《平面向量的坐标运算》的教学设计
一、 复习：
1.平面向量基本定理:
2.不共线的两向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底.
3.平面内所有向量的基底有多少组?
二、引入:
1.平面内建立了直角坐标系,点A 可以用什么来表示?
2.平面向量是否也有类似的表示呢?
思考1:以坐标原点O 为起点，P 为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？
思考2:在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点0的向量如何用坐标来表示?
三、 新课讲解：
（一）平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，对
于平面上的向量a ，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数x ，y 使得
a xi y j =+ ，则有序实数对(,x y )称为向量a 的坐标，记作(,)a x y =r .
注：每个向量都有唯一的坐标.
例1．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA uu r |＝060xOA ∠=，求向量OA uu r 的
坐标.
（二）平面向量的坐标运算
1.若11(,)a x y =r , 22(,)b x y =r ,
则a b +=r r , a b -=r r
即两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差.
2.若(,)a x y =r ，R λ∈,则 a λr =
即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.
3.1122(,),(,),A x y B x y AB =已知点则向量uu u r
即一个向量的坐标等于表示该向量的终点的坐标减去起点的坐标.
练习：已知a =(2 ,1)，b =(-3 ,4)，求a +b ，a -b ，3a +4b .
例题讲解：
例2.如图：已知A(-1，3),B(1，-3),C(4，1),D(3，4)，求向量OA uu r ,OB uu u r ,AO uuu r ,CD uu u r 的坐
标.
例3 .已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，-4），且3CM CA =u u u r u u r ,2CN CB =uu u r uu r ，求MN
uuu r 的坐标.
练习:已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，
求: (1)AB AC -u u u r u u u r
(2) 2AB BC +uu u r uu u r (3)12
BC AC -uu u r uuu r 四、 课堂练习
1.已知A (x,2)，B (5，y －2)，若AB uu u r ＝(4,6)，则x ，y 值分别为____ ___
2.已知M (3，－2)，N (－5，－2)，且MP uuu r ＝12
MN uuu r ，则P 点坐标为____ ____ 3.已知a =(2 ,4)，b =(-1 ,2)，求a +b ，a -b ，2a -3b .
4．已知平面上的三点：A (－2,1)，B (3，－4)，C (5，－2)，求：
(1)2AB AC +uu u r uu u r ； (2)12
BC CA -uu u r uu r . 五、课堂总结：
1.向量的坐标的概念.
2.对向量坐标表示的理解.
(1)任一平面向量都有唯一的坐标；
(2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系；
(3)相等的向量有相等的坐标.
3.平面向量的坐标运算.
六、作业
《平面向量的坐标运算》说课稿 一、教学背景 《平面向量的坐标运算》是人教版高中数学必修第四册第二章第三节中的内容。本节课的内容在教材中有着承上启下的作用，它是在学生对平面向量的基本定理有了充分的认识和正确的应用后学习的，同时也为下一节定比分点坐标公式和中点坐标公式的推导奠定了基础；向量用坐标表示后，对立体几何教材的改革也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化，把空间形式的研究从“定性”推到“定量”的深度。引入坐标运算之后使学生形成了完整的知识体系（向量的几何表示和向量的坐标表示），为用“数”的运算解决“形”的问题搭起了桥梁。 高中学生已经具备了初等代数、初等几何的相关知识，以及一定的抽象思维能力和空间想象能力，在这个基础上，学生通过学习平面向量的坐标运算，可以领会归纳、转化、数形结合等丰富的数学思想方法，能较好地培养学生的观察能力、思维能力、探究能力及创新意识。 根据新课标的要求，以及对教材和学情的分析，我确立了如下三维教学目标： 1、知识与技能目标：理解平面向量的坐标表示的意义；能熟练地运用坐标形式进行运算。 2、过程与方法目标：通过平面向量坐标表示及坐标运算法则的推导，培养学生演绎、归纳、猜想的能力；借助数学图形解决问题，提高学生用数形结合的思想方法解决问题的能力。 3、情感与态度目标：设置问题情境，学生认识到课堂知识与实际生活的联系，感受数学来源于生活并服务于生活的理念；在思考和探究的过程中培养学习数学的兴趣。 根据本节课的地位和作用以及新课程标准的具体要求，确定本节课的重点为：平面向量的坐标运算。根据本节课的内容，以及学生的心理特点和认知水平，确定本节课的教学难点为：理解平面向量坐标化的意义。 二、活动评价 在课堂教学过程中，我将对学生的学习情况进行及时而有效的评价。注重课程中的过程性评价，无论是在学生开始遇到问题、产生疑惑、给出猜想的时候，还是在逐步思考、交流、探索的教学过程中，我都会注重对于学生学习成果的评价。比如，在课堂讨论较难理解的问
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 明目标、知重点 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能依据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能依据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直. 1.平面对量数量积的坐标表示 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和. 2.两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面对量的长度 (1)向量长度公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21. (2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB → |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4.向量的夹角公式 设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22 . [情境导学] 在平面直角坐标系中，平面对量可以用有序实数对来表示，两个平面对量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面对量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面对量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面对量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义向向量的坐标表示，在此基础上推导、探究平面对量数量积的坐标表示. 