广东省2016届高三数学理一轮复习专题突破训练
圆锥曲线
2016年广东省高考将采用全国卷，下面是近三年全国卷的高考试题及2015届广东省部分地区的模拟试题，供同学们在复习时参考。从近三年全国卷来看，圆锥曲线占着重要的地位，考查2个选择题或填空题，1个解答题。 一、选择、填空题
1、（2015年全国I 卷）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2
212
x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF ?2MF
＜0，则y 0的取值范围是
（A ）（-
33，33
） （B ）（-
36，3
6
） （C ）（223-
，22
3
） （D ）（233-，233）
2、（2015年全国I 卷）一个圆经过椭圆
221164
x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 。
3、（2014年全国I 卷）已知F 是双曲线C ：2
2
3(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为
A .3
B .3
C .3m
D .3m
4、（2014年全国I 卷）已知抛物线C ：2
8y x =的焦点为F ，准线为l ，P
是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =
，则||QF =
A .
72 B .5
2
C .3
D .2 5、（2013年全国I 卷）已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（0,0a b >>）的离心
率为
5
2
，则C 的渐近线方程为 A .14y x =±
B .13y x =±
C .1
2
y x =± D .y x =±
6、（2013年全国I 卷）已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B
两点。若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 (
)
A 、x 245＋y 236＝1
B 、x 236＋y 227＝1
C 、x 227＋y 218
＝1
D 、x 218＋y 2
9
＝1
7、（佛山市2015届高三二模）已知双曲线)0, 0( 122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点到左顶点的距
离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（ ）
A ．02=±y x
B ．02=±y x
C ．034=±y x
D ．043=±y x
8、（华南师大附中2015届高三三模）已知点 F 是抛物线 y 2 = 4x 的焦点，M 、N 是该抛物线上两
点，| MF | + | NF | = 6，则 MN 中点的横坐标为： A. 32 B. 2 C. 52
D. 3 9、（茂名市2015届高三二模）已知抛物线x y 42
=与双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 有相同的
焦点F ，O 是坐标原点，点A 、B 是两曲线的交点，若0)(=?+AF OB OA ，则双曲线的实轴长为
10、（梅州市2015届高三一模）动圆M 经过双曲线2
2
13
y x -=的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是
A 、2
y ＝8x B 、2
y ＝－8x C 、2
y ＝4x D 、2
y ＝－4x
11、（梅州市2015届高三一模）以F 1（－1,0）、F 2（1,0）为焦点，且经过点M （1，－
3
2
）的椭圆的标准方程为＿＿＿
12、（深圳市2015届高三二模）已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，若其渐近线与抛物线
24y x =的准线围成的三角形面积为1，则此双曲线的离心率等于
13、（汕尾市2015届高三上期末）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线与直线
1
12
y x =
+平行，则它的离心率为（ ） A ．5 B ．6 C ．
62 D ．52
14、（韶关市2015届高三上期末）过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点F 作垂直于x 轴的
直线，交双曲线的渐近线于,A B 两点，若OAB ?（O 为坐标原点）是等边三角形，则双曲线的离
心率为 ( )
A ．
33 B ．233
C ．3
D ．2 15、（潮州市2015届高三上期末）已知抛物线22y px =（0p >）的准线与圆()2
2316
x y -+=相切，则p 的值为
二、解答题
1、（2015年全国I 卷）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y =2
4
x 与直线y kx a =+(a ＞0)交与
M ,N 两点，
（Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由。
2、（2014年全国I 卷）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3
2
，F
是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为23
3
，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ?的面积最大时，求l 的方程.
3、（2013年全国I 卷）已知圆M :2
2
(1)1x y ++=,圆N :2
2
(1)9x y -+=,动圆P 与M 外切
并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C. （Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.
4、（佛山市2015届高三二模）
已知椭圆E ：)0( 122
22>>=+b a b
y a x 过点（0, －2），
且离心率为
3
5
. （1） 求椭圆E 的方程；
（2） 如图3，ABD 是椭圆E 的顶点，M 是椭圆E 上除顶点外的任意一点，直线DM 交
x 轴于点Q ，直线AD 交BM 于点P ，设BM 的斜率为k ，PQ 的斜率为m ，求动点N （m , k ）轨迹方程
.
5、（华南师大附中2015届高三三模）如图，O 为坐标原点，点F 为抛物线C 1：)0(22>=p py x 的焦点，且抛物线C 1上点P 处的切线与圆C 2：122=+y x 相切于点Q 。
（Ⅰ）当直线PQ 的方程为02=--y x 时，求 抛物线C 1的方程；
（Ⅱ）当正数p 变化时，记S 1 ，S 2分别为△FPQ ，△FOQ
的面积，求21S S
的最小值．
6、（惠州市2015届高三4月模拟）在直角坐标系xOy 中，
曲线1C 上的点均在圆2
2
2:(5)9C x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值．
（1）求曲线1C 的方程；
（2）设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点
,A B 和,C D ．证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点,A B ,,C D 的纵坐标之积为定值．
x
y
O
F P
Q
7、（茂名市2015届高三二模）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆22
22:1(0)
x y E a b a b
+=>>过点3
(3,)2
P ， 离心率为
1
2
，过直线4:=x l 上一点M 引椭圆E 的两条切线，切点分别是A 、B . （1）求椭圆E 的方程；
（2）若在椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x 上的任一点()00,N x y 处的切线方程是12020=+b y y a x x .求证：
直线AB 恒过定点C ，并求出定点C 的坐标；
（3）是否存在实数λ，使得BC AC BC AC ?=+λ恒成立？(点C 为直线AB 恒过的定点)若存
在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
8、（梅州市2015届高三一模）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴于点D ，且有丨FA|＝|FD|，当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形。 (1) 求C 的方程,
(2) 若直线l 1//l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E, ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标 ；
②△ABE 的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由。
9、（汕头市2015届高三二模）已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的一个焦点为(
)
2,0F
，其
短轴上的一个端点到F 的距离为3。
（1）求椭圆C 的离心率及其标准方程，
（2）点()00,P x y 是圆G ：2
2
4x y +=上的动点，
过点P 作椭圆C 的切线12,l l 交圆G 于点M ，N ，求证：线段MN 的长为定值。
F
l 2
l 1
y
x
O
N M P
10、（深圳市2015届高三二模）已知平面上的动点P 与点(0,1)N 连线的斜率为1k ，线段PN 的中点与原点连线的斜率为2k ，1221
k k m
=-
(1m >)，动点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程；
（2）是否存在同时满足以下条件的圆：①以曲线C 的弦AB 为直径；
②过点N ；③直径2AB NB =．若存在，指出共有几个；若不存在，请说明理由．
11、（珠海市2015届高三二模）已知双曲线E ：
．
(1)若E 的一条渐近线为直线，求E 的方程；
(2)设E 的左、右焦点为
，点P 为双曲线上的点，直线F 2 P 交 y 轴于点Q ，并且
，
当a 变化时，若点P 是第一象限内的点，则点P 在某一条定直线上吗？如果这条定直线存在，请求出直线方程；如果不存在这条定直线，请说明理由．
12、（汕尾市2015届高三上期末）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点2
(1,)2
，12,F F 分别为椭圆的左
右焦点且12||2F F =。
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆交于12,P P 两点（1P 在2P 的左侧）
，11PF 和22P F 都是圆的切线且1122PF
P F ⊥？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由。
13、（韶关市2015届高三上期末）设A 、B 是焦距为23的椭圆2
2
12:1(1)y C x a a
+=>的左、右
顶点，曲线2C 上的动点P 满足AP BP k k a -=，其中，AP k 和BP k 是分别直线AP 、BP 的斜率. （1）求曲线2C 的方程；
（2）直线MN 与椭圆1C 只有一个公共点且交曲线2C 于,M N 两点，若以线段MN 为直径的圆过点B ，求直线MN 的方程.
