圆锥曲线
一、选择题
1.【2018广东佛山高三二模】已知双曲线的左焦点为,右顶点为,虚轴的一个端点为,若
为等腰三角形,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得不妨设,则,因为为等腰三角形,所以只能是
即,(舍去负值),选A.
点睛:解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式,再根据
的关系消掉得到的关系式,而建立关于的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
2.【2018湖南株洲高三二模】已知双曲线的右焦点为,其中一条渐近线与圆
交于两点,为锐角三角形,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
详解:双曲线的右焦点为,一条渐近线方程为,
圆的圆心,半径为,
渐近线与圆交于两点,为锐角三角形,
可得:可得又
可得可得:,由可得
所以双曲线的离心率的取值范围是.
故选D.
点睛:本题考查双曲线的简单性质的应用,圆的简单性质的应用,考查转化思想已经计算能力.
3.【2018延安高三模拟】已知,为双曲线的左、右焦点,过的直线与圆
相切于点,且,则双曲线的离心率为()
A. B. 2 C. 3 D.
【答案】D
即有|MF2|=3|MF1|=3a,
由OM为三角形MF1F2的中线,可得
(2|OM|)2+(|F1F2|)2=2(|MF1|2+|MF2|2),
即为4b2+4c2=2(a2+9a2),
即有c2+b2=5,再根据得到双曲线的离心率为.
故选:D .
点睛:本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何
条件构造的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中与椭圆中的关系不同.求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法:(1)直接求出的值,可得;(2)建立的齐次关系式,将用
表示,令两边同除以或化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围.
4.【2018安徽淮北高三二模】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,分别过作准线的垂线,垂足分别为两点,以为直径的圆过点,则圆的方程为()
A. B.
C. D.
【答案】C
5.【2018衡水金卷高三二模】已知双曲线的一条渐近线与直线垂直,且焦点在圆上,则该双曲线的标准方程为()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为双曲线的渐近线方程为,所以,即①,又双曲线的焦点在圆上,故令,解得,所以②,又③,联立①②③解得,,所以双曲线的标准方程为,故选B.
6.【2018安徽安庆高三二模】过双曲线的左焦点F作圆的切线,切点为M,又直线FM与直线相交于第一象限内一点P,若M为线段FP的中点,则该双曲线的离心率为
A. B. 2 C. D. 3
【答案】B
【解析】因为
选B.
点睛:解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于
的方程或不等式,再根据
的关系消掉得到的关系式,而建立关于
的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、
点的坐标的范围等.
7.【2018东莞高三二模】已知双曲线的离心率为2,过右焦点的直线交双曲线的两条渐近线于两点,且,则直线的斜率的值等于( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A
8.【2018广东惠州高三4月模拟】已知F 是抛物线2
x 4y =的焦点, P 为抛物线上的动点,且点A 的坐标为()0,1-,则
PF PA
的最小值是( )
A.
14 B. 1
2
C. 2
D. 【答案】C
【解析】由题意可得,抛物线2
4x y =的焦点()0,1F ,准线方程为1y =-.
过点P 作PM 垂直于准线, M 为垂足,则由抛物线的定义可得P F P M
=,则s i n P F
P M
PAM PA PA
==∠, PAM ∠为锐角. ∴当PAM ∠最小时,
PF PA
最小,则当PA 和抛物线相切时,
PF PA
最小.
设切点()
P a ,由21
4y x =的导数为1
2y x '=,则PA 的斜率为12?==
∴1a =,则()2,1P .
∴2PM =, PA =
∴sin 2
PM PAM PA
∠==
故选C .
点睛:本题主要考查抛物线的定义和几何性质,与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到焦点的距离与点到准线的距离的转化,
这样可利用三角形相似,直角三角形中的锐角三角函数或是平行线段比例关系可求得距离弦长以及相关的最值等问题.
