专题一求圆的轨迹方程
教学目标：
1、掌握直线与圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的
形式求圆的方程；
2、掌握直线与圆的位置关系，可以应用直线与圆的位置关系求圆的方程
3、理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。
教学重难点：
1、掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆
的方程；
2、会求曲线的轨迹方程（圆）
教学过程：
第一部分知识点回顾
一、圆的方程 :
1 .圆的标准方程：x a? y b
2 r2o
2 ?圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0（D2+ E2—4F 0）
特别提醒：只有当D2+ E2—4F 0时，方程x2 y2 Dx Ey F 0才表示圆心为（D, E）,半径为1~E2~4F的圆
2 2 2
思考：二元二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0表示圆的充要条件是什么？
答案：（A C 0,且 B 0 且D2 E2 4AF 0 ））；
3 .圆的参数方程：y a r s°s
(为参数)，其中圆心为(a,b)，半径为
r 。圆的参数方程的主要应用是三角换元:
(3) 已知P( 1, -3)是圆y ；；煮(为参数，0
2 )上的点，则圆的
普通方程为，P 点对应的 值为，过P 点的圆的切线方程是
(答：x 2 y 2=4 ； — ； x ,3y 4 0)；
3
(4) 如果直线l 将圆：x 22-240平分，且不过第四象限，那么I 的斜率 的取值范围是_
(答: [0 , 2]);
(5) 方程x 22
- 0表示一个圆，则实数k 的取值范围为(答：k 丄)； (6) 若 M {(x, y) | y 3sos (为参数，0
)}， N (x, y) | y x b ,
若MN ，则b 的取值范围是(答：-33& )
二、点与圆的位置关系：已知点M x 0
,y 0
及圆C: x-a $ y b ? r 2 r 0 ,
(1) 点 M 在圆 C 外 |CM | r x 0 a 2 y 。b 2 r 2; (2) 点 M 在圆 C 内 CM| r x 0 a 2 y 。b 2 r 2; (3) 点 M 在圆 C 上 CM
r
x 0
a $
y 0
r 2。女口
点P(5a+1,12a)在圆(x -1 )2
+ y 2=1的内部，则a 的取值范围是(答:
2 ^22,
r x r cos , y r sin ； x y t
x r cos ,y r sin
(0 r .,t)。
X i ,y i ,B X 2,y 2为直径端点的圆方程
x x 1
x X 2 y
y 1 y y 2
0 如
(1) 圆C 与圆(X 1)2
y 2 1关于直线y
x 对称， 则圆
C 的方程为
(答:
x 2 (y 1)2 1);
(2) 圆心在直线2x
y 3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是 (答:
(x 3)2 (y 3)2
9或(x 1)2 (y 1)2 1 )；
三、直线与圆的位置关系：
直线l : Ax By C 0和圆C：x a2y b 2r2r 0有相交、相离、相切。
可从代数和几何两个方面来判断：
（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：
0 相交；0 相离；0 相切；
（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：
设圆心到直线的距离为d，则d r相交；d r相离；d r相切。
提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。如
（1）圆2x2 2y2 1 与直线xsin y 1 0（ R, —k ，k z）的位置关
系为（答：相离）；
（2）若直线ax by 3 0与圆x2 y2 4x 1 0切于点P（ 1,2），则ab的值
（答:2）
；
（3）直线x 2y 0被曲线x2 y2 6x 2y 15 0所截得的弦长等于 ___________
（答:4、
5）；
（4）一束光线从点A（- 1,1）出发经x轴反射到圆C:（2）2+（3）
2=1上的
最短路程是_____
（答:4 ）
；
(5)已知M(a,b)(ab 0)是圆O : x2 y2r2内一点，现有以M为中点的弦
所在直线m和直线l: ax by r2，则
A. m//l，且l与圆相交 B . l m，且1与圆相交
C. m//l，且l与圆相离 D . l m,且l与圆相离
3 / 16
（答：C ）；
（6）已知圆C ： X 2 （y 1）2 5，直线 L : mx y 1 m 0。 ①求证：对m R ， 直线L 与圆C 总有两个不同的交点；②设L 与圆C 交于A 、B 两点，若AB .17， 求L 的倾斜角；③求直线L 中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程 .