14、（惠州市2015届高三上期末）已知抛物线2
1:2C y px =(0)p >的焦点F 以及椭圆
22
222:1y x C a b
+=(0)a b >>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上．
（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；
（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，
已知1NA AF λ= ，2NB BF λ=
，求12λλ+的值；
（3）直线l 交椭圆2C 于,P Q 两不同点，,P Q 在x 轴的射影分别为','P Q ，
''10OP OQ OP OQ ?+?+= ，若点S 满足OS OP OQ =+ ，
证明：点S 在椭圆2C 上．
15、（江门市2015届高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 的坐标分别是) 3 , 0 (-、
) 3 , 0 (，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是2
1-
． ⑴求点M 的轨迹L 方程；
⑵若直线 l 经过点) 1 , 4 (P ，与轨迹L 有且仅有一个公共点，求直线 l 的方程．
参考答案
一、选择、填空题 1、【答案】A
考点：向量数量积；双曲线的标准方程 2、【答案】22
325()2
4
x y ±+=
【解析】
试题分析：设圆心为（a ，0），则半径为4||a -，则222(4||)||2a a -=+，解得3
2
a =±，
故圆的方程为22325
()24
x y ±+=.
考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程 3、【答案】：A
【解析】：由C ：2
2
3(0)x my m m -=>，得
22
133
x y m -=，233,33c m c m =+=+ 设(
)
33,0F
m +，一条渐近线3
3y x m
=
，即0x my -=，则点F 到C 的一条渐近线的距离33
1m d m
+=
+=3，选A. .
4、【答案】：C
【解析】：过Q 作Q M ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ =
∴
3
4PQ
PF =，又344
QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM == 选C
5、【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.
【解析】由题知，5
2c a =，即54=22c a =222a b a +，∴22
b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为1
2
y x =±，故选C .
6、【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，
2211221x y a b += ① 22
22
221x y a b
+= ② ①－②得
1212121222
()()()()
0x x x x y y y y a b
+-+-+=， ∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a
，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2
b =9，
2
a =18，∴椭圆方程为22
1189
x y +
=，故选D. 7、C 可用筛选。双曲线的右焦点到左顶点的距离为a ＋c ，右焦点到渐近线x a
b y ±
=距
离为b ，所以有：a ＋c ＝2b ，由034=±y x 得x y 3
4
±=，取a ＝3，b ＝4，则c ＝5，
满足a ＋c ＝2b .
8、B 9、222- 10、B
11、13
42
2=+y x 12、2
13、D 14、
15、2
二、解答题
1、【答案】（Ⅰ）0ax y a --=或0ax y a ++=（Ⅱ）存在
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先求出M ,N 的坐标，再利用导数求出M ,N .（Ⅱ）先作出判定，再利用设而不求思想即将y kx a =+代入曲线C 的方程整理成关于x 的一元二次方程，设出M ,N 的坐标和P 点坐标，利用设而不求思想，将直线PM ，PN 的斜率之和用a 表示出来，利用直线PM ，PN 的斜率为0,即可求出,a b 关系，从而找出适合条件的P 点坐标. 试题解析：（Ⅰ）由题设可得(2,)M a a ，(22,)N a -，或(22,)M a -，(2,)N a a .
∵12y x '=，故2
4
x y =在x =22a 处的到数值为a ，C 在(22,)a a 处的切线方程为
(2)y a a x a -=-，即0ax y a --=.
故2
4
x y =在x =-22a 处的到数值为-a ，C 在(22,)a a -处的切线方程为
(2)y a a x a -=-+，即0ax y a ++=.
