100个历史上最有名的初等数学难题
第01题阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum
太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。问这牛群是怎样组成的？
第02题德?梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac
一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物。问这4块砝码碎片各重多少？
第03题牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cows
a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了；a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了；a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了；求出从a到c"9个数量之间的关系？
第04题贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens
在下面除法例题中，被除数被除数除尽：
* * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * *
* * * * * *
* * * * * 7 *
* * * * * * *
* 7 * * * *
* 7 * * * *
* * * * * * *
* * * * 7 * *
* * * * * *
* * * * * *
用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？
第05题柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem
某寄宿学校有十五名女生，她们经常每天三人一行地散步，问要怎样安排才能使每
个女生同其他每个女生同一行中散步，并恰好每周一次？
第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题：
求n个元素的排列，要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置。
第07题欧拉关于多边形的剖分问题Euler's Problem of Polygon Division
可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形？
第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas' Problem of the Married Couples
n对夫妇围圆桌而坐，其座次是两个妇人之间坐一个男人，而没有一个男人和自己的
妻子并坐，问有多少种坐法？
第09题卡亚姆的二项展开式Omar Khayyam's Binomial Expansion
当n是任意正整数时，求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂。
第10题柯西的平均值定理Cauchy's Mean Theorem
求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值。
第11题伯努利幂之和的问题Bernoulli's Power Sum Problem
确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+np。
第12题欧拉数The Euler Number
求函数φ(x)=(1+1/x)x及Φ(x)=(1+1/x)x+1当x无限增大时的极限值。
第13题牛顿指数级数Newton's Exponential Series
将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数。
第14题麦凯特尔对数级数Nicolaus Mercator's Logarithmic Series
不用对数表，计算一个给定数的对数。
第15题牛顿正弦及余弦级数Newton's Sine and Cosine Series
不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数。
第16题正割与正切级数的安德烈推导法Andre's Derivation of the Secant and Tangent Series
在n个数1，2，3，…,n的一个排列c1，c2，…，cn中，如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间，则称c1，c2，…，cn为1，2，3，…,n的一个屈折排列。
试利用屈折排列推导正割与正切的级数。
第17题格雷戈里的反正切级数Gregory's Arc Tangent Series
已知三条边，不用查表求三角形的各角。
第18题德布封的针问题Buffon's Needle Problem
在台面上画出一组间距为d的平行线，把长度为l（小于d）的一根针任意投掷在台面
上，问针触及两平行线之一的概率如何？
第19题费马-欧拉素数定理The Fermat-Euler Prime Number Theorem
每个可表示为4n+1形式的素数，只能用一种两数平方和的形式来表示。
第20题费马方程The Fermat Equation
求方程x2－dy2=1的整数解，其中d为非二次正整数。
第21题费马-高斯不可能性定理The Fermat-Gauss Impossibility Theorem
证明两个立方数的和不可能为一立方数。
第22题二次互反律The Quadratic Reciprocity Law
（欧拉-勒让德-高斯定理）奇素数p与q的勒让德互反符号取决于公式
（p/q）?（q/p）=（－1）[(p-1)/2]?[(q-1)/2]
第23题高斯的代数基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Algebra
每一个n次的方程zn+c1zn-1+c2zn-2+…+cn=0具有n个根。
第24题斯图谟的根的个数问题Sturm's Problem of the Number of Roots
求实系数代数方程在已知区间上的实根的个数。
第25题阿贝尔不可能性定理Abel's Impossibility Theorem
高于四次的方程一般不可能有代数解法。
第26题赫米特-林德曼超越性定理The Hermite-Lindemann Transcedence Theorem
系数A不等于零，指数α为互不相等的代数数的表达式A1eα1+A2eα2+A3eα3+…不可能等于零。
第27题欧拉直线Euler's Straight Line
在所有三角形中，外接圆的圆心，各中线的交点和各高的交点在一直线—欧拉线上，而且三点的分隔为：各高线的交点（垂心）至各中线的交点（重心）的距离两倍于外接圆的圆心至各中线的交点的距离。
第28题费尔巴哈圆The Feuerbach Circle
三角形中三边的三个中点、三个高的垂足和高的交点到各顶点的线段的三个中点在一个圆上。
第29题卡斯蒂朗问题Castillon's Problem
将各边通过三个已知点的一个三角形内接于一个已知圆。
第30题马尔法蒂问题Malfatti's Problem
在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切。
第30题马尔法蒂问题Malfatti's Problem
在一个已知三角形内画三个圆，每个圆与其他两个圆以及三角形的两边相切。
第31题蒙日问题Monge's Problem
画一个圆，使其与三已知圆正交。
第32题阿波洛尼斯相切问题The Tangency Problem of Apollonius
画一个与三个已知圆相切的圆。
第33题马索若尼圆规问题Macheroni's Compass Problem
