的射影为|

|||,AB M M M ''则的最大值为

二、填空题(本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题

卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分) （一）必做题（11—14题）

11．在(13)n x -的展开式中，各项系数的和等于64，那么此展开式中含2

x 项的系数 ▲ .

12．如图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形

(单位：cm )，则该三棱锥的外接球的表面积为 ___▲___2cm ．

13. 函数π

()3sin(2)3

f x x =-的图象为C ，如下结论中正确的是 ▲ ．

（写出所有正确结论的编号．．

） ① 图象C 关于直线11

π12x =

对称； ② 图象C 关于点2π(

0)3

，对称；

③ 函数()f x 在区间π5π

()1212

-，内是增函数；

④ 由3sin 2y x =的图象向右平移π

个单位长度可

以得到图象C ．

14．如图表中数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是

每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为

*(,)ij a i j N ∈，则

（Ⅰ）99a = ▲ ；

（Ⅱ）表中数82共出现 ▲ 次．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.） 15.（选修4-1：几何证明选讲）如图所示，圆O 的直径6AB =，

C 为圆周上一点，3BC =，过C 作圆的切线l ，过A 作l

的垂线AD ，垂足为D ，则DAC ∠=

▲ ．

16．（选修4-4：坐标系与参数方程）设直线1l 的参数方程为13x t

y a t

=+??=+?（t 为参数），

以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，另一直线2l 的方程为sin 3cos 40ρθρθ-+=，若直线1l 与2l

间的距离为，则实数a 的值为

▲ .

三、解答题(本大题共6个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．（本题满分12分）已知A 、B 、C 为ABC ?的三个内角且向量

(1,cos )cos ,)2222

C C C m n ==+ 与共线。

（Ⅰ）求角C 的大小；

（Ⅱ）设角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足2cos 2a C c b +=，试判断?ABC 的形

状．

第15题图

第14题图

?????????????????????

?????????

??????

???

37312519137312621161162521171395

191613107413119

376

5432第12题图 4

2侧视图

俯视图正视图

第1层第2层第3层第4层

入口

第20题图 18．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d >．且1452a a a ，，分别是等

比数列}{n b 的432b b b ，，．（Ⅰ）求数列}{n a 与}{n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 对任意自然数n 均有

1212

c c b b ++…1n n n c

a b ++=成立，求12c c ++…2013c +

的值.

19．（本题满分12分）如图，在长方体1111ABCD AC B D -中，

已知上下两底面为正方形，且边长均为1；侧棱12AA =，

E 为BC 中点，

F 为CD 中点，

G 为1BB 上一个动点.

（Ⅰ）确定G 点的位置，使得1E AFG D ⊥平面；（Ⅱ）当1E AFG D ⊥平面时，求二面角G AF E --的平

面角余弦值.

20．（本题满分12分）如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表

示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有一条的为第一层，有二条的为第二层，…，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动，若在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道．记小弹子落入第n 层第m 个竖直通道（从左至右）的概率为(,)P n m ，某研究性学习小组经探究发现小弹子落入第n 层的第m 个通道的次数服从二

项分布，请你解决下列问题.

（Ⅰ）试求(2,1),(3,2)P P 及(4,2)P 的值，并猜想(,)P n m 的表达式；（不必证明）

（Ⅱ）设小弹子落入第6层第m 个竖直通道得到分数为

ξ，其中4(13)

3(46)m m m m ξ-?=?

≤≤≤≤，试求ξ的分布列及数学期望．

21．（本题满分13分）已知△ABC 的两个顶点,A B 的坐标分别是(0,1),(0,1)-，且,A C B C 所

在直线的斜率之积等于(0)m m ≠．

（Ⅰ）求顶点C 的轨迹E 的方程，并判断轨迹E 为何种圆锥曲线；（Ⅱ）当12

m =-时，过点(1,0)F 的直线l 交曲线E 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称

点为Q (M Q 、不重合) 试问：直线MQ 与x 轴的交点是否是定点？若是，求出定点，

若不是，请说明理由.