故所求切线方程为0ax y a --=或0ax y a ++=. ……5分 （Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：
设P （0，b ）为复合题意得点，11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k . 将y kx a =+代入C 得方程整理得2440x kx a --=. ∴12124,4x x k x x a +==-. ∴121212y b y b k k x x --+=
+
=121212
2()()kx x a b x x x x +-+=()
k a b a +. 当b a =-时，有12k k +=0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM=∠OPN ，所以(0,)P a -符合题意. ……12分
2、【解析】：(Ⅰ) 设(),0F c ，由条件知
2233c =
，得3c = 又32
c a =， 所以a=2 ，2
2
2
1b a c =-= ,故E 的方程2
214
x y +=. ……….6分 （Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y
将2y kx =-代入2
214x y +=，得()221416120k x kx +-+=， 当2
16(43)0k ?=->，即2
34k >时，21,22
8243
14k k x k
±-=+ 从而222
122
4143
114k k PQ k x x k
+-=+-=+ 又点O 到直线PQ 的距离2
21
d k =
+，所以?OPQ 的面积
22
1443
214OPQ
k S d PQ k
?-==+ ，
设243k t -=，则0t >，244
14
4OPQ t S t t t
?=
=≤++， 当且仅当2t =，7
2
k =±
等号成立，且满足0?>，所以当?OPQ 的面积最大时，l 的方程为：722y x =
- 或722
y x =--. …………………………12分 3、【解析】由已知得圆M 的圆心为M （-1，0）,半径1r =1，圆N 的圆心为N (1,0),半径
2r =3.
设动圆P 的圆心为P （x ，y ），半径为R.
（Ⅰ）∵圆P 与圆M 外切且与圆N 内切，∴|PM|+|PN|=12()()R r r R ++-=12r r +=4，
由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左
顶点除外)，其方程为22
1(2)43
x y x +
=≠-. （Ⅱ）对于曲线C 上任意一点P （x ，y ），由于|PM|-|PN|=22R -≤2，∴R ≤2,
当且仅当圆P 的圆心为（2，0）时，R=2.
∴当圆P 的半径最长时，其方程为22(2)4x y -+=， 当l 的倾斜角为090时，则l 与y 轴重合，可得|AB|=23.
当l 的倾斜角不为090时，由1r ≠R 知l 不平行x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则
||||QP QM =1
R
r ，可
求得Q （-4，0），∴设l ：(4)y k x =+，由l 于圆M 相切得
2
|3|11k k =+，解得24
k =±
. 当k =2
4
时，将224y x =
+代入221(2)43x y x +=≠-并整理得27880x x +-=，解得1,2x =
462
7
-±，∴|AB|=2121||k x x +-=187.
当k =－
2
4
时，由图形的对称性可知|AB|=187，
综上，|AB|=
18
7
或|AB|=23. 4、
5、解：（Ⅰ）设点)2,(200p x x P ，由)0(22
>=p py x 得，p x y 22=，求导p
x y ='， ……2分
因为直线PQ 的斜率为1，所以10
=p x 且0222
00=--p
x x ，解得22=p ， 所以抛物线C 1 的方程为y x 242=。 …………… 5分 或：将直线代入抛物线由?=0解出p 同样给分。
（Ⅱ）因为点P 处的切线方程为：)(2002
0x x p
x p x y -=-，即0222
00=--x py x x ，…… 6分
根据切线又与圆切，得r d =，即
1442
2020=+-p x x ，化简得22
04044p x x +=， ……7分
由0442
0402>-=x x p ，得20>x ，
由方程组200222201x x py x x y ?--=??+=??，解得)24,
2(20
0p x x Q -， ……………9分 所以222
2
02
2
0000020
02||2
11=(2)2P Q p x x x x PQ k x x x x p x p x p
+-=+-=+-
=-，
点)2
,0(p
F 到切线PQ 的距离是22
20
22
0022012444p x x d x p x p
--=
=+=+，
所以3
2010||1
(2)216x S PQ d x p
=?=-，
2221x p x OF S Q ==
， ……………12分 所以424200001242
200(2)(2)82(4)x x x x S S p x x --==-322344
24)4(2)2(202
020
2020+≥+-+-=--=x x x x x ， 当且仅当4
424202
0-=-x x 时取“＝”号，即2242
0+=x ，此时，222+=p ，所以21S S 的最小值为
223+。……………14分
6、（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得222(5)3x x y +=-+-，……1分
易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以22(5)5x y x -+=+. 化简得曲线1C 的方程为220y x =. …………………4分 解法2 ： 曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离， 所以曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，…………… 2分
故其方程为220y x =. …………………4分 （Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆
2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，
切线方程为0(4)y y k x -=+，040kx y y k -++=即于是
02
54 3.1
k y k
k ++=+
整理得2
2
00721890.k y k y ++-= ① …………………6分 设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根， 故001218.724
y y
k k +=-=- ② …………………7分 由1012
40,20,k x y y k y x -++=??
=?
得2
1012020(4)0.k y y y k -++= ③…………………8分 设四点,,,A B C D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根， 所以01121
20(4)
.y k y y k +?=
④…………………9分
同理可得02342
20(4)
.y k y y k +?=
⑤…………………10分
于是由②，④，⑤三式得
0102123412400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=201201212
4004()16y k k y k k k k ??+++??=
[]
6400164002
12
122=+-=
k k k k y y .…………………13分 所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值6400. …14分
7、解：（1）由椭圆E 过点3
(3,
)2
P ，可得2
2
22
3(
)(3)21a b +
= ………………………1分 又
2
1
=a c ，222b c a += …………………………………………………………………2分 解得：2,3a b ==. ……………………………………………………………………3分
所以椭圆E 方程为13
42
2=+y x . …………………………………………………………4分 （2）设切点坐标为()11,y x A ,()22,y x B ,直线l 上一点M 的坐标()t ,4， 则切线方程分别为
13411=+y y x x ，13
422=+y y x x ……………………………………5分
又因为两切线均过点M ，则13
,132211=+=+y t
x y t x ………………………………6分 即点,A B 的坐标都适合方程13
=+y t
x ，而两点确定唯一的一条直线， 故直线AB 的方程是13
=+
y t
x ……………………………………………………………7分 显然对任意实数t ，点（1，0）都适合这个方程，故直线AB 恒过定点()0,1C ………8分 （3）将直线AB 的方程13
+-
=y t
x ，代入椭圆方程，得 01241332
2
=-+??? ??+-y y t ，即0924322=--?
??
? ??+ty y t ，…………………………9分 所以12
27
,12622
1221+-=+=
+t y y t t y y …………………………………………………10分 不妨设0,021<>y y ，
因为()122122
1
2
139191y t y t y x AC +=???