证明任何可用圆规和直尺所作的图均可只用圆规作出。
第34题斯坦纳直尺问题Steiner's Straight-edge Problem
证明任何一个可以用圆规和直尺作出的图，如果在平面内给出一个定圆，只用直尺便可作出。
第35题德里安倍立方问题The Deliaii Cube-doubling Problem
画出体积为一已知立方体两倍的立方体的一边。
第36题三等分一个角Trisection of an Angle
把一个角分成三个相等的角。
第37题正十七边形The Regular Heptadecagon
画一正十七边形。
第38题阿基米德π值确定法Archimedes' Determination of the Number Pi{/color]
设圆的外切和内接正2vn边形的周长分别为av和bv，便依次得到多边形周长的阿基米德数列：a0，b0，a1，b1，a2，b2，…其中av+1是av、bv的调和中项，bv+1是bv、av+1的等比中项。假如已知初始两项，利用这个规则便能计算出数列的所有项。这个方法叫作阿基米德算法。
第39题富斯弦切四边形问题Fuss' Problem of the Chord-Tangent Quadrilateral
找出半径与双心四边形的外接圆和内切圆连心线之间的关系。（注：一个双心或弦切四边形的定义是既内接于一个圆而同时又外切于另一个圆的四边形）
第40题测量附题Annex to a Survey
利用已知点的方位来确定地球表面未知但可到达的点的位置。
第41题阿尔哈森弹子问题Alhazen's Billiard Problem
在一个已知圆内，作出一个其两腰通过圆内两个已知点的等腰三角形。
第42题由共轭半径作椭圆An Ellipse from Conjugate Radii
已知两个共轭半径的大小和位置，作椭圆。
第43题在平行四边形内作椭圆An Ellipse in a Parallelogram
在规定的平行四边形内作一内切椭圆，它与该平行四边形切于一边界点。
第44题由四条切线作抛物线A Parabola from Four Tangents
已知抛物线的四条切线，作抛物线。
第45题由四点作抛物线A Parabola from Four Points
过四个已知点作抛物线。
第46题由四点作双曲线A Hyperbola from Four Points
已知直角（等轴）双曲线上四点，作出这条双曲线。
第47题范?施古登轨迹题Van Schooten's Locus Problem
平面上的固定三角形的两个顶点沿平面上一个角的两个边滑动，第三个顶点的轨迹是什么？
第48题卡丹旋轮问题Cardan's Spur Wheel Problem
一个圆盘沿着半径为其两倍的另一个圆盘的内缘滚动时，这个圆盘上标定的一点所描出的轨迹是什么？
第49题牛顿椭圆问题Newton's Ellipse Problem
确定内切于一个已知（凸）四边形的所有椭圆的中心的轨迹。
第50题彭赛列-布里昂匈双曲线问题The Poncelet-Brianchon Hyperbola Problem
确定内接于直角（等边）双曲线的所有三角形的顶垂线交点的轨迹。
第51题作为包络的抛物线A Parabola as Envelope
从角的顶点，在角的一条边上连续n次截取任意线段e，在另一条边上连续n次截取线段f，并将线段的端点注以数字，从顶点开始，分别为0，1，2，…，n和n，n－1，…，2，1，0。
求证具有相同数字的点的连线的包络为一条抛物线。
第52题星形线The Astroid
直线上两个标定的点沿着两条固定的互相垂直的轴滑动，求这条直线的包络。
第53题斯坦纳的三点内摆线Steiner's Three-pointed Hypocycloid
确定一个三角形的华莱士（Wallace）线的包络。
第54题一个四边形的最接近圆的外接椭圆The Most Nearly Circular Ellipse Circumscribing a Quadrilateral
一个已知四边形的所有外接椭圆中，哪一个与圆的偏差最小？
第55题圆锥曲线的曲率The Curvature of Conic Sections
确定一个圆锥曲线的曲率。
第56题阿基米德对抛物线面积的推算Archimedes' Squaring of a Parabola
确定包含在抛物线内的面积。
第57题推算双曲线的面积Squaring a Hyperbola
确定双曲线被截得的部分所含的面积。
第58题求抛物线的长Rectification of a Parabola
确定抛物线弧的长度。
第59题笛沙格同调定理（同调三角形定理）Desargues' Homology Theorem
(Theorem of Homologous Triangles)
如果两个三角形的对应顶点连线通过一点，则这两个三角形的对应边交点位于一条直线上。反之，如果两个三角形的对应边交点位于一条直线上，则这两个三角形的对应顶点连线通过一点。
第60题斯坦纳的二重元素作图法Steiner's Double Element Construction
由三对对应元素所给定的重迭射影形，作出它的二重元素。
第61题帕斯卡六边形定理Pascal's Hexagon Theorem
求证内接于圆锥曲线的六边形中，三双对边的交点在一直线上。
第62题布里昂匈六线形定理Brianchon's Hexagram Theorem
求证外切于圆锥曲线的六线形中，三条对顶线通过一点。
第63题笛沙格对合定理Desargues' Involution Theorem
一条直线与一个完全四点形*的三双对边的交点与外接于该四点形的圆锥曲线构成一个对合的四个点偶。一个点与一个完全四线形*的三双对顶点的连线和从该点向内切于该四线形的圆锥曲线所引的切线构成一个对合的四个射线偶。
*一个完全四点形（四线形）实际上含有四点（线）1，2，3，4和它们的六条连线交点23，14，31，24，12，34；其中23与14、31与24、12与34称为对边（对顶点）。
第64题由五个元素得到的圆锥曲线A Conic Section from Five Elements
求作一个圆锥曲线，它的五个元素——点和切线——是已知的。
第65题一条圆锥曲线和一条直线A Conic Section and a Straight Line
一条已知直线与一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线相交，求作它们的交点。
第66题一条圆锥曲线和一定点A Conic Section and a Point
已知一点及一条具有五个已知元素——点和切线——的圆锥曲线，作出从该点列到该曲线的切线。
第67题斯坦纳的用平面分割空间Steiner's Division of Space by Planes
n个平面最多可将整个空间分割成多少份？
第68题欧拉四面体问题Euler's Tetrahedron Problem
以六条棱表示四面体的体积。
第69题偏斜直线之间的最短距离The Shortest Distance Between Skew Lines
计算两条已知偏斜直线之间的角和距离。
第70题四面体的外接球The Sphere Circumscribing a Tetrahedron
确定一个已知所有六条棱的四面体的外接球的半径。
第71题五种正则体The Five Regular Solids
将一个球面分成全等的球面正多边形。
第72题正方形作为四边形的一个映象The Square as an Image of a
Quadrilateral
证明每个四边形都可以看作是一个正方形的透视映象。
第73题波尔凯-许瓦尔兹定理The Pohlke-Schwartz Theorem
一个平面上不全在同一条直线上的四个任意点，可认为是与一个已知四面体相似的四面体的各隅角的斜映射。
第74题高斯轴测法基本定理Gauss' Fundamental Theorem of Axonometry
正轴测法的高斯基本定理：如果在一个三面角的正投影中，把映象平面作为复平面，三面角顶点的投影作为零点，边的各端点的投影作为平面的复数，那么这些数的平方和等于零。
