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解析几何专题2圆的方程及应用

《高中数学专题题型分类大全》解析专题二圆的方程及应用

『知识与方法梳理』？

（一）圆的方程的两种形式

方程形式方程相关参数意义

标准式(x - a)1 2+ (y - b)2= r2圆心（a,b）,半径：r

一般式

2 2

x + y2+ Dx + Ey + F = 0 (D2+ E2-

4F > 0 )

圆心(--D，- E )，

半径：

r= 2/ D2+ E2- 4F

(二)点与圆的位置关系的判定

点P(x°, y o). 圆M 方程 (1) (x -a)2 + (y -b)2 = r2;

(2) x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0.

(1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2= r2;

2 2

(2) X0 + y0 + Dx。+ Ey0 + F = 0.

1.点p在圆上.

(1) (X0 -a)2+ (y0 -b)2< r2;

2 2

(2) X。+ y°+ Dx 0 + Ey 0 + F < 0.

2.点P在圆内.

(1)(X。-a)2+ (y°-b)2> r2;

2 2

⑵ X0 + y°+ Dx0 + Ey°+ F > 0

3.点P在圆夕卜.

圆方程点p（x0, y0）到圆上的切线长

1. x2+y2=r2|PT| ^X02+ y02- r2

2 2 2

2. (x-a) 2+(y 七)2=r2|PT| 珂(x°- a)2+( y°- b)2- r2

2 2

3. x2+y2+Dx+Ey+F=0|PT| 珂X02+ y02+ Dx0 + Ey°+F

圆方程切线方程

1. x2+y2=r22

X0X + y°y = r

2 2 2

2. (x-a)2+(y-b)2=r22

(X0 - a)(x - a) + (y0 - b)(y - b) = r

2 2

3. x2+y2+Dx+Ey+F=0

X0X + y°y + D号+ 誓+F = 0

1. 直线I:Ax+By+C=0,圆C: x2+y2+Dx+Ey+F=0 当直线l与圆

C相交时，过两交点的圆的方程可设成

（三）直线与圆的关系

方

法

已

知

细

直

圆

旳

X F

D 4 < +

2 -

一

二

卜

线

：

—

直

圆

2 2

2 C1: x +y +D1x+E1y+F1=0

C2： x2+y2+D2X+E2y+F2=0

(1 )当5与C2相交时，两圆公共弦所在直线方程为

（D1 - D2）X + （E1 - E2）y + （F1 - F2） = 0

（2）当C1与C2相交时，过两圆交点的圆的方程可设为

_x2+y2+D1x+E1y+F1 + X (xhy2+D2x+E2y+F2) = 0_ 或—'"_ _

x2+y2+D j x+E 1y+Fj_+ X [(D- D2)x+(E^ - E2)y+(F 1 - F2)] = 0

相

关

运

算

离

距

= ( d

心

凰

那

判

M+CDX

脚

立

BV2+

尹

耽

用

，

元

{

艄《必修2》解析专题

、圆的方程及应用

圆|G半径D,圆C2半径r2.圆C1与圆C?位置关系.

（1）皿施心内含

(2)也-呵=15。| ;内切

(3)『1-"|<101。2|<口+「2相交

(4) |&。2| =「1 +「2外切

(5) |C1C2l>「1+r2外离

『题型分类例析』？

（一）圆的切线问题

1.切线方程

题型结构特征：求切线方程或相关参数（基础题）.

【例题1】将直线2x-y 0，沿x轴向左平移1个单

位，所得直线与圆x2* y2* 2x-4y=0相切，则实数'的值为（

）

A. _3或7

B. -2或8

C.0或10

D.1 或11 （四）圆与圆位置系的判

定

2.切线长

题型结构特征：已知圆外点，相关点到圆的切线长(基础题).【例题2】从圆C: X2+ y2—6x—8y+ 24= 0外一点P向该圆引切线PT, T为切点，且|PT|=|PO|(O为坐标原点)，则

(1) 1 PT的最小值为___ ；

(2) | PT取得最小值时点P的坐标为_______ ?

3. 切线应用

题型结构特征：有关切线的综合问题(中等题).

【例题3】过直线x+ y— 2. 2 = 0上点P作圆x2+ y2= 1的两条切线，若两条切线的夹角■是60°,则点P的坐标是

〖类型题〗(一)

(二)直线与圆相交弦问题

1. 弦的中点及相关的垂径

题型结构特征：有关圆弦及其中点问题(基础题).

