平面解析几何(圆的方程)

平面解析几何——圆的方程

圆的定义与方程

【知识拓展】

1．确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为 (1)根据题意，选择标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程． 2．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种．

圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0) (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ )

(2)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则以AB 为直径的圆的方程是(x －x 1

)(

x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.( √ ) (3)方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0.( √ ) (4)方程x 2＋2ax ＋y 2＝0一定表示圆．( × )

(5)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 2

0＋Dx 0＋Ey 0＋F ＞0.( √ )

1．(教材改编)将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0

B ．x ＋y ＋3＝0

C ．x －y ＋1＝0

D ．x －y ＋3＝0

答案 C

解析 圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入检验选项C 满足．

2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )

A ．7

B ．6

C ．5

D ．4 答案 B

解析 根据题意，画出示意图，如图所示，

则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m . 因为∠APB ＝90°，连接OP ， 易知|OP |＝1

2|AB |＝m .

要求m 的最大值，

即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离． 因为|OC |＝32＋42＝5， 所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6， 即m 的最大值为6.

3．(2015·北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 答案 D

解析 圆的半径r ＝12＋12＝2，∴圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.

4．(教材改编)圆C 的圆心在x 轴上，并且过点A (－1,1)和B (1,3)，则圆C 的方程为______________． 答案 (x －2)2＋y 2＝10 解析 设圆心坐标为C (a,0)， ∵点A (－1,1)和B (1,3)在圆C 上， ∴|CA |＝|CB |，

即(a ＋1)2＋1＝(a －1)2＋9， 解得a ＝2， ∴圆心为C (2,0)，

∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10.

5．(2016·浙江)已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．

答案 (－2，－4) 5

解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.

当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆.

题型一 求圆的方程

例1 (1)(2016·天津)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455

，则圆C 的方程为________________．

(2)(2015·课标全国Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 2

4＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方

程为________．

答案 (1)(x －2)2＋y 2＝9 (2)????x －322＋y 2＝254

解析 (1)因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a >0， 所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝

2a 5

＝45

5，

解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3， 所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9.

(2)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为 y ＋1＝－2(x －2)，

令y ＝0，解得x ＝32，圆心为????32，0，半径为5

2

. 思维升华 (1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；

②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D 、E 、F 的方程

组，进而求出D 、E 、F 的值．

(2016·湖北八校联考)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成两段弧，弧长之

比为1∶2，则圆C 的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y ±33)2＝4

3

解析 ∵圆C 关于y 轴对称，∴可设C (0，b )，

设圆C 的半径为r ，则圆C 的标准方程为x 2＋(y －b )2＝r 2， 依题意，得?

???

?

12＋(－b )2＝r 2，|b |＝1

2r ，解得???

r 2＝43

，

b ＝±3

3，

于是圆C 的标准方程为x 2＋(y ±33)2＝4

3.

题型二 与圆有关的最值问题

例2 已知点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝1上．求x ＋y 的最大值和最小值． 解 设t ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋t ，t 可视为直线y ＝－x ＋t 在y 轴上的截距，

∴x ＋y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y 轴上的截距．

由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径， 即|2＋(－3)－t |

2

＝1，

解得t ＝2－1或t ＝－2－1.

∴x ＋y 的最大值为2－1，最小值为－2－1. 引申探究

1．在本例的条件下，求y

x

的最大值和最小值．

解 y x 可视为点(x ，y )与原点连线的斜率，y

x 的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的

最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率．

设过原点的直线的方程为y ＝kx ，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k ＋3|k 2＋1

＝1，解得k

＝－2＋233或k ＝－2－233.∴y x 的最大值为－2＋233，最小值为－2－233.