第75题希帕查斯球极平面射影Hipparchus' Stereographic Projection
试举出一种把地球上的圆转换为地图上圆的保形地图射影法。
第76题麦卡托投影The Mercator Projection
画一个保形地理地图，其坐标方格是由直角方格组成的。
第77题航海斜驶线问题The Problem of the Loxodrome
确定地球表面两点间斜驶线的经度。
第78题海上船位置的确定Determining the Position of a Ship at Sea
利用天文经线推算法确定船在海上的位置。
第79题高斯双高度问题Gauss' Two-Altitude Problem
根据已知两星球的高度以确定时间及位置。
第80题高斯三高度问题Gauss' Three-Altitude Problem
从在已知三星球获得同高度瞬间的时间间隔，确定观察瞬间，观察点的纬度及星球的高度。
第81题刻卜勒方程The Kepler Equation
根据行星的平均近点角，计算偏心及真近点角。
第82题星落Star Setting
对给定地点和日期，计算一已知星落的时间和方位角。
第83题日晷问题The Problem of the Sundial
制作一个日晷。
第84题日影曲线The Shadow Curve
当直杆置于纬度φ的地点及该日太阳的赤纬有δ值时，确定在一天过程中由杆的一点投影所描绘的曲线。
第85题日食和月食Solar and Lunar Eclipses
如果对于充分接近日食时间的两个瞬间太阳和月亮的赤经、赤纬以及其半径均为已知，确定日食的开始和结束，以及太阳表面被隐蔽部分的最大值。
第86题恒星及会合运转周期Sidereal and Synodic Revolution Periods
确定已知恒星运转周期的两共面旋转射线的会合运转周期。
第87题行星的顺向和逆向运动Progressive and Retrograde Motion of Planets
行星什么时候从顺向转为逆向运动（或反过来，从逆向转为顺向运动）？
第88题兰伯特彗星问题Lambert's Comet Problem
借助焦半径及连接弧端点的弦，来表示彗星描绘抛物线轨道的一段弧所需的时间。
第89题与欧拉数有关的斯坦纳问题Steiner's Problem Concerning the Euler Number 如果x为正变数，x取何值时，x的x次方根为最大？
第90题法格乃诺关于高的基点的问题Fagnano's Altitude Base Point Problem
在已知锐角三角形中，作周长最小的内接三角形。
第91题费马对托里拆利提出的问题Fermat's Problem for Torricelli
试求一点，使它到已知三角形的三个顶点距离之和为最小。
第92题逆风变换航向Tacking Under a Headwind
帆船如何能顶着北风以最快的速度向正北航行？
第93题蜂巢（雷阿乌姆尔问题）The Honeybee Cell (Problem by Reaumur)
试采用由三个全等的菱形作成的顶盖来封闭一个正六棱柱，使所得的这一个立体有预定的容积，而其表面积为最小。
第94题雷奇奥莫塔努斯的极大值问题Regiomontanus' Maximum Problem
在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？（即在什么部位，可见角为最大？）
第95题金星的最大亮度The Maximum Brightness of Venus
在什么位置金星有最大亮度？
第96题地球轨道内的慧星A Comet Inside the Earth's Orbit
彗星在地球的轨道内最多能停留多少天？
第97题最短晨昏蒙影问题The Problem of the Shortest Twilight
在已知纬度的地方，一年之中的哪一天晨昏蒙影最短？
第98题斯坦纳的椭圆问题Steiner's Ellipse Problem
在所有能外接（内切）于一个已知三角形的椭圆中，哪一个椭圆有最小（最大）的面积？
第99题斯坦纳的圆问题Steiner's Circle Problem
在所有等周的（即有相等周长的）平面图形中，圆有最大的面积。
反之：在有相等面积的所有平面图形中，圆有最小的周长。
第100题斯坦纳的球问题Steiner's Sphere Problem
在表面积相等的所有立体中，球具有最大体积。
在体积相等的所有立体中，球具有最小的表面。
初等代数研究课后习题 20071115033 数学院 07（1） 杨明 1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即 （1）对任何N b a ∈,，当且仅当b a <时，a b >. （2））对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立. 证明：对任何N b a ∈,，设a A ==，b B == （1）“?” b a <，则B B ??,,使,~B A ，A B B ~, ?∴,a b >∴ “?” a b >，则B B ??,,使A B ~,，B B A ?∴,~,b a <∴ 综上 对任何N b a ∈,，b a （2）由（1）b a b a <∴与b a >不可能同时成立， 假设b a <∴与b a =同时成立，则B B ??,,使,~B A 且B A ~， ,~B B ∴与B 为有限集矛盾，b a <∴与b a =不可能同时成立， 综上，对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立.. 2、证明自然数的加法满足交换律. 证明：对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合 先证 a a +=+11，设满足此式的a 组成集合k ，显然有1+1=1+1成立 φ≠∈∴k 1，设k a ∈，a a +=+11，则 +++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1 k a ∈∴+，N k =∴， 取定a ，则1M φ∈≠，设,b M a b b a ∈+=+，则 ()()a b a b b a b a +++++=+=+=+ ,b M M N + ∴∈∴= ∴ 对任何N b a ∈,，a b b a +=+ 3、证明自然数的乘法是唯一存在的 证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系,f g ，对b N ?∈，有 (),()f b g b N ∈，设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合， ()()1f b g b a ==? 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=，b M +∴∈，M N ∴= 即b N ?∈，()()f b g b =
历史悠久的汉语，是世界上使用人数最多的语言之一，古老的汉字是世界上使用时间最长的文字之一。丰富，发达，历史悠久的汉语言文字不仅是中华文字的载体，而且本来就是一种灿烂的文化。 汉字是世界上最古老的文字之一，也是世界上使用人数最多的历史文字，数量很多，总数约六万个，常用字约6000个。 从古至今，文人墨客人们对文字都是相当的慎重和喜爱，众多的书法作家对文字都有他们独特的见解，可以通过文字将自己的情感寄托在上面。可是，现在的人们大多数都已经忘记了值得我们骄傲的文字，现在科技发达，手机，电脑这些东西已经在很多地方代替了人们手写，所以有绝大部分的人对中华文字了解的都不深，书写出来的汉字也是五花八门。根据调查了解，绝大多数的人们现在都很少用笔书写了，一份文件，可以直接在网上打印出来，方便，快捷，用笔的话就很费力，速度就比电脑慢了好几倍，显而易见，大家当然会选择电脑既省时又省力。一中学生说：“现在上完课，做完作业，就去上网了，哪会有人想到去练字呀！”的确，电脑的诱惑明显比写字有趣太多，写字是枯燥无味的，几乎大家都对它不敢兴趣，还觉得厌烦，每天做那么多作业，难道写的字不够多吗？但是，书法有艺术性和观赏性的特点，它充分展现着书写者的特点，甚至代表个人形象，因此书法的个性是无法取代的，书法是中国文化的代表，有着悠久的历史和深厚的根源，它还承载着许多感情因素，据调查表明，现在的家长们都非常爱护孩子，想给他们最好的，想让他们的儿女都是最棒的，所以让自己的孩子去学习艺术，跳舞，唱歌，乐器等等。可是他们完全忽略了最内在的因素，孩子的内涵应该从小开始培养，而最基础的就应该是从中华文字开始，这是孩子们最先接触的，所以练字是一种情感教育和民族文化的教育，在教育过程中，要向孩子们说清书写的意义，在教学尤其是基础教育中应该严格要求。