【例题4] 已知圆C1：(x—1)2+ (y—1)2= 9,过点A(2，3) 作圆C的任意弦，求这些弦的中点P的轨迹方程.

【例题5] 若P(2, -1)为圆(x -1)2 y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )

A. x -y -3 =0

B. 2x y -3 =0

C. x y -1 =0

D. 2x y -5 =0

【例题7] [2014 y2+ 2x - 2y + a = 0 截

直线x+ y+ 2 = 0所得弦的长度为4,则实数a的值是()

A ? —2 B.—4 C ? —6 D ? —8

【例题8] 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上

截得线段长为2 2,在y轴上截得线段长为2,3.

(1) 求圆心P的轨迹方程；

(2) 若P点到直线y = x的距离为-孑，求圆P的方程.

【例题9] [2017全国新课标3文20]在直角坐标系xOy中，曲线y = x 2 + mx - 2与x轴交于A , B两点，点C的坐标为

(0,1).当m变化时，解答下列问题：

(1)能否出现AC丄BC的情况？说明理由；

2)证明过A, B, C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

〖类型题〗(二)

1. [2014福建卷]已知直线I过圆X2+ (y—3)2= 4的圆心，且与直

线x+ y+1= 0垂直，则l的方程是()

A ? x+ y—2 = 0

B ? x—y= 2= 0

C? x + y—3= 0 D ? x—y + 3= 0

2. 若圆C：x2+ y2+ 2x —4y+ 3= 0 关于直线2ax + by —4= 0 对

称，贝U a2+ b2的最小值是__ ?

3. [2016 全国1 文15]设直线y=x+2a 与圆C : x2+y2-2ay-2=0 相

交于A,B两点，若则圆C的面积为_________________________ 4. [2016新课标3文15]已知直线l : x_.. 3y，6=0与圆

X2? y2=12交于A,B两点，过A, B分别作l的垂线与x轴交于C, D两点，则|CD _

5. 过点C.2, 0)引直线l与曲线y=-., 1 -x2相交于A , B两点，O为

坐标原点，当厶AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于() .3 3 3 ,■

A.牙B .—专C ?D.—寸3

6. [2014 湖北]直线l1：y = x+ a 和l2：y= x+ b将单位圆C：x2+

y2= 1分成长度相等的四段弧，则a2+ b2 = ______ .

7. [2016江苏18]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心

的圆M: x +y - 12x - 14y + 60 = 0 及其上一点A(2 , 4)

(1) 设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6 上，求圆N的标准方程；

(2) 设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且

BC=OA,求直线l的方程；

(3) 设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q,使得ATPQ 是平行四边形(改)，求实数t的取值范围。

21类型题〗(三)

(三)直线与圆位置关系及其应用问题

1. 位置关系的判断

题型结构特征：判断直线与圆的位置关系(基础题).

【例题10】已知点P(a, b)(ab工0)是圆O：x3 4+ y2= r2内一点，直线I的方程为ax+by+ r2= 0,那么直线I与圆O的位置关系是()

A ?相离B.相切C.相交D ?不确定

【例题11】已知圆x2+ y2—6mx—2(m—1)y + 10m2—2m —

24 = 0(m€ R).

(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线I上；

(2) 与I平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；

(3) 求证：平行于I且与圆相交的直线被圆截得的弦长为定值. 1. [2014安徽卷]过点p(—护，—1)的直线I与圆X2+ y2= 1有公共

点，则直线I的倾斜角的取值范围是()

n n n n

A.(0，6]

B.(0，3]

C.[0，6]

D.[0，3]

2. 平面直角坐标系xOy中，A(_2,0), B( J ,0), P(x。, y°)，满

足：PA<2PB，则直线x)x y)

^1与圆x2y2的公共点个数为.

3. 已知M为圆C：X2+ y2—4x—14y + 45 = 0上任意一点，且

点Q(—2，3).

(1) 求|MQ|的最大值和最小值；

n 一3

(2) 若M(m，n)，求豈+|的最大值和最小值.

※解法辩伪※

判断直线Dx + Ey + F = 0与圆x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的位置关系

: '2 2

〖错解〗由x y .Dx?Ey?F=0,得￡ + y2 = °，即* = y = Dx +Ey +F =0

0,所以方程组只有一组解，因此直线与圆相切.

