高中数学必修四导学案

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目录

第一章 三角函数

1.1.1 任意角 ..........................................................................................1 1.1.2 弧度角 ..........................................................................................5 1.2.1 任意角的三角函数(1) ........................................................................8 1.2.1 任意角的三角函数(2) ........................................................................12 1.2.2 同角三角函数的关系(1) .....................................................................15 1.2.2 同角三角函数的关系(2) .....................................................................17 1.2.3 三角函数的诱导公式(1) .....................................................................19 1.2.3 三角函数的诱导公式(2) .....................................................................22 1.2.3 三角函数的诱导公式(3) .....................................................................25 1.3.1 三角函数的周期性 ...........................................................................27 1.3.2 三角函数的图象和性质(1) ..................................................................30 1.3.2 三角函数的图象和性质(2) ..................................................................33 1.3.2 三角函数的图象和性质(3) ..................................................................36 1.3.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象(1) ......................................................38 1.3.3 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象(2) ......................................................41 1.3.4 三角函数的应用.................................................................................44 三角函数复习与小结 (46)

第二章 平面的向量

2.1 向量的概念及表示..............................................................................49 2.2.1 向量的加法.......................................................................................52 2.2.2 向量的减法.......................................................................................55 2.2.3 向量的数乘(1) .................................................................................58 2.2.3 向量的数乘(2) .................................................................................62 2.3.1 平面向量的基本定理 ........................................................................65 2.3.2 向量的坐标表示(1) ........................................................................68 2.3.2 向量的坐标表示(2) ........................................................................70 2.4.1 向量的数量积(1) ...........................................................................72 2.4.1 向量的数量积(2) (75)

第三章 三角恒等变换

3.1.1 两角和与差的余弦公式 .....................................................................77 3.1.2 两角和与差的正弦公式 .....................................................................81 3.1.3 两角和与差的正切公式 .....................................................................85 3.2.1 二倍角的三角函数(1) .....................................................................88 3.2.1 二倍角的三角函数(2) (92)

第一章 三角函数 1.1.1 任意角

【学习目标】

1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念

2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集

合表示

【学习重点、难点】

用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入

问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？

______________________________________________________ 所学的角的范围是什么？

______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0

720”这样的动作名词，这里的“0

720”，怎么刻画？

______________________________________________________

二、建构数学 1．角的概念

角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。

2．角的分类

按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。

3. 终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 。

4．象限角、轴线角的概念

我们常在 直角坐标系 内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。

如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________。

象限角的集合

（1）第一象限角的集合：_______________________________________ （2）第二象限角的集合：_______________________________________ （3）第三象限角的集合：_______________________________________ （4）第四象限角的集合：_______________________________________ 轴线角的集合

（1）终边在x 轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （2）终边在x 轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （3）终边在y 轴正半轴的角的集合：_______________________________________ （4）终边在y 轴负半轴的角的集合：_______________________________________ （5）终边在x 轴上的角的集合：_______________________________________ （6）终边在y 轴上的角的集合：_______________________________________ （7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________

三、课前练习

在直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。

00000030,150,60,390,390,120---

【典型例题】

例1 （1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？

（2）若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度？

例2 在0

3600到的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角。

（1）0

650 （2）0

150- （3）0

240- （4）'

15990-

例3 已知0240与α角的终边相同，判断

2

α

是第几象限角。

例4 写出终边落在第一、三象限的角的集合。

例5 写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（包括边界）

（1） （2） （3）

【拓展延伸】

已知角α是第二象限角，试判断2

α

为第几象限角？

【巩固练习】

1、设0

60-=α，则与角α终边相同的角的集合可以表示为___________________. 2、把下列各角化成),3600(3600

Z k k ∈<≤⋅+αα的形式，并指出它们是第几象限的角。

（1）01200 （2）055- （3）01563 （4）0

1590-

3、终边在y 轴上的角的集合_______________;终边在直线x y =上的角的集合________________;终边在四个象限角平分线上的角的集合_________________________.

4、 终边在0

30角终边的反向延长线上的角的集合___________________________. 5、 若角α的终边与0

45角的终边关于原点对称，则___________=α；若角βα,的终边

关于直线0=+y x 对称，且0

60-=α，则____________=β。 6、 集合},3690|{00

Z k k A ∈-⋅==αα，

}180180|{00<<-=ββB ，则._________=⋂B A

7、若2

α

是第一象限角，则α的终边在_______________________________

【课后训练】

1、 分针走10分钟所转过的角度为___________;时针转过的角度为____________.

2、若0

13590<<<αβ，则βα-的范围是_________，βα+的范围是________. 3、（1）与'30350

-终边相同的最小正角是________; （2）与0

715终边相同的最大负角是_______________; （3）与0

1000终边相同且绝对值最小的角是__________; （4）与0

1778-终边相同且绝对值最小的角是___________.

4、与015-终边相同的在0

03601080-<≤-β之间的角β为_______________________. 5、已知角βα,的终边相同，则βα-的终边在___________________________. 6、若β是第四象限角，则β-0

180是第_____象限角；β+0

180是第____象限角。 7、若集合},9018030180|{0

Z k k k A ∈+⋅<<+⋅=αα， 集合},4536045360|{0

Z k k k B ∈+⋅<<-⋅=ββ， 则._____________=⋂B A

8、已知集合}{锐角=M ，}90{0

的角小于=N ，}{第一象限的角=P ，下列说法：（1）

N P ⊆，（2）M P N =⋂，（3）P M ⊆，（4）P N M ⊆⋃)(其中正确的是____________.

