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这样一个话题“课堂上我们是期望学生完美展示还是希望看见他们出点问题呢？”这实质上是针对“真实”的课堂来说的.通过两次试教和打磨推敲，X 老师的课上的还是不错的，教学流程顺畅自然，学生表现也相当好.也许正因为“好”，市教科院副院长兼数学教研员王开合老师比较委婉地提出了课堂真实性的质疑：整个教学过程学生积极配合，回答问题、上台板演几乎都堪称完美，除了一位男生在表述线面平行判定定理时把“直线a 埭α，b 奂α”读成了“直线a 不属于面α，直线b 属于面α”，老师和同学还及时纠正了读法，其他地方好象没出错，没碰上什么困难.学生真的理解的如此完美吗？
事后X 老师“坦白交代”：怕教学过程出现偏差，所以回答问题和上黑板板演的大都是“优生”.笔者的思考是：高效的课堂应基于真实.要立足解决一般学生的主要困难和疑难，学生“代表”从中等生甚至中等偏下生产生更为适宜；其次，要把代表大多数学生想法的东西多角度多层次呈现出来，并作为重要的课程资源和操作载体，引导所有学生参与讨论.实际上我
们在下边听课，就观察到旁边的学生有书写不规范的，有不知如何组织语言表述的，可惜老师都“没发现”，在虚拟的情境中，教师用“经验”导演着课堂的“精彩”，这种现象在各级竞赛课、示范课还在不断上演，而质疑声似乎也不曾停息.
修正：我们理解人们“藏拙露巧”心理，但课堂的“真”
是第一要素，缺乏“真”就很难谈教学的有效性.真实的课堂需要学生将真实的学习困惑、疑难勇敢地拿出来，集师生之力和智慧去解决它、弄懂它、深化它.过程可能是不太顺畅的，离完美甚至有大的差距，但它确实解决了学生真切的发展需要，关注了学生真实的心灵诉求.要真正发挥好数学的育人功能，不能忘了陶行知老先生的名言：千教万教教人学真，千学万学学做真人.
参考文献：
1.鲍建生.谈谈数学教师的特点与发展［J ］.数学教学，2009，4.■
初等数学研究问题四议
筅浙江省宁波市北仑明港中学
甘大旺（特级教师）
我于2012年8月初在厦门参加第八届全国初等数学研究学术交流会，开阔了眼界.至今我仍以“局内人”与“局外人”的角色变换在遐思、沉思着我国初等数学研究的来龙去脉，查阅佐料后写成本文，期能引起有兴趣读者的共鸣或争鸣！
1.初等数学研究的萌芽
“初等数学”并不是一个新词，早在1960年就出现在人民教育出版社出版发行的高师教材《初等数学复习及研究》丛书的书名中.几十年来，我们约定俗成的初等数学研究的主要内容是指当时不属于高等数学、
近代数学、现代数学的内容，而且当时中小学数学教材没有介绍或表述粗浅的夹层、
边缘的数学内容.早在我国解放初期，傅种孙于1952年2月在《中国数学》
杂志一卷二期发表“从五角星谈起”开始，到华罗庚于1984年10月在上海教育出版社
《华罗庚科普著作选集》重新发表“从杨辉三角谈起”为止，中间经历了一些数学史
专家、数学翻译专家在《数学通报》和《数学通讯》等期刊发表的初等数学研究、
翻译的文章，前后33年我国初等数学研究在总体上处于萌芽状态，而对于中小学数学教师（极个别教师除外）来说则处于滞留、静眠期.
2.初等数学研究的兴起
1984年全国高考理科数学试卷第18题是一道以递推数列为条件的不等式证明题：
设a>2，给定数列{a n }，其中x 1=a ，x n+1=x 2
n
2（x n －1）（n=1，2，
…）.求证：（1）x n >2，
且x n+1
x n
<1；（2）如果a ≤3，那么x n ≤2+
12n －1
；（3
）如果a>3，那么当n ≥lg
a
3
lg 43
时，必有x n+1<3.教育纵横
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一石激起千层浪，这道实际超越教学大纲、考试大纲的高考题，惊醒了中学数学教师“抓纲务本就能取胜高考”的美梦、暴露了初等数学的研究队伍在中数界后继无人的危机.
天赐良机，杨之（杨世明）、劳格（庞宗昱）在《中等数学》1985年第1期上及时发表“初等数学研究问题刍议”后，立即得到我国上百个中学数学教师的积极响应.到后来杨之、劳格1988年发表“初等数学研究问题再议”，1991年发表
“初等数学研究问题三议”之时，仅7年时间我国初等数学的研究成果呈
“井喷”式地发表，涉及到映射数列与数论、递推数列与数阵、绝对值方程与折线、多面体、多项式，不等式、组合几何等多方面课题，《湖南数学通讯》
（现停刊）、《中等数学》、《数学通讯》、《数学通报》
、《厦门数学通讯》（现停刊）等期刊对我国1985年以来初等数学的早期研究是功不可没的，后来每隔三、四年召开一次的全国初等数学研究学术交流会在激励人才、传递信息、指明方向等方面也推进着我国初等数学研究的顺利展开.