2．在本例的条件下，求x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值和最小值． 解

x 2＋y 2＋2x －4y ＋5＝(x ＋1)2＋(y －2)2，求它的最值可视为求点(x ，y )到定点(－1, 2)的距离的最值，

可转化为圆心(2，－3)到定点(－1,2)的距离与半径的和或差．又圆心到定点(－1,2)的距离为34， ∴x 2＋y 2＋2x －4y ＋5的最大值为34＋1，最小值为34－1. 思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略

(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．

(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －b

x －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，

b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题．

已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求：

(1)y

x 的最大值和最小值； (2)y －x 的最小值；

(3)x 2＋y 2的最大值和最小值．

解 (1)如图，方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆．

设y

x ＝k ，即y ＝kx ，则圆心(2,0)到直线y ＝kx 的距离为半径，即直线与圆相切时，斜率取得最大值、最小值． 由|2k －0|

k 2

＋1

＝3，解得k 2＝3， ∴k max ＝3，k min ＝－ 3. (2)设y －x ＝b ，则y ＝x ＋b ，

当且仅当直线y ＝x ＋b 与圆切于第四象限时，在y 轴上的截距b 取最小值， 由点到直线的距离公式，得|2－0＋b |

2

＝3， 即b ＝－2±6， 故(y －x )min ＝－2－ 6.

(3)x 2＋y 2是圆上的点与原点的距离的平方，故连接OC ， 与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则 (x 2＋y 2)max ＝|OC ′|2＝(2＋3)2＝7＋43， (x 2＋y 2)min ＝|OB |2＝(2－3)2＝7－4 3. 题型三 与圆有关的轨迹问题

例3 (2017·潍坊调研)已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．

解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，

由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，

故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，在Rt △PBQ 中， |PN |＝|BN |.

设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.

故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.

思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法

(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

(2016·天津模拟)设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM 、ON 为两边作平行

四边形MONP ，求点P 的轨迹．

解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为????x 2，y 2，线段MN 的中点坐标为????x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，

故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋4

2.从而?

????

x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，

但应除去两点????－95，125和????－215，28

5(点P 在直线OM 上的情况)．

21．利用几何性质巧设方程求半径

典例 在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程． 思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．

(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．

(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规范解答

解 一般解法 (代数法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，

则有???

1＋E ＋F ＝0，

(3＋22)2＋D (3＋2

2)＋F ＝0，(3－22)2

＋D (3－2

2)＋F ＝0，

解得????

?

D ＝－6，

E ＝－2，

F ＝1，

故圆的方程是x 2＋y 2－6x －2y ＋1＝0.

巧妙解法 (几何法)曲线y ＝x 2－6x ＋1与y 轴的交点为(0,1)，与x 轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)． 故可设C 的圆心为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝(22)2＋t 2，解得t ＝1. 则圆C 的半径为32＋(t －1)2＝3， 所以圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.

1．(2016·南昌检测)圆心在y 轴上，且过点(3,1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0 D ．x 2＋y 2－10x ＝0

答案 B

解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r )，半径为r ，则32＋(r －1)2＝r 2， 解得r ＝5，可得圆的方程为x 2＋y 2－10y ＝0.

2．(2016·昆明一模)方程|x |－1＝1－(y －1)2所表示的曲线是( ) A ．一个圆 B ．两个圆 C ．半个圆 D ．两个半圆

答案 D

解析 由题意得?

????

(|x |－1)2＋(y －1)2

＝1，

|x |－1≥0，

即????? (x －1)2＋(y －1)2＝1，x ≥1，或?????

(x ＋1)2＋(y －1)2

＝1，x ≤－1.

故原方程表示两个半圆．

3．若直线ax ＋2by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－4x －2y －8＝0的周长，则1a ＋2

b 的最小值为( )

A ．1

B ．5

C ．4 2

D ．3＋2 2 答案 D

解析 由题意知圆心C (2,1)在直线ax ＋2by －2＝0上，

∴2a ＋2b －2＝0，整理得a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(a ＋b )＝3＋b a ＋2a

b

≥3＋2 b a ×2a

b

＝3＋22， 当且仅当b a ＝2a

b ，即b ＝2－2，a ＝2－1时，等号成立．

∴1a ＋2

b

的最小值为3＋2 2. 4．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 答案 A

解析 设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，

x 20＋y 2

0＝4，连线中点坐标为(x ，y )，

则????? 2x ＝x 0＋42y ＝y 0

－2??????

x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2， 代入x 20＋y 20＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.