D 1

C 1

B 1

A 1

F E

A 第19题图

22．（本题满分14分）已知函数()ln(1)f x x mx =++()m R ∈．（Ⅰ）当1x =时，函数()f x 取得极大值，求实数m 的值；

（Ⅱ）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++()m R ∈在区间(,)a b 内存在导数，则存在

0(,)x a b ∈，使得0()()

()f b f a f x b a

-'=-. 试用这个结论证明：若函数

121112

()()

()()(),f x f x g x x x f x x x -=

-+-（其中211x x >>-），则对任意12(,)x x x ∈，

都有()()f x g x >；

（Ⅲ）已知正数12,λλ满足121λλ+=，求证：对任意的实数12,x x ，若211x x >>-时，都有

11221122()()()f x x f x f x λλλλ+>+.

2013年湖北省八市高三三月联考

数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）

1.C

2.A

3.B

4.D

5.A

6.B

7.D

8.C

9.A 10.B 二、填空题：（每小题5分，5小题共25分）

必考题：11．135 12．29π 13．①②③ 14．(Ⅰ) 82 (Ⅱ) 5 选考题：15．30o 16．9或-11 三、解答题:(本大题共6小题，共75分)

17．（Ⅰ）∵m 与n

共线 ∴

cos 2sin 3(2cos 23C

C C +=

1π1

(1cos )sin()262

C C C =

++=++ …………………………3分得π

sin()16

C += …………………………4分

∴C=

……………………………6分（Ⅱ）方法1：由已知2a c b += （1）

根据余弦定理可得：2

c a b ab =+- （2） ……………………8分（1）、（2）联立解得：()0b b a -= ………………………………………10分

0,,b b a >∴=又. C =π

，所以△ABC 为等边三角形， ………………12分

方法2：

由正弦定理得：

2sin cos sin 2sin 2sin()

2sin cos sin 2sin cos 2cos sin A C C B A C A C C A C A C

+==++=+ ……………………8分

……………………………10分

∴21cos =A ， ∴在△ABC 中 ∠π3

A = 又. C =

，所以 △ABC 为等边三角形， ……………………………12分方法3：由（Ⅰ）知C=π

，又由题设得：2a c b +=，

在ABC ?中根据射影定理得：

2(cos cos )2cos a c a C c A a c A

+=+=+ ……………………8分

1cos ,23

A A π

∴=∴= ……………………………10分又. C =

，所以 △ABC 为等边三角形， ……………………………12分 18.（Ⅰ）∵a 2=1+d ，a 5=1+4d ，a 14=1+13d ，且a 2、a 5、a 14成等比数列

∴ 2)131)(1()41(2

=++=+d d d d 即 ……………………………2分

∴122)1(1-=?-+=n n a n

……………………………4分

又∵9,

35322====a b a b .

∴113,1,3-===n n b b q

……………………………6分

（Ⅱ）∵

1212

c c b b ++…1n n n c

a b ++=

① ∴121

a b = 即1123c b a ==

又1212

c c b b ++…11(2)n n n c

a n

b --+=≥ ②

①－②：12n n n n

a a

b +=-= ……………………………8分

∴1223(2)n n n c b n -==?≥

∴ 1

(1)23(2)n n n c n -=?=???

≥ ……………………………10分则123c c c +++…12201332323c +=+?+?+…2013123-+?