（答：②60。或120。
③最长：y 1，最短：X 1）
第二部分 直线与圆的典型例题
一、求圆的轨迹方程 1、用定义法求圆的轨迹方程
圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程。
分析:配成圆的标准方程再求解 m 3 4 m 2 1
消去 m 得 y 4(X 3)2 1，由 m ( 1,1)得 3 ^°,4
注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取 值范围，如题中x
20
,4
变式1 方程ax 2 ay 2 4（a 1）x 4y 0表示圆，求实数a 的取值范围，并 求出其中半径最小的圆的方程。
设方程 x 2 y 2 2(m 3)x 2(1 4m 2)y 16m 4
9 0，若该方程表示一个
解：配方得:
2
x (m 3)
2
2
2
y (1 4m 2
)
1 6m 7m 2
该方程表示圆，则有1 6m 7m 2
0，得m （ 1，1），此时圆心的轨迹方程
所求的轨迹方程是y 4（X 3）2
1，x
20 ,4
7
2 2
解：原方程可化为X 2(a 1) (y 2)2空
a
a a
Q a 2 2a 2 0,当
a 0时，原方程表示圆。
又 r
4(a 2-fa —2) 洁 2(a ： 4a 4)
2 2 a 2
耳
\ a 2
a 2
V
a 2
当a 2,rm^ 2，所以半径最小的圆方程为 x 厂y 2
2、用待定系数法求圆的轨迹方程
例2求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并 判断点P(2,4)与圆的关系.
分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要 判断点P 与圆的位置关系，只须看点 P 与圆心的距离和圆的半径的大小关 系，若距离大于半径，贝V 点在圆外；若距离等于半径，贝V 点在圆上；若距 离小于半径，贝V 点在圆内.
解法一：(待定系数法)
解之得：a 1 , r 2 20
解法二：(直接求出圆心坐标和半径)
因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上， 又因为
k AB I 1，故I 的斜率为
1,又AB 的中点为(2,3)，故AB 的垂直平
1 3
分线I 的方程为：y3x2即x y 1 0 .
解析几何-求圆的轨迹方程(专题一)师用
设圆的标准方程为(x a)2 (y b)2
r 2
I 圆心在y 0上，故b 0 .
二圆的方程为 (x a)2 y 2 r 2
又T 该圆过A(1,4)、B(3,2)两点.
(1 (3
a)2
16
a)2 4 2
r 2
r
所以所求圆的方程为(x 1)2 y 2
20
又知圆心在直线y 0上，故圆心坐标为C( 1,0)
二半径r AC、;(1 1)24 V20 .
故所求圆的方程为(x 1)2寸20 .
又点P(2,4)到圆心C( 1,0)的距离为
d |PC J(2 1)242V25 r . ???点P 在圆外.
说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半
径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
例3 求半径为4,与圆x2 y2 4x 2y 4 0相切，且和直线y 0相切的
圆的方程.
分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解.
解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(x a)2 (y b)2 r2.
圆C与直线y 0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为G(a,4)或C2(a, 4). 又已知圆x2 y2 4x 2y 4 0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.
若两圆相切，则CA 4 3 7或CA 4 3 1 .
(1) 当G(a,4)时，(a 2)2 (4 1)2 72，或(a 2)2 (4 1)2 12(无解)，故可得 a 2 2 10 .
?所求圆方程为(x 2 2 10)2 (y 4)2 42，或(x 2 2 10)2 (y 4)2 42.
(2) 当C2(a, 4)时，(a 2)2 ( 4 1)2 72，或(a 2)2 ( 4 1)2 12(无解)，故 a 2 26 .
二所求圆的方程为(x 2 2、6)2 (y 4)2 42，或(x 2 2、.6)2 (y 4)2 42. 说明：对本题，易发生以下误解：
由题意，所求圆与直线y 0相切且半径为4,则圆心坐标为C(a, 4)，且方程形如(x a)2 (y 4)2 42.
又圆x2 y2 4x 2y 4 0，即(x 2)2 (y 1)2 32，其圆心为A(2,1)，半径为3. 若两圆相切，则CA 4 3 .故(a 2)2(4 1)272，解之得a 2 2 10 .