9、角α小于0

180而大于0

180-，它的7倍角的终边又与自身终边重合，求角α。 10、已知α与060角的终边相同，分别判断αα

2,2

是第几象限角。

【课堂小结】

【布置作业】

1.1.2 弧度制

【学习目标】

3． 理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数

4． 掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题 5． 了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应的关系 【学习重点、难点】

弧度的概念，弧度与角度换算 【自主学习】 一、复习引入

请同学们回忆一下初中所学的01的角是如何定义的？

二、建构数学 1．弧度制

角还可以用__________为单位进行度量，

___________________________________叫做1弧度的角，用符号_____表示，读作________。 2．弧度数：正角的弧度数为_________，负角的弧度数为_________，零角的弧度数为_____如果半径为r 的圆心角所对的弧的长为1，那么，角α的弧度数的绝对值是_________。 这里，α的正负由____________________________________决定。 3．角度制与弧度制相互换算

360°＝_________rad 180°＝_________rad 1°＝_________rad 1 rad ＝_________°≈ _________°

4．角的概念推广后,在弧度制下, ________________与______________之间建立起一一对应的关系:每个角都有唯一的一个实数(即_______________)与它对应;反过来,每一个实数也都有________________(即_______________)与它对应。 5．弧度制下的弧长公式和扇形面积公式：

角α的弧度数的绝对值||α=______________ （l 为弧长，r 为半径） 弧长公式：____________________________ 扇形面积公式：____________________________

【典型例题】

例1．把下列各角从弧度化为度。 （1）53π （2）12π （3）6

5π- （4）2 （5）5.3

例2．把下列各角从度化为弧度。

（1）0

750- （2）0

1440- （3）0

'

6730 （4）0252 （5）'15110

例3．（1）已知扇形的周长为cm 8，圆心角为rad 2，求该扇形的面积。

（2）已知扇形周长为cm 4，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数。 [来源:学科网]

例4．已知一扇形周长为C （0C >），当扇形圆心角为何值时，它的面积最大？并求出最

大面积。

【巩固练习】

2、若角，则角的终边在第____象限；若，则角的终边在第___象限。

3、将下列各角化成)20(,2παπα<≤+k ，Z k ∈的形式，并指出第几象限角。 （1）319πα=

（2）0

315-=α （3）322πα= （4）2

23πα=

4、圆的半径为10，则2的圆心角所对的弧长为______；扇形的面积为________。

5、用弧度制表示下列角终边的集合。

（1）轴线角 （2）角平分线上的角 （3）直线x y 3=

上的角

6、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，那么该圆弧的圆心角等于_____。

【课堂小结】

【布置作业】

2.2.2任意角的三角函数（1）

【学习目标】

6． 掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义 7． 会用三角函数线表示任意角三角函数的值

8． 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 【学习重点、难点】

任意角的正弦、余弦、正切的定义 【自主学习】

一、复习旧知，导入新课

在初中，我们已经学过锐角三角函数：

角的范围已经推广，那么对任意角α是否也能定义其三角函数呢？

二、建构数学

1．在平面直角坐标系中，设点P 是角α终边上任意一点，坐标为(,)P x y ,它与原点的距离

||OP r ==，一般地，我们规定：

⑴比值___________叫做α的正弦,记作___________,即___________=___________； ⑵比值___________叫做α的余弦,记作___________,即___________=___________； ⑶比值___________叫做α的正切,记作___________,即___________=___________. 2.当

α=___________________时, α的终边在y 轴上,这时点P 的横坐标等于

____________,所以_____________无意义.除此之外,对于确定的角α,上面三个值都是______________.所以, 正弦、余弦、正切都是以_________为自变量,以__________为函数 值的函数,我们将它们统称为___________________.[来源:学+科+网Z+X+X+K]

3.由于________________________与________________________之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为_________________的函数.

4.其中，sin y x =和cos y x =的定义域分别是________________； 而tan y x =的定义域是__________________.

5．根据任意角的三角函数定义将这三种函数的值在各象限的符号填入括号。

=y sin α =y cos α

=y tan α

【典型例题】

例1．已知角α的终边经过点()4,3P -，求α的正弦、余弦、正切的值。

变题1 已知角α的终边经过点()()4,30P a a a -≠，求α的正弦、余弦、正切的值。

变题2 已知角α的终边经过点()6,--x P ，且13

5

cos -=α，求x 的值

例2．已知角α的终边在直线x y 3-=上，求α的正弦、余弦、正切的值

例3．确定下列三角函数值的符号： （1）π127cos （2）()︒-465sin （3）π3

11

tan （4）5tan 4cos 3sin ⋅⋅

例4．若ABC ∆两内角A 、B 满足sin cos 0A B < ，判断三角的形状。

【巩固练习】

1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为

2、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 A ．sin α B ．cos αC ．tan α D ．

tan 1

α 3、填表：

4、已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是

5、若点P (－3，ｙ)是角α终边上一点，且3

2

sin -=α，则ｙ的值是

6、α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=4

2x ，则sin α的值为_______

【课堂小结】

【布置作业】

1．2．1任意角的三角函数（2）

【学习目标】

1、掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义

2、会用三角函数线表示任意角三角函数的值

3、掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 【学习重点、难点】

会用三角函数线表示任意角三角函数的值 【自主学习】 一、复习回顾

1．单位圆的概念：在平面直角坐标系中，以________为圆心，以_______为半径的圆。 2．有向线段的概念：把规定了正方向的直线称为___________________；

规定了___________（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。 3．有向线段的数量：若有向线段AB 在有向直线l 上或与有向直线l _____________，根据有向线段AB 与有向直线l 的方向_____________或_____________，分别把它的长度添上______或_______，这样所得的__________叫做有向线段的数量。 4．三角函数线的定义：

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点(,)P x y ，

过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与α的终边（当α为第_______象限角时）或其反向延长线（当α为第______象限角时）相交于点T 。根据三角函数的定义：sin y α==________；cos x α==_______；

tan y

x

α=

=__________。 【典型例题】

例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：

()3

1π

()π652 ()π323-

()6

4π-

例2．利用三角函数线比较大小

() 30sin 1______ 150sin : () 25sin 2______ 150sin :

()π3

2cos 3______π5

4cos ; ()π32tan 4______π3

2tan

例3．解下列三角方程

()23sin 1=

x ()2

1c o s 2=x ()1t a n 3=x

变题1．解下列三角不等式()23sin 1>x ()2

1

c o s 2≤x ()1t a n

3>x

变题2．求函数()x x y cos 211sin 2lg ++-=的定义域.