123201232(3333)=+?++++

201220133(13)

32313

-=+?=- ……………………………12分

19.方法一：

(Ⅰ)如图，分别以1,,DA DC DD 所在直线为 ,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则

(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)D A B C D 易得11

(,1,0),(0,,0)22

E F ………………2分

由题意得11,D E AF D E AG ⊥⊥,设(1,1,)G t

又111

(,1,1),(1,,0),(0,1,),22D E AF AG t =-=-=

则由110,0D E AF D E AG ?=?= 得12

t =，

∴12

BG =,得G 为1BB 的四等分点.………………………6分

(Ⅱ)易知平面AFE 的一个法向量为(0,0,1)m =

，设平面AFG 的法向量为(,,)n x y z =

则00

AF n AG n ??=???=?? ,得102

102

x y y z ?-+=????+=??，取1x =-，得(1,2,4)n =-- ， ……………10分

∴cos ,m n <>=

G AF E --

.12分

方法二：

（Ⅰ）∵1D E 在平面ABCD 内的射影为,DE ，且四边形ABCD 为正方形，,E F 为中点，

∴1D E AF ⊥

同理，1D E 在平面11ABB A 内的射影为1A B ，则1AG A B ⊥

由△1A AB ～△

ABG ， ∴1

BG =,得G 为1BB 的四等分点. …………………6分（Ⅱ）∵BG ⊥平面AEF ,过B 点作BH AF ⊥，垂足为H ；

连结HG ，则GHB ∠为二面角G AF E --的平面角；…………………………8分

由DAF HBA ?? ，得AD BH AF AB =,

解得BH = ∴在Rt GHB ?

中，12tan BG GHB HB ∠===

∴cos GHB ∠=

G AF E --

. …12分 20.（Ⅰ）因为小弹子落入第n 层的第m 个通道的次数服从二项分布，则：

001111

(2,1)()()22P C =， ……………………………1分

111

211(3,2)()()22

P C = ……………………………3分

3113(4,2)()228P C == ……………………………4分

(,)2m n n C P n m ---= ……………………………6分

（Ⅱ）依题：1,2,3ξ=．

由（Ⅰ）知，2

511205(1)(6,3)(6,4)2()()2

328

p p p C ξ==+==

= 14

511105(2)(6,2)(6,5)2()()223216p p p C ξ==+===

00551121

(3)(6,1)(6,6)2()()223216

p p p C ξ==+=== ……………………9分

所以ξ的分布列如下表：

11分故2010223

12332323216

E ξ=?+?+?= ……………………………12分

21. .（Ⅰ）由题知：11

y y m x x -+?=

化简得：22

1(0)mx y x -+=≠ ……………………………2分

当1m <-时轨迹E 表示焦点在y 轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)-两点；

当1m =-时轨迹E 表示以(0,0)为圆心半径是１的圆，且除去(0,1),(0,1)-两点；当10m -<<时轨迹E 表示焦点在x 轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)-两点；当0m >时轨迹E 表示焦点在y 轴上的双曲线，且除去(0,1),(0,1)-两点；

……………………………6分（Ⅱ）设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ?≠

依题直线l 的斜率存在且不为零，则可设l :1x ty =+，

代入2

21(0)2

x y x +=≠整理得22(2)210t y ty ++-= 12222t y y t -+=+，1221

y y t -=+， ………………………………9分

又因为M Q 、不重合，则1212,x x y y ≠≠-

Q MQ 的方程为12

1112

()y y y y x x x x +-=

-- 令0y =，

得12112112

11121212

()()2112y x x ty y y ty y x x ty y y y y y y --=+=++=+=+++

故直线MQ 过定点(2,0). ……………………………13分

解二：设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ?≠ 依题直线l 的斜率存在且不为零，可设l :(1)y k x =-

代入2

21(0)2

x y x +=≠整理得：2222(12)4220k x k x k +-+-= 2122

412k x x k

+=+,212222

12k x x k -=+， ……………………………9分 Q MQ 的方程为121112

()y y

y y x x x x +-=-- 令0y =，

得121121121211121212()(1)()2()

2(2)2

y x x k x x x x x x x x x x y y k x x x x ----+=+=+==++-+-

∴直线MQ 过定点(2,0) ……………………………13分

22.（Ⅰ）由题设，函数的定义域为(1,)-+∞，且1

()1

f x m x '=

++ 所以(1)0f '=，得1

m =-，此时.1()2(1)x f x x -'=+

当(1,1)x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 在区间(1,1)-上单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减.