2. 用位置关系求最值或取值范围

题型结构特征：转化为直线与圆位置关系的数形结合问题(基础

【例题12】已知实数x，y满足方程x2+ y2—4x +1 = 0.

(1)求y的最大值和最小值；

⑵求y —x的最大值和最小值；

(3) 求x2+y2的最大值和最小值.

4. 已知点M(3,1)，直线ax—y + 4= 0 及圆(x—1)2+ (y—2)2= 4.

(1) 求过M点的圆的切线方程；

(2) 若直线ax —y+ 4= 0与圆相切，求a的值；

⑶若直线ax —y+ 4= 0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为2... 3,求a的值.

(四)求圆的方程

题型结构特征：求各种条件下圆的方程(基础题).

※解法辩伪※

■ 2

若曲线y = 一1 - x与直线y =X b始终有交点，则b的i取值

范围是_________________ .

J 『「

〖错解〗由y = 5 6 -X ,得x + b = 1 - x2化为2x2 + 2bx + b2 -

y =X +b

1= 0.

' 曲线与直线有交点时，？ = 4b2 - 8(b2 - 1) > 0.解得-迄<

b < .2 .

3. 直线与圆相离的距离问题题型结构特征：圆上点到直线距离

问题(基础题).

【例题13】圆x2y2_2x -2y *1=0上的点到直线

x - y = 2的距离最大值是( )

3 求圆C的方程；

【例题22】已知圆C过点P(1, 1),且与圆M：(x+ 2)2+ (y

2 2

+ 2) = r (r> 0)关于直线x+y + 2= 0对称.

【例题14】在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f(x)=

x2+ 2x+ b(x€ R)与两坐标轴有三个交点，经过三个交点的圆记为C.

6 求实数b的取值范围；

A.2

B.1 一2

C.[ ?2

D. 1 2 2

【例题15】根据下列条件，求圆的方程：

(1) 经过P(—2，4)、Q(3，—1)两点，并且在x轴上截得的

弦长等于6 ；

(2) 圆心在直线y=—4x上，且与直线I: x+ y—1 = 0相切于点P(3，—2).

【例题16】求过两圆x2+ y2+ 4x+ y=—1，/+y2+2x+ 2y + 1 = 0的交点的圆中面积最小的圆的方程.

〖类型题〗(四)

2. 圆方程划分的区域题型结构特征：将圆方程变为不等式(基础题).

【例题18】设平面点集A = { (x, y) | (y-x) (y-^)> 0}

B= {(x, y)|(x- 1)2+ (y- 1)2< 1}则AQB 所表示的平面图形

的面积为()

3 3

4 n

A.4n

B.5n

C.7n

D.22. 两圆公共弦

题型结构特征：化归为两圆公共弦问题(基础题).

【例题21】过点(3, 1)作圆(x- 1)2+ y2= 1的两条切线，切点分别为A , B，则直线AB的方程为()

A . 2x + y—3= 0 B. 2x- y- 3= 0

C . 4x —y- 3= 0

D . 4x + y —3= 0

3. 联立方程组求解

题型结构特征：通常是与直线综合问题(中等题).

7 求圆C的方程；

8 过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A, B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线

OP和AB是否平行？请说明理由. 【例题19】过点P(3, 0)作一直线I与圆(x+ 2 )2+(y-3) 2= 乡交

3.两圆的对称冋题

于A、B两点，O为坐标原点，若AO_BO,求I的直线方程.

题型结构特征：两圆相关的对称问题(基础题).

圆的参数方程及应用

对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。【解】圆2 2 1x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=? 。则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++? 2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最小值为22-。【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。二、求轨迹例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC=3π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹方程。【解】由∠BAC= 3 π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403π θ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23 π ))，由重心坐标公式并化简，得： 22cos()333 2sin()33x y πθπθ? =++??? ?=+?? ，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， C x y O A B 图1

平面解析几何经典题(含答案)

平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角α的范围0 0180α≤< （2 ）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地，当直线 12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。二、直线的方程 1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式为直线上一定点，k 为斜率不包括垂直于x 轴的直线斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式是直线上两定点不包括垂直于x 轴和y 轴的直线截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线

一般式 A ， B ， C 为系数无限制，可表示任何位置的直线三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离（1）两点间的距离平面上的两点间的距离公式（2）点到直线的距离点到直线的距离；（3）两条平行线间的距离两条平行线间的距离注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算（二）直线的斜率及应用利用斜率证明三点共线的方法：已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。直线的参数方程〖例1〗已知直线的斜率k=-cos α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。

高中数学解析几何专题之椭圆汇总解析版

圆锥曲线第1讲椭圆【知识要点】一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（ 2 12F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离 2 1F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：（ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆；（ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ；（ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为 a MF MF 221=+（c a 22>， c F F 221=），即 2 121F F MF MF >+. 注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件： a MF MF 221=+千万不可忘记。 2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<>b a ）；（2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是122 22=+b x a y （0>>b a ）.