从1984年至2002年，我国教育行政部门考虑中学教师（包括数学教师）队伍的主要问题仍然是本科学历达标、
教学艺术比拼，于是初等数学研究还不是中学数学教师的重点培训内容，只属于少数具有探究潜质的中学数学教师的业余爱好或孤芳自赏.尽管如此，
分散在全国各市县区对初等数学研究颇有建树的、鹤立鸡群的中学数学教师的人数还是不少，这一时期我国的初等数学研究在全局、
整体上处于不停顿、较缓慢的兴起阶段.3．初等数学研究的发展
2003年全国统一高考理科数学试卷共有22道题，其中的第10题是以对称折线为背景的选择题.第15题是由2001年全国高中联赛题改编的并以递推数列为背景的染色填空题.第20题是由1996年上海市高中数学应用竞赛题改编的并很贴合实际背景的台风应用题.第22题是以三角形数阵为背景的数列题.4道涉及当时初等数学研究范围的题目同时出现在一份试卷中，考生们措手不及，有的考生一出考场就哭泣甚至弃考.当年湖北省、浙江省的高考理科数学平均分都只有约65分（我教的学生董巍却考取142分），其中湖北省做对第22题的考生不足10人.追究其普遍低分的原因，主要在于教师们关于初等数学的研究意识淡薄、知识功底浅薄，平时备考有盲点甚至盲区.
2004年至今，
全国多省市的高考数学试卷出现初等数学题材的现象逐渐成为常态.于是，某些中学在新招数学教师（涉及到理科教师）时要增加答卷笔试，不少数学
教研员在组织教研活动时要增加解题与说题，许多市县区在教师培训中除通识培训之外增加专业培训，较多评委专家在评选优秀青年数学教师、数学特级教师的面试中专门考查专业功底.如此种种，对于广大中学数学教师来说，不论是被动的警觉还是主动的自觉，都要结合本职工作和专业成长来增加初等数学研究的含量.甚至影响到师范大学和综合大学，有的数学专业本科生、研究生自豪地在毕业论文中专攻初等数学问题.
随着初等数学研究在中数界的广泛发展，其研究成果越来越有用、
越多、越新，这催生了我国更多的中数期刊纷纷开设初数研究、初数新探、专题研究、专题写作、专论荟萃等栏目，扶助了一大批中青年数学教师冲破年龄辈分、
职位等级等桎梏而脱颖而出，正如特级教师甘志国在某网站上答谢友人所写的那样“我是从写作起家的”.初等数学研究后继有人，中数期刊的助推力是不可低估的，这能保证初等数学研究的持续发展.
这一时期，随着初等数学研究的深入发展和个人累积，初等数学研究专著成批出版（再版）就水到渠成了，如：
【1】杨之：《初等数学研究的问题与课题》，湖南教育出版社，第2版，2009；【2】叶立军：《初等数学研究》，华东师大出版社，2008；
【3】杨学枝：《数学奥林匹克不等式研究》，哈尔滨工业大学出版社，2009；【4】沈文选：《几何瑰宝》，哈尔滨工业大学出版社，2010；【5】冷岗松：《几何不等式》，华东师大出版社，第2版，2012；
【6】陈计：《代数不等式》，上海科技出版社，2009；【7】冯跃峰：《组合极值》，华东师大出版社，第2版，2012；
【8】张景中：《数学杂谈》，中国少儿出版社，2011；【9】陈月兰：《高观点下的初等数学》，华东师大出版社，2011；
【10】王方汉：《五角星、星形、平面闭折线》，华中师范大学出版社，2008；
【11】韩金俊：《初等不等式的证明方法》，哈尔滨工业大学出版社，2011；
【12】罗增儒：《中学数学解题理论与实践》，广西教育出版社，2008；
【13】张小明、褚玉明：《解析不等式新论》，哈尔滨工业大学出版社，2009.
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【14】甘志国：《初等数学研究》（上、中、下），哈尔滨工业大学出版社，2009；【15】甘大旺：《函数y=ax+b
x
的结构与应用》，浙江大学出版社，2010.
这些专著或以走向世界、或以服务奥数、或以拓展教材为特点，对于今后的初等数学研究都能发挥示范参考、承前启后的作用.
4．初等数学研究的浅见
自1985年至今，在教育改革（尤其是其中的教材改革、考试改革）的大潮中，经过数学界三代人的努力，初等数学研究
“无用论”和“枯竭论”的观点已经被“很有用”、“可创新”的共识所代替，正呈现着根深基厚、枝繁叶茂的生机局面.今后，初等数学研究如何稳健开展？我谈两方面的浅见.
（1）在个人研究的实际行动中，要分清楚在职与退休的时限.德高望重的单墫先生，
在《中国初等数学研究》创刊号上的祝词没有被修改：
“初等数学十分有趣，年轻人切不可沉溺于初等问题，……，初等数学研究可能更适合于数学教师、有固定职业的数学家和岁数大的人”.这是一位厚道长者的冷静直言，受此启发，我有新感悟：在职的中学数学教师不能以初等数学研究为归宿和落脚点，而应该以初等数学研究的体验和果实来丰富自己的数学教学研究.例如，1993年在长沙参加第2届全国初等数学研究学术交流会的苏茂鸣，把初等数学研究与教学艺术研究、
省市立项课题研究结合起来，后来被评上安徽省的特级教师，而另外几位同仁可能缘于单一的初等数学研究而没有这么好的运气.对于绝大多数中学数学教师来说，年轻时搞初等数学研究不要急于求成，应该围绕教材研读、
研究初等数学问题，为提高学生成绩服务；得到学生和领导的信任成为把关教师后，要把初等数学研究与数学教学研究结合起来，这是因为排斥初等数学研究的数学教学研究是空洞的，不服务于数学教学研究的初等数学研究是难以被当地教育行政部门认可的；成为当地有话语权的专家型教师后，注意在初等数学研究乃至其他研究中要克服门户之见和狭隘心理，不霸道、不偏心、不抑贤，说公道话、投公正票、办积德事，引导本辖区研究的正常开展；退休后，有了时间的保证、有了温饱的保障、无沉浮的外忧、无功利的诱惑，高水平的专家可以静心、
潜心、精心地编写初等数学研究的专著，更应该合作编写初等数学研究的辞典，也可以把我国初等数学研究的前沿成果翻译成外文，促使我国的初等数学研究走向
未来、走向世界.