【巩固练习】

1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线

()π6

111- ()π3

22

2．利用余弦线比较cos64,cos 285

的大小； 3．若

4

2

π

π

θ<<

，则比较sin θ、cos θ、tan θ的大小；

4．分别根据下列条件，写出角θ的取值范围：

（1）cos θ<； （2）tan 1θ>- ； （3）sin θ>

5．当角α，β满足什么条件时，有βαsin sin =

6．若cos θ<

sin θ>，写出角θ的取值范围。

【课堂小结】

【布置作业】

1.2.2同角三角函数的关系（1）

【学习目标】

1、 掌握同角三角函数的两个基本关系式

2、 能准确应用同角三角函数关系进行化简、求值

3、 对于同角三角函数来说，认清什么叫“同角”，学会运用整体观点看待角

4、 结合三角函数值的符号问题，求三角函数值

【重点难点】同角三角函数的两个基本关系式和应用

【自主学习】 一、数学建构：

同角三角函数的两个基本关系式：_______________________________________; _______________________________________.

二、课前预习： 1、),0(,5

4

cos παα∈=

，则tan α的值等于

2、化简：=ααtan cos

【典型例题】 例1、 已知2

1

sin =α，并且α是第二象限角，求ααtan ,cos 的值

变：已知2

1

sin =α，求ααtan ,cos 的值

例2、已知5

12

tan =α，求ααcos ,sin 的值．

解题回顾与反思：通过以上两个例题，你能简单归纳一下对于ααcos ,sin 和αtan 的“知一求二”问题的解题方法吗？

例2、化简

（1 （2

（3）1sin 1tan 2-α

α（α

是第二象限角） （4）αα

ααsin 1sin 1sin 1sin 1+-+-+

【课堂练习】 1、已知4

cos 5

α=-

，求αsin 和αtan 的值

2、化简sin 2α＋sin 2β－sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β= ．

3、若θ为二象限角，且2cos 2sin 212sin

2

cos θθθ

θ

-=-，那么2

θ

是第几象限角。

【课堂小结】

1.2.2同角三角函数的关系（2）

【学习目标】

1、 能用同角三角函数关系解决简单的计算、化简与证明

2、 掌握“知一求二”的问题 【重点难点】

奇次式的处理方法和“知一求二”的问题 【自主学习】

一、 复习回顾：

1、 同角三角函数的两个基本关系式：

2、 ααααααcos sin ,cos sin ,cos sin -+有何关系？（用等式表示）

二、

课前练习

1、已知,3

1

cos sin =

+αα则=ααcos sin _________________________ 2、若15tan =α，则=αcos

；=αsin

．

【典型例题】

例1、 已知,3tan =α求下列各式的值

（1）ααααcos 9sin 4cos 3sin 2-- （2）α

ααα2

222cos 9sin 4cos 3sin 2-- （3）αα2

2cos 3sin 2-

例2、求证：（1）ααααsin cos 1cos 1sin -=+ （2）α

αα

αααααsin tan sin tan sin tan sin tan ⋅+=

-⋅

例3、已知,0πθ<<5

1

cos sin =

+θθ,求θtan 的值

例4、若),3(3

1

cos ,31sin ≠--=-+=k k k k k αα （1）求k 的值； （2）求1

tan 1

tan +-αα的值

【课堂练习】

1、已知,0πα<

12

-,则cos α－sin α的值等于

2、已知θ是第三象限角，且9

5

cos sin 4

4

=+θθ，则=θθcos sin

3、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么1

tan tan θθ

+

的值是

4、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为

5、 求证：

1

tan 1

tan cos sin cos sin 212

2-+=-+αααααα

【课堂小结】

1.2.3三角函数的诱导公式（1）

【学习目标】

1、 巩固理解三角函数线知识，并能用三角函数线推导诱导公式

2、 能正确运用诱导公式求出任意角的三角函数值

3、 能通过公式的运用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程

4、 准确记忆并理解诱导公式，灵活运用诱导公式求值 口诀：函数名不变，符号看象限 【重点难点】诱导公式的推导与运用

【自主学习】

1、 利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值：),(y x P 为角α的终边与单位圆的交点，

则___________cos _,__________sin ==αα

2、 诱导公式

由三角函数定义可以知道：

（1） 终边相同的角的同一三角函数值相等。 公式一（παk 2+）：__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________.

(2)当角α的终边与角β的终边关于x 轴对称时，α与β的关系为：__________________ 公式二（ ）：__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________.

(3)当角α的终边与角β的终边关于y 轴对称时，α与β的关系为：__________________ 公式三（ ）：__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________.

(4)当角α的终边与角β的终边关于原点对称时，α与β的关系为：_________________ 公式四（ ）：__________________________________________; __________________________________________; ___________________________________________.