所以欲求圆的方程为(x 2 2.10)2 (y 4)242，或(x 2 2..10)2(y 4)242.
上述误解只考虑了圆心在直线y 0上方的情形，而疏漏了圆心在直线
y 0下方的情形.另外，误解中没有考虑两圆内切的情况. 也是不全面的. 点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：
(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；
(2)根据几何
关系(如本例的相切、弦长等)建立方程求得a、b、r
或D、E、F ；
(3)待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数
3 、用几何方法求圆的轨迹方程
例4设圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l：x 2y 0的距离最小的圆的方程。
分析:注意挖掘题目的条件，充分利用圆的几何性质解决问题.
解法一:
设圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|, |a|。
由题设圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90，知圆P截x轴的弦长为
2r，故r2 2b2
又圆P截y轴所得的弦长为2,所以有r2 a2 1.从而得2b2 a2 1
又点P(a,b)到直线x 2y 0的距离为 d |a 2b|
75
所以当且仅当a b 时上式等号成立，此时5d 2 3 4 1，从而d 取得最小值. 解此方程组得
由于r 2 2b 2知r 、、2于是，所求圆的方程是:
(x 1)2 (y 1)2
2或(x 1)2 (y 1)2
2
解法二:同解法一得
将a 2 2b 2 1代入上式，整理得 2b 2 4、-5db 5d 2仁0②
把它看作b 的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即
8(5d 2
1) 0，得 5d 2
1
所以5d 2有最小值1，从而d 有最小值 上
5
2
将其代入②式得2b ± 42=0.解得土 1.
2 2 2 22
将土 1代入r =2b ,得r =2.由r +1得土 1.
2
综上 土 1 ± 1 =2.
由丨2b | =1知同号.于是,所求圆的方程是 (x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2
点拨:求圆的方程通常有两类方法，一是几何法，即通过研究圆的性质、 直线和圆、圆和圆的位置关系进而求得圆的基本量(圆心、半径)和圆的 方程，二是代数法，即根据题意设出圆的方程，再利用条件得到有关方程系 数的方程组，解方程组得到方程系数，从而求出圆的方程. 4 、直线与圆的位置关系
2b
5d 2
得a 2 4b 2
解析几何-求圆的轨迹方程(专题一)师用
例5在平面直角坐标系xoy 中，已知圆心在第二象限、半径为 2 2的 圆C 与直线y x 相切于坐标原点0，求圆C 的方程。
解：(1)设圆心坐标为(m n ) (m <0，n >0),则该圆的方程为()2+() 2=8 已知该圆与直线相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则
又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 m 22=8 联立方程①和②组成方程组解得 故 圆的方程为⑵2+(2) 2=8
点拨:解决圆的综合问题时，一方面要充分利用圆的平面几何知识来解决问 题,另一方面还要注意几何问题代数化的思想运用
第三部分
课堂练习
1. 关于的方程220表示一个圆的充要条件是 0且工0巴4 > 0
2. 过点P(-8 , -1) , Q(5, 12) , R(17, 4)三点的圆的圆心坐标是(5,
3. 若两直线2k 与21的交点P 在圆x 22=4的内部，则k 的范围是-k 1
5
4. 已知圆心为点(2, -3 ), 一条直径的两个端点恰好落在两个坐标轴 上，则这个圆的方程是x 2 y 2 4x 6y 0
5. 直线31与曲线x 22=4相交于A B 两点，则的中点坐标是
10 10
6. 方程x | 1 J 1 (y 1)2表示的曲线是_两个半圆
7. 圆(x 3)2 (y 4)2
2关于直线x y 0的对称圆的方程是
m n|
.2
=2 2 即 m n =4
(X 4)2 (y 3)2 2
8. 如果实数X、y满足等式X 2 2y23，那么-的最大值是_2
x
9. 已知点A( 1,1)和圆C：(x 5)2 (y 7)2 4，求一束光线从点A经X轴反射到圆周C的最短路程为8
10. 求经过点A(5,2)(3,2), 圆心在直线2x—y—3=0上的圆的方程；
解：设圆心P(X oo),则有“0号3° 2 2 2,
(x o 5) (y°2) (X° 3) (y°2)
解得x 0=4, y 0=5,
二半径.1°, ???所求圆的方程为(x —4) 2+(y —5) 2=10
11. 一圆与y轴相切，圆心在直线x-3°上，且直线截圆所得弦长为
2 .7，求此圆的方程
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x- 30上，故设圆方程为(x 3b)2 (y b)2 9 b2 又因为直线截圆得弦长为2.7 ,
贝y有(|3b_b|)2( 7)29b2, 解得土 1
故所求圆方程为(x 3)2 (y 1)2 9或(x 3)2 (y 1)2 9
点拨:(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；(2)待定系数法；(3)尽量利用几何关系求a、b、r或D、E、F.