探究点一 平面对量数量积的坐标表示 思考1 已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b? 答 ∵a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j ) ＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1j ·i ＋y 1y 2j 2. 又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0， ∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 思考2 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，这就是平面对量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？ 答 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 例1 已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10. (1)求a 的坐标； (2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c . 解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4). (2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝1×2＋2×4＝10， ∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10(2，－1)＝(20，－10). 反思与感悟 两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同.同时本例进一步验证了平面对量的数量积不满足结合律. 跟踪训练1 若a ＝(2,3)，b ＝(－1，－2)，c ＝(2,1)，则(a·b )·c ＝____________；a·(b·c )＝____________. 答案 (－16，－8) (－8，－12) 解析 ∵a·b ＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8， ∴(a·b )·c ＝－8×(2,1)＝(－16，－8). ∵b·c ＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4， ∴a·(b·c )＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12). 探究点二 平面对量长度的坐标形式及两点间的距离公式 思考1 若a ＝(x ，y )，如何计算向量的长度|a |? 答 ∵a ＝x i ＋y j ， ∴a 2＝(x i ＋y j )2＝(x i )2＋2xy i ·j ＋(y j )2 ＝x 2i 2＋2xy i ·j ＋y 2j 2. 又∵i 2＝1，j 2＝1，i ·j ＝0， ∴a 2＝x 2＋y 2，∴|a |2＝x 2＋y 2， ∴|a |＝x 2＋y 2. 思考2 若A (x 1，y 2)，B (x 2，y 2)，如何计算向量AB → 的长度？ 答 如图，∵AB →＝OB →－OA → ＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)
第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 1．平面向量基本定理 如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2．其中，__________的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组__________． （1）基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； （2）若基底给定，则同一向量的分解形式唯一； （3）如果对于一组基底e 1，e 2，有a =λ1e 1+λ2e 2=μ1e 1+μ2e 2，则可以得到11 22 λμλμ=??=?． 2．两个向量的夹角 （1）向量夹角的几何表示 依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是两向量的夹角．已知两向量a ，b ，作OA u u u r =a ，OB u u u r =b ，则__________为a 与b 的夹角． （2）夹角范围 ①向量的夹角是针对非零向量定义的； ②向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是__________和[0,]2 π ； ③当两向量方向相同时，夹角为__________，当方向相反时，夹角为__________． 3．平面向量运算的正交分解及坐标表示 （1）向量的分解 一个平面向量a 用一组基底e 1，e 2表示成a =λ1e 1+λ2e 2（λ1，λ2∈R ）的形式，我们称之为向量的分解． （2）向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量__________．这两个互相垂直的向量称为 __________．
《平面向量的坐标运算》的教学设计 一、 复习： 1.平面向量基本定理: 2.不共线的两向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底. 3.平面内所有向量的基底有多少组? 二、引入: 1.平面内建立了直角坐标系,点A 可以用什么来表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢? 思考1:以坐标原点O 为起点，P 为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？ 思考2:在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点0的向量如何用坐标来表示? 三、 新课讲解： （一）平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，对 于平面上的向量a ，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数x ，y 使得 a xi y j =+ ，则有序实数对(,x y )称为向量a 的坐标，记作(,)a x y =r . 注：每个向量都有唯一的坐标. 例1．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA uu r |＝060xOA ∠=，求向量OA uu r 的 坐标. （二）平面向量的坐标运算 1.若11(,)a x y =r , 22(,)b x y =r , 则a b +=r r , a b -=r r 即两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差. 2.若(,)a x y =r ，R λ∈,则 a λr = 即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3.1122(,),(,),A x y B x y AB =已知点则向量uu u r 即一个向量的坐标等于表示该向量的终点的坐标减去起点的坐标.