思考：这四组公式可以用口诀“函数名不变，符号看象限”来记忆，如何理解这一口诀？

高中数学必修四导学案

高中数学《必修四》导学案 班级________ ___________ 第一章 三角函数 1.1.1 任意角 【学习目标】 1、 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2、 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合 表示 【学习重点、难点】 用集合与符号语言正确表示终边相同的角 【自主学习】 一、复习引入 问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ ______________________________________________________ 所学的角的围是什么？ ______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0 720”这样的动作名词，这里的“0 720”，怎么刻画？ ______________________________________________________ 二、建构数学 1．角的概念 角可以看成平面一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。 射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类 按__________方向旋转形成的角叫做正角， 按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。 3. 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个集合_________ ， 即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 。

高中数学人教A必修四第三章全章导学案

鸡西市第十九中学学案 过点P 作1PA OP ⊥，垂足为A ，过点作PM x ⊥轴，垂足为M ，

鸡西市第十九中学学案

2014年（）月（）日班级姓名

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 1.已知α是锐角，若sin α＝3 5 ，则2cos ????α－π4=________. 2. 1cos 2x x - cos x x cos x x + sin π12－3cos π 12 cos )x x - x x sin15cos15o o + (两种方法) 【辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)】 问题 请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程． a sin x ＋b cos x ＝a 2 ＋b 2x x ? ? ?? ＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ) (其中sin φ＝ b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋ b 2 )． 使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝ a a 2＋ b 2，sin φ＝b a 2＋ b 2 ， 其中φ (a ，b )决定． 辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用． 试一试 将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π 2 . (1)sin x ＋cos x ＝ ；(2)sin x －cos x ＝_________ ____； (3)3sin x ＋cos x ＝_____________；(4)3sin x －cos x ＝_____________； (5)sin x ＋3cos x ＝_____________；(6)sin x －3cos x ＝_____________. 【当堂训练】 1．函数f (x )＝sin ????x ＋π3＋sin ??? ?x －π 3的最大值是 2．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈? ?? ?0，π2的最小值为 3．函数f (x )＝2sin x 2sin ???? π3－x 2的最大值等于 4．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值． 《辅助角公式》专题 2014年（ ）月（ ）日 班级 姓名

高中数学 新人教A版必修4导学案全套

任 意 角 高中数学 1.1.1任意角导学案新人教A版必修4 一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。 二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点 三、知识链接： 1.初中是如何定义角的？ 2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？ 四、学习过程: （一）阅读课本1-3页解决下列问题。 问题1、按方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。零角的与重合。如果α是零角，那么α= 。 问题2、 问题3、象限角与象限界角 为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做，这个角不属于任何一个象限。 问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角： （1）420o （2） -75o（3） 855o（4） -510o

问题6、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。 把与-32o 角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内可构成集合为 .。即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和。 例1. 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （１）︒480； （２）︒-760； （３）03932'︒. 变式练习 1、 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： (1)420 º (2)—54 º18′ （3）395º 8 ′ (4)—1190º 30′ 2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720 o β≤＜360o 的元素 写出来： （1）1303o 18， （2）--225o 问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合 (2) 写出终边在y 轴上角的集合 变式练习 写出终边在直线y ＝x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-360 ≤β＜720o 元素β写出来。

2020年高中数学人教A版必修4第1章 三角函数《任意角的三角函数一》 导学案(含答案解析)

1.2.1 任意角的三角函数(一) 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数. 2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点一任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x 轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r. 思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？思考3 在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： ①y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y； ②x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝ y x (x≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数. 知识点二正弦、余弦、正切函数的定义域

思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？ 梳理三角函数的定义域 知识点三 思考根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 知识点四诱导公式一 思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？

人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系导学案

1.2.2.同角三角函数的基本关系 学习目标.1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明. 知识点.同角三角函数的基本关系式 思考1.计算下列式子的值： (1)sin 2 30°＋cos 2 30°； (2)sin 2 45°＋cos 2 45°； (3)sin 2 90°＋cos 2 90°. 由此你能得出什么结论？尝试证明它. 答案.3个式子的值均为1.由此可猜想： 对于任意角α，有sin 2 α＋cos 2 α＝1，下面用三角函数的定义证明： 设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝ x . ∴sin 2 α＋cos 2 α＝x 2 ＋y 2 ＝|OP |2 ＝1. 思考2.由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？ 答案.∵tan α＝y x ，∴tan α＝sin α cos α . 梳理.(1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2 α＋cos 2 α＝1. ②商数关系：tan α＝sin αcos α (α≠k π＋π 2，k ∈Z ). (2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2 α＋cos 2 α＝1的变形公式 sin 2 α＝1－cos 2 α；cos 2 α＝1－sin 2 α. ②tan α＝sin α cos α 的变形公式 sin α＝cos αtan α；cos α＝sin α tan α . 类型一.利用同角三角函数的关系式求值 命题角度1.已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值

2020年高中数学人教A版 必修4 导学案《任意角》(含答案)

1．1.1 任意角 [新知初探] 1．任意角 (1)角的概念： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶 点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． (3)角的分类： 名称定义图示 正角按逆时针方向旋转形成的角 负角按顺时针方向旋转形成的角 零角一条射线没有作任何旋转形成的角 [点睛] 对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置． 2．象限角 把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． [点睛] 象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． [点睛] 对终边相同的角的理解 (1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少； (3)终边相同的角的表示不唯一． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)－30°是第四象限角．( ) (2)钝角是第二象限的角．( ) (3)终边相同的角一定相等．( )

2．与45°角终边相同的角是( ) A．－45° B．225° C．395° D．－315° 3．下列说法正确的是( ) A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角 C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角 4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________． 任意角的概念 [典例] A．终边与始边重合的角是零角 B．终边和始边都相同的两个角一定相等 C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角 D．小于90°的角是锐角 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转－30°到OC的位置，则∠AOC的度数为________． 终边相同角的表示 [典例] 写出与080°范围内与75°角终边相同的角．