9.【2018河南郑州高三二模】如图,已知抛物线1C 的顶点在坐标原点,焦点在x 轴上,且过点()24,,圆
222:430C x y x +-+=,过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于,,,P Q M N ,则4PN QM +的最小
值为( )
A. 23
B. 42
C. 12
D. 52 【答案】A
【点睛】当抛物线方程为2
2(p>0)y px =,
,过焦点的直线l 与抛物线交于,P Q ,则有112
F PF Q P
+=,抛物线的极坐标方程为1cos p ρθ=
-,所以1PF ρ== 1cos p
θ
-,
()
21cos 1cos p p QF ρθπθ==
=
-++,所以
112
F PF Q P
+=,即证。 10.【2018内蒙古呼和浩特高三一调】已知21,F F 是双曲线22
221(0,0)y x a b a b -=>>的上、下两个焦点,过
1F 的直线与双曲线的上下两支分别交于点,B A ,若2ABF ?为等边三角形,则双曲线的渐近线方程为( )
A. y =
B. 2y x =±
C. y =
D. 6
y x =± 【答案】D
【点睛】本题主要考查双曲线的定义和简单几何性质等知识,根据条件求出a,b的关系是解决本题的关键.11.【2018四川德阳高三二诊】如图,过抛物线的焦点作倾斜角为的直线,与抛物线及其准线从上到下依次交于、、点,令,,则当时,的值为()
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】C
分别过点A ,B 作准线的垂线,分别交准线于点E ,D ,则
同理可得
,
故选B.
12.【2018重庆高三4月二诊】设集合()()()
{}
2
2
,|3sin 3cos 1,A x y x y R ααα=
+++=∈,
(){},|34100B x y x y =++=,记P A B =?,则点集P 所表示的轨迹长度为( )
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】由题意得圆()()22
3sin 3cos 1x y αα+++=的圆心()3sin ,3cos αα--在圆2
2
9x y +=上,当α变
化时,该圆绕着原点转动,集合A 表示的区域是如图所示的环形区域.
由于原点()0,0到直线34100x y ++=的距离为
2d ==,所以直线34100x y ++=恰好与圆环
的小圆相切.
所以P A B =?表示的是直线34100x y ++=截圆环的大圆2
2
16x y +=所得的弦长.
故点集P 所表示的轨迹长度为=D . 点睛:
解答本题的关键是正确理解题意,弄懂集合A 和P A B =?的含义,然后将问题转化为求圆的弦长的问题处理,在圆中求弦长时要用到由半径、弦心距和半弦长构成的直角三角形,然后利用勾股定理求解。
13.【2018湖南衡阳高三二模】设双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点为A ,右焦点为()F ,0c ,弦PQ
的过F 且垂直于x 轴,过点P Q ,分别作直线,AP AQ 的垂线,两垂线交于点B ,若B 到直线PQ 的距离小于()2a c +,则该双曲线离心率的取值范围是( )
A. (
B. (
C. )2
D.
)
+∞
【答案】B
点睛:圆锥曲线里求离心率的取值范围,一般是找到关于离心率的不等式,再解不等式.本题就是根据B 到
直线PQ 的距离小于()2a c +得到 ()
()4
22b a c a c a <+-,再解这个不等式得到离心率的范围的.
14.【2018广东茂名高三二模】过抛物线()2
:20E x py p =>的焦点,且与其对称轴垂直的直线与E 交于
,A B 两点,若E 在,A B 两点处的切线与E 的对称轴交于点C ,则ABC ?外接圆的半径是( )
A.
)
1p - B. p C.
D. 2p
【答案】B
15.【2018河北石家庄高三一模】抛物线C : 2
14
y x =
的焦点为F ,其准线l 与y 轴交于点A ,点M 在
抛物线C 上,当
MA MF
= AMF ?的面积为( )
A. 1
B. 2
C.
D. 4 【答案】B
【解析】
01,01F A -(,)(,)
过M 作,MN l ⊥ 垂足为N ,则MN MF =
∴
MA
MF
=AMF ?的高等于AN ,设21
04M
m m m (,)(>) 则AMF ?的面积1
2.2
m m =
?=
又由
MA
MF
=三角形AMN 为等腰直角三角形, 21
1,4m m ∴+= 所以2,m = ,
∴AMF ?的面积2 故选B. 二、填空题
16.【2018新疆乌鲁木齐高三质监二】已知F 是椭圆C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交椭圆C 于点D ,且20BF DF +=,椭圆C 的离心率为__________.