（2）在全局研究的指导思想上，要处理好去浮与保本的关系.每届的全国初等数学研究学术交流会的到会人数都不到200人，比许多地级市（少数县区）的数学年会、数学高考评析会、数学优质课展示会的到会人数少，因此高估全国初等数学研究学术交流会的作用是不理智的.早在1988年由杨之和劳格提议、常庚哲和徐利治赞同的会刊
《中国初等数学研究》已经不定期地以书的形式出版了，该会刊应该成为全国初等数学研究会指导全国中学数学教师（无论是否会员）开展初等数学研究的实际统帅部.在全国初等数学研究会网站的征稿通告中，共依次列出初数专题、数学教育、数学教学、数学文化、
测试数学、解题探秘、竞赛之路、短论荟萃、问题争鸣、名人轶事等10个栏目，这样征得的稿源似乎庞大，但在实际用稿时能不能把数学教育、数学教学、数学文化、测试数学、
名人轶事等稿件控制在10%以下，削减初等数学研究所加载的教育、教学功能，确保初等数学研究的专业性，另外在初数专题（长稿）栏目中还要确保初等数学研究的初等性（短论荟萃栏目可容纳大学数学内容），不要远离新课标中学数学教材的最近发展区.连续办好几期形成风格后，争取将《中国初等数学研究》挂靠于某重点大学，这样有主办单位、有CN 刊号的正式期刊，在中学数学教师成长成功、全国初等数学研究会进一步被认可、我国初等数学研究正常发展等三方面将会达到良性循环的相互促进中.
最后指出，本文观点纯属笔者己见，供大家毫无顾忌地商榷，以稳健而高效地推动我国初等数学研究事业的发展！
参考文献：
1.杨之，劳格.初等数学研究问题刍议［J ］.中学数学，1985（1）.
2.杨之，劳格.初等数学研究问题再议［J ］.中学数学，1988（1）.
3.劳格，杨之.初等数学研究问题三议［J ］.中学数学，1991（1）.
4.杨之.初等数学研究的问题与课题［M ］.长沙：湖南教育出版社，1993.
5.杨学枝，主编.中国初等数学研究（创刊号）［M ］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009.
6.甘大旺.新题征展，本色教研［J ］.中学数学，2008（10）.■
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初等代数研究课后习题 20071115033 数学院 07（1） 杨明 1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即 （1）对任何N b a ∈,，当且仅当b a <时，a b >. （2））对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立. 证明：对任何N b a ∈,，设a A ==，b B == （1）“?” b a <，则B B ??,,使,~B A ，A B B ~, ?∴,a b >∴ “?” a b >，则B B ??,,使A B ~,，B B A ?∴,~,b a <∴ 综上 对任何N b a ∈,，b a （2）由（1）b a b a <∴与b a >不可能同时成立， 假设b a <∴与b a =同时成立，则B B ??,,使,~B A 且B A ~， ,~B B ∴与B 为有限集矛盾，b a <∴与b a =不可能同时成立， 综上，对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立.. 2、证明自然数的加法满足交换律. 证明：对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合 先证 a a +=+11，设满足此式的a 组成集合k ，显然有1+1=1+1成立 φ≠∈∴k 1，设k a ∈，a a +=+11，则 +++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1 k a ∈∴+，N k =∴， 取定a ，则1M φ∈≠，设,b M a b b a ∈+=+，则 ()()a b a b b a b a +++++=+=+=+ ,b M M N + ∴∈∴= ∴ 对任何N b a ∈,，a b b a +=+ 3、证明自然数的乘法是唯一存在的 证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系,f g ，对b N ?∈，有 (),()f b g b N ∈，设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合， ()()1f b g b a ==? 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=，b M +∴∈，M N ∴= 即b N ?∈，()()f b g b =
初等数学研究期末专题论文 函数方程与函数的奇偶性 摘要 函数的奇偶性是函数的一种重要性质，也是高中数学教学中的重点内容，如何让学生正确理解函数的奇偶性并能灵活应用，是每位数学教师不断探论的问题。本文详细讲述了函数奇偶性的判断方法，以及应该注意的地方，对比较抽象的题目给出合适的证明方法。 关键词：函数 奇偶性 方程 性质 1.关于函数奇偶性的定义 （1）一般地，如果对函数()x f 的定义域内任意一个x 都有 ()()0 f x f x --=（()()x f x f =-），那么函数()x f 就叫做偶函数，如：2)(x x f =，()x x f =。 （2）一般地，如果对函数()x f 的定义域内任意任意一个x 都有()()0=-+x f x f (()()x f x f -=-)，那么函数()x f 就叫做奇函数，如：()x x f = , ()x x f 1 = 。 例1：判断函数())1lg(2x x x f -+=的奇偶性。 解：x x x ≥>+221 ∴函数()x f 的定义域为R 又()())1lg()1lg(22x x x x x f x f +++-+=-+ 01lg )1lg(22==-+=x x 。 ∴ ()x f 为奇函数。 例2：判断函数x x e e x f -+=)(的奇偶性。 解：显然)(x f 的定义域为R 又)()(x f e e x f x x -=+=- ∴)(x f 为偶函数。
2.函数奇偶性的几个性质 2.1 对称性 函数的定义域关于原点对称 如： 2.2 整体性 奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立。 2.3 可逆性 )()()(x f x f x f ?=-是偶函数 )()()(x f x f x f ?-=-是奇函数 2.4 等价性 0)()()()(=--?=-x f x f x f x f 0)()()()(=-+?=-x f x f x f x f 2.5 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 2.6 可分性 根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数。 3.判断函数奇偶性的方法 3.1定义法 1．任取自变量的一个值x ，x -是否有定义，如果存在一个属于定义域的0x 但在0x -没有定义，则既不是奇函数也不是偶函数，若)(x f -存在，则进行下一步。 2．)()(x f x f ±=-着相当于证明一个恒等式，有时，为了运算上的方便可转而验证 0)()(=-±x f x f ， 1)() (±=-x f x f ，???=-+偶函数 奇函数)(20)()(x f x f x f 判断步骤如下： ① 定义域是否关于原点对称；