高中数学人教A必修四第一章全章导学案

鸡西市第十九中学学案 如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点 成角α. 旋转开始时的射线OA叫做角的 的顶点.初中所研究的角的范围为. 【复习二】举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ ①体操比赛中术语：“转体720o”（即转体 ②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（小结：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？ 思考：与60°终边相同的角有、、…都可以用代数式表示为那么，与α终边相同的角如何表示？ 新知：与α角终边相同的角,都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z

3.写出终边在直线y=－

鸡西市第十九中学学案

α终边所在的象限角α的集合 Ⅰ{α| <α< ，k∈Z} Ⅱ{α| <α< ，k∈Z} Ⅲ{α| <α< ，k∈Z} Ⅳ{α| <α< ，k∈Z} 2lR =

鸡西市第十九中学学案 问题2 如图，锐角任取一点P (a ，b )OP r === = ；OM = = . 问题3 如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角α的终边与单位圆交于tan α＝ . 【单位圆定义任意角三角函数】设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点记作sin α，即sin α＝ 问题 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角请以角α为第二象限角为例，借助三角形相似的知识证明上述两种定义是一致的 小结：根据三角函数的定义可知，三角函数是一个和点P (x ，y )离原点的距离无关

三角函数值的符号在以后学习中经常用到，必须熟记，可根据定义记，也可按以下口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)． 判断下列各式的符号： cos α(其中α是第二象限角)；(2)sin 285°cos(－105°)；(3)sin 3·cos 4·tan 若sin αcos α<0，则α是第________象限角． 代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是_________．

高一数学必修四教案优秀10篇

高一数学必修四教案优秀10篇 高一数学必修四教案篇一 教学准备 教学目标 o了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量· o通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别· o通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力· 教学重难点 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量· 教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系· 教学过程 （一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。 （二）（教材P74面的四个图制作成幻灯片）请同学阅读课本后回答：（7个问题一次出现） 1、数量与向量有何区别？（数量没有方向而向量有方向） 2、如何表示向量？ 3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？ 4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？ 5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？ 6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？ 7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？ 这时各向量的终点之间有什么关系？ 课后小结 1、描述向量的两个指标：模和方向· 2、平面向量的概念和向量的几何表示； 3、向量的模、零向量、单位向量、平行向量等概念。 反思教学方式及能力培养篇二 为了强调学生的主体性，把时间还给学生，有的教师上课便叫学生自己看书，教师指导性差、没有提示和具体要求，看得如何没有检查也没有反馈等等。一些课堂上教师片面追求小组合作这一学习形式，对小组合作学习的目的、时机及过程没有进行认真设计。这些学习方式，学生表面上获得了自主的权利，可实际上并没有做到真正的自主。 课堂教学是开展反思性学习的主渠道。在课堂教学中要有意识的引导学生从多方位、多角度进行反思性的学习；要引导学生自然地合理地提出问题、自然地合理地解决问题、自然地合理地拓展问题，从而提高逻辑思维能力和解决问题的能力。 由于提出问题是解决问题的逻辑前提，并且提出问题对学生的思维品质和主动性有更高的要求，因此完整的数学学习应包括学“问”与学“答”两方面。教师应创设问题产生的情境，引导学生从解决现实问题和数学知识逻辑发展的需要中提出问题。如对两角和与差的余弦公式，既可以由观察诱导公式提出，也可以由如何求sin75deg;=?，cos15deg;=?等提出，也可以由函数的图像可以由函数的图像通过平移得到进而猜想它们的表达式也有内在的联系，也

人教 B 版高中数学必修4第一章导学案

课题：角的概念的推广 第 一 章 第 1 节 第 1 课时 【学习目标】1.了解角的概念及推广。2.掌握终边相同的角及象限角的概念。 【学习重点】角的概念的推广。 【学习难点】1.角的旋转合成。2.终边相同的角的集合。 【学习方法】阅读，讨论，练习 【学习过程】 一、预习成果展示（学生以思维导图形式展示预习成果） 二、小组探究解疑（小组合作学习新知，讨论解疑） 1.角的概念的推广： 2.角的加减法运算： 3.终边相同的角的集合： 4.象限角（轴上角）： 三、反馈矫正点拨（将难点问题集中呈现，教师点拨） 1.（1）分别写出终边在x 正半轴和负半轴，y 正半轴和负半轴，x 轴和y 轴上的角的集合。 （2）分别写出第一象限、第二象限、第三象限和第四象限的角的集合。 2.在直角坐标系中，判断下列语句的真假： （1）第一象限的角一定是锐角。 （2）终边相同的角一定相等。 （3）相等的角终边一定相同。 （4）小于90°的角一定是锐角。 （5）象限角为钝角的终边一定在第二象限。 （6）终边在直线y=3x 上的象限角表示为0 060360k +?，k ∈Z 。 3.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角： （1）-150° （2）650° （3）-950°15′

4.射线OA 绕端点O 逆时针旋转270°到达OB 位置，由OB 位置顺时针旋转一周到达OC 位置，求∠AOC 的大小？ 四、强化巩固练习（通过精选习题训练巩固新知） 1.若α分别是第一，二，三，四象限的角，那么2 α 分别是第几象限角？α2的终边又分别在哪呢？（你能总结出一点规律吗） 2.小明发现自己的手表走慢了10分钟，他想把时间调准那么时针和分针各旋转了多大的角度呢？ 3.（1）若?<<