点睛:本题主要考查的知识点是椭圆的离心率。解决的关键是根据向量的关系,即题目中给的条件,
20BF DF +=,结合相似比得到点3
12
2D c b ??- ???,,进而代入到方程中,求解得到结论,属于基础题。
17.【2018陕西榆林高三二模】已知抛物线2
:4C y x =的焦点为()()1122,,,,F M x y N x y 是抛物线C 上的
两个动点,若1222x x MN ++=,则MFN ∠的最大值为__________. 【答案】
3
π
(或60°) 【解析】由已知1222x x MN ++=,得MF NF 2MN +=,
∵()
22
2
2
2
31MF NF MF NF
MF NF 142cos MFN 2MF NF
2MF NF 2
MN
∠+-+-=
=≥,
所以∠MFN 的最大值为3
π
故答案为:
3
π
点睛:在解决与抛物线有关的问题时,要注意抛物线的定义在解题中的应用。抛物线定义有两种用途:一是当已知曲线是抛物线时,抛物线上的点M 满足定义,它到准线的距离为d ,则|MF |=d ,可解决有关距离、最值、弦长等问题;二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义,从而得到动点的轨迹是抛物线.
18.【2018重庆高三4月二诊】已知双曲线22
221x y a b
-=(0a >, 0)b >)的左右焦点分别为1F , 2F ,
点P 在双曲线的左支上, 2PF 与双曲线右支交于点Q ,若1PF Q ?为等边三角形,则该双曲线的离心率是__________.
点睛:
求双曲线的离心率时,将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式,利用
222b c a =-和e=
c
a
转化为关于e 的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围. 19.【2018广东茂名高三二模】设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的上顶点为B ,右顶点为A ,右焦点为F ,
E 为椭圆下半部分上一点,若椭圆在E 处的切线平行于AB ,则直线E
F 的斜率是__________.
20.【2018宁夏银川高三4月质检】设点是抛物线的焦点,过抛物线上一点作其准线的垂线,垂足为,已知直线交轴于点且的面积为,则该抛物线的方程为__________.
【答案】或
【解析】根据题意作出如图所示的图象:
其中,,为双曲线的准线,且准线方程为,,.
设,则,.
在中,为的中点,则为的中点,即,.
∵的面积为
∴,即.
∵
∴,即.
∴或
∴该抛物线的方程为或.
故答案为或.
点睛:解答本题的关键是借助题设条件,解答本题的关键是利用三角形中位线的性质得点的纵坐标,再根据三角形面积,数形结合求得,然后再依据已知条件建立方程求出,使得问题获解. 21.【2018河南商丘高三二模】过圆的圆心的直线与抛物线相交于两点,
且,则点到圆上任意一点的距离的最小值为__________.
【答案】
【解析】设由题得
不妨设
所以点到圆上任意一点的距离的最小值为故填.
点睛:本题的难点在于探究解题的思路,根据数形结合可得点到圆上任意一点的距离的最小值为|MA|-r,所以要求点A的坐标,所以要找到关于点A,B的两个方程即可,从哪里找到方程,一个是,一个是.
三、解答题
22.【2018广东佛山高三质检二】已知直线过点,且与抛物线相交于两点,与轴交于点
,其中点在第四象限,为坐标原点.
(Ⅰ)当是中点时,求直线的方程;
(Ⅱ)以为直径的圆交直线于点,求的值.
【答案】(1)(2)4
试题解析:(Ⅰ)因为是中点,,点在轴上,
所以的横坐标,代入得,,
又点在第四象限,所以的坐标为,所以直线即直线的方程为.
(Ⅱ)显然直线的斜率不为0,设直线的方程为,
又三点共线,则可设为且,
联立方程,化简得到,
由韦达定理得,又在上,所以,
因为在以为直径的圆上,所以,即,
又,所以,即,
所以.
23.【2018衡水金卷高三调研二模】已知点为抛物线的焦点,过的直线交抛物线于两点.
(1)若直线的斜率为1,,求抛物线的方程;
(2)若抛物线的准线与轴交于点,,求的值.
【答案】(1);(2)2.
试题解析:(1)由题意知,直线的方程为.
联立得.
设两点的坐标分别为,
则.
由抛物线的性质,可得,
解得,所以抛物线的方程为.
(2)由题意,得,抛物线,
设直线的方程为,,
联立得.