? ??+=+-=，同理2239
y t BC +-= ……11分 所以21221212
113113
99y y AC BC y y y y t t ??-+=?-=? ?++??()
2
21212
39y y y y t -=-
?+…12分
34914491449
112
271210812693222
2
2
22=?+?+=+-++???
??+?+-=t t t t t t t
即BC AC BC AC ?=
+34
…………………………………………………………13分 故存在实数3
4
=λ，使得BC AC BC AC ?=+λ恒成立. …………………………14分
8、解：（1）由题意知(,0)2P F ，设(,0)(0)D t t >，则FD 的中点为2(
,0)4
p t
+， 因为||||FA FD =，由抛物线的定义得：3||22
p p
t +=-，
解得3t p =+或3t =-（舍去）. …………2分 由是正三角形ADF ?,可得
234
p t
+=，解得2p =. 所以抛物线C 的方程为2
4y x =. …………4分
（2）①由（1）知(1,0)F .
设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>，因为||||FA FD =， 则0|1|1D x x -=+，由0D x >,得02D x x =+，故0(2,0)D x +，
故直线AB 的斜率为0
2
AB y k =-
， …………5分 因为直线1l 和直线AB 平行，设直线1l 的方程为02
y
y x b =-+，
代入抛物线方程得200
880b
y y y y +
-=……① 由题意方程①的判别式2
0064320b y y ?=
+=，得0
2
b y =-. 代入①解得20
04,4y x y y =-
=. 设(,)E E E x y ，则0
4E y y =-
，204
E x y =. …………6分
当2
04y ≠时，0
00022
000204
4444
E AB
E y y y y y k y x x y y +-==-=---， 可得直线AE 的方程为0
002
04()4
y y y x x y -=
--， …………7分 由2
004y x =，整理可得0
2
04(1)4
y y x y =
--， 直线AE 恒过点(1,0)F . …………8分
当204y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，
所以直线AE 过定点(1,0)F . …………9分 ②由①知，直线AE 过焦点(1,0)F ，.4),4,4(
),,(02
00
2
00x y y y E y x A =-
由抛物线的定义得0000
11
||||||(1)(
1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++ …
10分
设直线AE 的方程为+1x my =.因为点00(,)A x y 在直线AE 上，故00
1
x m y -=， 设11(,)B x y ，直线AB 的方程为0
00()2
y y y x x -=--， 由于00y ≠，可得0
2
2x y x y =-
++. ………11分
代入抛物线方程得200
8
840y y x y +
--=， 所以0108y y y +=-
，可求得1008y y y =--，100
44x x x =++， ………12分 所以点B 到直线AE 的距离为
0000
2
48
|4()1|1x m y x y d m ++++-=
+00
4(1)
x x +=
00
1
4()x x =+
. 则ABE ?的面积0000
1114()(2)162S x x x x =
?+++≥， ………13分 当且仅当001
x x =
,
即01x =时等号成立. 所以ABE ?的面积的最小值为16. ………14分
9、
10、解：（1）设直线MN ，OP 的斜率分别为1k ，2k ，因为1(
,)22
x y P +， ………………1分 所以11
y k x
-= （0x ≠），21
22
y k x += （0x ≠）， ……………………………………3分
由12k k λ=可得：
()1122
y y x x λ+??
-?
?
??=?（0x ≠）， ……………………………………4分 化简整理可得221x y λ-+=（0x ≠），
所以，曲线C 的方程为221x y λ-+=（0x ≠）． ………………………………………
5分
（2）由题意()0,1N ，且NA NB ⊥，当直线NA 的斜率为0，则N 与A 重合，不符合题意， 所以直线NA 、NB 的斜率都存在且不为0，设直线NA 的斜率为k ， 所以直线NB 的斜率为1
k
-
，不妨设0k >， 所以直线NA 的方程为1y kx =+，直线NB 的方程为1
1y x k
=-
+，………………………6分 将直线NA 和曲线C 的方程联立，得22
1
1
y kx x y λ=+??
-+=?，消y 整理可得()
22
20k x kx λ-+=，
解得22A k x k λ=-
-，所以2
2
21k NA k k λ
=+?-， 以k 1-
替换k ，可得222
2
2121111k NB k k
k
k λλ
=+?
=+?
--， …………………………8分
由NA NB =，可得2
222
22
111k k k k k λλ+?=+?--， ………………………………9分
所以32
0k k k λλ+--=，即()()2110k k k λλλ??-+++=??，……………………………10分
（1）当 1
13
λ-<<-
时， 方程()2
10k k λλλ+++=有()()()2
2143110λλλλ?=+-=-+-<，
所以方程()()2
110k k k λλλ??-+++=??有唯一解1k =； ……………………………11分 （2）当1
3λ=-时，()()211k k k λλλ??-+++=??()3
1103
k -
-=，解得1k =； ………12分
（3）当103
λ-
<<时，方程()210k k λλλ+++=有()()()2
2143110λλλλ?=+-=-+->， 且()2111310λλλλ?++?+=+≠，
所以方程()()2
110k k k λλλ??-+++=??有三个不等的根．
综上，当 113λ-<≤-
时，有一个圆符合题意；当1
03
λ-<<时，有三个符合题意的圆． ……………………………………………………………………………………14分
（注：（3）也可直接求解： 当103
λ-
<<时， 方程()210k k λλλ+++=，因为()()()2
2143110λλλλ?=+-=-+->， 所以()()
1,213112k λλλλ
--±
+-=
，又因为()2111310λλλλ?++?+=+≠，
所以1,21k ≠，故方程()()2110k k k λλλ??-+++=??有三个不等的根．）
【说明】本题主要考查曲线与方程，直线与椭圆的位置关系，弦长问题，一元二次方程根的个数问
题，考查考生数形结合、函数与方程的数学思想方法及运算求解能力． 11、
圆锥曲线大题专题训练 1．如图，曲线G 的方程为22(0)y x y =≥．以原点为圆心．以(0)t t >为半径的圆分别 与曲线G 和y 轴的正半轴相交于点A 与点B ．直线AB 与x 轴相交于点C ． （Ⅰ）求点A 的横坐标a 与点C 的横坐标 c 的关系式 （Ⅱ）设曲线G 上点D 的横坐标为2a +， 求证：直线CD 的斜率为定值． 1.解： （Ⅰ）由题意知，(A a ． 因为OA t =，所以2 2 2a a t +=．由于0t > 由点(0)(0)B t C c ，，，的坐标知，直线BC 的方程为 1c t +=． 又因点A 在直线BC 上，故有 1a c +=，将（1）代入上式，得1a c =， 解得2c a =+ （Ⅱ）因为(2D a +，所以直线CD 的斜率为 1CD k = ===-． 所以直线CD 的斜率为定值． 2．设F 是抛物线2 :4G x y =的焦点． （I ）过点(04)P -，作抛物线G 的切线，求切线方程； （II ）设A B ，为抛物线G 上异于原点的两点，且满足0FA FB =u u u r u u u r g ，延长AF ，BF 分别交抛物线G 于点C D ，，求 四边形ABCD 面积的最小值． 2.解：（I ）设切点2 004x Q x ?? ???，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ，故所求切线方程为 2000()42x x y x x -=-． 即2 04 24x x y x =-． 因为点(0)P -4，在切线上． 所以2 044 x -=-，2 016x =，04x =±．所求切线方程为24y x =±-． （II ）设11()A x y ，，22()C x y ，． 由题意知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设0k >．
圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0； 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1，C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点.