5．(2016·绵阳诊断)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2

－y 23

＝1的渐近线截得的弦长

为3，则圆C 的方程为( ) A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －3)2＝3 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋3)2＝3

答案 A

解析 依题意得，题中的双曲线的一条渐近线的斜率为3，倾斜角为60°，结合图形(图略)可知，所求的圆C 的圆心坐标是(0,1)、半径是1，因此其方程是x 2＋(y －1)2＝1.

6．(2016·九江模拟)已知P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线(A ，B 是切点)，C 是圆心，那么四边形P ACB 的面积的最小值是( ) A. 2 B ．2 2 C. 3 D ．2 3 答案 C

解析 圆的方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 则C (1,1)，

当|PC |最小时，四边形P ACB 的面积最小， |PC |min ＝

|3－4＋11|

32＋42

＝2，此时|P A |＝|PB |＝ 3.

所以四边形P ACB 的面积S ＝2×1

2

×3×1＝3，故选C.

7．(2016·南昌模拟)若圆C 经过坐标原点与点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是

__________________． 答案 (x －2)2＋(y ＋32)2＝25

4

解析 因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0,0)和(4,0)，所以设圆心为(2，m )． 又因为圆与直线y ＝1相切，所以22＋m 2＝|1－m |， 解之得m ＝－3

2

.

所以圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋32)2＝25

4

.

8．过点P (1,1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为______________． 答案 x ＋y －2＝0

解析 当圆心与点P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件．圆心O 与点P 连线的斜率k ＝1， 所求直线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.

9．已知D 是由不等式组?

??

??

x －2y ≥0，

x ＋3y ≥0所确定的平面区域，则圆x 2＋y 2＝4在区域D 内的弧长为________．

答案 π

2

解析 作出可行域D 及圆x 2＋y 2＝4，如图所示，

图中阴影部分所在圆心角θ＝α－β所对的弧长即为所求． 易知图中两直线的斜率分别为12、－1

3，

得tan α＝12，tan β＝－1

3，

tan θ＝tan(α－β)＝12＋1

3

1－12×13

＝1，

得θ＝π4，得弧长l ＝θ·R ＝π4×2＝π2

(R 为圆的半径)．

10．(2016·岳阳模拟)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →

|的最大值是________． 答案

7＋1

解析 设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →

|＝1知(x －3)2＋y 2＝1，

即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆，又OA →＋OB →＋OD →

＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)，

∴|OA →＋OB →＋OD →

|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.

问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值． ∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7， 故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1.

11．已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段的长为43，半径小于5. (1)求直线PQ 与圆C 的方程；

(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B ，且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程． 解 (1)由题意知直线PQ 的方程为x ＋y －2＝0. 设圆心C (a ，b )，半径为r ，

由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －3

2，

即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①

由圆C 在y 轴上截得的线段的长为43， 知r 2＝12＋a 2，

可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，② 由①②得a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13，满足题意， 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37，不满足题意． 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13. (2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m (m ≠2)， A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)． 由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →

＝0， ∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0， 化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③

由?????

y ＝－x ＋m ，(x －1)2＋y 2

＝13

得 2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122，

代入③，得m 2－12－m ·(1＋m )＋m 2＝0， ∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足题意， ∴直线l 的方程为x ＋y －4＝0或x ＋y ＋3＝0.

12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为

2

2

，求圆P 的方程．

解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r . 则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 点的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1.

∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.

①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0＋1)2－x 2

0＝1.

∴?

????

x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3.

②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1，得(x 0－1)2－x 20＝1.

∴?????

x 0＝0，y 0＝－1，

∴r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.

*13.已知M 为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)． (1)求|MQ |的最大值和最小值；

(2)若M (m ，n )，求n －3m ＋2的最大值和最小值．

解 (1)由圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0， 可得(x －2)2＋(y －7)2＝8，

所以圆心C 的坐标为(2,7)，半径r ＝2 2. 又|QC |＝(2＋2)2＋(7－3)2＝4 2. 所以|MQ |max ＝42＋22＝62， |MQ |min ＝42－22＝2 2. (2)可知n －3

m ＋2表示直线MQ 的斜率，

设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3

m ＋2＝k .