《初等数学研究》教学大纲Research on elementary mathematics 课程名称：初等数学研究英文名称：课程性质：专业必修课 4 学分： 64 理论学时： 64 总学时：适用专业：数学与应用数学先修课程：数学分析，高等代数，解析几何一、教学目的与要求应使学生在掌握近、通过本课程的开设，初等数学研究是数学教育专业开设的必修课程。现做到初等与高等相结合。系统深入掌握中学数学内容有关的初等数学知识，代数学的基础上，以填补学生在中学数现代数学思想方法，尽量反映近、一方面，通过初等数学内容的研究，处学与高等数学之间的空白；另一方面，试图用近、现代数学的思想方法居高临下地分析、为当好一名使学生对中学数学内容有个高屋建建瓴的认识与理解，研究中学数学内容，理、使学生进行解题策略的训练，同时通过本课程的开设，中学数学教师打下扎实的知识基础。具有一定的解题能力。由于学生对初等数学内容并非一无所知，因此，必须突出与强调课程的研究性质。在每章、以帮助学生形成自主探索、研究，每节之后提出若干问题让学生进行探索、合作交流的学习方式，以便他们将来走向教学岗位后，能较快地适应课程改革的形势。必要时运用小组合作的方式进行适学生自学为辅的教学方法，本课程主要采用以讲授为主、当的专题讨论。周，有32八学期开设，安排---初等数学研究是专业选修课，系主干课程。一般情况下第七课时。64共,周36条件时可安排二、教学内容与学时分配序
号章节名称学时分配 1 第一章绪论 2 2 第二 章集合与逻辑 6 3 第三章数与式的理论 8 4 第四章函数的理论 8 5 第五章方程、不等式 8 6 公理化方法与演绎推理 6 7 第七章几何变换 8 8 第八章几何的向量结构及坐标 法 6 9 第九章排列、组合 6 10 第十章中学数学解题策略 6 合计学时数 64 三、各章节主要知识点与教学要求课时） 2第一章绪论（中学数学与初等数学的关系，中学数学的特点，中学数学的发展历程，包括数学研究的对象，本课程的研究 对象，学习本课程的目的意义，等等本章重点：中学数学的 特点本章难点：无掌握中学数学的特点，中学数学的发展历程；要求学生了解数学研究的对象，本章教学要求：中学数 学与初等数学的关系，掌握本课程的研究对象，学习本课程的 目的意义课时）6第二章集合与逻辑（集合集合的特性， 集合的运算。集合的运用命题的逻辑演算命题的特征，简 单命题，复合命题的真值定义，等价命题，简单命题的演算 命题中的量词假言命题的四种形式，量词的否定，存在量词， 全称量词，开语句的复合，真值集，开语句，充分条件与必要 条件集合与逻辑的关系本章重点：复合命题的真值定义， 等价命题，假言命题的四种形式本章难点：假言命题的四种 形式，开语句的复合，本章教学要求：要求学生掌握假言命题
姓名：苏章燕学号：201102024002 班级：师范1班 分类思想 摘要：分类讨论的问题在这学期做高考题和中考题过程中，很多题上面都有体现。是在问题的解答出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们往往把可能出现的所有情况分别进行讨论，得出每种情况下相应的结论，这种思想方法就是分类的思想。 关键词：分类讨论、函数、例题、集合分类 一、分类要素 分类的思想运用到每个具体数学问题中都有三个基本内容，即分类三要素，在分类的合定义中，三要素就是全集，子集和子集的分类根据。分类的逻辑定义中，三要素是母项，子项和分类标准。 二、分类的规则 在问题讨论前，首先应弄清楚我们所研究对象的范围，即全集。分类就要在这个特定范围内进行，要防止在全集不明确的情况下或全集外进行讨论。 每次分类都必须以同一本质属性为标准，被分概念或集合有若干本质属性，确定某一个作为分类标准。那么在分类过程中就要始终使用这个标准。同一次讨论中标准只能是一个。如实数在讨论绝对值时，可分为整数、负数和零；在讨论其他性质和运算时可分为有理数与无理数。又如函数按自变量个数可分为一元函数、二元函数乃至多元函数；按单调性可分为增函数、减函数和非单调函数（在某一区间内）；按定义域可分为在R上都有意义的函数与定义域不是R的函数；按奇偶性可分为奇函数、偶函数和非奇非偶函数（在定义域内）；按属性可分为代数函数和超级函数。诸如此类，按不同标准就有不同的分类。 分类的完整性，把集合A分为A1、A2、···An等n个子集的分类，集合A应是这n 个子集的并集，集合的每一个元素都属于且仅属于其中的一个子集，分类时必须防止遗漏，如把角分为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角，就不是一个完整的分类，因为终边落在坐标轴上的角就不在其中。 分类的互斥性，分类中分成的各部分必须是互相排斥的，即分类中各个子集的交集是空集，如平面几何中把三角形分为锐角三角形、等腰三角形······的分类就是不正确的分类，因为存在着等腰锐角三角形，这是由于破坏了分类的互斥性。 分类的逐级性，被分概念必须分成与它最邻近的概念。有些问题必须要连续分类，这就要求严格按层次逐级进行划分、讨论。 分类的种类，人们对事物的认识有一个由现象到本质逐步深化的无线过程，因此分类也有一个从现象分类到本质这样一个逐步深化的过程。 现象分类就是根据事物的外部标志或外部联系所进行的分类，这种分类往往会把本质上相同的事物分为不同的类别，而把本质上不相同的事物归为同一类别。如平面几何中多边形按边数分类就是一个现象分类，因为凸多变形和凹多边形即使边数相同其性质也大相径庭，而正多边形（不管它边数多少）都具有很多共性，它们本质上是相同的。 本质分类就是根据事物的本质特征或内部联系所进行的分类，本质分类能够揭示数学对象之间的规律，如含角的三角函数的绝对值，用零点分段法对角进行的分类就属于本质分类。 分类方法的解题步骤，确定分类标准，这就是要运用辩证的逻辑思维，对具体事物作具体分析，从表面上极为相似的事物之间看出它们本质的相同点，发现事物的本质特征，只有这样才能揭示数学对象之间的规律，对数学对象进行有意义的分类。 恰当地进行分类，在确定分类标准的基础上，遵守分类的五条规则，对所讨论的问题恰当地分类，问题能否顺利讨论的关键是对所讨论对象进行正确的分类。 逐类讨论，根据分好的各类情况，逐类地加以研究，深入进行讨论，分门别类逐一把
1、 因式分解：32 35113x x x ---= 2、 已知21x a x x =++，则2 421 x x x =++ 3、 已知1abc =，求 111a b c a ab b bc c ca ++++++++的值； 4、 已知 111a b c a ab b bc c ca ++++++++=1，求证1abc =；
5、 = 6、 解不等式： 2233132 x x x x +-≤-+ 7、 求一个方程，使其各根分别等于方程43 67620x x x x -++-=的各根减去2。
8、 解方程22223223132231 x x x x x x x x ++++=-+-+。 9、 求不定方程7517x y -=的整数解。 10、 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2(f x y f x f y x y x y R +=++∈、，(1)2f =，则(3)f -等于 11、 若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(2)()1f x g x x =-的定义域是 12、 0= 13、 将多项式32 22x x x -++表示成(1)x -的方幂形式是 14、 将分式22233(1)(25) x x x x x ----+分解成部分分式之和