2.圆 圆的定义：点集：｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 圆的方程： (1)标准方程 圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F ＞0时，一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程，圆心为(-2D ,-2 E ），半径是 2 4F -E D 22+.配方，将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时，方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则 ｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ?点M 在圆C 内， 其中｜MC ｜=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定.
圆锥曲线 一、填空题 1、（2015年江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立，则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、（2013年江苏高考）双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、（2013年江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆 C 的离心率为 。 4、（ 南京、盐城市高三二模）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线C ： y x 42=的焦点为F ，定点)0, 22(A ，若射线FA 及抛物线C 相交于点M ，及抛物线C 的准线相交于点N ，则FM ：MN= 5、（苏锡常镇四市 高三教学情况调研（二））已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2，它的焦点到渐近线的距离等于1，则该双曲线的方程为 ▲ 6、（泰州市 高三第二次模拟考试）已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ，则m = ▲
7、（盐城市 高三第三次模拟考试）若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合，则n 的值为 ▲ 8、（ 江苏南京高三9月调研）已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近 线方程 为y ＝±3x ，则该双曲线的离心率为 ▲ 9、（ 江苏苏州高三9月调研）已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、（南京市、盐城市 高三）若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合，则a = ▲ . 11、（南通市 高三）在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、（苏州市 高三上期末）以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线标准方程为 13、（泰州市 高三上期末）双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半，则双曲线的离心率e = ▲ 14、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为（5，0），则实数 m = ▲ 15、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））在平面直角坐 标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线及抛物线y 2＝4x Y
新课标高考《圆锥曲线》大题专题含答案
全国高考理科数学试题分类汇编9：圆锥曲线 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理）） 过点2,0) 引直线l 与曲线2 1y x = +相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当?AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜 率 等 于 （ ） A ．y E B B C CD =++3 B ．3 C ．3± D ．32 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 双曲线 2 214 x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 （ ） A ．25 B ．4 5 C 25 D 453 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版）） 已知中心在原 点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于3 2 ,在双曲线C 的方程 是 （ ） A ．22 145 x -= B ．22 145 x y -= C ． 22 125 x y -= D ． 22 125 x -=
4 ．（2013年高考新课标1（理）） 已知双曲线C : 22 2 21x y a b -=(0,0a b >>)的离心率为52 ,则C 的渐近 线 方 程为 （ ） A ．14y x =± B ．13 y x =± C ． 12 y x =± D ．y x =± 5 ．（2013年高考湖北卷（理）） 已知04π θ<<,则双曲线 22 122:1 cos sin x y C θθ -=与22 2222 :1sin sin tan y x C θθθ -=的 （ ） A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．焦 距相等 D ．离心率相等 6 ．（2013年高考四川卷（理）） 抛物线2 4y x =的焦点到双曲线 2 21 3 y x -=的渐近线的距 离 是 （ ） A ．12 B ．3 2 C ．1 D 3
) 圆锥曲线 一、填空题 1、对于曲线C ∶1 42 2-+-k y k x =1，给出下面四个命题： ①由线C 不可能表示椭圆； ②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4; ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜2 5 其中所有正确命题的序号为_____________. ？ 2、已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点分别为21,F F ，点P 在椭圆上，且满 足021=?PF PF ，2tan 21=∠F PF ，则该椭圆的离心率为 3.若0>m ，点?? ? ??25,m P 在双曲线15422=-y x 上，则点P 到该双曲线左焦点的距离为 . 4、已知圆22:6480C x y x y +--+=．以圆C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件的双曲线的标准方程为 ． 5、已知点P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是 （4，a ），则当||a >4时，||||PA PM +的最小值是 ． 6. 在ABC 中,7 ,cos 18 AB BC B ==- ．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． 7.已知ABC ?的顶点B ()-3,0、C ()3,0，E 、F 分别为AB 、AC 的中点，AB 和AC 边上的中线交于G ，且5|GF |+|GE |=，则点G 的轨迹方程为 8.离心率3 5 = e ，一条准线为x ＝3的椭圆的标准方程是 .
9.抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是_____________; 10将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =（4，－3）平移后所得抛物线的焦点坐标为 . ^ 11、抛物线)0(12 <=m x m y 的焦点坐标是 . 12.已知F 1、F 2是椭圆2 2 22)10(a y a x -+=1(5＜a ＜10＝的两个焦点，B 是短轴的一个端 点，则△F 1BF 2的面积的最大值是 13.设O 是坐标原点，F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，A 是抛物线上的一点， 与x 轴正向的夹角为60°，则||为 . 14.在ABC △中，AB BC =，7 cos 18 B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点 C ，则该椭圆的离心率e = ． 二.解答题 15、已知动点P 与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值1 2 -. . （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C. （Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=3 2 4时，求直线l 的方程.