由直线MQ 与圆C 有交点， 所以|2k －7＋2k ＋3|1＋k 2≤22，

可得2－3≤k ≤2＋3，

所以n －3m ＋2

的最大值为2＋3，最小值为2－ 3.

三角函数诱导公式、万能公式、和差化积公式、倍角公式等公式总结及其推导

三角函数诱导公式： 诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。 “奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。（反之亦然成立）“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n?(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。 符号判断口诀： “一全正；二正弦；三两切；四余弦”。这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”；第二象限内只有正弦是“+”，其余全部是“－”；第三象限内只有正切和余切是“+”，其余全部是“－”；第四象限内只有余弦是“+”，其余全部是“－”。 “ASCT”反Z。意即为“all(全部)”、“sin”、“cos”、“tan”按照将字母Z反过来写所占的象限对应的三角函数为正值。 三角函数诱导公式- 其他三角函数知识 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tanα?cotα=1 sinα?cscα=1 cosα?secα=1 商的关系 sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系 sin^2(α)+cos^2(α)=1

1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式 sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ )/(1－tanα ?tanβ) tan（α－β）=(tanα－tanβ)/(1+tanα ?tanβ) 二倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α=2sinαcosα

高中数学平面解析几何知识点总结

平面解析几何 一、直线与圆 1.斜率公式 2121 y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 112121 y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). < （4）截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、). （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ? =≠； < ②1212120l l A A B B ⊥?+=； 4.点到直线的距离 d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=). 5.圆的四种方程 （1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).圆心??? ??--2,2E D ，半径r=2 422F E D -+. 6.点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: . 若d =d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r 相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中22B A C Bb Aa d +++=. 8.两圆位置关系的判定方法 # 设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ;

高中数学圆的方程典型例题总结归纳(极力推荐)

高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2 = ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(22=++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(2 2 ． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例5 已知圆42 2 =+y x O ：，求过点()42， P 与圆O 相切的切线． 解：∵点()42， P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y 根据r d = ∴ 21422 =++-k k 解得4 3 = k

高等数学公式总结(绝对完整版).

高等数学公式大全 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高中文科数学公式及知识点总结大全(精华版)

高中文科数学公式及知识点速记 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减 函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. *二次函数： （1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+- 4、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =' )(； ⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 5、导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±. （2）' ' ' ()uv u v uv =+. （3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 指数函数、对数函数 分数指数幂 (1)m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m n m n a a - = = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 根式的性质 （1）当n a =；

高中平面解析几何知识点总结

高中平面解析几何知识点总结 一.直线部分 1．直线的倾斜角与斜率： （1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角. 倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. （2）直线的斜率： αtan ),(21121 2=≠--= k x x x x y y k ．两点坐标为111(,)P x y 、222(,)P x y . 2．直线方程的五种形式： （1）点斜式：)(11x x k y y -=- (直线l 过点),(111y x P ，且斜率为k )． 注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为0x x =． （2）斜截式：b kx y += (b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式：121121x x x x y y y y --= -- (12y y ≠，12x x ≠). 注：① 不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线； ② 方程形式为：0))(())((112112=-----x x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线． （4）截距式：1 =+b y a x （b a ,分别为x 轴y 轴上的截距，且0,0≠≠b a ）． 注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线． （5）一般式：0=++C By Ax (其中A 、B 不同时为0)． 一般式化为斜截式： B C x B A y - - =，即，直线的斜率： B A k -=． 注：（1）已知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+或0x =． 已知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(直线斜率k 存在时，m 为k 的倒数)或0y =． 已知直线过点00(,)x y ，常设其方程为00()y k x x y =-+或0x x =． （2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直 线一般不重合．