15、 求函数2 y =的值域 16、 已知5,4x <求函数14245 y x x =-+-的最大值。 17、 解方程：4322316320x x x x +-++=
18、 已知x y z 、、是互不相等的正数，且1,x y z ++=求证：111(1)(1)(1)8x y z ---> 19、 利用多项式对称性因式分解： （1）555()()()()f x y z x y y z z x =-+-+-、、 设222(,,)()()()[()()],f x y z x y y z z x L x y z M xy yz xz =---+++++ （2）5555 ()()f x y z x y z x y z =++---、、 设222()()()[()()]x y y z z x k x y z m xy yz zx ++++++++
美国数字电视研究 美国发展数字电视的动机 一，从国际竞争看： 上世纪80年代，日本采用模拟系统成功开发出高清晰度电视。为了与日本竞争，以在国际舆论中取得主导地位并且防止外国文化对美国的入侵，美国国会提出了一个大胆的设想：将全美的模拟电视换位数字电视。 二，从国内竞争看： 上世纪80年代，美国爆发频率危机，广播联盟为了阻止广播电视频率的重新分配，防止这些频率落到移动通信运营商等机构手中，以需要为以后发展高清电视预留频率资源为由，提出了发展数字电视的口号。 三，从国内经济发展需要看： 起初，在爆发频率危机的同时美国政府也受到财政赤字的威胁，美国国会想通过数字转换释放更多的频率资源，通过拍卖频率资源获取更多的财政收入，弥补财政上的亏空。 后来，在1998年至2001年，由于美国经济的飞速发展，市场的繁荣，迫切需要新的商业无线数据服务。这些因素很大程度上推动了美国电视的数字话进程。 四，从国防安全看： 在美国爆发了“911”恐怖袭击后，美国为增强国土安全，也需要为医疗、消防和警方等多个公务部门提供频率资源，这直接推动了美国电视的数字化进程。 美国数字电视的进程规划 1997年4月3日，美国联邦通讯委员会（FCC）正式通过了美国数字电视的标准，公布第五号令和第六号令，重申了早期允许广播产业选择标清或高清多重技术决定，并允许广播电视业者在他们的数字频道中选择单向传播或交互传播方式。在这一年就有10多家数字电视台同时开播。随后，全美便陆续建立了不少数字电视台。 美国数字电视的运作一直受到FCC等机构的干预，其为美国数字电视的全面普及制定了详细的时间表，并且美国联邦通讯委员会对模拟NTSC制式与DTV 同播要求不断提高，从开播初期的不做任何要求到2003年4月1日起要求电台50%的NTSC节目必须在DTV频道上同播；一年后，同播要求提高到75%；到2005年4月1日要求100%同播。做到了既能平滑的关闭NTSC业务并归还NTSC 频道又不影响观众收看节目。 对于地面电视系统实现数字化，美国联邦通讯委员会根据国情的实际情况制定了分批实现的时间表：2002年5月，所有商业电视台实现数字化播出，数字家庭入户绿100%；2003年5月，所有非商业电视台实现数字化播出；2006年12月，停播所有模拟电视频道。 为了能够顺利而有效的实施数字化转换，美国国会综合了各方面的反映，先后通过立法，规定了各类模拟电视必须安装数字解调器的时间表并且根据实际情况不断调整：2005年7月1日后美国市场上3.6英寸以上的电视机均需内置解码器；2006年7月1日后25—35英寸的电视机须内置解码器；2007年3月1日后
初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案
初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数 1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数bi a +. 2（略） 3从数的起源至今，总共经历了五次扩充： 为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集. 公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集. 为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集. 直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集. 虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集. 4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'?；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'?，所以)(C A ?)(D B ??所以集合C A ?的基数c a +大于集合D B ?的基数d b +，所以d b c a +>+. 5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 15 55555155155 )25(2535''=++=++?=+?=+?=?=? （2）解：按照自然数序数理论乘法定义 8 7)6(])15[()15()25(2535'''''''' '===+=+=+=+=+ 6证明：?1当2=n 时，命题成立.（反证法）
高中版 2013年1月 这样一个话题“课堂上我们是期望学生完美展示还是希望看见他们出点问题呢？”这实质上是针对“真实”的课堂来说的.通过两次试教和打磨推敲，X 老师的课上的还是不错的，教学流程顺畅自然，学生表现也相当好.也许正因为“好”，市教科院副院长兼数学教研员王开合老师比较委婉地提出了课堂真实性的质疑：整个教学过程学生积极配合，回答问题、上台板演几乎都堪称完美，除了一位男生在表述线面平行判定定理时把“直线a 埭α，b 奂α”读成了“直线a 不属于面α，直线b 属于面α”，老师和同学还及时纠正了读法，其他地方好象没出错，没碰上什么困难.学生真的理解的如此完美吗？ 事后X 老师“坦白交代”：怕教学过程出现偏差，所以回答问题和上黑板板演的大都是“优生”.笔者的思考是：高效的课堂应基于真实.要立足解决一般学生的主要困难和疑难，学生“代表”从中等生甚至中等偏下生产生更为适宜；其次，要把代表大多数学生想法的东西多角度多层次呈现出来，并作为重要的课程资源和操作载体，引导所有学生参与讨论.实际上我 们在下边听课，就观察到旁边的学生有书写不规范的，有不知如何组织语言表述的，可惜老师都“没发现”，在虚拟的情境中，教师用“经验”导演着课堂的“精彩”，这种现象在各级竞赛课、示范课还在不断上演，而质疑声似乎也不曾停息. 修正：我们理解人们“藏拙露巧”心理，但课堂的“真” 是第一要素，缺乏“真”就很难谈教学的有效性.真实的课堂需要学生将真实的学习困惑、疑难勇敢地拿出来，集师生之力和智慧去解决它、弄懂它、深化它.过程可能是不太顺畅的，离完美甚至有大的差距，但它确实解决了学生真切的发展需要，关注了学生真实的心灵诉求.要真正发挥好数学的育人功能，不能忘了陶行知老先生的名言：千教万教教人学真，千学万学学做真人. 参考文献： 1.鲍建生.谈谈数学教师的特点与发展［J ］.数学教学，2009，4.■ 初等数学研究问题四议 筅浙江省宁波市北仑明港中学 甘大旺（特级教师） 我于2012年8月初在厦门参加第八届全国初等数学研究学术交流会，开阔了眼界.