第10讲 圆锥曲线 历年高考分析： 回顾2009～20XX 年的高考题，在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用，在解答题中2010、2011、20XX 年连续三年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高．在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小，这与考试说明中A 级要求相符合． 预测在20XX 年的高考题中： (1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及． (2)在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解． 题型分类： (1)圆锥曲线的几何性质，如a ，b ，c ，p 的几何性质以及离心率的值或范围的求解； (2)解答题中简单的直线与椭圆位置关系问题； (3)以椭圆为背景考查直线方程、圆的方程以及直线和圆的几何特征的综合问题； (4)综合出现多字母等式的化简，这类问题难度较高． 例1：若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝10 5，则m 的值是________． 解析：当m >5时，105＝m －5m ，解得m ＝253；当m <5时，105＝5－m 5 ，解得m ＝3. 答案：3或253 例2：若抛物线y 2＝2x 上的一点M 到坐标原点O 的距离为3，则M 到该抛物线焦点的距离为________． 解析：设M 的坐标为(x ，±2x )(x >0)，则x 2＋2x ＝3，解得x ＝1，所求距离为1＋12＝3 2. 例3：双曲线2x 2－y 2＋6＝0上一个点P 到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为________． 解析：双曲线方程化为y 26－x 2 3＝1.设P 到另一焦点的距离为d ，则由|4－d |＝26得d ＝4＋26，或d ＝4－26(舍去)． 例4：(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2 m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________． 解析：由题意得m ＞0，∴a ＝m ，b ＝m 2＋4， ∴c ＝ m 2＋m ＋4，由 e ＝c a ＝5得m 2＋m ＋4m ＝5，解得m ＝2. 例5：已知椭圆()22 2210x y a b a b += >>的离心率32e =，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，则椭圆 的方程为 ． 例 6：在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1:C ()22 2210x y a b a b += >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，其中2F 也
高三数学-圆锥曲线知识点 圆锥曲线的统一定义： 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e(e >0),则动点的轨迹叫 做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线I称为准线，正常数e称为离心率。当0v e< 1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e> 1时，轨迹为双曲线。
两点，则MFL NF. 1、点P 处的切线PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角. 2、PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 3、以焦点半径PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切：P 在右支；外切：P 在左支) 1 (a >o,b > o )上，则过F O 的双曲线的切线方程是 ^2 a b 2 2 2 t — (1)等轴双曲线：双曲线 x y a 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率e , 2 . (2)共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴, 2 实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.笃 a 2 2 y_ 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线: 2 L o . b 2 (3)共渐近线的双曲线系方程: 2 y b 2 2 0)的渐近线方程为笃 a 2 y o 如果双曲线的渐近线为 b 2 0时，它的双曲 2 线方程可设为二 2 a 0). 1. 点P 处的切线PT 平分△ PF1F2在点P 处的外角. 2. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 3. P o (X o ,y o )在椭圆 2 y 2 1上，则 过 P o 的椭圆的切线方程是 2 a x °x y o y 1 b 2 4. P 0( x o , y 0) 在椭圆 2 y 2 1夕卜， 则过 P 0 作椭圆的两条切线切点为 P 、 P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是 辱 ^2 1. a b 5. 2 再 1 (a > b > 0)的焦半径公式 b 2 | MF i | a ex o , | MF 2 | ex o ( F i ( c,0) , F 2(C ,0) M(X o ,y 。)). 6. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 7. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点, AiP 和AQ 交于点 M AP 和AQ 交于点N,贝U MF 丄NF. 8. 2 x AB 是椭圆— 2 a 2 y_ b 2 1的不平行于对称轴的弦， M (x o , y o )为AB 的中点，贝U k OM k AB b 2 二，即 K AB a b 2X o 2 a y o 9. 若P o (x o ,y o )在椭圆 -H-* 2 y x )x y o y 2 1内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 与 乎 2 X 。 __2 a y 。2 b 2 2 2 x y 4、若P o (X o ,y 。)在双曲线r 2 a b 1. 【备注1】双曲线:
圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O
二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由
1.已知动直线l 与椭圆C: 22 132 x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ?= 6 2 ,其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和22 12y y +均为定值; （Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ?的最大值； （Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得6 2 ODE ODG OEG S S S ???===?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由. 2.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D. （I ）设1 2 e = ，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由 3.设λ>0，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线y x 2 =上运动，点Q 满足QA BQ λ=，经过Q 点与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足MP QM λ=,求点P 的轨迹方程。 4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足MB//OA ， MA ?AB = MB ?BA ，M 点的轨迹为曲线C 。 （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值。
5.在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22 221 x y a b +=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ； （Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ?=-，求点M 的轨迹方程． 6.已知抛物线1C :2 x y =，圆2C :2 2 (4)1x y +-=的圆心为点M （Ⅰ）求点M 到抛物线1c 的准线的距离； （Ⅱ）已知点P 是抛物线1c 上一点（异于原点），过点P 作圆2c 的两条切线，交抛物线1c 于A ，B 两点，若过M ，P 两点的直线l 垂直于AB ，求直线 l 的方程 7.如图7，椭圆)0(1:22 221>>=+b a b y a x C 的离心率为23，x 轴被曲线 b x y C -=22:截得的线段长等于1C 的长半轴长. ()I 求1C ，2C 的方程； ()II 设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线 l 与2C 相交于点A ，B ，直线MA ，MB 分别与1 C 相交于点 D ， E . (ⅰ)证明： ME MD ⊥; (ⅱ)记MAB ?,MDE ?的面积分别为21,S S ，问：是否存在直线l ，使得32 17 21=S S ？请说明理由.
