专题一 求圆的轨迹方程
教学目标：
1、 掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；
2、 掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程
3、 理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。 教学重难点：
1、 掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；
2、 会求曲线的轨迹方程（圆） 教学过程：
第一部分 知识点回顾
一、圆的方程：
1．圆的标准方程：()()2
2
2
x a y b r -+-=。
2．圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>
特别提醒：只有当2
2
D E 4F 0＋－>时，方程220x y Dx Ey F ++++=才表示圆心为(,)22
D E --，半径为
221
42
D E F +-的圆 思考：二元二次方程2
2
0Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件是什么？ 答案： （0,A C =≠且0B =且2
2
40D E AF +->））； 3．圆的参数方程：{
cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数）
，其中圆心为(,)a b ，半径为r 。圆的参数方程的主
要应用是三角换元：
222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0)x r y r r t θθ→==≤≤。
4．()()1122A ,,,x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--=如
（1）圆C 与圆22
(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________
（答：2
2
(1)1x y ++=）；
（2）圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （答：9)3()3(2
2
=-+-y x 或1)1()1(2
2
=++-y x ）； （3）已知(1,3)P -是圆
{
cos sin x r y r θθ==（θ
为参数，02)θπ≤<上的点，则圆的普通方程为________，
P 点对应的θ值为_______，过P 点的圆的切线方程是___________
（答：224x y +＝；
23
π
；340x y -+=）； （4）如果直线l 将圆：x 2
+y 2
-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是_ （答：[0，2]）； （5）方程x 2
+y ２
－x+y+k=0表示一个圆，则实数k 的取值范围为____（答：2
1
<
k ）； （6）若{3cos {(,)|
3sin x M x y y θ
θ
===（θ为参数，0)}θπ<<，{}b x y y x N +==|),(，
若φ≠N M ，则b 的取值范围是_________（答：(
3,32??
－）
二、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()22
2C 0：x-a y b r r +-=>，
（1）点M 在圆C 外()()2
2
2
00CM r x a y b r ?>?-+->；
（2）点M 在圆C 内?()()22
2
00CM r x a y b r
0CM r x a ?=?-()2
2
0y b r +-=。如
点P(5a+1,12a)在圆(x －１)２
＋y 2
=1的内部,则a 的取值范围是______（答：13
1||<
a ） 三、直线与圆的位置关系：
直线:0l Ax By C ++=和圆()()2
2
2C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）： 0?>?相交；0?
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：
设圆心到直线的距离为d ，则d r ?相离；d r =?相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如
（1）圆1222
2=+y x 与直线sin 10(,2
x y R π
θθθ+-=∈≠
k π+，)k z ∈的位置关系为____
（答：相离）；
（2）若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(1,2)P -，则ab 的值____
（答：2）；
（3）直线20x y +=被曲线22
62x y x y +--150-=所截得的弦长等于
（答：45）；
（4）一束光线从点A(－1,1)出发经x 轴反射到圆C:(x-2)2
+(y-3)2
=1上的最短路程是
（答：4）；
（5）已知(,)(0)M a b ab ≠是圆222
:O x y r +=内一点，现有以M 为中点的弦所在直线m 和直线
2:l ax by r +=，则
A ．//m l ，且l 与圆相交
B ．l m ⊥，且l 与圆相交
C ．//m l ，且l 与圆相离
D ．l m ⊥，且l 与圆相离
（答：C ）；
（6）已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线L ：10mx y m -+-=。①求证：对m R ∈，直线L 与圆C 总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点，若17AB =，求L 的倾斜角；③求直线L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.
（答：②60
或120
③最长：1y =，最短：1x =）
第二部分 直线与圆的典型例题
一、求圆的轨迹方程
1、用定义法求圆的轨迹方程
例1 设方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程。
分析:配成圆的标准方程再求解
解：配方得：[]2
2
2
2
(3)(14)167x m y m m m ??-++--=+-??
该方程表示圆，则有2
1670m m +->，得1
(,1)7m ∈-，此时圆心的轨迹方程为2
341
x m y m =+??=-?， 消去m ，得24(3)1y x =--，由1(,1)7m ∈-
得x =m +320,47??
∈ ???
∴所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，20,47x ??
∈ ???
注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中20,47x ??
∈
???