初等数学知识 教学内容 教学要求 思考题 数学家——毕达哥拉斯 初等数学知识 大致说来，数学可分为初等数学与高等数学两大部分。 初等数学主要包括两部分：几何学与代数学。几何学是研究空间形式的学科，而代数学则是研究数量关系的学科。 初等数学基本上是常量的数学。 高等数学含有非常丰富的内容，它主要包含： 解析几何：用代数方法研究几何问题； 线性代数：研究如何解线性方程组及有关的问题； 高等代数：研究方程式的求根问题； 微积分：研究变速运动及曲边形的求面积问题；作为微积分的延伸，物理类各系还要讲授微分方程与偏微分方程； 概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理； 所有这些学科构成高等数学的基本部分，在此基础上，建立了高等数学的宏伟大厦。 我们这门课程要讲的就是高等数学的重要分支——微积分。 微积分是17世纪后期出现的一个崭新的数学学科，它在数学中占据着主导地位，是高等数学的基础。它包括微分学和积分学两大部分。
微积分学的诞生标志着高等数学的开始，这是数学发展史上的一次伟大转折. 高等数学的研究对象、研究方法都与初等数学表现出重大差异. 初等数学应当为高等数学做哪些准备？ （1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变. 符号是一种更为简洁的语言，没有国界，全世界共享，并且这种语言具有运算能力； （2）培养严密的逻辑思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变； （3）培养抽象思维的能力，实现从具体数学到概念化数学的转变； （4）发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变. 微积分研究的对象是变量，它的基础是实数，因此我们这一讲要回顾一下初等数学知识中与实数密切相关的几个概念。 教学内容 1．第一次数学危机 2．实数、数轴与绝对值 3．区间与邻域 教学要求 1．了解第一次数学危机 2．理解实数、数轴、绝对值的概念 3．理解区间、邻域的概念 1．第一次数学危机 人们对数的认识来源于自然数。自然数是数东西时“实物个数”的表示，从1开始，依次为1，2，3，4，…，n，…，其中n表示任意一个自然数。之后记帐中，为了表示收入和支出，引入正数和负数；在表明商品价格、测量物体长度和重量时，又引入小数或分数。 显然，社会生产发展的需要推动了数学的发展，但是这些推动是通过数学自身矛盾的发展
姓名：苏章燕学号：201102024002 班级：师范1班 分类思想 摘要：分类讨论的问题在这学期做高考题和中考题过程中，很多题上面都有体现。是在问题的解答出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们往往把可能出现的所有情况分别进行讨论，得出每种情况下相应的结论，这种思想方法就是分类的思想。 关键词：分类讨论、函数、例题、集合分类 一、分类要素 分类的思想运用到每个具体数学问题中都有三个基本内容，即分类三要素，在分类的合定义中，三要素就是全集，子集和子集的分类根据。分类的逻辑定义中，三要素是母项，子项和分类标准。 二、分类的规则 在问题讨论前，首先应弄清楚我们所研究对象的范围，即全集。分类就要在这个特定范围内进行，要防止在全集不明确的情况下或全集外进行讨论。 每次分类都必须以同一本质属性为标准，被分概念或集合有若干本质属性，确定某一个作为分类标准。那么在分类过程中就要始终使用这个标准。同一次讨论中标准只能是一个。如实数在讨论绝对值时，可分为整数、负数和零；在讨论其他性质和运算时可分为有理数与无理数。又如函数按自变量个数可分为一元函数、二元函数乃至多元函数；按单调性可分为增函数、减函数和非单调函数（在某一区间内）；按定义域可分为在R上都有意义的函数与定义域不是R的函数；按奇偶性可分为奇函数、偶函数和非奇非偶函数（在定义域内）；按属性可分为代数函数和超级函数。诸如此类，按不同标准就有不同的分类。 分类的完整性，把集合A分为A1、A2、···An等n个子集的分类，集合A应是这n 个子集的并集，集合的每一个元素都属于且仅属于其中的一个子集，分类时必须防止遗漏，如把角分为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角，就不是一个完整的分类，因为终边落在坐标轴上的角就不在其中。 分类的互斥性，分类中分成的各部分必须是互相排斥的，即分类中各个子集的交集是空集，如平面几何中把三角形分为锐角三角形、等腰三角形······的分类就是不正确的分类，因为存在着等腰锐角三角形，这是由于破坏了分类的互斥性。 分类的逐级性，被分概念必须分成与它最邻近的概念。有些问题必须要连续分类，这就要求严格按层次逐级进行划分、讨论。 分类的种类，人们对事物的认识有一个由现象到本质逐步深化的无线过程，因此分类也有一个从现象分类到本质这样一个逐步深化的过程。 现象分类就是根据事物的外部标志或外部联系所进行的分类，这种分类往往会把本质上相同的事物分为不同的类别，而把本质上不相同的事物归为同一类别。如平面几何中多边形按边数分类就是一个现象分类，因为凸多变形和凹多边形即使边数相同其性质也大相径庭，而正多边形（不管它边数多少）都具有很多共性，它们本质上是相同的。 本质分类就是根据事物的本质特征或内部联系所进行的分类，本质分类能够揭示数学对象之间的规律，如含角的三角函数的绝对值，用零点分段法对角进行的分类就属于本质分类。 分类方法的解题步骤，确定分类标准，这就是要运用辩证的逻辑思维，对具体事物作具体分析，从表面上极为相似的事物之间看出它们本质的相同点，发现事物的本质特征，只有这样才能揭示数学对象之间的规律，对数学对象进行有意义的分类。 恰当地进行分类，在确定分类标准的基础上，遵守分类的五条规则，对所讨论的问题恰当地分类，问题能否顺利讨论的关键是对所讨论对象进行正确的分类。 逐类讨论，根据分好的各类情况，逐类地加以研究，深入进行讨论，分门别类逐一把
世界历史最长的国家 历史悠久的国家有很多，但具体怎么排名估计很多人都不知道，下面就让带领大家来学习一下世界上历史最悠久排名前十的国家吧！ 第一名：伊拉克，六千年文明史 历史学家把从公元前4000年到公元前3000之间的苏美尔文明称作“早期高度文明”，一方面，这一时期各苏美尔城邦都已经存在，苏美尔人的文字也已经存在，但是这段时期的历史仍然很不清楚，原因可能有多个方面的，比如考古发现的不充分，或者文明刚刚起步之时，本身尚未进行系统的历史记载等。现在发现的这一时期的楔形文字的文献主要是经济或者行政方面的文书，尚无法勾勒出当时完整的历史来。 最早的苏美尔时期由数个独立的城市国家组成，这些城市国家之 间以运河和界石分割。每个城市国家的中心是该城市的保护神或保护女神的庙。每个城市国家由一个主持该城市的宗教仪式的祭司或国王统治。 第二名：叙利亚，六千年文明史 传统认为美索不达米亚文明的起源集中于两河中下游，也就是伊拉克，但是1999年以来在两河上游发掘出来比两河下游的苏美尔城邦同时或更早的哈姆卡尔古城，它的规模超越绝大多数的两河流域城邦，与晚其一千五百多年的中国良渚古城规模相当，古叙利亚有望与古伊拉克决一雌雄