所以①
因为,
所以.
因为三点共线,且方向相同,
所以,
所以,
所以,
代入①,得解得,
又因为,所以,
所以
.
点睛:本题主要考查了直线与抛物线的位置关系以及过焦点弦长问题,属于中档题;联立直线与抛物线的方程将韦达定理和弦长公式相结合属常见方法,解决此题的难点是将面积关系转化为向量关系. 24.【2018安徽安庆高三二模】在直角坐标系中,设点A(-3,0),B(3,0),直线AM,BM相交于点M,
且它们的斜率之积是
(1)试讨论点M的轨迹形状;
(2)当0
【答案】(1)见解析(2)
试题解析:((Ⅰ)设点,由题意得:
化简得,所以点的轨迹方程为
当时,点的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去A,B两点);
当时,点的轨迹是圆(除去A,B两点);
当时,点的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去A,B两点)
(Ⅱ)方法一:当时,设点的坐标为,过点作垂直于轴,垂足为,
因为点P在点M的轨迹上,所以
,
∴
因此的取值范围是
方法二:当时,设点P的坐标为,
∴以下同方法一
25.【2018东莞高三二模】已知椭圆的左、右焦点分别为,过原点且斜率为1的直线交椭圆于两点,四边形的周长与面积分别为8与 .
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设直线交椭圆于两点,且,求证:到直线的距离为定值.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ) 见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)利用四边形的周长和椭圆的定义得到,再利用四边形的面积公式和点在椭圆上求出椭圆的标准方程;(Ⅱ)设出直线方程,联立直线和椭圆的方程,得到关于的一元二次方程,利用根与系数的关系、平面向量的数量积为0进行求解.
试题解析:(Ⅰ)不妨设点是第一象限的点,依题可得.
∵.
∵.
∵点在椭圆上,,解得,或(舍),
∴椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)当直线斜率存在时,设直线的方程为,
由消去得,
设则,
∵,
即,即,
到直线的距离为.
当直线的斜率不存在时,设直线的方程为.
由椭圆的对称性易知到直线的距离为.
到直线的距离为定值.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线和椭圆的位置关系.在研究直线和圆锥曲线的位置关系时,往往要先利用题意设出直线方程,再联立直线和圆锥曲线的方程,利用根与系数的关系进行求解,但要注意讨论
直线的斜率是否存在,如本题中,直线不存在斜率的直线符合题意.
26.【2018黑龙江大庆高三质检二】已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b +=>>
的焦距为且C
过点12???.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程;
(Ⅱ)设12B B 、分别是椭圆C 的下顶点和上顶点, P 是椭圆上异于12B B 、的任意一点,过点P 作PM y ⊥轴于,M N 为线段PM 的中点,直线2B N 与直线1y =-交于点,D E 为线段1B D 的中点, O 为坐标原点,求证: .ON EN ⊥
【答案】(Ⅰ)2
214
x y +=. (Ⅱ)证明见解析.
【试题解析】
(Ⅰ)由题设知焦距为
c =
又因为椭圆过点12???
,所以代入椭圆方程得22
1
341a b += 因为222a b c =+,解得21a b ==,,
故所求椭圆C 的方程是2
214
x y +=. (Ⅱ)设()00,P x y , 00x ≠,则()00,M y , 00,2x N y ??
???
. 因为点P 在椭圆C 上,所以220014
x y +=.即220044x y =-.
2020高考虽然延期,但是每天练习一定要跟上,加油! 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2, -1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. (4 1 ,-1) B. (4 1,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a <2 2 c a . 其中正确式子的序号是B
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.(江西卷7)已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是C A .(0,1) B .1 (0,]2 C .(0, 2 D .,1)2 6.(辽宁卷10)已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A ) A B .3 C D .92 7.(全国二9)设1a >,则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是( B ) A . B . C .(25), D .(2 8.(山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ,焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -
圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0; 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1,C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点.
2.圆 圆的定义:点集:{M ||OM |=r },其中定点O 为圆心,定长r 为半径. 圆的方程: (1)标准方程 圆心在c(a,b),半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F >0时,一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程,圆心为(-2D ,-2 E ),半径是 2 4F -E D 22+.配方,将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时,方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F <0时,方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0),则 |MC |<r ?点M 在圆C 内,|MC |=r ?点M 在圆C 上,|MC |>r ?点M 在圆C 内, 其中|MC |=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定.