变式1 方程2
2
4(1)40ax ay a x y +--+=表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。
解：原方程可化为2
2222(1)24(22)()a a a x y a a a --+??-++=???? 2220,a a -+>∴ 当a 0≠时，原方程表示圆。
又()2
222222
2222(44)4(22)
22a a a a a a r a a a -+-+-+=
==+≥ 当min 2,2a r ==，所以半径最小的圆方程为()()2
2
112x y -++= 2、用待定系数法求圆的轨迹方程
例2 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关
系．
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．
解法一：（待定系数法）
设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-．
∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-．
又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2
22
24)3(16)1(r
a r
a 解之得：1-=a ，202
=r ．
所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为
13
12
4-=--=
AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．
又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++=
=AC r ．
故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为
r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．
说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
例3 求半径为4，与圆04242
2=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．
分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．
解：则题意，设所求圆的方程为圆2
2
2
)()(r b y a x C =-+-：．
圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242
2
=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．
(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．
(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x ． 说明：对本题，易发生以下误解：
由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如
2224)4()(=-+-y a x ．
又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3． 若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．
所以欲求圆的方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．
上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．
点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：
（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；
（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a 、b 、r 或D 、E 、F ； （3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数. 3、用几何方法求圆的轨迹方程
例4 设圆满足:①截y 轴所得弦长为2;②被x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线02:=-y x l 的距离最小的圆的方程。 分析:注意挖掘题目的条件,充分利用圆的几何性质解决问题. 解法一:
设圆心为),(b a P ,半径为r ,则点P 到x 轴，y 轴的距离分别为||b ，||a 。
由题设圆P 截x 轴所得劣弧对的圆心角为?90，知圆P 截x 轴的弦长为2r ，故2
22b r = 又圆P 截y 轴所得的弦长为2,所以有12
2
+=a r .从而得122
2
=-a b 又点),(b a P 到直线02=+y x 的距离为|2|
5
a b d -=
所以当且仅当b a =时上式等号成立,此时152
=d ，从而d 取得最小值.
解此方程组得 由于2
2
2b r =知2r =
于是,所求圆的方程是:
2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x
解法二:同解法一得
222|2|
255
4455a b d a b d
a b bd d -=
∴-=±=±+得
将122
2
-=b a 代入上式，整理得 245510±++22
b db d = ②
把它看作b 的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即
0)15(82≥-=?d ，得 152≥d
所以2
5d 有最小值1，从而d 有最小值
55
将其代入②式得2b 2
±4b +2=0.解得b =±1. 将b =±1代入r 2
=2b 2
,得r 2
=2.由r 2
=a 2
+1得a =±1. 综上 a =±1,b =±1,r 2
=2.
由│a -2b │=1知a ,b 同号.于是,所求圆的方程是
2)1()1(22=-+-y x 或2)1()1(22=+++y x
点拨:求圆的方程通常有两类方法,一是几何法,即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系进而求得圆的基本量（圆心、半径）和圆的方程，二是代数法,即根据题意设出圆的方程,再利用条件得到有关方程系数的方程组,解方程组得到方程系数,从而求出圆的方程. 4、直线与圆的位置关系
例5 在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为22的圆C 与直线y x =相切于坐标原点O ，求圆C 的方程。
解： (1)设圆心坐标为(m ，n )（m <0，n >0）,则该圆的方程为(x -m )2+(y -n )2
=8已知该圆与直线y =x 相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
2
n m -=22 即n m -=4 ①
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m 2
+n 2
=8 ② 联立方程①和②组成方程组解得 ??
?=-=2
2
n m
故 圆的方程为(x+2)2
+(y-2)2
=8
点拨:解决圆的综合问题时,一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问题,另一方面还要注意几何问题代数化的思想运用.
第三部分 课堂练习
1.关于x,y 的方程Ax 2
+Bxy+Cy 2
+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是B=0且A=C ≠0,D 2
+E 2
-4AF ＞0
2.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是(5，-1)
3.若两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 在圆x 2
+y 2
=4的内部，则k 的范围是1
15
k -
<< 4.已知圆心为点（2，-3），一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴上，则这个圆的方程是
22460x y x y +-+=
5.直线y=3x+1与曲线x 2
+y 2
=4相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标是31,1010??
- ???
6.方程2
11(1)x y -=--表示的曲线是_两个半圆
7.圆2)4()3(22=++-y x 关于直线0=+y x 的对称圆的方程是22(4)(3)2x y -++=
8.如果实数x 、y 满足等式()2
2
23x y -+=，那么
y
x
的最大值是3 9.已知点)1,1(-A 和圆4)7()5(:22=-+-y x C ，求一束光线从点A 经x 轴反射到圆周C 的最短路程为___8___
10．求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程;
解：设圆心P(x 0,y 0),则有???-+-=-+-=--2
0202020
00)2()3()2()5(0
32y x y x y x , 解得 x 0=4, y 0=5,
∴半径r=10, ∴所求圆的方程为(x─4)2
+(y─5)2
=10
11. 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程
解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上， 故设圆方程为222(3)()9x b y b b -+-=
又因为直线y =x 截圆得弦长为27， 则有2
|3|(
)2
b b -+2(7)=9b 2， 解得b =±1 故所求圆方程为 22(3)(1)9x y -+-=或22
(3)(1)9x y +++=
点拨:（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）待定系数法;（3）尽量利用几何关系求a 、b 、r 或D 、E 、F .