至今我仍以“局内人”与“局外人”的角色变换在遐思、沉思着我国初等数学研究的来龙去脉，查阅佐料后写成本文，期能引起有兴趣读者的共鸣或争鸣！ 1.初等数学研究的萌芽 “初等数学”并不是一个新词，早在1960年就出现在人民教育出版社出版发行的高师教材《初等数学复习及研究》丛书的书名中.几十年来，我们约定俗成的初等数学研究的主要内容是指当时不属于高等数学、 近代数学、现代数学的内容，而且当时中小学数学教材没有介绍或表述粗浅的夹层、 边缘的数学内容.早在我国解放初期，傅种孙于1952年2月在《中国数学》 杂志一卷二期发表“从五角星谈起”开始，到华罗庚于1984年10月在上海教育出版社 《华罗庚科普著作选集》重新发表“从杨辉三角谈起”为止，中间经历了一些数学史 专家、数学翻译专家在《数学通报》和《数学通讯》等期刊发表的初等数学研究、 翻译的文章，前后33年我国初等数学研究在总体上处于萌芽状态，而对于中小学数学教师（极个别教师除外）来说则处于滞留、静眠期. 2.初等数学研究的兴起 1984年全国高考理科数学试卷第18题是一道以递推数列为条件的不等式证明题： 设a>2，给定数列{a n }，其中x 1=a ，x n+1=x 2 n 2（x n －1）（n=1，2， …）.求证：（1）x n >2， 且x n+1 x n <1；（2）如果a ≤3，那么x n ≤2+ 12n －1 ；（3 ）如果a>3，那么当n ≥lg a 3 lg 43 时，必有x n+1<3.教育纵横 数坛在线 60
第一章 1、自然数集是有序集 2、自然数集具有阿基米德性质即：如果a,b∈N，则存在n∈N，使na>b 3、自然数集具有离散型即：在任意两个相邻的自然数a和a’之间不存在自然数b， 使a 值 例：求00080cos 40cos 20cos ??8 120sin 8160sin 20sin 880cos 80sin 220sin 480cos 40cos 40sin 220sin 280cos 40cos 20cos 20sin 2000000 0000 0000= ===???=解：原式N c N a N c N b N b N a ac b c b a log log log log log log :1,,2=--=求证， 的正数，且是不等于例：设原式右边原式左边所以，得证明：由==-?-?=--=-=-+==a N c N b N c N a N a N b N c N c N b N b N a N b N c N a N b N c N a N b N a c b log log )log (log log )log (log log log 1log 1log 1log 1log log log log log log log 2213cot cot cot 3tan tan tan =-+-θθθθθθ例：求证的值 内的两相异实根，求在为方程、例：已知)sin(),0()0(cos sin βαπβα+≠=+mn p x n x m 原式右边（原式左边证明：（综合法）==?-?-?-?-=--?-+?-=13tan cot 3cot tan 23tan cot 3cot tan 2)3cot )(cot 3tan tan 3tan cot 13cot tan 1θ θθθθθθθθθθθθθθθ 习题一 1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为： （1）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。 （2）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。 （3）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。 数系扩展的方式有两种： （1）添加元素法。 （2）构造法。 2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则 （3）,a b ac bc >>若则； 证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。 （2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9） 由（1）有()bc a k c =+ ac bc ∴< （P17.定义9） 或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ 3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则 （1）,;ac bc a b ==若则 （2）ac bc a b <<若，则； （3）ac bc a b >>若，则。 证明（1）（用反证法） （2）方法同上。 （3）方法同上。 4、依据序数理论推求： 解： 1313134++=='（）先求，， （P16.例1）323231(31)45,++=+=+=='''再求， （2）31313??=先求，， 5、设n N ∈，证明n 415n 1+-是9的倍数。 证明：1n 141511189,1n =+?-==①当时，是的倍数故时命题成立。 k n k 415k 19=+-②假设当时，命题成立。即是的倍数。则当n=k+1时： k 1k 415k 11 4415k 1315k 18441519(52) k k k +++-=+--?+=+---（）（）（）。 1n k ∴=-当时，命题成立。 由①，②知，对于任一自然数n 成立。 6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立： 证明： ①412111--3-3.11-21n +?==== ==?当时，左边，右边左边右边。 ②n k =假设当时，等式成立，即： 《初等数论》教学大纲 Elementary number theory 一、本大纲适用专业 数学与应用数学。 二、课程性质与目的 1. 课程目标 初等数论是数学与应用数学专业一门专业选修课。通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除、不定方程、同余、原根与指数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的实际工作打下良好基础。 2. 与其它课程的关系 本课程是初等数学研究、C语言程序设计A，近世代数等课程的后续课程。 3. 开设学期 按培养方案规定的学期开设。 三、教学方式及学时分配 四、教学内容、重点 第一章整数的可除性 1. 教学目标 理解整数整除的概念、最大公约数的概念、最小公倍数的概念，掌握带余除法与辗转相除法；理解素数与合数的概念；理解和掌握素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法；掌握函数[x]和 {x} 的性质。 2. 教学内容 （1）整数整除、剩余定理：带余除法与辗转相除法；最大公约数的概念、性质及求最大公约数的方法；最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。（2）素数与合数：素数与合数的概念、素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数 的求法；函数[x] {x} 的性质及其应用。 3. 教学方法 讲解教学。 4. 本章重点 辗转相除法，整数的素数分解定理。 5. 