练习：已知a =(2 ,1)，b =(-3 ,4)，求a +b ，a -b ，3a +4b . 例题讲解： 例2.如图：已知A(-1，3),B(1，-3),C(4，1),D(3，4)，求向量OA uu r ,OB uu u r ,AO uuu r ,CD uu u r 的坐 标. 例3 .已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，-4），且3CM CA =u u u r u u r ,2CN CB =uu u r uu r ，求MN uuu r 的坐标. 练习:已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)， 求: (1)AB AC -u u u r u u u r (2) 2AB BC +uu u r uu u r (3)12 BC AC -uu u r uuu r 四、 课堂练习 1.已知A (x,2)，B (5，y －2)，若AB uu u r ＝(4,6)，则x ，y 值分别为____ ___ 2.已知M (3，－2)，N (－5，－2)，且MP uuu r ＝12 MN uuu r ，则P 点坐标为____ ____ 3.已知a =(2 ,4)，b =(-1 ,2)，求a +b ，a -b ，2a -3b . 4．已知平面上的三点：A (－2,1)，B (3，－4)，C (5，－2)，求： (1)2AB AC +uu u r uu u r ； (2)12 BC CA -uu u r uu r . 五、课堂总结： 1.向量的坐标的概念. 2.对向量坐标表示的理解. (1)任一平面向量都有唯一的坐标； (2)向量的坐标与其起点、终点坐标的关系； (3)相等的向量有相等的坐标. 3.平面向量的坐标运算. 六、作业
高中数学第2章平面向量教案新人教版必修4 目标定位： 向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景．在本章中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量的语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力．这部分内容的教育价值主要体现在以下几个方面．1．通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量以及向量相等的含义，理解向量的几何表示． 2．掌握平面向量的加法、减法和向量数乘的运算，并理解其几何意义，理解两个向量共线的含义． 3．了解平面向量基本定理及其意义，理解平面向量的正交分解及其坐标表示，掌握平面向量的坐标运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 4．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，体会向量的数量积与投影间的关系，掌握数量积的坐标表达式，会用平面向量的数量积解决有关角度和垂直的问题． 5．经历向量(及其运算)的建构的过程，以及用向量方法解决某些简单的实际问题(几何问题、力学问题等)的过程，了解向量的实际背景，理解向量及其运算的意义，并从中了解到数学和现实世界的深刻联系，体会数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量，培养学生的理性思维的能力、运算能力和解决实际问题的能力． 教材解读： 向量既是重要的数学模型，又是重要的物理模型．是刻画和描绘现实世界的重要数学模型．数学模型是从现实原型中抽象出来的，它高于原型，可用于研究和解决包括原型在内的更加广泛的一类问题．学习数学模型的最好方法是经历数学建模过程，即“问题情景—建立模型—解释、应用与拓展”．本章立足于现实生活，根据学生的生活经验，创设丰富的情境，从大量的实际背景中抽象出向量的概念(数学模型)，然后用数学的方法研究向量及其运算的性质，再运用数学模型去解决实际问题．这样处理体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来龙去脉，有助于学生理解数学的本质，形成对数学完整的认识，达到培养学生的创新思维和理性思维的目的． 力、速度、位移等在实际生活中随处可见，这些都是向量的实际背景，也可以用向量加
第二章平面向量 向量的概念及表示 【学习目标】 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量； 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别； 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。 【学习重难点】 重点：平行向量的概念和向量的几何表示； 难点：区分平行向量、相等向量和共线向量； 基础梳理 1.向量的定义：__________________________________________________________; 2.向量的表示： （1）图形表示： （2）字母表示： 3.向量的相关概念： （1）向量的长度（向量的模）：_______________________记作：______________ （2）零向量：___________________，记作：_____________________ （3）单位向量：________________________________ （4）平行向量：________________________________ （5）共线向量：________________________________ （6）相等向量与相反向量：_________________________
思考： （1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形____ （2）平行向量与共线向量的关系：____________________________________________ （3）向量“共线”与几何中“共线”有何区别：__________________________________ 【典型例题】 例1.判断下例说法是否正确，若不正确请改正： （1）零向量是唯一没有方向的向量； （2）平面内的向量单位只有一个； （3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是相反向量； （4）向量a r 和b r 是共线向量，//b c r r ，则a r 和c r 是方向相同的向量； （5）相等向量一定是共线向量； 例2.已知O 是正六边形ABCDEF 的中心，在图中标出的向量中： （1）试找出与EF u u u r 共线的向量； （2）确定与EF u u u r 相等的向量； （3）OA u u u r 与BC uuu r 相等吗 例3.如图所示的为34 的方格纸（每个小方格都是边长为1的正方形），试问：起点和终