12.在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线34x y -=相切． （1）求圆O 的方程；
（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB
的取值范围．
解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线34x y -=的距离，
即 4
213
r =
=+． 得圆O 的方程为224x y +=． （2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =即得
(20)(20)A B -，，，．
设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得 222222(2)(2)x y x y x y ++-+=+ ，
即 222x y -=．
(2)(2)PA PB x y x y =-----
，， 222
42(1).
x y y =-+=-
由于点P 在圆O 内，故22
22
42.
x y x y ?+
由此得21y <．
所以PA PB
的取值范围为[20)-，．
第四部分 作业练习
1．点P (a , b ), Q (b +1 , a －1) 关于直线L 对称，则L 的方程是x －y －1=0 2．过点P （2，1）且被圆x 2
+y 2
－2x +4y =0，截得的弦长最大的直线的方程是3x －y －5=0 3．如果点（4，a ）到直线0134=--y x 的距离不大于3，那么a 的取值范围是[0，10] 4．直线,031=-+-k y kx 当k 变动时，所有直线都过定点（3，1） 5．直线012=-+ay x 和直线01)13(=---ay x a 平行的充要条件是1
06
a =
或
6.方程x 2+y 2-2(t+3)x+2(1-4t 2)y+16t 2+9=0(t ∈R)表示圆方程，则t 的取值范围是<<1
17
-t
7.点A 是圆C: 22450x y ax y +++-=上任意一点,A 关于直线210x y +-=的对称点也在圆C 上,则实数a 的值为-10
8.过圆x 2+y 2=4外一点P (4，2)作圆的两条切线，切点为A 、B ，则△ABP 的外接圆方程是(x-2)2+(y-1)2=5 9．M(),00y x 为圆)0(222>=+a a y x 内异于圆心的一点，则直线200a y y x x =+与该圆的位置关系为相离（填相切、相交、相离）
10.设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则a =0
11.已知圆C 过点A （4,-1）,且与圆222650x y x y ++-+=相切于点B （1,2）,则圆C 的方程为()()2
2
513y x +=--
12.2
2()34250x y x y x
y ++=+若点，在直线上移动，则的最小值为 25
13.过点(1,2)的直线l 将圆22(2)4x y -+=分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k =
2
2
14.若圆2
2
44100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为22,则直线
l 的倾斜角的取值范围是5,1212ππ??
????
15.已知A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0)求点D 的坐标,使四边形ABCD 为等腰梯形. 解:设(,)D x y ，若AB CD ，则,AB
CD K K AD BC ==，易得D （163,55
）
若AD BC ，则由AD BC
k k AB CD =???=??
，可解得(2,3)D
故点D 的坐标为163
(
,)(2,3)55
或 16.已知ABC ?的顶点A 为（3，－1），AB 边上的中线所在直线方程为610590x y +-=，B ∠的平分线所在直线方程为4100x y -+=，求BC 边所在直线的方程． 解:设11(410,)B y y -，由AB 中点在610590x y +-=上，
可得：0592
1
10274611=--?+-?
y y ，y 1 = 5，所以(10,5)B ． 设A 点关于4100x y -+=的对称点为'(',')A x y ，
则有)7,1(14
131********A x y y x '???????
?-=?-'+'=+-'?-+'.故:29650BC x y +-= 17.已知圆1C ：222x y +=和圆2C ，直线l 与圆1C 相切于点(1,1)；圆2C 的圆心在射线
20(0)x y x -=≥上，圆2C 过原点，且被直线l 截得的弦长为43．
(Ⅰ)求直线l 的方程； (Ⅱ)求圆2C 的方程．
解：(Ⅰ)（法一）∵点(1,1)在圆221:2C x y +=上， ∴直线l 的方程为2x y +=，即20x y +-=． （法二）当直线l 垂直x 轴时，不符合题意．
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即10kx y k --+=． 则圆心1(0,0)C 到直线l 的距离2d r ==，即：2
|1|21
k k -+=+，解得1k =-，
∴直线l 的方程为20x y +-=．
（Ⅱ）设圆2C ：222()(2)x a y a r -+-=(0)a ≥，∵圆2C 过原点，∴2
2
5a r =．
∴圆2C 的方程为222
()(2)5x a y a a -+-=(0)a ≥．
∵圆2C 被直线l 截得的弦长为43，∴圆心2(,2)C a a 到直线l ：20x y +-=的距离：
2|22|
5122
a a d a +-=-=
． 整理得：2
12280a a +-=，解得2a =或14a =-．
∵0a ≥，∴2a =．
∴圆2C ：2
2
(2)(4)20x y -+-=．
18.已知过A （0，1）和(4,)B a 且与x 轴相切的圆只有一个，求a 的值及圆的方程． 解:设所求圆的方程为2
2
0x y Dx Ey F ++++=．因为点A 、B 在此圆上， 所以10E F ++=，① ，
24160D aE F a ++++=②,
又知该圆与x 轴（直线0y =）相切，所以由2
040D F ?=?-=，③
由①、②、③消去E 、F 可得：
221
(1)41604
a D D a a -++-+=，④ 由题意方程④有唯一解，当1a =时，4,5,4D E F =-=-=；当1a ≠时由0?=可解得0a =， 这时8,17,16D E F =-=-=．
综上可知，所求a 的值为0或1，当0a =时圆的方程为22817160x y x y +--+=；当1a =时，圆的方程为224540x y x y +--+=．
19.已知圆O :222x y +=交x 轴于A ，B 两点,曲线C 是以AB 为长轴,离心率为
2
2
的椭圆,其左焦点为F .若P 是圆O 上一点,连结PF ,过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q . (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ)若点P 的坐标为(1,1),求证:直线PQ 与圆O 相切；
(Ⅲ)试探究:当点P 在圆O 上运动时(不与A 、B 重合),直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系
?若是,请证明；若不是,请说明理由.