第三名：埃及，近六千年文明史 古埃及文明大约出现在公元前五世纪，在约前3100年美尼斯统 一上下埃及建立第一王朝，埃及成为统一的国家，由法老统治，之后的埃及因此也称为法老时代的埃及，简称法老埃及。前332年埃及被亚历山大大帝征服，后被希腊人建立的托勒密王朝（虽然也自称法老）统治，古埃及时代结束。 第四名：伊朗，五千年文明史 埃兰（Elam）是伊朗的最早文明，产生在伊朗高原以外的埃兰地区。一般认为埃兰国名出自境内Haltamti城邦（意谓“神的国家”），因其在圣经广为流传，故沿用至今。公元前三千年以前在底格里斯河东岸建国。以善战的人民著称，在圣经中被认为是诺亚儿子闪的后代。 埃兰历史可以分为三个时期：古埃兰时期（约公元前2700-1600 年）、中埃兰时期（约公元前1400-1100 年）、新埃兰时期（约公元前800-600 年）。 第五名：中国，五千年文明史 传统认为中国文明起源集中于黄河中游（即中原），但20世纪下半叶以来的发掘证明长江下、中、上三个区域都比中原更早地接近或迈入文明时代，甚而黄河下游也比中原更早进入发达社会的行列，2007年以来的良渚、陶寺、石峁的更新发掘极大地提升了非中原地区的优势地位。 第六名：巴基斯坦 已知的最古老的印度文明是约公元前3300年至前1300年的印
1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。 你是否走得越快，淋雨量越少呢？ 2.假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书 馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？ 3.一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早 6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？ 4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？ 5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家 中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？ 6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先 约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？ 7.设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至 少存在两人他们认识的人一样多。 8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10 端小孔的 面积为0.5 9.假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜
坡，计算这种情 下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？ 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 :顶=1：a:b ，选坐v>0,而设语雨速 L( 1q -+v x ),v≤x Q(v)= L( v x -q +1),v>x 2.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周
谈谈你对数学教育学学科的特点及其研究内容的认识数学教育学虽是一门年轻学科，但其历史源远流长,其中数学教育学的含义：研究数学教育现象，揭示数学教育规律“教什么、学什么”；“怎样教、怎样学”；“教得怎样，学得怎样”以及相关的理论。 1、有利于提升数学教师的专业素养。高质量的数学教育需要高素质的数学师资队伍，需要数学教师专业化。高师院校数学专业肩负数学教师培养的任务，数学教育学是其中一门非常重要的专业必修课程。 2、有利于促进学生数学的学习发展。怎样让学生学好数学是数学教师的核心任务。通过学习数学教育学，教师可以根据数学教育学的相关理论自觉而有效地指导学生的数学学习。 3、有利于数学课程改革的有效实施。数学课程改革的关键是课程理念的贯彻和课程的有效实施。通过数学教育学的学习可以提高数学教师对数学课程的目的意义、内容结构、实施方法、评价标准及其各环节之间的关系的逻辑判断能力和调和能力。 4、使学生了解数学教育学的研究对象、掌握数学教育学的研究内容及学习该学科的意义。 5、了解数学教育学的研究对象、特点和研究方法，理解学习数学教育学的意义。数学教育学的结构及其相关学科数学教育学研究的对象主要是数学学习论、数学课程论、数学教学论：虽然三论是互相关联的，研究其中的一论必然会影响另外两论。但是，这三论中，学习论是基础，它提供给课程论与教学论必要的心理学根据，教学论是学习论与课程论的直接体现者。 数学教育学及其相关学科大致分为三部分： 1、基础部分其中包括哲学、数学、数学思想史、中学数学近代基础、数学方法论、教育学、心理学、逻辑学、思维科学、计算机科学、计算机辅助教学等。数学，除了包括解析几何、高等代数、数学分析的旧三基外，还要包括拓扑学、抽象代数、泛函分析的新三基，除此之外，还应有概率统计、离散数学、模糊数学、几何基础、集合论以及一些传统的初等数学。总之，数学教育工作者所需要的数学，应该是广而博，并在一个分支上有较深入的了解。数学思想史，着重研究一个数学概念或数学分支如何由孕育、成熟到发展，如何由粗糙到精确，其
初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案
初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数 1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数bi a +. 2（略） 3从数的起源至今，总共经历了五次扩充： 为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集. 公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集. 为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集. 直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集. 虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集. 4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'?；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'?，所以)(C A ?)(D B ??所以集合C A ?的基数c a +大于集合D B ?的基数d b +，所以d b c a +>+. 5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 15 55555155155 )25(2535''=++=++?=+?=+?=?=? （2）解：按照自然数序数理论乘法定义 8 7)6(])15[()15()25(2535'''''''' '===+=+=+=+=+ 6证明：?1当2=n 时，命题成立.（反证法）