12. 在直角坐标系xOy中，以0为圆心的圆与直线x x 3y 4相切.
(1)求圆O的方程；
(2)圆O与x轴相交于A, B两点，圆内的动点P使PA ,PO,PB成等比数列，求PAgPB的取值范围.
解：(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x ,3y 4的距离，
10 / 16
即r
I 4 3 2
■ 得圆0的方程为x 2 y 2 4 ?
(2)不妨设 A(x 1,0, B(X 2,0, X !
A( 2,0), B(2,0).
由此得y 2 1 .
所以PAgPB 的取值范围为［2,0).
第四部分作业练习
1.点P (a , b ), Q (1 , a - 1)关于直线L 对称，则L 的方程是x
—y — 1=0
2 .过点P (2, 1)且被圆X 22 — 240,截得的弦长最大的直线的方程是 3x — y — 5=0
3. 如果点(4, a )到直线4x 3y 1 0的距离不大于3,那么a 的取值 范围是[0, 10]
4. 直线kx y 1 3k 0,当k 变动时，所有直线都过定点(3, 1 )
X 2 .由X 2 4即得
设
P(x , y)
由 PA , PO , PB 成 等 比 数 列
2 由于点P 在圆0内，故
* * * * * x
2
x
2
y
2
y
4, 2.
5 .直线X 2ay 1 0和直线(3a 1)x ay 1 0平行的充要条件是a -或0
6
6. 方程x22-2( 3) 2(1 -4t2)16t2+9=0(t € R)表示圆方程，则t的取值范围是-1 t 1
7
7?点A是圆C: x2 y2 ax 4y 5 0上任意一点关于直线x 2y 1 0的对称点也在圆C 上则实数a的值为辺0_
8.过圆x22=4外一点P(4 , 2)作圆的两条切线，切点为A B,则△的外接圆方程是(2) 2+(1) 2=5
9 . M(x0，y。)为圆x2 y2 a2(a 0)内异于圆心的一点，贝V直线x°x y°y a2 与该圆的位置关系为相离(填相切、相交、相离)
10. 设直线ax y 3 0与圆(x 1)2 (y 2)2 4相交于A、B两点，且弦AB的长为2 -.3，则a 0
11. 已知圆C过点A( 41),且与圆x2 y2 2x 6y 5 0相切于点B( 1,2 ), 则圆C
的方程为x 32y 1 25
12. 若点(x, y)在直线3x 4y 25 0上移动，则x2y2的最小值为25
13. 过点(1八2)的直线|将圆(x 2)2 y2 4分成两段弧，当劣弧所对的圆心
角最小时，直线I 的斜率k 二空
2
14.若圆X 2 y 2 4x 4y 10 0上至少有三个不同点到直线 I : ax by 0的
距离为2右 则直线I 的倾斜角的取值范围是
一,乞
12 12
15. 已知A(0,3)、B(-1,0)、C(3,0)求点D 的坐标，使四边形为等腰梯 形.
解：设 D(xy)，若 ABPCD ，则 K AB K CD ，AD |BC ，易得 D( 16?)
5‘5
若 ADPBC ，则由 k A D k B C ，可解得 D(2,3)
AB CD
故点D 的坐标为(乂3)或(2,3)
5 5
16. 已知ABC 的顶点 A 为(3，- 1)，边上的中线所在直线方程为
6x 10y 59 0 , B 的平分线所在直线方程为x 4y 10 0 ,求边所在直线
的方程.
解：设B(4y 1 10, %)，由中点在6x 10y 59 0上， 可得：6 他 7 10 肛」59 0 , y 1 = 5，所
以 B(10,5).