注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或122 22=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 12 2=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质以标准方程122 22=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-；（2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ，),0(2b B -；（4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2；（5）长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为2 2 2 c b a +=；（6）准线方程：c a x 2 ± =；（7）焦准距：c b 2 ；（8）离心率： a c e = 且10<

必修二平面解析几何初步知识点及练习带答案(全)

1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2．直线方程的五种形式：（1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )．注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =．（2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式： 1 21 121x x x x y y y y --=-- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．（4）截距式： 1=+b y a x （ b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)．一般式化为斜截式：B C x B A y -- =，即，直线的斜率：B A k -=．注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =．已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =．已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合． (3)指出此时直线的方向向量：),(A B -，),(A B -，) , ( 2 2 2 2 B A A B A B +-+ （单位向量）；直线的法向量：),(B A ；（与直线垂直的向量）（6）参数式：?? ?+=+=bt y y at x x 00（t 为参数）其中方向向量为),(b a ，) ,(2222b a b b a a ++； a b k = ； 22||||b a t PP o += ；

蒙日圆定理(解析几何证法)

蒙日圆定理(解析几何证法) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

2 蒙日圆定理（纯解析几何证法）蒙日圆定理的内容：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，该圆的半径等于椭圆长半轴和短半轴平方和的算术平方根。如图，设椭圆的方程是22 221x y a b +=。两切线PM 和PN 互相垂直，交于点P 。求证：点P 在圆2222x y a b +=+上。证明：若两条切线中有一条平行于x 轴时，则另一条必定平行于y 轴，显然前者通过短轴端点，而后者通过长轴端点，其交点P 的坐标只能是： (),special P a b ±± (1) 它必定在圆2222x y a b +=+上。现考察一般情况，两条切线均不和坐标轴平行。可设两条切线方程如下： :PM y kx m =+ (2) 1 :PN y x n k =-+ (3) 联立两切线方程(2)和(3)可求出交点P 的坐标为： ()222,1 1n m k nk m P k k -??+ ?++?? (4) 从而P 点距离椭圆中心O 的距离的平方为： ()22 22 222222111 n m k nk m OP k k n k m k -????+=+????++????+= + (5)

3 现将PM 的方程代入椭圆方程，消去y ，化简整理得： 22222221210k km m x x a b b b ???? +++-= ? ????? (6) 由于PM 是椭圆的切线，故以上关于x 的一元二次方程，其判别式应等于0，化简后可得： ()22 22 2211b m m b a k ??=+- ??? (7) 对于切线PN ，代入椭圆方程后，消去y ，令判别式等于0，同理可得： ()22 222 21b n k n b a ??=+- ??? (8) 为方便起见，令： 22222,,,,a A b B m M n N k K ===== (9) 这样(7)和(8)就分别化为了关于M 和N 的一元一次方程，不难解出： M B AK =+ (10) A N B K =+ (11) 将(10)和(11)代入(5)，就得到： 2 221 NK M OG A B a b K +==+=++ (12) 证毕。

圆与方程及应用(1)

第五讲圆与方程及应用一、知识链接 1、圆的定义，圆心，半径的概念 2、圆的方程的标准式，一般式 3、直线与圆的位置关系及判断与应用二、基本问题 1．方程05242 2=+-++m y mx y x 表示圆的条件是（） A ．14 1 << m m 或 C ．41m 2．方程03222 2 2 =++-++a a ay ax y x 表示的图形是半径为r （0>r ）的圆，则该圆圆心在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若方程2 2 2 2 0(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->所表示的曲线关于直线y x =对称，必有（） A ．E F = B ．D F = C ．D E = D ．,,D E F 两两不相等 4．点(1,2-a a )在圆x 2+y 2－2y －4=0的内部，则a 的取值范围是（） A ．－1>-+F F E D 且 B ．0,0>