高考二轮复习专项:圆锥曲线 1. 如图,直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程. (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足: ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围. 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率 23=e ,已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ;双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x -5y=0. (Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率; (Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P ,连结AP 交椭圆C1于点M ,连结PB 并延长交椭圆C1于点N ,若=. 求证:.0=? B A D M B N l2 l1
4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A ,B 两点.设AB 中点为M ,直线AB 与OM 的夹角为αa. (1)用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; (2)若2 【高考数学中最具震撼力的一个解答题!】注:【求解完第一问以后,】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型:(1)弦长问题(2)中点问题(3)垂直问题(4)斜率问题(5)对称问题(6)向量问题(7)切线问题(8)面积问题(9)最值问题(10)焦点三角形问题。中的2-----4类;分门别类按套路求解; 1.高考最重要考:直线与椭圆,抛物线的位置关系。第一问最高频考(总与三个问题有关):(1)———————;(2)——————————;(3)—————————; 2.圆锥曲线题,直线代入圆锥曲线的“固定3步走”:---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————; 3.圆锥曲线题固定步骤前9步:-------------------;---------------------------------------------;————————————;—————————;——————————;—————————————————;———————————;——————————————; 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长:(1)圆的弦长问题;(2)中点弦长问题(3)焦点弦长问题;→(1)圆的弦长问题:(2法)首选方法:垂径定理+勾 股定理:图示:--------------------------------;公式为:-------------------------;其中求“点线距”的方法:———————;次选:弦长公式;→(2) 中点弦长问题:(2法)首选方法:“点差法” 椭圆:(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;副产品:两直线永远不可能垂直!原因:___________;【两直线夹角的求法:(夹角公式)___________;】双曲线(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;抛物线:形式一:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;形式2:___________;(公式一)--------------------------------;(公式二)--------------------------------;附:“点差法”步骤:椭圆:“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式:(公式一)-------------------;(公式二)---------------------;附:“点差法”步骤:抛物线;形式一___________;:“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式:(公式一)---------------------;(公式二)--------------------;附:“点差法”步骤: 圆锥曲线 一、填空题 1、(2015年江苏高考)在平面直角坐标系xoy 中,P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点,若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立,则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、(2013年江苏高考)双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、(2013年江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆 C 的离心率为 。 4、( 南京、盐城市高三二模)在平面直角坐标系xoy 中,已知抛物线C : y x 42=的焦点为F ,定点)0, 22(A ,若射线FA 及抛物线C 相交于点M ,及抛物线C 的准线相交于点N ,则FM :MN= 5、(苏锡常镇四市 高三教学情况调研(二))已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2,它的焦点到渐近线的距离等于1,则该双曲线的方程为 ▲ 6、(泰州市 高三第二次模拟考试)已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ,则m = ▲ 7、(盐城市 高三第三次模拟考试)若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合,则n 的值为 ▲ 8、( 江苏南京高三9月调研)已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的渐近 线方程 为y =±3x ,则该双曲线的离心率为 ▲ 9、( 江苏苏州高三9月调研)已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、(南京市、盐城市 高三)若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合,则a = ▲ . 11、(南通市 高三)在平面直角坐标系xOy 中,以直线2y x =±为渐近线,且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、(苏州市 高三上期末)以抛物线24y x =的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为2的双曲线标准方程为 13、(泰州市 高三上期末)双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半,则双曲线的离心率e = ▲ 14、(苏锡常镇四市2014届高三5月调研(二))在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为(5,0),则实数 m = ▲ 15、(南京、盐城市2014届高三第二次模拟(淮安三模))在平面直角坐 标系xOy 中,双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线及抛物线y 2=4x Y 全国名校高考专题训练——圆锥曲线选择填空100题 一、选择题(本大题共60小题) 1.(江苏省启东中学高三综合测试二)在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为( ) C. 2 D. 4 2.