一、2020年高考虽然推迟，但是一定要坚持多练习，加油！ 二、高考分析 1、分值、题型、难度设置 圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，分值约占14﹪，即20分左右，题型一般为二小一大，例如，2005年高考为一道选择题，一道填空题一道解答题。小题基础灵活，解答题一般在中等以上，一般具有较高的区分度。 考试内容：椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，简单的几何性质，椭圆的参数方程。 主要题型：（1）定义及简单几何性质的灵活运用；（2）求曲线方程（含指定圆锥曲线方程及轨迹方程）；（3）直线与圆锥曲线的位置关系问题（交点、弦长、中点弦及斜率、对称问题），确定参数的取值范围；（4）在导数、不等式、函数、向量等知识网络交汇点上的问题。 2、命题方向 解析几何内容多，范围广，综合度高，其特点是：数形结合，形象思维，规律性强，运算量大，综合性好。主要考察运算能力，逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的综合能力。 涉及函数、方程、不等式、三角、向量和导数等方面的内容，以及数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想方法。 要注意一些立意新，角度好，有创意的题目，特别要关注在向量和解析几何交汇点上的命题趋势，两者通过坐标自然融合，既考查基
础知识、基本方法，又平淡之中见功夫，强化区分功能，突出对能力的考查，从不同的思维层次上考察能力，有较好的思维价值。 三、 专题复习 2.1考查直线和圆锥曲线方程等有关基础知识和基本方法，要特别重视圆锥曲线定义的灵活应用，反映思维品质。 例1．1)如图，在正方体ABCD D C B A -111的侧 面1AB 内有 动点P 到直线AB 与直线11C B 距离相等，则动点P 所在的曲线的形状为： （ ） 1 11 A B 1 (A) (B) 1A B 1 A 1 B (C) B A B 1 (D) 分析：本题主要考查抛物线定义，线面垂直关系及点到直线的距离等概念，情景新，角度好，有创意，考查基础知识和基本方法。 ∵11C B ⊥面1AB ，1PB ∴即为点P 到直线11C B 的距离，故动点P 的轨迹应为过B B 1中点的抛物线，又点1A 显然在此抛物线上，故选C 。 2)已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作 正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A ．324+ B ．13- C ． 2 1 3+ D ．13+ 2.2 求曲线的方程，考查坐标法的思想和方法，从不同思维层次上反映数学能力。
高考数学试题圆锥曲线 一． 选择题： 1.又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 41 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ）
1. 已知动直线 l 与椭圆 C: x 2 y 2 1 交于 P x 1 , y 1 、 Q x 2 , y 2 两不同点，且△ OPQ 的 3 2 面积 S OPQ = 6 , 其中 O 为坐标原点 . 2 （Ⅰ）证明 x 12 x 22 和 y 12 y 2 2 均为定值 ; （Ⅱ）设线段 PQ 的中点为 M ，求 |OM | | PQ | 的最大值； （Ⅲ）椭圆 C 上是否存在点 D,E,G ，使得 S ODE S ODG S OEG 6 ?若存在，判断△ 2 DEG 的形状；若不存在，请说明理由 . 2. 如图，已知椭圆 C1 的中心在原点 O ，长轴左、右端点 M ，N 在 x 轴上，椭圆 C2 的短轴为 MN ，且 C1， C2的离心率都为 e ，直线 l ⊥MN ， l 与 C1 交于两点，与 C2 交于两点，这四点按纵坐标从大 到小依次为 A ， B ， C ， D. （I ）设 e 1 ，求 BC 与 AD 的比值； 2 （II ）当 e 变化时，是否存在直线 l ，使得 BO ∥ AN ，并说明理由 3. 设 ，点 A 的坐标为（ 1,1 ），点 B 在抛物线 y x 上 运动，点 Q 满足 BQ QA ，经过 Q 点与 x 轴垂直的直线 交抛物线于点 M ，点 P 满足 QM MP , 求点 P 的轨迹 方程。 4. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1) ，B 点在直线 y = -3 上， M 点满足 MB//OA ， MA ?AB = MB?BA ， M 点的轨迹为曲线 C 。 （Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ） P 为 C 上的动点， l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。
圆锥曲线综合练习 一、 选择题： 1．已知椭圆221102 x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 2．直线220x y -+=经过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ） A B ．12 C ．2 3 3．设双曲线22 219 x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线2 2 1y x m +=的离心率是（ ） A B C D 5．已知双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ， 两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ） A B 6．已知点12F F ，是椭圆2 2 22x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +u u u r u u u u r 的最小值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．7．双曲线221259 x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ） A ．22或2 B ．7 C ．22 D ．2 8．P 为双曲线22 1916 x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点， 则||||PM PN -的最大值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 9．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =u u u r u u u r ，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ） A B 1 C 1 D 1 11．两个正数a b ，的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2b y x a =-的焦点坐标是（ ） A ．5(0)16- ， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1 (0)5 ， 12．已知12A A ，分别为椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12A A ，的点P
高三圆锥曲线专题测试题 一、选择题 1．椭圆222312x y +=的两焦点之间的距离为（ ） Ａ． Ｃ． 2．椭圆2 214 x y +=的两个焦点为12F F ，，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个 交点为P ，则2PF =（ ） Ｃ．72 Ｄ．4 3．双曲线22 22 1124x y m m -=+-的焦距是（ ） Ａ．8 Ｂ．4 Ｃ． Ｄ．与m 有关 4．焦点为(06)，且与双曲线2 212x y -=有相同的渐近线的双曲线方程是（ ） Ａ．22 11224 x y -= Ｂ．22 12412y x -= Ｃ．2212412 x y -= Ｄ．22 11224 y x -= 5．抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点(3)P m -，到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（ ） Ａ．24y x = Ｂ．28y x = Ｃ．24y x =- Ｄ．28y x =- 6．焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ） Ａ．216y x = 或 212x y =- Ｂ． 216y x =或 216x y = Ｃ． 216y x =或212x y = Ｄ．212y x =-或216x y = 7．椭圆22 213x y m m +=-的一个焦点为(01)， ，则m 等于（ ） Ａ．1 Ｂ．2-或1 Ｄ．53 8．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为1F ，则满足1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是（ ） Ａ．14 Ｂ．12 9．以双曲线22312x y -+=的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（ ）