平面向量基本定理与坐标运算 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示; 2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算. 3.会用坐标表示平面向量共线的条件，进而解决一些相关问题. 4.了解平面向量的基本定理及其意义. 一、平面向量基本定理： 1．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个_____不共线_____不共线向量，那么对于这一平面内的__任一__向量a ，有且只有_一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e 特别提醒： (1)我们把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2)基底不惟一，关键是不共线； (3)由定理可将任一向量a 在给出基底1e 、2e 的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一 λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 二、平面向量的坐标表示： 如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个__单位向量_ i 、j 作为基底任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有 且只有一对实数x 、y ，使得a xi yj =+…………○ 1， 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作 (,)a x y =…………○ 2
其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○ 2式叫做向量的坐标表示 与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x 特别地，(1,0)i =，(0,1)j =，0(0,0)= 特别提醒：设yj xi OA +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也 就是向量OA 的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示 三、平面向量的坐标运算： （1） 若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b +=1212(,)x x y y ++， a b -= 1212(,)x x y y -- 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差 （2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则AB =()2121,x x y y -- 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标 （3）若(,)a x y =和实数λ，则a λ=(,)x y λλ 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 （4）向量平行的充要条件的坐标表示：设a =(x 1, y 1) ，b =(x 2, y 2) 其中b ≠a a ∥ b (b ≠0)的充要条件是12210x y x y -= 类型一 平面向量基本定理的应用 【1】 如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若 AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________. [审题视点] 由B ，H ，C 三点共线可用向量AB →，AC →来表示AH →. 解析 由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM → ＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12. 答案 1 2
2．3．3 向量数量积的坐标运算与度量公式 课时目标 1．掌握数量积的坐标表示， 会进行平面向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模． 1．平面向量数量积的坐标表示 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝_______________________________________． 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和． 2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 则a ⊥b ⇔______________． 3．平面向量的模 (1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝_____________________________________． (2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝__________________________． 4．向量的夹角公式 设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝____ _______ ＝__________________________． 一、选择题 1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( ) A ．1 B ． 2 C ．2 D ．4 2．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A ． 3 B ．2 3 C ．4 D ．12 3．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A ．865 B ．－865 C ．1665 D ．－1665 4．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( )
1 高中数学 2.3.4平面向量共线的坐标表示导学案 新人教A 版必修4 学习目标 1、在理解向量共线的概念的基础上，学习用坐标表示向量共线的条件。 2、利用向量共线的坐标表示解决有关问题。 学习过程 一、课前准备（预习教材P98—P100） 复习： ⑴若点A 、B 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y 那么向量AB 的坐标为 . ⑵若()()1122,,,a x y b x y ==，则a b += ，a b -= ，a λ= 二、新课导学 ※ 探索新知 探究：平面向量共线的坐标表示
2 问题1：两向量平行（共线）的条件是什么？ 若,a b （0b ≠）共线，当且仅当存在实数λ，使 。 问题2：假设()()1122,,,a x y b x y ==（0b ≠），用坐标该如何表示这两个向量共线呢？ 2、设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，则//a b 等价于 ______________________。 ※ 典型例题 例1、已知()2,4-=a ，()6,b y =，且//a b ，求y .