高中数学圆的方程含圆系典型题型归纳总结

高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一：巧用圆系求圆的过程 在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交 点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。 当时，得到两圆公共弦所在直线方程 例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。 分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 解：过直线与圆的交点的圆系方程为： ，即 ………………….① 依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得 又满足方程①，则故 例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解：圆和的公共弦方程为 ，即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ，即 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则 代回圆系方程得所求圆方程

例3:求证：m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一定点P ，并求P 点坐标。 分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解：由原方程得 m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，① 即???-==?? ?=-+=-+4y 9 x 0 5y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4） 注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1， 即l 恒过定点A （3，1）. ∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－ 2 1 ， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？ 思考讨论 类型二：直线与圆的位置关系 例5、若直线m x y +=与曲线2 4x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围. 解：∵曲线24x y -= 表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范 围是22<≤-m 或22=m . 变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x= 2 1y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________. 解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2 例6 圆9)3()3(2 2=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(2 2 =-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ． 如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意． 又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设 所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：． 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ： 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 34332 2 1=+-?+?= d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解： ∵m ∈R ，∴ 得

高等数学公式汇总(大全)

高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

2016高中数学诱导公式全集总结

2016高中数学诱导公式全集总结 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα

cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-s inα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k±α(k∈Z)的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变; ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot，cot→tan. (奇变偶不变) 然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。 (符号看象限) 例如：

圆的方程知识点总结和典型例题

圆的方程知识点总结和经典例题 1．圆的定义及方程 注意点 (1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论是设哪一种圆的方程都要列出系数的三个独立方程． (2)对于方程x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2 ＋E 2 －4F ＞0这一条件． 2．点与圆的位置关系 点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2 ＋(y －b )2 ＝r 2 的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2 ＋(y 0－b )2 ＞r 2 . (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2 ＋(y 0－b )2 ＝r 2 . (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2 ＋(y 0－b )2 ＜r 2 . 3．直线与圆的位置关系 （1）直线与圆的位置关系的判断方法 设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2 ＋B 2 ≠0)， 圆：(x －a )2 ＋(y －b )2 ＝r 2(r >0)， d 为圆心(a ，b )到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的 判别式为Δ.

相离 d >r Δ<0 2．代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断． 3．直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． （2）过一点的圆的切线方程的求法 1．当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程． 2．若点在圆外时，过这点的切线有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在． （3）求弦长常用的三种方法 1．利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 之间的关系r 2 ＝d 2 ＋? ?? ? ?l 22 解题． 2．利用交点坐标 若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长． 3．利用弦长公式 设直线l ：y ＝kx ＋b ，与圆的两交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l ＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2 [ x 1＋x 2 2 －4x 1x 2]. 4. 圆与圆的位置关系 （1）圆与圆位置关系的判断方法 设圆O 1：(x －a 1)2 ＋(y －b 1)2 ＝r 2 1(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2 ＋(y －b 2)2 ＝r 2 2(r 2>0)． 方法位置关系 几何法：圆心距d 与r 1，r 2 的关系 代数法：两圆方程联立组成方 程组的解的情况

(通用版)小学数学公式归纳整理大全

小学数学公式大全 一、小学数学几何形体周长面积体积计算公式 长方形的周长=（长+宽）×2 C=(a+b)×2 正方形的周长=边长×4 C=4a 长方形的面积=长×宽S=ab 正方形的面积=边长×边长S=a.a= a 三角形的面积=底×高÷2 S=ah÷2 平行四边形的面积=底×高S=ah 梯形的面积=（上底+下底）×高÷2 S=（a＋b）h÷2 直径=半径×2 d=2r 半径=直径÷2 r= d÷2 圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 c=πd =2πr 圆的面积=圆周率×半径×半径 三角形的面积＝底×高÷2。公式S= a×h÷2 正方形的面积＝边长×边长公式S= a×a 长方形的面积＝长×宽公式S= a×b 平行四边形的面积＝底×高公式S= a×h 梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2 公式S=(a+b)h÷2 内角和：三角形的内角和＝180度。 长方体的体积＝长×宽×高公式：V=abh 长方体（或正方体）的体积＝底面积×高公式：V=abh 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长公式：V=aaa 圆的周长＝直径×π 公式：L＝πd＝2πr 圆的面积＝半径×半径×π 公式：S＝πr2 圆柱的表（侧）面积：圆柱的表（侧）面积等于底面的周长乘高。公式：S=ch=πdh ＝2πrh 圆柱的表面积：圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式：S=ch+2s=ch+2πr2 圆柱的体积：圆柱的体积等于底面积乘高。公式：V=Sh 圆锥的体积＝1/3底面×积高。公式：V=1/3Sh