第一章 1、自然数集是有序集 2、自然数集具有阿基米德性质即：如果a,b∈N，则存在n∈N，使na>b 3、自然数集具有离散型即：在任意两个相邻的自然数a和a’之间不存在自然数b， 使a 值 例：求00080cos 40cos 20cos ??8 120sin 8160sin 20sin 880cos 80sin 220sin 480cos 40cos 40sin 220sin 280cos 40cos 20cos 20sin 2000000 0000 0000= ===???=解：原式N c N a N c N b N b N a ac b c b a log log log log log log :1,,2=--=求证， 的正数，且是不等于例：设原式右边原式左边所以，得证明：由==-?-?=--=-=-+==a N c N b N c N a N a N b N c N c N b N b N a N b N c N a N b N c N a N b N a c b log log )log (log log )log (log log log 1log 1log 1log 1log log log log log log log 2213cot cot cot 3tan tan tan =-+-θθθθθθ例：求证的值 内的两相异实根，求在为方程、例：已知)sin(),0()0(cos sin βαπβα+≠=+mn p x n x m 原式右边（原式左边证明：（综合法）==?-?-?-?-=--?-+?-=13tan cot 3cot tan 23tan cot 3cot tan 2)3cot )(cot 3tan tan 3tan cot 13cot tan 1θ θθθθθθθθθθθθθθθ 世界上最长的歌名史上最长的歌名 听说喜欢音乐的人性格是开朗和温暖的，你喜欢音乐，喜欢听歌吗?你一定没见过世界上最长的歌名吧?今天小编就为你介绍一下吧。 世界上最长的歌名名称 陈绮贞的《我们连觉也没睡决定连夜赶去拜访艾立克克莱普顿》《最好的时代也是最坏的时代,我们看不见过去也看不见未来》都是目前世界上所见过最长的歌曲名称。 世界上最长的歌名演唱者 陈绮贞，1975年6月6日出生于中国台北，创作型民谣歌手。1996年参加木船民歌比赛获得第一，1998年与魔岩签约签约魔岩，2002年回到魔岩母公司滚石唱片。2002年，发行专辑《吉他手》，获华语流行音乐传媒大奖最佳女艺人。2003年，成立独立音乐室，同时发行专 辑《after 17》、《sentimental skill》、《旅行的意义》。2005年，发行专辑《华丽的冒险》。2009年，发行专辑《太阳》，凭借该专辑获得2009年华语金曲奖十大国语专辑。2011年，发行专辑《蜉蝣》。2013年，发行专辑《时间的歌》，并获得2013年Hit Fm DJ推荐年度十大专辑。 世界上最长的歌名演唱者的成长故事 1975年出生的陈绮贞，一直生活在台北，自幼与母亲相依为命。她的母亲是一位会计师，工作之余教小朋友弹钢琴，以补贴家用。带着母亲的期望，陈绮贞从小开始学古典音乐。她不喜欢古典音乐，与大部分学习钢琴的孩子一样，但她的理由与大部分孩子不一样---“德彪西的月光，肖邦的夜曲，怎么可以给小孩听这种东西，这应该是给恋人互诉寂寞的歌曲。她放弃了古典音乐，跟同学一起练起了吉他。 1996年，陈绮贞21岁，在台北的政治大学读哲学。这年，她第二次报名参 高中版 2013年1月 这样一个话题“课堂上我们是期望学生完美展示还是希望看见他们出点问题呢？”这实质上是针对“真实”的课堂来说的.通过两次试教和打磨推敲，X 老师的课上的还是不错的，教学流程顺畅自然，学生表现也相当好.也许正因为“好”，市教科院副院长兼数学教研员王开合老师比较委婉地提出了课堂真实性的质疑：整个教学过程学生积极配合，回答问题、上台板演几乎都堪称完美，除了一位男生在表述线面平行判定定理时把“直线a 埭α，b 奂α”读成了“直线a 不属于面α，直线b 属于面α”，老师和同学还及时纠正了读法，其他地方好象没出错，没碰上什么困难.学生真的理解的如此完美吗？ 事后X 老师“坦白交代”：怕教学过程出现偏差，所以回答问题和上黑板板演的大都是“优生”.笔者的思考是：高效的课堂应基于真实.要立足解决一般学生的主要困难和疑难，学生“代表”从中等生甚至中等偏下生产生更为适宜；其次，要把代表大多数学生想法的东西多角度多层次呈现出来，并作为重要的课程资源和操作载体，引导所有学生参与讨论.实际上我 们在下边听课，就观察到旁边的学生有书写不规范的，有不知如何组织语言表述的，可惜老师都“没发现”，在虚拟的情境中，教师用“经验”导演着课堂的“精彩”，这种现象在各级竞赛课、示范课还在不断上演，而质疑声似乎也不曾停息. 修正：我们理解人们“藏拙露巧”心理，但课堂的“真” 是第一要素，缺乏“真”就很难谈教学的有效性.真实的课堂需要学生将真实的学习困惑、疑难勇敢地拿出来，集师生之力和智慧去解决它、弄懂它、深化它.过程可能是不太顺畅的，离完美甚至有大的差距，但它确实解决了学生真切的发展需要，关注了学生真实的心灵诉求.要真正发挥好数学的育人功能，不能忘了陶行知老先生的名言：千教万教教人学真，千学万学学做真人. 参考文献： 1.鲍建生.谈谈数学教师的特点与发展［J ］.数学教学，2009，4.■ 初等数学研究问题四议 筅浙江省宁波市北仑明港中学 甘大旺（特级教师） 我于2012年8月初在厦门参加第八届全国初等数学研究学术交流会，开阔了眼界.至今我仍以“局内人”与“局外人”的角色变换在遐思、沉思着我国初等数学研究的来龙去脉，查阅佐料后写成本文，期能引起有兴趣读者的共鸣或争鸣！ 1.初等数学研究的萌芽 “初等数学”并不是一个新词，早在1960年就出现在人民教育出版社出版发行的高师教材《初等数学复习及研究》丛书的书名中.几十年来，我们约定俗成的初等数学研究的主要内容是指当时不属于高等数学、 近代数学、现代数学的内容，而且当时中小学数学教材没有介绍或表述粗浅的夹层、 边缘的数学内容.早在我国解放初期，傅种孙于1952年2月在《中国数学》 杂志一卷二期发表“从五角星谈起”开始，到华罗庚于1984年10月在上海教育出版社 《华罗庚科普著作选集》重新发表“从杨辉三角谈起”为止，中间经历了一些数学史 专家、数学翻译专家在《数学通报》和《数学通讯》等期刊发表的初等数学研究、 翻译的文章，前后33年我国初等数学研究在总体上处于萌芽状态，而对于中小学数学教师（极个别教师除外）来说则处于滞留、静眠期. 2.初等数学研究的兴起 1984年全国高考理科数学试卷第18题是一道以递推数列为条件的不等式证明题： 设a>2，给定数列{a n }，其中x 1=a ，x n+1=x 2 n 2（x n －1）（n=1，2， …）.求证：（1）x n >2， 且x n+1 x n <1；（2）如果a ≤3，那么x n ≤2+ 12n －1 ；（3 ）如果a>3，那么当n ≥lg a 3 lg 43 时，必有x n+1<3.教育纵横 数坛在线 60 习题一 1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为： （1）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。 （2）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。 （3）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。 数系扩展的方式有两种： （1）添加元素法。 （2）构造法。 2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则 （3）,a b ac bc >>若则； 证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。 （2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9） 由（1）有()bc a k c =+ ac bc ∴< （P17.定义9） 或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ 3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则 （1）,;ac bc a b ==若则 （2）ac bc a b <<若，则； （3）ac bc a b >>若，则。 证明（1）（用反证法） （2）方法同上。 （3）方法同上。 4、依据序数理论推求： 解： 1313134++=='（）先求，， （P16.例1）323231(31)45,++=+=+=='''再求， （2）31313??=先求，， 5、设n N ∈，证明n 415n 1+-是9的倍数。 证明：1n 141511189,1n =+?-==①当时，是的倍数故时命题成立。 k n k 415k 19=+-②假设当时，命题成立。即是的倍数。则当n=k+1时： k 1k 415k 11 4415k 1315k 18441519(52) k k k +++-=+--?+=+---（）（）（）。 1n k ∴=-当时，命题成立。 由①，②知，对于任一自然数n 成立。 