(江苏省启东中学高三综合测试三)已知椭圆E的短轴长为6,焦点F到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆E的离心率等于( ) 3.(江苏省启东中学高三综合测试四)设F1,F2是椭圆4x2 49 + y2 6 =1的两个焦 点,P是椭圆上的点,且|PF1|:|PF2|=4:3,则△PF1F2的面积为( ) 4.(安徽省皖南八校高三第一次联考)已知倾斜角α≠0的直线l过椭圆x2 a2+ y2 b2 =1(a>b>0)的右焦点F交椭圆于A,B两点,P为右准线上任意一点,则∠APB为( ) A.钝角 B.直角 C.锐角 D.都有可能 5.(江西省五校高三开学联考)从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形,其面积的取值范围是[3b2,4b2],则这一椭圆离心率e的取值范围是( ) A.[ 5 3 , 3 2 ] B.[ 3 3 , 2 2 ] C.[ 5 3 , 2 2 ] D. [ 3 3 , 3 2 ] 6.(安徽省淮南市高三第一次模拟考试)已知点A ,F 分别是椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的右顶点和左焦点,点B 为椭圆短轴的一个端点,若BF →·BA →=0=0,则椭圆的离心率e 为( ) 7.(安徽省巢湖市高三第二次教学质量检测)以椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的 右焦点为圆心的圆经过原点,且被椭圆的右准线分成弧长为2:1的两段弧,那么该椭圆的离心率等于( ) 8.(北京市朝阳区高三数学一模)已知双曲线C 1:x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的 左,右焦点分别为F 1,F 2,抛物线C 2的顶点在原点,它的准线与双曲线C 1的左准线重合,若双曲线C 1与抛物线C 2的交点P 满足PF 2⊥F 1F 2,则双曲线 C 1的离心率为( ) A. 2 B. 3 C.233 2 9.(北京市崇文区高三统一练习一)椭圆x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的中心,右焦 点,右顶点,右准线与x 轴的交点依次为O ,F ,A ,H ,则|FA | |OH |的最大值为 ( ) A.12 B.13 C.14 10.(北京市海淀区高三统一练习一)直线l 过抛物线y 2=x 的焦点F ,交抛物线于A ,B 两点,且点A 在x 轴上方,若直线l 的倾斜角θ≥ π 4 ,则|FA | 全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高考二轮复习专项:圆锥曲线大题集 1. 如图,直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l 1上(B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l 1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程. (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足: (R); AG AD λλ=∈2; GE GF GH +=0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围. 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率 23 = e ,已知点)3,0(P 到 这个椭圆上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B;双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x-5y=0. (Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率; (Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆C1于点N,若AM=. 求证:.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F(c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为αa. (1)用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; (2)若2 高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于( C ) (A (B )2 (C (D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直 线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =,则椭圆的离心率是( ) A B .2 C .13 D .12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”,那么下列结论中正确的是 ( ) A .直线l 上的所有点都是“点” B .直线l 上仅有有限个点是“点” C .直线l 上的所有点都不是“ 点” D .直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点) 高三数学-圆锥曲线知识点 圆锥曲线的统一定义: 平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,O)的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e(e >0),则动点的轨迹叫 做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点,定直线I称为准线,正常数e称为离心率。当0v e< 1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e> 1时,轨迹为双曲线。 两点,则MFL NF. 1、点P 处的切线PT 平分△ PFF 2在点P 处的内角. 2、PT 平分△ PF 1F 2在点P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点 3、以焦点半径PF 为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 1 (a >o,b > o )上,则过F O 的双曲线的切线方程是 ^2 a b 2 2 2 t — (1)等轴双曲线:双曲线 x y a 称为等轴双曲线,其渐近线方程为 y x ,离心率e , 2 . (2)共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴, 2 实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.笃 a 2 2 y_ 互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线: 2 L o . b 2 (3)共渐近线的双曲线系方程: 2 y b 2 2 0)的渐近线方程为笃 a 2 y o 如果双曲线的渐近线为 b 2 0时,它的双曲 2 线方程可设为二 2 a 0). 1. 点P 处的切线PT 平分△ PF1F2在点P 处的外角. 2. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 3. P o (X o ,y o )在椭圆 2 y 2 1上,则 过 P o 的椭圆的切线方程是 2 a x °x y o y 1 b 2 4. P 0( x o , y 0) 在椭圆 2 y 2 1夕卜, 则过 P 0 作椭圆的两条切线切点为 P 、 P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是 辱 ^2 1. a b 5. 2 再 1 (a > b > 0)的焦半径公式 b 2 | MF i | a ex o , | MF 2 | ex o ( F i ( c,0) , F 2(C ,0) M(X o ,y 。)). 6. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M N 7. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P 、Q, A 1、A 为椭圆长轴上的顶点, AiP 和AQ 交于点 M AP 和AQ 交于点N,贝U MF 丄NF. 8. 2 x AB 是椭圆— 2 a 2 y_ b 2 1的不平行于对称轴的弦, M (x o , y o )为AB 的中点,贝U k OM k AB b 2 二,即 K AB a b 2X o 2 a y o 9. 若P o (x o ,y o )在椭圆 -H-* 2 y x )x y o y 2 1内,则被Po 所平分的中点弦的方程是 与 乎 2 X 。 __2 a y 。2 b 2 2 2 x y 4、若P o (X o ,y 。)在双曲线r 2 a b 1. 【备注1】双曲线: 高考二轮复习专项:圆锥曲线大题集 1. 如图,直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线, 交点是A ,点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧),且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点, M 在l i 上的射影点 是 N ,且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系,求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 2,已知 点P(0,3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R); G E G F 2G H ; G H E F 0. 12 2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 , 4其左、右顶点分别 (I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率; (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证:MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2 圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用; 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义:懂得一元二 次方程的图像是直线; 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系(方向向量、法向量); 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式. 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点; 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程; 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题; 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用解 析法解决相应的几何问题. 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线(与椭圆相交的直线)BD 与椭圆交于C、D两点 (1)确定直线BD斜率的取值范围 (2)若割线BD过椭圆的左焦点 12 , F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O 二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l :22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 (1)求证:直线AB 的斜率为定值 (2)当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例 5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - (1)求点P (x, y )的轨迹C 的方程 (2)直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D (0,-1)为圆心 的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += (1)求点M (x, y )的轨迹方程 (2)过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由 高考二轮复习专项:圆锥曲线大题集 1. 如图,直线l 1与l 2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l 1上 (B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l 1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|. (Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程. (Ⅱ)过点D 且不与l 1、l 2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足: ①(R);AG AD λλ=∈②2;GE GF GH +=③0.GH EF ?= 求点G 的横坐标的取值范围. 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率23 = e ,已知点)3,0(P 到这个椭圆 上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是 , 425=x 其左、右顶点分别 B A D M B N l 2 l 1 是A、B;双曲线 1 : 2 2 2 2 2 = - b y a x C 的一条渐近线方程为3x-5y=0. (Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率; (Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆C1于点N,若MP AM=. 求证:.0 = ?AB MN 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F(c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为αa. (1)用半焦距c表示椭圆的方程及tanα; (2)若2 数学高考圆锥曲线压轴 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C:x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的离心率e= 3 2,a+b=3. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m-k为定值. ★★如图,椭圆C:x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)经过点P(1, 3 2),离心率e= 1 2,直 线l的方程为x=4. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3若存在,求λ的值;若不存在,说明理由. ★★椭圆C:x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1,F2,离心率为 3 2,过 F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围; (Ⅲ)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只 有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明 1 kk1+ 1 kk2 为定值,并求出这个定值. - 2 - 二、圆锥曲线中的最值问题 +y2 b2=1( a>b>0)的离心率为 (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上,且A D⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.(i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值; (ii)求△OMN面积的最大值. - 3 - 高考数学试题圆锥曲线 一. 选择题: 1.又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点, 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. ( 41 ,-1) B. (4 1 ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a <22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是C A .(0,1) B .1 (0,]2 C . D . 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A ) 2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(一) 1.设F 1,F 2为椭圆22 143 x y +=的左、右焦点,动点P 的坐标为(-1,m ),过点F 2的直线与 椭圆交于A ,B 两点. (1)求F 1,F 2的坐标; (2)若直线P A ,PF 2,PB 的斜率之和为0,求m 的所有整数值. 2.已知椭圆2 214 x y +=,P 是椭圆的上顶点.过P 作斜率为k (k ≠0)的直线l 交椭圆于另一点A ,设点A 关于原点的对称点为B . (1)求△P AB 面积的最大值; (2)设线段PB 的中垂线与y 轴交于点N ,若点N 在椭圆内部,求斜率k 的取值范围. 3.已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的离心率为5,定点()2,0M ,椭圆短轴的端点是 1B ,2B ,且21MB MB ⊥. (1)求椭圆C 的方程; (2)设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于,A B 两点,试问x 轴上是否存在定点P ,使PM 平分APB ∠?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,说明理由. 4.已知椭圆C 的标准方程为22 1 1612x y +=,点(0,1)E . (1)经过点E 且倾斜角为 3π 4 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点,求||AB . (2)问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、N 且||||ME NE =,若存在,求出直线p 斜率的取值范围;若不存在说明理由. 5.椭圆1C 与2C 的中心在原点,焦点分别在x 轴与y 轴上,它们有相同的离心率2 e =,并且2C 的短轴为1C 的长轴,1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22. (1)求椭圆1C 与2C 的方程; (2)设P 是椭圆2C 上非顶点的动点,P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ,B 的连线PA ,PB 分别与椭圆1C 交于E ,F 点. (i)求证:直线PA ,PB 斜率之积为常数; (ii)直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数?若是,求出该值;若不是,说明理由. 高中数学专题:圆锥曲线 题型一 直线与圆锥曲线的综合问题 例1 (12分)(·课标全国Ⅰ)已知点A (0,-2),椭圆E :x 2a 2+y 2 b 2=1(a >b >0)的离心率为32,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF 的斜率为233,O 为坐标原点. (1)求E 的方程; (2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程. 规范解答 解 (1)设F (c,0),由条件知,2c =233,得c = 3.[2分] 又e =c a =32,所以a =2,b 2=a 2-c 2=1. 故E 的方程为x 24+y 2=1.[5分] (2)当l ⊥x 轴时,不合题意, 故设l :y =kx -2,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),[6分] 将y =kx -2代入x 24+y 2=1得 (1+4k 2)x 2-16kx +12=0.[7分] 当Δ=16(4k 2-3)>0,即k 2>34时, x 1,2=8k ±24k 2-34k 2+1 . 从而|PQ |=k 2 +1|x 1-x 2|=4k 2+1·4k 2-34k 2+1. 又点O 到直线PQ 的距离d =2k 2+1 , 所以△OPQ 的面积S △OPQ =12d |PQ |=44k 2-34k 2+1 .[9分] 设4k 2-3=t ,则t >0,S △OPQ =4t t 2+4=4t +4t . 因为t +4t ≥4,当且仅当t =2, 即k=± 7 2时等号成立,且满足Δ>0,[11分] 所以,当△OPQ的面积最大时l的方程为y= 7 2x-2或y=- 7 2x-2.[12分] 评分细则 第(1)问得分点 1.由直线的斜率,得出c值,得2分,列出关于c的方程,求解结果错误只得1分. 2.由椭圆的离心率求得a值得2分,得出E的方程得1分. 第(2)问得分点 1.设出直线l的方程得1分,没有考虑斜率不存在,直接设出直线方程不得分. 2.直线方程与椭圆方程联立,得出一元二次方程得1分,方程不正确,不得分. 3.求出弦长给1分,只给出弦长值而没有过程,不得分. 4.求出三角形的面积得1分;只写出面积公式没有代入数据,不给分. 5.求出k值得2分,没有验证是否满足方程的判别式扣1分. 6.写出直线l的方程得1分. 第一步:由圆锥曲线几何性质及已知条件求参数a,b,c,e中某个值; 第二步:求圆锥曲线方程; 第三步:分析直线与圆锥曲线的关系,联立方程,得一元二次方程; 第四步:由“Δ”或根与系数的关系,弦长公式等,寻找解决问题的思路; 第五步:通过化简、运算,得出结果; 第六步:回顾反思,查验问题的完备性. 跟踪训练1(·北京)已知椭圆C:x2+2y2=4. (1)求椭圆C的离心率; (2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB 与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论. 椭圆与双曲线的性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF ⊥NF .。。、、1212 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N ,则MF ⊥NF . 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则 2 2OM AB b k k a ?=-,即0202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=,则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习:圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳
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