解：(Ⅰ)因为2
2,2
a e ==
,所以c=1 则b=1,即椭圆C 的标准方程为
2
212
x
y += (Ⅱ)因为P (1,1),所以1
2
PF k =
,所以2OQ k =-,所以直线OQ 的方程为y=－2x(7分) 又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q(－2,4)
所以1PQ k =-,又1OP k =,所以1k k PQ O P -=⊥,即OP PQ ⊥, 故直线PQ 与圆O 相切
(Ⅲ)当点P 在圆O 上运动时,直线PQ 与圆O 保持相切
证明:设00(,)P x y (02x ≠±),则22
00
2y x =-,所以001PF y k x =+,00
1
OQ x k y +=-, 所以直线OQ 的方程为00
1
x y x y +=- 所以点Q(－2,
00
22
x y +) 所以0
02200000000000022(22)22(2)(2)PQ x y y y x x x x k x x y x y y +--+--=
===-+++,又00
OP y
k x =, 所以1k k PQ O P -=⊥,即OP PQ ⊥,故直线PQ 始终与圆O 相切
x
y O P
F Q A B 第19题
〖圆的解析几何方程〗 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。 圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。 〖圆与直线的位置关系判断〗 平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下： 如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。 2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1
课题：与圆有关的轨迹方程 北京市第八十中学 王伟 一、教学时间：10.27 二、教学目标： 1、掌握求曲线的方程的一些常见方法； 2、建立数形结合思想，培养学生运用解析几何的基本思想方法； 3、培养学生的创新意识, 提高学生的分析问题、解决问题的能力； 三、教学重难点: 重点：求与圆有关的轨迹方程的方法； 难点：建立动点坐标之间的等量关系； 四、教学用具：计算机、投影仪、圆规、三角板； 五、教学过程： （一）复习提问导入新课： 1什么叫曲线的方程、方程的曲线？ 2求曲线的方程的步骤是什么？ 学生回答 教师点评：明确解析几何的基本思想方法是在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过方程的特征间接地来研究曲线的性质。其主要问题是1、根据已知条件求曲线的方程，2、通过方程研究平面曲线的性质。 （二）新课： 今天我们一起来研究与圆有关的轨迹方程； 例1已知定点A （6，0），点B 是圆 2+y x 求点P 的轨迹方程。 解法一：作PQ ∥OB 交x 轴于点Q ， ∵P 为AB 中点，∴PQ 为△OAB 的中位线 ∴Q(3，0)，|PQ|= OB 21 ∴|PQ|=2 3，由圆的定义知，P 在以Q （3，0）为圆心，半径r=|PQ|=23的圆上，∴点P 的轨迹方程是：49)3(22=+-y x ； 1、解法一由学生探讨，寻求解答，展示思维过程； 2、教师点评，总结解法一：定义法； 用计算机演示动点P 的轨迹图形，学生观察运动变化规律。 教师提问：例1的解答还有其他方法吗？ 学生观察分析：动点P 的轨迹依赖圆上点B 的变化；
解法二：设P ),(),,(11y x B y x ，由中点坐标公式得： ?? ???+=+=202611y y x x ∴???=-=y y x x 26211∵B ),(11y x 在圆922=+y x 上,∴92121=+y x ∴9)2()62(22=+-y x ∴4 9)3(22=+-y x 教师总结解法二：坐标转移法，并把例1进行的拓展： 变化A 点的位置探求点P 的轨迹方程（1） A 在圆上 （2）A 在圆内 变化P 点位置探求点P 的位置关系（1）P 分AB 的比为2：1 （2）P 在的延长线上，使BP AB = 学生回答在上述四种情况中如何解答？ 例2 自圆外一点A （6，0）引圆922=+y x 的割线ABC ，求弦BC 的中点P 的轨迹方程。 定义法 解法一：∵OP ⊥AP,取OA 中点M 则M(3，0)，|PM|=3， 由圆的定义得P 点轨迹方程为0622=-+x y x 几何法 1 解法二：设P ),(y x ，连OP ，则OP ⊥BC 14 ,-=-?⊥x y x y k k BC OP 即，即0422=-+x y x ，当0=x 时P 点坐标为（0，0）是方程的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为0422=-+x y x （在圆的内部分） 几何法2 解法三 ：设P ),(y x ，连OP ，=),(y x ,=),6(y x --,∵⊥， ∴·=0,0)()6(=-+-y y x x ，0622=-+x y x （在圆的内部分） 几何法2 解法四 ：设P ),(y x ，连OP ，OP =),(y x ,PA =),6(y x --,∵OP ⊥PA ， ∴OP ·=0,0)()6(=-+-y y x x ，0622=-+x y x （在圆的内部分） 坐标转移法 解法五：设 ),,(),,(2211y x C y x B ),(y x P 则 4212 1=+y x …..①
圆锥曲线第1讲 椭圆 【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义： 平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。 注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离 2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下： （ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。 注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义： 平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<
注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。 （1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设 其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 22=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦 点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质 以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。 （1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-； （2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称； （3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ，),0(2b B -； （4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2； （5）长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=； （6）准线方程：c a x 2 ± =； （7）焦准距：c b 2 ； （8）离心率： a c e = 且10< 高一数学必修二《圆与方程》知识点整理 一、标准方程 () ()2 2 2 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P 例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式 圆心在原点 ()2 2 2 0x y r r +=≠ 过原点 ()()()22 22220x a y b a b a b -+-=++≠ 圆心在x 轴上 ()()2 2 2 0x a y r r -+=≠ 圆心在y 轴上 ()()2 2 2 0x y b r r +-=≠ 圆心在x 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x a y a a -+=≠ 圆心在y 轴上且过原点 ()()2 2 2 0x y b b b +-=≠ 与x 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b b b -+-=≠ 与y 轴相切 ()()()2 2 2 0x a y b a a -+-=≠ 与两坐标轴都相切 ()()()22 2 0x a y b a a b -+-==≠ 二、一般方程 ()2 2 2 2 040x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.22 0Ax By C xy D x Ey F +++++=表示圆方程则 2222 000 4040A B A B C C D E AF D E F A A A ?? =≠=≠???? =?=????+->??????+-?> ? ???? ??? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材122P 例r 4 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 m i n P A A N r A C ==- m a x P A A M r A C = = + 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直A C ） 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 求与圆有关的轨迹方程 ［概念与规律］求轨迹方程的基本方法。 （1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。 （2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题，其步骤是：设动点M（x，y），已知曲线上的点为N （x o, y o）, 求出用x，y表示x o，y o的关系式，将（x o, y o）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。 （3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。 （4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。 （5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。 ［讲解设计］重点和难点 例1 已知定点A（4，o ），点B是圆x2+y2=4上的动点，点P分AB的比为2：1，求点P的轨迹方程。 例2 自A（4，0）引圆x2+y2=4的割线ABC求弦BC中点P的轨迹方程。 方法一：（直接法）设P（x，y），连接OP则OPL BC 』-=一止 当x^0 时，k op ■ k AP=—1，即TT x—4 即x2+ y2—4x = O.① 当x= O时，P点坐标（0,0）是方程①的解， BC中点P的轨迹方程为x2+ y2—4x= O（在已知圆内的部分）. 方法二：（定义法） 由方法一知OPtAP,取OA中点M 则M2,0）, |PM =2 I OA = 2， 由圆的定义知，P的轨迹方程是（x —2）2+ y2= 4（在已知圆内的部分）. 例3 已知直角坐标平面上的点Q（2, 0）和圆C: x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数 （0）,求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。 设直线MN切圆于N,则动点M组成的集合是：P={M||MN|= J'|MQ|} T圆的半径|ON|=1，二|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1 , 设点M的坐标为（x, y）,则j 整理得（x-4）2+y2=7 . ???动点M的轨迹方程是（x-4 ）2+y2=7 . 它表示圆，该圆圆心的坐标为（4 , 0）,半径为越 例4 如图，已知两条直线11：2x-3y+2=0 , I2: 3x-2y+3=0，有一动圆（圆心和半径都在变化）与丨1,丨2都相交, 并且I 1与I 2被截在圆内的两条线段的长度分别是26和24,求圆心M的轨迹方程。 设动圆的圆心为M（x,y）,半径为r,点M到直线1* 2的距离分别为d1和dz 由弦心距、半径、半弦长间的关系得， 蒙日圆定理(解析几何 证法) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 2 蒙日圆定理 （纯解析几何证法） 蒙日圆定理的内容： 椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。 如图，设椭圆的方程是22 221x y a b +=。两切线PM 和PN 互相垂直，交于点P 。 求证：点P 在圆2222x y a b +=+上。 证明： 若两条切线中有一条平行于x 轴时，则另一条必定平行于y 轴，显然前者通过短轴端点，而后者通过长轴端点，其交点P 的坐标只能是： (),special P a b ±± (1) 它必定在圆2222x y a b +=+上。 现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。可设两条切线方程如下： :PM y kx m =+ (2) 1 :PN y x n k =-+ (3) 联立两切线方程(2)和(3)可求出交点P 的坐标为： ()222,1 1n m k nk m P k k -??+ ?++?? (4) 从而P 点距离椭圆中心O 的距离的平方为： ()22 22 222222111 n m k nk m OP k k n k m k -????+=+????++????+= + (5) 3 现将PM 的方程代入椭圆方程，消去y ，化简整理得： 22222221210k km m x x a b b b ???? +++-= ? ????? (6) 由于PM 是椭圆的切线，故以上关于x 的一元二次方程，其判别式应等于0，化 简后可得： ()22 22 2211b m m b a k ??=+- ??? (7) 对于切线PN ，代入椭圆方程后，消去y ，令判别式等于0，同理可得： ()22 222 21b n k n b a ??=+- ??? (8) 为方便起见，令： 22222,,,,a A b B m M n N k K ===== (9) 这样(7)和(8)就分别化为了关于M 和N 的一元一次方程，不难解出： M B AK =+ (10) A N B K =+ (11) 将(10)和(11)代入(5)，就得到： 2 221 NK M OG A B a b K +==+=++ (12) 证毕。 第4章 圆与方程 §4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 【课时目标】 1．用定义推导圆的标准方程，并能表达点与圆的位置关系．2．掌握求圆的标准方程的不同求法． 1．设圆的圆心是A (a ，b )，半径长为r ，则圆的标准方程是________________，当圆的圆心在坐标原点 时，圆的半径为r ，则圆的标准方程是________________． 2．设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，点P 在圆外?________；点P 在圆上?________；点P 在圆内?________． 一、选择题 1．点(sin θ，cos θ)与圆x 2＋y 2＝12 的位置关系是( ) A ．在圆上 B ．在圆内 C ．在圆外 D ．不能确定 2．