分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。 分数的乘法则：用分子的积做分子，用分母的积做分母。 分数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。 二、单位换算 （1）1公里＝1千米1千米＝1000米1米＝10分米1分米＝10厘米1厘米＝10毫米 （2）1平方米＝100平方分米1平方分米＝100平方厘米1平方厘米＝100平方毫米 （3）1立方米＝1000立方分米1立方分米＝1000立方厘米1立方厘米＝1000立方毫米 （4）1吨＝1000千克1千克= 1000克= 1公斤= 2市斤 （5）1公顷＝10000平方米1亩＝666.666平方米 （6）1升＝1立方分米＝1000毫升1毫升＝1立方厘米 （7）1元=10角1角=10分1元=100分 （8）1世纪=100年1年=12月大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月小月(30天)的有:4\6\9\11月 平年2月28天, 闰年2月29天平年全年365天, 闰年全年366天1日=24小时1时=60分 1分=60秒1时=3600秒 三、数量关系计算公式方面 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数

圆知识点总结及归纳

第一讲圆的方程 （一）圆的定义及方程 1、圆的标准方程与一般方程的互化 （1）将圆的标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 展开并整理得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F＝a2＋b2－r2，得x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （2）将圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0通过配方后得到的方程为：

(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2 )2＝ D 2＋ E 2－4F 4 ①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，该方程表示以(－D 2，－E 2)为圆心， 1 2 D 2＋ E 2－4 F 为半径的圆； ②当D 2 ＋E 2 －4F ＝0时，方程只有实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，即只表示一个点(－D 2，－E 2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程没有实数解， 因而它不表示任何图形． 2、圆的一般方程的特征是：x 2和y 2项的系数 都为 1 ，没有 xy 的二次项. 3、圆的一般方程中有三个待定的系数D 、E 、F ，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了． 2>r 2. （2）若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. （3）若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2

方法一： 方法二： （四）圆与圆的位置关系 1 外离 2外切 3相交 4内切 5内含 （五）圆的参数方程 （六）温馨提示 1、方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是： （1）B＝0；（2）A＝C≠0；（3）D2＋E2－4AF＞0.

小学年级数学公式大全汇总

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小学1-6年级数学“公式大全”汇总！孩子不掌握吃透，6年白学了数学是一门非常实用的学科，不管在那个阶段的学习里，总是能够见到数学的踪影，学好数学不只是对往后的升学与学习有帮助，而且对生活更是受益匪浅。而小学阶段，是为孩子抓基础的最佳时期，所以在小学阶段的学习中，一定要将数学的基础知识牢牢掌握，才能更好的学习今后的知识。 数学是一门严谨的学科，需要孩子们具有一定的逻辑思维能力，才能更好的学习。小学数学本身需要掌握的知识点相对较少，难度也不算很大，只要能够吃透掌握运算法则和公式概念，想要在考试中取得好成绩是非常容易的。但小学的孩子能力都不强，逻辑思维能力也没有完全开发，掌握不好知识是常有的事。而且随着年级的不断升高，孩子落下的知识只会越来越多，到最后想追也追不上来。 其实，在我多年的教学过程中，总结出了非常多的和资料，想要提高孩子成绩的方法非常多，首先第一点就是要拥有一份好的学习资料，让孩子牢牢地掌握好基础知识。因为是数学的知识都木有连贯性和相关性，哪怕是一个地方没能掌握到位，也会导致这部分知识成为孩子日后学习中的薄弱环节。再一点就是在平时的学习中，让孩子逐渐养成自主学习的能力，能够大大的提高学习效率，提升吸收知识的速度，还可以激发出孩子对数学浓厚的学习兴趣。 所以，今天老师为各位家长分享一套小学1-6年级的数学公式大全汇总图，大家看完之后希望可以为孩子保存起来，拿回家去认真辅导孩子，巩固好学习过的重难知识，相信对成绩稍差的孩子来讲，这份资料是一份不错的学习资料，对提升成绩有很大的帮助。如果您的孩子有学习差，成绩提不高，学习方法不正确，严重偏科等这些问题都可以在问我，我都会免费给各位家长一一解答。