人教A版高中数学必修四全一册导学案

课下能力提升(一) [学业水平达标练] 题组1 终边相同的角及区域角的表示 1．与－457°角的终边相同的角的集合是( ) A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z} B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z} C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z} D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z} 2．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是( ) A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z} C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z} D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z} 3．与角－1 560°终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________． 4．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________. 5．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α＜ 720°的元素α写出来： ①60°；②－21°. (2)试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α＜

180°的元素α写出来． 题组2 象限角的判断 6．－1 120°角所在象限是( ) A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 7．下列叙述正确的是( ) A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．第四象限角一定是负角 D．钝角比第三象限角小 8．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( ) A．第一象限角B．第二象限角 C．第三象限角D．第四象限角 题组3 nα或α n 所在象限的判定 9．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是( ) A．第一象限角B．第一或第二象限角 C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角 [能力提升综合练] 1．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝( ) A．{α|α为锐角} B．{α|α小于90°} C．{α|α为第一象限角}

高中数学必修4《弧度制》导学案

第一章三角函数 第一节弧度制 （第2课时） 一、学习目标 1.理解认识弧度制的概念。 2.掌握弧度制与角度制的互化。 3.学会解决弧度制相关应用题。 【重点、难点】 弧度制与角度制的互化以及相关应用。 二、学习过程 【情景创设】 1. 在角度制中，把圆周等分成360份，其中的一份是多少度？ 2. 半径为1的圆的周长是2π，即周长为2π时，对应的圆心角为360°，那么弧长为π时，对应的圆心角是多少？ 3.周角是多少度？是多少弧度？ 4.半圆所对圆心角是多少度？是多少弧度？ 【导入新课】 1、弧度制：(1)1弧度的角：_______________________________；(2)记作：_____或 ______；(3)定义：________________________________. 2、互化： 3、弧度数的计算公式：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧 度数的绝对值是：|α|=______. 【典型例题】 例1：已知圆的半径为2，则弧长为5的弧所对的圆心角α的弧度数为（）。 例2：将下列角度化为弧度，弧度化为角度. (1)75°=（），120°=（），3 5 π =（）， 7 4 π =（）. 【变式拓展】 1. 已知扇形的周长为6cm，面积为2cm2，则扇形的圆心角的弧度数为( ) A.1 B.4 C.1或4 D.2或4 2.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C（C>0），该扇形的最大面积为（）。

222 C C C C A. B. C. D. 44162 三、总结反思 1.对弧度制定义及角度制与弧度制互化的四点说明 (1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的值. (2)用弧度与度去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的. (3)任意角的弧度数与实数的对应关系 ①正角：正角的弧度数是一个正数. ②负角：负角的弧度数是一个负数. ③零角：零角的弧度数是0. 2.扇形周长及面积的最值问题的求解技巧 (1)当扇形周长一定时，扇形的面积有最大值.其求法是把面积S转化为关于r的二次函数，但要注意r的取值范围.特别注意一个扇形的弧长必须满足0

2020高中数学人教B版必修四1.3三角函数复习导学案

三角函数复习（1） 班级： 姓名： 编写： 一、任意角的概念 1.象限角：第一象限角的集合： ； 第二象限角的集合： ； 第三象限角的集合： ； 第四象限角的集合： ； 2.终边相同的角： 所有与角α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合： . 3.掌握象限角与轴线角的概念、终边相同的角的表示、终边对称的角之间的关系、已知α是第几象限角，确定 ()*n n α∈N 所在象限的方法、角域的表示方法。 例 已知=3π α. (1)写出所有与α终边相同的角； (2)写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角； (3)若角β与α终边相同，则β2 是第几象限的角？ 二、弧度制与角度制 1.________________________________________叫做弧度。 2. 弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1______=，180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭ 3．若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为，周长为C ，面积为S ，则 _______l =，2C r l =+，____________S ==。 例 （1）已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 （2）一扇形的周长为20 cm.当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． （3）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对弧长。 三、任意角三角函数 1． 任意角三角函数的定义：______________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________. 2.三角函数的符号:_____________________________________________ 例 （1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的值为＿＿。 （2）设α是第三、四象限角，m m --= 432sin α，则m 的取值范围是_______ （3）若0| cos |cos sin |sin |=+αααα，试判断)tan(cos )cot(sin αα⋅的符号 (4)已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第几象限 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （5）若cos α＝－32 ，且角α的终边经过点(x,2)，则P 点的横坐标x 是( )．

高中数学必修4教案6篇

高中数学必修4教案6篇 教学目标 1、把握平面对量的数量积及其几何意义； 2、把握平面对量数量积的重要性质及运算律； 3、了解用平面对量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题； 4、把握向量垂直的条件。 教学重难点 教学重点：平面对量的数量积定义 教学难点：平面对量数量积的定义及运算律的理解和平面对量数量积的应用 教学工具 投影仪 教学过程 一、复习引入： 1、向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ 五，课堂小结 （1）请学生回忆本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？

（2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向教师提出。 （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 六、课后作业 P107习题2.4A组2、7题 课后小结 （1）请学生回忆本节课所学过的学问内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向教师提出。 （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？ 课后习题 作业 P107习题2.4A组2、7题 高中数学必修4优秀教案篇二 教学预备 教学目标 一、学问与技能 （1）理解并把握弧度制的定义；(2)领悟弧度制定义的合理性；(3)把握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；(4)娴熟地进展角度

制与弧度制的换算；(5)角的集合与实数集之间建立的一一对应关系。(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。 二、过程与方法 创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并把握弧度制的定义，领悟定义的合理性。依据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式。以详细的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器。 三、情态与价值 通过本节的学习，使同学们把握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并熟悉到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好预备。 教学重难点 重点: 理解并把握弧度制定义；娴熟地进展角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用。 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用。 教学工具 投影仪等

江西省宜春中学高中数学必修四《2.3.2 平面向量的基本定理》导学案(教师版)