2 2
设A 点关于x 4y 10 0的对称点为A'(x',y'),
17.已知圆C 1 : x 2 y 2 2和圆C 2，直线l 与圆G 相切于点(1,1)；圆C 2的圆
心在射线2x y 0 (x 0)上，圆C 2过原点，且被直线l 截得的弦长为4、3 . (I )求直线l 的方程； (n )求圆C 2的方程.
解：(I )(法一)?点(1,1)在圆 G:x 2 y 2 2 上， 二直线l 的方程为x y 2，即x y 2 0 .
则有
10
A (1 7).故 BC : 2x 9y 65
(法二)当直线I垂直X轴时，不符合题意.
当直线I与X轴不垂直时，设直线I的方程为y 1 k(x 1)，即kx y k 1 0 .
则圆心C i(0,0)到直线I的距离d r 72，即：1 .k21142，解得k 1 , yj k 1二直线I的方程为x y 2 0 .
(H)设圆C2: (x a)2 (y 2a)2 r2 (a 0) ,V 圆C?过原点，二5a2 r2.
二圆C2 的方程为(x a)2 (y 2a)2 5a2 (a 0).
T圆C2被直线I截得的弦长为4、.3，二圆心C2(a,2a)到直线I : x y 2 0的距离：
d 、5^ |a 2a 21.
整理得：a2 12a 28 0，解得a 2或a 14 .
?/ a 0，二 a 2 .
二圆C2 : (x 2)2 (y 4)220 .
18.已知过A ( 0, 1 )和B(4, a)且与x轴相切的圆只有一个，求a的值及
圆的方程.
解：设所求圆的方程为x2 y2 Dx Ey F 0 .因为点A、B在此圆上，
所以E F 1 0，①，
4D aE F a216 0 ②,
又知该圆与x轴(直线y 0)相切，所以由0 D2 4F 0，③
由①、②、③消去E、F可得：丄(1 a)D24D a2a 16 0，④
4
由题意方程④有唯一解，当a 1时，D 4,E 5,F 4 ；当a 1时由0可解
解析几何-求圆的轨迹方程(专题一)师用
这时 D 8, E 17, F 16 .
综上可知，所求a 的值为0或1,当a 0时圆的方程为x 2寸8x 17y 16 0 ; 当a 1时，圆的方程为x 2 y 2 4x 5y 4 0 .
19.已知圆Q x 2 y 2 2交x 轴于A , B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，离心 率为二的椭圆,其左焦点为F .若P 是圆Q 上一点,连结,过原点Q 作直
2
线的垂线交椭圆C 的左准线于点Q (I )求椭圆C 的标准方程;
又椭圆的左准线方程为一2,所以点Q(-2,4) 所以 k pQ 1 ,又 k °p 1,所以 k °p k pQ 1,即 OP PQ , 故直线PQ 与圆0相切
(m )当点P 在圆O 上运动时,直线PQ 与圆O 保持相切 证明:设玖“心、2)
,则
y0
2
Q 所以
k
PF
"Q
所以直线的方程为y 所以点Q(-2,竝二)
y o
y o
(n )若点P 的坐标为(1,1),求证:直线与圆 Q
(m )试探究:当点P 在圆o 上运动时(不与
保持相切的位置关系？若是,请证明; 解：(I )因为a 迈e 子，所以1
A 、R 重合
戋与圆0是否
2
则1,即椭圆C 的标准方程为0
2
(n )因为P (1,1),所以k P F
丄，所以
2
2,所以直线的方程为一
2x(7
X 。1 y 。
第19
若不曰
O 相切；
y
B x
O
2 2 2 2 2 2
,(X 2)
y g(x 2) y x y ,
即 x 2
y 2 2 . urn mu
PAgPB ( 2 x, y)g2 x , y) x 2 4 y 2 2(y 2 1).
解析几何-求圆的轨迹方程（专题一）师用
y o
所以k pQ — x
所以k op k pQ
2x o 2 2
2
y o
y o
(2x o 2)
x o 2x o
o 2 (X 。2) y o
(x o 2)y o
2,又k op 也,
y o
X o
1,即OP PQ ,故直线PQ 始终与圆O 相切