本章难点 求最大公因子的方法。 第二章不定方程 1. 教学目标 理解不定方程的概念，理解和掌握元不定方程有整数解的条件，会求一次不定方程的解。 2. 教学内容 （1）一次不定方程，多元一次不定方程的形式，多元一次不定方程有解条件，求简单的多元一次不定方程的解。（2）二元一次不定方程有整数解的条件，求一次不定方程的解。 3. 教学方法 讲解教学。 4. 本章重点 多元一次不定方程有解条件，二元一次不定方程有整数解的条件。 5. 本章难点 不定方程的整数解的形式，求多元不定方程的整数解。 第三章同余、同余式 1. 教学目标 理解整数同余的概念，理解和掌握同余的基本性质、整数具有素因子的条件函数相关性质；理解剩余类与完全剩余系的概念，理解欧拉函数的定义及性质；掌握欧拉定理、费马定理、孙子定理。 2. 教学内容 （1）整数同余：整数同余的概念、同余的基本性质；整数具有素因子的条件；利用同余简单验证整数乘积运算的结果。（2）剩余类与完全剩余系：剩余类与完全剩余系的概念；判断剩余系的方法；欧拉函数的定义及性质；欧拉定理、费马定理。（3）同余式的基本概念、孙子定理。 3. 教学方法 讲解教学。 4. 本章重点 剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质，中国剩余定理。 5. 本章难点 初等数学研究答案1 大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社 习题一 1答：原则：（1）A ?B （2）A 的元素间所定义的一些运 算或基本关系，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。 （3）在A 中不是总能施行的某种 运算，在B 中总能施行。 (4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。 方式：（1）添加元素法；（2）构造法 2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。 a=b ，M 11b 1a ∈∴?=?∴， 假 设 bc ac M c =∈，即，则 M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='， 由归纳公理知M=N ，所以命题对任意 自然数c 成立。 （ 2）若a < b ，则 bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈?即，，由，使得 则ac 初等数学研究期末复习题：选择题与填空题 一．选择题 1．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =6．将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )． A C B D A ．2 B ．4 C ． 6 D ． 8 2．若M =223894613x xy y x y -+-++(x ，y 是实数)，则M 的值一定是( )． A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．整数 3．已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点．若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4．设A =22211148()34441004 ?++???+---，则与A 最接近的正整数是( )． A ．18 B ．20 C ．24 D ．25 5．设a 、b 是正整数，且满足于5659a b ≤+≤，0.90.91a b <<，则22b a -等于( )． A ．171 B ．177 C ．180 D ．182 6 的结果是( )． A ．无理数 B ．真分数 C ．奇数 D ．偶数 7．设4r ≥，1 1 1a r r =-+ ，b = ，c =，则下列各式一定成立 的是( )． A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >> 8．若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－ x 4)(2005－x 5)＝242，则2222212345 x x x x x ++++的未位数字是( )． A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 9． 已知1m = 1n =且22(714)(367)m m a n n -+--=8，则a 的值等于( )． A ．5- B ．5 C ．9- D ．9 10．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y =x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则( )． A ．h <1 B ．h =1 C ．1 初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数 1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数 bi a +. 2（略） 3从数的起源至今，总共经历了五次扩充： 为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集. 公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集. 为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集. 直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集. 虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集. 4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'?；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'?，所以)(C A ?)(D B ??所以集合 C A ?的基数c a +大于集合 D B ?的基数d b +，所以d b c a +>+. 5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 15 55555155155)25(2535''=++=++?=+?=+?=?=? （2）解：按照自然数序数理论乘法定义 8 7)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：?1当2=n 时，命题成立.（反证法） 《初等数学研究》考试大纲 Elementary Mathematics Research 一、本大纲适用专业 数学与应用数学。 二、考试目的 测试学生对初等数学的基本内容和方法的熟练程度。 三、考试内容 第一章数系 1. 考试知识点 （1）数的概念的扩展； （2）自然数序数理论及其性质； （3）整数环、有理数域、实数域、复数域的建立及性质。 2. 