已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外 D ．无法判断 3．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝1 B ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝1 C ．(x －4)2＋(y －3)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －4)2＝1 5．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆 6．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上．则此圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52 D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52 二、填空题 7．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程是________________________________________________________________________． 8．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________． 9．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是________． 三、解答题 10．已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆心为C 的圆的标准方程． 专题一求圆的轨迹方程 教学目标： 1、掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的 形式求圆的方程； 2、掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程 3、理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。 教学重难点： 1、掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆 的方程； 2、会求曲线的轨迹方程（圆） 教学过程： 第一部分知识点回顾 一、圆的方程 : 1 .圆的标准方程：x a? y b 2 r2o 2 ?圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0（D2+ E2—4F 0） 特别提醒：只有当D2+ E2—4F 0时，方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圆心为（D, E）,半径为1~E2~4F的圆 2 2 2 思考：二元二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是什么？ 答案：（A C 0,且 B 0 且D2 E2 4AF 0 ））； 3 .圆的参数方程：y a r s°s (为参数)，其中圆心为(a,b)，半径为 r 。圆的参数方程的主要应用是三角换元: (3) 已知P( 1, -3)是圆y ；；煮(为参数，0 2 )上的点，则圆的 普通方程为，P 点对应的 值为，过P 点的圆的切线方程是 (答：x 2 y 2=4 ； — ； x ,3y 4 0)； 3 (4) 如果直线l 将圆：x 22-240平分，且不过第四象限，那么I 的斜率 的取值范围是_ (答: [0 , 2]); (5) 方程x 22 - 0表示一个圆，则实数k 的取值范围为(答：k 丄)； (6) 若 M {(x, y) | y 3sos (为参数，0 )}， N (x, y) | y x b , 若MN ，则b 的取值范围是(答：-33& ) 二、点与圆的位置关系：已知点M x 0 ,y 0 及圆C: x-a $ y b ? r 2 r 0 , (1) 点 M 在圆 C 外 |CM | r x 0 a 2 y 。b 2 r 2; (2) 点 M 在圆 C 内 CM| r x 0 a 2 y 。b 2 r 2; (3) 点 M 在圆 C 上 CM r x 0 a $ y 0 r 2。女口 点P(5a+1,12a)在圆(x -1 )2 + y 2=1的内部，则a 的取值范围是(答: 2 ^22, r x r cos , y r sin ； x y t x r cos ,y r sin (0 r .,t)。 X i ,y i ,B X 2,y 2为直径端点的圆方程 x x 1 x X 2 y y 1 y y 2 0 如 (1) 圆C 与圆(X 1)2 y 2 1关于直线y x 对称， 则圆 C 的方程为 (答: x 2 (y 1)2 1); (2) 圆心在直线2x y 3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 (答: (x 3)2 (y 3)2 9或(x 1)2 (y 1)2 1 )； 07-05 圆的方程 点一点——明确目标 掌握圆的标准方程、一般方程、参数方程，能根据需要选择园方程的恰当形式解决问题. 做一做——热身适应 1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是 . 解析：由D 2+E 2－4F >0，得7t 2－6t －1<0， 即－ 7 1 第11讲 解析几何之直线与圆的方程 一．基础知识回顾 （一）直线与直线的方程 1．直线的倾斜角与斜率：(1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．②倾斜角的范围为__________．(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝____________. 2．直线的方向向量：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的一个方向向量为P 1P 2→，其坐标 为________________，当斜率k 存在时，方向向量的坐标可记为(1，k)． 3 4.12112212M 的坐标为(x ，y)，则????? x ＝ ，y ＝ ，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 二．直线与直线的位置关系 1．两直线的位置关系：平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． (1)两直线平行：对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2?_________________.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2B 2C 2≠0)，l 1∥l 2?________________________. (2)两直线垂直：对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2?k 12k 2＝____.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝____. 2．两条直线的交点：两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l 1和l 2的________，因此，l 1、l 2是否有交点，就看l 1、l 2构成的方程组是否有________． 3.常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是：Ax ＋By ＋m ＝0 (m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0 (m ∈R)； (3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0 (λ∈R)，但不包括l 4．