2.3.2 平面向量的基本定理 一、课前自主导学 【学习目标】会利用向量基本定理解决简单问题；掌握线段中点的向量表达式． 【重点、难点】平面向量基本定理及其应用．平面向量基底的理解和定理的应用 【温故而知新】向量共线定理: 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个 ,使 . 【教材助读】 阅读课本P83面并回答问题 如果e 1和e 2(如图2－3－7①)是同一平面内的 的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在 一对实数λ1，λ2，使 (如图2－3－7②)，其中 的向量e 1和e 2叫作表示这个平面内所有向量的一组 ． 答案：两个不共线 唯一 a ＝λe 1＋λ2e 2 不共线 基底 【预习自测】1.设e 1,e 2是平面向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底的是( B ). A .12e e +和12e e - B .3246e e e e --1221和 C .22e e e e ++1221和 D .e e e +212和 2.如图所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点,则向量错误！未找到引用源。等于( A ). A .21+ - B . 2 1-- C .21- D . 21 + 【我的疑惑】 二、课堂互动探究 【例1】如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，λ、μ是实数，判断下列说法是否正确，并说明理由． (1)若λ，μ满足λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0； (2)对于平面α内任意一个向量a ，使得a ＝λe 1＋μe 2成立的实数λ，μ有无数对； (3)线性组合λe 1＋μe 2可以表示平面α内的所有向量； (4)当λ，μ取不同的值时，向量λe 1＋μe 2可能表示同一向量． 【思路探究】 根据平面向量基本定理和基底的概念加以判断． 【自主解答】 (1)正确．若λ≠0，则e 1＝－μ λ e 2，从而向量e 1，e 2共线，这与e 1，e 2不共线

高中新课程数学苏教版必修四第35课时二倍角的三角函数1导学案

总 课 题 二倍角的三角函数 总课时 第35课时 分 课 题 二倍角的三角函数（1） 分课时 第1课时 教学目标 能记住二倍角公式，会运用二倍角公式进行求值、化简和证明，同时懂得这一公式在运用当中所起到的用途。培养观察分析 问题的能力，寻找数学规律的能力，同时注意渗透由一般到特殊的化归的数学思想及问题转化的数学思想。 重点难点 记住二倍角公式，运用二倍角公式进行求值、化简和证明；在运用 当中如何正确恰当运用二倍角公式 引入新课 1、= +=+=+)tan(;)cos(;)sin(βαβαβα 2、函数x y sin =与x y 2sin =图象之间的位置关系？ 3、角α的三角函数与角α2的三角函数之间有怎样的关系？ 4、学生活动： 由)(βα+S ，)(βα+C ，)(βα+T 公式中，令αβ=可以得到的结果：（倍角公式） =α2sin ； =α2cos = = ； =α2tan _______________。 例题剖析 例1、已知13 12 sin =α，),2(ππα∈，求ααα2tan 2cos 2sin ，，的值。 例2、求证： θθ θθ θtan 2cos 2sin 12cos 2sin 1=++-+。 例3、不查表，求下列各式的值。 （1）︒︒15cos 15sin （2）8 sin 8 cos 2 2π π - （3） ︒ -︒5.22tan 15.22tan 22 （4）︒-75sin 212 O x y

巩固练习 1、求下列各式的值： （1）8 cos 8 sin π π = ；（2）16 cos 16 sin 2 2 π π -= ；（3） =︒ -︒ 15tan 115tan 22 ； （4）=︒-15sin 212 ；（5）=12 cos 24 cos 48 cos 48 sin 8π π π π 。 2、已知， ，5 4 2cos 532sin -==αα 则角α的终边在第___________象限。 3、已知)2 ,0(8.0sin π αα∈=，，求αα2cos 2sin ， 的值。 4、已知21tan =α，求)22 tan(απ +的值 5、证明： （1）ααπαπ2sin )cos()sin(2=-+ （2）12cos cos 22 =-θθ （3） αα α sin 2sin 2cos 1=- （4） 2 tan cos 1cos 12A A A =+- 课堂小结 记住二倍角公式，运用二倍角公式进行求值、化简和证明 课后训练 班级：高一（ ）班 姓名__________ 一、基础题 1、求下列各式的值： （1）0367cos 03112sin '︒'︒= ； （2）︒-︒15cos 15sin 2 2= ； （3）2 1 12sin 2 -π = ； （4）︒-750cos 212 = ． 2、化简： （1）8 cos 8 sin 2 2 π π -= ； （2）2 sin 2 cos 4 4 α α -=

高中数学 必修四全部导学案

学生班级姓名小组号评价 必修四 1.1.1任意角 【学习目标】 1. 理解任意大小的角、正角、负角和零角概念； 2. 掌握终边相同的角的表示； 3. 了解象限角、区间角、终边在坐标轴上的角的表示； 【重点和难点】 教学重点：理解任意角的概念;教学难点：终边相同的角表示，象限角的表示，轴线角的表示 【使用说明及学法指导】 1.先预习课本P2-P5,然后开始做导学案。 预习案 一．知识梳理 1.复习1：回忆初中所学的角是如何定义？角的范围？ 角可以看成平面内一条绕着从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α. 旋转开始时的射线OA叫做角的，OB叫，射线的端点O叫做叫α的顶点. 初中所研究的角的范围为. 2.复习2：举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？ ①体操比赛中术语：“转体720o”（即转体周），“转体1080o”（即转体周）； ②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（时针旋转度） 如果慢了5分钟，又该如何校正？（时针旋转度） 3. 新知1：按逆时针方向旋转所形成的角叫角，按顺时针方向旋转所形成的角叫角，未作任何旋转所形成的角叫角.这样，我们就把角的概念推广到了任意角。 4. 新知2：将角放入坐标系中讨论：当角的顶点与重合，角的与x轴的非负半轴重合. 角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限， 5.新知3：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合。 二．问题导学 1.如何理解角的概念推广？ 2.角的概念推广后，角可以分为几类？ 3.象限角及终边相同的角怎么表示? 三.预习自测 1．下列结论： （1）锐角都是第一象限角； （2）第一象限角一定不是负角； （3）第二象限角是钝角； （4）小于180°的角是钝角、锐角或直角。其中正确的序号为。 2. 在坐标系中表示300°、390°、－330°角，并判别它们分别在第、、象限. 反思：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？ 四.我的疑问：