3 例2、向量(),12OA k =，()4,5OB =，()10,OC k =，当k 为何值时，,,A B C 三点共线. 变式：证明下列各组点共线： （1）7(1,2) (3,4)(2,)2 A B C --，、 、 （2）1 (9,1) Q(1,3)(8,)2P R -、、 例3、设点P 是线段12P P 上的一点，12,P P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y . ⑴当点P 是线段12P P 的中点时，求点P 的坐标； ⑵当点P 是线段12P P 的一个三等分点时，求点P 的坐标.
1 高中数学 2.3.3平面向量的坐标运算导学案 新人教A 版必修 4 【学习过程】 一、自主学习 （一）知识链接：复习：⑴向量()122,0e e e ≠是共线的两个向量，则12,e e 之间的关系可表示为 . ⑵向量12,e e 是同一平面内两个不共线的向量， a 为这个平面内任一向量，则向量a 可用12,e e 表示为 。 （二）自主探究：（预习教材P96—P97） 探究：平面向量的坐标运算 问题1：已知()11,a x y =，()22,b x y =，能得出a b +，a b -，a λ的坐标吗？ 1、已知：==1122(,),(,)a x y b x x ，λ为一实数 +a b =__________________________ _。-a b =___________ 。 这就是说，两个高量和（差）的坐标分别等于__________________ ____。 λa =_______________这就是说，实数与向量的积的坐标等于：________________________。 问题2：如图，已知()11,A x y ，()22,B x y ，则怎样用坐标表示向
2 量AB 呢？ 2、若已知(,)A x y 11,(,)B x y 22， 则AB =_____________=___________________ 即一个向量的坐标等于此向量的有向线段 的________________________。 问题3：你能在上图中标出坐标为()2121,x x y y --的P 点吗？标出P 点后，你能发现向量的坐标与点的坐标之间的联系吗？ 二、合作探究 1、已知()2,8a b +=-，()8,16a b -=-，求a 和b . 2、已知平行四边形ABCD 的顶点()1,2A --，()3,1B -，()5,6C ，试求： （1）顶点D 的坐标. （2）若AC 与BD 的交点为O ，试求点O 的坐标. 3、已知△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M 、N 是AB 、AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算掌握两个 向量和、差及数了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.学习目标 1.. .3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来乘向量的坐标运算法则 平面向量的正交分解知识点一bbaaba互相垂直的两个向与垂直，记作的夹角是90°，则称向量.与思考如果向量⊥量能否作为平面内所有向量的一组基底？. 互相垂直的两个向量能作 为平面内所有向量的一组基底答案. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解梳理平面向量的坐标表示知识点二aiija＝30°，且是两个互相垂直的单位向量，向量|与|思考1 如图，向量的夹角是，a?ji，4，以向量为基底，如何表示向量 ija. 2 ＝＋23答案AAA点位置确定了吗？给定向量，则在平面直角坐标系内，给定点，的坐标为1)(1思考2 aaa的位置确定了吗？ 1)，则向量＝(1，的坐标为AAAaaa的坐标为点位置确定.点，若给定坐 标为对于向量(1，1)，则，给定答案对于a的方向和大小，但因向量的位置由起点和终点确定，且向量可以任1)，此时给出了＝(1，a的位置还与其起点有关意平移，因此. →→→→BCOBCOAOAA点，，则为坐标原点，若将向量的坐标是多少？平移到思考3 设向量，＝(11)坐标是多少？ →→OAOAAA(1，1)，1). 答案向量点坐标为的坐标为(1＝，梳理 (1)平面向量的坐标 xyij作为基底.、①在平面直角坐标系中，分别取与轴、对于轴方向相同的两个单位向量axyaxiyj.＋平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数＝，，使得axyxya的坐标，记(叫做向量，)平面内的任一向量都可由、唯一确定，我们把有序数对axy). ，(＝作 ij＝(0，1)，00)，＝(0，②在平面直角坐标平面中，0). ＝(1，(2)点的坐标与向量坐标的区别和联系
第二章第三节平面向量的基本定理及坐标表示第二课时 整体设计 教学分析 1．前面学习了平面向量的坐标表示，实际是平面向量的代数表示．在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算． 2．本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律，推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算．推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律． 3．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数λ，使得a ＝λb ，那么a 与b 共线)，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示．这种转化是比较容易的，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示．要注意的是，向量的共线与向量的平行是一致的． 三维目标 1．通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法．理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示． 2．引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化，平面向量的坐标成了数与形结合的载体． 3．在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识． 重点难点 教学重点：平面向量的坐标运算． 教学难点：对平面向量共线的坐标表示的理解． 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.向量具有代数特征，与平面直角坐标系紧密相联．那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时，直线与直线的平行是一种重要的关系．关于x 、y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？ 