平面中的相关距离：(1)两点间的距离平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|＝____________________.(2)点到直线的距离：平面上一点P (x 0，y 0)到一条直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝_______________.(3)两平行线间的距离已知l 1、l 2是平行线，求l 1、l 2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2之间的距离d ＝________________. 三．圆与圆的方程 1．圆的定义：在平面内，到________的距离等于________的点的________叫圆． 2．确定一个圆最基本的要素是________和________． 3．圆的标准方程；(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r >0)，其中________为圆心，____为半径． 4．圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是__________________，其中 圆心为___________________，半径r ＝____________________________. 四．点线圆之间的位置关系 1．点与圆的位置关系：点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点 与圆有关的轨迹方程 的求法 与圆有关的轨迹方程的求法 若已知动点P 1（α ,β）在曲线C 1：f 1（x,y ）=0上移动，动点P （x,y ）依动点P 1而动，它满足关系： ? ??βα=βα=),(),(y y x x ① 则关于α 、β反解方程组①，得???=β=α) ,(),(y x h y x g ② 代入曲线方程f 1（x,y ）=0，即可求得动点P 的轨迹方程C ：f （x,y ）=0. 例1、（求轨迹）：已知线段AB 的端点B 的坐标是（4，3），端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. 【例2】已知点A (3，0)，点P 在圆x ２+y ２=1的上半圆周上，∠AOP 的平分线交PA 于Q ，求点Q 的轨迹方程. 【法一】如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0>0)，Q (x ，y ). ∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴ 3 1||||==OQ OP QA PQ ， ∴Q 分PA 的比为31 . ∴???????=-=????? ??????=+?+=+=+?+=y y x x y y y x x x 3413443311031)1(43311313000000即 又因2020y x +＝１，且y 0>0，∴19164391622 =+??? ??-y x . ∴Q 的轨迹方程为)0(16 9)43 (22>=+-y y x . 例3、已知圆,422=+y x 过A （4，0）作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程为（ ） A ．4)1(22=+-y x B ．)10(4)1(22<≤=+-x y x C ．4)2(22=+-y x D ．)10(4)2(22<≤=+-x y x 变式练习 1：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，M 是线段AB 上的一点，且 3 1=，则点M 的轨迹方程是 解：设),(),,(11y x A y x M .∵31=，∴),3(3 1),(11y x y y x x --=--， ∴???????-=--=-y y y x x x 31)3(3111，∴??? ????=-=y y x x 3413411.∵点A 在圆122=+y x 上运动，∴ 12121=+y x ，∴1)34()134(22=+-y x ，即16 9)43(22=+-y x ，∴点M 的轨迹方程是16 9)43(22=+-y x . 2：已知定点)0,3(B ，点A 在圆122=+y x 上运动，AOB ∠的平分线交AB 于点M ，则点M 的轨迹方程是 . （数学2必修）第四章 圆与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 １．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A ．22(2)5x y -+= B ．22(2)5x y +-= C ．22(2)(2)5x y +++= D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．2 21+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与 圆22 240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ） A ．37-或 B ．2-或8 C ．0或10 D ．1或11 5．在坐标平面，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x 二、填空题 1．若经过点(1,0)P -的直线与圆03242 2=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________. 2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0 ,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。 3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 . ４．已知圆()4322 =+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________。 《圆与方程》知识点整理 一、标准方程()() 222 x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材 119 P例2 ②利用平面几何性质 往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理 二、一般方程 () 2222 040 x y Dx Ey F D E F ++++=+-> 1.220 Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则 22 22 00 00 40 40 A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠ ? ? ?? =?= ?? ??+-> ? ???? ?+-?> ? ? ????? ? 2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法： 3.2240 D E F +->常可用来求有关参数的范围 三、圆系方程： 四、参数方程： 五、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值： （1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 m i n P A A N r A C ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC） 六、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离） （1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形 ②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l 与圆C 相切意味着什么？ 