2020版高中数学人教A版必修4 导学案《向量数乘运算及其几何意义》(含答案解析)

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 学习目标 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题. 知识点一 向量数乘的定义 思考1 实数与向量相乘结果是实数还是向量？ 答案为：向量. 思考2 向量3a ，－3a 与a 从长度和方向上分析具有怎样的关系？ 答案为： 3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相同. －3a 的长度是a 的长度的3倍，它的方向与向量a 的方向相反. 思考3 λa 的几何意义是什么？ 答案为：λa 的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩. 当|λ|＞1时，表示a 的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的|λ|倍. 梳理 向量数乘运算 实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下： (1)|λa|=|λ||a|. (2)λa (a≠0)的方向⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ 当λ>0时，与a 方向相同， 当λ<0时，与a 方向相反； 特别地，当λ=0或a=0时，0a=0或λ0=0. 知识点二 向量数乘的运算律 思考 类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？ 答案为： 结合律，分配律. 梳理 向量数乘运算律 (1)λ(μa)=(λμ)a； (2)(λ＋μ)a=λa＋μa； (3)λ(a＋b)=λa＋λb. 知识点三 向量共线定理 思考1 若b=2a ，b 与a 共线吗？ 答案为：根据共线向量及向量数乘的意义可知，b 与a 共线. 如果有一个实数λ，使b=λa(a≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b=λa. 思考2 若b 与非零向量a 共线，是否存在λ满足b=λa？若b 与向量a 共线呢？ 答案为：若b 与非零向量a 共线，存在λ满足b=λa；若b 与向量a 共线，当a=0，b≠0时，不存在λ满足b=λa. 梳理 (1)向量共线定理 向量a (a≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa. (2)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.

11.1.1 空间几何体与斜二测画法 导学案(2)-人教B版高中数学必修第四册

11.1.1 空间几何体与斜二测画法 1.了解空间几何体的概念． 2.了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤． 3.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图． 4.逆用斜二测画法，找出直观图的原图． 重点：了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤 难点：会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图 1．空间几何体 如果只考虑一个物体占有的空间和，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体．形状；大小 2．直观图 立体几何中，用来表示空间图形的，习惯上称为空间图形的直观图，为了使直观图具有立体感，经常使用来作直观图．斜二测画法；平面图形 3．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴，作出与之对应的__轴和__轴，使得它们正方向的夹角为45°(或)． (2)平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画成与轴平行(或重合)的线段，且长度． 平面图形中与y轴平行(或重合)的线段画成与轴平行(或重合)的线段，且长度为原来长度的．(3)连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线．x′；y′；135°；不变；一半；x′；y′ 4．用斜二测画法作立体图形直观图的步骤 (1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的(保留x′轴与y′轴)． (2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴．过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于___轴． 图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合)的线段，且长度．连接有关线段．

直观图；x′；不变 (3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成(或)． 注意：水平放置的圆，其直观图一般用“正等测画法”画成椭圆． 擦除；虚线 试一试 1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝() A．45°B．135° C．45°或135° D．90° 2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是() A．原来相交的仍相交 B．原来垂直的仍垂直 C．原来平行的仍平行 D．原来共点的仍共点 3．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的() 4．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是() A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．任意三角形 一、情境与问题

北师大版高中数学必修4全册表格式导学案

北师大版高中数学必修四全册导学案 目 录 第一章 三角函数 (1) §1.1周期现象 (1) §1.2角的概念的推广 (1) §1.3弧度制 (3) §1.4.1任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的定义 (5) §1.4.3 单位圆与诱导公式(1) (7) §1.4.3三角函数的诱导公式(2) (9) §1.4.3三角函数的诱导公式(3) (12) §1.5.1.2正弦函数图像 (14) §1.5.3 正弦函数的性质 (16) §1.6.1余弦函数的图像 (18) §1.6.2 余弦函数的性质 (20) §1.7.1 正切函数的定义 (22) §1.7.2 正切函数的图像与性质 (24) §1.7.3 正切函数的诱导公式 (26) § 1.8.1 )sin(ϕω+=x A y 的图像(第1课时) (28) § 1.8.2 )sin(ϕω+=x A y 的图像(第2课时) (30) § 1.8.3 )sin(ϕω+=x A y 的图像 (32) § 1.9 三角函数的简单应用 (35) § 1.10 三角函数复习 (37) 第二章 平面向量 (39) § 2.1 从位移、速度、力到向量 (39) § 2.2.2 向量的减法 (43) § 2.3.1 数乘向量 (45) § 2.3.2 平面向量基本定理 (47) § 2.4.1 平面向量的坐标表示 (49) § 2.4.2 平面向量的坐标运算 (51) §2.5 从力做的功到向量的数量积 (53) §2.6 平面向量数量积的坐标表示 (55) §2.7.1 向量应用----点到直线的距离公式 (57) §2.7.2 向量应用----物理应用 (59) §2.8.1 章末小结一 (61) §2.8.2 章末小结二 (63) 第三章 三角恒等变形 (65)