6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立： 证明： ①412111--3-3.11-21n +?==== ==?当时，左边，右边左边右边。 ②n k =假设当时，等式成立，即： 初等数学研究答案1 大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社 习题一 1答：原则：（1）A ?B （2）A 的元素间所定义的一些运 算或基本关系，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。 （3）在A 中不是总能施行的某种 运算，在B 中总能施行。 (4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。 方式：（1）添加元素法；（2）构造法 2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。 a=b ，M 11b 1a ∈∴?=?∴， 假 设 bc ac M c =∈，即，则 M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='， 由归纳公理知M=N ，所以命题对任意 自然数c 成立。 （ 2）若a < b ，则 bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈?即，，由，使得 则ac 浅谈初等数学与高等数学的关系 【摘要】初等数学是高等数学不可或缺的基础，高等数学是初等数学的继续和提高.高等数学解释了许多初等数学未能说清楚的问题，这对用现代数学的观点、原理和方法指导数学教学是十分有用的。 【关键词】初等数学；高等数学；关系 从数学这门学科的建立直至十七世纪这整个阶段，数学只能解释一些静止的现象和计算一些定量（例如，它只能用于计算直边所围成的面积，以及固定的高度和距离等）这个阶段被称为初等数学阶段。初等数学远远不能满足社会发展的需要，因此人们寻求新方法，解释那些运动现象（例如，变速运动的瞬时速度、任意曲边所围成的面积等）于是建立了高等数学。高等数学的出现，显示出了巨大威力，许多初等数学束手无策的问题，至此迎刃而解了。 本文介绍了初等数学与高等数学的一些相关内容及它们之间的关系。 1.初等数学简介及其研究内容 代数的最早起源可追溯到公元前1800年左右。那时代的巴比伦数学文献里已经含有二次方程和某些很特殊的三次方程。从那时直到15世纪的三千多年里，中国﹑印度﹑阿拉伯和欧洲都在不同的方面对代数学的发展作出了不同贡献。特别是中国的代数获得了比较系统的﹑高水平的发展。例如，约在公元前1世纪前后成书的《九章算术》，其中记载了“方程术”和“正负术”等重要成就。到了13世纪后，中国数学在高次方程的数值解法﹑同余式理论以及高阶等差数列等方面又再放异彩，取得令人惊异的成就。 纵观数学发展的整个历史过程，大体上经历了初等代数的形成﹑高等代数的创建以及抽象代数的产生和发展三个阶段。随着这门学科的不断发展，人们对于代数学的研究对象问题的认识也不断深化，逐步形成下面几个观点。 （1）代数学是研究方程解法和字母运算的科学 （2）代数学是研究多项式和线性代数的科学 （3）代数学是研究各种代数结构的科学 （4）代数是推动数学发展、解决科学问题的有利工具 初等数学中主要包含两部分：初等几何与初等代数。初等几何是研究空间形式的学科，而初等代数则是研究数量关系的学科。初等数学基本上是常量的数学。 1.1数的概念及其运算1.2解析式及其恒等变换1.3方程1.4不等式1.5函 初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数 1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数 bi a +. 2（略） 3从数的起源至今，总共经历了五次扩充： 为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集. 公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集. 为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集. 直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集. 虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集. 4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'?；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'?，所以)(C A ?)(D B ??所以集合 C A ?的基数c a +大于集合 D B ?的基数d b +，所以d b c a +>+. 5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 15 55555155155)25(2535''=++=++?=+?=+?=?=? （2）解：按照自然数序数理论乘法定义 8 7)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：?1当2=n 时，命题成立.（反证法） 《初等数学研究》考试大纲 Elementary Mathematics Research 一、本大纲适用专业 数学与应用数学。 二、考试目的 测试学生对初等数学的基本内容和方法的熟练程度。 三、考试内容 第一章数系 1. 考试知识点 （1）数的概念的扩展； （2）自然数序数理论及其性质； （3）整数环、有理数域、实数域、复数域的建立及性质。 2. 考试要求 （1）了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则； （2）掌握自然数的基数理论及整数环的构造； （3）理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，弄清自然数、整数运算的概念及其运算律，掌握有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数域的性质； （4）理解无理数、实数概念，掌握实数大小比较的法则、实数的运算法则和实数域的性质； （5）理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数域的性质。 第二章解析式 1. 考试知识点 （1）多项式的恒等定理； （2）待定系数法； （3）因式分解方法； （4）分式恒等变形； （5）根式的化简和计算； （6）解不等式（组）； （7）不等式的证明； （8）几个著名的不等式。 （1）了解解析式的概念及其分类； （2）了解多项式概念，掌握待定系数法和多项式的因式分解方法； （3）了解分式的概念和定理；掌握分式恒等变形； （4）掌握根式的运算和变形； （5）掌握不等式的基本性质、解法和证明； （6）熟悉几个著名的不等式。 第三章方程与函数 1. 考试知识点 （1）方程（组）的同解理论及基本解法； （2）几类特殊的高次方程的解法； （3）分式方程、无理方程和超越方程的解法 （4）函数概念的形成和发展； （5）初等函数的性质。 2. 考试要求 （1）掌握各种代数方程中的同解理论（弄清增、失根原因及检验方法）及基本解法； （2）掌握特殊的高次方程的解法； （3）掌握简单的分式方程、无理方程和超越方程的解法； （4）了解函数概念的发展与几种定义方式； （5）掌握初等函数的基本性质。 第四章数列 1. 考试知识点 （1）数列的通项公式； （2）等差与等比数列； （3）高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）数学归纳法的基本形式和其他形式； （5）数列的母函数。 2. 考试要求 （1）掌握求数列通项的方法； （2）熟练掌握等差与等比数列的综合题； （3）了解高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）熟练掌握数学归纳法的各种形式的应用； （5）了解数列的母函数。 