∴函数()f x 在1x =处取得极大值，故1

m =- …………………………4分

（Ⅱ）令121112

()()

()()()()()()f x f x h x f x g x f x x x f x x x -=-=----，

则1212

()()

()()f x f x h x f x x x -''=-

因为函数()f x 在区间12(,)x x 上可导，则根据结论可知：存在012(,)x x x ∈

使得12012

()()

()f x f x f x x x -'=

- …………………………7分

又1

()1f x m x '=++，000011()()()11(1)(1)

x x h x f x f x x x x x -'''∴=-=

-=++++ ∴当10(,)x x x ∈时，()0h x '>，从而()h x 单调递增，1()()0h x h x ∴>=；当02(,)x x x ∈时，()0h x '<，从而()h x 单调递减，2()()0h x h x ∴>=；

故对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x > . …………………………9分

（Ⅲ）121λλ+=Q ，且10λ>，20λ>，211x x >>-

112211122221(1)()0x x x x x x x λλλλλ∴+-=-+=-> 11221x x x λλ∴+>

同理11222x x x λλ∴+<112212(,)x x x x λλ∴+∈， …………………………12分

∴由（Ⅱ）知对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >，从而

121122112211112212

()()

()()()()()f x f x f x x x x x f x f x f x x x λλλλλλ-+>+-+=+-．

…………………………14分

命题：荆门市教研室方延伟龙泉中学王萍崔东林

鄂州市教研室林春宝鄂州高中吕长征十堰市教科院程世平审校：仙桃市教科院曹时武

宁夏银川一中高三第四次月考数学理试题含答案

银川一中2020届高三年级第四次月考理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=，若}1{=B A I ，则B = A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2．设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，13z i =+，则12z z = A ．10 B ．9i -- C ．9i -+ D ．-10 3．已知向量)4,(),3,2(x b a ==，若)(b a a -⊥，则x = A ． 2 1 B ．1 C ． 2 D ．3 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3623a a +=，535S =，则{}n a 的公差为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 5．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（） A ．若βαβα//,,??n m ，则n m // B ．若βαα//,?m ，则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ，则α//n D ．若βα??n m ,，l =βαI ，且l n l m ⊥⊥,，则βα⊥ 6．某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》，《茶馆》，《天籁》，《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是 A ．《雷雨》只能在周二上演 B ．《茶馆》可能在周二或周四上演 C ．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D ．四部话剧都有可能在周二上演 7．函数x e x f x cos )112 ( )(-+=（其中e 为自然对数的底数）图象的大致形状是

高三数学第一次月考数学(理)试题

河南内乡一高高三数学第一次月考数学（理）试题一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （注意：在试题卷上作答无效） 1..已知集合 {}1|23,|lg 4x x A y y B x y x -? ?==+==?? -??，则A B =（） A. ? B. ()3,+∞ C. ()3,4 D. ()4.+∞ 2. 若函数()(1)cos f x x x =， 02x π ≤< ，则()f x 的最大值为（） A ．1 B ．2 C 1 D 2 3.命题“存在0x ∈R ，0 2 x ≤0”的否定是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）（A ）不存在 0x ∈ R, 0 2x >0 （B ）存在0x ∈R, 0 2 x ≥0 （C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x >0 4.“α，β，γ成等差数列”是“sin(α+γ)＝sin2β成立”的（）条件 A.必要而不充分 B.充分而不必要 C.充分必要 D.既不充分又不必要 5.定义在R 上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( ). A. B. C. D. 6.设＜b,函数的图像可能是（）（） 7.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则(2009)(2010)f f -+的值为 A ． B ． C ． D ． )(x f (4)()f x f x -=-(25)(11)(80)f f f -<<(80)(11)(25)f f f <<-(11)(80)(25)f f f <<-(25)(80)(11)f f f -<