圆心C 到直线l 的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程 ①切线条数 点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i ）点在圆外 如定点()00,P x y ，圆：()()222x a y b r -+-=，[()()22 200x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=- 第二步：通过d r =k ?，从而得到切线方程 特别注意：以上解题步骤仅对k 存在有效，当k 不存在时，应补上——千万不要漏了！ 如：过点()1,1P 作圆22 46120x y x y +--+=的切线，求切线方程. 答案：3410x y -+=和1x = ii ）点在圆上 1） 若点()00x y ，在圆222x y r +=上，则切线方程为200x x y y r += 会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目. 2） 若点()00x y ，在圆()()22 2x a y b r -+-=上，则切线方程为 ()()()()200x a x a y b y b r --+--= 碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果. 由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数. ③求切线长：利用基本图形，222AP CP r AP =-?= 3.直线与圆相交 （1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理．．．．及勾股定理——常用 与圆的轨迹方程文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 求与圆有关的轨迹方程 [概念与规律] 求轨迹方程的基本方法。 （1）直接法：这是求动点轨迹最基本的方法，在建立坐标系后，直接根据等量关系式建立方程。 （2）转移法（逆代法）：这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问 题，其步骤是：? 设动点M（x，y），已知曲线上的点为N（x 0，y ）， ? 求出用x，y表示x 0，y 的关系式， ? 将（x 0，y ）代入已知曲线方程，化简后得动点的轨迹方程。 （3）几何法：这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。 （4）参数法：这种方法是通过引入一个参数来沟通动点（x，y）中x，y之间的关系，后消去参数，求得轨迹方程。 （5）定义法：这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。 [讲解设计]重点和难点 例1 已知定点A（4， 0），点B是圆x2+y2=4 上的动点，点P分AB的比为2：1，求点P的轨迹方程。 例2 自A（4，0）引圆x2+y2=4的割线ABC，求弦BC中点P的轨迹方程。 方法一：(直接法)设P(x，y)，连接OP，则OP⊥BC， 当x≠0时，k OP·k AP＝－1，即 即x2＋y2－4x＝0. ① 当x＝0时，P点坐标(0,0)是方程①的解， ∴BC中点P的轨迹方程为x2＋y2－4x＝0(在已知圆内的部分)． 方法二：(定义法) 由方法一知OP⊥AP，取OA中点M，则M(2,0)，|PM|＝|OA|＝2， 由圆的定义知，P的轨迹方程是(x－2)2＋y2＝4(在已知圆内的部分)． 例3 已知直角坐标平面上的点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长 > 设直线MN切圆于N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=√2|MQ|} 轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆的例题： 1、 必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程： 必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程;（一般地：必修2课本P 144B 组2：已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程（分m =1，与m ≠1进行讨论） 2、 必修2课本P 122例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆 1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。 （2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。 如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1= 2 ,241+= +y y x ,代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得24 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. 在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． （2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. 必修2 第四章 圆与方程复习小结 一、知识点归纳 （一）．圆的两种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，表示_____________． （2）圆的一般方程 022=++++F Ey Dx y x ． ①当D 2＋E 2 －4F ＞0时，方程 ② 表示（1）当0422>-+F E D 时，表示__________； ： ②当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2 E y -=，即只表示_______； ③当0422<-+ F E D 时，方程_____________________________________________． 综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆． （二）．点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在_____；（2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在______； （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在______． （三）．直线与圆的位置关系 设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2 ,2(E D --到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： # （1）当r d >时，直线l 与圆C ______；（2）当r d =时，直线l 与圆C ________； （3）当r d <时，直线l 与圆C ________． （四）．圆与圆的位置关系 设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C _______；（2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C ______； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C ____；（4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C ___； （5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C ______．高一数学必修二《圆与方程》知识点整理
与圆有关的轨迹方程
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