考试要求 （1）了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则； （2）掌握自然数的基数理论及整数环的构造； （3）理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，弄清自然数、整数运算的概念及其运算律，掌握有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数域的性质； （4）理解无理数、实数概念，掌握实数大小比较的法则、实数的运算法则和实数域的性质； （5）理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数域的性质。 第二章解析式 1. 考试知识点 （1）多项式的恒等定理； （2）待定系数法； （3）因式分解方法； （4）分式恒等变形； （5）根式的化简和计算； （6）解不等式（组）； （7）不等式的证明； （8）几个著名的不等式。 （1）了解解析式的概念及其分类； （2）了解多项式概念，掌握待定系数法和多项式的因式分解方法； （3）了解分式的概念和定理；掌握分式恒等变形； （4）掌握根式的运算和变形； （5）掌握不等式的基本性质、解法和证明； （6）熟悉几个著名的不等式。 第三章方程与函数 1. 考试知识点 （1）方程（组）的同解理论及基本解法； （2）几类特殊的高次方程的解法； （3）分式方程、无理方程和超越方程的解法 （4）函数概念的形成和发展； （5）初等函数的性质。 2. 考试要求 （1）掌握各种代数方程中的同解理论（弄清增、失根原因及检验方法）及基本解法； （2）掌握特殊的高次方程的解法； （3）掌握简单的分式方程、无理方程和超越方程的解法； （4）了解函数概念的发展与几种定义方式； （5）掌握初等函数的基本性质。 第四章数列 1. 考试知识点 （1）数列的通项公式； （2）等差与等比数列； （3）高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）数学归纳法的基本形式和其他形式； （5）数列的母函数。 2. 考试要求 （1）掌握求数列通项的方法； （2）熟练掌握等差与等比数列的综合题； （3）了解高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）熟练掌握数学归纳法的各种形式的应用； （5）了解数列的母函数。 第五章排列与组合 课程名称： 初等数学研究 任课教师姓名： 左晓虹 卷面总分： 100 分 考试时长： 100 分钟 考试类别：闭卷 √ 开卷 □ 其他 □ 注：答题内容请写在答题纸上，否则无效． 一、单选题（4*10=40分） 1．设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则||||a b =”的逆否命题是 （ ） （A ）若a b ≠-，则||||a b ≠ （B ）若a b =-，则||||a b ≠ （C ）若||||a b ≠，则a b ≠- （D ）若||||a b =，则a b =- 2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ） （A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x = 3．设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是 （ ） 4．6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （ ） （A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20 5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ） （A ）283π - （B ）83 π - （C ）82π- （D ）23 π 6．函数()cos f x x =在[0,)+∞内 （ ） （A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点 7．设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈， 1 {|||N x x i =- 正、余弦定理在三角形中的应用 ——08数学二班 庞家旭（080501231） 正、余弦定理是揭示三角形边、角之间定量关系的两个重要定理, 它将三角形的边和角有机的结合起来, 是解决有关三角形问题的有力工具。 1. 利用正余弦定理解三角形的边 当已知三角形的两个边和任一角，求其他边或者已知三角形的两个角和一条边，求其他的边，都可以用正余弦定理来解决，但在用的时候往往要用到技巧转化。 例1 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知 ，则c=（ ） A.1 B.2 分析1：当把c 看作是已知时，由题目能得三边一角的关系，于是用余弦定理能求c 的值。 解法1：由 得： 整理得： 解之得：c=2 分析2：当只注意到题目给的已知条件时，可以先利用正弦定理求出∠B ，再得出∠C ，最后可得出c 的值。 解法2：由 得 由大边对大角，可得： 于是 则△ABC 是直角三角形，且c 是斜边， 所以 2. 利用正余弦定理解三角形的角 ,13 A a b π== =1C D 222cos 2b c a A bc +-=213cos 32 c c π+-=220c c --=sin sin a b A B =1sin sin 1 sin 2b A B a π?===6B π=2 C A B ππ=--=2 c == 在三角形中，已知三角形的各边之间的比例关系，要求三角形的角，都可以运用正余弦定理来解决，但有时需要用技巧进行等价变化。 例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长，已知a 、b 、c 成等比数列，且a 2-c 2=ac-bc ，求∠A 的大小及 的值。 分析：因给出的是a 、b 、c 之间的等量关系，要求∠A ，需找∠A 与三角形的 关系，故可用余弦定理。由b 2=ac 用正弦定理可求 的值。 解：Ⅰ.∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2=ac 又a 2-c 2=ac-bc,∴b 2+c 2-a 2=bc 在△ABC 中，由余弦定理得 ∴∠A=60° Ⅱ.在△ABC 中，由正弦定理得 ∵b 2=ac ，∠A=60°， Ⅱ.解法二：在△ABC 中，由面积公式得 ∵b 2=ac ，∴csinA=bsinB 总结：解三角形时，当找到三边一角之间的关系时，常用余弦定理。当找到两边两角之间的关系时，常用正弦定理。 3. 利用正余弦定理判断三角形的形状 在三角形中，已知三角形的各角之间的比例关系或者各边之间的比例关系，要判断三角形的形状，均可以的用正余弦定理来进行解题，同样的在做题是也需要用技巧来转化。 例3 在△ABC 中，若sinC=2cosAsinB ，则此三角形必是（ ） sin b B c sin b C c 2221cos 222b c a bc A bc bc +-===sin sin b A B a =2sin sin sin 602b B b A c ac ∴==?=11sin sin 22 bc A ac B =sin sin 2 b B A c ∴ ==初等数学研究试题答案
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