高中数学诱导公式全集总结

2019高中数学诱导公式全集总结 常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα

直线和圆的方程知识点总结讲课稿

直线和圆的方程知识 点总结

一、直线方程. 1. 直线的倾斜角 2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式. 3. ⑴两条直线平行： 1l 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=?l . ⑵两条直线垂直： 两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=?⊥k k l l 4. 直线的交角： 5. 过两直线? ??=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内） 6. 点到直线的距离： ⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A C By Ax d +++= . 注： 1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=. 2. 定比分点坐标分式。若点P(x,y)分有向线段1212 PP PP PP λλ=u u u r u u u r 所成的比为即,其中P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2).则 λλλλ++=++=1,121 21y y y x x x 特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。 3. 直线的倾斜角（0°≤α＜180°）、斜率:αtan =k 4. 过两点1212222111),(),,(x x y y k y x P y x P --=的直线的斜率公式：. 12()x x ≠

小学一至六年级数学公式大全.经典总结

小学一至六年级数学公式大全 周长公式 类型公式字母表示 长方形周长= （长+宽）×2 （a+b）×2 正方形周长 =边长×4 a×4=4a 圆的周长= 直径×π = 2×π×半径 c=π×d =2×π×r 面积公式 类型公式字母表示 长方形面积= 长×宽 s=a×b 正方形面积= 边长×边长 s=a×a 平行四边形面积= 底×高 s=a×h 梯形面积=（上底+下底）×高÷2 s=（a+b）×h÷2 三角形面积= 底×高÷2 s=a×h÷2 长方体表面积（长×宽+长×高+宽×高）×2 S=（a×b+a×h+b×h）×2 正方体表面积 =棱长×棱长×6 s= a×a×6 圆面积= π×半径的平方s=ｒ2 圆柱体侧面积底面周长×高 π×直径×高 2×π×半径×高 c×h π×d×h 2×π×r×h 圆柱体表面积侧面积+2×底面积 底面周长×高+2×π×半径的平方 π×直径×高+2×π×半径的平方 2×π×半径×高+2×π×半径的平方 c×h+2×ｒ2 π×d×h+2×ｒ2 2×π×r×h +2×ｒ2 体积公式 类型公式字母表示 长方形长×宽×高 a×b×h 正方体棱长×棱长×棱长 a×a×a 圆柱体底面积×高 π×半径的平方×高 s×h ｒ2×h 圆锥体×底面积×高 ×π×半径的平方×高×s×h ×ｒ2×h 补充说明： 长方体棱长和=（长+宽+高）×4 正方体棱长和=棱长×12 熟记下列正反比例关系： 正比例关系：