Ａ．22 11612 x y += Ｂ．22 1164x y += Ｃ．22 11216 x y += Ｄ．22 1416 x y += 10．经过双曲线228y x -=-的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（ ） Ｃ． Ｄ．11．一个动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） Ａ．(02)， Ｂ．(02)-， Ｃ．(20)， Ｄ．(40)， 12．已知抛物线24x y =的焦点F 和点(18)A P -，，为抛物线上一点，则PA PF +的最小值是（ ） Ａ．16 Ｂ．12 Ｃ．9 Ｄ．6 三、填空题 13．已知椭圆22 14924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12F F ，连线的夹角为直角，则 12PF PF =· ． 14．已知双曲线的渐近线方程为34 y x =±，则双曲线的离心率为 ． 15．圆锥曲线内容体现出解析几何的本质是 ． 16．当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为 ． 三、解答题 17．若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个 1，求椭圆的方程．
高三圆锥曲线选填训练 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-b y a x 的离心率为 （ ） A ．45 B ．25 C ．32 D ．45 2．椭圆13 122 2=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2| 的 （ ） A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍 3．过双曲线x 2 －22 y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 4．如果双曲线 136 642 2=-y x 上的一点P 到双曲线的右焦点的距离是8，那么点P 到右准线的距离是 （ ） A ．10 B ．7 7 32 C ．27 D ．5 32 5．若抛物线y 2=2p x 上的一点A （6，y ）到焦点F 的距离为10，则p 等于 （ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 6．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若 BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为 A ．x y 23 2= B ．x y 32= C ．x y 2 9 2= D ．x y 92= 7．曲线 19252 2 =+y x 与曲线)925(19252 2 ≠<=-+-k k k y k x 且 有相同的（ A ．长、短轴 B ．焦距 C ．离心率 D ．准线 8．过椭圆22 2214x y a a += (a>0)的焦点F 作一直线交椭圆于P, Q 两点，若线段PF 与QF 的长分别为 p, q ，则11p q +等于（ ） A ．4a B ．1 2a C ．4a D ．2a 9．椭圆13 22 =+y x 上的点到直线x －y+6=0的距离的最小值是 . 10．已知双曲线C 的渐近线方程是x y 32±=，且经过点M （)1,2 9 -，则双曲线C 的方程是 . 11．AB 是抛物线y =x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值 为 .
2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（二） 1.椭圆C 1：()22210x y a b a b +=>>的离心率为3，椭圆C 1截直线y x =所得的弦长为410 . 过椭圆C 1的左顶点A 作直线l 与椭圆交于另一点M ，直线l 与圆C 2： () ()2 2240x y r r -+=>相切于点N . （Ⅰ）求椭圆C 1的方程； （Ⅱ）若43AN MN =u u u r u u u u r ，求直线l 的方程和圆C 2的半径r . 2.已知椭圆C ：112 162 2=+ y x 左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足x BF ⊥轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C ，D ，连结AD ，BC 交于点Q ，若实数21,λλ满足：CQ BC 1λ=，DA QD 2λ=. （1）求21λ?λ的值； （2）求证：点Q 在一定直线上.
3.已知椭圆C ：)0(12 42 2>>=+ b a y x 上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线DF l //，且与y 轴交于点),0(t P ，又在直线t y =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OE OQ ⊥（O 为坐标原点），连接EQ . （1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222=+y x 相切； （2）判断直线EQ 与圆222=+y x 是否相切？若相切，请 证明；若不相切，请说明理由. 4.如图，△AOB 的顶点A 在射线)0(3:>=x x y l 上，A ，B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足3||||=?MB AM ，当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W . （1）求轨迹W 的方程； （2）设)0,(m P 为x 轴正半轴上一点，求||PM 的最小值)(m f .
文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32 a x =上一点，12PF F ?是底角为30o 的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为030的等腰三角形， ∴0 260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ，∴322 c a = ，∴e =34， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162 =的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：2 2 2 x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =，∵||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2） 到直线x y 3= 的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以222 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=
高中数学专题：圆锥曲线 题型一 直线与圆锥曲线的综合问题 例1 (12分)(·课标全国Ⅰ)已知点A (0,－2),椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的离心率为32,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF 的斜率为233,O 为坐标原点. (1)求E 的方程； (2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程. 规范解答 解 (1)设F (c,0),由条件知,2c ＝233,得c ＝ 3.[2分] 又e ＝c a ＝32,所以a ＝2,b 2＝a 2－c 2＝1. 故E 的方程为x 24＋y 2＝1.[5分] (2)当l ⊥x 轴时,不合题意, 故设l ：y ＝kx －2,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),[6分] 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得 (1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.[7分] 当Δ＝16(4k 2－3)>0,即k 2>34时, x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1 . 从而|PQ |＝k 2 ＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1 , 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1 .[9分] 设4k 2－3＝t ,则t >0,S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t . 因为t ＋4t ≥4,当且仅当t ＝2,
即k＝± 7 2时等号成立,且满足Δ>0,[11分] 所以,当△OPQ的面积最大时l的方程为y＝ 7 2x－2或y＝－ 7 2x－2.[12分] 评分细则 第(1)问得分点 1.由直线的斜率,得出c值,得2分,列出关于c的方程,求解结果错误只得1分. 2.由椭圆的离心率求得a值得2分,得出E的方程得1分. 第(2)问得分点 1.设出直线l的方程得1分,没有考虑斜率不存在,直接设出直线方程不得分. 2.直线方程与椭圆方程联立,得出一元二次方程得1分,方程不正确,不得分. 3.求出弦长给1分,只给出弦长值而没有过程,不得分. 4.求出三角形的面积得1分；只写出面积公式没有代入数据,不给分. 5.求出k值得2分,没有验证是否满足方程的判别式扣1分. 6.写出直线l的方程得1分. 第一步：由圆锥曲线几何性质及已知条件求参数a,b,c,e中某个值； 第二步：求圆锥曲线方程； 第三步：分析直线与圆锥曲线的关系,联立方程,得一元二次方程； 第四步：由“Δ”或根与系数的关系,弦长公式等,寻找解决问题的思路； 第五步：通过化简、运算,得出结果； 第六步：回顾反思,查验问题的完备性. 跟踪训练1(·北京)已知椭圆C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y＝2上,且OA⊥OB,试判断直线AB 与圆x2＋y2＝2的位置关系,并证明你的结论.