思路2.对于平面内的任意向量a ，过定点O 作向量OA → ＝a ，则点A 的位置被向量a 的大小和方向所唯一确定．如果以定点O 为原点建立平面直角坐标系，那么点A 的位置可通过其坐标来反映，从而向量a 也可以用坐标来表示，这样我们就可以通过坐标来研究向量问题了．事实上，向量的坐标表示，实际是向量的代数表示．引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算．引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，那么向量的平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？ 推进新课 新知探究 提出问题 ①我们研究了平面向量的坐标表示，现在已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，你能得出a ＋b ，a －b ，λa 的坐标表示吗？ ②如图1，已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，怎样表示AB 的坐标？你能在图中标出坐标为(x 2 －x 1，y 2－y 1)的P 点吗？标出点P 后，你能总结出什么结论？ 活动：教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算，教师可以让学生
由几何画板行星运行说明四季变换，带出冬季和帽子两个名词，利用戴帽子的向量先生，引入课题。 （二）、复习旧知，细心铺垫可以表示为从_____的终点指向 的终点的向量 是同一平面内这一平面内的任意向量a ，有且只有唯 ___对实数λ 一平面内所有向量的一组_______ ______点A 的坐标 （填（三）、提出问题，启发思考 若已知(1,3),(5,1)a b ==，如何求-a b a b +和的坐标呢？通过图形学生发现了a b +的坐标为（6,4），就大胆猜想它的横纵坐标分别是由原来的横纵坐标对应加起来，通过上节课学习 a e e λλ=+OA OB -
（四）、运用过手，迁移到家 （五）、合作探究 若已知 点A 、B 的坐标分别为 （1，3）， （4，2），如何求AB 的坐标呢？ 从“形”到“数”的知识衔接得到 A(x 1 , y 1) , B(x 2 , y 2) AB =(x -例3.如图，已知 四边形 的四个顶点 A 、 B 、 C ， D 的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），(2,2)求证四边形 ABCD 是平行四边形 提出问题 学生最初还可以用加法解决，但是倍数越多就越麻烦， 问题，学生又能得出结论学生填空得出幻灯片上三个 以学生活动为载 体，让学生在 (),,a x y a a =已知则2的3呢？ , (,), a x y =a λ=？a (,x y λλλ=(2,1),(3,4),,,34a b a b a b a b ==-+-+例1.已知求的坐标。
ABCD 小结以提问的形式，让学生归纳本节学 ，则 、B 、C 的 若已知平面上三个点A 、B 、 则三角形ABC 重心的坐标为 11(,),(,) a x y b x y a b a b a λ==+=-===AB
2019-2020年高一数学 5.4平面向量的坐标运算（第一课时）大纲 人教版必修 ●教学目标 (一)知识目标 1.平面向量的坐标表示； 2.平面向量的坐标运算. (二)能力目标 1.理解平面向量的坐标概念； 2.掌握已知平面向量的和、差，实数与向量的积的坐标表示方法. ●教学重点 平面向量的坐标运算. ●教学难点 理解向量坐标化的意义. ●教学方法 启发引导式 启发学生在学习平面向量坐标表示的推导过程中理解平面向量基本定理中基底的特殊化. ●教学过程 Ⅰ.复习回顾 ［师］上一节，我们学习了平面向量的基本定理，这一节，我们将利用此定理推得平面向量的坐标表示. 我们知道，在直角坐标系内，第一个点都可以用一个有序实数对(x，y)来表示，本节我们将把向量放入直角坐标平面内，同样用有序数对(x，y)来表示. Ⅱ.讲授新课 1.平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，i、j为x轴、y轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋y j成立. 2.平面向量的坐标运算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2). 即：平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的终点坐标减去始点坐标. 3.实数与向量积的坐标表示 若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy) 4.向量平行的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，由a∥b⇔存在实数λ，使a＝λb. ∴(x1，y1)＝λ (x2，y2)＝(λx2，λy2)， ∴x1＝λx2，y1＝λy2. 消去λ得：x1y2－x2y1＝0， ∴a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.(b≠0) ［师］下面我们通过例题分析来熟悉平面向量的坐标运算. ［例1］已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
高中数学第二章平面向量： 2.3.2-3 [基础巩固](25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB → 的坐标是( ) A ．(1，－2) B ．(7,6) C ．(5,0) D ．(11,8) 解析：因为OA →＝(4,2)，OB → ＝(3,4)， 所以2OA →＋OB → ＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)． 答案：D 2．已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(1,0)，那么向量3b －a 的坐标是( ) A ．(－4,2) B ．(－4，－2) C ．(4,2) D ．(4，－2) 解析：3b －a ＝3(1,0)－(－1,2)＝(4，－2)． 答案：D 3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6) D ．(2,0) 解析：b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)． 答案：A 4．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )； ②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：由平面向量基本定理知①正确；若a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误． 答案：A 5．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD → ，则顶点D 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，72 B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3) 解析：设点D (m ，n )，则由题意知，(4,3)＝2(m ，n －2)＝(2m,2n －4)，故⎩ ⎪⎨⎪⎧ 2m ＝4， 2n －4＝3，解