正方形的周长与边长成正比例关系 长方形的周长与（长+宽）成正比例关系 圆的周长与直径成正比例关系 圆的周长与半径成正比例关系 圆的面积与半径的平方成正比例关系 2．反比例关系 常用数量关系： 1．路程=速度×时间速度=路程÷时间时间=路程÷速度 工作总量=工作效率×工作时间工作效率=工作总量÷工作时间工作时间=工作总量÷工作效率 总价=单价×数量单价=总价÷数量数量=总价÷单价 总产量=单产量×面积单产量=总产量÷面积面积=总产量÷单产量 单位换算： 长度单位： 一公里=1千米=1000米 1米=10分米1分米=10厘米 1厘米=10毫米 面积单位： 1平方千米=100公顷1公顷=100公亩1公亩=100平方米 1平方千米=1000000平方米1公顷=10000平方米1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米 体积单位： 1立方千米=1000000000立方米1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米 1立方厘米=1000立方毫米1立方分米=1升1立方厘米=1毫升 1升=1000毫升 重量单位： 1吨=1000千克 1千克=1000克 时间单位： 一世纪=100年一年=四季度一年=12月一年=365天（平年）一年=366天（闰年） 一季度=3个月一个月= 3旬（上、中、下）一个月=30天（小月）一个月=31天（大月）一星期=7天一天=24小时一小时=60分一分=60秒 一年中的大月：一月、三月、五月、七月、八月、十月、十二月（七个月） 一年中的小月：四月、六月、九月、十一月（四个月） 特殊分数值： =0.5=50% = 0.25 = 25% = 0.75 = 75% = 0.2 = 20% = 0.4 = 40% = 0.6 = 60% = 0.8 = 80% =0.125=12.5% = 0.375 = 37.5% = 0.625 = 62.5% = 0.875 = 8 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、 1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数

(完整版)三角函数诱导公式总结

三角函数诱导公式与同角的三角函数 【知识点1】诱导公式及其应用 公式一： sin()-sin αα-=； cos()cos αα-= ； tan()tan αα-=- 公式二： ααπ-sin sin(=+）； ααπ-cos cos(=+）； ααπtan tan(=+）． 公式三： ααπsin sin(=-）； ααπ-cos cos(=-）； ααπtan tan(-=-） 公式四： sin(2sin παα-=-）； cos(2cos παα-=）； tan(2tan παα-=-） 公式五： sin( 2π-α) = cos α； cos(2π -α) = sin α． 公式六： sin(2π+α) = cos α； cos(2π +α) =- sin α． 公式七： sin(32π-α)=- cos α； cos(32π -α) = -sin α． 公式八： sin(32π+α) = -cos α； cos(32 π +α) = sin α． 公式九：απαsin )2sin(=+k ； απαcos )2cos(=+k ； απαtan )2tan(=+k ．（其中Z ∈k ）． 方法点拨： 把α看作锐角 一、前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限 公式（五）到公式（八）总结为一句话：函数名改变，符号看象限（原函数所在象限） 二、奇变偶不变，符号看象限 将三角函数的角度全部化成απ +?2 k 或是απ-? 2 k ，符号名该不该变就看k 是奇数还是偶数，是奇数就改变函 数名，偶数就不变

例1、求值（1）29cos( )6π= __________． （2）0tan(855)-= _______ ___． （3）16 sin()3 π-= __________． 的值。 求：已知、例)sin(2)4cos() 3sin()2cos( , 3)tan( 2απααπαπαπ-+-+--=+ 例3、 )2cos()2sin(21++-ππ【 】 A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±（sin2－cos2） D ．sin2+cos2 例4、下列各式不正确的是【 】 A ． sin （α＋180°）=－sin α B ．cos （－α＋β）=－cos （α－β） C ． sin （－α－360°）=－sin α D ．cos （－α－β）=cos （α＋β） 例5、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于【 】 A ．－23 m B ．－32 m C ．23 m D ．3 2 m 例6、已知函数1tan sin )(++=x b x a x f ，满足.7)5(=f 则)5(-f 的值为【 】 A ．5 B ．－5 C ．6 D ．－6 例7、试判断 sin(2)cos() (9tan (5) 2αππαα παπα-+??+- ??? ··cos 为第三象限角）符号 例8、化简3 sin(3)cos()cos(4) 25 tan(3)cos()sin() 22 πααππαπαπααπ-?-?+-?+?- 例9、已知方程sin(α - 3π) = 2cos(α - 4π)，求 ) sin()2 3sin(2) 2cos(5)sin(α--α-π α-π+α-π 例10、若1sin()3 πθ-= ,求 []cos() cos(2) 3 3 cos()1cos sin()cos()sin() 22 πθθππθθ θπθπθπ+-+ --?-?--+的值． 提示：先化简，再将1sin 3 θ=代入化简式即可．