第五章排列与组合 浅谈数学美在初等数学解题中的应用 摘要：本文介绍数学美中的和谐统一美、奇异美、对称美、创造美在初等数学解题中的具体应用。 关键词：和谐美奇异美对称美创造美 数学研究的是现实生活中的数量关系和空间形式，因此客观现实世界为数学提供了极其丰富的内容，使它处处充满着美的情趣、美的感受、美的欣赏、美的创造。在数学解题过程中，一个复杂的问题的简单解法、一个对称的式子、一个优美的图形、一个奇异的念头、及其一些似动非动的感觉，都会使我们沉浸在数学美的海洋中，当你从多个角度、多层次、多方位来审视数学问题时，你会因数学世界的简洁、对称、和谐、奇异而赞叹不已；你会因数学的如此之美而如饮醇珍美酒；你会因此而陶醉在数学美之中，所以数学解题过程中应怎样去感知美、追求美、创造美，把数学的审美原则作为一项重要原则，一旦所解题目中提供的知识信息与审美情感相吻合时，就会激起审美直觉，使我们能迅速地找到解题思路或策略。 数学美常表现为符号、图形、式子的创造美，数式、结构的对称美，条件与结论、数、式、形的和谐统一美，形式、解法的奇异美等等。数学美在发现问题、提出猜想和欣赏解法中有着重要的作用。然而，数学美同样也起到蕴涵解题思路，启发解题灵感的作用。下面我从对称美、创造美、奇异美、和谐统一美在初等数学解题中的运用谈一点浅显的体会。 一、和谐统一美在解题中的应用 “社会与自然总是力图使自己成为一个和谐统一的整体”。数学更是这样，和谐统一美是促使解题成功的重要因素之一。数学解题中，我们可以从条件与结论、数、式、形的和谐统一等方面来探寻解题思路，从而提高解题速度。 例1、已知函数,试证明 分析：本题的代数证法是比差或比商法,若根据题目的结构特征,联想它在三角、解析几何、复平面中的含义,可得到多种别具匠心的证法。 由联想到得到三角证法。 习题三 1、已知半径为r 的圆为内接等腰梯形ABCD。它的下底AB 是圆O 的直径，上底CD 的端点在圆周上。 （1）写出梯形的周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求其定义域； （2）当腰长为何值时，该等腰梯形的周长有最大值，并求出最大值。 解：（1）作DE ⊥AB 于 E 连DB，则∠ADB = 90°∴ADB∽AED ∴AD AB = AE AD 2 AD 2 ∴AD = AE ? AB ∴AE = AB 又Q DC = AB ? 2 AE ∴y = DC + AB + 2 AD = AB ? 2 AE + AB + 2 AD AD 2 = 2r ? 2 + 2r + 2 x AB 2x2 = 2r ? + 2r + 2 x 2r x2 = 4r ? + 2 x r x2 = ? + 2 x + 4r . r x2 又Q x > 0 ，且= AE < r ，即x < 2r 2r ∴函数的定义域为（0，2r）。（2）y = ? (r ? x) 2 + 5r ，所以当腰长x=r 时，周长y 有最大值5r. 2、设函数y = f ( x) 定义在R 上，当x>0 时，f ( x) > 1 ,且对于任意m, n ∈R ，有f (m + n) = f (m) ? f (n). 又当m ≠ n 时，f (m) ≠ f (n). 求证：（1）f (0) = 1. （2）对于任意x ∈R ，均有f ( x) > 0. 证明：（1）Q对任意m, n ∈R ，有f (m + n) = f (m) ? f (n). 1 r ∴令m=n=0,则有f (0 + 0) = f (0) + f (0) 即f (0) = f (0) + f (0) . ∴f (0) ? [ f (0) ? 1] = 0. ∴f (0) = 1 或f (0) = 0. 若 f (0) = 0.则对于任意m>0,有f ( m) = f ( m + 0) = f ( m) ? f (0) = 0 和题设矛盾。因此，f (0) = 1. （2）由题设和（1）的结论，当x ≥ 0 时， f ( x) ≥ 1 > 0 ，假设x < 0 ，则? x > 0 ，因而 f (? x) > 1。但是 f ( x) ? f (? x) = f ( x ? x) = f (0) = 1 所以， f ( x) = 1 > 0. f (? x) 3、判断下列各组函数是不是同一函数，并说出理由。（1）f ( x) = lg x 2 , （2）f ( x) = x , g ( x) = 2lg rx . g ( x) = 3 x 3 . 解：（1）是同一函数。因为定义域相同：x ∈R ? {0} . 且对每个x,对应值也相等。（2）不是同一函数。因为当x<0 时，f ( x) > 0 ，而g ( x) < 0 . 4、求下列函数的定义域（1）y = (4 x ? 5) + 8 ?1 x （2）y = log (2 x?1) (3 x ? 2) （3）y = log 0.5 (log 2 x 2 + 1) （4）y = 7? x?2 lg(9 ? 3x ) （5）y = 1 ? ( ) 2 x?1 （6）y = lg x + lg(5 ? 2 x ) （7）y = arccos(2 x 2 ? x) （8）y = arcsin( x ? 1) + 1 3 1 5x ? 1 1 4 （9）y = sin x ? 1 + (1 ? sin x ) （10）y = lg cos3x ?4 x ? 5 ≠ 0 ? ?8 解：（1）Q ? ? 1 ≥ 0 ? x ? x ≠0 ? 5 ? x≠ ? 4 ? ，∴? x ≤ 8 ?x ≠0 ? ? 5 4 5 4 5 ? x≠ ? 4 ? ，∴? ?8 ≤ x ≤ 8 ? x≠0 ? ? ∴函数定义域为：[?8,0) U (0, ) U ( ,8] . ?3 x ? 2 > 0 ? （2）Q ? 2 x ? 1 > 0 ?2 x ? 1 ≠ 1. ? 2 3 2 ? x> ? 3 ? 1 ? ∴?x > 2 ? ? x ≠1 ? ? ∴函数的定义域为：( ,1) U (1, +∞). ?log 0.5 (log 2 x 2 + 1) ≥ 0 ? （3）Q ? log 2 x 2 + 1 > 0 ? x2 > 0 ? ? 0 < log 2 x 2 + 1 ≤ 1 ? ∴?log 2 x 2 > ?1 ?x≠0 ? ?2-1 ≤ x 2 ≤ 1 ? ∴? x 2 > 2?1 ?x ≠ 0 ? ? 2 2 ≤ x ≤ 1 或?1 ≤ x ≤ ? ? 2 ? 2 ? 2 2 或x ∴? 2 2 ? ? x≠0 ? ? ? 2 2 函数定义域为：[(?1, ? )U( ,1)] . 2 2 ?lg(9 ? 3x ) ≠ 0 ? Q （4）? 9 ? 3x > 0 ?7 ? x ? 2 ≥ 0 ? ? x ≠ log 3 8 ? ∴? x < 2 ??5 ≤ x ≤ 9 ? ? 9 ? 3x ≠ 1 ? ∴? 3x < 9 ? x?2 ≤ 7 ? ? 3x ≠ 8 ? ∴? 3x < 32 ??7 ≤ x ? 2 ≤ 7 ? ∴log 3 8 < x < 2 或?5 ≤ x < log 3 8 ∴函数定义域为：[(?5,log 3 8) U (log 3 8, 2)]. （5）Q1 ? ( ) 2 x?1 ≥ 0. 1 3 ∴( )2 x?1 ≤ 1. ∴ 2 x ? 1 ≥ 0. ? log x ≥ 0 ? （6）Q ? x > 0 ?5 ? 2 x > 0 ? 1 3 ∴1 ≤ x < log 5 2 1 1 ∴函数定义域为[ , +∞] 2 2 x ≥1 ? ? x ≥1 ? ? ∴? x > 0 ∴? x > 0 5 ? ?2 x < 5 ? x< ? 2 ∴x ≥ 5 ∴函数定义域为：[1, ) . 2 （7）Q ?1 ≤ 2 x 2 ? x ≤ 1 ? 2 x 2 ? x ? 1 ≤ 0LL ①∴? 2 ?2 x ? x + 1 ≥ 0LL ② 1 ? ?由①? ≤ x ≤ 1 ∴? 2 ?由②x ∈R ? ∴函数的定义域为：[1, ) . ??1 ≤ x ? 1 ≤ 1 （8）Q ? ? 5x ? 1 > 0 1 5 ?0 ≤ x ≤ 2 1 ? ∴? ∴世界上最长的歌名 史上最长的歌名
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