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 课时目标 1.掌握向量的正交分解，理解平面向量坐标的概念，会写出给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量.2.掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法、减法、数乘的坐标运算法则进行有关的运算． 1．平面向量的坐标表示 (1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个__________的向量，叫作把向量正交分解． (2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个 ____________i ，j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝____________，则________________叫作向量a 的坐标，________________叫作向量的坐标表示． (3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若A (x ，y )，则OA →＝________，若A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则AB →＝________________________. 2．平面向量的坐标运算 (1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝________________，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和． (2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a －b ＝________________________，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差． (3)若a ＝(x ，y )，λ∈R ，则λa ＝________，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标． 一、选择题 1．已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32 b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(－2,1) C ．(－1,0) D ．(－1,2) 2．已知a －12 b ＝(1,2)，a ＋b ＝(4，－10)，则a 等于( ) A ．(－2，－2) B ．(2,2) C ．(－2,2) D ．(2，－2) 3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1 D ．－1,2 4．已知M (3，－2)，N (－5，－1)且MP →＝12 MN →，则点P 的坐标为( ) A ．(－8,1) B.⎝⎛⎭ ⎫1，32 C.⎝ ⎛⎭⎫－1，－32 D ．(8，－1) 5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →等于( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5) D ．(2,4)
2021年高中数学 2.3平面向量的基本定理及坐标表示教案新人教版必修4教学目的： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ （1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ= 2．运算定律 结合律：λ(μ)=(λμ) ；分配律：(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ 3. 向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ. 二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2. 探究： (1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被，，唯一确定的数量
三、讲解范例： 例1已知向量，求作向量 2.5+3. 例2 如图ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，， 和 例3已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意 一点，求证：+++=4 例4（1）如图，，不共线，=t (t R)用，表示. （2）设不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且 =-+∈.求证：A、B、P三点共线. OP t OA tOB t R (1)() 例5已知a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数与c共线. 四、课堂练习： 1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等 C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R) D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+u e2(λ、u∈R) 2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定 3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2 4.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= . 5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线). 五、小结（略） 六、课后作业（略）： 七、板书设计（略） 八、课后记： 第5课时 §2.3.2—§2.3.3 平面向量的正交分解和坐标表示及运算 教学目的： （1）理解平面向量的坐标的概念；